Tutoraggio di Analisi Matematica 2canali A-H, I-Z

Scheda 6 di esercizi, 9 novembre 2012

1) Studiare continuita, derivabilita e differenziabilita in (0, 0) della funzione

f(x, y) =

cos(xy) + (x2 + y2) sin

(1

x2+y2

)se (x, y) = (0, 0)

1 se (x, y) = (0, 0) .

2) Sia

f(x) = −αx2 + y2 +x4

4,

con α ∈ IR. Al variare del parametro α ∈ IR,

i) trovare i punti critici di f e dire se si tratta di punti di massimo o minimo relativo,o di sella;

ii) determinare f(IR2).

Inoltre, per α = 1, determinare massimo e minimo assoluti di f nell’insieme

P = {(x, y) ∈ IR2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2} .

3) Data la funzione F (x, y) = x2 − x+ y4 si osservi che F (0, 1) = 1. Inoltre

i) si dica se l’equazione F (x, y) = 1 definisce implicitamente una unica funzione y =f(x) in un intorno del punto x0 = 0, tale che f(0) = 1;

ii) determinare lo sviluppo di Taylor di f(x) in un intorno del punto x0 = 0 del IIordine, e usarlo per calcolare

limx→0

f(x)− 1− 14x

x2.

1