Lezione 9 - fisica.unimi.it · – Esplicitare una costante G ... dal volume che questi possono...

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

I decadimenti β

Lezione 9

Ipotesi del neutrino

•  Radiazione β identificata con elettroni •  Decadimento: AZX→A

Z+1X+e- –  Inconsistente con conservazione dell’energia: –  ...e del momento angolare:

•  esistono transizioni tra nuclei senza cambio del momento angolare

•  ma e ha spin ½.

–  Ipotesi: Esiste una particella neutra invisibile (Pauli 1932) •  è un decadimento in 3 corpi: possibili diverse ripartizioni dell’energia •  la nuova particella deve avere spin ½

–  Deve essere un nuovo tipo di interazione: •  elettroni e neutrini vengono creati nel nucleo, ma non partecipano alle

interazioni tra nucleoni •  conservazione del numero leptonico:

–  differenza tra numero di particelle e anti-particelle –  posso solo creare coppie: o cambiare carica: –  Le interazioni conservano il numeo di nucleoni (numero barionico)

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 9 A. Andreazza - a.a. 2016/17 2

e− +ν e+ +ν e− ↔ν e+ ↔ν

Classificazione dei decadimenti β

•  I decadimenti β sono caratterizzati dalla trasformazione n→p oppure p→n –  A non cambia: transizioni tra isobari –  servono elettroni o positroni per conservare la carica

•  decadimenti β-: n→p+e-

–  Condizione cinematica:

•  decadimenti β+: p→n+e+

•  cattura elettronica: p+e-→n

•  Corollario: –  tra due isobari vicini sarà sempre possibile un decadimento : valle di stabilità –  se è possibile un decadimento β+ è anche possibile la cattura elettronica


Q = M (A,Z )−M (A,Z +1)−me > 0

Q = M (A,Z )−M (A,Z −1)−me > 0

Q = M (A,Z )+me −M (A,Z −1) > 0

masse nucleari

Q = m(A,Z )−m(A,Z +1) > 0 masse atomiche

m(A,Z ) > m(A,Z +1)

Q = m(A,Z )−m(A,Z −1)− 2me > 0m(A,Z ) > m(A,Z −1)+ 2me

Q = m(A,Z )−m(A,Z −1) > 0m(A,Z ) > m(A,Z −1)

Tavola dei Nuclidi


Stabile

β+

β-

β- AZX→AZ+1X

β+ AZX→AZ-1X

Larghezza del decadimento β

•  Possiamo derivare larghezza del decadimento β (sia differenziale che totale a partire dalla regola d’oro di Fermi: –  la probabilità di transizione da uno stato iniziale i, ad uno

stato finale f, causata dall’interazione con un interazione HW:

•  Dove compaiono:

–  l’elemento di matrice (ha le dimensioni di un’energia)

–  la densità di stati finali: (spazio delle fasi)

•  Prendiamo come esempio un decadimento β- •  Consideriamo il nucleo all’interno di un volume grande V


λ =2π!

f HW i 2 ρ Ef( )

f HW i

ρ Ef( ) = dN f / dE f

Krane, cap. 9

(Z,A)→ (Z +1,A)+ e− +νe

Dovremo verificare che i risultati non dipendano dalla scelta di V

La forma dell’interazione

•  Fermi ipotizza un’interazione di contatto:

•  L’interazione HW è normalizzata in modo da: –  Esplicitare una costante GF che parametrizzi l’intensità dell’interazione –  Rimanere con un operatore OX puramente adimensionale

•  Dopo questa normalizzazione l’elemento di matrice diventa:

•  In realtà Fermi ipotizza diversi operatori OX relativisticamente invarianti. •  Lo studio degli elementi di matrice permetterà di determinare la forma di OX


HW r,re,rν( ) = GF !c( )3OXδ r − re( )δ r − rν( )

f HW i = dr dre drν ψA,Z+1(r)ψe(re )ψν (rν )( )*HW r,re,rν( )ψA,Z (r)V∫

= GF !c( )3 dr dre drν ψA,Z+1(r)ψe(re )ψν (rν )( )*OXδ r − re( )δ r − rν( )ψA,Z (r)V∫

= GF !c( )3 dr ψA,Z+1(r)ψe(r)ψν (r)( )*OXψA,Z (r)V∫

Elemento di matrice

•  Supponiamo quindi un’interazione di contatto:

•  L’elettrone ed il neutrino uscenti avranno le funzioni d’onda di una particella libera con momento pe e pν:

–  L’argomento dell’integrale è diverso da zero solo in una regione di dimensione r0A1/3 di qualche fm.

–  I moduli di pe e pν sono dell’ordine di Q, ovvero al massimo qualche MeV. –  L’esponente ha quindi ordine di grandezza:

–  Si può sviluppare in serie:

•  Approssimazione dei “decadimenti permessi”: –  solo il primo termine dello sviluppo –  l’elemento di matrice è indipendente

dai momenti di e e ν.


f HW i = GF !c( )3 dr ψA,Z+1(r)ψe(r)ψν (r)( )* OX( )ψA,Z (r)V∫

ψe(r) =e−ipe⋅r/!

Vψν (r) =

e−ipν ⋅r/!

V⇒ ψe(r)ψν (r) =

e−i(pe+pν )⋅r/!

Vnormalizzazione: dr ψ(r) 2

V∫

Qr0!~ 1MeV×1 fm200 MeV ⋅ fm

~10−2

f HW i = GF !c( )3

VdrψA,Z+1(r)* OX( )ψA,Z (r)

V∫

e−i(pe+pν )⋅r/! =1− i (pe +pν ) ⋅ r!

−12(pe +pν ) ⋅ r!

#

$%

&

'(2

+…

Elemento di matrice

•  Con la normalizzazione usata:

–  l’integrale è adimensionale

–  si vede che GF ha dimensioni [GF]=[E-2]

La misura di Mfi per diversi decadimenti potrà determinare la forma corretta di OX.


f HW i = GF!3c3

VdrψA,Z+1(r)* OX( )ψA,Z (r)

V∫

M fi = drψA,Z+1(r)* OX( )ψA,Z (r)V∫

OX = HW /GF (!c)3

f HW i = GF !c( )3

VM fi

Spazio delle fasi

•  Lo stato finale è praticamente definito solo da e e ν: –  il momento del nucleo di rinculo è univocamente definito una volta noti pe e pν

–  Il nucleo compensa il momento totale, portantosi una frazione piccola dell’energia:

–  qualunque combinazione di pe e pν è accettabile purché soddisfi il vincolo Q=Te+Tν

–  La massa del neutrino è molto piccola: •  vedremo che misure dirette forniscono mν<2 eV •  Tν=Eν=pνc

•  Il numero di stati finali per elettroni con un certo modulo del momento è dato dal volume che questi possono occupare spazio delle fasi diviso per la costante di Planck h=2πħ

•  Lo stesso vale per i neutrini:


Enucleo ≈pe +pν( )2

2Mnucleo

=O Q2

Mnucleo

"

#$

%

&'=Q×O 10−3 −10−5( )

dNe =V × 4π pe

2dpe(2π!)3

dNν =V × 4π pν

2dpν(2π!)3

Spazio delle fasi

•  Il termine di spazio delle fasi diventa quindi:

–  con la condizione che Ef=Ee+Eν

–  Una relazione utile tra i differenziali relativistici si ricava da:

–  Inoltre:

•  Possiamo esprimere ρ(Ef) in termini: –  del momento dell’elettrone

–  dell’energia dell’elettrone

–  dell’energia cinetica dell’elettrone: •  Nel seguito useremo preferenzialmente

quest’ultima.


ρ(Ef ) =dNdEf

= dNedNν

dEf

=V × 4π pe

2dpe(2π!)3

V × 4π pν2

(2π!)3dpνdEf

p2 +m2 = E 2 ⇒ 2pdpc2 = 2EdE pdp = 1c2EdE

pνdpνdEf

=Eνc2

dEνdEf

=Eνc2

d(Ef −Ee )dEf

=Eνc2

ρ(Ef ) =(4π )2V 2

(2π!)6c2pe2pνEνdpe

ρ(Ef ) =(4π )2V 2

(2π!)6c4peEepνEνdEe

ρ(Ef ) =(4π )2V 2

(2π!)6c4pe Te +mec

2( ) pνEνdTe

Eν =Q−Te pe = Te2 + 2mTe

(4π )2V 2

(2π!)6c4pe Te +mec

2( ) pνEνdTeGF2!6c6

V 2 M fi2

Larghezza di decadimento

•  Tornando alla regola d’oro di Fermi: •  Mettendo assieme tutti i fattori si ottiene una

probabilità di decadimento differenziale:

–  che è indipendente dal volume V

•  In realtà non si può trascurare l’interazione coulombiana elettrone-nucleo

–  Dà una correzione all’elemento di matrice, calcolabile numericamente F(Z,Te)

•  La forma dello spettro dell’elettrone è da:


dλ = 2π!

λ =2π!

f HW i 2 ρ Ef( )

dλ = GF2c2

2π 3!M fi

2pe Te +mec

2( ) pνEνdTe

1λdλdTe

∝ pe Te +mec2( ) pνEνF(Z,Te )

•  Definiamo l’integrale adimensionale:

•  La probabilità di decadimento è

f (Z,Q) =

=1

(mec2 )5

pec Te +mec2( ) pνEνF(Z,Te )dTe0

Q∫

λ =GF2 (mc2 )5

2π 3!M fi

2f Z,Q( )

Correzione Coulombiana


6429Cu

6428Ni Q=653 keV 64

30Zn Q=579 keV

β- β+

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/beta2.html

Decadimento β

•  Riassumendo: –  lo spazio delle fasi del decadimento in tre corpi dà la

distribuzione differenziale di energia degli elettroni:

•  Se mν=0, pνcEν=Eν2=(Q-Te)2

–  La larghezza totale è:

•  dove:


dλdTe

=GF2c2

2π 3!M fi

2pe mec

2 +Te( ) pνEνF Z,Te( ) dλdpe

=GF2c4

2π 3!M fi

2pe2pνEνF Z,Te( )

dλdTe

=GF2c

2π 3!M fi

2pe mec

2 +Te( ) Q−Te( )2 F Z,Te( )

λ =GF2 M fi

2mec

2( )5

2π 3!f Z,Q( )

f Z,Q( ) = d Temec

2

!

"#

$

%&pemec

1+ Temec

2

!

"#

$

%&Q−Temec

2

!

"#

$

%&

2

F Z,Te( )0

Q/mec2

∫

Misura della massa del νe


•  In un decadimento beta

•  il limite cinematico per l’energia osservabile dell’elettrone è

–  il Q-valore della reazione è calcolato per massa nulla del ν.

•  Lo spettro di energia dell’elettrone è dato da (mantenendo tutti i fattori dimensionali):

•  mν dallo spettro vicino al limite di energia, usando la trasformazione: plot di Kurie

•  Se mν d≠0

(Z,A)→ (Z +1,A)+ e− +νe

Te,max =m(Z,A)−m(Z +1,A)−mν =Q−mν

K(E) = dλ dTeF Z,Te( ) peTe

!

"##

$

%&&

12

∝ Q−Te( )

Eν pνc

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.96.042503

187Re

dλdTe

=GF2 me

5c2π 3!

M fi2F Z,Te( ) pe mec

2 +Te( )

× Q−Te( ) Q−Te( )2 −mν2c4!

"#$

12

∝ Q−Te( ) Q−Te( )2 −mν2#

$%&

12

'()

*)

+,)

-)

12

Misure di mνe dal decadimento di 3H


Facciamo alcune considerazioni sulle formule precedenti. •  Rate:

se siamo interessati ad esplorare una zona ΔE intorno all’end-point, vediamo che la frazione di eventi rilevante è: siccome ΔE sarà dell’ordine del limite che si vuole raggiungere, è importante avere un Q-value il più basso possibile;

•  Intensità della sorgente: il tasso di eventi dipende dalla dimenzione della sorgente e dalla vita media: avere N troppo grande crea problemi di autointerazione con la sorgente, quindi ci si orienta verso τ brevi.

•  I due requisiti sono in parte in contraddizione, dato che

•  Risoluzione: la risoluzione energetica σE sarà comparabile al limite di massa accessibile. Avere un basso Q, permette di avere risoluzione energetiche moderate:

•  Il decadimento esclusivo in questo campo di ricerca è quello del trizio:

3

5

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ=

Δ××Δ≈

Γ

Δ

QE

QEQEdEdNE

τN

dtdN

=

51 Q∝τ

3 H→ 3 He+ e− +νe

Q =18.574 keVT1 2 =12.3 yr

Qm

EE νσ≈

Opzionale



Lo spettro di energia e l’accettanza che ci interessa impongono dei vincoli piuttosto forti agli apparati: •  Se siamo interessati ad esplorare un

range di circa 10 eV intorno al limite dello spettro, la frazione di elettroni che ci interessa è di bisogna quindi eliminare gli elettroni non interessanti, altrimenti soffocherebbero il segnale.

•  Elettroni di qualche decina di keV vengono assorbiti in pochi cm di aria o in poche decine di µm in un altro materiale.

•  Bisogna quindi ridurre al minimo: –  le perdite di energia all’interno della

sorgente; –  le perdite di energia nel percorso tra

sorgente e rivelatore.

•  Risoluzioni energetiche di pochi eV e con non possono venire raggiunte in base alla risposta di un rivelatore.

•  L’unico apparato in grado di soddisfare tutti questi requisiti è un analizzatore magnetico.

Range di elettroni in aria

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.008 0.013 0.018 0.023 0.028

Energia cinetica [MeV]

Rang

e [c

m]

http://physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/contents.html

103

105.1 −×≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

QE

410−≈EEσ

Opzionale



•  La tecnica usata dagli esperimenti più recenti (Mainz, Troitsk, Karlsruhe) è quella degli specchi magnetici. –  In campo magnetico non uniforme è costante del moto:

•  momento magnetico della corrente dell’elettrone •  proporzionale al flusso di B nella spira sottesa dall’elettrone.

–  elettroni emessi dalla sorgente seguono le linee del campo magnetico;

–  la maggior parte di questi viene riflessa indietro alla seconda strozzatura;

–  l’energia minima per raggiungere il rivelatore viene modulata dal potenziale degli elettrodi.

mνe <2 eV Esperimento di Troitsk, Phys. Rev. D 84, 112003, 2011 http://arxiv.org/abs/1108.5034

µ =p⊥2

2meγB

KArlsruhe TRItiun Neutrino experiment

Opzionale

Spettrometro di KATRIN


Opzionale

Osservazione del neutrino


•  Fino ad ora abbiamo visto solo evidenza indiretta del neutrino •  La prima rivelazione diretta del neutrino fu fatta da

Reines e Cowan nel 1956 •  Utilizzarono la reazione di decadimento β inverso

–  La sorgente di antineutrini utilizzata fu un reattore nucleare

•  fra i prodotti della fissione ci sono emettitori β a vita media breve

•  Osservazioni: –  la sezione d’urto d’interazioni di neutrini è molto piccola

–  Ė relativamente facile costruire un bersaglio attivo di massa elevata che contiene protoni liberi (H)

νe + p→ e+ + n

σν p ≈ 5.6GF2Eν2 !c( )2

π

Esperimento di Reines e Cowan


•  Il segnale da rivelare è relativamente semplice –  l’antineutrino interagisce con il protone

•  vengono prodotti un positrone e un neutrone •  il positrone si annichila con un elettrone

e produce due fotoni •  i fotoni a loro volta producono altri elettroni

per effetto compton •  Quanto descritto è rapidissimo, pressocchè

istantaneo: segnale prompt •  Il neutrone compie numerosi urti elastici e

rallenta –  Con un certo ritardo avviene la cattura

di un neutrone da parte di un nucleo

–  Viene emesso anche in questo caso un fotone

•  alla fine elettroni e positroni •  Segnale ritardato

νe + p→ n + e+

e+ + e− → γ + γ

γ + e− → γ ' + e−

n + p→ d + γ n + ZAX → Z

A+1X + γ

Opzionale

•  Il segnale è pertanto una coincidenza ritardata (di circa 1 ms ) fra: –  il segnale dovuto all’annichilazione del positrone –  il segnale dovuto alla rivelazione dei fotoni

della cattura del neutrone

•  La tecnica viene utilizzata anche oggi come mostrato nella figura proveniente da un articolo dell’esperimento Chooz che cerca le oscillazioni di neutrino†

•  †M. Apollonio et al. – Eur. Phys. J. C27 p 331 (2003)

Esperimento di Reines e Cowan


Opzionale

Spin isotopico

•  Abbiamo visto che le interazioni nucleari sono identiche tra neutroni a protoni –  differenze dovute alla interazioni elettromagnetiche

•  Possiamo assumere che per le interazioni forti esista una unica particella: –  il nucleone N –  che può trovarsi in due stati di carica, p ed n –  in pratica ha un grado di libertà interno, come lo spin: –  spin isotopico I: N ha I=1/2, ed i due stati p I3=+1/2, n I3=-1/2

•  Questo grado di libertà interno, dovrebbe dare due stati degeneri:

–  degenerazione rotta dalla carica:

•  Sistemi di nucleoni possono trovarsi in stati ben definiti di spin isotopico: –  deutone: esiste in unico stato di carica: I=0

•  essendo il nucleone un fermione la funzione d’onda deve essere antisimmetrica •  Funzione d’onda orbitale per L=0,2 è simmetrica •  Funzione d’onda di spin per S=1 è simmetrica •  Funzione d’onda di spin isotopico, per I=0, è antisimmetrica:


Q =A2+ I3, A = numero di massa

p = 10( ), n = 0

1( )

12

p n − n p( )

Spin isopico

•  Esempio: I=1/2

•  Esempio: I=1, I=0

•  Per questi nuclei, decadimenti β tra membri di un multipletto sono mediati dagli operatori I± che trasformano p⇔n


17F I3=+1/2, Jπ=5/2+ 17O I3=-1/2, Jπ=5/2+

14O I3=+1, Jπ=0+

Excess mass 8.0 MeV

14N* I3=0, Jπ=0+

Excess mass 5.2 MeV

14C I3=-1, Jπ=0+

Excess mass 3.0 MeV

14N I3=0, Jπ=1+

Excess mass 2.9 MeV

Determinazione della costante di Fermi


•  Nella maggior parte dei casi, si usa il tempo di decadimento per stimare l’elemento di matrice.

•  Esistono particolari decadimenti in cui per ragioni di simmetria si può valutare con precisione Mfi=√2.

•  Sono tutti decadimenti β+, tra elementi di un tripletto di spin isotopico con Jπ=0+:

•  Sono sempre in competizione con cattura elettronica o altri stati finali:

•  Infine, invece della vita media, è tradizione usare il tempo di dimezzamento: •  La costante di Fermi nel decadimento β si ricava dunque a partire dal valore

misurato ft:

Γ =1τ

BR1+PEC

2ln2/1 τ=t

ft = f Z ,Q( ) t1/2BR 1+ PEC( ) = ln 2 π 3!

GF2 mec

2( )5

Γtotale

frazione di decadimenti β 0+→0+

frazione di decadimenti per EC

I− I = 1, I3 = +1 = 2 I = 1, I3 = 0 , I− I = 1, I3 = 0 = 2 I = 1, I3 = −1

Decadimenti super-permessi


Correzioni e-nucleo e struttura nucleare.

GF = 1.14962± 0.00015( )×10−5GeV-2

I3=+1

I3= 0

Riassunto

•  Nel decadimento β, un elettrone ed un neutrino vengono prodotti all’interno del nucleo. –  cinematicamente il nucleo bilancia il momento, ma riceve poca energia.

•  La prima teoria del decadimento β di Fermi: interazione di contatto. •  Calcolo della probabilità di decadimento dalla “regola d’oro”

–  intensità dell’interazione data da una costante GF=1.1×10-5 GeV-2

–  nei decadimenti “permessi” l’elemento di matrice non dipende (in prima approssimazione) dal momento di elettrone e neutrino

–  lo spettro del decadimento viene descritto completamente dal termine di spazio delle fasi.

•  In alcune transizioni l’elemento di matrice è quasi calcolabile: –  concetto di spin isotopico (o isospin) e misura della costante di Fermi

•  Prime proprietà del neutrino: –  massa: mν< 2 eV (decadimento del trizio: 3H→3He) –  sezione d’urto (esperimento di Reines e Cowan)


ESERCIZI


Esercizio 9.1

Trascurando l’interazione coulombiana tra elettrone (o positrone) e nucleo, la probabilità di decadimento differenziale per i decadimenti β permessi è data dalla formula: Trovare un’espressione approssimata dello spettro di energia per decadimenti in tre corpi:

•  nei due casi limite in cui Q≪mec2 e in cui Q≫mec2

•  Calcolare la larghezza di decadimento totale nei due casi •  Per entrambi stimare 〈Te〉 e mostrare che vale Q/3 nel primo

caso e Q/2 nel secondo.


dλdTe

=GF2c

2π 3!M fi

2 pe mec2 +Te( ) Q −Te( )2

Esercizio 9.2

Data la sezione d’urto:

–  assumendo che tale sezione d’urto sia indipendente dallo stato legato di p in un nucleo, calcolare il libero cammino medio in Fe di un anti-neutrino di 1 MeV.

Considerando un reattore nucleare di 700 MW –  quante fissioni avvengono al secondo? –  qual è l’ordine di grandezza di energia e flusso degli anti-neutrini a

10 m dal reattore? –  Quante interazioni per ora sono attese in 200 l di H20?

(considerare l’interazione solo con H)


σ ν p→ e+n( ) ≈ 5.6GF2Eν2 !c( )2

π

Lezione 9 - fisica.unimi.it · – Esplicitare una costante G ... dal volume che questi possono...

Documents

Transcript of Lezione 9 - fisica.unimi.it · – Esplicitare una costante G ... dal volume che questi possono...