UNIENSEÑA Estructuras

UNIENSEÑA Estructuras

Curso

Análisis Matricial de Estructuras

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASIng. Waldo Inga Docente JP UNI/FIC-CIP:194293

2

1. ARMADURAS

1.1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO BIARTICULADO

i: nodo inicial (𝑥𝑖; 𝑦𝑖)j: nodo final (𝑥𝑗; 𝑦𝑗)

Δx=𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 → 𝑐𝑥 =∆𝑥

𝐿= 𝑐𝑜𝑠𝜃

Δy= 𝑦𝑗 − 𝑦𝑖 → 𝑐𝑦 =∆𝑦

𝐿= 𝑠𝑒𝑛𝜃

L: longitud del elemento

𝐿 = ∆𝑥2 + ∆𝑦2

La matriz de rigidez se genera realizando desplazamientos unitarios uno a la vez en cada uno de los grados de libertad de

la barra en estudio.

4GDL, se tienen 2GDl por nodo. Los GDL

son solo en desplazamientos.


3

1. ARMADURAS


𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑁: 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑁𝐿

𝐸𝐴

𝑁 =𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑥

𝐹11 = 𝐹31 = 𝐹 = 𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑥2

𝐹21 = 𝐹41 = 𝑁𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦

𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑥2

𝐸𝐴


−𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑥2

−𝐸𝐴



4

1. ARMADURAS


𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑁: 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑁𝐿

𝐸𝐴

𝑁 =𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑦

𝐹12 = 𝐹32 = 𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝐸𝐴


𝐹22 = 𝐹42 = 𝐹 = 𝑁𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑦2

𝐸𝐴


𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑦2

−𝐸𝐴


−𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑦2


5

1. ARMADURAS


𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑁: 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑁𝐿

𝐸𝐴

𝑁 =𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑥

𝐹13 = 𝐹33 = 𝐹 = 𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑥2

𝐹23 = 𝐹43 = 𝑁𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝐸𝐴


−𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑥2

−𝐸𝐴


𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑥2

𝐸𝐴



6

1. ARMADURAS


𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑁: 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑁𝐿

𝐸𝐴

𝑁 =𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑦

𝐹14 = 𝐹34 = 𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝐸𝐴


𝐹44 = 𝐹24 = 𝐹 = 𝑁𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑦2

−𝐸𝐴


−𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑦2

𝐸𝐴


𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑦2


7

1. ARMADURAS


1 2 3 4

𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑥2

𝐸𝐴


−𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑥2

−𝐸𝐴


1

𝐸𝐴


𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑦2

−𝐸𝐴


−𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑦2 2

−𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑥2

−𝐸𝐴


𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑥2

𝐸𝐴


3

−𝐸𝐴


−𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑦2

𝐸𝐴


𝐸𝐴

𝐿𝑐𝑦2 4

𝐾 =


8

1. ARMADURAS

1.2. GRADOS DE LIBERTAD LOCALES Y GLOBALES

Los grados de libertad globales corresponden a la estructura

en su totalidad, que esta conformada de varios elementos

biarticulados (GDL 1 2 3 4 5 6 7 8)

Los grados de libertad locales

corresponden a un solo elemento

biarticulado (GDL 1 2 3 4)


9

1. ARMADURAS

1.3. ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

La matriz de rigidez global de una estructura es la

contribución de cada elemento del que esta compuesta. El

ensamble de la matriz de rigidez se realiza con la

nomenclaturas de los grados de libertad locales y globales

correspondientes.

ElementoGDL local 1 2 3 4

AB 0 0 1 2

FC 7 8 3 4

BC 1 2 3 4

AF 0 0 7 8

⁞


10

1. ARMADURAS

1.4. VECTORES FUERZA Y DESPLAZAMIENTO

El vector fuerza, es aquel que

organiza todas las fuerzas

puntuales en los grados de

libertad considerados en el

análisis.FBx FCx

FD

FFy

𝐹 =

𝐹𝐵𝑥0𝐹𝐶𝑥0𝐹𝐷𝑥−𝐹𝐷𝑦0

−𝐹𝐹𝑦

12345678


11

1. ARMADURAS

1.4. VECTORES FUERZA Y DESPLAZAMIENTO

El vector desplazamiento, es aquel

que se genera debido a las fuerzas y a

la rigidez de la estructura en general.

Este vector representa la deformación

que se origina en cada grado de

libertad considerado.

𝑈 =

𝑢𝐵𝑥𝑢𝐵𝑦𝑢𝐶𝑥𝑢𝐶𝑦𝑢𝐷𝑥𝑢𝐷𝑦𝑢𝐹𝑥𝑢𝐹𝑦

12345678

𝐹 = 𝐾𝑈F: vector fuerza

K: matriz de rigidezU: vector desplazamiento


12

1. ARMADURAS

Ejemplo 1.1) Determinar los desplazamientos de los nudos y las fuerzas internas en el siguiente reticulado de acero

estructural. Considerar E=2.1x10⁷tonf/m², todas las barras tienen una sección transversal de 5cm².


13

1. ARMADURAS

Solución 1.1) Se define un sistema de coordenadas y los grados de libertad de la estructura global. Así mismo, se calculan

las coordenadas de cada nudo (A, B, C, D y E).

Nudo X (m) Y (m)

A 0 0

B 0 4

C 4 4

D 8 0

E 4 0


14

1. ARMADURAS

Se calculan las matrices de rigidez de cada elemento y su respectivos grados de libertad locales y globales.

Elemento AB

E : 2.10E+07 tonf/m² elasticidad del material

A : 0.001 m² sección transversal

Nudo i Nudo j

(m) (m)

x 0.00 0.00

y 0.00 4.00

cx 0.000 cy 1.000

1 2 3 4 GDL local GDL global

0.00 0.00 0.00 0.00 1 0

0.00 2625.00 0.00 -2625.00 2 0

0.00 0.00 0.00 0.00 3 6

0.00 -2625.00 0.00 2625.00 4 7

CoordenadasLongitud

L (m)

EA/L

(tonf/m)

4.000 2625.00

KAB=


15

1. ARMADURAS

Elemento BC



Nudo i Nudo j

(m) (m)

x 0.00 4.00

y 4.00 4.00

cx 1.000 cy 0.000


2625.00 0.00 -2625.00 0.00 1 6

0.00 0.00 0.00 0.00 2 7

-2625.00 0.00 2625.00 0.00 3 4

0.00 0.00 0.00 0.00 4 5

CoordenadasLongitud

L (m)

EA/L

(tonf/m)

4.000 2625.00

KBC=


16

1. ARMADURAS

Elemento CD



Nudo i Nudo j

(m) (m)

x 4.00 8.00

y 4.00 0.00

cx 0.707 cy -0.707


928.08 -928.08 -928.08 928.08 1 4

-928.08 928.08 928.08 -928.08 2 5

-928.08 928.08 928.08 -928.08 3 1

928.08 -928.08 -928.08 928.08 4 0

CoordenadasLongitud

L (m)

EA/L

(tonf/m)

5.657 1856.16

KCD=


17

1. ARMADURAS

Elemento ED



Nudo i Nudo j

(m) (m)

x 4.00 8.00

y 0.00 0.00

cx 1.000 cy 0.000


2625.00 0.00 -2625.00 0.00 1 2

0.00 0.00 0.00 0.00 2 3

-2625.00 0.00 2625.00 0.00 3 1

0.00 0.00 0.00 0.00 4 0

CoordenadasLongitud

L (m)

EA/L

(tonf/m)

4.000 2625.00

KED=


18

1. ARMADURAS

Elemento AE



Nudo i Nudo j

(m) (m)

x 0.00 4.00

y 0.00 0.00

cx 1.000 cy 0.000


2625.00 0.00 -2625.00 0.00 1 0

0.00 0.00 0.00 0.00 2 0

-2625.00 0.00 2625.00 0.00 3 2

0.00 0.00 0.00 0.00 4 3

CoordenadasLongitud

L (m)

EA/L

(tonf/m)

4.000 2625.00

KAE=


19

1. ARMADURAS

Elemento BE



Nudo i Nudo j

(m) (m)

x 0.00 4.00

y 4.00 0.00

cx 0.707 cy -0.707


928.08 -928.08 -928.08 928.08 1 6

-928.08 928.08 928.08 -928.08 2 7

-928.08 928.08 928.08 -928.08 3 2

928.08 -928.08 -928.08 928.08 4 3

CoordenadasLongitud

L (m)

EA/L

(tonf/m)

5.657 1856.16

KBE=


20

1. ARMADURAS

Elemento EC



Nudo i Nudo j

(m) (m)

x 4.00 4.00

y 0.00 4.00

cx 0.000 cy 1.000


0.00 0.00 0.00 0.00 1 2

0.00 2625.00 0.00 -2625.00 2 3

0.00 0.00 0.00 0.00 3 4

0.00 -2625.00 0.00 2625.00 4 5

CoordenadasLongitud

L (m)

EA/L

(tonf/m)

4.000 2625.00

KEC=


21

1. ARMADURAS

Se realiza el ensamble de la matriz de rigidez global con los grados de libertad numerados en cada elemento.

1 2 3 4 5 6 7

3553.08 -2625.00 0.00 -928.08 928.08 0.00 0.00 1

-2625.00 6178.08 -928.08 0.00 0.00 -928.08 928.08 2

0.00 -928.08 928.08 0.00 -2625.00 928.08 -928.08 3

K= -928.08 0.00 0.00 3553.08 -928.08 -2625.00 0.00 4

928.08 0.00 -2625.00 -928.08 3553.08 0.00 0.00 5

0.00 -928.08 928.08 -2625.00 0.00 3553.08 -928.08 6

0.00 928.08 -928.08 0.00 0.00 -928.08 3553.08 7


22

1. ARMADURAS

Se realiza el cálculo del vector de fuerzas. Recordar que las fuerzas deberán estar aplicadas en los nodos y sus signos van

a depender de las direcciones de los grados de libertad considerados.

𝐹 =

00

−5𝑡𝑜𝑛𝑓−2.828𝑡𝑜𝑛𝑓−2.828𝑡𝑜𝑛𝑓

8𝑡𝑜𝑛𝑓0

𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕

Las fuerzas inclinadas se deberán

descomponer en X e Y.


23

1. ARMADURAS

Ahora se calculan los desplazamientos en cada grado de libertad considerado con la siguiente ecuación F=KU.

1 2 3 4 5 6 7

3553.08 -2625.00 0.00 -928.08 928.08 0.00 0.00 1 0 1 0.004446 1

-2625.00 6178.08 -928.08 0.00 0.00 -928.08 928.08 2 0 2 0.001970 2

0.00 -928.08 3553.08 0.00 -2625.00 928.08 -928.08 3 -5 3 -0.008185 3

K= -928.08 0.00 0.00 3553.08 -928.08 -2625.00 0.00 4 F= -2.828 4 U= 0.004665 4

928.08 0.00 -2625.00 -928.08 3553.08 0.00 0.00 5 -2.828 5 -0.006786 5

0.00 -928.08 928.08 -2625.00 0.00 3553.08 -928.08 6 8 6 0.008218 6

0.00 928.08 -928.08 0.00 0.00 -928.08 3553.08 7 0 7 -0.000506 7


24

1. ARMADURAS

A continuación se presentan los desplazamientos de los GDL usando el programa de cómputo SAP2000.


25

1. ARMADURAS

Para el cálculo de las fuerzas internas en los elementos, se debe multiplicar la matriz de rigidez de cada elemento por las

deformaciones correspondientes a los GDL correspondientes.

1 2 3 4 GDL local GDL global U (m) F (tonf)

0.00 0.00 0.00 0.00 1 0 0 0.000

0.00 2625.00 0.00 -2625.00 2 0 0 1.328

0.00 0.00 0.00 0.00 3 6 0.008218 0.000

0.00 -2625.00 0.00 2625.00 4 7 -0.000506 -1.328

KAB=

𝑵 = 𝒄𝒙𝑭𝟑 + 𝒄𝒚𝑭𝟒 = −𝒄𝒙𝑭𝟏 − 𝒄𝒚𝑭𝟐𝑵 = 𝟎 𝟎 + 𝟏 −𝟏. 𝟑𝟐𝟖 = −𝟏. 𝟑𝟐𝟖𝒕𝒐𝒏𝒇

Nudo i Nudo j

(m) (m)

x 0.00 0.00

y 0.00 4.00

cx 0.000 cy 1.000

CoordenadasLongitud

L (m)

EA/L

(tonf/m)

4.000 2625.00

El signo negativo (-) indica que el elemento está a compresión.


26

1. ARMADURAS

A continuación se presentan las fuerzas axiales (N) usando el programa de cómputo SAP2000.


27

1. ARMADURAS

1.5. DEFORMACIÓN POR CAMBIOS DE TEMPERATURA

Para un aumento de la temperatura

La barra se estira, para equilibrar se

aplica una fuerza de compresión No

𝑓𝑜(𝑡)

= 𝐸𝐴𝛼(∆𝑇)

𝑐𝑥𝑐𝑦−𝑐𝑥−𝑐𝑦

𝑓𝑜(𝑡)

= −𝐸𝐴𝛼(∆𝑇)


Para un decremento de la temperatura

La barra se comprime, para equilibrar

se aplica una fuerza de tracción No


28

1. ARMADURAS

Ejemplo 1.2) Determinar los desplazamientos del nudo B debido a las fuerzas indicadas y a un cambio de temperatura

para todas las barras de +50°C. Considerar E=2.1x10⁷tonf/m², todas las barras tienen una sección transversal de 4cm² y un

coeficiente de dilatación térmico de 1.2x10^-5°C^-1.


29

1. ARMADURAS

Solución 1.2) Elemento AB



Nudo i Nudo j

(m) (m)

x 0.00 4.00

y 3.00 3.00

cx 1.000 cy 0.000


2100.00 0.00 -2100.00 0.00 1 0

0.00 0.00 0.00 0.00 2 0

-2100.00 0.00 2100.00 0.00 3 1

0.00 0.00 0.00 0.00 4 2

Elemento CB



Nudo i Nudo j

(m) (m)

x 0.00 4.00

y 0.00 3.00

cx 0.800 cy 0.600


1075.20 806.40 -1075.20 -806.40 1 0

806.40 604.80 -806.40 -604.80 2 0

-1075.20 -806.40 1075.20 806.40 3 1

-806.40 -604.80 806.40 604.80 4 2

5.000 1680.00

KCB=

KAB=

CoordenadasLongitud

L (m)

EA/L

(tonf/m)

4.000 2100.00

CoordenadasLongitud

L (m)

EA/L

(tonf/m)

Matriz de rigidez global (ensamblada)

1 2

3175.20 806.40 1

806.40 604.80 2K=


30

1. ARMADURAS

Vector fuerzas

Fuerzas=Fuerzas puntuales-Fuerzas ficticias debido al cambio de temperatura𝐹 = 𝐹𝑝 − 𝐹𝑜

𝑓𝑜(𝐴𝐵)

= 𝐸𝐴𝛼 ∆𝑇


= 2.1𝑥107 4𝑥10−4 1.2𝑥10−5 50

10−10

=

5.040

−5.040

𝟎𝟎𝟏𝟐

𝑓𝑜(𝐶𝐵)

= 𝐸𝐴𝛼 ∆𝑇


= 2.1𝑥107 4𝑥10−4 1.2𝑥10−5 50

0.80.6−0.8−0.6

=

4.0323.024−4.032−3.024

𝟎𝟎𝟏𝟐

𝐹𝑝 =4−5

𝟏𝟐

𝐹 = 𝐹𝑝 − 𝑓𝑜 =4−5

−−9.072−3.024

=13.072−1.976

𝟏𝟐

𝑓𝑜(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙)

=−5.040

+−4.032−3.024

=−9.072−3.024

𝟏𝟐


31

1. ARMADURAS

Vector desplazamientos 𝑭 = 𝑲𝑼1 2

3175.20 806.40 1 13.072 1 0.00748 1

806.40 604.80 2 -1.976 2 -0.01324 2F= U=K=


32

1. ARMADURAS

1.6. DEFORMACIÓN POR ASENTAMIENTO DE UN APOYO

Se deben agrupar los desplazamientos conocidos y desconocidos, así como las fuerzas conocidas y desconocidas.

𝐴 𝐵𝐶 𝐷

𝑈𝑑𝑒𝑠𝑐𝑈𝑐𝑜𝑛𝑐

=𝐹𝑐𝑜𝑛𝑐𝐹𝑑𝑒𝑠𝑐

En los desplazamientos conocidos (Udesc) se encuentran los asentamientos que se generan

en los apoyos.𝐴𝑈𝑑𝑒𝑠𝑐 + 𝐵𝑈𝑑𝑒𝑠𝑐 = 𝐹𝑐𝑜𝑛𝑐


33

1. ARMADURAS

Ejemplo 1.3) Determinar los desplazamientos del nudo B debido a las fuerzas indicadas y a un asentamiento del apoyo C

de 0.5cm verticalmente hacia abajo. Considerar E=2.1x10⁷tonf/m², todas las barras tienen una sección transversal de 4cm².


34

1. ARMADURAS

Se calcula la matriz de rigidez de la estructura global

para los grados de libertad considerados.

Elemento AB



Nudo i Nudo j

(m) (m)

x 0.00 4.00

y 3.00 3.00

cx 1.000 cy 0.000


2100.00 0.00 -2100.00 0.00 1 5

0.00 0.00 0.00 0.00 2 6

-2100.00 0.00 2100.00 0.00 3 1

0.00 0.00 0.00 0.00 4 2

Elemento CB



Nudo i Nudo j

(m) (m)

x 0.00 4.00

y 0.00 3.00

cx 0.800 cy 0.600


1075.20 806.40 -1075.20 -806.40 1 4

806.40 604.80 -806.40 -604.80 2 3

-1075.20 -806.40 1075.20 806.40 3 1

-806.40 -604.80 806.40 604.80 4 2

5.000 1680.00

KCB=

4.000 2100.00

KAB=

CoordenadasLongitud

L (m)

EA/L

(tonf/m)

CoordenadasLongitud

L (m)

EA/L

(tonf/m)


35

1. ARMADURAS

1 2 3 4 5 6

3175.20 806.40 -806.40 -1075.20 -2100.00 0.00 1 u1 1 4 1

806.40 604.80 -604.80 -806.40 0.00 0.00 2 u2 2 -5 2

-806.40 -604.80 604.80 806.40 0.00 0.00 3 -0.005 3 F3 3

-1075.20 -806.40 806.40 1075.20 0.00 0.00 4 0 4 F4 4

-2100.00 0.00 0.00 0.00 2100.00 0.00 5 0 5 F5 5

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6 0 6 F6 6

3175.20 806.40 u1 -806.40 -1075.20 -2100.00 0.00 -0.005 4

806.40 604.80 u2 -604.80 -806.40 0.00 0.00 0 -5

0

0

u1 0.00508

u2 -0.02004

F=

+ =

=

K= U=

Desplazamientos:

Realizando operaciones con matrices se pueden calcular los desplazamientos u1 y u2.


36

1. ARMADURAS

Comparación de

desplazamientos con

SAP2000


37

2. VIGAS

2.1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO VIGA

La matriz de rigidez se genera realizando desplazamientos unitarios uno a la vez en cada uno de los grados de libertad de

la viga en estudio.

6GDL, se tienen 3GDL por nodo. Los GDL son de desplazamientos y

rotaciones.

i: nodo inicial

j: nodo final


38

2. VIGAS

𝑀𝑖𝑗 =2𝐸𝐼

𝐿(2𝜃𝑖 + 𝜃𝑗 − 3

∆

𝐿)

Se pueden utilizar las expresiones del método de Deformaciones Angulares para el cálculo de las fuerzas en los extremos

de la viga para las deformaciones unitarias establecidas.

Para un desplazamiento unitario en el GDL 2.

−𝐹3=2𝐸𝐼

𝐿2 0 + (0) − 3

1

𝐿→ 𝐹3 =

6𝐸𝐼

𝐿2

−𝐹6=2𝐸𝐼

𝐿2 0 + (0) − 3

1

𝐿→ 𝐹6 =

6𝐸𝐼

𝐿2

∑𝑀𝑖 = 0; 𝐹5 𝐿 + 𝐹3+𝐹6= 0

𝐹5 = −12𝐸𝐼

𝐿3; 𝐹2 =

12𝐸𝐼

𝐿3

𝜃𝑖 = 0

𝜃𝑗 = 0


39

2. VIGAS

𝐹1 = −𝐹4 =𝐸𝐴

𝐿𝐹2 = 𝐹3 = 𝐹5 = 𝐹6 = 0

𝐹2 = −𝐹5 =12𝐸𝐼

𝐿3

𝐹3 = 𝐹6 =6𝐸𝐼

𝐿2; 𝐹1 = 𝐹4 = 0

𝐹2 = −𝐹5 =6𝐸𝐼

𝐿2

𝐹3 =4𝐸𝐼

𝐿; 𝐹6 =

2𝐸𝐼

𝐿; 𝐹1 = 𝐹4 = 0


40

2. VIGAS

𝐹4 = −𝐹1 =𝐸𝐴

𝐿𝐹2 = 𝐹3 = 𝐹5 = 𝐹6 = 0

𝐹5 = −𝐹2 =12𝐸𝐼

𝐿3

𝐹3 = 𝐹6 =−6𝐸𝐼

𝐿2; 𝐹1 = 𝐹4 = 0

𝐹2 = −𝐹5 =6𝐸𝐼

𝐿2

𝐹3 =2𝐸𝐼

𝐿; 𝐹6 =

4𝐸𝐼

𝐿; 𝐹1 = 𝐹4 = 0


41

2. VIGAS

𝐾𝑣𝑖𝑔𝑎 =

𝐸𝐴

𝐿0 0

𝐸𝐴

𝐿0 0

012𝐸𝐼

𝐿36𝐸𝐼

𝐿20 −

12𝐸𝐼

𝐿36𝐸𝐼

𝐿2

06𝐸𝐼

𝐿24𝐸𝐼

𝐿0 −

6𝐸𝐼

𝐿22𝐸𝐼

𝐿𝐸𝐴

𝐿0 0

𝐸𝐴

𝐿0 0

0 −12𝐸𝐼

𝐿3−6𝐸𝐼

𝐿20

12𝐸𝐼

𝐿3−6𝐸𝐼

𝐿2

06𝐸𝐼

𝐿22𝐸𝐼

𝐿0 −

6𝐸𝐼

𝐿24𝐸𝐼

𝐿

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

Finalmente se puede obtener la matriz de rigidez de un elemento viga.


42

2. VIGAS

En estos elementos viga es muy común no tener en cuenta las deformaciones axiales, por tanto la matriz de rigidez se

reduce a una de 4x4. Para la viga en estudio eliminamos los grados de libertad 1 y 4.


𝐸𝐴

𝐿0 0

𝐸𝐴

𝐿0 0

012𝐸𝐼

𝐿36𝐸𝐼

𝐿20 −

12𝐸𝐼

𝐿36𝐸𝐼

𝐿2

06𝐸𝐼

𝐿24𝐸𝐼

𝐿0 −

6𝐸𝐼

𝐿22𝐸𝐼

𝐿𝐸𝐴

𝐿0 0

𝐸𝐴

𝐿0 0

0 −12𝐸𝐼

𝐿3−6𝐸𝐼

𝐿20

12𝐸𝐼

𝐿3−6𝐸𝐼

𝐿2

06𝐸𝐼

𝐿22𝐸𝐼

𝐿0 −

6𝐸𝐼

𝐿24𝐸𝐼

𝐿

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6


12𝐸𝐼

𝐿36𝐸𝐼

𝐿2−12𝐸𝐼

𝐿36𝐸𝐼

𝐿2

6𝐸𝐼

𝐿24𝐸𝐼

𝐿−6𝐸𝐼

𝐿22𝐸𝐼

𝐿

−12𝐸𝐼

𝐿3−6𝐸𝐼

𝐿212𝐸𝐼

𝐿3−6𝐸𝐼

𝐿2

6𝐸𝐼

𝐿22𝐸𝐼

𝐿−6𝐸𝐼

𝐿24𝐸𝐼

𝐿

1 2 3 4

1

2

3

4


43

2. VIGAS

2.2. GRADOS DE LIBERTAD LOCALES Y GLOBALES

UNIENSEÑA Estructuras

Documents

Transcript of UNIENSEÑA Estructuras