Una nuova trasformazione: lomotetia 1 Dati un punto O del piano α e un numero reale k 0, si dice...
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Una nuova trasformazione: l’omotetia 1 Dati un punto O del piano α e un numero reale k ≠ 0, si dice omotetia di centro O e rapporto k la trasformazione del piano in sé che associa ad ogni punto P di α il punto P’ di α tale che: O, P, P’ siano allineati OP’ ≅ |k| OP P’ appartenga alla semiretta OP se k > 0 (omotetia diretta) P’ appartenga alla semiretta opposta ad OP se k < 0 (omotetia inversa) L’omotetia diretta viene indicata con il simbolo ω o,k , quella inversa con ω o,- k . Se k = 1 l’omotetia coincide con l’identità, infatti quindi P’ coincide con P. 1 OP OP Se k = -1 l’omotetia coincide con la simmetria centrale, infatti e i segmenti OP’ e OP sono opposti. 1 OP OP Definizione
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Una nuova trasformazione: l’omotetia
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Dati un punto O del piano α e un numero reale k ≠ 0, si dice omotetia di centro O e rapporto k la trasformazione del piano in sé che associa ad ogni punto P di α il punto P’ di α tale che: O, P, P’ siano allineati OP’ ≅ |k| OP P’ appartenga alla semiretta OP se k > 0 (omotetia diretta) P’ appartenga alla semiretta opposta ad OP se k < 0 (omotetia inversa)
L’omotetia diretta viene indicata con il simbolo ωo,k, quella inversa con ωo,-k.
Se k = 1 l’omotetia coincide con l’identità, infatti quindi P’ coincide con P.1OP
OP
Se k = -1 l’omotetia coincide con la simmetria centrale, infatti e i segmenti OP’ e OP sono opposti.
1OP
OP
Definizione
Una nuova trasformazione: l’omotetia
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Esempio
Il rapporto di omotetia è negativo (-½), quindi i punti omotetici A’, B’, C’ si trovano sulle semirette opposte a OA, OB e OC.
OA’ = ½ OA
OB’ = ½ OB
OC’ = ½ OC
Troviamo i corrispondenti dei vertici:
ESEMPIO
Dato il triangolo ABC costruiamo A’B’C’ = ωo,-½ (ABC)
Una nuova trasformazione: l’omotetia
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Proprietà
L’omotetia gode delle seguenti proprietà:
• trasforma una retta r in una retta r’ ad essa parallela
• trasforma un angolo in un angolo ad esso congruente con i lati paralleli e concordi se k > 0, paralleli e discordi se k < 0.
• trasforma una semiretta in una semiretta parallela concorde se k > 0, parallela discorde se k < 0
k > 0 k < 0
• trasforma un segmento AB in un segmento A’B’ ad esso parallelo tale che A’B’ ≅ |k| AB
k > 0 k < 0
Una nuova trasformazione: l’omotetia
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Proprietà
CONSEGUENZE:
Inoltre:
• se |k| > 1 si ottiene un ingrandimento della figura
• se k ≠ 1 il solo punto unito della trasformazione è il centro O
• ogni retta passante per il centro è unita ma non è una retta di punti uniti
• il rapporto tra i perimetri di due poligoni omotetici è |k|
• il rapporto fra le aree di due poligoni omotetici è k2
se due poligoni si corrispondono in una omotetia, allora hanno i lati omologhi paralleli e di rapporto |k| e gli angoli omologhi congruenti.
• se |k| < 1 si ottiene una riduzione
Una nuova trasformazione: l’omotetia
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Prodotto di omotetie
Se le due omotetie hanno centri diversi P e Q, allora:
Componendo due omotetie entrambe di centro O e rapporti rispettivamente h e k si ottiene ancora una omotetia di centro O e rapporto hk.
• se hk = 1 si ottiene una traslazione
Una nuova trasformazione: l’omotetia Prodotto di omotetie
• se hk = -1 si ottiene una simmetria centrale il cui centro è allineato con P e Q
• se |hk| ≠ 1 si ottiene una omotetia di rapporto hk il cui centro è allineato con P e Q
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Una nuova trasformazione: l’omotetia
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Prodotto di omotetie
ESEMPIO
I triangoli A’’B’’C’’ e ABC si corrispondono nell’omotetia di rapporto k = 2 · ⅓ = ⅔ e di centro O, intersezione di AA’’ con BB’’.
I punti P, O e Q sono allineati e CC” passa per O.
Dato un triangolo ABC e le omotetie ωP,2 e ωQ,⅓, costruiamo A’B’C’ = ωP,2 (ABC) e successivamente
A’’B’’C’’ = ωQ,⅓ (A’B’C’).
