4

Decadimento I

4.1 Proprieta generali del decadimento ,

II decadimento 'Y e una reazione del tipo

( 4.1)

in cui un nucleo eccitato com pie una transizione a un livello eccitato di ener­gia inferiore 0 al livello fondamentale emettendo un quanto 'Y di energia elet­tromagnetica. II nucleo eccitato puo essersi formato per assorbimento di un quanta 'Y da parte del nucleo nella stato fondamentale 0 come conseguenza di un decadimento a 0 (3. Un nucleo eccitato puo compiere la transizione allo stato fondamentale direttamente emettendo un solo 'Y, oppure mediante suc­cessive transizioni a livelli eccitati sempre pili bassi emettendo una cascata di quanti 'Y. L'emissione di un 'Y da un livello eccitato puo essere in competizione con processi di decadimento a 0 (3. I vari aspetti del decadimento 'Y sopra descritti e l'interdipendenza con i decadimenti a e (3 sono illustrati mediante gli esempi di fig. 4.1. Normalmente l'energia dei 'Y risulta essere nell'intervallo

10keV ::::: By ::::: 5MeV, (4.2)

a cui corrisponde una lunghezza d'onda A = hc/hv = hc/ By nell'intervallo

10-8 cm ~ A ~ 2 10-11 cm. (4.3)

L'energia del 'Y e determinata dai principi di conservazione dell'impulso e dell'energia applicati alla (4.1); nell'ipotesi di nucleo iniziale in quiete si ha:

0= Pf + P,,{, ( 4.4)

Ei == MiC2 = Ef + E"{ = Mfc2 + Tf + E"{. (4.5)

Tenuto conto della (4.4), della relazione

G. Bendiscioli, Fenomeni radioattivi© Springer-Verlag Italia 2013

92 4 Decadimento 'Y

E1 E2

~ If; E1 Y10

Eo = 0 Eo =0

a b c

MeV

14

10.64 h 12 0.57 MeV

10

8

6

3m

208 4 (5 +) 81 TI + He 4

2 2.62 MeV

o

Fig. 4.1. (a) Decadimento 'Y diretto verso 10 stato fondamentale. (b) Cascata di decadimenti 'Y. (c) Formazione di stati eccitati per decadimento a e (3 e decadimenti 'Y in competizione con decadimenti a e (3 con possibilittl di caseate di 'Y. Sono indicate Ie energie dei (3 e delle a nelle transizioni fra stati fondamentali.

Ey = p,,{c, (4.6)

e del fatto che nei casi pratici E"{ «Mfc2 ~ A 938 MeV, l'energia cinetica del nucleo finale ha l'espressione

4.1 Proprieta generali del decadimento 'Y 93

(4.7)

Pertanto nella (4.5) Tf puo essere trascurata e, con buona approssimazione, risulta

(4.8)

Si ha emissione di energia elettromagnetica tutte Ie volte in cui varia la configurazione di un sistema di cariche elettriche, di correnti elettriche e di momenti magnetici. Nel caso dei nuclei, la distribuzione della carica e del­la corrente e determinata dai protoni e dal loro mota orbitale e quella dei momenti magnetici e determinata dalla precedente corrente e dai momenti magnetici dei protoni e dei neutroni. Come sara descritto nei successivi para­grafi, una radiazione elettromagnetica e esprimibile come sovrapposizione di funzioni ognuna caratterizzata da un momento angolare orbit ale nJL(L + 1), da una parita definita e da una specifica distribuzione angolare. Esistono due specie di radiazione dette radiazione di multipolo elettrico e radiazione di mul­tipolo magnetico. La prima e prodotta da una variazione della distribuzione di cariche elettriche e di momenti magnetici, la seconda da una variazione della distribuzione di correnti elettriche e di momenti magnetici. A parita di numero quantico L, la radiazione di multipolo elettrica e pili intensa di quella magnetica. L'intensita di entrambe decresce molto rapidamente al crescere di L.

Ogni livello nucleare e caratterizzato dallo spin J, dalla parita P e dallo spin isotopico I. Nel decadimento , spin e parita nucleari possono cambiare compatibilmente con la conservazione del momento angolare totale e della parita totale; vale a dire, compatibilmente COn Ie seguenti condizioni:

(4.9)

(4.10)

Inoltre, l'esperienza mostra che 10 spin isotopico varia con Ie seguenti restrizioni:

Ii - If = 0, ±1, (4.11)

L'invarianza della terza componente 13 rispecchia il fatto che la carica elettrica (il numero Z di protoni) non varia nel decadimento ,.

Una descrizione completa dell'emissione e dell'assorbimento della radia­zione elettromagnetica da parte di un nucleo puo essere fatta solo nell'ambito della teoria quantistica della radiazione. In particolare, la probabilita per unita

94 4 Decadimento 'Y

di tempo che avvenga la transizione dallo stato iniziale allo stato finale (in altre parole, la costante di decadimento >.) e stimabile nell'ambito della teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo mediante la relazione

(4.12)

dove 'l/Jf e 'l/Ji sono Ie funzioni d'onda del nucleo nella stato finale e iniziale, H e l'hamiltoniana d'interazione tra cariche, correnti e momenti magnetici e il campo elettromagnetico, dN / dE e la densita degli stati finali.

Tuttavia, si possono ottenere utili informazioni anche dallo studio del campo di radiazione classico, come faremo nei successivi paragrafi.

4.2 Radiazione di multipolo

4.2.1 Equazioni di Maxwell

Consideriamo il campo elettromagnetico nel vuoto emesso da una distribuzio­ne di cariche, di correnti e di momenti magnetici variabili nel tempo confinata entro un certo volume V, che supponiamo posto attorno all'origine di un sistema di coordinate polari (vedi fig. 4.2).

Posto

H = H(r,t), E = E(r, t), (4.13)

p = p (r/, t), J = J (r/, t), M = M (r/, t) , (4.14)

Ie equazioni di Maxwell nel vuoto hanno la forma (nel sistema di Gauss):

1aE 1 rotH = -- + -47rJ ,

c at c

1 aH 1 aM rotE = ---- - 47r---,

cat cat

divH = -47rdivM,

divE = 47rp.

(4.15)

(4.16)

( 4.17)

(4.18)

Applicando l'operatore rot alla (4.15) e tenendo conto della (4.16) si ottiene

( 1 a2 ) 1 1 a2

rot rot + c2 at2 H = 47r ;rotJ - 47r c2 at2 M . (4.19)

Applicando l'operatore rot alla (4.16) e tenendo conto della (4.15) si ottiene

4.2 Radiazione di multi polo 95

z

y

x p,J."M

Fig. 4.2. Campo elettromagnetico nel punta r generato da cariche, correnti e momenti magnetici contenuti entro un volume V.

rot rot + -- E= -47r -- - 47r--rotM. ( 1 a2 ) 1 aJ 1 a c2 at2 c2 at c at (4.20)

Ci proponiamo ora di mettere in evidenza alcune proprieta del campo elet­tromagnetico dipendenti sia dalla forma generale delle equazioni di Maxwell sia dalla natura delle sorgenti. A tale scopo e opportuno premettere alcune considerazioni suI concetto di parita.

4.2.2 Parita

Data una grandezza funzione delle coordinate spaziali f ( r) nel sistema di riferimento 0, indichiamo con f' ( r) la grandezza che si ottiene effettuando la sostituzione r -+ -r (che chiamiamo inversione delle coordinate). La sostitu­zione r -+ -r viene indicata tramite l'applicazione di un operatore P (detto operatore di paritd) tale che

Pf(r) = f'(r) = f( -r). (4.21)

L'operatore P inverte Ie tre componenti di r, ossia produce Ie trasfor­mazioni

x -+ -x, y -+ -y, z -+ -z

0, in coordinate polari,

r -+ r, e -+ 7r - e, CP-+CP+7r·

Se risulta

Pf(r) = f(-r) = f(r) ,

la grandezza f e detta pari; se risulta

96 4 Decadimento 'Y

Pf(r) = f( -r) = - f(r) ,

e detta dispari. L'operazione r -t -r puo essere effettuata per successive inversioni delle

tre componenti di r oppure per inversione di una componente (per esempio y -t -y, fig. 4.3b) seguita da una rotazione di 1800 attorno alla medesi­rna componente (fig. 4.3c). L'inversione di una sola componente trasforma la grandezza f(x, y, z) nella sua immagine speculare f(x, -y, z) rispetto al piano perpendicolare alla componente invertita (il piano xz).

z ® z

y

x @

z

~=+--+--+-- y

x

Fig. 4.3. Inversione delle coordinate mediante una rifiessione e una rotazione. a) Vettore oggetto (r(x,y,z)). b) Vettore rifiesso rispetto al piano xz, (r'(x,-y,z)). c) Rotazione di r' di 180 0 attorno all'asse y; si ottiene il vettore r(-x,-y,-z) che coincide con -r. d) Effetto della rotazione di r attorno all'asse y (r* (-x, y,-z)).

Va sottolineato che la grandezza speculare non e ottenibile mediante una rotazione di 1800 del vettore r attorno a uno 0 pili assi coordinati, perch€) una rotazione inverte due componenti (vedi fig. 4.3d). L'operazione di inversione di un numero dispari (1 03) di componenti non e riconducibile a una rotazione (inversione di un numero pari di componenti).

Le implicazioni del concetto di parita saranno riprese e approfondite nel cap. 9; qui ci limitiamo a osservare che sono dispari

- i vettori posizione r, velocita v = dr / dt e impulso p = mv, - il vettore densita di corrente J = pv, - l'operatore gradiente, - l'operatore rotore.

Sono pari - Ie quantita indipendenti dalle coordinate spaziali,

4.2 Radiazione di multi polo 97

- il modulo di un vettore, - il prodotto vettoriale di due vettori dispari (quindi il momento angolare orbit ale e, per omogeneita, 10 spin).

4.2.3 Parita orbit ale e parita intrinseca

Per ragioni di chiarezza di esposizione, l'operatore di parita puo essere scomposto nel prodotto di due operatori, come mostriamo tramite un esempio.

II campo elettrostatico generato da un dipolo elettrico p puo essere espresso nel segue modo (nel sistema di Gauss):

p. r E = -grad V = -grad -3-.

r Se applichiamo al campo elettrico l'operatore di parita P, si ha grad -t

-grad, r -t -r e p -t -p e il campo elettrico risulta dispari:

PE(r) = E( -r) = -E(r).

Esprimiamo ora l'operatore P mediante il prodotto di due operatori di parita, l'uno (Pin) agente sulle coordinate della sorgente del campo e l'altro (Po) agente sulle coordinate delle altre quantita mediante Ie quali e espresso il vettore E; i due operatori agiscono separatamente nel modo seguente:

(-p)·r p·r PinE = -grad 3 = grad -3- = -E,

r r

p·(-r) p·r PoE = -( -grad) = -grad - = E.

r3 r3

Quindi

PaPin E(r) = -E(r) = PE(r).

Pin mette in evidenza Ie proprieta del campo elettrico dipendenti dalla sua sorgente e prende il nome di parita intrinseca; Po mette in evidenza Ie sue proprieta geometriche e prende il nome di parita orbitale. Va comunque sottolineato che l'osservabile fisica e solamente la parita totale.

4.2.4 II campo elettromagnetico nella spazio vuoto

Incominciamo con il consider are il campo nei punti dello spazio III cui Ie sorgenti sono nulle:

laE rotH =-­

c at ' laH

rot E = ---­c dt '

( 4.22)

( 4.23)

98 4 Decadimento 'Y

( 1 EP) rot rot + c2 at2 H = 0 , (4.24)

( 1 a2 ) rot rot + c2 at2 E = 0 . (4.25)

II campo elettrico e il campo magnetico sono esprimibili come sovrappo­sizione di onde monocromatiche tramite il teorema di Fourier:

H = Re 100 H(r,w)e-iwtdw,

E = Re 100 E(r,w)e-iwtdw,

( 4.26)

( 4.27)

dove l'ampiezza dell'armonica di pulsazione we una funzione delle coordinate spaziali e dipende dalle caratteristiche delle sorgenti del campo elettromagneti­co. Ciascuna componente armonica deve soddisfare alle equazioni (4.22-4.27); ponendo in queste equazioni

H = H(r,w) e- iwt , (4.28)

E = E(r,w) e- iwt , ( 4.29)

si ottiene il seguente sistema di equazioni nelle quali il tempo t non compare esplicitamente e k = w / c:

w rotH = -i-E == -ikE,

c

rotE = i~H = ikH, c

rot rot E - k2 E = 0 .

(4.30)

(4.31)

( 4.32)

(4.33)

Esse ci consentono di mettere in evidenza pili agevolmente alcune propri­eta generali delle soluzioni delle equazioni di Maxwell che dipendono dalla coordinata r.

4.2 Radiazione di multi polo 99

4.2.5 Parita orbit ale del campo elettrico e del campo magnetico associati

L'operatore (rot rot - k 2 ) ha parita definita (specificamente e pari) e Ie soluzioni delle equazioni (4.30-4.33) possono essere sia pari sia dispari. In­dichiamo Ie due specie nel modo seguente: pari:

dispari:

E+ = E(r) = E(-r) ,

H+ = H(r) = H(-r) ,

E_ = E(r) = -E( -r),

H_ = H(r) = -H( -r).

Poiche l'operatore rot e dispari, per la (4.30), se He pari, E e dispari; se H e dispari, E e pari. Pertanto campo elettrico e campo magnetico associati hanno parita opposta:

(4.34)

( 4.35)

La parita in discussione e indipendente dalle sorgenti del campo ed e, quindi, la parita orbitale.

4.2.6 Campi di multipolo

Si hanno due diverse soluzioni delle equazioni di Maxwell a seconda che si assuma il campo elettrico come soluzione della (4.33) e il campo magnetico derivato da esso tramite la (4.31), oppure se si assume il campo magnetico come soluzione della (4.32) e il campo elettrico derivato da esso tramite la (4.30).

i) II campo elettrico E soluzione dell'equazione (4.33) puo essere espresso come combinazione lineare di campi di multipolo EL,M

00 L

E = L L aL,MEL,M,

L=OM=-L

(4.36)

dove i coefficienti aL,M dipendono dalle sorgenti della radiazione (vedi par. 4.3) e il vettore

100 4 Decadimento 'Y

1 EL,M = krf(L, M, r)XL,M(e, cp) (4.37)

e il campo di multiplo di or dine L, M. I fattori che compaiono nella (4.37) sono COS! definiti:

x - L YL,M(e, cp) L,M - JL(L + 1)

sono Ie armoniche sferiche vettoriali;

L = r x p = -ir x grad

e il momento angolare;

(4.38)

(4.39)

(4.40)

sono Ie funzioni armoniche sferiche1 e f(L,M,r) e la soluzione dell'equazione

con il seguente andamento asintotico:

f --+ ei [kr-(7r/2)Ll. r--+oo

Le (4.38-4.40) implicano Ie seguenti proprieta delle componenti EL,M del campo elettrico:

a) EL,M e autofunzione del quadrato del momento angolare e della sua terza componente:

con -L :::; M :::; L. Vale a dire, la componente EL,M del campo elettrico ''trasporta'' un momento angolare orbit ale nL con componente sull'asse z uguale a nM.

b) La parita di EL,M e uguale alIa parita di YL,M(e, cp), cioe Po = (_l)L; la parita Po e indipendente dalle sorgenti del multipolo e rappresenta la parita orbitale.

1 Le armoniche sferiche dei primi ordini so no Ie seguenti:

Yo 0 = (...l..)! , 471" 1 ±"

Y1,±1 = +- U~J "2 sin e e "'P

y; = (-1!L)! sin 2 e e±2i'P 2,±2 3271"

4.2 Radiazione di multipolo 101

c) Poiche Yo,o = costante, Eo,o = 0; ossia non c'e campo di multipolo con L=O.

d) Poiche r x grad YL,M((), r.p)

e ortogonale a r, EL,M e perpendicolare a r; ossia, il vettore EL,M ha componente nulla lungo r.

Per la (4.31), il campo magnetico associato a EL,M e

( 4.41)

Tenuto conto delle proprieta dell'operatore rot e di quelle del vettore EL,M, risulta che

a) la parita orbitale di HL,M e Po = (-l)L+1, ossia e opposta a quella di EL,M, conformemente aIle (4.34-4.35),

b) Ho,o = 0, c) HL,M ha una componente radiale. 2

La coppia di campi di multipolo associati

ET M = k1 f(L, M, r) XL M((), r.p) , r ' ( 4.42)

non radiale, Po = (_l)L;

( 4.43)

radiale P = (_1)L+1 , 0 ,

prende il nome di campo di multipolo magnetico di ordine L, M . I momenti con L = 1 sono chiamati "di dipolo"; quelli con L = 2, "di quadrupolo", quelli con L = 3, "di ottupolo", ecc.

ii) In modo simile al caso i), se si considera H come soluzione dell'equazione (4.32) e il campo E ad esso associato in conformita alIa (4.30), si ottiene la coppia di campi di multipolo associati

( 4.44)

2 Il rotore di un vettore in coordinate polari ha la seguente espressione:

A _I [fJ (. ()A) fJAe] 1 [ 1 fJAr fJ(rA<p)] rot - r sin 0 fJO sm 0 -""""8cP U r + r sin 0 """"8cP -~ Ui/ + +1 [fJ(rAe ) _ £.dx.] u

r fJr fJO 'P

Anche se Ar = 0, (rot A)r i= O.

102 4 Decadimento 'Y

radiale P = (_1)L+1 , 0 ,

HiM = k1 f(L,M,r)XLM(B,'P) , r ' ( 4.45)

non radiale, Po = (-l)L , che prende il nome di campo di multipolo elettrico di ordine L,M. Le proprieta formali di Ei M (di Hi M) sono uguali a quelle di HL'M (di EL',M)' " ,

4.2.7 Parita intrinseca

Consideriamo ora l'equazione (4.20), che mette in relazione il campo elettrico con Ie sue sorgenti. Se eseguiamo l'inversione delle coordinate della sorgente (r' --+ -r'), la densita di corrente J cambia segno e, per l'omogeneita dei termini di questa equazione, anche il vettore campo elettrico E deve cambiare segno. Questa proprieta definisce la parita intrinseca Pin del vettore campo elettrico: diremo che esso e intrinsecamente dispari (Pin = -1). In modo analogo, dalla (4.19) si deduce che il campo magnetico H non cambia segno per l'inversione r' --+ -r', perche ha Ie stesse proprieta di rot J ; diremo che il campo magnetico e intrinsecamente pari (Pin = +1).

4.2.8 Parita totale

La parita totale e data dall'effetto combinato delle inversioni di coordinate r --+ -r e r' --+ -r', ossia dal prodotto della parita orbit ale e della parita intrinseca. Tenendo conto dei risultati dei precedenti paragrafi, la parita totale P dei campi di multipolo risulta definita come nella tab. 4.1.

Tabella 4.1. Paritd totale.

Pin Po P = PinPo

El,M -1 (_1)£+1 ( _l)L

Hl,M +1 ( _l)L ( _l)L

EL,M -1 ( _l)L (_1)L+1

HL',M +1 (_1)£+1 (_1)£+1

I vettori campo elettrico e campo magnetico della radiazione di multipolo elettrico hanno Ie stessa parita totale, cosl come i due campi della radiazione di multipolo magnetico. In entrambi i casi la parita totale coincide con la parita orbit ale del campo magnetico.

4.2 Radiazione di multi polo 103

4.2.9 Dipolo di radiazione elettrica e di radiazione magnetica

Chiariamo Ie precedenti considerazioni formali mediante fig. 4.4 relativa ai campi di multipolo elettrico e magnetico generati da un dipolo elettrico e da un dipolo magnetico oscillanti. Nel caso del dipolo elettrico la radiazione e di multipolo elettrico con L = 1 e la parita totale e (-1) 1 = -1; nel caso del dipolo magnetico, la radiazione e di multipolo magnetico con L = 1 e la parita e (_1)2 = +1. La parita totale dei campi e messa in evidenza graficamente in fig. 4.4 dalla differente orientazione del campo E reale e del suo speculare e dalla uguale orientazione del campo H reale e del suo speculare.

4.2.10 Regole di selezione

I principi di conservazione del momento angolare e della parita espressi dalle (4.9-4.10) e Ie proprieta dei campi di multipolo comportano restrizioni sulla radiazione che puo essere emessa nei decadimenti dei nuclei, dette regale di se­leziane. Per quanta dipende dalla conservazione della parita esse sono riassunte in tab. 4.2 dove e sta per (E'L M' M'L M ) e m sta per (ET M' MT M)·

Per una transizione con v~iazione' della spin nucleare d~ J i a J~, il numero quantico L puo assumere i valori

Tenuto conto anche delle restrizioni su L imposte dalla conservazione della parita (tab. 4.2), i multipoli con minima valore di L che possono essere emessi sono indicati in tab. 4.3. I momenti di multipolo (elettrico e magnetico) del campo di radiazione elettrica sono indicati con eL, dove L e il pili piccolo valore del momento angolare orbit ale compatibile con la parita indicata e con il valore di IJi - Jfl indicato; i momenti di multipolo del campo di radiazione magnetica sono indicati con mL.

Tabella 4.2. Conservazione della parittl. Pi, Pf e P,,! sono Ie parittl del nucleo iniziale, di quello finale e del quanta di radiazione emesso nella transizione fra i due nuclei, rispettivamente.

P,,! e m

P=(_l)L P=(_l)L+l

Pi =Pf +1 L =pari L =dispari

Pi = -Pf -1 L =dispari L =pari

Chiariamo il significato di tab. 4.3 considerando alcuni casi particolari. Se si ha una transizione fra due livelli nucleari con J i = Jf = 1, il momento

104 4 Decadimento 'Y

corrente uscente dal foglio

n

H

z

Specchio

Fig. 4.4. ParitO, totale del campo magnetico generato da un dipolo magnetico asso­ciato a una corrente circolare oscillante (a sinistra) e del campo elettrico generato da un dipolo elettrico oscillante (a destra). In alto i campi reali e in basso i campi speculari. La corrente speculare ha 10 stesso verso della corrente reale rispetto al­l'asse z; il dipolo speculare e orientato in verso opposto a quello reale . Pertanto , passando dai sistemi fisici reali, (campo magnetico e spira, campo elettrico e dipolo) a quelli speculari si ha H -+ H , E -+ - E. I due sistemi hanno simmetria cilindrica attorno all'asse z e quindi sono invarianti per rotazione di 1800 attorno a tale asse . Di conseguenza la rifiessione speculare coincide con la paritiL totale.

4.3 Le sorgenti del campo elettromagnetico 105

Tabella 4.3. Regale di seleziane. e1 sta per (EtM, HtM), m1 sta per (Er,M, Hr,M), ecc.

o 1 2 3

+1 e2m1 e2m3 e4m3

-1 e1m2 e3m2 e3m4

angolare puo valere L = 0,1,2, rna la radiazione elettromagnetica non puo avere L = 0; quindi il valore minimo del momento angolare e L = 1; se i due livelli nucleari hanno la stessa parita (non importa se +10 -1), aHora P y = + 1 e, per la tab. 4.2, il quanta puo essere un dipolo di radiazione magnetica ml o un quadrupolo di radiazione elettrica e2. Se Ji = 3 e Jf = 1, aHora puo essere L = 2, 3, 4. Se P"{ = +1 , per L = 2 puo essere emesso un momento di quadrupolo di radiazione elettrica e2 0 un ottupolo di radiazione magnetica m3.

Va sottolineato che non puo avvenire emissione 'Y in transizioni fra stati con Ji = Jf = 0 perche in tali casi si ha L=O. Esempi di transizioni fra livelli eccitati nucleari con emissione di differenti campi di multipolo sono dati in fig. 4.5.

4.3 Le sorgenti del campo elettromagnetico

Generalizzando l'eq. (4.36), un campo elettromagnetico generico puo essere sviluppato in termini di multipolo come segue:

CXJ L

E = z= z= [a1,ME1,M + aT,MET,MJ ' ( 4.46) L=1 M=-L

CXJ L

H = z= z= [a1,MH1,M +aT,MHT,MJ, ( 4.47) L=1 M=-L

dove E = E(r,w) H = H(r,w)

e Ie ampiezze aL,M dei multipoli sono determinate daHe sorgenti del campo elettromagnetico.

Se Ie sorgenti sono costituite da distribuzioni di cariche elettriche e di correnti variabili periodicamente nel tempo, ossia:

106 4 Decadimento 'Y

J P

11/2- 225 5.314 (l,()15

151MI 5.379 1.4 ,",4(1 98.8 M1-E2 £2

1103,0 5.433 13,6

4M~ MH:2 103

25.35 S1 t 59.51 5.476 84.3

5U7 E1 !33,2M1-E2 7tH SUO 5.503 0,24

512+ 5,535

237 Np ... 4He

Fig. 4.5. Emissione di radiazione di dipolo magnetico (Ml) e di quadrupolo elettrico (E2) osservata nel decadimento di livelli eccitati del 237 Np prodotti dal decadimento Dc dell' 241 Am, I numeri situati vicino alle trecce sono Ie energie dei'Y in ke V.

J(r', t) = J(r',w) Reeiwt ,

( 4.48) p(r', t) = p(r', w) Re eiwt ,

aHora si puo dimostrare che i coefficienti sono dati daHe seguenti relazioni valide per kd « 1, dove d3 e un piccolo volume contenente tutte Ie sorgenti3 :

e _ 471" (L+1)1/2 kL+2Q aL,M - - (2L+1)!! --y;- L,M,

( 4.49)

3 Poiche k = 27r/).. ::; 5101Oem- 1 (vedi par, 4,1) e d ha Ie dimensioni del raggio nucleare, d ~ A1/ 3 1O-13 cm ::; 610- 13 em, risulta kd::; 310- 2 ,

4.4 Energia della radiazione elettromagnetica 107

m _ 47r (L+1)1/2 kL+2 M aL,M - (2L+1)!! ---y;- L,M,

(4.50) M - J Ly* (() ) div (rxJ) )dV L,M - - r L,M ,CP c(L+1) .

QL,M e detto momento di multipolo elettrico; ML,M e detto momento di mul­tipolo magnetico.4 Se la sorgente e costituita da una distribuzione di momenti magnetici (0 densita di magnetizzazione) variabile periodicamente nel tempo,

M(r',t) = M(r',w) Reeiwt , (4.51)

nelle (4.49-4.50) Ie quantita Q L,M e ML,M vanno sostituite con Ie seguenti:

Q~M = _Lik jrLYLM((),cp)div(r x M)dV, , + 1 ' ( 4.52)

( 4.53)

4.4 Energia della radiazione elettromagnetica

L'energia nell'unita di tempo attraverso l'unita di superficie nella direzione r (0 flusso di potenza) trasportata da un'onda elettromagnetica di pulsazione w e data dal modulo del vettore di Poynting:

c S=-IExHI

47f

E e H sono espressi dalle (4.28) e (4.29). A grande distanza dalla sorgente E e H sono perpendicolari fra loro e alla direzione di propagazione reS assume l'espressione:

(4.54)

4 Ricordiamo che il momento magnetico element are generato da un elemento d£ di una spira circolare percorsa dalla corrente i e dato dalla relazione

dm = (1/2) i r x d£,

dove r e un vettore che va dal centro della spira all'elemento d£. Se la spira ha sezione dB e J e la densita di corrente, si ha anche

dm = (1/2) J dB r x d£ = (1/2) r x J dv,

dove dv e un volume element are della spira. Dalla precedente relazione si ottiene infine l'intensita di magnetizzazione 0 momento magnetico per unit a di volume

M = dm/dv = (1/2)r x J.

che compare nella (4.50).

108 4 Decadimento 'Y

Diamo ora alcuni risultati, senza dimostrazione, dell'applicazione della (4.54) alIa radiazione di multipolo. Per Ie (4.42), (4.44), (4.46) e (4.49) e per Ie (4.43), (4.45), (4.47) e (4.50) l'energia emessa al secondo entro un an­golo solido dD da una radiazione di multipolo elettrico e da una radiazione di multipolo magnetico e data dalle seguenti relazioni (limitatamente a sorgenti costituite da cariche e da correnti)

dove

Ue(L, M; D) dD = 2:k2ZL,M (8, rp) laL,Ml2 dD,

Um(L,M; D) dD = 2:k2ZL,M (8, rp) laT,M1 2 dD,

1 [ M(M+1)] 1 12 1 [ M(M-1)] 1 12 +2 1 - L(L+1) YL,M+1 + 2 1- L(L+1) YL,M-1 .

(4.55)

( 4.56)

( 4.57)

La funzione Z descrive la distribuzione angolare della radiazione di mul­tipolo rispetto a un asse z orientato come 10 spin del nucleo; essa e illustrata graficamente per i casi con L = 1 e 2 in fig. 4.6. Va sottolineato che tale distribuzione e osservabile solo se si osserva la diseccitazione di un elevato numero di nuclei e se questi sono polarizzati, cioe con 10 spin orientato in una direzione determinata, per esempio, tramite un campo magnetico esterno. Nel caso di nuclei non polarizzati, la distribuzione osservata e isotropa.

L'energia totale emessa al secondo e data dall'integrale delle (4.55-4.56) su tutto l'angolo solido:

(4.58)

( 4.59)

Finora abbiamo trattato la radiazione elettromagnetica in termini classici, os­sia come un fenomeno ondulatorio con emissione continua di energia. Tuttavia, nella diseccitazione dei nuclei la radiazione viene emessa in modo discreto sotto forma di quanti di energia hv == 1iw == nck. Teniamo conto dell'aspetto quan­tistico dell'emissione calcolando la probabilita di emissione per unita di tempo di un quanta 'Y come rapporto fra l'energia totale espressa dalle (4.58-4.59) e l'energia del 'Y stesso; tenuto conto delle (4.49-4.50) e di sorgenti costituite anche da momenti magnetici (vedi Ie (4.52-4.53)), si ha

Ue(L M) 87r (L + 1) k2L+1 2 T e - '- -IQ +Q' I L,M - 1iw - L [(2L + 1)!!]2 n L,M L,M' (4.60)

4.4 Energia della radiazione elettromagnetica 109

z

'ct=>, (b)

Ix ±212 (e) 2

Fig. 4.6. Distribuzione angolare dell'intensitd ZL,M (8, cp) di alcuni campi di mul­tipolo. Le distribuzioni hanno simmetria cilindrica attorno all'asse z. La dipendenza da 8 e esplicitata dalle seguenti relazioni:

IX2,±11 2 = (5/167r) (1 - 3 cos2 8 + 4 cos4 8)

IX2,±21 2 = (5/167r) (1 - cos4 8)

(4.61)

In questa contesto Ie distribuzioni angolari date dalle (4.55-4.56) rappresen­tano Ie probabilita che un quanta I venga emesso entro un angolo solido dO.

Mostriamo ora che la probabilita di emissione per unita di tempo decresce molto rapidamente al crescere di L e che Tf'M jTL M « 1. A questo scopo facciamo una stima grossolana dell'intensita d~l multipolo elettrico e del mul­tipolo magnetico definiti dalle (4.49-4.50); se nella (4.49) poniamo YL,M ~ 1 e r ~ d (vedi par. 4.3), otteniamo

110 4 Decadimento 'Y

(4.62)

Se nella (4.50) poniamo YL,M R:j 1, r R:j d, div = a/ax + ... R:j l/d, otteniamo

M - J Ly* (8 ) div (rxJ) )dV L,M - - r L,M ,<p e(L+l)

R:j _dL - 1 e(L~1) [J r x J dVl (4.63)

_dL-1_1_ [eli-JLIL+i}] R:j _dL-l~ ~ c(L+l) 2Mp 2cMp .

dove si e approssimato l'integrale entro parentesi quadra con un momento magnetico espresso da un magnetone nucleare moltiplicato per il modulo del momento angolare. Tenendo conto delle (4.60-4.61) e delle (4.62-4.63), si vede che Ie probabilita di emissione dipendono da L come

T e ex (kd)2L L,M , (4.64)

( 4.65)

Poiche kd « 1, entrambe Ie probabilita decrescono molto rapidamente con L; cia significa che sono in pratica importanti solo Ie radiazioni di dipolo e di quadrupolo (L = 1, 2).

Poiche 1 < d < 6fm, per Ie (4.60), (4.61), (4.64) e (4.65) si ottiene

T= ()2 ( )2 L,M ~ eli 1 _ lie TI,M ~ 2eMp d (q=e)2 - 2e2 M p d

(4.66)

= (197.3MeV.fm )2 R:j 0.011 R:j 10-2 _ 3 .10-4 2·938 MeV· d d2

Quindi, a parita di L, la probabilita di emissione di un quanta di radiazione magnetica e molto minore di quella di un quanta di radiazione elettrica.

Bibliografia

1. J. M. Blatt e V. F. Weisskopf, Theoretical nuclear physics, John Wiley (1952) 2. J. D. Jackson, Classical electrodynamics, John Wiley (1967) 3. K. N. Mukhin, Experimental nuclear physics, Mir Publishers (1987)