Appunti del corso di Analisi Matematica Anno Accademico ... · INTRODUZIONE Questi sono gli appunti...

Universita degli Studi di Bologna

Scuola di Economia Management e Statistica

Corso di Laurea in Scienze Statistiche

Appunti del corso diAnalisi Matematica

Anno Accademico 2013–2014

prof. Daniele Ritelli

a

f HaL

b

f HbL

x

y

s (f, σ) :=n∑

i=1

mi (xi − xi−1)

6 ottobre 2013

INDICE

0 Insiemi, Relazioni, Funzioni 1

0.1 Alfabeto greco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2 Il linguaggio degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.3 Prodotto cartesiano, relazioni e funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.4.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.4.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 Numeri Reali 11

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Campo dei razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Ordinamento e Operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Valore Assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Proprieta archimedea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7 Induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Fattoriali e coefficienti binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9 Disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.9.1 Disugualianza di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.9.2 Disugualianza di Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9.3 Disuguaglianza aritmetico geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.10.1 Numeri naturali e principio di induzione: esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . 28

1.10.2 Numeri naturali e principio di induzione: esercizi proposti . . . . . . . . . . . . 34

1.10.3 Numeri razionali, irrazionali e reali: esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.10.4 Numeri razionali, irrazionali e reali: esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . 38

iv INDICE

2 Successioni 41

2.1 Definizioni e generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.1 Progressioni aritmetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.2 Progressioni geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Successioni convergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 Successioni infinitesime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4 Algebra delle successioni convergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5 Limiti e disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.6 Successioni divergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.7 Successioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.7.1 Il numero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.7.2 La funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.7.3 Estrazione di radice quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.7.4 Il criterio del rapporto per le successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.8 Teorema di Bolzano Weierstrass, Successioni di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.9 Forme indeterminate: Regole di Stolz-Cesaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.10.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


3 Serie 83

3.1 Definizioni e generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2 Alcune serie calcolabili esplicitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.1 Serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.2 Serie di Mengoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3 Serie a termini positivi: criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3.1 Criterio generale di convergenza e sue conseguenze . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3.2 I criteri della radice, del rapporto e di Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.3.3 Criterio di condensazione e serie armonica generalizzata . . . . . . . . . . . . . 92

3.4 Serie a termini alterni, convergenza assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.5 La funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.6.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


4 Limiti e continuita 105

4.1 Funzioni reali di una variabile reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.2 Algebra delle funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.3 Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.4 Limiti destri e sinistri. Limiti all’infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.5 Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.6 Continuita delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.6.1 Funzioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

INDICE v

4.6.2 Funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.7 Discontinuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.8 Teoremi fondamentali sulle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.8.1 Esistenza degli zeri. Valori intermedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.8.2 Esistenza degli estremi. Teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.9 Continuita della funzione composta e della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.9.1 Radice n-esima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.9.2 Logaritmo naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.9.3 Inverse delle funzioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.9.4 Esponenziali e logaritmi di base qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.10 Limiti fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.11 Uniforme continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.12 Punti fissi di funzioni contrattive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.13 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134


5 Calcolo differenziale 137

5.1 Funzioni derivabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.2 Derivate delle funzioni fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.2.1 Funzione monomia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.2.2 Funzione esponenziale di base e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.2.3 Funzione esponenziale di base qualunque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.2.4 Funzione logaritmo naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.2.5 Funzione seno goniometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.2.6 Funzione coseno goniometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.2.7 Funzione tangente goniometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.3 Retta tangente ad una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.4 Il teorema di Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.5 Derivate successive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.6 Derivabilita nel senso di Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.7 Derivata della funzione composta e derivata dell’inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.7.1 Derivata della funzione composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.7.2 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.7.3 Potenza con esponente reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.7.4 Derivata della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.7.5 Derivate successive della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.8 I risultati fondamentali sulle funzioni derivabili in un intervallo . . . . . . . . . . . . . 155

5.8.1 Teoremi di Fermat e Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.8.2 I Teoremi di Lagrange e Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.8.3 Monotonia e segno della derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.8.4 Ricerca di massimi e minimi con il criterio della derivata seconda . . . . . . . . 160

5.8.5 Il teorema della derivata nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.9 Forme indeterminate. Teoremi di de l’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

vi INDICE

5.10 Funzioni convesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.10.1 Applicazioni della nozione di convessita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.11 Il metodo di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.12 Polinomi osculatori. Teoremi di Taylor McLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.12.1 Simboli di Bachmann-Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.13 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

INTRODUZIONE

Questi sono gli appunti che ho steso per preparare il corso di Analisi Matematica, presso la laureatriennale in Scienze Statistiche dell’Universita di Bologna per l’anno accademico 2013/2014. Mi sonoispirato liberamente ai seguenti manuali [CS74, Bra06, How01, Apo74, Bro96, Ros13, Zor04, GL06,AB97, Wad04, Giu03, Pin73, Loy06, Kir95, HW08, Lan94, Gil92, MS96] oltre che alle mie precedentiesperienze didattiche piu che ventennali nelle (allora) Facolta di Economia, [RBT05].

Chiedo indulgenza al lettore/studente, si tratta di un work in progress in attesa, se le future mievicende accademiche lo renderanno, come spero e mia auguro, possibile, di preparare un manualeche supporti pienamente il corso di Analisi Matematica per la laurea triennale in Scienze Statistichepresso l’Universita di Bologna. Ci saranno sicuramente errori, refusi e ripetizioni, che si sistemerannosolo con la pratica didattica negli anni. Inoltre e molto importante, che lo studente non stampiimmediatamente l’intero documento, ci saranno aggiornamenti dello stesso durante il corso: invitolo studente a controllare su http://campus.cib.unibo.it/ se la versione di cui e in possesso sia lapiu aggiornata prima di stampare. Allo stato attuale, per ragioni di rapidita, la materia qui espostae presentata molto sinteticamente: ad oggi non sono presentate con particolare dettaglio le partidiscorsive, espositive e storiche che tratto durante le lezioni in aula e mancano ancora due capitolisull’integrazione e le serie di potenze che conto di rendere disponibili entro la fine del corso. Questiappunti contengono comunque tutto quello che a priori vorrei trattare nel corso, spesso (sempre?) larealta dell’aula ridimensiona i miei buoni propositi, tuttavia ho scelto di presentare tutto il materiale inmio posesso, sperando che qualche studente interessato sia incuriosito dagli argomenti che per qualcheragione non hanno trovato spazio in classe.

Concludo con un paio di riflessioni.

Fra gli studenti, a seconda del tipo di formazione, c’e certamente chi ha trattato alcuni temi chesaranno al centro di questi corso: il calcolo di limiti, la derivazione delle funzioni, il calcolo di integrali.Qualche studente potrebbe domandarsi perche ripetere queste cose in un corso di Analisi Matematica?La risposta e duplice: anche se qualche risultato dovesse essere stato dimostrato e probabile che gliaspetti piu sottili, come la completezza dei numeri reali, l’uniforme continuita, siano stati trascurati.Nella sostanza le abilita che vengono conseguite nelle scuole superiori sono, nella maggioranza deicasi, di tipo puramente computazionale. In questo corso invece l’Analisi Matematica verra presentata

viii INDICE

dettagliatamente, con lo scopo di mettere lo studente nella condizione di produrre autonomamente lesue dimostrazioni.

Ogni teoria matematica rigorosa parte da alcune nozioni non definite su cui si basa la teoriae alcune proprieta postulate, che sono chiamate assiomi, che sono assunte per vere senza darne ladimostrazione. Il nostro studio e basato sulle nozioni primitive di insieme e di numeri reali e su alcunipostulati che introdurremo nei primi due capitoli.

Bologna 6 ottobre 2013

Appunti composti in LATEX 2ε

CAPITOLO 0

INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI

0.1 Alfabeto greco

Nel corso molte volte, indicheremo alcune quantita numeriche usando, come e tradizione in Matematica, lelettere dell’alfabeto greco. Per questa ragione le richiamiamo esplicitamente.

alfa α A iota ι I rho ρ P

beta β B cappa κ K sigma σ Σ

gamma γ Γ lambda λ Λ tau τ T

delta δ ∆ mu (mi) µ M iupsilon υ Υ

epsilon ε E nu (ni) ν N fi ϕ Φ

zeta ζ Z csi ξ Ξ chi χ X

eta η H omicron o O psi ψ Ψ

teta ϑ Θ pi π Π omega ω Ω

0.2 Il linguaggio degli insiemi

In questo corso avremo la necessita di lavorare con la nozione di insieme. Pertanto prima di iniziare e benefissare un minimo di terminologia, notazione e proprieta che saranno utili per tutto il seguito. In ogni casovogliamo ridurre nel nostro cammino le nozioni di teoria degli insiemi al minimo indispensabile per i nostriscopi. Per approfondimenti suggeriamo [NS92].

Le nozioni di insieme, oggetto e appartenenza sono intuitive. Gli insiemi saranno per noi collezioni di oggetti,che per i nostri interessi saranno la maggior parte delle volte dei numeri.

Per introdurre la nozione di insieme in modo rigoroso usiamo tre assiomi.

A1 Assioma di esistenza

“Esiste ameno un insieme”

2 0. Insiemi, Relazioni, Funzioni

A2 Assioma di estensionalita fra insiemi

“Due insiemi A e B sono uguali, A = B, se ogni oggetto che appartiene ad A appartiene anchea B e viceversa ogni oggetto che appartiene a B appartiene anche ad A”

A3 Assioma di specificazione

“Per ogni insieme A e per ogni condizione P, esiste l’insieme B costituito da tutti e soli glioggetti di A che soddisfano la condizione P. L’assioma A2 ne assicura l’unicita”

La proprieta caratteristica non necessariamente e unica. Infatti l’insieme costituito dalle lettere a, c, o, spuo essere per esempio ottenuto come le lettere della parola “caso” ma anche con le lettere della parola “sacco”.

Se A e un insieme e a e un elemento di A scriviamo a ∈ A e leggiamo la formula dicendo a appartiene adA. Se a non e elemento di A scriviamo a /∈ A e leggiamo a non appartiene ad A. Gli insiemi possono esseredescritti elencando i loro elementi all’interno di parentesi graffe, ad esempio l’insieme dei primi quattro numerinaturali dispari e

A = 1, 3, 5, 7.Nel caso di insiemi finiti questa e una rappresentazione particolarmente conveniente, ma anche quando presen-tiamo insiemi infiniti, come l’insieme dei numeri naturali

N = 1, 2, 3, . . .

o l’insieme di tutti i numeri dispariD = 1, 3, 5, 7, . . .

possiamo rappresentare gli elementi di un insieme per elencazione, dando per intese le proprieta che regolanol’appartenza all’insieme.

Si usano le parentesi graffe anche quando si vuole distinguere un insieme costituito da una solo elemento,detto singoletto, dall’elemento stesso, quindi avremo che a 6= a. Altro modo di definire un insieme e attraversouna proprieta posseduta da tutti i suoi elementi. Ad esempio l’insieme D dei numeri dispari puo essere introdottoanche nei seguenti modi

D = n ∈ N : n− 1 e divisibile per 2 = 2n− 1 : n ∈ N.

Da notare che i due punti si leggono “tale che”. La nozione di sottoinsieme e intuitiva, ad esempio l’insiemeD e sottoinsieme dell’insieme N dei numeri naturali perche ogni elemento di D e anche elemento di N. Questofatto e rappresentato dalla formula D ⊆ N o dall’altro lato N ⊇ D. Astraendo a insiemi qualsiasi diremo che Be sottoinsieme di A scrivendo B ⊆ A oppure A ⊇ B se

x ∈ B =⇒ x ∈ A.

Con questa definizione abbiamo che A ⊆ A. Se interessa rappresentare la situazione in cui B ⊆ A e B 6= Ascriveremo semplicemente B ⊂ A e diremo che B e un sottoinsieme proprio di A. Nell’esempio che abbiamofatto in precedenza chiaramente possiamo scrivere D ⊂ N. Fra i sottoinsiemi di un insieme A considereremoanche l’insieme vuoto che denoteremo con ∅ che e l’insieme che non ha elementi.

L’insieme di tutti i sottoinsiemi di un dato insieme A si chiama insieme delle parti di A (o anche insiemepotenza di A) e lo si denota con il simbolo P(A). Si osservi che l’insieme P(∅) e non vuoto in quanto possiedel’elemento ∅ ed ha due sottoinsiemi distinti, ∅ e ∅.

Dati due insiemi A e B entrambi sottoinsiemi di un stesso insieme M la loro unione A ∪B e:

A ∪B = m ∈M : m ∈ A o m ∈ B

Qui la congiunzione “o” va intesa inclusivamente, vale a dire che si intende m ∈ A oppure m ∈ B o entrambe.

0.3. Prodotto cartesiano, relazioni e funzioni 3

Figura 1: Unione

Si ha poi che l’intersezione dei due insiemi A e B e definita da

A ∩B = m ∈M : m ∈ A e m ∈ B

Figura 2: Intersezione

Quando l’intersezione di due insiemi e l’insieme vuoto, diremo che i due insiemi sono detti disgiunti.Se A e un sottoinsieme di M il complementare di A in M e l’insieme

Ac = M \A = m ∈M : m /∈ A

Dalla definizione di complementare abbiamo le due proprieta

A ∪Ac = M, A ∩Ac = ∅

La definizione di A \ B ha senso anche quando A non e un sottoinsieme di B, infatti, se A = 1, 2, 3 eB = 1, 2, 4 si ha A \B = 3.

0.3 Prodotto cartesiano, relazioni e funzioni

Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B si indica con il simbolo A×B ed e definito da

A×B = (a, b) : a ∈ A, b ∈ B

E l’insieme di tutte le coppie ordinate (a, b) in cui a ∈ A e b ∈ B. Lo si chiama cartesiano in quanto esso ela naturale generalizzazione del procedimento che dota il piano di un sistema di coordinate ortogonali. Datidue insiemi A e B una relazione da A a B e un sottoinsieme R di A × B. Scriveremo aRb quando (a, b) ∈ R.Nel caso particolare, ma di grande interesse, in cui A = B, la relazione R e detta binaria. Nel nostro percorsoavremo a che fare con tre tipi fondamentali di relazione.


(i) Equivalenze. Supponiamo A = B = X. Una relazione binaria ∼ su X si dice relazione di equivalenzasu X se soddifa le tre seguenti proprieta:

(a) per ogni x ∈ X, x ∼ x(b) se x ∼ y allora y ∼ x(c) se x ∼ y e y ∼ z allora x ∼ z

Queste tre proprieta sono rispettivamente dette di riflessivita, simmetria, transitivita. Il piu sempliceesempio di relazione di equivalenza e quello di uguaglianza. Una equivalenza in X ripartisce l’insieme X inclassi di equivalenza: per ogni x ∈ X consideriamo l’insieme di tutti gli elementi equivalenti all’elemento xche indichiamo con [x] = y ∈ X : y ∼ x. L’insieme [x] viene chiamato classe di equivalenza dell’elementox. Siccome per la proprieta (a) e x ∈ [x] l’insieme X e l’unione di tutte le classi di equivalenza. Si verificache presi x, y ∈ X le due classi di equivalenza [x] e [y] o sono disgiunte [x] ∩ [y] = ∅ o sono coincidenti[x] = [y]

(ii) Ordini parziali. Supponiamo A = B = X. Una relazione binaria ≺ su X si dice ordine parziale sesoddisfa le due seguenti proprieta:

(a) e transitiva: se x ≺ y e y ≺ z allora x ≺ z(b) e antisimmetrica: per ogni x, y ∈ X, x ≺ y =⇒ y ⊀ x

Inoltre una relazione ≺ su X e detta ordine totale se essa e un ordine parziale e soddisfa la proprieta ditricotomia

(c) per ogni x, y ∈ X vale una sola delle tre:

x ≺ y, x = y, y ≺ x

Un esempio di relazione di ordine parziale e l’inclusione insiemistica. La relazione naturale di ordinamentodei numeri reali e una relazione di ordine totale.

(iii) Funzioni. Una relazione f da A a B e detta funzione se per ogni a ∈ A esiste un solo b ∈ B tale cheafb. In questo caso scriveremo b = f(a). Questa definizione identifica una funzione con il suo grafico:

G = (a, b) ∈ A×B : b = f(a).

In pratica possiamo pensare ad una funzione da A a B come una regola che ad ogni elemento a ∈ A associaun elemento f(a) ∈ B. La scrittura convenzionale e f : A→ B in cui A viene detto dominio di f e B vienedetto codominio di f , mentre l’immagine di A mediante f e l’insieme f(A) = b ∈ B : b = f(a), a ∈ A.Si noti che codominio e immagine sono in generale distinti. Se C ⊂ B la controimmagine di C e l’insiemedegli elementi di A che ha immagine in C. La controimmagine di C si indica con il simbolo f−1(C):

f−1(C) = a ∈ A : f(a) ∈ C .

Diremo che f e suriettiva se f(A) = B. Diremo poi che f e iniettiva se f(a1) = f(a2) ⇐⇒ a1 = a2. Unafunzione che sia tanto iniettiva quanto suriettiva si dice biettiva. In questo caso si scrive

f : A1−1−→su

B

Se f : A → B e una funzione iniettiva, resta definita una applicazione da f(A) ad A considerando lalegge che ad ogni elemento b ∈ f(A) fa corrispondere l’unico elemento a ∈ A tale che f(a) = b. Taleapplicazione si denota con f−1 : f(A)→ A e vale la relazione

f−1 (f(a)) = a per ogni a ∈ A

0.4. Esercizi 5

Se f e biettiva la sua inversa f−1 e tale che per ogni b ∈ B si ha

f(f−1(b)

)= b

Si dimostra che f : A→ B e invertibile se e solo se esiste una funzione g : B → A tale che

g(f(a)) = a per ogni a ∈ A, f(g(b)) = b per ogni b ∈ B

La funzione g e la funzione inversa di f e viene denotata con f−1

0.4 Esercizi

0.4.1 Esercizi svolti

1. Siano A =

x ∈ Q : x = n+

1

2, n ∈ N

, B =

x ∈ Q : x =

3

m, n ∈ N

. Dimostrare che

A ∩B =

1

2,

3

2

.

2. Sia f : N→ N

f(n) =

n+ 5 se n ≤ 8

2n+ 1 se n > 8

(a) f e iniettiva? (b) e vero che 14 ∈ f(N)?

3. Sia f : Z→ Z la funzione tale che

f(z) =

3z − 1 se z e pari

4z − 2 se z e dispari

(a) f e iniettiva? (b) f e suriettiva? (c) trovare f−1(15, 16)

4. Dimostrare che f : [3/2,∞[→ [0,∞[ definita da f(x) =

√3x− 2

x+ 4e iniettiva, ma non suriettiva.

5. Determinare tutte le funzioni g che soddisfano

g(x+ y) + g(x− y) = 2x2 + 2y2

6. Determinare tutte le funzioni f che soddisfano

f(xy) = yf(x). (E)

7. Determinare tutte le funzioni f per cui

f(x) + 2f(1

x) = x. (F)


Soluzione

1. Se esiste un elemento comune ai due insiemi allora esistono due numeri naturali n1, n2 tali che

n1 +1

2=

3

n2⇐⇒ n1n2 = (0.1)

ma dal secondo membro di (0.1) vediamo che deve essere n2 pari, quindi esiste m ∈ N tale che n2 = 2me sostituendo in (0.1) otteniamo

2n1m+m = 3 (0.1a)

Ora la (0.1a) e possibile solo per m = 1 e per m = 3 perche 3 e un numero primo. Allora

m = 3 =⇒ n1 = 0, n2 = 6 quindi x =1

2

m = 1 =⇒ n1 = 1, n2 = 2 quindi x =3

2

2. (a) I due casi separati originano due funzioni iniettive, il punto e capire se la funzione sia iniettivaglobalmente. Supponiamo esistano due naturali n1 ≤ 8 ed n2 > 8 per cui

f(n1) = f(n2) ⇐⇒ n1 + 5 = 2n2 + 1

Ne verrebbe n1 = 2n2 − 4 ma questa uguaglianza non e possibile perche n2 > 8 comporta che ilminimo valore assunto dall’espressione 2n2 − 4 e 14.

(b) No, l’immagine di f e data dagli interi 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 e da tutti gli interi dispari ≥ 17

3. (a) I due casi separati originano due funzioni iniettive, il punto e capire se la funzione sia iniettivaglobalmente. Supponiamo che esistano un intero dispari z1 ed un intero pari z2 per cui f(z1) = f(z2),allora si avrebbe

3z2 − 1 = 4z1 − 2 ⇐⇒ 3z2 = 4z1 − 1

il che non puo darsi perche z2 e pari. Dunque f e iniettiva.

(b) La funzione non e suriettiva perche, ad esempio, 0 /∈ f(Z). Infatti se esistesse z ∈ Z tale chef(z) = 0, se z fosse pari, si avrebbe:

3z − 1 = 0 =⇒ z =1

3

il che non puo essere. Analogamente se z fosse dispari avremmo:

4z − 2 = 0 =⇒ z =1

2

che, ancora una volta non puo darsi.

(c) Bisogna risolvere le due equazioni f(z) = 15 e f(z) = 16 cosa che si fa piu velocemente tenendoconto che, per costruzione:

f(pari) = dispari, f(dispari) = pari.

i. f(z) = 15 ⇐⇒ 3z − 1 = 15 ⇐⇒ z =16

3non accettabile

ii. f(z) = 16 ⇐⇒ 4z − 2 = 15 ⇐⇒ z =17

4non accettabile

0.4. Esercizi 7

quindi f−1(15, 16) = ∅4. Presi x1, x2 > 3/2 si ha

f(x1) = f(x2) ⇐⇒√

3x1 − 2

x1 + 4=

√3x2 − 2

x2 + 4⇐⇒ 3x1 − 2

x1 + 4=

3x2 − 2

x2 + 4

svolgendo i calcoli troviamo che:

f(x1) = f(x2) ⇐⇒ 14 (x1 − x2)

(x1 + 4) (x2 + 4)= 0

il che impone x1 = x2 e dimostra che f e iniettiva. Proviamo a risolvere rispetto ad x, con y ≥ 0 cometermine noto, l’equazione: √

3x− 2

x+ 4= y

Eleviamo al quadrato e risolviamo rispetto ad x ricordando che x ≥ 3/2√

3x− 2

x+ 4= y ⇐⇒ 3x− 2

x+ 4= y2 ⇐⇒ x =

4y2 + 2

3− y2

L’ultima espressione trovata ci permette di affermare che se il codominio di f e [0,∞[ la funzione non esuriettiva in quanto, se volessimo risolvere l’equazione

f(x) = 2

usando la formula appena ottenuta vediamo che dovrebbe essere

x =4× 22 + 2

3− 22= −18

non accettabile in quanto il dominio di f e [3/2,∞[

5. Sia y = 0. Allora 2g(x) = 2x2, cioe, g(x) = x2. Verifichiamo che g(x) = x2 funziona. Si ha:

g(x+ y) + g(x− y) = (x+ y)2 + (x− y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 − 2xy + y2

= 2x2 + 2y2.

6. Se x = 1 allora f(y) = yf(1). Essendo f(1) una costante, poniamo k = f(1). Dunque tutte le funzioniche soddisfano (E) devono soddisfare f(y) = ky.

7. Da

f(x) + 2f(1

x) = x

otteniamo

f(1

x) =

x

2− 1

2f(x).

Poi, sostituendo 1/x per x (F) otteniamo

f(1/x) + 2f(x) = 1/x.

Quindi

f(x) =1

2x− 1

2f(1/x) =

1

2x− 1

2

(x

2− 1

2f(x)

),

che porge

f(x) =2

3x− x

3


0.4.2 Esercizi proposti

1. Consideriamo la relazione ≡ in Za ≡ b ⇐⇒ a− b = 3n

per un certo n ∈ Z. Dimostrare che ≡ e una equivalenza e che l’insieme Z|≡ ha tre elementi.

2. Consideriamo la relazione R in N2 = N× N

(a, b)R(c, d) ⇐⇒ a + d = b + c

Dimostrare che R e una relazione di equivalenza.

3. Consideriamo la relazione R in Z× Z \ 0

(m,a)R(n, b) ⇐⇒ mb = na

Dimostrare che R e una relazione di equivalenza.

4. Dimostrare che f : N→ N, f(n) = n2 − n+ 1 e iniettiva ma non suriettiva.

5. Dimostrare che f : Q→ Q, f(n) = 3n+ 1 e iniettiva e suriettiva.

6. Sia f : N→ N

f(n) =

n

3+ 1 se n = 3h, h ∈ N

n− 1 se n = 3h+ 1, h ∈ Nn+ 1 se n = 3h+ 2, h ∈ N

(a) f e iniettiva?

(b) f e suriettiva?

(c) trovare f−1(A) nei seguenti casi: A = 6, 7, 8 , A = 1, 2, 37. Sia f : Z→ Z la funzione tale che

f(z) =

5z − 3 se z e pari

8z + 2 se z e dispari

(a) f e iniettiva?

(b) f e suriettiva?

(c) trovare f−1(21, 28)

8. Dimostrare che f : [5/3,∞[→ [0,∞[ definita da

f(x) =

√3x− 5

x+ 4

e iniettiva, ma non suriettiva.

9. Dimostrare che f : R → R definita da f(x) = x3 e una funzione iniettiva. Si puo dire lo stesso sef(x) = x2n−1 con n ∈ N?

10. Dimostrare che la funzione f : R→ R definita da

f(x) =

x se x ≤ 0

x+ 1 se x > 0

e iniettiva

0.4. Esercizi 9

11. Dimostrare che la funzione f : R→ [−1/2, 1/2] definita da

f(x) =x

1 + x2

e suriettiva ma non iniettiva

12. Data la funzione f : R→ R definita da

f(x) =x

1 + |x|dimostrare che:

(a) f e iniettiva (b) f non e suriettiva (c) determinare f(R)

13. Sia a : R→ R, definita da a(2− x) = x2 − 5x. Calcolare a(3), a(x) e a(a(x)).

14. Sia f : R→ R, f(1− x) = x2 − 2. Trovare f(−2), f(x) e f(f(x)).

15. Sia h : R→ R definita da h(1− x) = 2x. Determinare h(3x).

CAPITOLO 1

NUMERI REALI

1.1 Introduzione

I numeri naturali hanno in Analisi Matematica lo stesso ruolo che le lettere hanno nell’alfabeto e le note per lamusica. Meno poeticamente possiamo accostarli alla particelle elementari in Fisica. Il primo passo per iniziarelo studio della Matematica parte quindi dagli interi positivi, il primo insieme numerico ad essere concepitodall’Umanita

N = 1, 2, 3, . . .L’introduzione dello zero e dei numeri negativi avvenne solo successivamente e da origine all’insieme degli interi

Z = 0, ±1, ±2, ±3, . . .Il passo successivo ci porta a considerare le frazioni, cioe i quozienti di numeri interi, portandoci all’insieme deinumeri razionali

Q =nd| n, d ∈ Z, & d 6= 0

I numeri cosı introdotti hanno una naturale interpretazione geometrica: fissando su di una retta un punto origine(lo zero) ed un segmento unitario gli interi sono ottenuti prendendo multipli di tale segmento, mentre i numerirazionali si rappresentano attraverso una opportuna scelta di sottomultipli dell’unita; ad esempio dividendo inn ∈ N parti il segmento fra 0 e 1 rappresentiamo i numeri razionali, 1/n, 2/n, . . .. Il sistema dei numeri razionalisembrerebbe cosı un sistema che riempie la retta reale, ma in effetti non e cosı, i numeri razionali lasciano inun certo qual modo dei “buchi” lungo la retta reale.

0 1 2 3 4 5 6

Figura 1.1: La retta dei naturali

Con il primo teorema del corso faremo vedere che la retta, intesa come oggetto geometrico continuo, non eriempita dall’insieme dei numeri razionali.

Teorema 1.1.1. Non esiste alcun numero razionale r ∈ Q tale che

r2 = 2 (1.1)

12 1. Numeri Reali

Dimostrazione. Non e restrittivo supporre che il numero razionale r sia esprimibile mediante una frazione ridottaai minimi termini:

r =p

q

con p, q interi privi di fattori comuni. Supponiamo, per assurdo che (1.1) valga, allora segue che

p2 = 2q2 (1.2)

Da (1.2) si deduce che p2 e un numero pari, ma allora anche p e un numero pari, che quindi puo essererappresentato nella forma p = 2k. D’altra parte, sostituendo in (1.2), vediamo che

p2 = (2k)2 = 4k2 = 2q2 =⇒ 2k2 = q2 (1.3)

Da (1.3) segue che q2 e pari e allora anche q e pari, ma questo contraddice il fatto che p e q sono privi di fattoricomuni.

In conseguenza di quanto appena mostrato, dobbiamo accettare il fatto che le soluzioni dell’equazione (1.1)non sono numeri razionali e ad essere rigorosi dovremmo anche capire come e perche questa equazione ammettesoluzione. Accettiamo il fatto, intuitivo, che esista una soluzione positiva di (1.1), che dunque denota un numeroirrazionale che denoteremo con

√2. Quando abbiamo trovato cercando di risolvere l’equazione (1.1) non e un

fatto isolato, infatti si puo dimostrare che se n e un numero intero positivo l’equazione

r2 = n (1.4)

non ha soluzioni razionali ogni volta che l’intero n non e un quadrato perfetto. Inoltre questo approccio esenza fine nel senso che si possono generare numeri irrazionali in infiniti modi. Ad esempio dimostriamo laproposizione.

Proposizione 1.1.1. Il numero√

3−√

2 e irrazionale.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esista r ∈ Q tale che√

3 −√

2 = r. Allora, siccome r ∈ Q =⇒r2 ∈ Q abbiamo che:

(√3−√

2)2

=(√

3)2

− 2√

3√

2 +(√

2)2

= 5− 2√

6 = r2 ∈ Q

Ma cio significa anche che:√

6 =5− r2

2∈ Q

Da qui l’assurdo in quanto√

6 /∈ Q. Infatti se esistessero due numeri naturali n, d ∈ N, mcd(n, d) = 1 con:

6 =n2

d2⇐⇒ 6d2 = n2

ne segue che n2 e pari e dunque n = 2ν per un certo ν ∈ N. Ma, allora

6d2 = 4ν2 ⇐⇒ 3d2 = 2ν2 =⇒ d = 2δ

per un certo δ ∈ N. Ma questo contraddice l’ipotesi che n e d non abbiano divisori in comune. Pertanto√

6 6∈ Qe, dunque

√3−√

2 6∈ Q.

Il metodo qui utilizzato si basa su questa osservazione.

1.2. Campo dei razionali 13

Osservazione 1.1.1. Se x e un numero reale tale per cui x2 e irrazionale, allora anche x e irrazionale.

Un’altra fonte di numeri irrazionali viene dal prossimo teorema.

Teorema 1.1.2. Se a, b, c sono interi dispari, l’equazione

ax2 + bx+ c = 0 (1.5)

non ha soluzioni razionali.

Dimostrazione. Supponiamo chep

qsia una soluzione razionale dell’equazione (1.5). E lecito supporre che p e

q non abbiano fattori primi in comune, cosı o p e q sono entrambi dispari, oppure uno e dispari e l’altro pari.Ora:

a

(p

q

)2

+ b

(p

q

)+ c = 0 =⇒ ap2 + bpq + cq2 = 0.

Se sia p che p fossero dispari, allora anche ap2 + bpq + cq2 sarebbe dispari e quindi 6= 0.Analogamente se uno dei due fosse pari e l’altro dispari allora uno fra i due numeri ap2 + bpq o bpq + cq2

sarebbe pari e quindi ap2 +bpq+cq2 sarebbe comunque dispari. Questa contraddizione dimostra che l’equazionenon puo avere una radice razionale.

1.2 Campo dei razionali

Procederemo supponendo che le proprieta algebriche degli insiemi N dei numeri naturali e Z dei numeri interirelativi siano note. I numeri razionali Q sono dati dell’insieme delle frazioni m/n con m, n ∈ Z e n 6= 0. Ognirazionale possiede infinite rappresentazioni di questo tipo in quanto per ogni z ∈ Z, z 6= 0

zm

zn=m

n

La somma e la moltiplicazioni di razionali si definiscono mediante regole, ottenute usando l’aritmetica degliinteri

m1

n1+m2

n2=m1n2 +m2n1

n1n2,

m1

n1× m2

n2=m1 ×m2

n1 × n2

Q contiene Z in quanto per ogni m ∈ Z abbiamo

m

1= m

Come avremo modo di vedere immediatamente i due numeri razionali

0 =0

1=

0

n, 1 =

1

1=n

n

hanno un ruolo particolare.L’insieme Q gode di proprieta che in Algebra sono proprie delle strutture dette campi rispetto alle operazioni

di somma e prodotto appena definite. Gli assiomi di campo che sono soddisfatti da Q sono, dati a, b, c ∈ Q:

F1 (a+ b) + c = a+ (b+ c) proprieta associativa della somma

F2 a+ b = b+ a proprieta commutativa della somma

F3 esiste 0 ∈ Q tale che per ogni a ∈ Q, a+ 0 = a

F4 per ogni a ∈ Q esiste un elemento −a ∈ Q tale che a+ (−a) = 0

14 1. Numeri Reali

F5 (ab)c = a(bc) proprieta associativa del prodotto

F6 ab = ba proprieta commutativa del prodotto

F7 esiste 1 ∈ Q tale che per ogni a ∈ Q, a1 = a

F8 per ogni a ∈ Q, a 6= 0 esiste un elemento 1/a ∈ Q tale che a(1/a) = 1

F9 a(b+ c) = ab+ ac proprieta distributiva

L’opposto di m/n e (−m)/n e il reciproco di m/n e n/m.

Definizione 1.2.1. Se m, n ∈ Z diremo che m > n se e solo se esiste p ∈ N tale che

m = n+ p

La relazione cosı definita e una relazione di ordine totale su Z.L’ordinamento degli interi relativi si estende ai razionali in questo modo. Dati due razionali m1/n1 e m2/n2

in cui possiamo supporre senza perdita di generalita che sia n1, n2 > 0 diciamo che

m1

n1<m2

n2se m1n2 < m2n1

Useremo anche la scrittura equivalentem2

n2>m1

n1.

Mentre la scrittura x ≤ y significa che vale una delle due condizioni a b legge di tricotomia

O3 a 0 implica ac < bc compatibilita con il prodotto

Gli assiomi F1−F9 e O1−O4 si riassumono dicendo che Q e un campo ordinato e sono alla base dell’algebrastudiata alle scuole superiori.

Q possiede un’altra importante proprieta: quella di densita: fra due numeri razionali r1 < r2 ne esiste unterzo r tale che r1 < r < r2. Basta infatti prendere r = (r1 + r2)/2. Dalla proprieta di densita scende subito cheesistono infiniti numeri razionali fra i due razionali r1 < r2.

In Q vale anche la cosiddetta proprieta archimedea:

per ogni q ∈ Q, q > 0 esiste n ∈ N tale che n > q

di cui ci occuperemo nel paragrafo 1.6.

1.3 Numeri reali

L’insieme R dei numeri reali e un campo ordinato che contiene l’insieme Q. La proprieta di densita di Q cheabbiamo introdotto nel paragrafo precedente non impedisce, stante la nostra discussione iniziale sulla irraziona-lita di

√2, che l’insieme Q abbia dei buchi. L’insieme R, grazie a quella che si chiama proprieta di completezza,

ha una struttura continua, senza buchi o interruzioni.

1.3. Numeri reali 15

Definizione 1.3.1. Un sottoinsieme B di Q si dice superiormente limitato se esiste q ∈ Q tale che q ≥ b perogni b ∈ B. L’elemento q viene detto maggiorante dell’insieme B

Ad esempio l’insieme a ∈ Q : a < 7 e superiormente limitato da 7 e da ogni numero maggiore di 7.D’altra parte l’insieme N non e superiormente limitato. Fra i maggioranti di un insieme superiormente limitatoquello piu importante e il piu piccolo.

Definizione 1.3.2. Se B e un insieme superiormente limitato il numero s si dice estremo superiore di B se

• s e un maggiorante di B;

• per ogni m ∈ Q che sia maggiorante di B risulta s ≤ m.

Si comprende facilmente che se tale numero esiste esso e unico, infatti se s1 ed s2 fossero due estremisuperiori dello stesso insieme B avremmo s1 ≥ s2 perche s1 e un maggiorante e s2 estremo superiore. Ma con lastessa argomentazione possiamo dedurre la disuguaglianza opposta s2 ≥ s1. Quindi se esiste estremo superioredi un insieme, possiamo riferirci ad esso come “l’estremo superiore”. Il punto cruciale e che in Q esistono insiemisuperiormente limitati sprovvisti di estremo superiore. Consideriamo infatti l’insieme

D = a ∈ Q : a ≥ 0 e a2 < 2

Tale insieme e evidentemente superiormente limitato in quanto se a ∈ D si ha certamente a2 < 4 e quindia < 2. Il numero 2 e quindi un maggiorante di D ma certamente non il minimo maggiorante. Infatti anche 3/2e maggiorante di D in quanto se a ∈ D si ha a2 < 9/4 e quindi a < 3/2. Con considerazioni analoghe possiamotrovare infiniti altri numeri razionali che maggiorano D, finendo per costruire la nota approssimazione decimaledi√

2 : 1,4142136. . . E proprio per la provata irrazionalita di√

2 che questo procedimento non ha termine.L’estremo superiore dell’insieme D e un numero irrazionale.

Questo non e un fatto isolato: dato un insieme superiormente limitato di numeri razionali, il suo estremosuperiore puo essere irrazionale. Un altro celebre esempio e dato dall’insieme

E =

(1 +

1

n

)n: n ∈ N

Infatti si puo dimostrare che 3 e un maggiorante di E e che il suo estremo superiore, che si denota con la letterae, e un numero irrazionale.

Ammettermo assiomaticamente che l’insieme R e un campo ordinato in cui sono soddisfatti un ulterioreassioma:

• Assioma di completezza: ogni sottoinsieme di R non vuoto e superiormente limitato ammette estremosuperiore in R.

A questo punto va, perlomeno, detto che tutti gli insiemi numerici Z, Q, R possono in effetti essere costruitia partire dall’insieme dei numeri naturali, evitando il nostro approccio assiomatico. Tuttavia, sia per il fattoche questo e un corso introduttivo all’analisi, sia per il fatto che, in vista delle applicazioni, questi aspettifondazionali non hanno particolare rilevanza, e sufficiente ai nostri scopi credere all’assioma appena enunciato.

Naturalmente non c’e ragione di considerare solo l’aspetto della limitatezza superiore: si puo trattare ancheil caso della limitatezza inferiore.

Definizione 1.3.3. Dato un sottoinsieme B di R Il numero reale r si dice minorante di B, se, per ogni b ∈ Briesce b ≥ r. In tal caso l’insieme B si dice inferiormente limitato.

Il numero reale s si dice estremo inferiore di B se:

• s e un minorante di B;

16 1. Numeri Reali

• per ogni m ∈ R che sia minorante di B risulta s ≥ m.

Possiamo usare l’assioma di completezza per provare il

Teorema 1.3.1. Ogni sottoinsieme non vuoto e inferiormente limitato di R ammette estremo inferiore.

Dimostrazione. Se B e un insieme non vuoto e inferiormente limitato, consideriamo l’insieme degli elementiopposti di B :

−B = −a : a ∈ BSe k e un minorante di B allora −k e un maggiorante di −B e per l’assioma di completezza esiste s estremosuperiore di −B. Da qui si vede senza difficolta che s = −s e estremo inferiore di B

Si usa scrivere s = supB e s = inf B.L’idea di pensare ai numeri reali come punti di una retta orientata porta naturalmente alla formulazione

della nozione di intervallo, nozione che traduce, in un certo senso, quella di segmento per gli intervalli limitatio quella di semiretta per gli intervalli illimitati.

Siano a, b ∈ R con a < b. Si definiscono allora quattro tipi di intervalli limitati di estremi a e b a secondache gli estremi appartengono o meno all’intervallo:

• [a, b] = x ∈ R : a ≤ x ≤ b• ]a, b[ = x ∈ R : a < x < b

• [a, b[ = x ∈ R : a ≤ x < b• ]a, b] = x ∈ R : a < x ≤ b

In ognuno di questi casi la lunghezza dell’intervallo e il numero positivo b − a. L’intervallo [a, b] si dicechiuso in quanto contiene i suoi estremi e ]a, b[, che non contiene i suoi estremi si dice aperto.

Gli intervalli illimitati sono la trasposizione della nozione di semiretta:

• [a,∞[ = x ∈ R : a ≤ x• ]a,∞[ = x ∈ R : a < x

• ]−∞, b[ = x ∈ R : x < b• ]−∞, b] = x ∈ R : x ≤ b

Osserviamo che quando usiamo notazioni come [a,∞[ non stiamo asserendo che esista un numero reale ∞.Il significato di ∞ sara meglio precisato in seguito. Inoltre abbiamo

sup]a, b[= sup[a, b] = sup[a, b[= b

inf]a, b[= inf[a, b] = inf[a, b[= a

Gli intervalli del tipo ]a,∞[ e ]−∞, b[ sono detti aperti, mentre [a,∞[ e ]−∞, b] si dicono chiusi.

1.4 Ordinamento e Operazioni

In questo paragrafo riportiamo alcune regole di calcolo che si deducono dal rapporto fra gli assiomi che regolanole proprieta algebriche dell’insieme dei reali e quelle di ordinamento.

R1 Per ogni a, b ∈ R, a 0

R2 Per ogni a, b, c ∈ R, a 0, a bc

R4 Per ogni a, b ∈ R, a, b > 0, a 

1

b

R5 Per ogni a, b ∈ R, a, b ≥ 0 e per ogni p > 0, a < b ⇐⇒ ap < bp

1.5. Valore Assoluto 17

1.5 Valore Assoluto

Definizione 1.5.1. Se x ∈ R il valore assoluto di x e la quantita |x| definita da:

|x| =

x se x ≥ 0,

−x se x < 0.(1.6)

Per costruzione |x| ≥ 0 per ogni x e |x| = 0 se e solo se x = 0. E molto utile ed istruttivo ricordare che perogni numero reale x si ha √

x2 = |x| (1.7)

La formula (1.7) segue dalla convenzione che quando scriviamo il simbolo di radice quadrata, noi intendiamosempre la determinazione positiva della radice.

Usando il valore assoluto possiamo anche scegliere il piu grande o il piu piccolo fra due numeri, infattiabbiamo che

maxx, y =x+ y + |x− y|

2, minx, y =

x+ y − |x− y|2

Dalla definizione (1.6) segue immediatamente che

|−x| = |x| , x ≤ |x| , |x| = maxx,−x, |xy| = |x| |y|

1.6 Proprieta archimedea

L’assioma di completezza implica una serie di importanti proprieta dei numeri reali. In questo paragrafo cioccupiamo della cosiddetta proprieta archimedea e delle sua conseguenze. Cominciamo dalla proprieta archi-medea, avvertendo che nonostante la quasi ovvieta della tesi che andiamo a dimostrare, e cioe che l’insieme deinumeri naturali non e superiormente limitato, qui forniamo la dimostrazione rigorosa.

Teorema 1.6.1. Per ogni x ∈ R esiste n ∈ N tale che n > x.

Dimostrazione. Se, per assurdo, esiste x ∈ R tale che per ogni n ∈ N risulta n ≤ x questo comporta che l’insiemeN e superiormente limitato. Per l’assioma di completezza esiste allora a = supN e siccome tale elemento a e unmaggiorante di N abbiamo che per ogni n ∈ N vale n ≤ a. Ora e anche n+ 1 ∈ N e quindi n+ 1 ≤ a. Ma alloran ≤ a− 1 per ogni n ∈ N e questo significa che a− 1 e un maggiorante di N in contraddizione con il fatto chea = supN. La tesi segue dunque per assurdo.

Il prossimo corollario tornera utile in molte dimostrazioni nei prossimi capitoli.

Corollario 1.6.1.1. Se x ∈ R e tale che per ogni n ∈ N si ha

|x| ≤ 1

n

allora x = 0.

Dimostrazione. Se, per assurdo, fosse x 6= 0 si avrebbe |x| > 0. Per la proprieta archimedea esiste n ∈ N taleche

n >1

|x|quindi

|x| > 1

n

contro l’ipotesi.

18 1. Numeri Reali

Dalla proprieta archimedea si deduce l’esistenza della parte intera di un numero reale.

Corollario 1.6.1.2. Per ogni x ∈ R esiste n ∈ Z tale che

n ≤ x < n+ 1

Questo intero e il massimo degli interi che non superano x, viene denotato con il simbolo bxc e viene chiamatoparte intera di x

Dimostrazione. Per la proprieta archimedea esiste m ∈ N tale che |x| < m e cioe −m < x < m. Gli intericompresi fra −m ed m sono in numero finito per cui esiste il piu grande di essi non maggiore di x.

Conseguenza di fondamentale importanza della proprieta archimedea e la proprieta di densita di Q in R.

Teorema 1.6.2. Per ogni x ∈ R e per ogni ε ∈ R, ε > 0 esiste r ∈ Q tale che

r ≤ x < r + ε.

Dimostrazione. Fissato ad arbitrio ε ∈ R, ε > 0 per la proprieta archimedea esiste un numero naturale q ∈ Ntale che q > 1/ε e allora 1/q < ε. Per l’esistenza della parte intera esiste un intero p ∈ Z tale che

p ≤ qx < p+ 1

e quindip

q≤ x < p

q+

1

q<p

q+ ε

Il numero razionale r = p/q soddisfa la tesi.

Corollario 1.6.2.1. Fra due numeri reali a e b esiste un numero razionale.

Dimostrazione. Siano a, b ∈ R con a < b. Per la proprieta di densita esiste r ∈ Q tale che

r ≤ b < r + (b− a)

Pertantoa = b− (b− a) < r

e quindia < r ≤ b

come volevasi.

1.7 Induzione

In molte dimostrazioni di questo corso faremo riferimento al principio di induzione matematica, che e unaproprieta dell’insieme dei numeri naturali. Per comprendere il senso di tale principio, facciamo una sorta dipasso indietro, e ragioniamo sulle proprieta dell’ordinamento nell’insieme N dei numeri naturali.

Definizione 1.7.1. Se S ⊂ N l’elemento sm ∈ S di dice minimo di S se per ogni s ∈ S, s 6= sm si ha sm < s.

Ammetteremo assiomaticamente che N sia bene ordinato, nel senso che riconosciamo valida la seguenteproprieta, della del buon ordinamento.

• ogni sottoinsieme non vuoto di N ammette minimo.

1.7. Induzione 19

L’assioma del buon ordinamento consente la dimostrazione del seguente teorema, noto come principio diinduzione matematica:

Teorema 1.7.1. Se S ⊂ N e tale che:

a) 1 ∈ Sb) se s ∈ S e anche s+ 1 ∈ S

allora S = N.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che S non coincida con N e ne consideriamo il complementare in Nche indichiamo con Sc. Avendo supposto che S e un sottoinsieme proprio di N avremo che Sc 6= ∅ e allora perl’assioma del buon ordinamento esiste σ = minSc. Tale elemento σ deve essere diverso da 1, visto che per ipotesi1 ∈ S quindi σ > 1 e siccome σ− 1 < σ si avra σ− 1 ∈ S. Ora per l’ipotesi induttiva avremo che (σ− 1) + 1 ∈ Se allora σ ∈ S in contraddizione con il fatto che σ ∈ Sc. La contraddizione e generata dell’aver supposto S ⊂ Ne dunque deve essere S = N.

Si puo far vedere che l’assioma del buon ordinamento e il principio di induzione sono logicamente equivalenti.Questo significa che se assumiamo vero il principio di induzione, allora il buon ordinamento diviene un teorema,viceversa se si assume vero l’assioma di buon ordinamento, allora il principio di induzione matematica diventaun risultato dimostrabile.

Mediante il principio di induzione si possono dimostrare affermazioni che dipendono da proprieta dell’insiemedei numeri naturali. Vediamo un esempio di dimostrazione che usa il metodo induttivo. Prima pero premettiamoil significato e l’uso del simbolo di sommatoria. Indichiamo con a1, a2, . . . , an n numeri che ordiniamo secondol’indice. Il simbolo:

n∑

i=1

ai

sta ad indicare che si vogliono sommare i numeri a1, a2, . . . , an:

n∑

i=1

ai := a1 + a2 + · · ·+ an.

Ad esempio se n = 5 e ai = i2 allora:

5∑

i=1

i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55.

Cio premesso, dimostriamo per induzione che, fissato n ∈ N, la somma dei primi n numeri dipari uguaglia ilquadrato di n, in simboli:

n∑

i=1

(2i− 1) = n2. (1.8)

Indichiamo con S il sottoinsieme di N costituito dai naturali n per cui (1.8) e verificata. Per prima cosa (passodi partenza) si deve provare che 1 ∈ S. Poniamo quindi n = 1 in (1.8). Il secondo membro si riduce a 12 = 1,mentre il primo membro formalmente si scrive:

1∑

i=1

(2i− 1) .

La sommatoria ha dunque un solo termine, e quindi non c’e in sostanza nulla da sommare, precisamente iltermine che si ottiene sostituendo i = 1 all’espressione 2i− 1, vale a dire 1. Si ha uguaglianza fra i due membri

20 1. Numeri Reali

di (1.8) che pertanto e verificata per n = 1. Supponiamo ora (ipotesi induttiva) che (1.8) sia verificata per uncerto s ∈ N, il che e come dire che si suppone vero che:

s∑

i=1

(2i− 1) = s2.

Si deve dimostrare che in tale ipotesi anche s+ 1 ∈ S, cioe che e vero che:

s+1∑

i=1

(2i− 1) = (s+ 1)2.

Usando la proprieta associativa della somma possiamo scrivere:

s+1∑

i=1

(2i− 1) =s∑

i=1

(2i− 1) + [2(s+ 1)− 1] .

Usiamo l’ipotesi induttiva per esplicitare il primo addendo a secondo membro dell’ultima uguaglianza:

s+1∑

i=1

(2i− 1) = s2 + [2(s+ 1)− 1] .

Ora s2 + 2(s+ 1)− 1 = s2 + 2s+ 1 = (s+ 1)2 e, dunque:

s+1∑

i=1

(2i− 1) = (s+ 1)2.

Il che dimostra (1.8).

1.8 Fattoriali e coefficienti binomiali

Fattoriale di un numero naturale

Definizione 1.8.1. Sia n ∈ N ∪ 0. Il fattoriale di n, n! si definisce induttivamente come:

0! = 1,

n! = n× (n− 1)!, se n ≥ 1.(F)

Il fattoriale di n e il prodotto di n per tutti gli interi che lo precedono:

n! = n× (n− 1)× (n− 2)× · · · × 2× 1.

Ad esempio, 5! = 5× 4× 3× 2× 1 = 120.

Definizione 1.8.2. Sia n ∈ N ∪ 0. Il semifattoriale di n, n!! si definisce induttivamente come:

0!! = 1,

1!! = 1,

n!! = n× (n− 2)!!, se n ≥ 2.

(S)

Ad esempio 6!! = 2× 4× 6 = 48, 7!! = 3× 5× 7 = 105. Valgono le identita:

n! = n!! (n− 1)!!, (2n)!! = 2n n!, (2n+ 1)!! =(2n+ 1)!

2n n!,

che possono essere provate usando l’induzione.

1.8. Fattoriali e coefficienti binomiali 21

Coefficienti binomiali

Definizione 1.8.3. Se n, m ∈ N il coefficiente binomiale n su m e:

(n

m

)=

n!

m!(n−m)!sen ≥ m,

0 sen < m.

(1.9)

Se m ≤ n da (1.9) abbiamo:

(n

m

)=n · (n− 1) · · · · · (n−m+ 1)

m!. (1.10)

Ecco alcune proprieta dei coefficienti binomiali:(n

0

)= 1,

(n

n

)= 1,

(n

m

)=

(n

n−m

),

(n

m

)=

(n− 1

m

)+

(n− 1

m− 1

),

(n

m

)=n−m+1∑

k=1

(n− km− 1

),

(2n

n

)=

n∑

k=0

(n

k

)2

,

Potenza del binomio

L’impiego piu famoso dei coefficienti binomiali e nella formula per la potenza del binomio. La formula, di-mostrabile per induzione, fornisce l’espressione esplicita per il calcolo di una potenza intera positiva di unbinomio.

Teorema 1.8.1. Se A, B ∈ R e se n ∈ N allora:

(A+B)n

=

n∑

m=0

(n

m

)An−mBm. (1.11)

Se n = 2, 3 (1.11) restituisce le formule per il quadrato e per il cubo di un binomio:

(A+B)2

= A2 + 2AB +B2,

(A+B)3

= A3 + 3A2B + 3AB2 +B3.

Un caso particolare celebre della (1.11) e quello in cui a = b = 1:

2n =n∑

m=0

(n

m

). (1.12)

La formula (1.12) e nota come teorema di Stifel.Alla dimostrazione del teorema binomiale dobbiamo premettere una proprieta dei coefficienti binomia, nota

come formula di Stifel.

Lemma 1.8.1. Fissato n ∈ N, per ogni k ∈ N, k ≤ n si ha:(n

k

)=

(n− 1

k − 1

)+

(n− 1

k

).

22 1. Numeri Reali

Dimostrazione. Infatti, calcolando esplicitamente la somma a secondo membro troviamo:

(n− 1

k

)+

(n− 1

k

)=

(n− 1)!

(k − 1)! (n− 1− [k − 1])!+

(n− 1)!

k!(n− 1− k)!

=(n− 1)!

(k − 1)! (n− k)!+

(n− 1)!

k!(n− k − 1)!

Ricordando la definizione ricorsiva del fattoriale, m! = m · (m− 1)!, possiamo scrivere:

(n− 1

k

)+

(n− 1

k

)=

(n− 1)!

[1

(k − 1)! (n− k) · (n− k − 1)!+

1

k · (k − 1)!(n− k − 1)!

]

=(n− 1)!

(k − 1)!(n− k − 1)!

[1

(n− k)+

1

k

]

=(n− 1)!

(k − 1)!(n− k − 1)!· n

k(n− k)

=n!

k!(n− k)!

il che prova la formula di Stifel.

La prova del teorema 1.8.1 segue ora per induzione.

Dimostrazione. Se n = 1 la formula e verificata, essendo:

(A+B)1

=1∑

k=0

(1

k

)A1−kBk

=

(1

0

)A1−0B0 +

(1

1

)A1−1B1.

Supponiamo che la formula valga per n ∈ N e proviamola per n+ 1. Si ha:

(A+B)n+1

= (A+B) (A+B)n

= (A+B)n∑

k=0

(n

k

)An−kBk

=

n∑

k=0

(n

k

)An−k+1Bk +

n∑

k=0

(n

k

)An−kBk+1.

Nella seconda sommatoria scriviamo An−kBk+1 come An+1−(k+1)Bk+1 in modo che:

(A+B)n+1

=n∑

k=0

(n

k

)An−k+1Bk +

n∑

k=0

(n

k

)An+1−(k+1)Bk+1.

Poi, sempre nella seconda sommatoria cambiamo indice, ponendo k = h− 1 in modo da ottenere:

(A+B)n+1

=n∑

k=0

(n

k

)An−k+1Bk +

n+1∑

h=1

(n

h− 1

)An+1−hBh,

1.9. Disuguaglianze 23

inoltre, essendo indifferente usare la lettera k o la lettera h nella seconda sommatoria, possiamo scrivere:

(A+B)n+1

=n∑

k=0

(n

k

)An−k+1Bk +

n+1∑

k=1

(n

k − 1

)An+1−kBk.

A questo punto, scrivendo separatamente l’addendo di indice 0 della prima sommatoria e quello di indice n+ 1della seconda, otteniamo:

(A+B)n+1

=

(n

0

)An+1B0 +

n∑

k=1

(n

k

)An−k+1Bk+

+n∑

k=1

(n

k − 1

)An+1−kBk +

(n

n

)A0Bn+1

=

(n

0

)An+1B0 +

n∑

k=1

[(n

k

)+

(n

k − 1

)]An+1−kBk +

(n

n

)A0Bn+1.

Ora ricordando la formula di Stifel e osservato anche che:(n

0

)=

(n+ 1

0

)= 1,

(n

n

)=

(n+ 1

n+ 1

)= 1,

otteniamo:

(A+B)n+1

=

=

(n+ 1

0

)An+1B0 +

n∑

k=1

(n+ 1

k

)An+1−kBk +

(n+ 1

n+ 1

)A0Bn+1

=

n∑

k=0

(n+ 1

k

)An+1−kBk.

Il che prova la nostra affermazione.

1.9 Disuguaglianze

In Analisi Matematica e molto importante saper trattare espressioni con disuguaglianze. In questo paragrafocominciamo ad introdurre a queste tecniche. Cominciamo studiando disuguaglianze conseguenti alla definizionedi valore assoluto 1.5.1.

Teorema 1.9.1. Se x, y ∈ R allora

(i) |x+ y| ≤ |x|+ |y|(ii) ||x| − |y|| ≤ |x− y|

Dimostrazione. (i) Se uno dei due reali x, y fosse zero la tesi sarebbe ovvia:

|x+ 0| = |x|+ 0.

Possiamo dunque limitarci all’ipotesi non restrittiva x, y 6= 0. Si ha:

|x+ y|2 = (x+ y)2

= x2 + 2xy + y2.

24 1. Numeri Reali

Adesso si tenga presente che, indipendentemente dal segno di x e y, vale sempre la disuguaglianza xy ≤ |xy|,che ovviamente e una uguaglianza se x e y hanno lo stesso segno, allora:

|x+ y|2 ≤ x2 + 2 |xy|+ y2 = x2 + 2 |x| |y|+ y2 = (|x|+ |y|)2.

Estraendo la radice quadrata positiva si ottiene la tesi (i).(ii) Anche qui possiamo limitarci a provare la tesi assumendo che x, y 6= 0. Ora abbiamo

|x− y|2 = (x− y)2 = x2 − 2xy + y2 ≥ x2 − 2|x||y|+ y2 = (|x| − |y|)2

La tesi si ottiene estraendo la radice quadrata positiva del primo e dell’ultimo membro dell’ultima disuguaglianza.

Osserviamo che da quanto appena provato si deduce anche che

|x− y| ≤ |x|+ |y||x+ y + z| ≤ |x|+ |y|+ |z|

Dimostriamo alcune disuguaglianze, sia perche potranno esserci utili nel seguito, sia perche le tecnicheimpiegate sono di uso frequente in Analisi Matematica.

Esempio 1.9.1. Per ogni a, b ∈ R

ab ≤(a+ b

2

)2

(1.13)

Dimostrazione. Ragioniamo costruendo una catena di disuguaglianze equivalenti a quella data, sino ad arrivaread una disuguaglianza certamente vera.

ab ≤(a+ b

2

)2

⇐⇒ ab ≤ a2 + 2ab+ b2

4

⇐⇒ 4ab ≤ a2 + 2ab+ b2

⇐⇒ 0 ≤ a2 − 2ab+ b2

⇐⇒ 0 ≤ (a− b)2

Quest’ultima e vera e quindi sono vere tutte le concatenate.

Esempio 1.9.2. Per ogni a, b ∈ R, a, b ≥ 0

√a2 + b2 ≤ a+ b (1.14)

Dimostrazione. Ragioniamo costruendo una catena di disuguaglianze equivalenti a quella data, sino ad arrivaread una disuguaglianza certamente vera.

√a2 + b2 ≤ a+ b ⇐⇒ a2 + b2 ≤ (a+ b)2

⇐⇒ a2 + b2 ≤ a2 + b2 + 2ab

⇐⇒ 0 ≤ 2ab

Quest’ultima e vera, per l’ipotesi di non negativita su a e b e quindi sono vere tutte le concatenate.


Da (1.14) segue anche che, se a, b ∈ R, a, b ≥ 0 allora√a+ b ≤ √a+

√b (1.14b)

Da (1.14) si decduce anche:

Esempio 1.9.3. Per ogni a, b ∈ R, a, b ≥ 0∣∣∣√a−√b∣∣∣ ≤

√|a− b| (1.15)

Dimostrazione. Si osservi che in (1.15) se si scambiano a e b la disuglianza resta inalterata, quindi possiamodimostrare (1.15) limitandoci ad assumere a ≥ b. Questo comporta che

√a ≥√b e |a− b| = a−b. Di conseguenza

∣∣∣√a−√b∣∣∣ ≤

√|a− b| ⇐⇒ √

a−√b ≤√a− b

⇐⇒ √a ≤√b+√a− b

L’ultima disuguaglianza segue da (1.14b) ponendo a = a− b e b = b e quindi sono vere tutte le concatenate.

Lasciamo per esercizio la dimostrazione della generalizzazione di (1.14b) con tre termini.√a+ b+ c ≤ √a+

√b+√c (1.14c)

in cui a, b, c ≥ 0.

Chiudiamo il paragrafo occupandoci di tre fondamentali disuguaglianze.

1.9.1 Disugualianza di Bernoulli

La disuguaglianza di Bernoulli fu provata da Jacques (Jakob) Bernoulli (1654 - 1705) nel 1689. La dimostrazioneche qui presentiamo usa il principio di induzione.

Teorema 1.9.2. Sia x ≥ −1 un numero reale. Allora per ogni n ∈ N si ha:

(1 + x)n ≥ 1 + nx. (1.16)

Dimostrazione. La tesi e ovvia se x = 0, in quanto essa si riduce, in questo caso, all’identita 1 = 1. Poi ancheper x = −1 la tesi e immediata: 0 ≥ 1 − n, fatto ovviamente soddisfatto da tutti gli interi positivi. Sia orax 6= 0,−1. Se n = 1 la (1.16) si riduce a una identita: (1 + x)

1= 1 + 1x. Ammettiamo ora che esista s ∈ N per

cui valga (1.16). Se x > −1, e quindi 1 + x > 0, vediamo che:

(1 + x)s+1

= (1 + x)s

(1 + x) ≥ (1 + s x) (1 + x) = 1 + (1 + s) x+ s x2.

Ora l’ultimo termine scritto, s x2, e strettamente positivo, dunque:

(1 + x)s+1 ≥ 1 + (1 + s) x,

ottenendo l’induttivita di (1.16). La dimostrazione e completa.

Ad esempio da (1.16) si deduce che per ogni n ∈ N si ha

2 ≤(

1 +1

n

)n(1.17)

Infatti basta prendere x = 1/n in (1.16). Si noti che (1.17) e equivalente a

21n ≤ 1 +

1

n(1.17b)

26 1. Numeri Reali

1.9.2 Disugualianza di Cauchy-Schwarz

Teorema 1.9.3. Dati i numeri reali a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn allora

(a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn)2 ≤

(a2

1 + a22 + · · ·+ a2

n

) (b21 + b22 + · · ·+ b2n

)(1.18)

Dimostrazione. Se tutti gli ai sono nulli non vi e nulla da dimostrare. Se cosı non fosse allora la somma

A =n∑

i=1

a2i = a2

1 + a22 + · · ·+ a2

n

e strettamente positiva. Poniamo poi

B =

n∑

i=1

b2i = b21 + b22 + · · ·+ b2n

C =n∑

i=1

aibi = a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn

Osserviamo che per ogni numero reale λ abbiamo che (λai + bi)2 ≥ 0 in modo che

n∑

i=1

(λ2a2

i + 2λaib1 + b2i)

=n∑

i=1

(λai + bi)2 ≥ 0

Quest’ultima disuguaglianza puo essere riscritta come

λ2A+ 2λC +B ≥ 0 (1.19)

Ora siccome (1.19) vale per ogni ogni numero reale λ abbiamo che il discriminante del polinomio di secondogrado in λ deve essere ≤ 0, dunque deve valere

4C2 − 4AC < 0 =⇒ C2 < AC

che, stante il significato delle costanti A, B, C, e la tesi (1.18)

1.9.3 Disuguaglianza aritmetico geometrica

Questa disuguaglianza stabilisce che la media geometrica di n numeri positivi e sempre inferiore alla mediaaritmetica degli stessi numeri.

Teorema 1.9.4. Dati i numeri reali non negativi a1, a2, . . . , an si ha che

(a1a2 · · · an)1n ≤ a1 + a2 + · · ·+ an

n(1.20)

Dimostrazione. Siccome gli ai sono positivi, la (1.20) e equivalente a

(a1a2 · · · an)1n

a1 + a2 + · · ·+ ann

≤ 1 (1.20b)

Osserviamo poi che la quantita in (1.20b) non cambia se sostituiamo a ciascuno degli ai il multiplo λai conλ > 0 e questo significa che e sufficiente dimostrare la disuguaglianza (1.20b) nel caso in cui il prodotto deitermini a1, . . . , an sia 1. In conclusione e sufficiente dimostrare per induzione su n ∈ N la seguente affermazione:

Per ogni scelta di n reali positivi ai con

n∏

i=1

ai = 1 allora

a1 + a2 + · · ·+ an ≥ n

L’affermazione per n = 1 e evidentemente vera.Ora assumiamo che per un certo n ∈ N l’affermazione sia verificata e dimostriamo che da questo segue che

vale l’affermazione relativa a n + 1 termini. Ora se tutti i termini a1, . . . , an+1 sono uguali a 1 la tesi seguebanalmente. Alternativamente almeno due termini devono essere diversi da 1, diciamo che siano a1 e a2 esupponiamo che sia a1 > 1 e a2 < 1. Allora deve essere

(a1 − 1)(a2 − 1) ≤ 0

questa dopo alcuni calcoli e equivalente aa1 + a2 ≥ 1 + a1a2

Ma da questa otteniamo la n+1-esima affermazione, infatti: Siccome gli ai sono positivi, la (1.20) e equivalentea

a1 + a2 + · · ·+ an+1 ≥ 1 + a1a2 + a3 + a4 + · · ·+ an+1 (1.21)

Ora nel secondo membro di (1.21) dopo il numero 1 abbiamo la somma di n termini non negativi di prodotto1, cui possiamo applicare l’ipotesi induttiva, per cui (1.21) diviene

a1 + a2 + · · ·+ an+1 ≥ 1 + a1a2 + a3 + a4 + · · ·+ an+1 ≥ 1 + n (1.21b)

Ma (1.21b) altro non e se non l’affermazione induttiva di indice n + 1, la tesi scende allora dal principio diinduzione matematica.

Non e azzardato dire, anche se sara chiaro solo nel seguito, che la disuguaglianza fra la media aritmetica e lamedia geometrica ha, fra le altre, la seguente conseguenza di importanza cruciale per tutta l’Analisi Matematica,segnatamente nel garantire l’esistenza del numero piu importante dell’Analisi.

Corollario 1.9.4.1. Per ogni n ∈ N si ha(

1 +1

n

)n≤(

1 +1

n+ 1

)n+1

(1.22)

Dimostrazione. Applichiamo la (1.20) al caso di n+ 1 termini dati dai numeri

1, 1 +1

n, 1 +

1

n, . . . , 1 +

1

n

ottenendo((

1 +1

n

)n) 1n+1

≤ 1

n+ 1

(n+ 1 + n× 1

n

)

=n+ 2

n+ 1

= 1 +1

n+ 1

Elevando alla n+ 1-esima potenza quest’ultima disuguaglianza otteniamo(

1 +1

n

)n≤(

1 +1

n+ 1

)n+1

che e la tesi (1.22)

28 1. Numeri Reali

1.10 Esercizi

1.10.1 Numeri naturali e principio di induzione: esercizi svolti

1. Provare che 1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2

2. Provare che 12 + 22 + · · ·+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

3. Provare che n2 + n e pari per ogni n ∈ N

4. Provare che 2n+1 + 4n+1 < 5n+1 per ogni n ∈ N

5. Provare che 2n > n per ogni n ∈ N

6. Provare che

n∑

k=1

1√k≥ √n per ogni n ∈ N

7. Provare che 33n+3 − 26n− 27 e multiplo di 169 per ogni n ∈ N

8. Provare che, se x 6= mπ, m ∈ Z, per ogni n ∈ N vale

cosx+ cos(3x) + · · ·+ cos((2n− 1)x) =sin(2nx)

2 sinx

9. Provare che per ogni n ∈ N si ha:

sin2n α+ cos2n α ≤ 1

10. Siano a1 < a2 < · · · < an interi positivi distinti. Provare che:

(a1 + a2 + · · ·+ an)2 ≤ a3

1 + a32 + · · ·+ a3

n

11. Dimostrare per induzione su n ∈ N che

(2n

n

)=

2n(2n− 1)!!

n!

12. Dimostrare che per ogni n ∈ N il numero (n+ 1)n − 1 e divisibile per n2.

Soluzione

Ogni prova e divisa in due fasi, il passo di partenza (1 ∈ S) ed il passo induttivo (n ∈ S =⇒ n+ 1 ∈ S)

1. Si tratta di una formula molto famosa, relativa alla somma dei primi n numeri.

(a) Passo di partenza:

1 =1× (1 + 1)

2

e vera (si noti che a primo membro c’e una sommatoria con un solo addendo).

1.10. Esercizi 29

(b) Passo induttivo: supponiamo che per un certo naturale n ∈ N sia vero che:

1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2

Consideriamo la somma dei primi n+ 1 naturali:

(1 + 2 + · · ·+ n) + n+ 1 =n(n+ 1)

2+ n+ 1

↑per l’ipotesi indutttiva

Oran(n+ 1)

2+ n+ 1 = (n+ 1)

(n2

+ 1)

=(n+ 1)[(n+ 1) + 1]

2

il che dimostra il passo induttivo in quanto abbiamo visto che:

1 + 2 + · · ·+ n+ 1 =(n+ 1)[(n+ 1) + 1]

2.

2. Qui si sommano i primi n quadrati.


12 =1× (1 + 1)× (2× 1 + 1)

6

e vera (si noti che a primo membro c’e una sommatoria con un solo addendo).

(b) Passo induttivo: supponiamo che per un certo naturale n ∈ N sia vero che:

12 + 22 + · · ·+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

Consideriamo la somma dei quadrati dei primi n+ 1 naturali:

(12 + 22 + · · ·+ n2

)+ (n+ 1)2 =

n(n+ 1)(2n+ 1)

6+ (n+ 1)2

↑per l’ipotesi indutttiva

Ora

n(n+ 1)(2n+ 1)

6+ (n+ 1)2 = (n+ 1)

(n(2n+ 1)

6+ n+ 1

)=

(n+ 1)(2n2 + 7n+ 6

)

6

Ne viene che l’affermazione e provata se e vera l’uguaglianza:

(n+ 2) [2(n+ 1) + 1] = 2n2 + 7n+ 6

fatto di immediata verifica, in quanto basta moltiplicare (n+ 2) [2(n+ 1) + 1] .

3. L’affermazione puo essere agevolmente provata anche senza usare l’induzione essendo n2 + n = n(n+ 1)il che evidenzia che uno dei due fattori a secondo membro e necessariamente un numero pari.

(a) Passo di partenza: se n = 1 allora 12 + 1 = 2

30 1. Numeri Reali

(b) Passo induttivo: se per un certo n ∈ N il numero n2 +n e pari, cio significa che esiste un p ∈ N taleper cui n2 + n = 2p. Consideriamo l’affermazione successiva:

(n+ 1)2 + (n+ 1) = n2 + 2n+ 1 + n+ 1 = (n2 + n) + 2(n+ 1) = 2p+ 2(n+ 1)

Il che mostra la nostra affermazione.

4. Passo di partenza. Se n = 1 la disequazione 2n+1 + 4n+1 < 5n+1 diventa 21+1 + 41+1 < 51+1 cioe:

4 + 16 < 25

Ammettiamo che 2n+1 + 4n+1 < 5n+1 sia vera per un naturale n ∈ N. Dobbiamo dimostrare il passoinduttivo:

2n+1 + 4n+1 < 5n+1 ?=⇒ 2n+2 + 4n+2 < 5n+2

Si ha:4n+2 + 2n+2 = 4× 4n+1 + 2× 2n+1 < 4

(4n+1 + 2n+1

)

A questo punto usiamo l’ipotesi induttiva 2n+1 + 4n+1 < 5n+1

4n+2 + 2n+2 = 4× 4n+1 + 2× 2n+1 < 4(4n+1 + 2n+1

)< 4× 5n+1

E ben noto che 4 < 5 quindi

4n+2 + 2n+2 = 4× 4n+1 + 2× 2n+1 < 4(4n+1 + 2n+1

)< 4× 5n+1 < 5× 5n+1

Abbiamo cosı

4n+2 + 2n+2 = 4× 4n+1 + 2× 2n+1

< 4(4n+1 + 2n+1

)< 4× 5n+1 < 5× 5n+1 = 5n+2

5. Per n = 1 (passo iniziale) l’affermazione e evidente 21 > 1. Supponiamo (passo induttivo) che per n ∈ Nvalga la relazione 2n > n. Allora:

2n+1 = 2× 2n > 2× n = n+ n > n+ 1.

6. Questa formula sara utile nello studio successivo delle serie armoniche.

(a) Passo di partenza. Se n = 1 la relazione

n∑

k=1

1√k≥ √n

si riduce all’identita 1 = 1.

(b) Passo induttivo. Supponiamo che:n∑

k=1

1√k≥ √n

valga per un certo n ∈ N. Dobbiamo allora provare l’affermazione:

n∑

k=1

1√k≥ √n ?⇒

n+1∑

k=1

1√k≥√n+ 1

1.10. Esercizi 31

Osserviamo che per ogni n ∈ N vale la disuguaglianza:

√n+

1√n+ 1

≥√n+ 1 ()

Infatti scrivendo () come√n ≥√n+ 1− 1√

n+ 1(a)

elevando al quadrato i due lati di (a), fatto lecito in quanto il secondo membro di (a) e positivo,troviamo

n ≥ n+1

n+ 1− 1 ⇐⇒ 1 ≥ 1

n+ 1(b)

L’ultima disuguaglianza in (b) e vera, cio implica che anche () e vera. Cio premesso usiamo ()nella dimostrazione del passo di induzione. Si ha

n+1∑

k=1

1√k

=n∑

k=1

1√k

+1√n+ 1

Usando l’ipotesi induttiva otteniamo

n+1∑

k=1

1√k

=

n∑

k=1

1√k

+1√n+ 1

>√n+

1√n+ 1

A questo punto invochiamo () e concludiamo:

n+1∑

k=1

1√k

=n∑

k=1

1√k

+1√n+ 1

>√n+

1√n+ 1

≥√n+ 1.

7. Tratto da David A. Santos “Discrete Mathematics Notes”

(a) Passo di partenza: per n = 1 stiamo affermando che 36 − 53 = 676 = 169 × 4 e divisibile per 169,fatto evidente.

(b) Passo induttivo. Ammettiamo che esista p ∈ N tale che 33n+3 − 26n− 27 = 169p. Allora:

33(n+1)+3 − 26(n+ 1)− 27 = 27 33n+3 − 26(n+ 1)− 27

=(26 + 1) 33n+3 − 26n− 26− 27

=26 (33n+3 − 1) + 33n+3 − 26n− 27

=26 (33n+3 − 1) + 169p

Ora per ipotesi abbiamo che

33n+3 − 1 = 169p+ 26n+ 27− 1 = 169p+ 26n+ 26

quindi33(n+1)+3 − 26(n+ 1)− 27 = 26 (169p+ 26n+ 26) + 169p

ma questo dimostra la nostra affermazione in quanto il numero 26 (169p + 26n + 26) e multiplo di169, come si comprende rammentando che 169 = 132 e che 26 = 13× 2.

32 1. Numeri Reali

8. Ci serve rammentare la formula di duplicazione:

sin(2x) = 2 sinx cosx.

e la formula di prostaferesi

sinα− sinβ = 2 cosα+ β

2sin

α− β2


cosx =sin((2× 1)x)

2 sinx

vero in ragione della formula di duplicazione.

(b) Passo induttivo. Supponiamo che, per n ∈ N valga:

n∑

k=1

cos((2k − 1)x) = cosx+ · · ·+ cos((2n− 1)x) =sin(2nx)

2 sinx

Passiamo a n+ 1 addendi, usando il passo induttivo:

n+1∑

k=1

cos((2k − 1)x) = cosx+ · · ·+ cos((2n− 1)x) + cos((2n+ 1)x) =sin(2nx)

2 sinx+ cos((2n+ 1)x).

La tesi equivale ad affermare che

sin(2nx)

2 sinx+ cos((2n+ 1)x) =

sin((2n+ 2)x)

2 sinx.

Moltiplicando i due lati per 2 sinx troviamo che la tesi equivale a:

sin(2nx) + 2 sinx cos((2n+ 1)x) = sin((2n+ 2)x)

o equivalentemente:2 sinx cos((2n+ 1)x) = sin((2n+ 2)x)− sin(2nx) (↑)

La tesi si ottiene a questo punto applicando la citata formula di prostaferesi al secondo membro di(↑).

9. Tratto da http://math.ournet.md

(a) Passo di partenza: per n = 1 si ha

sin2 α+ cos2 α = 1 ≤ 1

(b) Passo induttivo: ammettiamo che per n ∈ N si abbia

sin2n α+ cos2n α ≤ 1

Osserviamo poi che comunque si prenda α abbiamo che si verifica sempre una delle tre situazioni:

sin2 α ≤ 1

cos2 α < 1oppure

sin2 α < 1

cos2 α ≤ 1oppure

sin2 α < 1

cos2 α < 1

Cio detto, si ha:

sin2(n+1) α+ cos2(n+1) α = sin2n α sin2 α+ cos2n α cos2 α < sin2n α+ cos2n ≤ 1

1.10. Esercizi 33

10. Tratto da http://staff.imsa.edu/math/journal/volume1/articles/MathInduction.pdf

(a) Passo di partenza. Per n = 1 l’affermazione e immediata in quanto a21 < a3

1 essendo, per ipotesi,a1 > 1.

(b) Passo induttivo. Ammettiamo che per un certo k ∈ N valga

(a1 + a2 + · · ·+ ak)2 ≤ a3

1 + a32 + · · ·+ a3

k. (A)

Prendiamo un intero ak+1 in modo che ak+1 > ak. Ne segue che vale anche

ak+1 ≥ ak + 1.

Ma allora abbiamo che:(ak+1 − 1) ak+1

2≥ ak (ak + 1)

2Possiamo cosı usare la proprieta di somma delle progressioni aritmetiche per concludere che:

(ak+1 − 1) ak+1

2≥ ak (ak + 1)

2= a1 + a2 + · · ·+ ak (†)

Moltiplicando i due lati di (†) per 2ak+1 otteniamo:(a2k+1 − ak+1

)ak+1 ≥ 2 (a1 + a2 + · · ·+ ak) ak+1 (‡)

Riscriviamo (‡) come2 (a1 + a2 + · · ·+ ak) ak+1 + a2

k+1 ≤ a3k+1. (B)

Sommando membro a membro (A) e (B) otteniamo la tesi induttiva.

11. Usiamo l’induzione. Per n = 1 abbiamo(

2

1

)= 2 =

211!!

1!

Supponiamo ora vero che, per un indice n ∈ N valga(

2n

n

)=

2n(2n− 1)!!

n!

Si ha (2(n+ 1)

n+ 1

)=

[2(n+ 1)]!

(n+ 1)![2(n+ 1)− (n+ 1)]!

Ora[2(n+ 1)]!

(n+ 1)![2(n+ 1)− (n+ 1)]!=

(2n+ 2)(2n+ 1)(2n)!

(n+ 1)n! (n+ 1)!=

(2n+ 2)(2n+ 1)

(n+ 1)2

(2n)!

n!n!

E quindi (2(n+ 1)

n+ 1

)=

2(2n+ 1)

n+ 1

(2n

n

)

Allora usando l’ipotesi induttiva:(

2(n+ 1)

n+ 1

)=

2(2n+ 1)

n+ 1

2n(2n− 1)!!

n!

e cioe: (2(n+ 1)

n+ 1

)=

2n+1(2n+ 1)!!

(n+ 1)!

come volevasi.

34 1. Numeri Reali

12. Se n = 1 la cosa e evidente. Se n > 1 per la formula di Newton:

(n+ 1)n − 1 =

n∑

k=1

(n

k

)nk,

e questo comporta che ogni termine e divisibile per n2.

1.10.2 Numeri naturali e principio di induzione: esercizi proposti

1. Provare che per ogni n ∈ N si ha 3n > n+ 1

2. Provare che per ogni n ∈ N, n > 2 si ha n2 > 2n+ 1

3. Provare che per ogni n ∈ N, n > 4 si ha 2n > n2

4. Provare che per ogni n ∈ N, n > 9 si ha 2n > n3

5. Provare che per ogni n ∈ N il numero n(2n2 − 3n+ 1) e divisibile per 6

6. Provare che per ogni n ∈ N si ha1

1!+

1

2!+ · · ·+ 1

n!<

5n− 2

n

7. Provare che per ogni n ∈ N si ha4n

n+ 1≤ (2n)!

(n!)2

8. Provare che per ogni n ∈ N

(a) n3 − n e divisibile per 6

(b) 4n3 − n e divisibile per 3

(c) 22n − 1 e multiplo di 3

(d) 11n + 4 e multiplo di 5

(e) 32n−1 + 1 e multiplo di 4

(f) 8n − 1 e multiplo di 7

(g) 52n−1 + 1 e multiplo di 6

(h) 9n − 1 e multiplo di 8

(i) 62n−1 + 1 e multiplo di 7

(j) 23n + 1 e multiplo di 3n+1

9. Provare che per ogni n ∈ N si han∑

k=1

(2k − 1)2 =4n3 − n

3

10. Si consideri la successione definita per ricorrenza:

x1 = 1

xn =xn−1

1 + xn−1, n > 1

Mostrare per induzione su n ∈ R che xn =1

n

11. Provare, per induzione su n ∈ N le seguenti affermazioni:

(a)n∑

k=1

k2

2k= 6− 6 + 4n+ n2

2n(b)

n∑

k=1

k2

3k=

3

2

3 + 3n+ n2

2 3n

1.10. Esercizi 35

(c)

n∑

k=1

k k! = (n+ 1)!− 1 (d)

n∑

k=1

k(k + 1)!

2k=

(n+ 2)!

2n− 2

12.n∑

k=1

1

(2k − 1)(2k + 1)=

n

2n+ 1

13. Dimostrare per induzione su n ∈ N, che:

(a)n∑

k=1

(3k − 2)2

=n

2

(6n2 − 3n− 1

)

(b)

n∑

k=1

(4k − 1)2

=n(16n2 + 12n− 1

)

3

(c)n∑

k=1

2k = 2n+1 − 2

(d)n∑

k=1

(3k2 − k − 2

)= n (n+ 2) (n− 1)

(e)

n∑

k=1

k (k + 1) (k + 2) =n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

4

(f)n∑

k=1

n3 =n2(n+ 1)2

4

14. Sia m ∈ N. Provare, per induzione su, n ∈ N che il numero m2+n + (1 +m)1+2n

e divisibile per1 +m (1 +m)

15. Provare che, per ogni n ∈ N si ha (n+ 1)! ≥ 2n

16. Provare per induzione su n ∈ N che:n5

5+n3

3+

7n

15∈ N

17. Provare, per induzione su, n ∈ N chen∑

k=1

3k

2k + 1≤ 2n

18. Sia x ∈ ]−1, 0[ . Si dimostri per induzione su n ∈ N la seconda disuguaglianza di Bernoulli:

(1 + x)n <1

1− nx

19. Provare per induzione su n ∈ N che se x 6= kπ, k ∈ Z valgono

n∑

k=1

sin((2k − 1)x) =1− cos(2nx)

2 sinx(a)

n∑

k=1

cos(2kx) =sin((2n+ 1)x)− sinx

2 sinx(b)

n∑

k=1

sin(2kx) =cosx− cos((2n+ 1)x)

2 sinx(c)

1.10.3 Numeri razionali, irrazionali e reali: esercizi svolti

1. Dimostrare che esistono terne di numeri razionali a, b, c ∈ Q che soddisfano l’uguaglianza

a2 + b2

a2 + c2=a+ b

a+ c

36 1. Numeri Reali

2. Dimostrare che3

√2 +√

5 +3

√2−√

5 ∈ Q

3. Dimostrare che1√

2− 1−√

2 ∈ Q

4. Dimostrare che √3−√

2 /∈ Q

5. Dimostrare che se x ∈ R, x > 0 e tale che

x =1

x− 1

allora x /∈ Q6. Siano a, b numeri reali. Supposto che per ogni numero ε > 0 valga la disuguaglianza:

a < b+ ε

dimostrare che a ≤ b.7. Se a, b, c sono interi dispari, dimostrare che l’equazione ax2 + bx+ c = 0 non ha soluzioni razionali.

Soluzione

1. In generale, cioe con a, b, c presi arbitrariamente non si ha uguaglianza, tuttavia possiamo imporla:

a2 + b2

a2 + c2− a+ b

a+ c=−ba2 + ca2 + b2a− c2a− bc2 + b2c

(a+ c) (a2 + c2)

Isoliamo il numeratore della frazione a secondo membro, che dopo aver raccolto diventa:

(c− b)(a2 − ba− ca− bc

)

Da qui vediamo che se c = b l’uguaglianza cercata sussiste, seppur banalmente 1 = 1. Altrimenti si annullail secondo fattore, risolvendo ad esempio rispetto a b trovando:

b =a(a− c)a+ c

Ad esempio se a = 6, c = 2 si trova b = 3 :

62 + 32

62 + 22=

6 + 3

6 + 2

2. Eleviamo al cubo: (3

√2 +√

5 +3

√2−√

5

)3

eseguendo i calcoli:

(3

√2 +√

5 +3

√2−√

5

)3

= 2 +√

5 + 33

√(2−√

5)2 3

√2 +√

5 + 33

√2−√

53

√(2 +√

5)2

+ 2−√

5

1.10. Esercizi 37

Ora:3

√(2−√

5)2 3

√2 +√

5 =3

√(2−√

5)2 (

2 +√

5)

= 3

√(2−√

5)(

2−√

5)(

2 +√

5)

e quindi:

3

√(2−√

5)2 3

√2 +√

5 =3

√√5− 2

Analogamente

3

√2−√

53

√(2 +√

5)2

=3

√(2−√

5)(

2 +√

5)2

= − 3

√√5 + 2

Pertanto: (3

√2 +√

5 +3

√2−√

5

)3

= 4 + 33

√√5− 2− 3

3

√√5 + 2

o anche (3

√2 +√

5 +3

√2−√

5

)3

= 4− 3

(3

√2 +√

5 +3

√2−√

5

)

Ma, allora abbiamo dimostrato che il numero r =3√

2 +√

5 +3√

2−√

5 e una radice dell’equazione diterzo grado:

x3 + 3x− 4 = 0 (1.23)

Detta equazione ha per radice x = 1 come si vede per verifica diretta, dunque possiamo usare la regoladi Ruffini:

x3 + 3x− 4 = (x− 1)(x2 + x+ 4)

ma il trinomio x2 + x + 4 non ha radici reali avendo discriminante negativo, quindi la sola radice realedell’equazione (1.23) a x = 1, ne viene che:

3

√2 +√

5 +3

√2−√

5 = 1.

3. Razionalizziamo il denominatore:

1√2− 1

−√

2 =1√

2− 1

√2 + 1√2 + 1

−√

2 =

√2 + 1

(√2)2 − 12

−√

2 =√

2 + 1−√

2 = 1

4. Supponiamo per assurdo che esista r ∈ Q tale che√

3 −√

2 = r. Allora, siccome r ∈ Q =⇒ r2 ∈ Qabbiamo che: (√

3−√

2)2

=(√

3)2

− 2√

3√

2 +(√

2)2

= 5− 2√

6 = r2 ∈ QMa cio significa anche che:

√6 =

5− r2

2∈ Q

Da qui l’assurdo in quanto√

6 /∈ Q. Infatti se esistessero due numeri naturali n, d ∈ N, mcd(n, d) = 1con:

6 =n2

d2⇐⇒ 6d2 = n2

ne segue che n2 e pari e dunque n = 2ν per un certo ν ∈ N. Ma, allora

6d2 = 4ν2 ⇐⇒ 3d2 = 2ν2 =⇒ d = 2δ

per un certo δ ∈ N. Ma questo contraddice l’ipotesi che n e d non abbiano divisori in comune. Pertanto√6 6∈ Q e, dunque

√3−√

2 6∈ Q.

38 1. Numeri Reali

5. Per ipotesi x > 0 e definito dalla proprieta:

x =1

x− 1(1.24)

quindi (1.24) segue che x > 1.

Supponiamo per assurdo che esistano n, d ∈ N, mcd(n, d) = 1 tali che

x =n

d.

Inoltre possiamo supporre che d < n e che nn e d siano i minimi interi positivi che rappresentano lafrazione x.

Per la proprieta di x abbiamo allora che

n

d=

1n

d− 1

=d

n− d

Ma questa e una contraddizione con la minimalita dei rappresentanti la frazione.

6. Supponiamo per assurdo che sia a > b. Quindi vale anche

a− b2

> 0.

Siccome la disuguaglianza a < b+ ε vale per ogni ε > 0 essa in particolare vale anche per

ε =a− b

2.

Cio implica che

a < b+a− b

2quindi a < b.

Cosı a partire dall’ipotesi a > b abbiamo ottenuto la conclusione incompatibile che a < b. L’ipotesioriginale deve essere errata. Quindi possiamo concludere che a ≤ b.

7. Supponiamo chep

qsia una soluzione razionale dell’equazione. E lecito supporre che p e q non abbiano

fattori primi in comune, cosı o p e q sono enntambi dispari, oppure uno e dispari e l’altro pari. Ora:

a

(p

q

)2

+ b

(p

q

)+ c = 0 =⇒ ap2 + bpq + cq2 = 0.

Se sia p che p fossero dispari, allora anche ap2 + bpq + cq2 sarebbe dispari e quindi 6= 0.

Analogamente se uno dei due fosse pari e l’altro dispari allora uno fra i due numeri ap2 + bpq o bpq+ cq2

sarebbe pari e quindi ap2 + bpq + cq2 sarebbe comunque dispari. Questa contraddizione dimostra chel’equazione non puo avere una radice razionale.

1.10.4 Numeri razionali, irrazionali e reali: esercizi proposti

1. Dimostrare che esiste una sola coppia di interi a, b ∈ Z per cui

a+ ab

7 + a=

1 + b

8

2. Dimostrare che3√

41 + 29√

2 +3√

41− 29√

2 = 2

3. Motivare quali fra i seguenti numeri reali sono irrazionali

1.10. Esercizi 39

(a)√

2 +√

3

(b) 4√

81

(c) log7 343

(d)√

3 + 1

(e) 3√

3

(f)√

2 +√

3−√

5

4. Dimostrare che se p ∈ N e un numero primo, allora√p /∈ Q

5. Dimostrare che, se m ∈ N e un fissato numero naturale, allora il numero positivo x definito dalla relazione:

x =1

x−me irrazionale. Dedurre da cio che ogni numero reale y della forma

y =√

4 +m2

con m ∈ N e irrazionale.

6. Dimostrare che log2 3 e irrazionale

7. Dimostrare che se ax2 + bx + c = 0 ha soluzioni reali e se a > 0, b > 0, c > 0 allora le soluzioni devonoessere negative.

8. Se a, b soddisfano la relazione2

a+ b=

1

a+

1

b

calcolarea2

b2

9. Provare che se a, b, c sono interi positivi, allora

(√a+√b+√c)(−√a+

√b+√c)× (

√a−√b+√c)(√a+√b−√c)

e un intero.

10. Trovare due interi positivi a e b tali che

√5 +√

24 =√a+√b.

40 1. Numeri Reali

CAPITOLO 2

SUCCESSIONI

2.1 Definizioni e generalita

Definizione 2.1.1. Una successione di numeri reali e una funzione a valori reali il cui dominio e l’insieme Ndei numeri naturali.

Di solito si descrive questa particolare funzione con la notazione (an)n∈N o, semplicemente (an) . Il terminen-esimo della successione e l’immagine dell’intero n ∈ N; invece di rappresentare tale termine mediante l’usualenotazione a(n) si suole scrivere, nel caso delle successioni an. Diremo che an e il termine n-esimo della succes-sione. Una successione dunque differisce da una insieme: ad esempio nel caso di successioni le ripetizioni sonosignificative. Si consideri la successione di termine generale an = 2 + (−1)n. In questo caso abbiamo

(an)n∈N = (1, 3, 1, 3, 1, 3, . . .)

Viceversa l’immagine della funzione a : N→ R definita da a(n) = an = 2 + (−1)n e l’insieme

x ∈ R : x = an, n ∈ N = 1, 3.

Definizione 2.1.2. Diremo che:

(i) Una successione (an) e stazionaria se per ogni n ∈ N esiste k ∈ R tale che an = k.

(ii) Una successione (an) e crescente se per ogni n ∈ N an ≤ xn+1.

(iii) Una successione (an) e decrescente se per ogni n ∈ N an ≥ xn+1.

(iv) Una successione (an) e crescente strettamente se per ogni n ∈ N an < xn+1.

(v) Una successione (an) e decrescente strettamente se per ogni n ∈ N an > an+1.

(vi) Una successione (an) e limitata inferiormente se per ogni n ∈ N esiste α tale che α ≤ an.

(vii) Una successione (an) e limitata superiormente se per ogni n ∈ N esiste ω tale che an ≤ ω.

(viii) Una successione (an) e limitata se e, sia limitata inferiormente sia superiormente.

42 2. Successioni

Esempi

(a) an = 4 per ogni n ∈ N e stazionaria;

(b) an =n

n+ 1e crescente strettamente e limitata;

(c) an =1

ne decrescente strettamente e limitata;

(d) an = n2 e crescente strettamente e limitata inferiormente;

(e) an = cosn e limitata.

(f) an = (−1)nn! e non limitata.

2.1.1 Progressioni aritmetiche

Una progressione aritmetica e una successione (an) in cui la differenza d fra due termini successivi e costante.Dunque, per ogni n ∈ N, n ≥ 2:

an − an−1 = d. (2.1)

La (2.1) non determina univocamente (an) che e individuata completamente se si assegna il primo termine a1.Infatti se poniamo a1 = a ∈ R:

a1 = a, a2 = a+ d, a3 = a+ 2d, . . .

ragionando induttivamente troviamo per ogni n ∈ N :

an = a+ (n− 1) d. (2.1′)

a e detto primo termine della progressione aritmetica d la ragione.Nel caso in cui la ragione della progressione e nulla, la progressione aritmetica si riduce alla successione

stazionaria.E’ possibile ottenere la formula per la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica.

Teorema 2.1.1. Sia (an) una progressione aritmetica di primo termine a e ragione d, si ha, allora:

n∑

k=1

ak =n

2(a1 + an) . (2.2)

Dimostrazione. Procediamo utilizzando la formula per somma dei primi n interi, vedi pagina 28:

n∑

k=1

ak =n∑

k=1

[a+ (k − 1) d] =n∑

k=1

a+n∑

k=1

(k − 1) d

= na+ dn−1∑

k=0

k = na+ dn (n− 1)

2

= n

[a+

d

2(n− 1)

]=n

2[2a+ (n− 1) d]

=n

2[a+ a+ (n− 1) d] =

n

2(a1 + an) .

Il teorema e completamente dimostrato.

2.2. Successioni convergenti 43

Usando il teorema 2.1.1, possiamo trovare la formula per somma dei primi n numeri dispari, vedi formula(1.8) di pagina 19. Infatti la successione dei numeri dispari e la progressione aritmetica di primo termine 1 eragione 2 an = 1 + 2(n− 1). Applicando (2.2) vediamo che:

n∑

k=1

ak =n

2(a1 + an) =

n

2[1 + 1 + 2(n− 1)] =

n

2[2 + 2n− 2] = n2.

2.1.2 Progressioni geometriche

Una progressione geometrica e una successione (an) , an 6= 0 per ogni n ∈ N, tale per cui il rapporto r fra duetermini successivi e costante. Dunque deve valere, per ogni n ∈ N, n ≥ 2:

anan−1

= r. (2.3)

La progressione geometrica e univocamente determinata solo se si fissa il primo termine a1. Il caso degenere incui r = 1 porta a successioni stazionarie. Da (2.3), vediamo subito che ogni progressione geometrica di primotermine a ∈ R ragione r ∈ R e la successione di termine generale:

an = a rn−1. (2.3′)

Teorema 2.1.2. Sia (an) una progressione geometrica non degenere, si ha allora:

n∑

k=1

a rk−1 = a1− rn1− r . (2.4)

Dimostrazione. Se n = 1 (2.4) si riduce all’identita:

a r0 = a1− r1− r .

Supponiamo ora che, in corrispondenza di s ∈ N sia soddisfatta (2.4):

s∑

k=1

a rk−1 = a1− rs1− r .

Consideriamo ora la somma di (s+ 1) termini della progressione, si ha:

s+1∑

k=1

a rk−1 =s∑

k=1

a rk−1 + a rs = a1− rs1− r + a rs

= a1− rs + rs − rs+1

1− r = a1− rs+1

1− r .

Cio mostra che l’insieme degli interi verificanti (2.4) e induttivo.

2.2 Successioni convergenti

Data la successione (an), si studia il comportamento all’aumentare del valore dell’indice n ∈ N. Nel graficoseguente abbiamo messo in ascissa l’indice e in ordinata i valori corrispondenti di an = n/(n+ 1) per valori din ∈ N compresi fra 1 e 60. L’esame della figura suggerisce il fatto che al crescere di n i valori della successione si

44 2. Successioni

10 20 30 40 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

fanno via via piu vicini a 1. L’idea e che la successione tenda al valore limite 1, pero e chiaro che questo valorelimite non e algebricamente ammissibile, in quanto l’equazione:

an =n

n+ 1= 1,

e impossibile. Questa situazione e rappresentata dalla scrittura:

limn→+∞

n

n+ 1= 1,

in cui n → +∞ si deve leggere come n tendente all’infinito. Si usa anche scrivere an → 1. Questo mododi procedere, sebbene intuitivo e naturale, non permette di definire rigorosamente il concetto di successioneconvergente.

Definizione 2.2.1. Diciamo che (an) converge a a per n → +∞, se per ogni ε > 0 esiste un indice nε ∈ Ntale che per ogni n ∈ N, n ≥ nε si ha:

|an − a| < ε. (L)

Per provare che la successione usata come esempio di successione convergente tende effettivamente a 1 sideve risolvere la disequazione: ∣∣∣∣

n

n+ 1− 1

∣∣∣∣ < ε. (L′)

Eseguendo i calcoli si ricava che (L′) e soddisfatta per n > (1− ε)/ε. L’indice critico e, dunque, dato dalla parteintera b(1− ε)/εc di (1− ε)/ε.

Una successione non necessariamente e convergente, ma se e convergente non puo ammettere due limitidistinti.

Teorema 2.2.1. Se (an) e una successione convergente, il suo limite e unico.

Dimostrazione. Supponiamo, per assurdo, che esistano a, b con a 6= b tali che an → a e an → b. Allora si ha,usando la disuguaglianza triangolare, teorema 1.9.1 (i), pagina 23:

|a− b| = |a− an + an − b| ≤ |a− an|+ |an − b| . (2.5)

2.2. Successioni convergenti 45

Ma la successione (an) e convergente, dunque preso ε =|a− b|

2per definizione di limite esiste un indice nε ∈ N

tale per cui per ogni n ∈ N, n > nε si ha

|an − a| <|a− b|

2, |an − b| <

|a− b|2

e sostituendo in (2.5) troviamo:

|a− b| < |a− b|2

+|a− b|

2= |a− b|

che e una contraddizione.

Nel prossimo Teorema usiamo la seconda disuguaglianza triangolare presentata nel Teorema 1.9.1 di pagina23

Teorema 2.2.2. Se la successione (an) converge a a allora la successione (|an|) converge a |a|.Dimostrazione. Per ipotesi per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che se n ∈ N, n > nε si ha |an − a| < ε. PerTeorema 1.9.1 (ii) abbiamo ∣∣∣|an| − |a|

∣∣∣ ≤ |an − a| < ε

e da qui la tesi.

Osservazione 2.2.1. La tesi del Teorema 2.2.2 non puo essere invertita. Ad esempio se an = (−1)n lasuccessione non e convergente, ma il suo valore assoluto |an| = 1 e una successione stazionaria, che quindi econvergente.

Teorema 2.2.3. Ogni successione convergente e limitata.

Dimostrazione. Supponiamo che la successione (an) converga al limite a. Per il Teorema 2.2.2 abbiamo anche chela successione (|an|) converge a |a|. Se applichiamo la definizione di limite a quest’ultima successione prendendoε = 1 avremo che per ogni n ∈ N, n > nε

∣∣|an| − |a|∣∣ < 1 ⇐⇒ |a| − 1 < |an| < |a|+ 1

Di conseguenza per ogni n ≥ 1 si ha

|an| < max|a1|, |a2|, . . . , |anε |, |a|+ 1il che prova l’asserto.

Osservazione 2.2.2. La tesi del Teorema 2.2.3 non puo essere invertita. Ad esempio se an = (−1)n lasuccessione non e convergente ma e limitata.

Dimostriamo ora il Teorema della permanenza del segno.

Teorema 2.2.4. Se (an) e una successione convergente con limite a > 0 allora esiste un indice n0 ∈ N tale cheper ogni n ∈ N, n > n0 riesce an > 0.

Dimostrazione. Per ipotesi an → a > 0. Preso ε = a/2 esiste n0 ∈ N tale che per ogni n ∈ N, n > n0

|an − a| <a

2⇐⇒ a− a

2< an < a+

a

2⇐⇒ a

2< an <

3a

2

Ma essendo per ipotesi a > 0 la tesi e dimostrata.

Osservazione 2.2.3. Esiste un analogo enunciato, che lasciamo al lettore, nel caso di successioni convergenticon limite negativo.

46 2. Successioni

2.3 Successioni infinitesime

In questo paragrafo svolgiamo la teoria per una particolare classe di successioni per poi estenderla al casogenerale. In questo modo otteniamo una trattazione piu semplice, sebbene limitata ad una situazione particolare.

Definizione 2.3.1. Se la successione convergente (an) ha limite zero, diremo che la successione e infinitesima.

Osservazione 2.3.1. Dalla definizione di limite numero 2.2.1 segue che la successione (an) e infinitesima se esolo se per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che se n ∈ N, n > nε risulta

|an| < ε. (2.6)

Osservazione 2.3.2. Dal Teorema 2.2.2 segue che (an) e infinitesima se e solo se (|an|) e infinitesima.

Esempio 2.3.1. La successione di termine generale

an =1

n+ 1

e infinitesima.

Dimostrazione. Per verificare che una data successione e infinitesima si puo tentare (anche se non sempre questae la strada piu facile da seguire) l’approccio diretto, che consiste nel risolvere la disuguaglianza (2.6). In questocaso, per la natura algebrica del termine generale della successione in esame la cosa e possibile. Osserviamoanche che in questo particolare caso la successione oggetto di studio e a termini positivi. Si ha imponendo (2.6)

|an| < ε ⇐⇒ 1

n+ 1< ε ⇐⇒ n+ 1 >

1

ε⇐⇒ n >

1

ε− 1

Pertanto la definizione 2.3.1 e soddisfatta con

nε =

⌊1

ε− 1

⌋

Osservazione 2.3.3. Se (an) e una successione infinitesima e non negativa, i.e. tale che an ≥ 0 per ogni n ∈ Nallora per ogni α > 0 la successione (aαn) e infinitesima.

Dimostrazione. Per ipotesi la successione (an) e infinitesima, ne segue che fissato ε > 0, esiste nε ∈ N tale cheper ogni n ∈ N, n > nε risulta

an < ε1α

elevando alla potenza α i due lati di quest’ultima si trova:

n > nε =⇒ aαn < ε

come volevasi

La maggior fonte di informazioni sul comportamento delle successione si ottiene confrontando una succes-sione di cui non si conosce il comportamento con un’altra dal comportamento noto. La prossima definizione edil prossimo Teorema sono il primo esempio di questa tecnica.

Definizione 2.3.2. Siano (an), (bn) due successioni. Diremo che (bn) domina (an) se esiste n0 ∈ N tale cheper ogni n ∈ N, n > n0 si ha

|an| ≤ bn

2.3. Successioni infinitesime 47

Teorema 2.3.1. Se (bn) domina (an) e (bn) e infinitesima, allora anche (an) e infinitesima.

Dimostrazione. Dobbiamo provare che, per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che per ogni n ∈ N, n > nε vale

|an| < ε

Per ipotesi (bn) e infinitesima, dunque esiste nε ∈ N tale che per ogni n > nε vale

|bn| < ε

D’altra parte e anche |an| ≤ bn per n > n0 e pertanto posto mε := maxnε, n0 si ha che per ogni n > mε

|an| ≤ bn < ε

come volevasi.

Esempio 2.3.2. Con riferimento alla successione infinitesima dell’esempio 2.3.1, che qui rinominiano come (bn)abbiamo che la successione di termine generale

an =1

1 + n2

e dominata da (bn). Infatti

1

1 + n2≤ 1

1 + n⇐⇒ 1 + n2 ≥ 1 + n ⇐⇒ n2 ≥ n ⇐⇒ n ≥ 1

Pertanto anche (an) e infinitesima.

Teorema 2.3.2. Siano (an) e (bn) due successioni infinitesime allora

(i) (an + bn) e infinitesima

(ii) se λ ∈ R allora (λan) e infinitesima

(iii) (anbn) e infinitesima

Dimostrazione. Procediamo punto a punto.

(i) Dobbiamo far vedere per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che

|an + bn| < ε per ogni n > nε

Stante che (an) e (bn) sono infinitesime esistono pε, qε ∈ N tali che

|an| <ε

2per ogni n > pε

|bn| <ε

2per ogni n > qε

Posto nε := maxpε, qε dalla disuguaglianza triangolare otteniamo:

|an + bn| < |an|+ |bn| <ε

2+ε

2= ε per ogni n > nε

48 2. Successioni

(ii) Possiamo supporre che sia λ 6= 0 perche altrimenti il Teorema e ovvio trattando in questo caso dellasuccessione stazionaria di valore zero. Dobbiamo far vedere per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che

|λan| < ε

Stante che (an) e infinitesima esiste nε ∈ N tale che

|an| <ε

|λ| per ogni n > nε

E allora essendo

|λan| < ε ⇐⇒ |λ| |an| < ε ⇐⇒ |an| <ε

|λ|la tesi e dimostrata.

(iii) Dobbiamo far vedere per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che

|anbn| < ε per ogni n > nε

Stante che (an) e (bn) sono infinitesime esistono pε, qε ∈ N tali che

|an| <√ε per ogni n > pε

|bn| <√ε per ogni n > qε

Posto nε := maxpε, qε abbiamo, per ogni n > nε

|anbn| = |an| |bn| <√ε√ε = ε

il che mostra quanto asserito.

Per passare dalla teoria alla pratica ci occorre imparare a conoscere il comportamento di una serie disuccessioni campione. Cominciamo con il presentare le principali successioni infinitesime.

Teorema 2.3.3. Le seguenti successioni sono infinitesime:

(i)

(1

nα

)con α > 0

(ii) (rn) con |r| < 1

(iii) (nαrn) con α > 0 e |r| < 1

(iv)

(cn

n!

)con c ∈ R

(v)

(nα

n!

)con α > 0

Dimostrazione. Esaminiamo le affermazioni una ad una.

(i) Per le considerazioni svolte nell’osservazione 2.3.3 ci basta osservare che la successione (an)

an =1

n

e infinitesima.

2.3. Successioni infinitesime 49

(ii) Possiamo limitarci a studiare il problema per 0 ≤ r < 1 per via dell’osservazione 2.2.2. Per r = 0 laconclusione e ovvia, quindi supponiamo 0 < r < 1. Possiamo scrivere r come

r =1

1 + aper qualche a > 0

Ora per la disuguaglianza di Bernoulli, Teorema 1.9.2 formula (1.16) pagina 25 abbiamo, per ogni n ∈ N

(1 + a)n ≥ 1 + na

di conseguenza per ogni n ∈ Nrn =

1

(1 + a)n≤ 1

na

Ora ( 1n ) e infinitesima e per Teorema 2.3.3 anche ( 1

na ) e infinitesima. La nostra affermazione segue dalTeorema 2.3.1.

(iii) Anche in questa situazione e sufficiente considerare il caso 0 < r < 1 e come nel punto precedente possiamosupporre che sia

r =1

1 + aper qualche a > 0

In questa situazione la disuguaglianza di Bernoulli non e sufficiente, dobbiamo seguire una strategia piufine. Cominciamo provando il caso α = 1. Usando il Teorema binomiale 1.8.1 di pagina 21 abbiamo, pern ≥ 2

(1 + a)n ≥ 1 + na+1

2n(n− 1)a2 ≥ 1

2n(n− 1)a2

e quindi se n ≥ 2

nrn =n

(1 + a)n≤ n

1

2n(n− 1)a2

=2

(n− 1)a2

Ora stante che la successione ( 1n−1 )∞2 e infinitesima tale e anche ( 2

n−1 )∞2 in forza del Teorema 2.3.2 (ii).La tesi, nel caso α = 1 segue allora dal Teorema di dominazione 2.3.1. Infine se α > 0 e un genericonumero positivo osserviamo che

nαrn =(nr

1α

)α

Per quanto appena mostrato la successione (nr1α ) e infinitesima, quindi la tesi segue in questo caso

dall’osservazione 2.3.3

(iv) Anche in questo caso per via dell’osservazione 2.2.2 e sufficiente trattare il caso c > 0. Per la proprietaarchimedea, paragrafo 1.6, possiamo scegliere m ∈ N tale che m+1 > c, allora per ogni n > m+1 abbiamo

cn

n!=( c

1

)( c2

)· · ·( cm

)( c

m+ 1

)· · ·(

c

n− 1

)( cn

)

≤( c

1

)( c2

)· · ·( cm

)( cn

)

=cm

m!

( cn

)

Posto λ = cm

m! abbiamo che la successione assegnata e dominata dalla successione infinitesima (λcn ). La tesisegue ancora dal Teorema di dominazione 2.3.1.

50 2. Successioni

(v) Per provare l’affermazione osserviamo che

nα

n!=nα

2n2n

n!

Ora (nα

2n ) e infinitesima per la parte (iii) e ( 2n

n! ) e infinitesima per la parte (iv), dunque l’affermazione (v)segue da Teorema 2.3.2 (iii).

Sfruttiamo la (i) del teorema 2.3.3 e il teorema 2.3.1 per illustrare il seguente

Esempio 2.3.3.

limn→+∞

(√1 + n−√n

)= 0

Dimostrazione. Ricordiamo la regola della differenza di due quadrati a2− b2 = (a− b)(a+ b) e la scriviamo cona =√α e b =

√β in modo che

α− β =(√

α−√β)(√

α+√β)

Dunque se α = n+ 1 e β = n abbiamo che

√1 + n−√n =

1 + n− n√1 + n+

√n

=1√

1 + n+√n≤ 1√

n

Per la (i) del teorema 2.3.3 abbiamo che

limn→+∞

bn = limn→+∞

1√n

= 0,

Allora postoan =

√1 + n−√n ≤ bn

l’affermazione segue dal teorema 2.3.1.

2.4 Algebra delle successioni convergenti

Dopo aver affrontato la situazione specifica delle successioni infinitesime, in questo paragrafo cerchiamo diestendere le conclusioni del Teorema 2.3.2 al caso di arbitrarie successioni convergenti. Il teorema che andiamoa provare e uno degli strumenti principalmente utilizzati nelle applicazioni.

Teorema 2.4.1. Selim

n→+∞an = a, lim

n→+∞bn = b,

allora

(i) limn→+∞

(an + bn) = a+ b

(ii) limn→+∞

(λan) = λa per ogni λ ∈ R

(iii) limn→+∞

(anbn) = ab

(iv) limn→+∞

anbn

=a

bposto che sia b 6= 0

Osservazione 2.4.1. Nel seguito di riferiremo alla tesi del Teorema 2.4.1 come segue:

2.4. Algebra delle successioni convergenti 51

(i) si dice regola della somma

(ii) si dice regola del multiplo

(iii) si dice regola del prodotto

(iv) si dice regola del quoziente

Nelle applicazioni della regola del quoziente puo accadere che qualche termine della successione (bn) siannulli, tuttavia per il Teorema 2.2.4 della permanenza del segno esiste n0 ∈ N tale che bn 6= 0 per ogni n > n0.In questo caso si dice che la successione quoziente e definitivamente ben definita.

Dimostrazione. Iniziamo osservando che an → a comporta che la successione (an − a) e infinitesima.Cominciamo dalla regola della somma. Per ipotesi (an − a) e (bn − b) sono infinitesime e inoltre, osservato

che

(an + bn)− (a+ b) = (an − a) + (bn − b)abbiamo che anche (an + bn − a− b) e infinitesima per Teorema 2.3.2 (i).

Per provare la regola del prodotto usiamo ancora il Teorema 2.3.2, questa volta la voce (iii). Si ha

anbn − ab = an(bn − b) + anb− ab = an(bn − b) + b(an − a)

Siccome la successione (an) e convergente essa e anche limitata, quindi esiste α > 0 tale che |an| < α, Teorema2.2.3, pertanto

|anbn − ab| ≤ α|bn − b|+ b|an − a|Il che comporta che la successione (anbn − ab) e infinitesima, provando (iii).

La regola del multiplo, punto (ii) e conseguenza del punto (iii) quando la successione bn e stazionaria.Infine passiamo alla regola del quoziente, punto (iv). Non e restrittivo supporre che sia b > 0, dunque per

il Teorema 2.2.4 della permanenza del segno esiste n0 ∈ N tale che per ogni n ∈ N, n > n0 riesce:

0 <1

2b < bn <

3

2b =⇒ 1

bn<

2

b

Cio premesso, facciamo vedere che la successione (an/bn − a/b) e infinitesima: cio segue dalla stima:

∣∣∣∣anbn− a

b

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣anb− abn

bbn

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣anb− ab+ ab− abn

bbn

∣∣∣∣

≤ 2

b2(b |an − a|+ |a| |bn − b|)

Il Teorema ora provato permette il calcolo di limiti in svariate situazioni. Vediamo un paio di esempi,rinviando al termine del capitolo per una piu articolata rassegna di esercizi. Cominciamo con:

limn→+∞

1− n+ n2

1 + n+ n2

Nonostante il limite non si presenti come quoziente di due successioni convergenti possiamo dividere numeratoree denominatore per la massima potenza di n, in questo caso n2, ottenendo

1− n+ n2

1 + n+ n2=

1

n2− 1

n+n2

n2

1

n2+

1

n+n2

n2

=

1

n2− 1

n+ 1

1

n2+

1

n+ 1

52 2. Successioni

In questo modo a numeratore abbiamo la differenza di due successioni infinitesime con la successione stazionariadi valore 1 e a denominatore la somma di due successioni infinitesime con la successione stazionaria di valore 1,pertanto

limn→+∞

1− n+ n2

1 + n+ n2=

0− 0 + 1

0 + 0 + 1= 1

Studiamo poi

limn→+∞

n+ 3n

n! + n3

Dividendo numeratore e denominatore per n! otteniamo

n

n!+

3n

n!

1 +n3

n!

e siccome ciascuna delle tre successioni ( nn! ), ( 3n

n! ), (n3

n! ) e per Teorema 2.3.3 infinitesima, se ne conclude che

limn→+∞

n+ 3n

n! + n3=

0 + 0

1 + 0= 0

Osservazione 2.4.2. Il procedimento che abbiamo seguito e stato quello di dividere numeratore e denominatoreper il termine dominante. Nel primo esempio n2 e la massima potenza in n dell’espressione considerata. Nelsecondo caso la scelta di n! puo non sembrare del tutto immediata, ma si e visto che i quozienti cosı formatihanno originato successioni infinitesime.

Per la scelta del termine dominante e utile considerare la seguente scala di dominazione che si deduce dalTeorema 2.3.3

• Il termine fattoriale n! domina un termine potenza rn per ogni r ∈ R• Il termine potenza rn domina nα quando α > 0, r > 1

L’approccio da seguire per il calcolo di limiti di quozienti e, quindi:

1. Identificare il termine dominante, ricordando il Teorema 2.3.3

2. Dividere numeratore e denominatore per il termine dominante

3. Applicare il Teorema 2.4.1 per calcolare il limite

2.5 Limiti e disuguaglianze

Iniziamo generalizzando il Teorema 2.3.1 al caso di successioni convergenti esponendo quello che viene chiamatoTeorema del confronto. E anche noto come Teorema del sandwich, o Teorema dei due carabinieri.

Teorema 2.5.1. Se

(i) an ≤ bn ≤ cn per ogni n ∈ N (ii) limn→+∞

an = limn→+∞

cn = `

allora limn→+∞

bn = `

2.5. Limiti e disuguaglianze 53

Dimostrazione. Per ipotesi, per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che se n > nε si ha

`− ε < an < `+ ε, `− ε < cn < `+ ε

e allora, per gli stessi n abbiamo`− ε < an ≤ bn ≤ cn < `+ ε

il che e quanto si voleva dimostrare.

Il Teorema 2.5.1 sebbene di dimostrazione assai semplice, consente il calcolo di limiti di notevole importanzaed interesse.

Esempio 2.5.1. Sia x un numero reale strettamente positivo. Allora:

limn→+∞

n√x = 1.

Dimostrazione. Intanto se x = 1 la nostra affermazione e immediata, perche la successione risulta costante. Siax > 1. Allora per ogni n ∈ N si ha n

√x > 1, dunque, deve esistere, per ogni n ∈ N, rn ∈ R rn > 0 tale che:

n√x = 1 + rn.

Eleviamo i due lati alla n e usiamo la disuguaglianza di Bernoulli in modo che:

x = (1 + rn)n ≥ 1 + n rn,

da cui:

0 < rn <x− 1

n.

Ma, allora per il Teorema del confronto 2.5.1, abbiamo che rn → 0, quindi n√x→ 1.

Terminiamo con il caso x < 1. Posto y = x−1, si ha y > 1, quindi n√y → 1. D’altra parte, essendo:

n√x =

1n√y,

ancora una volta, n√x→ 1.

Dall’esistenza del limite dell’esempio 2.5.1 si trae anche il seguente risultato.

Teorema 2.5.2. Sia (an) una successione strettamente positiva e limitata e cioe tale che esistono 0 < α < βper cui α ≤ an ≤ β per ogni n ∈ N allora

limn→+∞

n√an = 1 (2.7)

La tesi (2.7) vale in particolare se si assume che esista limn→+∞

an = a > 0.

Dimostrazione. Da α ≤ an ≤ β segue che n√α ≤ n

√an ≤ n

√β pertanto siccome per l’esempio 2.5.1 sappiamo

che n√α→ 1, n

√β → 1 la tesi (2.7) segue dal Teorema del confronto 2.5.1.

Infine se supponiamo an → a > 0 per il Teorema della permanenza del segno 2.2.4 avremo che esiste n0 ∈ Ntale che per ogni n ∈ N, n > n0 riesce

a

2< an <

3

2a

Dunque per quanto provato in precedenza si ha la tesi (2.7).

54 2. Successioni

Ad esempio per il Teorema 2.5.2 abbiamo:

limn→+∞

n√

2 + sinn = 1, limn→+∞

n

√1 + 2n

1 + n= 1.

Esempio 2.5.2.

limn→+∞

n√n = 1.

Poniamo an = n√n e bn =

√an. Esiste certamente una successione non negativa rn per cui, per ogni n ∈ N si

ha bn = 1 + rn. Si ha, per la disuguaglianza di Bernoulli:

√n = bnn = (1 + rn)

n ≥ 1 + n rn,

quindi:

0 ≤ rn ≤√n

n− 1

n,

da cui, tenendo presente che, se n ≥ 1 vale:

√n

n− 1

n≤ 1√

n,

si trae:

rn ≤1√n.

Ma allora, ricordando la definizione di an e bn si trova:

1 ≤ an = b2n = 1 + 2rn + r2n ≤ 1 +

2√n

+1

n≤ 1 +

3√n,

il che prova, per il teorema del confronto:

limn→+∞

n√n = 1.

Concludiamo con un classico limite notevole riguardante la funzione seno:

Esempio 2.5.3.

limn→+∞

n sin1

n= 1.

Il limite (2.5.3) segue dalle disuguaglianze soddisfatte da angoli α del primo quadrante, vedi Figura 2.1, 0 <α < π/2:

sinα < α < tanα (2.8)

2.5. Limiti e disuguaglianze 55

O x

y

PQ

H A_

Figura 2.1: limn→+∞

n sin1

n= 1

Osserviamo che (2.8) e equivalente nel primo quadrante a

1 <α

sinα<

1

cosα. (2.8b)

Posto α = 1n , si ha, usando (2.8b):

1 <1

n sin1

n

<1

cos1

n

, (2.8c)

L’ultimo passo per terminare la dimostrazione e far vedere che

limn→+∞

cos1

n= 1. (2.9)

Ci occorre una formula di Trigonometria, precisamente quella che viene chiamata quarta formula di prostaferesi:

cos p− cos q = −2 sinp+ q

2sin

p− q2

Qui usiamo la formula con p = 0 e q = 1n in modo che

cos 0− cos1

n= 1− cos

1

n= −2 sin

(− 1

n

)sin

1

n= 2 sin2 1

n

Quindi sfruttando ancora una volta (2.8b) vediamo che

0 ≤ 1− cos1

n= 2 sin2 1

n≤ 2

n2(2.8d)

Da (2.8d) usando il Teorema 2.5.1 si deduce (2.9) e da questa ancora per Teorema 2.5.1 e per (2.8d) si ottienela nostra affermazione.

Anche il prossimo risultato studia correlazioni fra limiti e disuguaglianze.

Teorema 2.5.3. Se limn→+∞

an = a e limn→+∞

bn = b e, inoltre, riesce an ≤ bn per ogni n ∈ N allora a ≤ b

56 2. Successioni

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che risulti a > b. Allora per Teorema 2.4.1 si ha che

limn→+∞

(an − bn) = a− b > 0

Ma allora per il Teorema della permanenza del segno 2.2.4 esiste n0 ∈ N tale che per ogni n ∈ N, n > n0 si ha

0 <a− b

2< an − bn <

3(a− b)2

in contraddizione con l’ipotesi an − bn ≤ 0.

Osservazione 2.5.1. Nel caso in cui accada che la disuguaglianza fra le due successioni (an) e (bn) sia stretta:an < bn per ogni n la tesi del Teorema 2.5.3 non cambia. Infatti se, ad esempio, an = 0, bn = 1

n si ha

an < bn e limn→+∞

an = 0 = limn→+∞

bn

Quindi anche se an < bn quel che possiamo affermare, nel caso in cui le due successioni considerate sianoconvergenti, e lim

n→+∞an ≤ lim

n→+∞bn

2.6 Successioni divergenti

Definizione 2.6.1. Diremo divergente ogni successione (an) che non risulti convergente.

Se accade che, una successione divergente assume al crescere di n ∈ N valori sempre piu grandi, si parleradi successioni successioni divergenti all’infinito. Precisiamo con la seguente definizione.

Definizione 2.6.2. La successione (an) si dice:

(a) positivamente divergente, se fissato arbitrariamente K ∈ R si ha che esiste un indice nK ∈ N tale che, perogni n ∈ N, n > nK si ha an > K;

(b) negativamente divergente, se fissato arbitrariamente K ∈ R si ha che esiste un indice nK ∈ N tale che, perogni n ∈ N, n > nK si ha an < K;

(c) divergente in modulo, se fissato arbitrariamente K ∈ R si ha che esiste un indice nK ∈ N tale che, per ognin ∈ N, n > nK si ha |an| > K.

Scriveremolim

n→+∞an = +∞ oppure an → +∞

per denotare le successioni positivamente divergenti e

limn→+∞

an = −∞ oppure an → −∞

quando la successione diverge negativamente, infine

limn→+∞

an =∞ oppure an → +∞

quando la successione e divergente in modulo.

Osservazione 2.6.1. Le successioni divergenti, classificate dalla definizione 2.6.2 non esauriscono i possibilitipi di successioni divergenti introdotte nella definizione 2.6.1. Infatti e possibile che una successione divergentesia anche limitata, come ad esempio la successione (−1)n. Ha senso dunque dare un’ulteriore definizione.

2.6. Successioni divergenti 57

Definizione 2.6.3. La successione divergente (an) si dice oscillante se e limitata.

Le successioni divergenti e illimitate sono in qualche modo correlate alle successioni infinitesime. Nel pros-simo Teorema 2.6.1, detto Teorema del reciproco, daremo conto, in modo rigoroso dell’operazioni simbolica10 =∞.

Teorema 2.6.1. Se (an) soddisfa le due condizioni

(a) (an) e definitivamente positiva (b) ( 1an

) e infinitesima

allora limn→+∞

an = +∞

Osservazione 2.6.2. Diciamo che una successione (an) verifica definitivamente una certa proprieta, se esisten0 ∈ N per cui la proprieta in questione e verificata per ogni n ∈ N, n > n0.

Ad esempio la successione an = n− 1000 e definitivamente positiva, in quanto an > 0 per ogni n > 1000.

Dimostrazione. La tesi da provare e che per ogni K ∈ R esiste nK ∈ N tale che, per ogni n ∈ N, n > nK siha an > K. Siccome (an) e definitivamente positiva, esiste n0 ∈ N tale che n > n0 =⇒ an > 0. Siccome lasuccessione reciproca ( 1

an) e infinitesima esiste n1 ∈ N tale che per ogni n > n1 riesce

∣∣∣∣1

an

∣∣∣∣ <1

K

Ora se nK = maxn0, n1 abbiamo

0 <1

an<

1

Kper ogni n > nK

La tesi segue passando alla disuguaglianza reciproca.

Nel seguente Teorema 2.6.2 trattiamo rigorosamente l’affermazione simbolica 1∞ = 0

Teorema 2.6.2. Se an e una successione divergente in modulo, allora:

limn→+∞

1

an= 0.

Dimostrazione. Sappiamo per ipotesi, che per ogni M > 0 esiste nM ∈ N tale che |an| > M per ogni indice nper cui n > nM . Ma allora si ha che:

1

|an|<

1

M, per ogni n > nM .

La tesi segue, allora, ponendo ε = 1/M e ricordando che:

∣∣∣∣1

an

∣∣∣∣ =1

|an|.

Nel seguente Teorema 2.6.3 vediamo quali relazioni algebriche valgono nel caso di successioni infinite.

Teorema 2.6.3. Siano an, bn, cn tre successioni con an → +∞ e cn → 0: allora

58 2. Successioni

(a) se bn e limitata, allora:

limn→+∞

(an + bn) = +∞, limn→+∞

bnan

= 0, limn→+∞

bn · cn = 0;

(b) se bn ≥ β > 0 per ogni n ∈ N, allora:

limn→+∞

(an · bn) = +∞, limn→+∞

bncn

=∞.

Dimostrazione. Iniziamo con la prima affermazione.(a) La limitatezza di bn assicura l’esistenza di α, β ∈ R tali che α ≤ bn ≤ β per ogni indice n ∈ N. La divergenza(positiva) di an significa che an > M per ogni indice n > nM con M arbitrario numero positivo. Allora, sen > nM abbiamo che:

an + bn ≥M + α,

il che prova la prima affermazione. Per quanto attiene alla seconda affermazione, cominciamo osservando che lalimitatezza di bn comporta anche la limitatezza del suo valore assoluto |bn|, cosı possiamo supporre che esistauna costante positiva γ tale che |bn| < γ per ogni n ∈ N. Si osservi che, facendo riferimento alle notazioniprecedenti γ = max |α| , |β| . Ora se n > nM l’ipotesi di divergenza di an permette di dedurre che, se n > nM :

∣∣∣∣bnan

∣∣∣∣ ≤γ

M.

L’ultima disuguaglianza prova la seconda affermazione, ove si prenda:

ε =γ

M.

Infine per provare la terza affermazione ricordiamo che, per ogni ogni ε > 0 se n > nε si ha |cn| < ε. Diconseguenza se n > nε vale la disuguaglianza:

|bn cn| ≤ γ |cn| < γε,

che dimostra la terza affermazione.(b) La successione bn e, per ipotesi, inferiormente limitata, mentre, come al solito, la divergenza di an assicurache an > M se n > nM . Allora ne deduciamo che:

an bn ≥ β an > βM,

se n > nM . La prima affermazione e cosı provata. Passando alla seconda parte della tesi, ricordiamo che, peripotesi, fissato ε > 0 abbiamo che |cn| < ε se n > nε. Di conseguenza abbiamo che, se n > nε vale:

1

|cn|>

1

ε.

Quindi abbiamo anche che, sempre per n > nε, si ha:∣∣∣∣bncn

∣∣∣∣ >β

ε

che dimostra l’ultima affermazione.

Diamo la versione del Teorema del confronto per successioni positivamente divergenti, lasciando al lettorela semplice dimostrazione.

2.7. Successioni monotone 59

Teorema 2.6.4. Siano (an) e (bn) due successioni tali che definitivamente an ≤ bn. Se limn→+∞

an = +∞ allora

limn→+∞

bn = +∞

Esempio 2.6.1. Se r > 1 si ha che limn→+∞

rn = +∞.Infatti se r > 1 esiste un reale positivo p tale per cui r = 1 + p, allora per la disuguaglianza di Bernoulli

abbiamo che an = rn = (1 + p)n ≥ 1 + n p, ma, allora lim

n→+∞an = +∞ in forza del Teorema 2.6.4.

2.7 Successioni monotone

Con il termine successioni monotone ci si riferisce alla totalita successioni o crescenti o decrescenti. Questesuccessioni ammettono sempre limite finito o infinito. La monotonia di una successione, se unita alla limitatezzane assicura la convergenza, infatti abbiamo il:

Teorema 2.7.1. Se (an) e crescente e superiormente limitata allora:

limn→+∞

an = a

ove

a = sup an : n ∈ N .

Dimostrazione. Fissiamo ε > 0. Per la proprieta dell’estremo superiore a − ε non e maggiorante dell’insiemean : n ∈ N dunque esiste α ∈ an : n ∈ N tale che a − ε < α. Ora α ∈ an : n ∈ N significa che esistenε ∈ N tale che α = anε e dunque abbiamo dimostrato che

a− ε < anε

Ora per l’ipotesi di monotonia abbiamo che per ogni n ∈ N, n > nε e anε < an e allora abbiamo mostrato cheper ogni n ∈ N, n > nε si ha

a− ε < an < a+ ε

che e quanto volevasi dimostrare.

Analogamente vale:

Teorema 2.7.2. Se (an) e decrescente e inferiormente limitata allora:

limn→+∞

an = b

ove

b = inf an : n ∈ N .

Infine, quando una successione crescente non e superiormente limitata, essa diverge positivamente:

Teorema 2.7.3. Se (an) e una successione crescente e non limitata superiormente, allora essa diverge positi-vamente. Se, invece (an) e decrescente e non limitata inferiormente, allora essa diverge negativamente.

60 2. Successioni

2.7.1 Il numero e

Il Teorema 2.7.1 si applica alla successione:

an =(

1 +1

n

)n.

Questo limite fu introdotto da Leonard Euler (1707-1783) nella sua monumentale opera Introductio in analysininfinitorum del 1748. Sicuramente e il limite piu importante di tutto il corso. Nel Corollario 1.9.4.1, formula(1.22), pagina 27 abbiamo gia dimostrato, usando la disuguaglianza fra la media aritmetica e la media geometricache tale successione e monotona. In ogni caso, per esercizio, proviamo questa affermazione con un’altra tecnica.Si ha:

an+1

an=

(n+ 2

n+ 1

)n+1

·(

n

n+ 1

)n

=n+ 2

n+ 1·(

n2 + 2n

n2 + 2n+ 1

)n=n+ 2

n+ 1·(n2 + 2n+ 1− 1

n2 + 2n+ 1

)n

=n+ 2

n+ 1·(

1 +−1

n2 + 2n+ 1

)n,

ora, applicando la disuguaglianza di Bernoulli vediamo che:

an+1

an≥ n+ 2

n+ 1·(

1− n

n2 + 2n+ 1

)

=2 + 3n+ 3n2 + n3

1 + 3n+ 3n2 + n3> 1,

dunque abbiamo provato che an+1 > an qualunque sia n e con questo la monotonia della successione an.Proviamo la limitatezza, si ha:

(1 +

1

n

)n=

n∑

m=0

(n

m

)1

nm=

n∑

m=0

n · (n− 1) · · · (n−m+ 1)

m!

1

nm.

I fattori n · (n− 1) · · · (n−m+ 1) sono m, pertanto:

n · (n− 1) · · · (n−m+ 1)

nm= 1 ·

(1− 1

n

)·(

1− 2

n

)· · ·(

1− m− 1

n

)< 1,

dunque:

(1 +

1

n

)n<

n∑

m=0

1

m!= 1 + 1 +

1

2+

1

2 · 3 + · · ·+ 1

2 · 3 · · ·m

< 1 + 1 +1

2+

1

2 · 2 + · · ·+ 1

2 · 2 · · · 2︸︷︷︸m−1

= 1 +m−1∑

k=0

1

2k.

Per la formula per la somma dei primi m termini della progressione geometrica troviamo:

(1 +

1

n

)n< 1 +

1− 1

2m

1− 1

2

< 1 +1

1− 1

2

= 3.

Abbiamo provato la limitatezza della successione an e, quindi, la sua convergenza. Il limite di tale successione,indicato con la lettera e e un numero che per, quanto abbiamo visto, soddisfa le limitazioni 2 < e < 3. Si puoinoltre provare che e e irrazionale, vedi teorema 3.5.2 pagina 99. Il valore di e, approssimativamente, e:

e ' 2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995957.

La discussione fin qui condotta mostra che esiste, per via del Teorema 2.7.1

limn→+∞

(1 +

1

n

)n(2.10)

Dall’esistenza del limite (2.10) si deduce anche il seguente risultato.

Teorema 2.7.4. Sia (an) una successione di numeri reali positivi tendente a +∞ allora

(i) limn→+∞

(1 +

1

an

)an= e (ii) lim

n→+∞

(1− 1

an

)an=

1

e

Dimostrazione. (i) Poiche banc ≤ an < banc+ 1 osservato che definitivamente e banc 6= 0 risulta

(1 +

1

banc+ 1

)banc<(

1 +1

an

)an<(

1 +1

banc)banc+1

(2.11)

D’altra parte essendo

limn→+∞

(1 +

1

n+ 1

)n= limn→+∞

(1 +

1

n+ 1

)n+1

limn→+∞

(1 +

1

n+ 1

)−1

= e

dalla definizione di limite abbiamo che per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che se n ∈ N, n > mε allora∣∣∣∣(

1 +1

n+ 1

)n− e∣∣∣∣ < ε

inoltre poiche per ipotesi banc → +∞ esiste mε ∈ N tale che banc > nε per ogni n ∈ N, n > mε allora per talin vale ∣∣∣∣

(1 +

1

banc+ 1

)banc− e∣∣∣∣ < ε

Cio prova che e limn→+∞

(1 +

1

banc+ 1

)banc= e. In modo analogo si dimostra che lim

n→+∞

(1 +

1

banc)banc+1

= e.

Da qui e dalla (2.11) si trae limn→+∞

(1 +

1

an

)an= e.

(ii) Poiche an → +∞ non e restrittivo supporre an > 1 per ogni n ∈ N. Cio premesso si ha(

1− 1

an

)an=

(an − 1

an

)an=

1(1 +

1

an − 1

)an

=1

(1 +

1

an − 1

)an−1(1 +

1

an − 1

) →1

e

in quanto an − 1→ +∞ e quindi per (i) e

(1 +

1

an − 1

)an−1

→ e

Per il Teorema 2.7.4 vediamo subito ad esempio che

limn→+∞

(1− 1

n

)n=

1

e, lim

n→+∞

(1 +

1

n+ 2

)n+2

= e

62 2. Successioni

2.7.2 La funzione esponenziale

L’introduzione di e ci permette di iniziare il lavoro che ci consentira di definire rigorosamente la funzioneesponenziale. L’idea e quella di definire per x ∈ R il numero ex nel modo seguente:

ex = limn→+∞

(1 +

x

n

)n(e)

Per dare questa definizione abbiamo pero bisogno di verificare che tale numero, oltre che per x = 1 sia definitoper gli altri valori reali di x. Il caso x = 0 e banalmente definito: e0 = 1. Sia x > 0. In modo simile a quelloseguito per x = 1 si dimostra che in questo caso la successione

((1 + x

n

)n)e strettamente crescente. Dalla

formula del binomio, Teorema 1.8.1 pagina 21, abbiamo

(1 +

x

n

)n=

n∑

k=0

(n

k

)(xn

)k= 1 + n

(xn

)+n(n− 1)

2

(xn

)2

+ · · ·+(xn

)n

= 1 + x+1

2

(1− 1

n

)x2 + · · ·+ xn

nn

Il generico termine di posto k di questa sommatoria e

n(n− 1) . . . (n− k + 1)

k!

(xn

)k=

1

k!

(1− 1

n

)(1− 2

n

). . .

(1− k − 1

n

)xk

Al crescere di n abbiamo che i prodotti nel secondo membro aumentano, stante che ciascuno dei fattori a secondomembro cresce con n e questo e sufficiente a mostrare la monotonia della successione

((1 + x

n

)n)nel caso x > 0.

Inoltre se x > 0 la successione((

1 + xn

)n)e superiormente limitata. Infatti, per la disuguaglianza di Bernoulli

(1.16) abbiamo, per ogni k = 1, 2, . . . (1 +

1

n

)k> 1 +

k

n(∗)

Ora se k ∈ N e tale che k ≥ x da (∗) segue che

(1 +

x

n

)n≤(

1 +k

n

)n≤((

1 +1

n

)k)n=

((1 +

1

n

)n)k≤ ek

in quanto sappiamo che la successione((

1 + 1n

)n)e strettamente crescente ed ha limite e. Dunque la successione((

1 + xn

)n)e monotona crescente e superiormente limitata dal numero ek e pertanto essa ammette limite, dando

significato alla (e) per x > 0.Studiamo infine l’esistenza del limite (e) per x < 0. Osservato che, ovviamente, se x < 0 si ha −x > 0,

per il caso precedente, sappiamo che la successione((

1− xn

)n)converge. Ricordiamo che la disuguaglianza

di Bernoulli (1 + c)n > 1 + nc vale per c ≥ −1. Quando ci preoccupiamo della convergenza di((

1 + xn

)n)ci

interessiamo a valori grandi di n quindi possiamo assumere che sia n > −x. Di conseguenza n2 > x2 e percio1n2 <

1x2 e infine x2

n2 < 1. Prendendo c = − x2

n2 nella disuguaglianza di Bernoulli otteniamo

(1− x2

n2

)n≥ 1 + n

(−x

2

n2

)= 1− x2

n

Questa disuguaglianza vale per n > −x. Ne consegue che per n > −x vale

1 ≥(

1− x2

n2

)n≥ 1− x2

n. (2.12)


La successione(

1− x2

n

)ha limite 1, quindi per il Teorema del confronto 2.5.1:

limn→+∞

(1− x2

n2

)n= 1

Ora in conseguenza dell’uguaglianza

(1 +

x

n

)n=

(1 +

x

n

)n (1− x

n

)n

(1− x

n

)n =

(1− x2

n2

)n

(1− x

n

)n (2.13)

stante che sia la successione a denominatore che quella numeratore convergono abbiamo la convergenza di((1 + x

n

)n).

Riassumendo abbiamo dimostrato che per ogni x ∈ R la successione((

1 + xn

)n)converge, e dunque ha senso

la seguente definizione di funzione esponenziale.

Definizione 2.7.1. Per ogni x ∈ R

ex = limn→+∞

(1 +

x

n

)n

La prima proprieta della funzione esponenziale, che segue dalla precedente discussione e espressa dal Teorema2.7.5

Teorema 2.7.5. Per ogni x ∈ R si ha

ex e−x = 1

Dimostrazione. Riscriviamo la relazione (2.13) nella forma

(1 +

x

n

)n (1− x

n

)n=

(1− x2

n2

)n(2.13b)

Ora passando al limite per n→ +∞ in (2.13b) otteniamo

ex e−x = 1

come volevasi.

2.7.3 Estrazione di radice quadrata

Il teorema 2.7.2 della convergenza monotona delle successioni si applica in modo particolarmente felice a succes-sioni definite ricorsivamente, come quella che andiamo ad analizzare, nota come algoritmo di Erone, che fornisceun metodo di calcolo approssimato di

√2.

Consideriamo la successione (an) cosı definita:

a1 = 2, an+1 =1

2

(an +

2

an

), n ≥ 1

Dico che

limn→+∞

an =√

2

64 2. Successioni

Cominciamo osservando che (an) e inferiormente limitata, mostrando per induzione che per ogni n ∈ N riesce

a2n > 2 (2.14)

L’affermazione e ovviamente vera per n = 1 (passo di partenza). Supponiamo ora (passo induttivo) che esistam ∈ N tale che a2

m > 2. Si ha

a2m+1 − 2 =

(1

2

(am +

2

am

))2

− 2 =a4m − 4a2

m + 4

4a2m

=

(a2m − 2

)2

4a2m

> 0

L’ultima disuguaglianza segue dall’ipotesi induttiva.Dunque estraendo radice quadrata positiva abbiamo che an >

√2 per ogni n ≥ 1. Dimostriamo ora che (an)

e descrescente, facendo vedere che la differenza an − an+1 e positiva, in conseguenza di (2.14).

an − an+1 = an −1

2

(an +

2

an

)=a2n − 2

2an> 0

Ora per teorema 2.7.2 abbiamo che la successione (an) converge ad un limite `. D’altra parte se consideriamoanche la successione

bn =1

2

(an +

2

an

)

per il teorema 2.4.1 abbiamo che

limn→+∞

bn =1

2

(`+

2

`

)

D’altra parte anche la successione (an+1) converge a ` e dunque deve essere

` =1

2

(`+

2

`

)

da cui si deduce con un po’ di algebra elementare che `2 = 2 e siccome ` e certamente positivo si ha ` =√

2.Questo metodo fornisce un modo rapido di approssimare

√2. Gia il termine a3 = 17

12 e tale che a23 ' 2, 00694

Osservazione 2.7.1. Per ogni x > 0 la successione ricorrente

a1 = x, an+1 =1

2

(an +

x

an

)

converge decrescendo a√x.

2.7.4 Il criterio del rapporto per le successioni

Presentiamo un risultato, noto come criterio del rapporto per le successioni, basato sul teorema 2.2.4 dellapermanenza del segno e sul teorema 2.7.2 sulla convergenza delle successioni monotone e limitate. Questoteorema e importante perche permette facilmente di stabilire ordinare le successioni divergenti all’infinito,completando in un certo senso l’analisi iniziata con il teorema 2.3.3.

Teorema 2.7.6. Sia (an) una successione a termini positivi tale che esiste il limite

limn→+∞

an+1

an= ` < 1. (2.15)

Allora la successione (an) e infinitesima.

Dimostrazione. Applicando il teorema della permanenza del segno 2.2.4 alla successione

bn = 1− an+1

an

vediamo che esiste un indice m per cui bn > 0 per ogni n > m e questo significa che per tali scelte di n si ha

an+1

an< 1 cioe an+1 < an

Dunque la successione (an) e definitivamente monotona decrescente, e per il teorema 2.7.2 abbiamo che esisteil limite della successione (an) che e un numero reale non negativo, che indichiamo con a. Ora dalla relazione(2.16) segue che:

limn→+∞

an+1

an=a

a= `

D’altra parte se fosse a 6= 0 semplificando si otterrebbe ` = 1 contro l’ipotesi (2.16), dunque deve essere, comevolevasi, a = 0.

In diretta conseguenza del teorema 2.7.6 ora provato abbiamo:

Teorema 2.7.7. Sia (an) una successione a termini positivi tale che esiste il limite

limn→+∞

an+1

an= ` > 1. (2.16)

Allora la successione (an) e positivamente divergente.

Dimostrazione. Basta applicare il teorema 2.7.6 alla successione di termine generale αn =1

an.

Applichiamo il criterio del rapporto 2.7.6 per confrontare le successioni di termine generale

nb, an, n!, nn (2.17)

in cui b > 0 e a > 1. In questo modo forniamo un approccio alternativo a quello presentato nel teorema 2.3.3punti (i), (iii), (iv) e (v)

Tutte le successioni date in (2.17) divergono a +∞. Adesso, in forza del teorema 2.7.6 possiamo affermareche si tratta di infiniti espressi in ordine crescente nel senso che i limiti dei quozienti seguenti sono infinitesimi:

limn→+∞

nb

an= limn→+∞

an

n!= limn→+∞

n!

nn= 0 (2.18)

Per quanto riguarda il primo limite in (2.18) si ha

an =nb

an=⇒ an+1

an=

(n+ 1

n

)b1

a=⇒ lim

n→+∞an+1

an=

1

a< 1

e dunque per il criterio del rapporto

limn→+∞

nb

an= 0

Per il secondo limite in (2.18) abbiamo

an =an

n!=⇒ an+1

an=

a

n+ 1=⇒ lim

n→+∞an+1

an= 0

66 2. Successioni

e quindi sempre per il criterio del rapporto

limn→+∞

an

n!= 0.

Infine per il terzo limite in (2.18) abbiamo

an =n!

nn=⇒ an+1

an=

1(n+ 1

n

)n =⇒ limn→+∞

an+1

an=

1

e< 1

e ancora per il criterio del rapporto

limn→+∞

n!

nn= 0.

2.8 Teorema di Bolzano Weierstrass, Successioni di Cauchy

Iniziamo dando la definizione di successione estratta o sottosuccessione.

Definizione 2.8.1. Data la successione an e data una funzione k : N→ N iniettiva e crescente, la successioneakn = ak(n) si dice successione estratta da (an) o sottosuccessione di (an)

La piu elementare estrazione di elementi da una successione e quella che considera i soli indici o di postopari o di posto dispari. Ad esempio se an = (−1)n abbiamo la sottosuccessione pari a2n = (−1)2n = 1 e quelladispari a2n−1 = (−1)2n−1 = −1.

Ancora se an =⌊n2

⌋ove con bxc si denota la parte intera di x, abbiamo:

a2n = n, a2n−1 =

⌊n− 1

2

⌋= n− 1.

Se una successione e convergente lo sono anche tutte le sue successioni estratte.

Teorema 2.8.1. Sia (an) una successione convergente ad a ∈ R. Allora ogni successione estratta akn da (an)converge allo stesso limite di (an).

Dimostrazione. Per ipotesi per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che se n > nε allora |an − a| < ε. D’altra parteper definizione kn > n e quindi se e n > nε e anche kn > nε e quindi |akn − a| < ε

Analogamente si ha:

Teorema 2.8.2. Sia (an) una successione divergente positivamente [negativamente]. Allora ogni successioneestratta akn da (an) diverge positivamente [negativamente]

Osservazione 2.8.1. Se accade che limn→+∞

a2n = limn→+∞

a2n−1 = a allora e anche limn→+∞

an = a

Esempio 2.8.1. Calcoliamo

limn→+∞

⌊n2

⌋

n

Posto an =

⌊n2

⌋

nsi ha

a2n =n

2n, a2n−1 =

n− 1

2n− 1

da qui si vede che il limite cercato e 12

2.8. Teorema di Bolzano Weierstrass, Successioni di Cauchy 67

Nel caso di successioni limitate, non necessariamente convergenti, e sempre possibile estrarre una successioneconvergente. Si ha infatti un risultato di importanza fondamentale, sopratutto per il ruolo indispensabile cheavra nella dimostrazione del Teorema di Weierstrass sulle funzioni continue.

Teorema 2.8.3. [Bolzano-Weierstrass] Da ogni successione limitata si puo estrarre una sottosuccessione con-vergente.

Dimostrazione. Se l’immagine della successione an : n ∈ N e un insieme finito la dimostrazione immediata:si puo facilmente estrarre una sottosuccessione stazionaria. Supporremo allora che l’insieme an : n ∈ N siainfinito. Per convincere chi legge che questa eventualita e possibile si consideri come esempio il caso an = sinn.

Sappiamo, dall’ipotesi, che esistono due numeri α, β tali che an ∈ [α, β] per ogni n ∈ N. Dividiamol’intervallo I0 = [α, β] nei due sottointervalli:

[α,α+ β

2

],

[α+ β

2, β

].

Necessariamente almeno uno dei due sottointervalli conterra infiniti elementi dell’immagine della successionean. Indichiamo con I1 = [α1, β1] tale intervallo, convenendo di scegliere quello sinistro, nel caso in cui tutti edue i sottointervalli contenessero infiniti elementi di an. Chiaramente si ha che I1 ⊂ I0, α ≤ α1, β ≥ β1. Inoltrela lunghezza di I1 e la meta della lunghezza di I0:

β1 − α1 =β − α

2.

Per il buon ordinamento di N esiste:

k(1) = min n ∈ N : an ∈ I1 ,

quindi ak(1) ∈ I1, vale a dire α1 ≤ ak(1) ≤ β1.A questo punto ripetiamo il procedimento dimezzando l’intervallo I1 e chiamando I2 = [α2, β2] quello

contenente infiniti an con la solita convenzione sinistra se tutti e due i sottointervalli contenessero infiniti an.Si ha I2 ⊂ I1 ⊂ I0, α ≤ α1 ≤ α2, β ≥ β1 ≥ β2 e:

β2 − α2 =β − α

22.

Posto:k(2) = min n ∈ N : n > k(1), an ∈ I2 ,

abbiamo ak(2) ∈ I2, cioe α2 ≤ ak(2) ≤ β2.Resta cosı individuato un procedimento costruttivo che permette di estrarre una sottosuccessione ak(n) di

an tale che:

αn ≤ ak(n) ≤ βn, con βn − αn =β − α

2n,

in cui In ⊂ · · · ⊂ I1 ⊂ I0, α ≤ α1 ≤ · · ·αn, β ≥ β1 ≥ · · ·βn. Ora le successioni αn, βn degli estremi degliintervalli sono monotone e limitate, e dunque convergenti: βn → β∞ e αn → α∞. Ma, allora, essendo:

βn − αn =β − α

2n,

passando al limite per n→ +∞ troviamo β∞ = α∞ ma questo, per il teorema del confronto significa che esisteil limite di ak(n) e si ha:

limn→+∞

ak(n) = α∞ = β∞.

Il teorema e, allora, completamente dimostrato.

68 2. Successioni

Diamo ora il concetto di successione di Cauchy, concetto che si rivelera equivalente a quello di successioneconvergente, ma che ha notevole interesse nelle applicazioni, in quanto a differenza della definizione di limite,che per essere verificata necessita che si sia congetturato a priori a quale numero converga la successione, nonrichiede di conoscere quale sia il numero reale cui la successione tende per stabilirne la convergenza.

Definizione 2.8.2. Diremo che la successione (an) e una successione di Cauchy, se per ogni ε > 0 esiste nε ∈ Ntale per cui per ogni n, m ∈ N, n, m > nε riesce

|an − am| < ε

Dalla definizione 2.8.2 si intuisce che per valori grandi degli indici i termini della successione sono ravvicinatifra loro, e questo fa pensare al fatto che una successione di questo tipo sia convergente. In effetti e proprio cosı,anche se come vedremo la dimostrazione di questo fatto non e semplice e poggia sul Teorema di Bolzano Weier-strass di cui ci siamo da poco occupati. Cominciamo con la parte piu semplice: ogni successione convergente eanche una successione di Cauchy.

Teorema 2.8.4. Se (an) e una successione convergente, (an) e una successione di Cauchy.

Dimostrazione. Indichiamo con a il limite della successione (an). Per ipotesi per ogni ε > 0 esistono nε ∈ N emε ∈ N tali per cui per ogni n ∈ N, n > nε e per ogni m ∈ N, m > mε riesce

|an − a| <ε

2, |am − a| <

ε

2

In questo modo, posto pε = maxn e, mε se n, m > pε abbiamo, per la disuguaglianza triangolare e per quantopremesso

|an − am| = |an − a+ a− am| ≤ |an − a|+ |a− am| <ε

2+ε

2= ε

che e quanto si voleva dimostrare.

Invertire la tesi di Teorema 2.8.4 e piu articolato, per questo iniziamo con un Lemma.

Lemma 2.8.1. Se (an) e una successione di Cauchy, allora (an) e limitata.

Dimostrazione. Nulla vieta nella definizione di successione di Cauchy, di scegliere ε = 1. In questo modo abbiamoche esiste p ∈ N tale che, per n, m > p si ha |am− an| < 1. In particolare possiamo prendere n = p+ 1 in modoche |am − ap+1| < 1 o cio che e lo stesso

ap+1 − 1 < am < ap+1 + 1 per ogni m > p

In definitiva possiamo concludere che, per ogni m ∈ N si ha

am ≤ maxa1, . . . , ap, ap+1 + 1, am ≥ mina1, . . . , ap, ap+1 − 1

provando l’asserto.

A questo punto possiamo invertire la tesi del Teorema 2.8.4.

Teorema 2.8.5. Ogni successione di Cauchy e convergente.

2.9. Forme indeterminate: Regole di Stolz-Cesaro 69

Dimostrazione. Sia (an) una successione di Cauchy. Per il Lemma 2.8.1 abbiamo che essa e limitata e alloraper il Teorema di Bolzano Weierstrass 2.8.3 essa ammette una sottosuccessione (ank) convergente al limite a.Pertanto, fissato ε > 0 avremo che esiste kε ∈ N tale per cui se k > kε si ha

|ank − a| <ε

2

D’altra parte la successione data e di Cauchy e quindi esiste pε ∈ N tale che se n, m > pε riesce

|an − am| <ε

2

Ora se fissiamo k > kε in modo che sia anche nk > pε abbiamo

|an − a| = |an − ank + ank − a| ≤ |an − ank |+ |ank − a| <ε

2+ε

2= ε

Cio mostra che an → a e completa la dimostrazione.

2.9 Forme indeterminate: Regole di Stolz-Cesaro

Puo capitare che non sia possibile prevedere a priori il comportamento di una successione se questa si presentain una delle cosiddette forme indeterminate. Esse sono:

+∞−∞, ∞∞ , 0∞, 00, 1∞.

La successione di termine generale an = n2 − n si presenta nella forma indeterminata +∞−∞, eseguendo icalcoli, otteniamo:

an = n2

(1− 1

n

)= n2 · bn.

Allora possiamo concludere che:lim

n→+∞

(n2 − n

)= +∞.

D’altra parte anche la successione di termine generale:

an = n2 − n3,

presenta l’indeterminazione +∞−∞, stavolta, pero, con ragionamenti del tutto simili ai precedenti si vede che

limn→+∞

(n2 − n3

)= −∞.

Dunque nella stessa situazione di indeterminazione si trovano due risultati diametralmente opposti. Non solo,puo anche accadere di trovare un limite finito, come ad esempio:

limn→+∞

(√n2 + n+ 1− n

)=

1

2.

Infatti essendo √n2 + n+ 1− n =

n2 + n+ 1− n2

√n2 + n+ 1 + n

troviamo

limn→+∞

(√n2 + n+ 1− n

)= limn→+∞

n+ 1√n2 + n+ 1 + n

70 2. Successioni

ma, dividendo per n numeratore e denominatore:

n+ 1√n2 + n+ 1 + n

=1 +

1

n√1 +

1

n+

1

n2+ 1

quindi

limn→+∞

(√n2 + n+ 1− n

)= limn→+∞

1 +1

n√1 +

1

n+

1

n2+ 1

=1

2

Questo comportamento si presenta per ciascuna delle forme di indeterminazione.Il problema di calcolare limiti di successioni in una delle due forme indeterminate 0/0 e ∞/∞ puo essere

affrontato sfruttando due Teoremi dovuti a Ernesto Cesaro e Otto Stolz di cui ometteremo la dimostrazione,rinviando a [CS74] paragrafo 25 pagine 93–100. Questi risultati sono per le successioni l’analogo dei Teoremi dide l’Hospital, vedi paragrafo 5.9, relativi alle funzioni. Cominciamo dal rapporto di due successioni infinitesime.

Teorema 2.9.1. Date due successioni an e bn entrambe tendenti a zero per n→∞, se si suppone inoltre chebn sia crescente oppure decrescente e che esista, finito o infinito:

` = limn→∞

an − an−1

bn − bn−1

si ha allora che esiste anche il limite del quozienteanbn

e vale:

limn→∞

anbn

= `.

Anologo risultato per il quoziente di due successioni tendenti all’infinito.

Teorema 2.9.2. Date due successioni an e bn se la seconda e divergente, positivamente o negativamente, pern→∞, se si suppone inoltre che bn sia crescente oppure decrescente e che esista, finito o infinito:

` = limn→∞

an − an−1

bn − bn−1

si ha allora che esiste anche il limite del quoziente anbn

e vale:

limn→∞

anbn

= `.

Esempio 2.9.1. Calcoliamo, essendo a > 0

limn→+∞

loga n

n

E un forma indeterminata ∞/∞ con an = loga n, bn = n. Si ha:

an − an−1 = loga n− loga(n− 1) = logan

n− 1

quindi an − an−1 → 0 per n→ +∞ poi, evidentemente, bn − bn−1 = 1 pertanto:

limn→+∞

loga n

n= 0

Si dimostra, in modo analogo che

limn→+∞

loga nα

nβ= 0

2.9. Forme indeterminate: Regole di Stolz-Cesaro 71

Esempio 2.9.2. Usiamo i Teoremi di Cesaro Stolz per ritrovare un limite che gia abbiamo trattato. Calcoliamo

limn→+∞

2n

n

La forma indeterminata e ∞/∞: an = 2n, bn = n. Poi

an − an−1 = 2n − 2n−1 = 2n−1

Infine, evidentemente, bn − bn−1 = 1 pertanto:

limn→+∞

2n

n=∞

Si dimostra, in modo analogo che per ogni α > 0

limn→+∞

2n

nα=∞

Esempio 2.9.3. Siano:

an =

n∑

k=1

1

k= 1 +

1

2+ · · ·+ 1

n, bn = ln (1 + n)

e calcoliamo:

limn→∞

anbn

= limn→∞

n∑

k=1

1

k

ln (1 + n)

sfruttando il secondo teorema di Cesaro. Si ha:

an − an−1 =

(1 +

1

2+ · · ·+ 1

n

)−(

1 +1

2+ · · ·+ 1

n− 1

)=

1

n

bn − bn−1 = ln (1 + n)− ln (1 + n− 1) = ln1 + n

n= ln

(1 +

1

n

).

Quindi:an − an−1

bn − bn−1=

1

n ln(1 + 1

n

) =1

ln(1 + 1

n

)n .

Pertanto:

limn→∞

an − an−1

bn − bn−1= limn→∞

1

ln(1 + 1

n

)n

e, ricordando il limite notevole:

limn→∞

(1 +

1

n

)n= e

possiamo conclucere che:

limn→∞

an − an−1

bn − bn−1= limn→∞

1

ln e= 1,

ne viene, constatato che la funzione logaritmo naturale e crescente, per il teorema di Cesaro, che:

limn→∞

n∑

k=1

1

k

ln (1 + n)= 1.

72 2. Successioni

Si noti che nell’esempio, abbiamo implicitamente dimostrato che:

limn→+∞

n∑

k=1

1

k=∞,

in quanto la funzione a denominatore diverge positivamente. Questo fatto ha notevole interesse nella teoriadelle serie numeriche che affronteremo nel prossimo capitolo.

Concludiamo il paragrafo con i Teoremi sulle medie aritmetiche e geometriche.

Teorema 2.9.3. Se una successione converge a un numero, allora la successione delle sue medie aritmeticheconverge allo stesso numero, cioe, se an → a allora

limn→+∞

a1 + a2 + · · ·+ ann

= a

Esempio 2.9.4. Ricordato che n1/n → 1 allora

limn→+∞

1 + 21/2 + 31/3 + · · ·+ n1/n

n= 1

Osservazione 2.9.1. La tesi del Teorema 2.9.3 non si puo invertire. Infatti la successione an = (−1)n oscillae non converge. Ma la successone delle sue medie,

bn =1− 1 + 1− 1 + · · ·+ (−1)n

n

tende a zero per n→ +∞ in quanto il numeratore fa 0 oppure −1.

Teorema 2.9.4. Se una successione di numeri reali positivi converge a un numero, allora la successione dellesue medie geometriche converge allo stesso numero, cioe, se per ogni n ∈ N, an ≥ 0 e an → a, allora:

limn→+∞

n√a1a2 · · · an = a

Esempio 2.9.5.

limn→+∞

nn√n!

= e

Dimostrazione. Sappiamo che

en =

(n+ 1

n

)n→ e

applichiamo il teorema sulle medie geometriche

n√e1e2 · · · en =

n

√(2

1

)1(3

2

)2(4

3

)3

· · ·(n+ 1

n

)n

semplificando

n√e1e2 · · · en =

n

√(n+ 1)n

n!

e infine:n√e1e2 · · · en =

n+ 1n√n!

2.10. Esercizi 73

e da qui la conclusione in quanto, osservato che

nn√n!

=n

n+ 1

n+ 1n√n!

si deduce che

limn→+∞

nn√n!

= limn→+∞

n

n+ 1

n+ 1n√n!

= 1× e

Anche questo Teorema finale sara interessante per la teoria delle serie numeriche del prossimo capitolo.

Teorema 2.9.5. Se (an) e una successione di numeri reali strettamente positivi e tali che

limn→+∞

anan−1

= a,

alloralim

n→+∞anan−1

= limn→+∞

n√an = a

Esempio 2.9.6.

limn→+∞

n

√(2n

n

)= 4

Dimostrazione. Posto an =

(2n

n

)abbiamo che

anan−1

=4n− 2

ne da qui la conclusione e immediata per Teorema

2.9.5.

2.10 Esercizi


1. Provare che: limn→+∞

√n+ 1

3n+ 2=

1

3


√n+ 1√

n2 + n+ 1−√n= 0


n tan1

n= 1


n2

(1− cos

1

n

)=

1

2

5. Provare, applicando la definizione di limite che:

limn→∞

√1 + 9n2

n= 3


n

3−⌊n

3

⌋

√n

= 0

74 2. Successioni

7. Provare che la successione:

xn =2n

n!

e decrescente.


2n2 + n+ 1

n2 + n+ 1= 2


n∑

i=1

n

n2 + i= 1


2n

n!= 0

11. Provare che: limn→∞

1

n3

n∑

k=1

k2 =1

3


(√n2 +

1

n− n

)= 0


(3√n+ 1− 3

√n)

= 0

14. Provare che la successione an = (x2 − 2x− 1)n converge per x ∈[−1−

√3 ; 0

[∪]2 ; 1 +

√3]

15. Provare che limn→∞

3n − 2n

3n + 2n= 1

16. Provare, usando il teorema del confronto, che limn→∞

n√n log2 n = 1


(n√

2− 1)n

= 0


(1 +

1

3n

)2n

= e2/3


1

n2

n∑

k=1

k =1

2


n lnn

(n+ 1)(n+ 2)= 0


2n

n2= +∞

22. Provare che limn→+∞

n√n(n+ 1) · · · (n+ n)

n=

4

e


1

n2

n

√(3n)!

n!=

27

e2

2.10. Esercizi 75

Soluzione

1. Si ha

√n2 + 1

3n+ 2=

n

√1 +

1

n2

3n

(1 +

2

3n

) =

√1 +

1

n2

3

(1 +

2

3n

) → 1

3

2. Si ha

√n+ 1√

n2 + n+ 1−√n=

√n

√1 +

1

n

n

(√1 +

1

n+

1

n2−√

1

n

) =

√1 +

1

n

√n

(√1 +

1

n+

1

n2− 1√

n

)

3. Vanno ricordati due fatti:

tan1

n=

sin1

n

cos1

n

, limn→+∞

n sin1

n= 1

Dopo di che si procede come segue

limn→+∞

n tan1

n= limn→+∞

n sin1

n

cos1

n

=1

cos 0= 1

4. L’esercizio puo esser risolto in due modi. Nel primo si moltiplicano numeratore e denominatore per1 + cos 1

n :

n2

(1− cos

1

n

)=

n2

(1− cos2 1

n

)

1 + cos1

n

=n2 sin2 1

n

1 + cos1

n

=12

1 + 1=

1

2

Altrimenti si sfrutta la formula di prostaferesi:

cos p− cos q = −2 sinp+ q

2sin

p− q2

nel nostro caso specifico abbiamo p = 0 e q = 1/n per cui

1− cos1

n= cos 0− cos

1

n= 2 sin2 1

2n

e quindi

n2

(1− cos

1

n

)= n2 2 sin2 1

2n=

1

2

(2n sin

1

2n

)2

ma

limn→+∞

2n sin1

2n= 1

e allora si ha anche la nostra affermazione.

76 2. Successioni

5. Fissato ε > 0 consideriamo la disequazione in n ∈ N :

∣∣∣∣∣

√1 + 9n2

n− 3

∣∣∣∣∣ < ε (e1)

Si vede che (e1) e equivalente a ∣∣∣√

1 + 9n2 − 3n∣∣∣ < εn

che, a sua volta e equivalente a √1 + 9n2 < (3 + ε) n (e2)

Elevando al quadrato i due lati di (e2) si trova

1 +[9− (3 + ε)

2]n2 < 0 (e3)

Sviluppando i calcoli in (e3) troviamo

1−(ε2 + 6 ε

)n2 < 0 (e4)

da (e4) finalmente deduciamo che

∣∣∣∣∣

√1 + 9n2

n− 3

∣∣∣∣∣ < ε ⇐⇒ n >1√

ε2 + 6 ε

6. Poiche per proprieta della parte intera si ha che 0 ≤ x− bxc < 1 per ogni x ∈ R abbiamo che

0 ≤n

3−⌊n

3

⌋

√n

<1√n

e dunque

limn→+∞

n

3−⌊n

3

⌋

√n

= 0.

7. La condizione xn ≥ xn+1 equivale, ricordato che la successione in oggetto e strettamente positiva, a:

xnxn+1

≥ 1 ⇐⇒2n

n!2n+1

(n+ 1)!

=(n+ 1)!

2n!=n+ 1

2≥ 1

8. Dividiamo per n2 numeratore e denominatore

2n2 + n+ 1

n2 + n+ 1=

2 +1

n+

1

n2

1 +1

n+

1

n2

la tesi segue allora dal fatto che limn→+∞

1

n= limn→+∞

1

n2= 0

2.10. Esercizi 77

9. Per n > 1 abbiamo,

n2

n2 + n=

n

n2 + n+ · · ·+ n

n2 + n︸︷︷︸n volte

<n∑

i=1

n

n2 + i<

n

n2 + 1+ · · ·+ n

n2 + 1︸︷︷︸n volte

=n2

n2 + 1,

la tesi segue allora dal teorema del confronto poiche le due successioni agli estremi tendono a 1.

10. Per n ≥ 2 abbiamo2n

n!=

2

1· 2

2· 2

3· · · 2

n≤ 2 · 1 · 1 · · · 1 · 2

n=

4

n→ 0.

11. E fondamentale ricordare la formula per la somma dei primi n quadrati:

n∑

k=1

k2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

L’esercizio proposto si riduce pertanto al calcolo del limite:

limn→+∞

1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

n3= limn→+∞

1

6

(1 +

1

n

)(2 +

1

n)

1=

2

6=

1

3

12. Si ha √n2 +

1

n− n =

n2 + 1n − n2

√n2 + 1

n + n=

1

n(√

n2 + 1n + n

)

e da qui si tira la conclusione in considerazione del fatto che l’espressione che compare a denominatore

n(√

n2 + 1n + n

)diverge positivamente.

13. Essendo3√n+ 1− 3

√n =

n+ 1− n3√

(n+ 1)2 +3√n2 + 3

√n(n+ 1)

si vede che

limn→+∞

(3√n+ 1− 3

√n)

= 0

14. La successione geometrica converge se, detta r la sua ragione si ha −1 < r ≤ 1. Cio premesso nell’esercizioin oggetto basta saper risolvere il sistema di disequazioni:

−1 < x2 − 2x− 1

x2 − 2x− 1 ≤ 1

il cui insieme soluzione e appunto quello indicato nell’enunciato.

15. Si ha:

3n − 2n

3n + 2n=

1−(

2

3

)n

1 +

(2

3

)n

78 2. Successioni

16. Se n ≥ 2 vale: 1 ≤ log2 n ≤ n. Moltiplicando per n si trova n ≤ n log2 n ≤ n2 ed estraendo radicen√n ≤ n

√n log2 n ≤ n

√n2. Pertanto abbiamo che

n√n ≤ n

√n log2 n ≤

(n√n)2

La tesi segue dal limite notevole, che qui si assume noto:

limn→+∞

n√n = 1.

17. Si ha

limn→+∞

(n√

2− 1)n

= 0+∞ = 0

18. Bisogna innazitutto ricordare che, se an → ±∞ allora:

limn→+∞

(1 +

1

an

)an= e

Pertanto la tesi segue dal fatto che:

(1 +

1

3n

)2n

=

[(1 +

1

3n

)3n]2/3

19. Per prima cosa isoliamo la parte di successione che tende a 1:

n lnn

(n+ 1)(n+ 2)=

(n

n+ 2

) (lnn

n+ 1

)

in questo modo ci basta saper calcolare

limn→+∞

lnn

n+ 1.

Usiamo il teorema di Stolz Cesaro: notazione an = lnn, bn = n+ 1:

limn→+∞

an − an−1

bn − bn−1= limn→+∞

ln(n+ 1)− lnn

n+ 1− n = limn→+∞

lnn+ 1

n

Ora, poichen+ 1

n→ 1 per n→ +∞ abbiamo che

limn→+∞

lnn

n+ 1= ln 1 = 0

e da qui si conclude.

20. L’esercizio puo essere svolto senza usare i Teoremi di Stolz Cesaro perche lo si puo calcolare usando ilfatto che

n∑

k=1

k =n(n+ 1)

2

Mentre con Cesaro Stolz dobbiamo calcolare

an − an−1

bn − bn−1=

n

2n− 1

2.10. Esercizi 79

21. Per prima cosa isoliamo la parte di successione che tende a 1:

n lnn

(n+ 1)(n+ 2)=

(n

n+ 2

) (lnn

n+ 1

)

in questo modo ci basta saper calcolare

limn→+∞

lnn

n+ 1.

Usiamo il teorema di Stolz Cesaro: notazione an = lnn, bn = n+ 1:

limn→+∞

an − an−1


ln(n+ 1)− lnn

n+ 1− n = limn→+∞

lnn+ 1

n

Ora, poiche n+1n → 1 per n→ +∞ abbiamo che

limn→+∞

lnn

n+ 1= ln 1 = 0

e da qui si conclude.

22. Usiamo il teorema di Stolz Cesaro: notazione an = 2n, bn = n2:

limn→+∞

an − an−1


2n − 2n−1

n2 − (n− 1)2= limn→+∞

2n−1

2n− 1

Applichiamo per la seconda volta il teorema di Stolz Cesaro: notazione an = 2n−1, bn = 2n− 1:

limn→+∞

an − an−1


2n−1 − 2n−2

2n− 1− 2(n− 1) + 1= limn→+∞

2n−2

2

L’ultimo limite va a +∞ concludendo la dimostrazione.

23. Ricordiamo il teorema di Cesaro sulla media geometrica delle successioni strettamente positive: se esiste

` = limn→+∞

anan−1

allora:lim

n→+∞n√an = `

Cominciamo osservando che:

n√n(n+ 1) · · · (n+ n)

n=

n

√n(n+ 1) · · · (n+ n)

nn= n√an

D’altra parte:

anan−1

=n(n+ 1) · · · (n+ n)

nn(n− 1)n−1

(n− 1)[(n− 1) + 1] · · · [(n− 1) + (n− 1)]

Semplificando si trova:

anan−1

=(2n− 1)(2n)

(n− 1)

(n− 1)n−1

nn=

(2n− 1)(2n)

(n− 1)2

(n− 1)n

nn

80 2. Successioni

Ora:(2n− 1)(2n)

(n− 1)2→ 4,

(n− 1)n

nn→ 1

e.

La prima affermazione e immediata, per quanto attiene alla seconda, questa segue dal fatto che

(n− 1)n

nn=

(n− 1

n

)n=

(1− 1

n

)n=

[(1− 1

n

)−n]−1

unitamente al limite notevole:

limn→+∞

(1− 1

n

)−n= e

24. Si procede come nel precedente esercizio, prendendo:

an =(3n)!

n2nn!

Dopo aver osservato che:anan−1

=(3n)!

n2nn!

(n− 1)2n−2(n− 1)!

(3n− 3)!

e sfruttando il fatto che (3n)! = 3n× (3n− 1)× (3n− 2)× (3n− 3)! possiamo semplificare, ottenendo:

anan−1

=3n(3n− 1)(3n− 2)

n

(n− 1

n

)2n1

(n− 1)2

A questo punto la tesi segue da:

limn→+∞

3n(3n− 1)(3n− 2)

n(n− 1)2= 27

e da

limn→+∞

(n− 1

n

)2n

= limn→+∞

[(n− 1

n

)n]2

=

(1

e

)2


1. Provare, applicando la definizione di limite che:

limn→∞

√1 + 4n2

n= 2


xn =2n

n

e crescente.


xn =3n

n!

e decrescente.


2n2 − n+ 1

n2 − n+ 1= 2

2.10. Esercizi 81

5. Calcolare limn→+∞

−n2 − 3n+ 2n

−2 (3n+ 1)2

+ 12n− 10−n


(√25n2 + n+ 1−√n

)


(√n2 − 1

n− n

)= 0


√n+1n+2 −

√n+2n+1√

n+2n+3 −

√n+3n+2

= 1


1

n2

n∑

k=1

k =1

2


(n√

7− 1)n

= 0


(−1)n

n+ 1= 0


((−1)n + (−1)n+1

)= 0


n sin2

n= 2

14. Calcolare i limiti delle seguenti successioni:

an =

√n2 + 2

2n+ 3, bn =

√n3 + 1 + n2 + 2n√

n4 + 2 + n,

cn = 3√n+ 1− 3

√n, dn =

⌊n3

⌋

n.

Risposta:

limn→+∞

an =1

2, lim

n→+∞bn = 1, lim

n→+∞cn = 0, lim

n→+∞dn =

1

2


(√n+√n+ 1

) (√n+ 2−

√n+ 4

)= −2


n

3−⌊n

3

⌋

√n

= 0


n

√(3n

n

)=

27

4


(1 +

1

2n

)3n

= e3/2


(n+ 1

n2 + 1

)n= 0


n lnn

(n+ 2)(n+ 3)= 0

82 2. Successioni


3n

n= +∞


ln(1 + 2n+ n2)

n


n√

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

n=

2

e


1

n3

n

√(4n)!

n!=

256

e3

25. Esiste un valore di a ∈ R per cui limn→∞

(√1 + an+ n2 − n

)= 4? [Risposta a = 8]

26. Dimostrare che limn→∞

(n+ 4

n+ 2

)3n

= e6

CAPITOLO 3

SERIE

3.1 Definizioni e generalita

Definizione 3.1.1. Assegnata una successione (an), chiamiamo serie generata da (an) la successione (sn) ditermine generale:

sn = s1 + s2 + · · ·+ sn =n∑

k=1

xk.

(sn) e detta successione delle somme (o delle ridotte) parziali di (an).

Definizione 3.1.2. Diremo che la serie generata da (an):

a) e convergente, se e convergente la successione delle somme parziali (sn),

b) e divergente, se e divergente la successione delle somme parziali (sn),

Dunque si parlera di serie convergente se esiste un reale s ∈ R tale che:

limn→∞

sn = s.

Avendo presente la definizione della successione delle ridotte parziali (sn), si usa indicarne il limite, quandoesiste, con la scrittura:

∞∑

n=1

an = limn→∞

n∑

k=1

xk.

Per questa ragione s e chiamato anche somma della serie.La difficolta che si incontra nello studio delle serie sta nel fatto che e molto raro riuscire ad esprimere

la successione delle somme parziali (sn) mediante una formula. La teoria delle serie deve poter stabilire laconvergenza, o meno, della successione delle somme parziali, senza conoscerla esplicitamente.

La prima conseguenza sulla successione sommanda (an) della definizione di convergenza, e la condizionenecessaria, ma non sufficiente, di convergenza espressa dal seguente Teorema.

Teorema 3.1.1. Se la serie generata da (an) e convergente allora limn→∞

an = 0

84 3. Serie

Dimostrazione. Per ipotesi la successione sn =

n∑

k=1

ak e convergente ad s ∈ R. D’altra parte, possiamo scrivere:

an = sn − sn−1 =

n∑

k=1

ak −n−1∑

k=1

ak,

ma, allora, passando al limite per n→∞ vediamo che:

limn→∞

an = limn→∞

(sn − sn−1) = s− s = 0.

L’asserto e cosı provato.

Osservazione 3.1.1. La tesi del Teorema 3.1.1 non puo essere invertita. Infatti limn→∞

an = 0 non implica che la

serie generata da (an) converge. L’esempio piu celebre e quello della serie armonica. Questa e la serie generatadalla successione (an) dei reciproci degli interi:

an =1

n, sn = lim

n→∞

n∑

k=1

1

k= limn→∞

(1 +

1

2+

1

3+ · · ·+ 1

n

)= +∞

Infatti se torniamo all’esercizio 1.10.1 numero 6, pagina 28, dove abbiamo dimostrato che per ogni n ∈ Nn∑

k=1

1√k≥ √n

e se osserviamo che per ogni k ≥ 1 vale certamente√k ≤ k ⇐⇒ 1

k≥ 1√

kotteniamo

√n ≤

n∑

k=1

1√k≤

n∑

k=1

1

k

e quindi per Teorema 2.6.4∞∑

n=1

1

n= +∞

Si noti che nell’argomento appena presentato abbiamo anche ottenuto la divergenza della serie

∞∑

n=1

1√n

Osservazione 3.1.2. La divergenza della serie armonica puo essere dimostrata anche attraverso altri argomenti.Nell’esempio 2.9.3 abbiamo dimostrato, usando le regole di Cesaro-Stolz che:

limn→∞

n∑

k=1

1

k=∞

in quanto:

limn→∞

n∑

k=1

1

k

ln (1 + n)= 1, e lim

n→∞ln (1 + n) = +∞.

3.2. Alcune serie calcolabili esplicitamente 85

Le serie non sono niente altro che particolari successioni, quindi tutta la teoria svolta per le successionie valida anche per le serie. Di conseguenza se abbiamo due serie convergenti di termine generale (an), (bn)rispettivamente:

Teorema 3.1.2. Se∞∑

n=1

an = s,∞∑

n=1

bn = t allora

(i)

∞∑

n=1

(an + bn) = s+ t (ii)

∞∑

n=1

λan = λs per λ ∈ R

3.2 Alcune serie calcolabili esplicitamente

3.2.1 Serie geometrica

La teoria delle serie ha grande rilievo per la rappresentazione decimale dei numeri reali. Ogni numero decimalee esprimibile come somma di una una serie. Ad esempio la frazione 1/3 puo essere espressa come:

1

3=

3

10+

3

102+

3

103+ · · ·+ =

∞∑

n=1

3

10n. (3.1)

La serie (3.1) e una particolare serie geometrica ottenuta dalla trasformazione in serie di una successione geo-metrica. Le relazioni (2.4) di pagina 43 sono fondamentali per trattare l’argomento unitamente a Teorema 2.3.3(ii), pagina 48 e all’esempio 2.6.1 pagina 59.

Teorema 3.2.1. Assegnata la serie geometrica, generata dalla progressione geometrica di ragione r ∈ R:

∞∑

n=1

rn−1 = 1 + r + r2 + r3 + · · ·

essa e:

a) convergente se −1 < r < 1. In tale caso la somma s(r) e:

s(r) =1

1− r ; (3.2)

b) divergente se |r| ≥ 1;

L’esempio portato in (3.1) diviene chiaro, infatti, applicando (3.2):

∞∑

n=1

3

10n=

3

10

∞∑

n=1

1

10n−1=

3

10· 1

1− 1

10

=3

9=

1

3.

Se la somma, invece di partire da n = 1 parte da altri indici, la (3.2) va modificata di conseguenza, fermorestando che deve sempre sussistere la condizione |r| < 1.

∞∑

n=2

rn−1 =r

1− r ,∞∑

n=3

rn−1 =r2

1− r ,∞∑

n=4

rn−1 =r3

1− r .

In generale se k ∈ N e un arbitrario intero positivo:

∞∑

n=k

rn−1 =rk−1

1− r .

86 3. Serie

3.2.2 Serie di Mengoli

La serie di Mengoli e una serie che molti autori chiamano telescopica. Si tratta della serie

∞∑

n=1

1

n(n+ 1)(3.3)

Osserviamo che1

k(k + 1)=

1

k− 1

k + 1

e questo comporta che la ridotta parziale sn vale

sn =

n∑

k=1

1

k(k + 1)=

n∑

k=1

(1

k− 1

k + 1

)= 1− 1

n+ 1

Dunque la serie di Mengoli e convergente e la sua somma e

∞∑

n=1

1

n(n+ 1)= limn→∞

(1− 1

n+ 1

)= 1

Il comportamento della serie di Mengoli, non e isolato. Ad esempio si dimostra che

∞∑

n=1

1

(n+ 1)(n+ 2)=

1

2

Questo segue dal fatto che

1

(k + 1)(k + 2)=

1

k + 1− 1

k + 2e quindi

n∑

k=1

1

(k + 1)(k + 2)=

1

2− 1

n+ 2

3.3 Serie a termini positivi: criteri di convergenza

Le serie a termini postivi o non negativi sono un caso particolare nel quale e possibile studiare il problemadella convergenza con diversi potenti strumenti analitici. Infatti l’ipotesi che la successione sommanda sia nonnegativa, an ≥ 0, assicura che la serie sn e una successione crescente, infatti in questo caso:

sn+1 = sn + an+1 ≥ sn.

3.3.1 Criterio generale di convergenza e sue conseguenze

Per studiare la convergenza della serie possiamo invocare il Teorema 2.7.1 della convergenza monotona perenunciare il Teorema di limitatezza per serie a termini positivi.

Teorema 3.3.1. Una serie∞∑

n=1

an a termini non negativi e convergente se e solo se la successione (sn) delle

somme parziali e superiormente limitata. Se la successione delle ridotte (sn) non e superiormente limitata,allora la serie diverge positivamente.

Dimostrazione. La tesi e conseguenza immediata di Teorema 2.7.1 e di Teorema 2.7.3.

3.3. Serie a termini positivi: criteri di convergenza 87

Sono estremamente utile nelle applicazioni i due corollari seguenti:

Corollario 3.3.1.1. [Criterio del confronto per serie a termini positivi] Se 0 ≤ an ≤ bn allora

(i) Se∞∑

n=1

bn e convergente, allora∞∑

n=1

an e convergente.

(ii) Se∞∑

n=1

an e positivamente divergente, allora∞∑

n=1

bn e positivamente divergente.

Dimostrazione. Sia an ≤ bn e supponiamo che la serie maggiorante tn =

n∑

k=1

bk sia convergente. Dall’ipotesi

deduciamo che:

sn =n∑

k=1

ak ≤ tn.

La convergenza di tn assicura la limitatezza di sn, che e, quindi convergente per il Teorema della convergenzamonotona 2.7.1.

Se, viceversa, sn e divergente allora anche tn e divergente per il Teorema 2.7.3, in quanto sn ≤ tn.

Corollario 3.3.1.2. [Criterio del confronto asintotico per serie a termini positivi] Se 0 ≤ an, bn sono due

successioni tali per cui esiste finito e diverso da zero limn→∞

anbn

= ` allora

(i)

∞∑

n=1

an e convergente se e solo se

∞∑

n=1

bn e convergente

(ii)∞∑

n=1

an e positivamente divergente se e solo se∞∑

n=1

bn e positivamente divergente

Dimostrazione. Per ipotesi fissato ε > 0, ricordando che bn > 0 riesce:

(`− ε) bn ≤ an ≤ (`+ ε) bn,

se n ∈ N e maqgiore di un opportuno indice nε ∈ N. Osservato che e possibile scegliere ε in modo che `− ε > 0la tesi segue dal teorema del confronto.

Osservazione 3.3.1. E essenziale che ` oltre che finito sia 6= 0. Qualora il limite sia 0 l’enunciato del Teoremadel confronto asintotico 3.3.1.2 puo diventare falso: si consideri il seguente controesempio:

an =1

n(n+ 1), bn =

1

n.

Sappiamo che, paragrafo 3.2.2,

∞∑

n=1

an converge e che

∞∑

n=1

bn diverge ma:

limn→∞

anbn

= limn→∞

1

n(n+ 1)1

n

= limn→∞

1

n+ 1= 0.

88 3. Serie

Esempio 3.3.1. Consideriamo la serie, nota come serie armonica di ordine 2

∞∑

n=1

1

n2(3.4)

La serie (3.4) e convergente. Infatti abbiamo visto in 3.2.2 che la serie

∞∑

n=1

1

n(n+ 1)(3.3)

e convergente (ed ha somma 1). Ora se poniamo

an =1

n(n+ 1), bn =

1

n2

abbiamo

limn→∞

anbn

= limn→∞

1

n(n+ 1)1

n2

= limn→∞

n

n+ 1= 1

Quindi per il Corollario 3.3.1.2 la serie (3.4) e convergente. Va osservato che il Corollario 3.3.1.2 non forniscealcuna informazioni sulla somma della serie confrontata. Il problema di sommare la serie (3.4) e un problemafondamentale dell’Analisi Matematica, noto con il nome di Problema di Basilea. Il problema fu posto da PietroMengoli nel 1644 e risolto da Leonardo Eulero nel 1735 che trovo la somma della serie

∞∑

n=1

1

n2=π2

6(3.4)

Non e possibile con le tecniche che apprenderemo in questo corso dimostrare questa affermazione. Nei secolisono state trovate moltissime dimostrazioni. Con tecniche esposte in un secondo corso di Analisi Matematica sipuo comprendere la dimostrazione data in [Rit13], cui siamo in un qualche modo affezionati. La somma dellaserie armonica di ordine 2 e legata alla probabilita che scelti a caso due numeri naturali essi siano relativamenteprimi e alla probabilita che un numero naturale svelo a caso sia libero da quadrati, cioe che la sua scomposizionein fattori non contenga quadrati di numeri primi.

Esempio 3.3.2. Se α > 0 la serie∞∑

n=1

1

nα(3.5)

si dice serie armonica generalizzata di ordine α. Abbiamo gia visto che per α = 1 la serie (3.5) divergepositivamente e per α = 2 la serie (3.5) converge. Osservato che, per α ∈ N

0 < α < 1 =⇒ nα < n =⇒ 1

nα>

1

n

α > 2 =⇒ nα > n2 =⇒ 1

nα<

1

n2

abbiamo che

0 < α < 1 =⇒ (3.5) diverge

α > 2 =⇒ (3.5) converge

Resta da stabilire il comportamento della serie (3.5) per 1 < α < 2

3.3.2 I criteri della radice, del rapporto e di Raabe

Criterio del rapporto

E dovuto a Cauchy (1789-1857), esso apparve nel Course d’analyse algebrique del 1821.

Teorema 3.3.2. Sia∞∑

n=1

an una serie tale che an > 0 per ogni n ∈ N, allora:

a) se esistono un numero reale K, 0 ≤ K < 1 e un indice n? tale cui per ogni n ∈ N, n > n? risulti:

an+1

an≤ K, (3.6)

allora la serie converge;

b) se esiste un indice n? tale cui per ogni n ∈ N, n > n? risulti:

an+1

an≥ 1,

allora la serie diverge.

Dimostrazione. Se vale a), ragionando per induzione, usando la (3.6), si prova la disuguaglianza, valida pern ∈ N, n > n?:

an < Kn−1a1.

Quindi il termine generale della serie e maggiorato da quello di una serie geometrica convergente e la tesi seguedal criterio del confronto 3.3.1.1.

Se vale b) il termine generale an della serie non converge a zero, quindi la serie, che e a termini positivi,diverge positivamente.

Il criterio del rapporto ha un corollario molto comodo nelle applicazioni:

Corollario 3.3.2.1. Consideriamo la serie∞∑

n=1

an, in cui an > 0 per ogni n ∈ N. Se esiste:

limn→∞

an+1

an= `,

allora:

a) se ` < 1 la serie converge; b) se ` > 1, la serie diverge.

Dimostrazione. La dimostrazione segue dal fatto che se vale a) allora e soddisfatta l’ipotesi a) del driterio delrapporto se n > n? con n? ∈ N. Se, invece, vale b), la serie diverge in quanto, non sussiste convergenza a zerodel termine generale an.

Osservazione 3.3.2. Nella tesi del Corollario 3.3.2.1 non si fa riferimento al caso ` = 1. Questo dipende dalfatto che in questa situazione la convergenza della serie e indecidibile. Infatti se si considera la serie armonica,caso in cui an = 1

n , abbiamo ` = 1 con una serie positivamente divergente. Ma se si considera la serie armonicadi ordine 2, caso in cui an = 1

n2 , abbiamo ` = 1 con una serie convergente.

90 3. Serie

Criterio della radice

Anche questo risultato e dovuto a Cauchy (1821).

Teorema 3.3.3. Sia

∞∑

n=1

an una serie tale che an ≥ 0 per ogni n ∈ N, allora:

a) se esistono un numero reale 0 ≤ K < 1 e un indice n? tale cui per ogni n ∈ N, n > n? risulti:

n√an ≤ K,


b) se esiste un indice n? tale cui per ogni n ∈ N, n > n? risulti:

n√an ≥ 1,


Dimostrazione. Supponiamo verificata l’ipotesi a). Allora, per ogni n ∈ N, n > n? vale:

an ≤ Kn. (3.3.3′)

il che comporta la convergenza della serie di termine an.Se vale b) la divergenza della serie di termine generale an segue dalla mancata convergenza a zero della

successione di termine an.

Puo essere piu rapido nelle applicazioni sfruttare il:

Corollario 3.3.3.1. Consideriamo la serie∞∑

n=1

an, in cui an ≥ 0 per ogni n ∈ N. Se esiste:

limn→∞

n√an = `,

allora:

a) se ` < 1 la serie converge; b) se ` > 1, la serie diverge.

Dimostrazione. Se vale l’ipotesi a) allora anche anche la condizione a) del criterio della radice e soddisfattaper n > n? con n? naturale opportuno. Se vale b), la serie diverge in quanto non si ha convergenza a zero deltermine generale an.

Osservazione 3.3.3. Dovesse ad esempio, accadere che uno dei due corollari ai criteri della radice o del rapportosia inefficace, nel senso che uno dei due limiti:

limn→∞

an+1

an, lim

n→∞n√an,

vale 1 e inutile tentare di calcolare l’altro limite, vedi Teorema 2.9.5. Quindi se fallisce uno dei due criteri, diradice o rapporto, non serve tentare di usare l’altro.

Criterio di Raabe

Il criterio di Raabe, puo funzionare nel caso in cui falliscano i criteri della radice e del rapporto.

Teorema 3.3.4. Sia∞∑

n=1

an una serie tale che an > 0 per ogni n ∈ N, allora:

a) se esistono un numero reale K > 1 e un indice n? tale cui per ogni n > n? risulti:

n

(anan+1

− 1

)≥ K,


b) se esiste un indice n? tale cui per ogni n > n? risulti:

n

(anan+1

− 1

)≤ 1,


Dimostrazione. Supponiamo che valga a). Allora esiste un numero δ ≥ 0 per cui K = 1 + δ. Qundi si deduconole disuguaglianze:

a1 − 2a2 ≥ δa2,

2a2 − 3a3 ≥ δa3,

. . . . . .

nan − (n+ 1)an+1 ≥ δan+1.

Sommando membro a membro si ottiene:

a1 − (n+ 1)an+1 ≥ δ (a2 + a3 + · · ·+ an+1) ,

quindi si ottiene:n∑

k=1

ak < a1 +a1

δ.

Quest’ultima disguaglianza, valida per ongi n ∈ N, comporta la superiore limitatezza della successione delleridotte parziali, e, dunque la convergenza della serie.

Se vale b) si trova:

a1 ≤ 2a2,

a2 ≤ 3a3,

. . . . . .

(n− 1)an−1 ≤ axn,ossia, sommando membro a membro:

nan ≥ a1, cioe an ≥a1

n,

da cui si vede la divergenza della serie, essndo divergente:

∞∑

n=1

a1

n.

92 3. Serie

Ancora una volta e disponibile un corollario piu operativo, che non proviamo in quanto analogo ai risultativisti per i criteri della radice e del rapporto.

Corollario 3.3.4.1. Consideriamo la serie

∞∑

n=1

an, in cui an > 0 per ogni n ∈ N. Se esiste:

limn→∞

n

(anan+1

− 1

)= `,

allora:

a) se ` > 1 la serie converge; b) se ` < 1, la serie diverge.

Esempio 3.3.3. Facciamo vedere con un esempio come il criterio di Raabe permetta di risolvere situazioni incui il criterio del rapporto e inefficace. Consideriamo la serie armonica di ordine due, che sappiamo gia essereconvergente. Applicando, a tale serie il corollario 3.3.2.1, troviamo:

limn→∞

n2

(n+ 1)2 = 1.

Non possiamo quindi fare alcuna deduzione sul comportamento della serie. Se applichiamo il corollario 3.3.4.1,invece troviamo il limite:

limn→∞

n

((n+ 1)

2

n2− 1

)= limn→∞

2n+ 1

n= 2.

Dunque abbiamo ritrovato il risultato che gia conoscevamo in merito al comportamento della serie armonica diordine due.

3.3.3 Criterio di condensazione e serie armonica generalizzata

Anche il criterio di condensazione, noto anche come criterio del 2n, e dovuto a Cauchy. Esso permette ditrasformare una serie a termini positivi in un’altra serie a termini positivi il cui comportamento e lo stesso dellaserie data.

Teorema 3.3.5. Sia (an) una successione di reali non negativi, decrescente. Allora la serie∞∑

n=1

an converge se

e solo se converge la serie:∞∑

n=1

2na2n =

∞∑

n=1

bn

Dimostrazione. Indichiamo con (sn) la ridotta della serie∞∑

n=1

an e con (tn) la ridotta parziale della serie∞∑

n=1

bn

e dunque

sn = a+ · · ·+ an e tn = 21a2 + 22a4 + · · ·+ 2na2n

Ricordato che (an) e decrescente e a1 ≥ 0 scriviamo la ridotta s2n organizzando i suoi termini come segue

s2n = a1 +(a2)+(a3 +a4)+(a5 +a6 +a7 +a8)+ · · ·+(a2k−1+1 +a2k−1+2 +a2k)+ · · ·+(a2n−1+1 +a2n−1+2 +a2n)


dunque la k-esima parentesi contiene 2k−1 termini. Ora rammentando che (an) e decrescente abbiamo

s2n ≥ 0 + (a2) + (a4 + a4) + · · ·+ (a2n + · · ·+ a2n)

= 0 + (a2) + (2a4) + · · ·+ (2n−1an) =1

2tn

(3.7)

D’altra parte possiamo anche ragionare in un’altra maniera nello scrivere i termini di s2n :

s2n = a1 + (a2 + a3) + (a4 + a+a6 + a7) + · · ·+ (a2n−1 + · · ·+ a2n−1) + a2n

≤ a1 + (a2 + a2) + (a4 + a4 + a4 + a4) + · · ·+ (a2n−1 + · · ·+ a2n−1) + a2n

= a1 + (2a2) + (4a4) + . . . (2n−1an−1) + a2n

≤ a1 + tn

(3.8)

Cio premesso, supponiamo∞∑

n=1

an convergente. Allora necessariamente la successione (sn) delle ridotte parziali

e superiormente limitata e lo stesso vale per la sottosuccessione (s2n). Ma, allora dalla disuguaglianza (3.7) sideduce che la successione (1

2 tn) e superiormente limitata. In conclusione anche la successione (tn) e superior-

mente limitata e quindi la serie∞∑

n=1

bn e convergente. Viceversa supponiamo che sia∞∑

n=1

an divergente. Questa

volta abbiamo che (sn) e illimitata superiormente e di conseguenza tale e la sottosuccessione (s2n). Dalla di-suguaglianza (3.8) segue allora che la successione (a1 + tn) e illimitata superiormente e dunque tale risulta la

successione (tn). Quest’ultimo fatto implica la divergenza di∞∑

n=1

bn e completa la dimostrazione.

Esempio 3.3.4. Se log x e il logaritmo in base 10 del numero reale positivo x allora la serie

∞∑

n=2

1

n log n

e positivamente divergente.

Dimostrazione. Si ha

an =1

n log ne allora bn = 2nan =

1

log 2n=

1

n log 2

La serie∞∑

n=1

bn diverge come la serie armonica.

Grazie al criterio di condensazione, si completa lo studio della serie armonica generalizzata, per il quale nonavevamo informazioni per i valori di α fra 1 e 2.

Teorema 3.3.6. La serie armonica generalizzata

∞∑

n=1

1

nα,

94 3. Serie

(a) per α > 1 e convergente, (b) per α ≤ 1 e divergente.

Dimostrazione. Per il criterio di condensazione la convergenza della serie armonica e equivalente alla convergenzadella serie:

∞∑

n=1

2n1

(2n)α =

∞∑

n=1

(1

2α−1

)n.

Ma quest’ultima serie e geometrica, con ragione 21−α, dunque essa converge per tutti e soli i valori di α per cui:

21−α < 1.

Possiamo cosı concludere che si ha convergenza per α > 1 e divergenza positiva per 0 < α ≤ 1.

La piena conoscenza del comportamento della serie armonica generalizzata, permette di determinare ilcomportamento di altre famiglie di serie. Ad esempio sfruttando ancora una volta il criterio di condensazione3.3.5 assieme al Teorema 3.3.6 abbiamo il:

Corollario 3.3.6.1. Sia b > 0 allora la serie

∞∑

n=2

1

n (logb n)α

(a) per α > 1 e convergente, (b) per α ≤ 1 e divergente.


an =1

n (logb n)α implica bn = 2nan =

1

nα (logb 2)α

Dunque la serie

∞∑

n=1

bn si comporta come la serie armonica generalizzata.

Unendo la tesi del Teorema 3.3.6 con il criterio del confronto asintotico 3.3.1.2 abbiamo il seguente teorema,molto utile nelle applicazioni.

Teorema 3.3.7. Sia (an) una successione non negativa e tale per cui esiste finito e diverso da zero

limn→∞

nαan = ` (3.9)

(a) se α > 1 la serie∞∑

n=1

an e convergente, (b) se α ≤ 1 la serie∞∑

n=1

an e divergente.

3.4 Serie a termini alterni, convergenza assoluta

Quando i termini di una successione (an) non hanno segno costante la successione (sn) delle ridotte parzialinon e monotona e questo in generale rende molto piu difficile lo studio della convergenza. In questo contesto ilcaso delle serie a termini di segno alterno, non rappresenta la massima generalita, pero consente di enunciare uncriterio di convergenza. Va detto poi che in molte applicazioni il caso a segno alterno si presenta frequentemente.

3.4. Serie a termini alterni, convergenza assoluta 95

Definizione 3.4.1. Sia (an) una successione a termini positivi. La serie

∞∑

n=1

(−1)n−1an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · · (3.10)

si dice serie a termini di segno alterno.

Proviamo il criterio di convergenza per le serie a termini di segno alterno.

Teorema 3.4.1. [Leibniz] Se la successione a termini postivi (an) e decrescente e infinitesima, allora la serie atermini alterni (3.10) e convergente.

Dimostrazione. Consideriamo le sottosuccessioni di ordine dispari e di ordine pari della ridotta parziale (sn). Di-co che (s2n−1) e decrescente e (s2n) e crescente, questo in conseguenza del fatto che (an) e positiva e decrescente.Infatti da

s2n+1 = s2n−1 − a2n + a2n+1

osservato che la decrescenza di (an) implica a2n − a2n+1 ≥ 0 si deduce

s2n+1 = s2n−1 + a2n − a2n+1 ≤ s2n−1 (3.11)

Analogamente das2n+2 = s2n + a2n+1 − a2n+2

stante che a2n+1 − a2n+2 ≥ 0 si deduce

s2n+2 = s2n + a2n+1 − a2n+2 ≥ s2n (3.12)

Inoltre e anches2n+1 = s2n + a2n+2 ≥ s2n (3.13)

Dalla (3.11) e dalla (3.13) si deduce che la successione (s2n−1) delle ridotte di ordine dispari e decrescente einferiormente limitata e dunque per Teorema 2.7.2 essa converge ad un limite s. Analogamente dalla (3.12) edalla (3.13) si deduce che la successione (s2n) delle ridotte di ordine pari e crescente e superiormente limitata edunque per Teorema 2.7.1 essa converge ad un limite s. Infine dalla relazione

s2n+1 = s2n + a2n+2 (3.14)

ricordato che limn→∞

an = 0 si trae

s = s

Quindi la successione delle ridotte parziali converge a s = s = s provando il Teorema.

Esempio 3.4.1. Dal Teorema 3.4.1 segue che la serie armonica a termini alterni

∞∑

n=1

(−1)n−1 1

n(3.15)

e convergente.

Definizione 3.4.2. Diremo che la serie∞∑

n=1

an converge assolutamente se e convergente la serie a termini positivi

∞∑

n=1

|an|

96 3. Serie

Per dimostrare il prossimo Teorema 3.4.2 ci occorre una nozione preliminare.

Definizione 3.4.3. Se (an) e una sucessione le successioni di termine generale a+n = maxan, 0 e a−n =

max−an, 0 sono dette parte positiva e parte negativa di (an)

Osservazione 3.4.1.an = a+

n − a−n , |an| = a+n + a−n

Inoltre

a+n =

an se an ≥ 0

0 se an < 0e a−n =

0 se an ≥ 0

−an se an < 0

Teorema 3.4.2. Se la serie∞∑

n=1

an converge assolutamente allora la serie∞∑

n=1

an e convergente.

Dimostrazione. Ricordando la definizione 3.4.3 e l’osservazione 3.4.1 abbiamo per ogni n ∈ N

an = a+n − a−n

Inoltre e anchea+n ≤ |an|, a−n ≤ |an| (3.16)

Stante che per ipotesi

∞∑

n=1

|an| e convergente da (3.16) deduciamo che le due serie

∞∑

n=1

a+n ,

∞∑

n=1

a−n sono anche

esse convergenti. In conclusione anche la serie

∞∑

n=1

an =∞∑

n=1

(a+n − a−n

)=∞∑

n=1

a+n −

∞∑

n=1

a−n

e convergente.

Osservazione 3.4.2. La tesi del Teorema 3.4.2 non puo essere invertita: Ad esempio abbiamo visto che la seriearmonica a termini alterni converge, mentre la serie armonica diverge.

Concludiamo dando la definizione del prodotto secondo Cauchy di due serie.

Teorema 3.4.3. Siano

∞∑

n=0

an,

∞∑

n=0

bn due serie assolutamente convergenti. Il prodotto secondo Cauchy delle

due serie assegnate e la serie

∞∑

n=0

cn in cui

cn = a0bn + a1bn−1 + · · ·+ anb0 =n∑

k=0

akbn−k (3.17)

Allora la serie

∞∑

n=0

cn e assolutamente convergente e si ha

∞∑

n=0

cn =

( ∞∑

n=0

an

)( ∞∑

n=0

bn

)(3.18)

Dimostrazione. Rinviamo a [Loy06] pagina 316.

3.5. La funzione esponenziale 97

3.5 La funzione esponenziale

In 2.7.1 abbiamo definito la funzione esponenziale come

ex := limn→∞

(1 +

x

n

)n(2.7.1)

In questo paragrafo facciamo vedere che la funzione esponenziale puo essere espressa attraverso la somma diuna serie. Questo ci permettera di verificare che la funzione x 7→ ex verifica la proprieta fondamentale

ex+y = exey (3.19)

Inoltre proveremo (Eulero) che il numero e e irrazionale.Iniziamo studiando il comportamento di quella che si rivelera essere la serie esponenziale.

Lemma 3.5.1. La serie∞∑

n=0

xn

n!(E)

converge per ogni valore reale di x

Dimostrazione. Infatti, considerata la serie dei valori assoluti abbiamo, applicando il criterio del rapporto

limn→∞

|x|n+1

(n+ 1)!

|x|nn!

= limn→∞

|x|n+ 1

= 0

La serie (E) e dunque assolutamente convergente per ogni valore di x ∈ R

Cominciamo con il caso di x > 0.

Teorema 3.5.1. Sia x > 0. Se ex e definito da (2.7.1) allora

∞∑

n=0

xn

n!= ex (3.20)

Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che, se x > 0 vale

∞∑

n=0

xn

n!= limn→∞

(1 +

x

n

)n

La (n+ 1)-esima somma parziale della serie (E) e

sn+1 = 1 + x+x2

2!+ · · ·+ xn

n!

Per il Teorema del binomio 1.8.1 abbiamo

(1 +

x

n

)n=

n∑

k=0

(n

k

)(xn

)k(3.21)

98 3. Serie

Il termine di indice k della somma a secondo membro di (3.21) e

(n

k

)(xn

)k=n(n− 1) . . . (n− k + 1)

k!

(xn

)k

=xk

k!

(1− 1

n

)(1− 2

n

). . .

(1− k − 1

n

)

≤ xk

k!

in quanto ognuno dei fattori fra parentesi quadra e minore di 1. Dunque abbiamo dimostrato che

(1 +

x

n

)n≤ 1 + x+

x2

2!+ · · ·+ xn

n!= sn+1

Possiamo allora applicare il Teorema 2.5.3 pagina 55 e dedurre che

limn→∞

(1 +

x

n

)n≤ limn→∞

sn+1

Dunque abbiamo provato che

ex ≤∞∑

n=0

xn

n!(3.22)

Per terminare la dimostrazione dobbiamo far vedere la disuguaglianza opposta a (3.22). Prendiamo due naturalim ed n con m ≤ n. Per il Teorema del binomio 1.8.1 abbiamo

(1 +

x

n

)n=

n∑

k=0

(n

k

)(xn

)k

≥m∑

k=0

(n

k

)(xn

)k

= 1 + x+x2

2!

(1− 1

n

)+ · · ·+ xm

m!

(1− 1

n

)(1− 2

n

). . .

(1− m− 1

n

)

Tenendo fisso m e passando al limite per n→∞ ancora per Teorema 2.5.3 abbiamo

limn→∞

(1 +

x

n

)n≥ 1 + x+

x2

2!+ · · ·+ xm

m!

cioeex ≥ sm+1

Ma ora mandiamo m→∞ in modo che, ancora per Teorema 2.5.3

ex ≥∞∑

n=0

xn

n!(3.23)

La tesi (3.20) segue confrontando le disuguaglianze (3.22) e (3.23).

Corollario 3.5.1.1.

e =∞∑

n=0

1

n!(3.24)

3.5. La funzione esponenziale 99

Dalla relazione (3.24) segue il seguente importante Teorema risalente a Eulero.

Teorema 3.5.2. [Eulero] Il numero e e irrazionale.

Dimostrazione. Indichiamo con (sn−1) la ridotta di ordine n della serie (3.24):

sn =n−1∑

k=0

1

k!

e calcoliamo la differenza e− sn usando ancora (3.24).

e− sn =∞∑

k=n

1

k!=

1

n!+

1

(n+ 1)!+

1

(n+ 2)!+ · · ·+

=1

n!

[1 +

1

(n+ 1)+

1

(n+ 1)(n+ 2)+ · · ·

]

<1

n!

[1 +

1

n+

1

n2+ · · ·

]

L’ultima espressione fra parentesi quadre e una serie geometrica di primo termine 1 e ragione 1n dunque

sommando tea serie si ottiene la maggiorazione, valida per ogni n ≥ 2

e− sn <1

n!× n

n− 1=

1

(n− 1)!× 1

n− 1(3.25)

A questo punto siamo nella posizione di dimostrare il Teorema. Supponiamo per assurdo che e sia razionale eche quindi sia esprimibile mediante la frazione

e =m

n(3.26)

in cui m ed n sono interi positivi. Dalla relazione (3.25) si trova

0 < e− sn+1 <1

n!× 1

n

e cosı moltiplicando per quest’ultima per n! otteniamo:

0 < n!(e− sn+1) <1

n(3.27)

Ora, se in (3.27) sostituiamo (3.26) otteniamo

0 < n!

[m

n−(

1 + 1 +1

2!+

1

3!+ · · ·+ 1

n!

)]<

1

n(3.28)

La (3.28) e contraddittoria in quanto

n!

[m

n−(

1 + 1 +1

2!+

1

3!+ · · ·+ 1

n!

)]

e un intero e non puo essere compreso fra 0 e 1. Dunque e /∈ Q ed il Teorema e provato.

100 3. Serie

Completiamo il lavoro iniziato con il Teorema 3.5.1 dimostrando che la serie

∞∑

n=0

xn

n!

definisce la funzione esponenziale anche per x < 0. Cominciamo dall’importante Lemma che sfrutta la definizionedi prodotto di due serie secondo Cauchy 3.4.3.

Lemma 3.5.2. Per ogni x ∈ R vale∞∑

n=0

xn

n!×∞∑

0

(−x)n

n!= 1

Dimostrazione. La serie prodotto∞∑

n=0

xn

n!×∞∑

n=0

(−x)n

n!=∞∑

n=0

cn

e definita dalla (3.17). Se n ≥ 1, ricordato il Teorema del binomio 1.8.1:

cn =

n∑

k=0

xk

k!× (−x)n−k

(n− k)!=

1

n!

n∑

k=0

n!

k!(n− k)!xk(−x)n−k

=1

n!

n∑

k=0

(n

k

)xk(−x)n−k =

1

n![x+ (−x)]

n= 0

Per n = 0 e c0 = 1× 1 = 1 il che prova quanto asserito.

Passiamo ora all’estensione della funzione esponenziale ai reali negativi.

Teorema 3.5.3. Se x < 0, allora∞∑

n=0

xn

n!= ex

Dimostrazione. Sia x < 0. Dal Lemma 3.5.2 e dal Teorema 3.5.1 abbiamo

∞∑

n=0

xn

n!=

1∞∑

n=0

(−x)n

n!

=1

limn→∞

(1 +−xn

)n =1

e−x= ex

L’ultimo passaggio e lecito grazie a Teorema 2.7.5 pagina 63.

In conclusione combinando i risultati del Teorema 3.5.1 e del Teorema 3.5.3, abbiamo la definizione dellafunzione esponenziale su tutta la retta reale.

Definizione 3.5.1. Per ogni x ∈ R si ha

ex =∞∑

n=0

xn

n!

La funzione introdotta in 3.5.1 gode effettivamente della proprieta fondamentale delle potenze, infattiabbiamo l’importantissimo Teorema.

Teorema 3.5.4. Per ogni x, y ∈ Rexey = ex+y (3.29)

3.6. Esercizi 101

Dimostrazione. Ci serviremo ancora del prodotto di due serie definito in (3.17). Si ha

ex × ey =∞∑

n=0

xn

n!×∞∑

n=0

yn

n!=∞∑

n=0

cn

dove, se n = 0 si ha c0 = 1× 1 = 1 e se n ≥ 1 si ha

cn =n∑

k=0

xk

k!× yn−k

(n− k)!=

n∑

k=0

xkyn−k

k!(n− k)!

=1

n!

n∑

k=0

n!

k!(n− k)!xkyn−k =

1

n!

n∑

k=0

(n

k

)xkyn−k =

(x+ y)n

n!

Il che mostra quanto asserito.

3.6 Esercizi


1. Dimostrare che la serie∞∑

n=1

n(n− 1)

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)e divergente


n=1

n+ sinn

1 + n3e convergente


n=1

√n+ 1−√n

naconverge per a >

1

2


n=1

(n

3

)

n!converge

5. Studiare la serie

∞∑

n=1

1

5n

(n+ 1

n

)n2

6. Dimostrare che

∞∑

n=1

1

(n+ 1)(n+ 3)=

5

12

Soluzione

1. Posto xn =n(n− 1)

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3), yn =

1

n, basta osservare che:

limn→∞

xnyn

= 1

2. La serie assegnata e a termini positivi in quanto n+ sinn > 0 per ogni n ∈ N. Poi, osservato che sussistel’ovvia maggiorazione n + sinn ≤ n + 1 la tesi scende dal teorema del confronto osservato che la seriemaggiorante

∞∑

n=1

n+ 1

n3 + 1=∞∑

n=1

1

n2 − n+ 1

converge.

102 3. Serie

3. Ricordato, mediante il prodotto notevole a2 − b2 = (a− b)(a+ b), che√n+ 1−√n =

1√n+ 1 +

√n

sin

tratta di capire per quali valori del parametro reale a converga la serie:

∞∑

n=1

1

na(√n+ 1 +

√n)

Scriviamo il binomio√n+ 1 +

√n come:

√n+ 1 +

√n =√n

(1 +

√n+ 1

n

)= bn

√n

essendo

bn = 1 +

√n+ 1

n

una successione limitata tale che 1 ≤ bn ≤ 2. Ne viene che il termine generale della serie che stiamostudiando si scrive come:

1

na+ 12 bn

Ai fini del comportamento asintotico la successione bn e ininfluente, in quanto limitata e positiva, quindila serie si comporta come la serie armonica generalizzata di ordine a+ 1/2 e, dunque, si avra convergenzaper i valori di a per cui:

a+1

2> 1

4. Conviene usare il criterio del rapporto, dopo aver osservato che il termine generale della serie, si riduce a:

an =

(n

3

)

n!=

n!

3!(n− 3)!

n!=

1

6(n− 3)!.

Pertantoan+1

an=

(n− 3)!

(n− 2)!=

1

n− 2

e allora essendo

limn→∞

an+1

an= limn→∞

1

n− 2= 0

abbiamo mostrato che la serie assegnata converge.

5. Usiamo il criterio della radice. Abbiamo

n√an =

n

√1

5n

(n+ 1

n

)n2

=1

5

(n+ 1

n

)n

ma

limn→∞

(n+ 1

n

)n= limn→∞

(1 +

1

n

)n= e

quindi

limn→∞

n√an =

e

5< 1

quindi la serie assegnata converge.

3.6. Esercizi 103

6. Occorre una formula simile a quella trovata studiando la serie di Mengoli. Dico che:

n∑

k=1

1

(k + 1)(k + 3)=

5n2 + 13n

12 (n2 + 5n+ 6)

Lasciando al lettore la prova induttiva, la conclusione diventa a questo punto elementare.



n=1

(1 +

1

n

)n2

cos2 n+ cosn+ 7

3n+2e convergente

2. Dimostrare che la serie

∞∑

n=1

(√n2 + 1−

√n2 − 1

)diverge positivamente

3. Studiare la convergenza delle seguenti serie a termini positivi:

(a)∞∑

n=1

n+ 2n

n!

(b)∞∑

n=1

n(n− 1)

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

(c)

∞∑

n=1

(1 +

1

n

)n2

sin2 n+ sinn+ 7

3n+2

(d)∞∑

n=1

√1− cos

1

nxn

(e)∞∑

n=1

n ln

(1 +

1

n

)sin

1

n

(1− cos

1

n

)

(f)

∞∑

n=1

(2n)!!

(2n+ 1)!

4. Dimostrare che∞∑

n=1

1

(n+ 1)(n+ 4)=

13

36sfruttando la formula, che va dimostrata per induzione:

n∑

k=1

1

(k + 1)(k + 4)=

13n3 + 81n2 + 122n

36 (n3 + 9n2 + 26n+ 24)

104 3. Serie

CAPITOLO 4

LIMITI E CONTINUITA

4.1 Funzioni reali di una variabile reale

Definizione 4.1.1. Con il termine funzione reale di una variabile f : D → T intendiamo che siano assegnate:

• un sottoinsieme di D di R il dominio della funzione f .

• una variabile indipendente che solitamente denoteremo con la lettera x.

• un sottoinsieme T di R di outputs della funzione, chiamato codominio (target set) della funzione.

• una formula, che associa ad ogni input del dominio un unico output. Questa formula sara denotata conx 7→ f(x) o piu semplicemente f(x).

Definizione 4.1.2. L’immagine im(f) di f : D → T e il sottoinsieme del codominio T definito da

im(f) = f(x) : x ∈ D

Il grafico della funzione f : D → T e il sottoinsieme di D × T

gr(f) = (x, y) ∈ D × T : y = f(x), x ∈ D.

E importante saper distinguere, anche a seconda del contesto fra il valore f(x) di una funzione nel puntox ∈ D e la funzione pensata nel suo complesso secondo la definizione 4.1.1. Ad esempio useremo espressioniquali: consideriamo la funzione definita da

f(x) = x4 + x2 (x ∈ R)

Se poi il contesto lo consente eviteremo riferimenti al dominio. In molte situazioni la formula che definisce unafunzione comporta automatiche restrizioni di dominio.

Ad esempio se consideriamo la formula x 7→ f(x) = 4√

1− x4 il piu grande insieme in cui la formula scrittaproduce un output reale e D = [−1, 1]. In questo caso abbiamo che l’immagine e f(D) = [0, 1] ed il grafico gr(f)e rappresentato in Figura 4.1.

Nei capitoli precedenti abbiamo introdotto alcune funzioni che continueremo ad usare nel seguito. Adesempio la funzione valore assoluto x 7→ |x|, vedi definizione 1.5.1 pagina 17.

106 4. Limiti e continuita

-1.0 -0.5 0.5 1.0x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

f HxL

Figura 4.1: x 7→ f(x) = 4√

1− x4

La parte intera di x 7→ bxc introdotta nel Corollario 1.6.1.2 di pagina 18. da notare che i punti anneriti inFigura 4.3 vogliono indicare il fatto che per ogni n ∈ Z e bnc = n

Associata alla parte intera di x e la parte frazionaria x = x − bxc Figura 4.4 che e il primo esempio difunzione periodica che incontriamo in questo corso. Infatti tale funzione e tale per cui, per ogni x ∈ R riesce:

f(x+ 1) = f(x)

Il periodo fondamentale della funzione e il minimo reale positivo ω per cui riesca f(x+ ω) = f(x). Nel caso dif(x) = x abbiamo che ω = 1.

Definizione 4.1.3. Una funzione f : I → R definita sull’intervallo I si dice

(i) crescente, se x, y ∈ I, x < y =⇒ f(x) ≤ f(y)

(ii) strettamente crescente, se x, y ∈ I, x < y =⇒ f(x) < f(y)

(iii) decrescente, se x, y ∈ I, x < y =⇒ f(x) ≥ f(y)

(iv) strettamente decrescente, se x, y ∈ I, x < y =⇒ f(x) > f(y)

Osservazione 4.1.1. Se la funzione f e (strettamente) crescente, la sua opposta −f e (strettamente) decre-scente, e viceversa.

Osservazione 4.1.2. Una funzione f e (strettamente) crescente se per ogni y < x per cui risulti definito ilquoziente

f(x)− f(y)

x− y ≥ 0 (f(x)− f(y)

x− y > 0).

Analogamente, una funzione g e (strettamente) decrescente se per ogni y < x per cui essa e definita

g(x)− g(y)

x− y ≤ 0 (g(x)− g(y)

x− y < 0).

Dimostrazione. Per esercizio.

4.1. Funzioni reali di una variabile reale 107

x

f HxL

Figura 4.2: x 7→ f(x) = |x|

-2 -1 1 2 3 4 5x

1

2

3

4

f HxL

Figura 4.3: x 7→ f(x) = bxc

Esempio 4.1.1. Se n ∈ N la funzione monomia

fn(x) = xn definita per x ≥ 0

e strettamente crescente.

Dimostrazione. Ricordiamo l’identita

xn − yn = (x− y)(xn−1 + xn−2y + · · ·+ xyn−2 + yn−1)

Ora se x > y ≥ 0 per l’osservazione 4.1.2 abbiamo

f(x)− f(y)

x− y =xn − ynx− y

=(x− y)(xn−1 + xn−2y + · · ·+ xyn−2 + yn−1)

x− y= xn−1 + xn−2y + · · ·+ xyn−2 + yn−1 > 0.


-2 -1 1 2x

1

f HxL

Figura 4.4: x 7→ f(x) = x

Definizione 4.1.4. Una funzione f : R→ R si dice

(i) pari se per ogni x ∈ R si ha f(−x) = f(x)

(ii) dispari se per ogni x ∈ R si ha f(−x) = −f(x)

Teorema 4.1.1. Ogni funzione f : D → R con D ⊂ R tale per cui x ∈ D implica −x ∈ D puo essere espressacome la somma di una funzione pari e di una funzione dispari.

Dimostrazione. Poniamo:

p(x) =f(x) + f(−x)

2, d(x) =

f(x)− f(−x)

2.

Evidentemente:

f(x) = p(x) + d(x),

cosı come e evidente che p(x) e una funzione pari e d(x) e una funzione dispari, infatti:

p(−x) =f(−x) + f(−(−x))

2=f(−x) + f(x)

2= p(x),

d(−x) =f(−x)− f(−(−x))

2=f(−x)− f(x)

2= −d(x).

Esempio 4.1.2. Ad esempio se f(x) = x2 + x allora p(x) = x2 e d(x) = x. Naturalmente in molte situazionila decomposizione e meno ovvia, ad esempio se:

f(x) =x

x2 + x+ 1

allora

p(x) = − x2

1 + x2 + x4, d(x) =

x+ x3

1 + x2 + x4.

4.2. Algebra delle funzioni 109

4.2 Algebra delle funzioni

Siano f1, f2 due funzioni reali di una variabile reale. Diremo che f1 = f2 se dom(f1) = dom(f2) e f1(x) = f2(x)per ogni x nel dominio comune delle due funzioni.

Definizione 4.2.1. Siano assegnate due funzioni di una variabile reale f1, f2.

(i) la somma di f1, e , f2 e la funzione, definita su dom(f1 + f2) = dom(f1) ∩ dom(f2) da

(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x), x ∈ dom(f1 + f2)

(ii) il prodotto di f1, e , f2 e la funzione, definita su dom(f1 · f2) = dom(f1) ∩ dom(f2) da

(f1 · f2)(x) = f1(x)f2(x), x ∈ dom(f1 · f2)

(iii) il reciproco di f2 e la funzione definita su dom(1/f2) = x ∈ dom(f2) : f2(x) 6= 0 da

(1

f2

)(x) =

1

f2(x)x ∈ dom(1/f2)

La definizione 4.2.1 ricomprende il caso particolare in cui la funzione f1 sia moltiplicata per la funzionecostante f2(x) = α ∈ R per ogni x ∈ R. Si ottiene in questo modo la funzione

(αf1)(x) = αf1(x) x ∈ dom(f1)

Se α = −1 la funzione (−1)f viene piu semplicemente indicata con −f e quindi

(−f)(x) = −f(x) x ∈ dom(f)

La funzione differenza f1 − f2 e definita da f1 + (−f2) e la funzione quoziente f1/f2 e definita da f1 · (1/f2).Le due funzioni base sono le funzioni costanti, che denoteremo con cα e la funzione identita che denoteremo

con id, entrambe di dominio R, che sono definite come segue:

cα(x) = α, id(x) = x x ∈ R (4.1)

Definizione 4.2.2. Diremo funzione polinomiale una funzione ottenuta a partire dalla funzioni cα e id attraversoun numero finito di addizioni e moltiplicazioni, definite in 4.2.1.

Ad esempio la funzione

p(x) = 4x3 + 3x2 + 2x+ 1

puo essere rappresentata come

p = c4 · id · id · id + c3 · id · id + c2 · id + c1

Definizione 4.2.3. Diremo funzione razionale ogni funzione ottenuta dal quoziente di due funzioni polinomiali.

Ad esempio

r(x) =x

x2 − 1

e una funzione razionale, dom(r) =]−∞,−1[∪]− 1, 1[∪]1,+∞[

4.3 Limiti

Iniziamo il percorso che ci porta ad adattare la definizione di limite per successioni al caso delle funzioni realidi una variabile reale.

Definizione 4.3.1. Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0 e sia f una funzione definita in tuttii punti di I eccettuato al piu x0. Diremo che f tende ad ` ∈ R per x tendente a x0 se e solo se per ogni ε > 0esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ I tale che 0 < |x− x0| < δ riesce |f(x)− `| < ε.

In tale situazione scriviamo ` = limx→x0

f(x) e diciamo che ` e il limite per x tendente a x0 di f.

Teorema 4.3.1 (Unicita del limite). Se esiste ` = limx→x0

f(x) tale valore e unico.

Dimostrazione. Se per assurdo esistesse `′ 6= ` tale che limx→x0

f(x) = `′ si avrebbe, preso

2ε = |`− `′|

che esiste δ > 0 tale che per 0 < |x− x0| < δ riesce |f(x)− `| < ε e |f(x)− `′| < ε. Di conseguenza

2ε = |`− `′| = |`− f(x) + f(x)`′| < 2ε

che e assurdo.

Il numero δ nella definizione 4.3.1 dipende in generale da ε, x0, f, I

Esempio 4.3.1. Sia f(x) = ax+b funzione polinomiale di primo grado, a, b ∈ R, a 6= 0. Allora per ogni x0 ∈ Rsi ha che

limx→x0

f(x) = f(x0)


|f(x)− f(x0)| = |a(x− x0)| = |a| |x− x0| < ε =⇒ |x− x0| <ε

|a|

La definizione 4.3.1 e soddisfatta, fissato ε, prendendo

δ =ε

|a|

Osservazione 4.3.1. E importante sottolineare due aspetti della definizione 4.3.1

(i) Per il fatto che f e definita sull’intervallo aperto I =]a, b[⊃ x0 se si prende δ0 = minx0 − a, b− x0 lacondizione |x−x0| < δ0 implica x ∈ I. Dunque l’ipotesi che f sia definita in un qualche intervallo contentex0 e fatta perche f sia definita per tutte le x per cui |x− x0| < δ se δ e sufficientemente piccolo.

(ii) La condizione 0 < |x− x0| e equivalente a x 6= x0. Dunque non e necessario che la funzione f sia definitain x0 per definire il limite per x→ x0

Per illustrare concretamente il punto (ii) dell’osservazione 4.3.1 facciamo un esempio

Esempio 4.3.2. Dimostriamo che limx→1

x2 + 2x− 3

x− 1= 4

4.3. Limiti 111

Dimostrazione. In questo caso x0 = 1 /∈ dom(f). Si ha

∣∣∣∣x2 + 2x− 3

x− 1− 4

∣∣∣∣ < ε ⇐⇒ |x− 1| < ε

La definizione 4.3.1 e soddisfatta prendendo δ = ε.

La teoria svolta per le successioni si estende a quelle delle funzioni senza particolari difficolta. si ha infattil’importante risultato, cui nel seguito ci riferiremo come caratterizzazione sequenziale del limite.

Teorema 4.3.2. Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0 e sia f una funzione definita in tutti ipunti di I eccettuato al piu x0. Allora lim

x→x0

f(x) = ` esiste se e solo se per ogni successione (xn) ∈ I \ x0convergente a x0 si ha lim

n→∞f(xn) = `

Dimostrazione. Supponiamo che sia limx→x0

f(x) = ` secondo la definizione 4.3.1. Sia ora (xn) una successione

tale che xn ∈ I \ x0 per ogni n ∈ N che converge a x0. Per la definizione 2.2.1 di limite di successioni, pagina44 abbiamo che esiste nδ ∈ N tale che se n ∈ N, n > nd si ha |xn−x0| < δ. Ma allora per la definizione di limite4.3.1 abbiamo che se n ∈ N, n > nd

|f(xn)− `| < ε

il che mostra che la successione (f(xn)) converge a ` secondo la definizione 2.2.1.Viceversa, supponiamo che f(xn) → ` per n → ∞ per ogni successione xn ∈ I \ x0 che converge

a x0. Se f per assurdo non convergesse a ` per x → x0 allora esisterebbe ε0 > 0 tale che l’implicazione“0 < |x − x0| < δ =⇒ |f(x) − `| < ε0” non e verificata per alcun δ > 0. Cosı, per ogni δ = 1/n, n ∈ N esisteun punto xn ∈ I che soddisfa due condizioni:

0 < |xn − `| <1

ne |f(xn)− `| ≥ ε0 (∗)

Ora la prima condizione (∗) assieme al Teorema del confronto 2.5.1, pagina 52 implicano che xn 6= x0 e xn → x0,cosı per ipotesi, f(xn) → ` per n → ∞. In particolare |f(xn) − `| < ε0 per n grande, il che contraddice laseconda condizione (∗).

La definizione di limite si adatta alle operazioni algebriche sulle funzioni introdotte nel paragrafo prece-dente e grazie al Teorema 4.3.2 le dimostrazioni seguono immediatamente dagli analoghi teoremi provati per lesuccessioni e per quesito motivo tralasciamo le rispettive dimostrazioni.

Teorema 4.3.3. Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0 e siano f1, f2 funzioni definite in tutti ipunti di I eccettuato al piu x0. Se lim

x→x0

f1(x) = `1, limx→x0

f1(x) = `2 allora

(i) limx→x0

(f1 + f2)(x) = `1 + `2

(ii) limx→x0

(f1 · f2)(x) = `1 · `2

(iii) limx→x0

(f1

f2

)(x) =

`1`2

se `2 6= 0

(iv) limx→x0

f(x) = `1 =⇒ limx→x0

|f(x)| = |`1|

(v) limx→x0

f(x) = 0 ⇐⇒ limx→x0

|f(x)| = 0

(vi) limx→x0

αf(x) = α`1, α ∈ R

Teorema 4.3.4 (della permanenza del segno). Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0. Selimx→x0

f(x) = ` > 0 allora esiste un intervallo J centrato in x0 tale che per ogni x ∈ J \ x0 si ha f(x) > 0

Teorema 4.3.5 (del confronto). Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0. Siano f, g, h tre funzionidefinite su I\x0 tali per cui per ogni x ∈ I\x0 si ha f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Allora se lim

x→x0

f(x) = limx→x0

h(x) = `

allora limx→x0

g(x) = `

Teorema 4.3.6. Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0. Siano f, g, due funzioni definite suI \ x0 tali per cui per ogni x ∈ I \ x0 si ha f(x) ≤ g(x). Allora se lim

x→x0

f(x) = ` e limx→x0

g(x) = m si ha che

` ≤ m

4.4 Limiti destri e sinistri. Limiti all’infinito

La definizione di limite 4.3.1 non e sempre applicabile a casi che sono comunque interessanti. Se ad esempioconsideriamo la funzione f(x) =

√x la definizione 4.3.1 non ci permette di trattare il caso x0 = 0 che pure fa

perte del dominio della funzione. Dunque dobbiamo adattare la definizione di limite ai casi detti monodirezionali.

Definizione 4.4.1. Una funzione di una variabile reale definita in un intervallo aperto avente come estremosinistro x0 ha limite destro per x decrescente verso x0 se per ogni ε > 0, esiste δ > 0 tale che

x0 < x < x0 + δ =⇒ |f(x)− `| < ε.

In tale caso scriveremof(x0+) = lim

x→x+0

f(x) = limxx0

f(x) = `

Definizione 4.4.2. Una funzione di una variabile reale definita in un intervallo aperto avente come estremodestro x0 ha limite sinistro per x crescente verso x0 se per ogni ε > 0, esiste δ > 0 tale che

x0 − δ < x < x0 =⇒ |f(x)− `| < ε.

In tale caso scriveremof(x0−) = lim

x→x−0

f(x) = limxx0

f(x) = `

Evidentemente se una funzione ammette limiti destro e sinistro in x0 e questi sono uguali ammette anchelimite per x → x0 secondo la definizione 4.3.1. Lasciamo per esercizio enunciato e dimostrazione di questorisultato elementare. Per completare il quadro diamo la definizione di funzioni divergenti a destra e a sinistra.

Definizione 4.4.3. Diremo che limx→x+

0

f(x) = +∞ o limxx0

f(x) = +∞ se per ogni M > 0, esiste δ > 0 tale che

x ∈]x0, x0 + δ[ =⇒ f(x) > M.

Diremo che limx→x−

0

f(x) = +∞ o limxx0

f(x) = +∞ se per ogni M > 0, esiste δ > 0 tale che

x ∈]x0 − δ, x0[ =⇒ f(x) > M.

Diremo che limx→x+

0

f(x) = −∞ o limxx0

f(x) = −∞ se per ogni M < 0 esiste δ > 0 tale che

x ∈]x0, x0 + δ[ =⇒ f(x) < M.

Scriviamo limx→x−

0

f(x) = −∞ o limxx0

f(x) = −∞ se per ogni M < 0 esiste δ > 0 tale che

x ∈]x0 − δ, x0[ =⇒ f(x) < M.

4.4. Limiti destri e sinistri. Limiti all’infinito 113

Diamo la definizione di limite per x→∞ che richiama quella di successione convergente.

Definizione 4.4.4. Sia f : [a,+∞[→ R. Diremo che f tende ad ` ∈ R per x → ∞ se per ogni ε > 0 esisteM ∈ [a,+∞[ tale che x > M =⇒ |f(x)− `| < ε. In tale caso scriveremo lim

x→∞f(x) = `.

La definizione di limite per x→ −∞ e analoga.

Definizione 4.4.5. Sia f :]∞, a] → R. Diremo che f tende ad ` ∈ R per x → −∞ se per ogni ε > 0 esisteM ∈]−∞, a] tale che x < M =⇒ |f(x)− `| < ε. In tale caso scriveremo lim

x→−∞f(x) = `.

Abbiamo poi la definizione di funzioni divergenti positivamente e negativamente per x→ x0

Definizione 4.4.6. Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0 e sia f una funzione definita in tutti ipunti di I eccettuato al piu x0. Diremo che f tende a +∞ per x tendente a x0 se e solo se per ogni K > 0 esisteδ > 0 tale che per ogni x ∈ I tale che 0 < |x−x0| < δ riesce f(x) > K. In tale caso scriveremo lim

x→x0

f(x) = +∞.

Definizione 4.4.7. Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0 e sia f una funzione definita in tuttii punti di I eccettuato al piu x0. Diremo che f tende a −∞ per x tendente a x0 se e solo se per ogni K > 0esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ I tale che 0 < |x − x0| < δ riesce f(x) < −K. In tale caso scriveremolimx→x0

f(x) = −∞.

Esempio 4.4.1. Per ogni n ∈ N si ha che limn→∞

ex

xn= +∞

Dimostrazione. Infatti per lo sviluppo in serie dell’esponenziale

ex = 1 + x+x2

2!+ · · ·+ xn

n!+

xn+1

(n+ 1)!+ · · ·

quando x ≥ 0 tutti i termini della serie sono non negativi, quindi per ogni n ≥ 0

ex ≥ xn+1

(n+ 1)!

Quest’ultima, per x > 0 e equivalente a

ex

xn≥ x

(n+ 1)!(D)

D’altra parte

limx→∞

x

(n+ 1)!= +∞

e quindi per la disuguaglianza (D)

limn→∞

ex

xn= +∞

4.5 Funzioni continue

Per poter comprendere al meglio il senso del concetto di funzione continua, facciamo alcune premesse di naturatopologica.

Definizione 4.5.1. Un intorno completo di un punto x0 e un intervallo aperto contenente x0

a

Dx0 b

@

Figura 4.5: x0 ∈]a, b[

Definizione 4.5.2. Siano x0 ∈ R e A ⊆ R(i) Si dice che il numero reale x0 e un punto aderente di A, sottoinsieme non vuoto di R, se ogni intorno

completo I(x0) di x0 ha punti comuni con A.

(ii) x0 ∈ A si dice punto isolato di A se esiste un intorno completo I(x0) di x0 tale che I(x0) ∩A = ∅

Osservazione 4.5.1. Ogni punto isolato x0 in un insieme A e anche aderente.

Definizione 4.5.3. Si dice che il numero reale x0 e un punto di accumulazione di A, sottoinsieme non vuotodi R se ogni intorno completo I(x0) di x0 ha punti comuni con A \ x0.

In simboli x0 e di accumulazione per A se

(A \ x0) ∩ I(x0) 6= ∅

Definizione 4.5.4. Siano A ⊂ R, A 6= ∅; f : A → R e x0 ∈ A. Diremo che la funzione f e continua in x0

punto aderente di A, se:

a) x0 e un punto isolato di A;

b) se x0 non e isolato, se:

limx→x0

f(x) = f(x0)

In pratica la continuita di una funzione significa che questa e permeabile all’operazione di limite

limn→∞

f(xn) = f( limn→∞

xn)

per ogni successione xn → x0

In sostanza i casi concreti in cui ci interesseremo allo studio della continuita sonno quelli di funzioni realidefinite su intervalli, cioe f : I → R con I intervallo. In questa situazione la nozione di continuita data in 4.5.4puo essere cosı riformulata.

Definizione 4.5.5. Sia f : I → R una funzione reale di una variabile reale definita sull’intervallo I ⊆ R. Diremoche f e continua nel punto x0 ∈ I se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ I per cui |x − x0| < δriesce

|f(x)− f(x0)| < ε

In altri termini f e continua in x0 ∈ I se limx→x0

f(x) = f(x0).

4.6. Continuita delle funzioni elementari 115

Osservazione 4.5.2. La definizione di continuita ha natura locale, essendo essa relativa ad un singolo puntox0. Quando questa proprieta e posseduta da tutti in punti x0 ∈ A, essendo A il dominio di definizione dellafunzione, si parla di continuita globale o di continuita in A.

Le due funzioni base, le funzioni costanti cα(x) = α, α ∈ R e la funzione identita id(x) = x sonoevidentemente continue in ogni punto x0 ∈ R.

Il fatto che il concetto di continuita sia espresso attraverso quello di limite permette di estendere alle funzionicontinue i risultati del paragrafo 4.3. Dunque nel caso continuo valgono il Teorema della permanenza del segno4.3.4 ed il Teorema del confronto 4.3.5. Anche il Teorema 4.3.3 ha una versione per il caso di funzioni continue.

Teorema 4.5.1. Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0 e siano f1, f2 funzioni continue in x0.Allora

(i) (f1 + f2) e continua in x0

(ii) (f1 · f2) e continua in x0

(iii)

(f1

f2

)e continua in x0 se f2(x0) 6= 0

Eseguendo la composizione di due funzioni continue si ottiene una funzione continua. Infatti abbiamo ilTeorema di continuita della funzione composta.

Teorema 4.5.2. Siano f : I1 → R, g : I2 → R due funzioni tali per cui per ogni x ∈ I1 si ha f(x) ∈ I2 in modoche abbia senso la composizione di funzioni g(f(x)). Allora se f(x) e continua in x0 ∈ I1 e g(y) e continua iny0 = f(x0) la funzione composta g(f(x)) e continua in x0.

Dimostrazione. L’ipotesi assicura che, fissato ε > 0, esiste δ > 0 tale che |y − y0| < δ implica |g(y)− g(y0)| < ε.D’altra parte anche f(x) e continua in x0 e questo implica che esiste η > 0 tale che se |x− x0| < η allora|f(x)− f(x0)| < δ. La tesi e a questo punto dimostrata, essendo |g(f(x))− g(f(x0))| < ε quando si prende|x− x0| < η.

Diamo la definizione di continuita monodirezionale.

Definizione 4.5.6. La funzione f : [a, b]→ R si dice continua a destra in a, se

f(a) = f(a+).

Si dice continua a sinistra in b, se

f(b) = f(b−).

Diremo che la funzione f e continua nell’intervallo chiuso [a, b] se essa e continua ovunque in ]a, b[, continua adestra in a e continua a sinistra in b.

4.6 Continuita delle funzioni elementari

Fino a questo punto abbiamo dipanato la teoria delle funzioni continue senza preoccuparci di sottolineare qualidelle principali funzioni siano effettivamente continue, se si eccettua il caso delle funzioni razionali, definizione4.2.3. In questo paragrafo vedremo che le principali funzioni elementari incontrate negli studi secondari sonoanche esse continue.

4.6.1 Funzioni goniometriche

Supponiamo che il lettore abbia contezza della definizione e delle proprieta elementari delle funzioni gonio-metriche. Alla fine del corso cercheremo di definire in modo rigoroso queste funzioni. Ricordiamo poi ladisuguaglianza, vedi anche (2.8) valida per ogni x ∈ R:

| sinx| ≤ |x| (4.2)

Dimostriamo allora che le principali funzioni goniometriche sono continue.

Teorema 4.6.1. Le funzioni goniometriche

(i) s(x) = sinx (ii) c(x) = cosx (iii) t(x) = tanx

sono continue.

Dimostrazione. Sia x0 ∈ R e sia (xn) una successione tale che xn → x0. Ricordiamo la formula di prostaferesi

sinxn − sinx0 = 2 sinxn − x0

2cos

xn + x0

2(4.3)

e da (4.3) deduciamo che, ricordando che | cosx| ≤ 1 per ogni x ∈ R e la disuguaglianza (4.2)

| sinxn − sinx0| ≤ |xn − x0|

da cui segue, passando al limite la tesi (i).Per dimostrare la tesi (ii) ci basta ricordare che

cosx = sin(x+

π

2

)

Per la tesi (iii) e sufficiente osservare che

tanx =sinx

cosx.

4.6.2 Funzione esponenziale

Anche la funzione esponenziale

ex =∞∑

n=0

xn

n!

e una funzione continua. Per dimostrarlo ci serviremo di alcune disuguaglianze verificate da questa funzione,che dimostriamo nel prossimo Teorema.

Teorema 4.6.2. Valgono le seguenti disuguaglianze:

(i) ex > 0 per ogni x ∈ R

(ii) ex > 1 + x per x > 0

(iii) ex ≤ 1

1− x per 0 ≤ x < 1

(iv) 1 + x ≤ ex ≤ 1

1− x per |x| < 1

4.6. Continuita delle funzioni elementari 117

Dimostrazione. Per dimostrare (i) osserviamo che se x ≥ 0 essendo positivi tutti i termini della serie esponenzialee anche

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ · · · > 0

Per x < 0 bisogna ricordare la proprieta fondamentale dimostrata nel Teorema 2.7.5 pagina 63:

exe−x = 1

e da qui dedurre facilmente che per se x < 0 essendo −x > 0 si ha per quanto provato precedentemente

ex =1

e−x> 0.

La (ii) segue immediatamente dalla definizione in termini di serie esponenziale:

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ · · ·

Siccome per x > 0 si ha certamente

x2

2!> 0,

x3

3!> 0, . . . ,

xn

n!> 0, . . .

Segue che x > 0 =⇒ ex > 1 + x. Si noti che per x ≥ 0 abbiamo ex ≥ 1 + x.

La prova di (iii) e lievemente piu articolata. Iniziamo osservando che per x ≥ 0 si ha:

x2

2!≤ x2,

x3

3!≤ x3, . . .

xn

n!≤ xn

dunque abbiamo che

ex ≤ 1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ =

∞∑

n=1

xn−1 =1

1− x

se si prende 0 ≤ x < 1. Il che dimostra (ii).

Infine per dimostrare la (iv) ci basta a questo punto lavorare per −1 < x < 0 in quanto le affermazioni sonogia state provate per 0 ≤ x < 1. La condizione −1 < x < 0 comporta evidentemente che 0 < −x < 1 allora perquanto abbiamo dimostrato in (ii) e in (iii) abbiamo

1 + (−x) ≤ e−x ≤ 1

1− (−x)(4.4)

La tesi (iv) si ottiene passando ai reciproci in (4.4), ottenendo, ricordato che le disuguaglianze vanno in questocaso scambiate

1 + x ≤ ex ≤ 1

1− xche e quanto volevasi.

E adesso possibile dimostrare la continuita della funzione esponenziale.

Teorema 4.6.3. La funzione e(x) = ex e continua

Dimostrazione. Sia x0 ∈ R e sia (xn) una successione tale che xn → x0. Dobbiamo dimostrare che

exn − ex0 → 0 per n→∞

Ora essendoexn − ex0 = ex0(exn−x0 − 1) (4.5)

per il Teorema 4.6.2 parte (iv) abbiamo che

1 + (xn − x0) ≤ exn − ex0 ≤ 1

1− (xn − x0)

se |xn − x0| < 1 ma questa condizione e assicurata dal fatto che xn → x0. Abbiamo cosı dimostrato cheexn − ex0 → 1 e questo per (4.5) comporta che

limn→∞

exn = ex0

Come volevasi.

4.7 Discontinuita

Data una funzione reale di una variabile reale definita su un intervallo I, f : I → R e se x0 ∈ I e accade chef(x) non e continua in x0 allora deve essere:

limx→x0

f(x) 6= f(x0)

In questo caso diciamo che f ha una discontinuita in x0. Tuttavia i casi in cui si presentano discontinuita possonoessere di natura molto diversa fra loro, da cio l’esigenza di una classificazione articolata di tali comportamenti.

Definizione 4.7.1. Diremo che la discontinuita in x0 e un salto se esistono e sono finiti, ma diversi:

limx→x+

0

f(x) = `+ e limx→x−

0

f(x) = `−

Le funzioni parte intera f(x) = bxc e parte frazionaria f(x) = x−bxc presentano salti in corrispondenza dix = z ∈ Z vedi Figura 4.3 e Figura 4.4. La funzione

f(x) =x2 + x

|x|ha un salto in x = 0 Figura 4.6

x

y

Figura 4.6: f(x) = x2+x|x|

4.7. Discontinuita 119

Definizione 4.7.2. Diremo che la discontinuita in x0 e essenziale se almeno uno dei due limiti (destro osinistro) in x0 non e finito o non esiste.

Ad esempio la funzione:

f(x) =

sin1

x, se x 6= 0

0 se x = 0

ha una discontinuita essenziale nell’origine Figura 4.7 Il limite per x → 0 non esiste. Infatti basta prendere le

x

y

Figura 4.7: f(x) = sin1

x

due successioni convergenti a zero:

xn =1

nπ, yn =

1π2 + 2nπ

e osservare che f(xn) = 0 per ogni n ∈ N mentre f(yn) = 1 per ogni n ∈ N.

Definizione 4.7.3. La discontinuita in x0 si dice eliminabile se esiste finito:

limx→x0

f(x) = `

La funzione f(x) puo essere in tale caso prolungata con continuita in x0 ponendo f(x0) = `

Per fare un esempio torniamo alla funzione studiata nel limite calcolato in 4.3.2. Il prolungamento continuoe

f(x) =

x2 + 2x− 3

x− 1se x 6= 1

4 se x = 1

4.8 Teoremi fondamentali sulle funzioni continue

In questo paragrafo, di importanza cruciale per l’intero corso, tratteremo le proprieta teoriche principali dellefunzioni continue.

4.8.1 Esistenza degli zeri. Valori intermedi

Definizione 4.8.1. Data la funzione f : D → R, x0 ∈ D si dice zero di f(x) se risulta f(x0) = 0

Ad esempio x0 = 2 e x0 = 3 sono zeri di f(x) = x2 − 5x+ 6 come si puo constatare risolvendo l’equazionealgebrica di secondo grado

x2 − 5x+ 6 = 0 ⇐⇒ x =5±√

52 − 4× 6× 1

2

Consideriamo la funzione f(x) = x3 + 3x − 1. A differenza della funzione precedente non disponiamo distrumenti algebrici per determinare gli zeri di f(x). Vediamo pero che f(0) = −1 e f(1) = 3. E ragionevolepensare che esista almeno un valore x0 ∈ ]0, 1[ per cui f(x0) = 0. La risposta affermativa alla questione posta eassicurata dalla continuita della funzione polinomiale f(x) = x3 + 3x− 1. Quello che qui stabiliremo tuttavia eun Teorema di esistenza, la ricerca effettiva, eventualmente di tipo approssimato, della soluzione del problemadovra essere eseguita con altre tecniche.

Enunciamo e dimostriamo il Teorema degli zeri.

Teorema 4.8.1. Sia f : I → R una funzione continua sull’intervallo I. Supponiamo esistano a, b ∈ I tale percui f(a)f(b) < 0. Esiste allora un elemento x0 nel sottointervallo di estremi a e b tale che f(x0) = 0.

Dimostrazione. La dimostrazione si basa sull’assioma di completezza, pagina 15. Non e restrittivo supporref(a) < 0, f(b) > 0 con a < b. In caso contrario, infatti, e sufficiente considerare la funzione−f(x). Consideriamol’insieme.

S = x ∈ [a, b] : f(x) < 0 .L’insieme S e non vuoto perche a ∈ S. Inoltre S e, per costruzione, limitato in quanto S ⊆ [a, b]. Dall’assiomadi completezza si deduce l’esistenza dell’estremo superiore di S, indichiamolo con x0. Dico che:

f(x0) = 0.

Per prima cosa osserviamo che vale f(x0) ≤ 0. Infatti presa una successione (xn) di punti di S che convergea x0 la condizione xn ∈ S comporta che f(xn) < 0 per ogni n ∈ N. Sicche passando al limite per n → ∞ perTeorema 4.3.6 e per la continuita di f abbiamo che

f(x0) = limn→∞

f(xn) ≤ 0

Se fosse f(x0) < 0 ne verrebbe che x0 ∈ S e per il Teorema della permanenza del segno 4.3.4 esiste δ > 0 taleche per ogni y ∈]x0 − δ, x0 + δ[ riesce f(y) < 0 ma questo e assurdo perche x0 = supS.

Il Teorema degli zeri e un risultato di esistenza, non puo stabilire quale sia il numero degli zeri di una funzionecontinua in un dato intervallo. Le sue ipotesi non possono essere indebolite, nel senso che se si considera unafunzione non continua che assume valori di segno opposto, questa puo benissimo non ammettere zeri. Si pensiad esempio alla funzione:

f0(x) =

x+ 1 se x ≥ 0,

x− 1 se x < 0.

4.8. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue 121

-1 1x

-2

-1

1

2

y

Figura 4.8: f0(x)

In conseguenza del Teorema degli zeri abbiamo un primo risultato di punto fisso. Ricordiamo che si chiamapunto fisso di una funzione f : a→ A un elemento a ∈ A tale che f(a) = a.

Teorema 4.8.2 (Teorema di Punto Fisso). Sia f : [a, b]→ [a, b] continua. Allora f ha un punto fisso cioe esisteu ∈ [a, b] tale che f(u) = u.

Dimostrazione. Se accade che f(a) = a o f(b) = b abbiamo finito. Se cio non e, supponiamo, fatto nonrestrittivo, che sia f(a) > a e f(b) < b. Definiamo g(x) = f(x)− x. g e cosı continua, g(a) > 0 e g(b) < 0. Peril Teorema degli zeri esiste u ∈ [a; b] tale che g(u) = 0, cioe f(u)− u = 0

Ulteriore conseguenza del Teorema degli zeri e il fatto che ogni funzione continua trasforma intervalli inintervalli. Questo risultato e noto come Teorema di Bolzano.

Teorema 4.8.3 (dei valori intermedi (Bolzano)). Sia f : I → R una funzione continua, non costante, definitasull’intervallo I. Allora, presi due elementi a, b ∈ I per cui f(a) 6= f(b), la funzione f(x) assume tutti i valoricompresi fra f(a) e f(b).

Dimostrazione. Come gia visto non danneggia la generalita del ragionamento supporre f(a) < f(b) con a < b.Preso ad arbitrio un numero reale λ tale che f(a) < λ < f(b) la tesi e provata se si prova l’esistenza di unelemento xλ ∈ [a, b] per cui f(xλ) = λ. Ora si consideri la funzione ϕ(x) = f(x)− λ. La tesi segue dai seguentitre fatti:

• ϕ(x) e continua, • ϕ(a) = f(a)− λ < 0, • ϕ(b) = f(b)− λ > 0,

quindi per il Teorema degli zeri esiste xλ ∈ [a, b] tale che ϕ(xλ) = 0.

4.8.2 Esistenza degli estremi. Teorema di Weierstrass

Uno dei principali problemi che si possono presentare nelle applicazioni consiste nella determinazione dei massimie minimi di una assegnata funzione. Formalizzando dato un sottoinsieme D ⊂ R e una funzione f : D → R, sivogliono determinare:

m = inf f(x) : x ∈ D , M = sup f(x) : x ∈ D .Qualora f(x) non sia inferiormente limitata si conviene m = −∞, analogamente se f(x) non e superiormentelimitata si pone M =∞.

Se sia m sia M sono entrambi finiti, la funzione f(x) si dice limitata. Se solo m e finito f(x) e dettainferiormente limitata e, se solo M e finito f(x) e superiormente limitata.

Nel caso in cui f(x) sia limitata, se esiste xm ∈ D tale che f(xm) = m diremo che f(x) ammette minimoassoluto e chiameremo xm minimante. Analogamente se esiste xM per cui f(xM ) = M diremo che f(x) ammettemassimo assoluto; xM si dice massimante. Si osservi che xm e xM non sono necessariamente unici, a differenzadi m ed M . Si pensi al caso f(x) = sinx in cui m = −1, M = 1 ma xm = −π2 + nπ, xM = π

2 + nπ, n ∈ Z.Il teorema di Weierstrass assicura l’esistenza del massimo e del minimo per funzioni continue quando queste

sono definite su di un intervallo chiuso e limitato [a, b]. Anche in questo caso abbiamo un risultato di esistenza,che non fornisce indicazioni operative per la ricerca del massimo e del minimo assoluto di una funzione. Unmetodo sistematico per la ricerca dei massimi e dei minimi e, come vedremo, individuabile per la classe specialedelle funzioni derivabili.

Teorema 4.8.4 (Weierstrass). Sia f : [a, b]→ R una funzione continua. Allora:

(i) f(x) e limitata,

(ii) f(x) ammette massimo e minimo assoluto in [a, b].

Dimostrazione. La dimostrazione ricorre per due volte al Teorema di Bolzano Weierstrass. Iniziamo provandoche f(x) e limitata, ragionando per assurdo. Se, infatti, f(x) non fosse superiormente limitata questo significhe-rebbe che per ogni n ∈ N esisterebbe xn ∈ [a, b] tale che f(xn) > n. Eventualmente passando ad una successioneestratta, il teorema di Bolzano Weiestrass assicura che possiamo supporre xn convergente ad un certo elementox∗ ∈ [a, b]. Ne verrebbe, allora, per la continuita di f(x) che:

limn→∞

f(xn) = f(x∗).

D’altra parte, essendo n < f(xn), per il teorema del confronto si avrebbe:

limn→∞

f(xn) =∞,

e, quindi, f(x∗) =∞, assurdo. Dunque f(x) e superiormente limitata in [a, b] . La inferiore limitatezza si provain modo analogo.

Passiamo alla seconda parte dell’enunciato. Per quanto appena provato esistono finiti:

m = inf f(x) : x ∈ [a, b] , M = sup f(x) : x ∈ [a, b] .

Ragioniamo sul massimo, lasciando al lettore l’analoga dimostrazione relativa al minimo. Dalla definizione diestremo superiore si trae che per ogni n ∈ N esiste xn ∈ [a, b] tale che:

M − 1

n< f(xn) ≤M.

La successione xn (o una successione estratta) puo, ancora una volta per il teorema di Bolzano Weierstrass,essere supposta convergente ad un elemento x∗ ∈ [a, b], ma allora, passando al limite, usando la continuita dif(x) vediamo che M ≤ f(x∗) ≤M, cioe f(x∗) = M , come volevasi.

4.9. Continuita della funzione composta e della funzione inversa 123

Osservazione 4.8.1. Combinando gli enunciati del Teorema dei valori intermedi e del Teorema di Weierstrasspossiamo affermare che l’immagine di una funzione continua f(x), quando questa e definita su di un intervallolimitato e chiuso [a, b], e l’intervallo limitato e chiuso [m,M ] in cui:

m = inf f(x) : x ∈ [a, b] = min f(x) : x ∈ [a, b] ,M = sup f(x) : x ∈ [a, b] = max f(x) : x ∈ [a, b] .

Possiamo quindi scrivere, in notazione insiemistica:

f ([a, b]) = [m,M ] .

4.9 Continuita della funzione composta e della funzione inversa

Cominciamo provando che la composizione di due funzioni continue e continua, poi ci occuperemo della conti-nuita della funzione inversa e forniremo diversi esempi di funzioni continue.

Teorema 4.9.1. Siano f : I1 → R, g : I2 → R due funzioni tali per cui per ogni x ∈ I1 si ha f(x) ∈ I2 in modoche abbia senso la composizione di funzioni g(f(x)). Allora se f(x) e continua in x0 ∈ I1 e g(y) e continua iny0 = f(x0) la funzione composta g(f(x)) e continua in x0.

Dimostrazione. L’ipotesi assicura che, fissato ε > 0, esiste δε > 0 tale che |y − y0| < δε implica |g(y)− g(y0)| <ε. D’altra parte anche f(x) e continua in x0 e questo implica che esiste ηδ > 0 tale che se |x− x0| allora|f(x)− f(x0)| < δε. La tesi e a questo punto dimostrata, essendo |g(f(x))− g(f(x0))| < ε.

Introduciamo la notazione C[a, b] per indicare l’insieme di tutte le funzioni reali continue f : [a, b] → Rcontinue in tutti i punti di [a, b]. Se f ∈ C[a, b] e una funzione strettamente crescente abbiamo che f(x) ∈[f(a), f(b)] per ogni x ∈ [a, b]. Ad essere piu precisi, per il Teorema dei valori intermedi abbiamo che im(f) =[f(a), f(b)] in quanto per detto Teorema abbiamo che per ogni d ∈ [f(a), f(b)] esiste c ∈ [a, b] tale che f(c) = d.Inoltre la crescenza stretta assicura che tale c e unico, infatti se esistessero due valori c1 < c2 per cui f(c1) =f(c2) = d contraddiremmo la proprieta di monotonia. In questo modo possiamo definire la funzione inversaf−1 : [f(a), f(b)] → [a, b] definita dalla regola secondo cui per ogni y ∈ [f(a), f(b)] il valore f−1(y) e l’unicoelemento x di [a, b] per cui f(x) = y.

Questa funzione f−1 e anche essa strettamente crescente. Infatti presi t, u ∈ [f(a), f(b)] per cui t < uponiamo x = f−1(t), y = f−1(u). Se fosse x = y si avrebbe t = f(x) = f(y) = u che e una contraddizione. Sefosse y < x ne verrebbe u = f(y) < f(x) = t che e ancora una contraddizione. L’unica possibilita che resta e

f−1(t) = x < y = f−1(u).

Quando si inverte una funzione continua anche l’inversa cosı ottenuta e una funzione continua. Abbiamoinfatti il Teorema:

Teorema 4.9.2. Se f ∈ C[a, b] e una funzione strettamente crescente, allora la sua funzione inversa f−1 :[f(a), f(b)]→ [a, b] e strettamente crescente e continua.

Dimostrazione. Sia d ∈ [f(a), f(b)] e fissiamo ε > 0. Possiamo supporre che ε ≤ minc − a, b − c in modoche [c − ε, c + ε] ⊂ [a, b]. Per ipotesi f(c + ε) > f(c) = d e quindi possiamo scrivere f(c + ε) = d + δ1 conδ1 > 0. Analogamente abbiamo che f(c− ε) = d− δ2 con δ2 > 0. Se poniamo δ = minδ1, δ2, allora per ogniy ∈]d− δ, d+ δ[ riesce

f−1(y) < f−1(d+ δ1) = c+ ε, f−1(y) > f−1(d− δ2) = c− ε.

Abbiamo cosı fatto vedere che |f−1(y)− f−1(d)| < ε per ogni y ∈ [f(a), f(b)] tale che |y − d| < δ


Analogamente si ha che

Teorema 4.9.3. Se f ∈ C[a, b] e una funzione strettamente decrescente, allora la sua funzione inversa f−1 :[f(a), f(b)]→ [a, b] e strettamente decrescente e continua.

Vediamo alcune applicazioni dei Teoremi 4.9.2 e 4.9.3 alle inverse delle funzioni elementari fin qui studiate.

4.9.1 Radice n-esima

Le funzioni polinomiali sono il primo esempio di funzioni continue, che si ottengono da combinazioni dellefunzioni base, vedi definizione 4.2.2. In particolare sono continue, per ogni n ∈ N le funzioni monomie, che sonoanche, vedi esempio 4.1.1, strettamente crescenti per x ≥ 0

fn(x) = xn

La funzione inversa di una funzione monomia e quindi per il Teorema 4.9.2 anche essa crescente e continua.Essa viene chiamata funzione radice n-esima ed e denotata con una delle due espressioni

rn(x) = x1n = n

√x

1x

1

y

Figura 4.9: f4(x) in blu, r4(x) in rosso

4.9.2 Logaritmo naturale

Cominciamo osservando che la funzione esponenziale ex e una funzione strettamente crescente da R→]0,+∞[.Infatti per la disuguaglianza (ii) di Teorema 4.6.2: ex > 1 + x per x > 0 segue che ex > 1 se e solo se x > 0. Daquesta osservazione, unitamente alla proprieta fondamentale, Teorema 3.5.4, ex+y = exey segue che la funzioneesponenziale e strettamente crescente. Infatti se x > y abbiamo:

ex > ey ⇐⇒ exe−y > eye−y ⇐⇒ ex−y > e0 = 1 ⇐⇒ x− y > 0 ⇐⇒ x > y.


Inoltre la la disuguaglianza (ii) di Teorema 4.6.2: ex > 1 + x per x > 0 assicura che

limx→+∞

ex = +∞

e la relazione exe−x = 1, Teorema 2.7.5 pagina 63, assicura di conseguenza anche che

limx→−∞

ex = +0

Pertanto il Teorema 4.9.2 assicura che la funzione e(x) = ex ha una funzione inversa, continua e crescente,definita su ]0,+∞[ a valori in R. Tale funzione viene chiamata logaritmo naturale o logaritmo in base e eviene denotata con

e−1(x) = lnx

La notazione lnx non e, sfortunatamente, la sola in uso. Alcuni autori la indicano con log x e altri, volendoesplicitare la base del logaritmo, con loge x.

Si noti che per la proprieta dell’inversa e

ln ex = x per ogni x ∈ R e eln x = x per ogni x > 0.

Inoltre dalla proprieta fondamentale dell’esponenziale, Teorema 3.5.4, segue

lnx + ln y = ln(xy) per ogni x, y > 0 (L)

Infatti se, nel primo membro di (L), poniamo a = lnx, b = ln y, abbiamo x = ea, y = eb e, quindi:

ln(xy) = ln(eaeb) = ln(ea+b) = a+ b = lnx+ ln y

come volevasi.

1x

1

y

Figura 4.10: ex in blu, lnx in rosso


4.9.3 Inverse delle funzioni goniometriche

La funzione sinx e definita su tutto l’asse reale e per la sua costruzione geometrica e periodica con periodofondamentale 2π. Per questo fatto la funzione seno non puo essere globalmente invertita. L’inversione del senoe quindi una inversione parziale, nel senso che, si inverte la funzione seno ristretta all’intervallo [−π/2, π/2]ove e strettamente crescente, in Figura 4.11 abbiamo indicato con la linea continua blu il tratto della funzioneseno che interessa il nostro ragionamento. Indichiamo tale funzione s : [−π/2, π/2] → [−1, 1], s(x) = sinx.Situazione analoga per l’inversione del coseno, Figura 4.13, in questo caso pero si inverte nell’intervallo [0, π]dove il coseno e decrescente, in Figura 4.11 abbiamo indicato con la linea continua rossa il tratto della funzionecoseno che interessa il nostro ragionamento. Tale funzione viene indicata con c : [0, π] → [−1, 1], c(x) = cosx.Per i Teoremi 4.9.2 e 4.9.3 le inverse di queste due funzioni monotone sono continue. Tali funzioni sono chiamate

-3 Π

2

-Π -Π

2

Π

2

Π3 Π

2

-1

1

Figura 4.11: s(x) = sinx in blu, c(x) = cosx in rosso

rispettivamente funzione arcoseno e funzione arcocoseno e vengono denotate nel modo seguente:

s−1(x) = arcsinx c−1(x) = arccosx

L’inversione parziale comporta allora che

sin(arcsinx) = x per ogni x ∈ [−1, 1]; arcsin(sinx) = x per ogni x ∈ [−π/2, π/2]

cos(arccosx) = x per ogni x ∈ [−1, 1]; arccos(cosx) = x per ogni x ∈ [0, π]

Va osservato che le due espressioni arcsin(sinx), arccos(cosx) sono calcolabili anche per valori della x esterniall’intervallo di inversione parziale, in questo caso pero non sono valide le relazioni precedenti. Ad esempio sex ∈ [π/2, 3π/2] allora arcsin(sinx) = π − x.

Infine segnalami la proprieta

arcsinx+ arccosx =π

2


-1 1

-Π

2

Π

Π

2

Figura 4.12: s−1(x) = arcsinx in blu, c−1(x) = arccosx in rosso

La funzione tangente e data dal rapporto seno su coseno:

t(x) = tanx =sinx

cosx

Anche in questo caso bisogna scegliere un intervallo di monotonia per poter invertire. Allo scopo si usa lo stessointervallo scelto per la funzione seno [−π/2, π/2] dove la funzione t(x) e strettamente crescente.

-Π

2

-Π ΠΠ

2

Figura 4.13: t(x) = tanx

Per il Teorema 4.9.2 la funzione inversa cosı ottenuta e strettamente crescente e continua, definita su]− π/2, π/2[ a valori in R, viene detta arcotangente e denotata con il simbolo

t−1(x) = arctanx

Essendolim

x→−π2 +tanx = −∞ lim

x→π2

−tanx =∞

si halim

x→−∞arctanx = −π

2lim

x→+∞arctanx =

π

2

La relazione di inversione e in questo caso

tan(arctanx) = x per ogni x ∈ R; arctan(tanx) = x per ogni x ∈]− π/2, π/2[

-Π

2

Π

2

Figura 4.14: t−1(x) = arctanx

Si osservi infine che

sin(arccosx) =√

1− x2, −1 ≤ x ≤ 1

sin(arctanx) =x√

1 + x2, x ∈ R

cos(arcsinx) =√

1− x2, −1 ≤ x ≤ 1

cos(arctanx) =1√

1 + x2, x ∈ R

tan(arcsinx) =x√

1− x2, −1 < x < 1

tan(arccosx) =

√1− x2

x, −1 ≤ x ≤ 1, x 6= 0

4.9.4 Esponenziali e logaritmi di base qualsiasi

Fino a questo punto abbiamo definito la funzione esponenziale con base e. La definizione di funzione esponenzialein una base qualsiasi positiva a e la seguente:

ax = ex ln a

Si tratta quindi di una funzione continua, per via del fatto che e una composizione di funzioni continue. Inoltrevalgono le proprieta:

(i) se a, b > 0 e x ∈ R allora axbx = (ab)x

(ii) se a > 0 e x, y ∈ R allora axay = ax+y

(iii) se a > 0 e x, y ∈ R allora (ax)y = axy

Va sottolineato che le tre proprieta, che senza dubbio sembrano familiari al lettore, con questa definizione sonoora state estese agli esponenti reali. Diamone per completezza la semplice dimostrazione.

4.10. Limiti fondamentali 129

(i) se a, b > 0 e x ∈ R allora axbx = ex ln aex ln b = ex ln a+x ln b = ex(ln a+ln b) = ex ln(ab) = (ab)x

(ii) se a > 0 e x, y ∈ R allora axay = ex ln aey ln a = ex ln a+y ln a = e(x+y) ln a = ax+y

(iii) se a > 0 e x, y ∈ R allora (ax)y = ey ln(ax) = eyx ln a = ayx = axy

La funzione esponenziale ora introdotta e una funzione monotona: infatti, in conseguenza del fatto che sea > 1 e ln a > 0 e se 0 < a < 1 e ln a < 0 valgono le relazioni.

(iv) se a > 1 e x, y ∈ R con x < y allora ax < ay

(v) se 0 < a < 1 e x, y ∈ R con x < y allora ax > ay

Dunque la funzione esponenziale a(x) = ax e invertibile se a 6= 1. La funzione inversa di ax si dice funzionelogaritmo in base a e verra denotata con

a−1(x) = loga x

Per i Teoremi 4.9.2 e 4.9.3 la funzione logaritmo e continua.

4.10 Limiti fondamentali

Presentiamo alcuni casi importanti in cui e possibile calcolare in modo elementare alcuni limiti che avrannomodo di sfruttare nel seguito quando tratteremo le funzioni derivabili.

Limite numero 1

limx→0

sinx

x= 1 (L1)

Il punto di partenza e il limite notevole dimostrato studiando le successioni:

limn→∞

n sin1

n= 1.

La stessa dimostrazione vista in quel caso si puo ripetere per la variabile reale, dunque il limite appena richiamatosussiste anche se n ∈ R. Se poniamo x = 1/n quando n→∞, x→ 0+ abbiamo che:

limx→0+

sinx

x= 1.

Per completare la prova dobbiamo calcolare il limite anche per x→ 0−, ma questa e cosa semplice in quanto lafunzione sin x

x e pari, in quanto quoziente di due funzioni dispari. Dunque per calcolare:

limx→0−

sinx

x,

si cambia variabile ponendo y = −x in modo che x→ 0− implica y → 0+, pertanto:

limx→0−

sinx

x= limy→0+

sin(−y)

−y = limy→0+

sin y

y= 1.

Limite numero 2

limx→±∞

(1 +

1

x

)x

= e (L2)

Il limite e gia stato trattato nel caso delle successioni, con variabile naturale. Per passare al caso di variabilereale occorrono alcuni adeguamenti tecnici. Cominciamo osservando che il dominio di definizione della funzione:

f(x) =

(1 +

1

x

)x

e costituito dai reali x per cui la base e positiva, quindi si tratta dell’insieme ∈ ]−∞,−1[ ∪ ]1,∞[, pertanto hasenso occuparsi anche del limite per x→ −∞.

Cominciamo con il limite per x → ∞. Per la proprieta archimedea dei reali sappiamo che, fissato x > 1esiste n ∈ N per cui n ≤ x < n+ 1, allora passando ai reciproci e sommando 1 si trova che:

1 +1

n+ 1< 1 +

1

x≤ 1 +

1

n,

poi elevando si trova: (1 +

1

n+ 1

)n<

(1 +

1

x

)x≤(

1 +1

n

)n+1

,

e da qui si conclude che:

limx→∞

(1 +

1

x

)x= e,

in quanto:

limn→∞

(1 +

1

n+ 1

)n= limn→∞

(1 +

1

n

)n+1

= e

e in quanto n→∞ implica x→∞.Per calcolare il limite per x→ −∞ usiamo il cambio di variabili y = −x in modo che:

limx→−∞

(1 +

1

x

)x= limy→∞

(1− 1

y

)−y= limy→∞

(y

y − 1

)y.

Ora osservato che: (y

y − 1

)y=

(y − 1 + 1

y − 1

)y=

(1 +

1

y − 1

)y,

si conclude che:

limx→−∞

(1 +

1

x

)x= limy→∞

(1 +

1

y − 1

)y= e.

Limite numero 3

limx→0

ln(1 + x)

x= 1 (L3)

Posto y = 1/x si ha y → ±∞ a seconda che sia x→ 0+ oppure x→ 0−. Il limite viene trasformato in:

limy→±∞

y ln

(1 +

1

y

)= limy→±∞

ln

(1 +

1

y

)y= ln e = 1.

4.11. Uniforme continuita 131

Limite numero 4

Con ragionamento analogo la numero 3 si vede che, se a > 0 vale:

limx→0

loga(1 + x)

x= loga e (L4)

Limite numero 5

limx→0

ex − 1

x= 1 (L5)

Eseguiamo il cambio di variabili y = ex − 1 in modo che per x → 0 anche y → 0. Ricavando x troviamox = ln(1 + y), si osservi che la cosa ha senso in quanto in un intorno di y = 0 si ha che y + 1 > 0. Il limitecercato e cosı trasformato in:

limy→0

y

ln(1 + y).

Ricordando il limite notevole (L3) vediamo che:

limy→0

y

ln(1 + y)= limy→0

1

ln(1 + y)

y

=1

1= 1

Limite numero 6

limx→0

ax − 1

x= ln a (L6)

Questa volta si pone y = ax − 1 il che comporta che il limite e trasformato in:

limy→0

y

loga(1 + y).

Ora ricordando chelimy→0

(1 + y)1y = e

concludiamo che:

limx→0

ax − 1

x=

1

loga e.

Ricordando l’identita loga e ln a = 1 si ottiene la tesi (L6).

4.11 Uniforme continuita

La nozione di uniforme continuita e piu restrittiva di quella di continuita. Risultera infatti che se una funzionee uniformemente continua essa sara anche continua, ma non viceversa. La proprieta di uniforme continuita edi tipo globale a differenza di quella di continuita che e di tipo locale, in quanto la definizione di continuita sibasa sul limite in un certo punto x0. La continuita uniforme e invece influenzata non solo dal tipo di funzioneconsiderata, ma anche dal dominio su cui la funzione e definita. L’idea, parlando grossolanamente, e che unafunzione uniformemente continua faccia piccole oscillazioni su tutto il suo dominio. Per meglio comprendere lasottile differenza fra continuita e uniforme continuita ricordiamo che la funzione f : I → R definita sull’intervalloI e continua in I se per ogni x0 ∈ I e per ogni ε > 0 e possibile determinare un δ > 0 tale che se x ∈ I e|x− x0| < δ riesce |f(x)− f(x0)| < ε. Tale δ dipende tanto da ε quanto da x0 : non esiste cioe, in generale per

ogni ε > 0 un δ > 0 tale che se x, x0 ∈ I dal fatto che |x−x0| < δ segua |f(x)− f(x0)| < ε. Vediamo di chiarirecon un esempio preso da [Apo74] paragrafo 4.19 pagina 90.

Siano I =]0, 1], f(x) = 1/x. Prendiamo ε = 10 e immaginiamo che sia possibile trovare δ ∈]0, 1[ per cui sex, y ∈ I con |x− y| < δ riesca |f(x)− f(y)| < ε. Ora se prendiamo x = δ e y = δ/11 e certamente verificato che|x− y| < δ ma

|f(x)− f(y)| =∣∣∣∣1

δ− 11

δ

∣∣∣∣ =10

δ> 10 = ε

Diamo allora la definizione di uniforme continuita:

Definizione 4.11.1. Sia I un intervallo di R e sia f : I → R. Diremo che f e uniformemente continua in I seper ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x, y ∈ I

|x− y| < δ =⇒ |f(x)− f(y)| < ε

Naturalmente avremo che:

Teorema 4.11.1. Se f : I → R e uniformemente continua in I allora f e continua in I

Per quanto detto sopra e chiaro che la tesi di Teorema 4.11.1 non puo essere invertita.

Esempio 4.11.1. La funzione f(x) = sinx e uniformemente continua su R.

Dimostrazione. Questo fatto segue dalla formula di prostaferesi

sinx− sin y = 2 sinx− y

2cos

x+ y

2

dalla disuguaglianza 2.8 di pagina 54 e dal fatto che | cosu| ≤ 1 per ogni u ∈ R. Infatti si ha

|sinx− sin y| =∣∣∣∣2 sin

x− y2

cosx+ y

2

∣∣∣∣ ≤ 2

∣∣∣∣sinx− y

2

∣∣∣∣ ≤ |x− y|

in modo che fissato ε > 0 basta prendere δ = ε per verificare che la definizione 4.11.1 e soddisfatta.

L’esempio 4.11.1 suggerisce in qualche modo di considerare una classe di funzioni, certamente uniformementecontinue.

Definizione 4.11.2. La funzione reale di una variabile reale definita sull’intervallo I ⊆ R, f : I → R si diceLipschitziana se esiste L > 0 tale che per ogni x, t ∈ I risulta

|f(x)− f(y)| < L|x− y|

Le funzioni Lipschitziane sono uniformemente continue, in quanto per ogni ε > 0 si ha che

|f(x)− f(y)| < ε

se si prendono x, y ∈ I in modo che

|x− y| < ε

L:= δ

Grazie al Teorema 2.8.3 di Bolzano Weierstrass si dimostra che quando una funzione continua e definita suun intervallo chiuso e limitato I = [a, b] essa e ivi uniformemente continua. Si ha infatti l’importante Teoremadi Heine.

Teorema 4.11.2. [Heine] Se f ∈ C[a, b] allora f e uniformemente continua su [a, b]

4.12. Punti fissi di funzioni contrattive 133

Dimostrazione. Ricordiamo che uniforme continuita significa che per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che sex, y ∈ [a, b] verificano |x − y| < δ allora |f(x) − f(y)| < ε. Se per assurdo questa proprieta non sussistesse,questo vuol dire che esiste almeno un ε > 0 tale per cui per ogni δ > 0 tale che |x−y| < δ si ha |f(x)−f(y)| ≥ ε.Ma allora questo implica che per ogni n ∈ N esistono xn, yn ∈ [a, b] tali che

|xn − yn| <1

ne |f(xn)− f(yn)| ≥ ε (4.6)

Per il Teorema di Bolzano Weierstrass, eventualmente passando ad una sottosuccessione, possiamo supporreche (xn) converga ad un elemento c ∈ [a, b] ma questo allora comporta, stante la prima delle (4.6), che anche(yn) converge allo stesso elemento c ∈ [a, b]. Ma allora per la continuita di f passando al limite la seconda della(4.6) comporta che

0 = |f(c)− f(c)| = limn→∞

|f(xn)− f(yn)| ≥ ε

in contraddizione con la positivita di ε. Dunque il Teorema di Heine e dimostrato.

Corollario 4.11.2.1. Se f : R→ R e una funzione continua e periodica di periodo fondamentale p > 0, alloraf e uniformemente continua.

4.12 Punti fissi di funzioni contrattive

Concludiamo con un Teorema di punto fisso che si ritrovera in molte situazioni di notevole interesse a cominciaredal Teorema di esistenza e unicita delle soluzioni di equazioni differenziali ordinarie.

Definizione 4.12.1. Sia I ⊆ R un intervallo. Chiamiamo contrazione ogni funzione Lipschitziana f : I → Itale che la costante di Lipscitz risulti < 1. Dunque f e una contrazione se esiste α ∈]0, 1[ tale che per ognix, y ∈ R

|f(x)− f(y)| < α|x− y| (4.7)

Definizione 4.12.2. Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → I una funzione. L’elemento u ∈ I si dice punto fisso,o punto unito di f se riesce f(u) = u

Teorema 4.12.1 (Banach-Caccioppoli). Se I e intervallo chiuso e f : I → I e una contrazione, allora f possiedeuno ed un solo punto unito.

Dimostrazione. La dimostrazione sfrutta il Teorema 2.8.5 pagina 68 sulla convergenza delle successioni diCauchy. Per prima cosa dimostriamo l’unicita. Se u1 6= u2 fossero due punti uniti distinti di f si avrebbe

0 < |u1 − u2| = |f(u1)− f(u2)| < α|u1 − u2| (4.8)

Da (4.8) semplificando |u1−u2| che e supposto positivo segue che 1 < α contro l’ipotesi che f sia una contrazione.Dunque e provato che una contrazione ammette al piu un punto unito. Completiamo la dimostrazione provandol’esistenza del punto unito. Fissiamo arbitrariamente u0 ∈ I e definiamo la successione (un) iterando la funzionef come segue:

u1 = f(u0), u2 = f(u1) = f(f(u0)), u3 = f(u2) = f(f(f(u0))), · · · , un+1 = f(un), · · ·

Osserviamo che, in conseguenza del fatto che f e una contrazione si ha:

|un+1 − un| = |f(un)− f(un−1)| < α|un − un−1| = α|f(un−1)− f(un−2)| < α2|un−1 − un−2|

e cosı proseguendo otteniamo|un+1 − un| < αn|u1 − u0| (4.9)

Da (4.9) segue che (un) e di Cauchy. Infatti se m, n ∈ N con m > n abbiamo per la disuguaglianza triangolare

|um − un| ≤m−1∑

k=n

|uk+1 − uk| < |u1 − u0|m−1∑

k=n

αk = |u1 − u0|αn − αm

1− α <|u1 − u0|

1− α αn

Siccome 0 < α < 1 si ha αn → 0 dunque e possibile scegliere nε ∈ N tale per cui se n, m > nε riesce |um−un| < εe provando che (un) e di Cauchy. Ne segue per Teorema 2.8.5 che un → u ma allora, siccome I e chiuso u ∈ Ie per la continuita di f si ha, passando al limite che

un+1 = f(un) =⇒ u = f(u)

4.13 Esercizi


1. Si calcolino i seguenti limiti:

(a) limx→3

(2x+ 1)

(b) limx→2

(x2 + 3x− 5

)

(c) limx→0

x4 − 4x+ 6

x2 − 9

(d) limx→1

x4 − 4x+ 4

x2 − 4x− 1

(e) limx→3

x2 − 5x+ 2

2x− 5

(f) limx→−1

x2e2x+1

(g) limx→−1

e2x+1

(h) limx→0

x

|x+ 2|

(i) limx→3

x ln (2x)

(j) limx→8

2x+ 1

x+ 1

(k) limx→0

2x

(l) limx→2

√x2 − x+ 7

x+ 2


(a) limx→−5

x4 + x2 + 1

x+ 5

(b) limx→−1

x2 + 1

x+ 1

(c) limx→0

x+ 1

x2 + 2x

(d) limx→0

x3 − 3x2

x3 − 2x2 − 4x

(e) limx→0

x4 − 8x2 + 16x

x

(f) limh→0

(x+ h)3 − x

h

(g) limx→2

x4 − 8x2 + 16

x3 − 8

(h) limx→2

x3 − 3x2 + 4

x3 − 2x2 − 4x+ 8

(i) limx→2

x3 − 2x2 − 4x+ 8

x4 − 8x2 + 16

(j) limx→1

x3 − x2 + 2x− 2

x2 − 1

(k) limx→1

√x− 1

x− 1

(l) limx→5

√x− 1− 2

x− 5

(m) limx→4

√1 + 2x− 3√x− 2

(n) limx→3

x4 − 81√x−√

3

(o) limx→3

x3 − 27√x−√

3

(p) limx→2

x4 − 16√x−√

2

(q) limx→2

x3 − 8√x−√

2

(r) limh→0

√h+ 3−

√3

h

(s) limh→0

√x+ h−√x

h

(t) limx→0

x+ 2

x2

(u) limx→0

x3 − 3

x3

(v) limx→−2

(x+ 2)2

x2 − 2

(w) limx→2

x+ 2

(x− 2)2

(x) limx→−1

3x+ 12

x2 + 2x+ 1

4.13. Esercizi 135


(a) limx→+∞

(x3 − 3x2 + 4

)

(b) limx→−∞

(x2 − 1

)

(c) limx→∞

x

x2 + 1

(d) limx→∞

x

x3 + 1

(e) limx→∞

x2

x3 + 1

(f) limx→+∞

2x3 + 14

4x5 − 2x3 + 1

(g) limx→−∞

2x5 + 14

4x5 − 2x3 + 1

(h) limx→+∞

2x5 + 14

4x5 − 2x3 + 1

(i) limx→+∞

2x5 + 14

4x5 − 12x3 + 1

(j) limx→−∞

x3 + 14

1− 4x2 − 2x3

(k) limx→+∞

x4 − 8x2 + 16

x3 − 8

(l) limx→+∞

x3 − 3x2 + 4

x3 − 2x2 − 4x+ 8

(m) limx→∞

2x7 + 14

4x7 − 2x3 + 1

(n) limx→∞

x

3x+ 5

(o) limx→+∞

√x2 − x+ 5

x+ 2

(p) limx→+∞

(√x− 1−

√x+ 2

)

(q) limx→+∞

x3 − lnx

x3 + 1

(r) limx→+∞

e2x + 1

x3 − x+ 8

(s) limx→+∞

(ex + 3x)

(t) limx→+∞

x√e2x + 1

(u) limx→+∞

x lnx

(v) limx→0

ex

x2

(w) limx→+∞

1

lnx

(x) limx→+∞

1

x2 − 1

4. Dire se e possibile scegliere a ∈ R in modo che risulti:

(a) limx→∞

[√1 + ax+ x2 − x

]= 4 (b) lim

x→∞

[2x−

√4x2 + ax

]= 7

5. Siano f e g due funzioni:

f(x) =

x2 − 1 perx ≤ 0

−x2 perx > 0g(x) =

3x− 2 perx ≤ 2

−x+ 6 perx > 2

f e continua per x = 0? g e continua per x = 2?

6. Determinare i valori di x per cui ognuna delle seguenti funzioni e continua:

(a) f(x) = x5 + 4x2

(b) f(x) =x

1− x

(c) f(x) =1√

2− x

(d) f(x) =x

x2 + 1

(e) f(x) =x4 − 8x2 + 16

x2 + 2x− 2

(f) f(x) =

√x+ 1

x− 1

7. Per quali valori di a e f continua per ogni x?

(a) f(x) =

ax− 1 per x ≤ 1

3x2 + 1 perx > 1(b) f(x) =

ax3 + 5x− 1 perx ≤ 1

−x+ 2 perx > 1

8. Dimostrare che ognuna delle seguenti equazioni ha almeno una radice nell’intervallo indicato:

(a) x3 + 3x− 8 = 0 in ]−2, 3[

(b) x6 + 3x2 − 2x− 1 = 0 in ]0, 1[

(c) x7 − 5x5 + x3 − 1 = 0 in ]−1, 1[

(d)√x2 + 1 = 3x in ]0, 1[

(e)√x2 + 2 = 4x in [0, 1].

9. Spiegare perche la funzione f definita per ogni x ∈ [0, 5] da:

f(x) =x4 − 8x2 + 16

x2 + 2

e dotata di massimo e di minimo. (Non tentare di calcolare questi valori)

10. Sia f : [−1, 1]→ R:

f(x) =

x per − 1 < x < 1

0 per x = ±1

(a) Disegnare il diagramma di f(x). f(x) assume massimo e minimo valore in [−1, 1]?

(b) f(x) e continua in [−1, 1]?

11. Sia f : ]0,∞[→ R:

f(x) =

x+ 1 per 0 < x ≤ 1

1 per x > 1

(a) Disegnare il diagramma di f(x)

(b) Dimostrare che f(x) raggiunge il massimo e il minimo valore in ]0,∞[.

12. Per ciascuna delle funzioni f(x) seguenti riportate dimostrare che esiste l’inversa f−1(y) , e trovare unaformola per f−1(y). Studiare la continuita di f−1(y).

(a) f(x) = x+ 1

(b) f(x) = 5√x+ 1

(c) f(x) = x3

(d) f(x) =3x− 1

x+ 4

(e) f(x) =2ex

ex − 1

13. Sia f : [0, 1] → R definita da f(x) = 2x2 − x4. Dimostrare che esiste l’inversa f−1, trovare una formolaper f−1(y) e dire se tale funzione sia, o meno, continua.

CAPITOLO 5

CALCOLO DIFFERENZIALE

La nozione di derivata di una funzione risale a Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) che nel 1684 scrisse lacelebre memoria “Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationalesquantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus”. Isaac Newton (1643-1727) nel secondo libro deiPrincipia del 1687, presento anche egli la nozione di derivata, ed e storica la polemica fra i due scienziatisulla paternita della scoperta. Augustin Louis Cauchy (1789-1857) nel suo Course d’Analyse del 1821 diede lasistemazione teorica della disciplina nella forma in cui viene tuttora esposta.

5.1 Funzioni derivabili

Definizione 5.1.1. Data la funzione reale di una variabile reale f : I → R, con I intervallo. Diremo che f ederivabile in x0 ∈ I con x0 interno all’intervallo I se esiste finito il limite:

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0= limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h. (5.1)

Il quoziente∆f

∆x(x, x0) =

f(x)− f(x0)

x− x0

viene chiamato rapporto incrementale.Se esiste finito il limite destro

limx→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0= limh→0+

f(x0 + h)− f(x0)

h(5.1d)

diremo che f e derivabile a destra in x0.Se esiste finito il limite sinistro

limx→x−

0

f(x)− f(x0)

x− x0= limh→0−

f(x0 + h)− f(x0)

h(5.1s)

diremo che f e derivabile a sinistra in x0.

138 5. Calcolo differenziale

La derivata di f in x0, vale a dire il numero reale individuato dal limite (5.1) si indica con uno dei simboli:

f ′(x0), f(x0), Df(x0),df

dx(x0)

La derivata destra di f in x0, vale a dire il numero reale individuato dal limite (5.1d) si indica con uno deisimboli:

f ′+(x0), D+f(x0).

La derivata sinistra di f in x0, vale a dire il numero reale individuato dal limite (5.1s) si indica con uno deisimboli:

f ′−(x0), D−f(x0).

Osservazione 5.1.1. Si riconosce che f e derivabile in x0 se e solo se e derivabile sia a destra che a sinistra inx0 e vale f ′+(x0) = f ′−(x0).

Osservazione 5.1.2. Se x0 e estremo destro dell’intervallo I, come ad esempio nel caso x0 = a con I = [a, b]oppure I = [a,+∞[ si considera il limite destro

limx→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0= limh→0+

f(x0 + h)− f(x0)

h

Se tale limite esiste finito diremo che f e derivabile nell’estremo destro dell’intervallo I. Analogo ragionamentonel caso in cui x0 sia estremo sinistro dell’intervallo I

Definizione 5.1.2. Se per ogni x0 ∈ I esiste il limite del rapporto incrementale la funzione f e detta derivabilein I e la funzione:

x 7−→ f ′(x)

si dice funzione derivata o, piu semplicemente, derivata di f.

Esempio 5.1.1. La funzione stazionaria cα(x) = α ∈ R introdotta in (4.1) pagina 109 e derivabile per ognix0 ∈ R e la sua derivata vale zero. Infatti, fissato x0 per ogni x 6= x0 il rapporto incrementale e identicamentenullo, essendo

∆cα∆x

(x, x0) =cα(x)− cα(x0)

x− x0=

α− αx− x0

= 0

e dunque e nullo anche il suo limite per x→ x0.

La funzione id(x) = x in (4.1) pagina 109 e derivabile per ogni x0 ∈ R e la sua derivata vale uno. Infatti, fissatox0 per ogni x 6= x0 il rapporto incrementale e identicamente uno, essendo

∆id

∆x(x, x0) =

x− x0

x− x0= 1

e dunque e uno anche il suo limite per x→ x0.

Le funzioni derivabili sono una particolare sottoinsieme delle funzioni continue. Infatti si ha il Teoremadella continuita delle funzioni derivabili.

Teorema 5.1.1. Sia f una funzione derivabile in x0 ∈ I allora f e continua in x0.

5.1. Funzioni derivabili 139

Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che

limx→x0

f(x) = f(x0)

Ora si ha per ogni x 6= x0

f(x)− f(x0) =f(x)− f(x0)

x− x0(x− x0)

Per ipotesi limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0esiste finito e d’altra parte si ha anche che lim

x→x0

(x− x0) = 0 e pertanto

limx→x0

(f(x)− f(x0)) = f ′(x0)× 0 = 0

il che prova l’asserto.

Osservazione 5.1.3. La tesi del Teorema 5.1.1 non puo essere invertita. Ad esempio la funzione f(x) = |x|vedi Figura 4.2, e continua per ogni x ∈ R ma non e derivabile in x0 = 0. Infatti tale funzione ha derivate destrae derivata sinistra nell’origine diverse fra loro. Infatti il rapporto incrementale di tale funzione se x0 = 0 e

∆f

∆x(x, 0) =

f(x)− f(0)

x− 0=|x|x

Se x > 0 si ha∆f

∆x(x, 0) =

x

x= 1

quindi se x→ 0+ abbiamo f ′+(0) = 1. D’altra parte se x < 0 si ha

∆f

∆x(x, 0) =

−xx

= −1

quindi se x→ 0− abbiamo f ′−(0) = −1.

La derivata e compatibile con la somma di funzioni, la moltiplicazione per un numero reale e la moltiplica-zione di funzioni.

Teorema 5.1.2. Se f e g sono due funzioni derivabili in x0 ∈ I, e α ∈ R, allora:

(i) (α f)′(x0) = α f ′(x0)

(ii) (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0)

(iii) (f · g)′(x0) = f ′(x0) g(x0) + f(x0) g′(x0)

Dimostrazione. La prova delle prime due affermazioni e immediata. Infatti per ogni x 6= x0 si ha

(α f) (x)− (α f) (x0)

x− x0=αf(x)− αf(x0)

x− x0= α

f(x)− f(x0)

x− x0

dunque (i) segue per x → x0. Per quanto riguarda (ii) anche qui si procede direttamente dal rapportoincrementale

(f + g) (x)− (f + g) (x0)

x− x0=f(x) + g(x)− f(x0)− g(x0)

x− x0=f(x)− f(x0)

x− x0+g(x)− g(x0)

x− x0


dunque (ii) segue per x→ x0. La prova di (iii) e lievemente meno immediata. Se x 6= x0 si ha

(f · g) (x)− (f · g) (x0)

x− x0=f(x)g(x)− f(x0)g(x0)

x− x0

=f(x)g(x)− f(x)g(x0) + f(x)g(x0)− f(x0)g(x0)

x− x0

=f(x)g(x)− f(x)g(x0)

x− x0+f(x)g(x0)− f(x0)g(x0)

x− x0

= f(x)g(x)− g(x0)

x− x0+ g(x0)

f(x)− f(x0)

x− x0

Ora la tesi segue passando al limite per x → x0 tenuto conto che la derivabilita di f in x0 assicura anche lacontinuita di f in x0.

Teorema 5.1.3. Se f e g sono due funzioni derivabili in x0 ∈ I, e g(x0) 6= 0, allora:(f

g

)′(x0) =

f ′(x0) g(x0)− f(x0) g′(x0)

[g(x0)]2

Dimostrazione. Per prima cosa osserviamo che per il Teorema 4.3.4 della permanenza del segno il quozientef(x)/g(x) e ben definito in un intorno di x0. Dunque ha senso considerare il rapporto incrementale:

(f

g

)(x)−

(f

g

)(x0)

x− x0=

1

x− x0

(f(x)

g(x)− f(x0)

g(x0)

).

Ora, essendo:

1

x− x0

(f(x)

g(x)− f(x0)

g(x0)

)=

1

x− x0

f(x)g(x0)− f(x0)g(x)

g(x)g(x0)

=1

x− x0

f(x)g(x0)− f(x0)g(x0) + f(x0)g(x0)− f(x0)g(x)

g(x)g(x0)

=1

g(x)g(x0)

(f(x)− f(x0)

x− x0g(x0)− g(x)− g(x0)

x− x0f(x0)

)

possiamo passare al limite per x→ x0, ricordando che g(x) e una funzione continua in x0 e ottenere:(f

g

)′(x0) = lim

x→x0

1

g(x)g(x0)

(f(x)− f(x0)

x− x0g(x0)− g(x)− g(x0)

x− x0f(x0)

)

=1

g(x0)g(x0)(f ′(x0)g(x0)− g′(x0)f(x0))

vale a dire la tesi.

In particolare se f(x) = 1 abbiamo la formula per la derivata della funzione reciproca.

Corollario 5.1.3.1. Sia g : I → R una funzione derivabile in x0 ∈ I. Se, inoltre si ha che g(x0) 6= 0, allora lafunzione y(x) = 1/g(x) e derivabile in x0 e si ha:

y′(x0) = − g′(x0)

g2(x0).

Dimostrazione. Per prima cosa osserviamo che per il Teorema 4.3.4 della permanenza del segno il quoziente1/g(x) e ben definito in un intorno di x0. Successivamente applichiamo il Teorema 5.1.3 con f(x) = 1 ricordandoche, in questo caso, f ′(x) = 0.

5.2. Derivate delle funzioni fondamentali 141

5.2 Derivate delle funzioni fondamentali

In questo paragrafo ci dedichiamo al calcolo delle derivate delle funzioni fondamentali, che ricorrono nelleapplicazioni.

5.2.1 Funzione monomia

La funzione monomia efn(x) = xn, n ∈ N

Per ogni x ∈ R la sua derivata ef ′n(x) = nxn−1 (5.2)

Per n = 1 la funzione monomia coincide con la funzione identita id(x) = f1(x) = x e la formula (5.2) e gia stataprovata.Per n = 2 fissato x ∈ R preso un incremento h 6= 0 abbiamo

f2(x+ h)− f2(x)

h=

(x+ h)2 − x2

h=

2hx+ h2

h

= 2x+ h

quindi limh→0

f2(x+ h)− f2(x)

h= limh→0

(2x+ h) = 2x e (5.2) e verificata.

Per il caso generale di n ∈ N, e ragionando per induzione e usando il teorema della derivazione del prodottosi trova

D(xn+1

)= D (xn · x) = D (xn) · x+ xnD (x)

= nxn−1 · x+ xn = nxn + xn

= (n+ 1)xn

Dunque (5.2) e verificata per ogni n ∈ N.

5.2.2 Funzione esponenziale di base e

Questa e la derivata piu importante in tutta l’Analisi Matematica. La funzione

E(x) = ex

e derivabile per ogni x ∈ R e valeE′(x) = ex = E(x) (5.3)

Dunque la funzione esponenziale e un punto unito dell’operatore di derivazione.Infatti si ha fissato x ∈ R preso un incremento h 6= 0

E(x+ h)− E(x)

h=ex+h − ex

h=eh − 1

hex

Ora ricordato il limite notevole (L5), pagina 131:

limh→0

eh − 1

h= 1

abbiamo dimostrato la (5.3)


5.2.3 Funzione esponenziale di base qualunque

Se a > 0 la funzioneA(x) = ax

e derivabile per ogni x ∈ R e si haA′(x) = ax ln a (5.4)

Infatti:

A(x+ h)−A(x)

h=

ax+h − axh

=axah − ax

h

= ax · ah − 1

h

Ora ricordato il limite notevole (L6):

limh→0

ah − 1

h= ln a

si ottiene la (5.4)

5.2.4 Funzione logaritmo naturale

La funzione, definita per x > 0:L(x) = lnx

e derivabile per ogni x > 0 e la sua derivata e

L′(x) =1

x(5.5)

Infatti se x > 0 preso un h tale che x+ h > 0 si ha

L(x+ h)− L(x)

h=

ln(x+ h)− lnx

h=

1

hlnx+ h

x

= ln

(1 +

h

x

) 1h

= ln

[(1 +

h

x

) xh

] 1x

Di conseguenza

limh→0

L(x+ h)− L(x)

h= limh→0

ln

[(1 +

h

x

) xh

] 1x

= ln e1x =

1

x

5.2.5 Funzione seno goniometrico

La funzione, definita per ogni x ∈ RS(x) = sinx

e derivabile per ogni x ∈ R e valeS′(x) = cosx (5.6)

Infatti preso h ∈ R si ha, usando la formula di prostaferesi (4.3) pagina 116:

S(x+ h)− S(x)

h=

sin(x+ h)− sinx

h

=2 sin

x+ h− x2

cosx+ h+ x

2h

=sin

h

2h

2

cos2x+ h

2

5.3. Retta tangente ad una funzione 143

Ora ricordati il limite notevole (L1) e la continuita della funzione coseno abbiamo

limh→0

S(x+ h)− S(x)

h= lim

h→0

sinh

2h

2

cos2x+ h

2

= 1 · cosx = cosx

5.2.6 Funzione coseno goniometrico

La funzione, definita per ogni x ∈ RC(x) = cosx

e derivabile per ogni x ∈ R e valeC ′(x) = − sinx (5.7)

La prova, analoga a quella appena presentata per la funzione seno, e lasciata per esercizio.

5.2.7 Funzione tangente goniometrica

La funzione, definita per ogni x ∈ R, x 6= π2 + kπ, k ∈ Z

T (x) = tanx

e derivabile e valeT ′(x) = 1 + tan2 x (5.8)

In questo caso possiamo applicare le due formule di derivazione (5.6) e (5.7) e il Teorema 5.1.3 sulla derivatadel quoziente.

T ′(x) = D

(sinx

cosx

)=

cosx · cosx− (− sinx) · sinxcos2 x

=cos2 x+ sin2 x

cos2 x= 1 +

sin2 x

cos2 x= 1 + tan2 x

5.3 Retta tangente ad una funzione

Ragioniamo sul significato geometrico della nozione di derivata.

x0

f Hx0L

x

f HxL

x

y

x0

f Hx0L

x

f HxL

x

f HxL

x

y


La corda tracciata in rosso ha coefficiente angolare

α =f(x)− f(x0)

x− x0

per x → x0 la corda si dispone verso la retta tangente. Assumere che esista finito il limite (5.1) significaassumere che il grafico di f(x) e dotato di retta tangente in x0 e che il valore del limite (5.1) e il coefficienteangolare di tale retta tangente. Non e detto che la retta tangente esista: in alcune situazioni caso della cuspide

x0

f Hx0L

x

y

la tangente e verticale, il che significa che il limite (5.1) e infinito, oppure esistono due tangenti distinte, casodel punto angoloso. I grafici sono quelli delle due funzioni:

f(x) =√|x− 1|, f(x) = |x− 1|

rispettivamente.

x

y

x

y

In conseguenza della nostra discussione geometrica sul significato della derivata abbiamo che l’equazionedella retta tangente al grafico di f nel punto x0 e

y = f(x0) + f ′(x0) (x− x0) (5.9)

L’equazione della retta tangente (5.9) permette di trattare problemi come quello che presentiamo nell’esem-pio seguente.

5.3. Retta tangente ad una funzione 145

Esempio 5.3.1. Trovare le equazioni delle rette passanti per il punto P(1, 2) tangenti alla parabola di equazionecartesiana y = x2 + 1.

Osserviamo che questo tipo di problema puo essere trattato con metodi elementari senza ricorrere allanozione di derivata. Infatti, osservato che il punto P appartiene alla parabola, senza usare la derivata siprocede, in modo molto piu lento usando il fascio di rette per P di equazione

y = 2 +m(x− 1)

e lo si lega a sistema con l’equazione della parabolay = 2 +m(x− 1)

y = x2 + 1

uguagliando si trova l’equazione di secondo grado in x

x2 −mx+m− 1 = 0

si ha tangenza se il discriminante si annulla

m2 − 4m+ 4 = 0 ⇐⇒ (m− 2)2 = 0

quindi m = 2 pertanto la retta tangente e

y = 2 + 2(x− 1) = 2x

questo ci conferma che la derivata in x0 = 1 della funzione f(x) = x2 + 1 vale 2. Naturalmente usando laformula (5.9) si perviene alla stessa determinazione con il solo calcolo di f ′(1) = 2.

1

2

x

y

Figura 5.1: f(x) = x2 + 1, y = 2x

La derivata permette di trattare problemi piu generali, dove l’algebra e o inservibile o troppo difficile. Seavessimo posto il problema di trovare le equazioni delle rette passanti per il punto P(1, 2) tangenti alla parabolacubica di equazione cartesiana

y = f(x) = x3 + 1

applicando la (5.9) si trova f ′(1) = 3 pertanto la retta tangente ha equazione

y = 2 + 3(x− 1) = 3x− 1

Il procedimento algebrico ci avrebbe condotto alla ricerca di valori del parametro m per cui la retta y =2 +m(x−1) e tangente alla curva del terzo ordine di equazione y = x3 + 1 che porta ad imporre che l’equazionedi terzo grado

x3 −mx+m− 1 = 0

abbia due radici coincidenti.

1

2

x

y

Figura 5.2: f(x) = x3 + 1, y = 3x− 1

5.4 Il teorema di Darboux

Se f : I → R e una funzione derivabile non si puo, a priori dedurre che la derivata f ′ : I → R sia continua. Adesempio

f(x) =

x2 sin

1

xse x 6= 0

0 se x = 0

e derivabile in ogni punto. La sua derivata:

f ′(x) =

2x sin1

x− cos

1

xse x 6= 0

0 se x = 0

non e una funzione continua nell’origine.Nonostante non si possa a priori dire che la funzione derivata f ′ : I → R sia continua, f ′ mantiene la proprieta

dei valori intermedi. Il comportamento della funzione f ′(x) se f(x) e derivabile per ogni x nell’intervallo I estudiato nel prossimo teorema, dovuto a Darbox1.

Teorema 5.4.1. Se f : I → R e una funzione derivabile, presi a, b ∈ I tali che a < b e che f ′(a) < f ′(b), alloraper ogni reale k tale che f ′(a) < k < f ′(b) esiste almeno un punto x ∈ ]a, b[ tale per cui f ′(x) = k

Dimostrazione. Si ponga g(x) = f(x)−kx. La funzione g soddisfa le ipotesi del Teorema di Weierstrass nell’inter-vallo [a, b] . Indichiamo con xm un punto di minimo per g e, siccome g′(a) = f ′(a)−k < 0 e g′(b) = f ′(b)−k > 0tale punto di minimo deve essere interno all’intervallo, dunque, per il Teorema di Fermat deve essere:

g′(xm) = 0,

1Jean Gaston Darboux (1842–1917)

5.5. Derivate successive 147

dunque:f ′(xm) = k,

come volevasi.

In conseguenza del Teorema di Darboux abbiamo quindi che la funzione f ′ non puo discontinuita di tiposalto in ]a, b[ . In particolare, se una funzione ha in un intervallo derivata sempre diversa da zero, si ha che ilsegno della derivata non cambia. In altri termini f ′(x) 6= 0 per ogni x ∈ I equivale a ipotizzare che o f ′(x) < 0 of ′(x) > 0 per ogni per ogni x ∈ I. Questa osservazione sara ripresa quando tratteremo i teoremi di de l’Hopitalnel paragrafo 5.9.

5.5 Derivate successive

Se f : I → R e una funzione, definita nell’intervallo I derivabile per ogni x ∈ I, ha senso studiare la derivabilitadella funzione f ′ : I → R.

Definizione 5.5.1. Diremo che la funzione f : I → R e dotata di derivata seconda in x0 ∈ I se risulta derivabilein x0 la funzione derivata f ′. Dunque f e dotata di derivata seconda se esiste finito:

f ′′(x0) = limx→x0

f ′(x)− f ′(x0)

x− x0. (5.10)

La derivata seconda di f in x0 si indica con una delle seguenti notazioni

f ′′(x0), D2f(x0), f (2)(x0),d2

dx2f(x0)

In pratica e sufficiente derivare la derivata prima. Ad esempio se f(x) = x2 si ha:

f ′(x) = 2x =⇒ f ′′(x) = 2.

E possibile continuare nel processo di derivazione e considerare derivate terze, quarte, etc.. . . La derivata diordine n ∈ N si denota con

Dnf(x0), f (n)(x0),dn

dxnf(x0)

Dunque diciamo che f e n+ 1-volte derivabile in x0 se esiste il limite

(f (n))′(x0) = limx→x0

f (n)(x)− f (n)(x0)

x− x0

Dalle proprieta di linearita e omogeneita della derivata seguono subito le due relazioni, valide in tutti i puntix nell’intervallo I in cui f e g sono definite e dotate di derivata di ordine n ∈ N

Dn(f + g)(x) = Dnf(x) +Dng(x), Dn(λf)(x) = λDnf(x)

ove λ ∈ R e una costante reale.Invece la derivata di ordine n del prodotto di due funzioni f e g e un fatto meno immediato, essa e data

dalla formula di Leibnitz

Dn(fg)(x) =n∑

k=0

(n

k

)Dkf(x)Dn−kg(x) (5.11)

La formula (5.11) si dimostra ragionando per induzione, lasciamo la sua prova come esercizio.


5.6 Derivabilita nel senso di Caratheodory

La nozione di derivata, intesa come limite del rapporto incrementale di una funzione equazione (5.1), nellaforma in cui l’abbiamo presentata, e dovuta a Augustin Louis Cauchy che la propose nel 1821. Nondimeno, larivisitazione del concetto di derivata, proposta dal matematico tedesco di origine greca Costantin Caratheodory(1873-1950) e assai utile, in quanto ci permettera di formulare, in modo semplice, alcune dimostrazioni diimportanti teoremi, quali quelli relativo alla derivabilita della funzione composta e della funzione inversa. Ca-ratheodory, riprese a sua volta la rivisitazione di Weierstrass risalente al 1861. Prima di formulare la nozione diderivata secondo Caratheodory facciamo una breve considerazione sulla derivata nel senso di Cauchy. Nel defi-nire la derivata si fissa un punto particolare, diciamolo qui x0, dell’intervallo I, in cui e definita la funzione f(x),e si incrementa di una quantita h il punto x0 considerando poi il limite per h→ 0 del rapporto incrementale:

f(x0 + h)− f(x0)

h.

Quello che qui si vuole porre all’attenzione del lettore e che anziche pensare di incrementare il punto x0, possiamopensare di valutare la funzione f(x) vicino al punto x0. Dunque, ponendo x = x0 + h, il rapporto incrementalepuo essere scritto come:

f(x)− f(x0)

x− x0.

pertanto la funzione f(x) sara derivabile, nel senso di Cauchy, in x0 se esiste:

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0= f ′(x0) ∈ R.

Cio premesso diamo la:

Definizione 5.6.1. Siano I un intervallo, x0 ∈ I e sia data una funzione f : I → R. Diremo che f e derivabilein x0 nel senso di Caratheodory se e solo se esiste una funzione ϕ : I → R, continua in x0 tale che:

f(x) = f(x0) + ϕ(x) (x− x0) .

Il numero reale ϕ(x0) e detto derivata prima di f in x0 e viene indicato con f ′(x0).

La definizione ora data e ben posta in quanto ϕ(x) e univocamente determinata, essendo:

ϕ(x) =f(x)− f(x0)

x− x0se x 6= x0.

Ora e fondamentale capire subito che le due diverse nozioni di derivata coincidono, nel senso che si ha il seguente:

Teorema 5.6.1. La funzione f(x) e derivabile nel senso di Caratheodory se e solo se essa e derivabile nel sensodi Cauchy.

Dimostrazione. Supponiamo che f(x) sia Caratheodory-derivabile. Dobbiamo dimostrare che f(x) e Cauchy-derivabile. Scriviamo il rapporto incrementale:

f(x)− f(x0)

x− x0=ϕ(x) (x− x0)

x− x0= ϕ(x).

Per ipotesi ϕ(x) e continua ed il suo limite per x→ x0 e per definizione la derivata prima di f(x) in x0, f′(x0).

Supponiamo ora che f(x) sia Cauchy-derivabile e proviamo che f(x) e anche Caratheodory derivabile. Sex 6= x0 poniamo:

ϕ(x) =f(x)− f(x0)

x− x0,

da cui, evidentemente, segue f(x) = f(x0) +ϕ(x) (x− x0) . L’ipotesi di Cauchy-derivabilita assicura l’esistenzadel limite per x→ x0 di ϕ(x) e questo assicura a sua volta la continuita in x0 di ϕ(x) e quindi la tesi.

5.7. Derivata della funzione composta e derivata dell’inversa 149

5.7 Derivata della funzione composta e derivata dell’inversa

5.7.1 Derivata della funzione composta

La dimostrazione della regola per la derivazione della funzione composta risulta estremamente semplice, ma so-pratutto elegante, se si sfrutta la nozione di derivabilita secondo Caratheodory, che, come sappiamo e equivalentea quella classica di Cauchy, che vede la derivata come limite del rapporto incrementale.

Teorema 5.7.1. Sia g : I → R una funzione derivabile in x0 ∈ I e sia f : J → R una funzione derivabile inz0 = g(x0). Allora la funzione composta (f g)(x) = f(g(x)) e ben definita in un intorno di x0 e la sua derivatain x0 vale:

(f g)′(x0) = f ′(g(x0)) g′(x0) (5.12)

Dimostrazione. Per ipotesi la derivabilita di f in z0 = g(x0) e quella di g in x0 portano alle due equazioni:

g(x)− g(x0) = ϕ1(x) (x− x0) , ϕ′1(x0) = g′(x0)

f(z)− f(z0) = ϕ2(z) (z − z0) , ϕ′2(z0) = f ′(z0).

Ora, tenendo conto della prima equazione e sostituendo nella seconda, seguendo lo schema z−z0 = g(x)−g(x0)abbiamo:

f(g(x))− f(g(x0)) = ϕ2(g(x)) (g(x)− g(x0))

= ϕ2(g(x))ϕ1(x) (x− x0) .

La funzione ϕ(x) = ϕ2(g(x))ϕ1(x) e per costruzione continua in x0 e si ha:

ϕ(x0) = ϕ2(g(x0))ϕ1(x0) = f ′(g(x0)) g′(x0),

il che, tenendo conto della definizione di derivata secondo Caratheodory, completa la dimostrazione.

Esempio 5.7.1. La funzione ϕ(x) = ex2

e la composizione di f(z) = ez e di g(x) = x2. Quindi essendof ′(z) = ez e g′(x) = 2x si ha

ϕ′(x) = f ′ (g(x)) g′(x) = ex2

(2x )

Non e difficile generalizzare: se g e una funzione derivabile, posto ϕ(x) = eg(x) si ha

ϕ′(x) = g′(x)eg(x)

5.7.2 Funzioni iperboliche

Sfruttiamo la regola per la derivazione delle funzioni composte ed il successivo esempio per studiare il compor-tamento delle cosiddette funzioni iperboliche.

Se x ∈ R si pone:

sinhx =ex − e−x

2, coshx =

ex + e−x

2, tanhx =

ex − e−xex + e−x

.

Si tratta di funzioni continue per ogni x ∈ R, sinhx si dice seno iperbolico di x, coshx coseno iperbolico di x etanhx tangente iperbolica di x. Valgono le relazioni:

cosh2 x− sinh2 x = 1, tanhx =sinhx

coshx.


x

y

Figura 5.3: x2 − y2 = 1

La ragione del nome sta nel fatto che le equazioni parametriche:

x(t) = cosh t,

y(t) = sinh t,

descrivono, al variare di t ∈ R, l’iperbole equilatera di equazione cartesiana x2 − y2 = 1. Da notare la analogiacon le equazioni parametriche:

x(t) = cos t,

y(t) = sin t,

che descrivono, al variare di t ∈ R, la circonferenza di equazione x2 + y2 = 1.

Per calcolare le derivate delle funzioni iperboliche sfruttiamo quanto esposto nell’esempio 5.7.1 per dedurreche (

e−x)′

= −e−x.

Si vede subito allora che:

(sinhx)′

=ex + (−e−x)

2= coshx.

Analogamente:

(coshx)′

=ex − (−e−x)

2= sinhx.

Infine applicando la regola per la derivazione del quoziente troviamo:

(tanhx)′

=cosh2 x− sinh2 x

cosh2 x= 1− tanh2 x.

Riassumendo:

(sinhx)′

= coshx, (coshx)′

= sinhx, (tanhx)′

= 1− tanh2 x.

Il lettore e invitato a riflettere sulle analogie con le regole di derivazione per le funzioni circolari.


5.7.3 Potenza con esponente reale

Un’altra importante applicazione del Teorema 5.7.1 riguarda la generalizzazione dei risultati esposti in 5.2.1relativi alla formula di derivazione (5.2). Ricordiamo la definizione di potenza ad esponente reale. Se α ∈ R ex > 0 si definisce la potenza ad esponente reale xα mediante la posizione

xα := eα ln x (5.13)

Applicando il Teorema 5.7.1 alla formula (5.13) vediamo per x > 0 che posto

R(x) = xα

la funzione R e derivabile e si ha

R′(x) = (α lnx)′eα ln x =α

xxα = αxα−1

Dunque la formula (5.2) vale anche se l’esponente e preso in R e non solo in N.In particolare se α = 1/2 abbiamo

(√x)′

=1

2√x

5.7.4 Derivata della funzione inversa

Teorema 5.7.2. Sia f : I → f(I) una funzione invertibile, I intervallo reale. Se f derivabile in x0 ∈ I e seriesce f ′(x0) 6= 0 la funzione inversa f−1 : f(I)→ I e derivabile in y0 = f(x0) e vale la formula:

D[f−1(y0)

]=

1

f ′(x0)

Dimostrazione. La derivabilita di f in x0, secondo la definizione di Caratheodory significa che esiste una funzioneϕ(x), continua nel punto x0, tale per cui f(x) − f(x0) = ϕ(x)(x − x0) e tale che ϕ(x0) = f ′(x0). Dobbiamoprovare che f−1(y) e derivabile in y0 = f(x0). Poniamo x = f−1(y), x0 = f−1(y0) e, quindi si ha anche y = f(x)e y0 − f(x0). Scriviamo la relazione di Caratheodory come:

y − y0 = ϕ(f−1(y)

) (f−1(y)− f−1(y0)

).

Dall’ipotesi segue, inoltre, che ϕ(f−1(y0)

)= ϕ (x0) = f ′(x0) 6= 0, quindi per il teorema della permanza del

segno esiste un intorno V0 di y0 tale per cui si ha ϕ(f−1(y)

)6= 0 per ogni y ∈ V0, ma allora possiamo ricavare

f−1(y)− f−1(y0):

f−1(y)− f−1(y0) =1

ϕ (f−1(y))(y − y0) .

Ne segue che la dimostrazione e conclusa, osservato che, per la continuita della funzione inversa, la funzioneϕ(f−1(y)

)e continua in y0.

C’e una considerazione importante da fare sul teorema appena provato nei riguardi dell’ipotesi f ′(x0) 6= 0.Tale ipotesi e indispensabile: la tesi del teorema diventa falsa se essa viene meno. Si pensi ad esempio allafunzione f(x) = x3. Tale funzione e certamente invertibile e la sua inversa e la funzione f−1(y) = 3

√y. Nel

punto x0 = 0 si ha f ′(x0) = 0 e nel corrispondente punto y0 = f−1(x0) = 0 la derivata prima non esiste,in quanto il limite del rapporto incrementale non e finito. Questo non deve soprendere, per ottenere la tesiabbiamo dovuto dividere per ϕ

(f−1(y0)

)e la divisione per zero e proibita.


Esempio 5.7.2. Sia f(x) =x+ 30

x+ 10determiniamo

(f−1

)′(3).

Primo passo: conosciamo y0 = 3 ma ci serve x0. Dunque va risolta l’equazione

f(x) = y0 ⇐⇒x+ 30

x+ 10= 3 ⇐⇒ x0 = 0

Secondo passo calcoliamo f ′(x0) = f ′(0). Si ha essendo

f ′(x) = − 20

(x+ 10)2

che f ′(0) = −1

5. Terzo ed ultimo passo:

(f−1

)′(3) =

1

f ′(0)= −5.

Alla stessa conclusione si poteva arrivare risolvendo per x l’equazione

x+ 30

x+ 10= y

derivando rispetto ad y e calcolando in y0 = 3. Lasciamo la verifica per esercizio.

I seguenti due esempi mostrano come usando il Teorema 5.7.2 si ritrovano derivate che avevamo gia avutomodo di calcolare con altri metodi.

Esempio 5.7.3. Se f(x) = x2, x > 0 l’inversa g(y) e la funzione radice quadrata g(y) =√y. Se y0 > 0 e tale

che y0 = x20, allora:

g′(y0) =1

f ′(x0)=

1

2x0=

1

2√y0

Esempio 5.7.4. Se f(x) = ex, x ∈ R l’inversa g(y) e la funzione logaritmo: g(y) = ln y. Se y0 > 0 e tale chey0 = ex0 , allora:

g′(y0) =1

f ′(x0)=

1

ex0=

1

y0

Nei prossimi esempi invece otteniamo nuove importanti derivate, quelle delle inverse delle funzioni gonio-metriche e iperboliche.

Esempio 5.7.5. Derivata di arcsin y. Sia x ∈[−π2 , π2

]e sia y = sinx.

(arcsin y)′ =1

(sinx)′=

1

cosx=

1√1− sin2 x

=1√

1− y2

Esempio 5.7.6. Derivata di arccos y. Sia x ∈ [0, π] e sia y = cosx.

(arccos y)′ =1

(cosx)′= − 1

sinx= − 1√

1− cos2 x= − 1√

1− y2

Osservazione 5.7.1. Per quanto appena mostrato, la funzione y 7→ arcsin y + arccos y ha derivata nulla.

Esempio 5.7.7. Derivata di arctan y. Sia x ∈]−π2 , π2

[e sia y = tanx.

(arctan y)′ =1

(tanx)′=

1

1 + tan2 x=

1

1 + y2

Esempio 5.7.8. Derivata di arcsinh y. La funzione seno iperbolico:

sinhx =ex − e−x

2

e strettamente crescente da R → R essendo la semisomma di due funzioni strettamente crescenti: ex e −e−x.La sua funzione inversa, detta arcoseno iperbolico viene denotata con arcsinh y e globalmente definita. La suaderivata e:

(arcsinh y)′

=1

(sinhx)′=

1

coshx=

1√1 + sinh2 x

=1√

1 + y2


sinhx = y ⇐⇒ x = ln(y +

√1 + y2

)= arcsinh y

e poi derivando rispetto ad y il secondo membro dell’ultima uguaglianza. Lasciamo questa verifica per esercizio.

Esempio 5.7.9. Derivata di arccosh y. La funzione coseno iperbolico:

coshx =ex + e−x

2

non e strettamente crescente da R→ R. Si tratta infatti di una funzione pari. La sua inversa non e globalmentedefinita. Tuttavia la restrizione a x ≥ 0 e una funzione strettamente crescente. La funzione inversa e definitaper y > 1 e la sua derivata e:

(arccosh y)′ =1

(coshx)′=

1

sinhx=

1√cosh2 x− 1

=1√y2 − 1

.


coshx = y ⇐⇒ x = ln(y +

√y2 − 1

)= arccosh y, y ∈ [1,∞[

e derivando rispetto ad y il secondo membro dell’ultima uguaglianza. Lasciamo questa verifica per esercizio.

Esempio 5.7.10. Derivata di arctanh y. La funzione tangente iperbolica:

tanhx =ex − e−xex + e−x

e strettamente crescente da R→ R. La sua inversa arcytanh y e globalmente definita. La derivata, definita per−1 < y < 1 e:

(arctanh y)′

=1

(tanhx)′ =

1

1− tanh2 x=

1

1− y2


tanhx = y ⇐⇒ x =1

2ln

1 + y

1− y = arctanh y, y ∈ ]−1, 1[

derivando rispetto ad y il secondo membro dell’ultima uguaglianza. Lasciamo questa verifica per esercizio.


Figura 5.4: Giuseppe Lodovico La Grangia (gallicizzato Lagrange) Torino 1736 - Parigi, 1813

5.7.5 Derivate successive della funzione inversa

Data una funzione f invertibile che soddisfa le ipotesi del teorema sulla derivata della funzione inversa 5.7.2 seassumiamo che f sia dotata di derivata seconda si pone il problema di determinare la derivata seconda dellafunzione inversa. Il problema in questione e risolto dalla regola di Lagrange.

Teorema 5.7.3. Se f : I → R e una funzione derivabile due volte nell’intevallo I con derivata prima diversa dazero, e invertibile, allora se g denota la funzione inversa di f , posto y = f(x) la derivata seconda della funzioneinversa g e data dalla formula

g′′(y) = − f ′′(x)

(f ′(x))3

Dimostrazione. Dal fatto che g e l’inversa di f abbiamo che per ogni x ∈ I riesce

g (f(x)) = x (5.14)

e da questa, siccome per il teorema 5.7.2 la funzione g e derivabile, derivando l’uguaglianza (5.14), usando ilteorema per la derivazione della funzione composta 5.7.1 possiamo concludere che

g′ (f(x)) · f ′(x) = 1 (5.15)

A questo punto deriviamo (5.15) trovando

g′′ (f(x)) · (f ′(x))2

+ f ′′(x) · g′ (f(x)) = 0 (5.16)

Quindi ricavando g′′ (f(x)) = g′′(y) da (5.16) e applicando ancora il teorema sulla derivata prima dell’inversa5.7.2 otteniamo la tesi

g′′(y) = −f′′(x)g′ (f(x))

(f ′(x))2 = − f ′′(x)

(f ′(x))3

5.8. I risultati fondamentali sulle funzioni derivabili in un intervallo 155

E possibile proseguire e determinare le derivate successive dell’inversa di una funzione, qui ci limitiamo adelencarne alcune rinviando al bell’articolo [Joh02] per approfondimenti.

g(3)(y) = 3

(f (2)(x)

)2

(f ′(x))5 −

f (3)(x)

(f ′(x))4

g(4)(y) = −15

(f (3)(x)

)2

(f ′(x))7 + 10

f (2)(x)f (3)(x)

(f ′(x))6 − f (4)(x)

(f ′(x))5

5.8 I risultati fondamentali sulle funzioni derivabili in un intervallo

5.8.1 Teoremi di Fermat e Rolle

Definizione 5.8.1. Sia I un intervallo di R e f : I → R. Il punto x0 ∈ I e detto punto di massimo relativoper f se esiste δ > 0 tale per cui ]x0 − δ, x0 + δ[ ⊂ I e per ogni x ∈ ]x0 − δ, x0 + δ[ si ha f(x0) ≥ f(x). Il puntox0 e un minimo relativo per f se x0 e massimo relativo per −f.

Il Teorema di Fermat (1601–1665) caratterizza il comportamento delle funzioni derivabili in corrispondenzadi punti di massimo e minimo relativi, e costituisce il primo fondamentale passo per lo studio del comportamentoglobale di una funzione derivabile.

Teorema 5.8.1. Sia I un intervallo di R. Se f : I → R e una funzione derivabile nel punto x0 massimo relativoper f . Se x0 e interno al I allora f ′(x0) = 0.

Dimostrazione. Fissiamo x ∈ ]x0 − δ, x0 + δ[ . Il segno della frazione:

f(x)− f(x0)

x− x0

e positivo se x < x0 ed e negativo per x > x0. Pertanto:

f ′+(x0) = limx→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0≤ 0,

Analogamente

f ′−(x0) = limx→x−

0

f(x)− f(x0)

x− x0≥ 0

L’ipotesi di derivabilita implica

f ′+(x0) = f ′−(x0) = f ′(x0) =⇒ f ′(x0) = 0.

La prima conseguenza del Teorema di Fermat 5.8.1 e il Teorema di Rolle risalente al 1690. La suadimostrazione, dato il Teorema di Fermat e quasi immediata.

Teorema 5.8.2. Se f : [a, b]→ R e una funzione continua su [a, b] e derivabile in ]a, b[ e se f(a) = f(b), esistealmeno un elemento x ∈ ]a, b[ tale che f ′(x) = 0.

Dimostrazione. Se f non e una funzione costante, caso in cui la tesi segue banalmente, possiamo supporre, senzaperdita di generalita, che f assuma, ad esempio massimo assoluto, in conseguenza del Teorema di Weierstrass4.8.4, in un punto interno xM ∈ ]a, b[, ma in tale punto, sappiamo dal Teorema di Fermat che deve esseref ′(xM ) = 0.


x

y

Figura 5.5: Teorema di Fermat

x

y

5.8.2 I Teoremi di Lagrange e Cauchy

Teorema 5.8.3 (Lagrange 1797). Se f : [a, b] → R e una funzione continua su [a, b] e derivabile in ]a, b[ si hache esiste un elemento x ∈ ]a, b[ tale che:

f(b)− f(a) = f ′(x)(b− a);

Dimostrazione. Si consideri la funzione ϕ(x), definita per x ∈ [a, b] da:

ϕ(x) = (f(b)− f(a))x− (b− a) f(x).

Si vede che ϕ(b) = ϕ(a), quindi esiste, per il teorema di Rolle un elemento x ∈ ]a, b[ tale che ϕ′(x) = f(b) −f(a)− (b− a) f ′(x) = 0.

Il Teorema di Lagrange fu generalizzato nel 1821 da Cauchy.


x

y

Figura 5.6: Teorema di Lagrange

Teorema 5.8.4. [Cauchy 1821] Se f, g : [a, b]→ R sono funzioni continue su [a, b] e derivabili in ]a, b[ si ha cheesiste un elemento x ∈ ]a, b[ tale che:

[f(b)− f(a)] g′(x) = [g(b)− g(a)] f ′(x);

Dimostrazione. Basta prendere:

ϕ(x) = (f(b)− f(a)) g(x)− (g(b)− g(a)) f(x).

e applicare il Teorema di Rolle.

Osservazione 5.8.1. Il teorema di Lagrange scende dal Teorema di Cauchy nel caso particolare g(x) = id(x) =x

La formulazione originale del Teorema di Cauchy del 1821 in Cours d’analyse algebrique, Oeuvres serie 2,vol III. era in effetti la seguente:

Teorema (Cauchy, 1821, forma originale). Se f, g : [a, b]→ R sono funzioni continue su [a, b] e derivabiliin ]a, b[ e se g′(x) 6= 0 per ogni x ∈ ]a, b[ si ha che esiste un elemento x ∈ ]a, b[ tale che:

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(x)

g′(x).

La formulazione originale e conseguenza immediata del Teorema 5.8.4. L’abbiamo esplicitata perche laimpiegheremo in un importante metodo per il calcolo di limiti in forma indeterminata.

5.8.3 Monotonia e segno della derivata

Il teorema di Lagrange ha un ruolo fondamentale per la ricerca degli intervalli in cui una funzione derivabile emonotona.

Teorema 5.8.5. Se f ′(x) > 0, per ogni x ∈ I allora f e strettamente crescente in I.

Dimostrazione. Siano x1, x2 ∈ I con x1 < x2. Per il Teorema di Lagrange sappiamo che esiste x ∈ ]x1, x2[ taleche:

f(x2)− f(x1) = f ′(x) (x2 − x1)

Per ipotesi f ′(x) > 0, d’altra parte anche x2 − x1 > 0, quindi

f(x2) > f(x1)

Ovviamente si ha anche il risultato analogo per funzioni con derivata negativa.

Teorema 5.8.6. Se f ′(x) < 0, per ogni x ∈ I allora f e strettamente decrescente in I.

Osservazione 5.8.2. Abbiamo cosı individuato il metodo per la ricerca dei massimi e minimi relativi di unafunzione derivabile. Infatti:

f ′(x) > 0 per x > x0, f′(x) < 0 per x < x0 ⇒ x0 minimo relativo

f ′(x) < 0 per x > x0, f′(x) > 0 per x < x0 ⇒ x0 massimo relativo

Esempio 5.8.1. Sia f(x) = x ex, x ∈ R. Derivando otteniamo:

f ′(x) = ex + x · ex = (1 + x) · ex.

Pertanto sappiamo come varia il segno della derivata prima, essendo:

f ′(x) > 0⇔ x > −1

-1

++++++++++++++++++++----------------------

Figura 5.7: Segno di f ′(x)

Ricordata l’osservazione 5.8.2 abbiamo che xm = −1 e punto minimante. Il corrispondente valore dell’estre-mo e f(xm) = f(−1) = −e−1. Pertanto la funzione assegnata, tenuto anche conto del fatto che

limx→−∞

f(x) = 0, limx→+∞

f(x) = +∞

si rappresenta graficamente come nella figura sotto

x

y

Esempio 5.8.2. Sia f(x) = x2 ex, x ∈ R. Derivando otteniamo

f ′(x) = 2xex + x2 ex = x(2 + x) ex > 0⇔ x < −2 e x > 0

Quindi abbino la rappresentazione della variazione del segno di f ′(x):

-2 0

+++++++++ +++++++++-------------------

Dunque per l’osservazione 5.8.2 xm = 0 e punto minimante. Il valore corrispondente dell’estremo e f(0) = 0.Mentre xM = −2 e punto massimante il corrispondente valore dell’estremo e f(−2) = 4e−2. Pertanto la funzioneassegnata, tenuto anche conto del fatto che

limx→−∞

f(x) = 0, limx→+∞

f(x) = +∞

si rappresenta graficamente come nella figura seguente

x

y


Esempio 5.8.3. Determiniamo i massimi e minimi relativi della funzione f(x) = 2x3− 3x2− 12x+ 1, x ∈ R.Si ha

f ′(x) = 6(x2 − x− 2

)= 6 (x− 2) (x+ 1) ≥ 0⇔ x ≤ −1 ∨ x ≥ 2

Dunque per l’osservazione 5.8.2 xM = −1 e punto massimante e xm = 2 e punto minimante. I corrispondentivalori estremi sono (−1, f(−1)) = (−1, 8) (2, f(2)) = (2,−19) . La variazione del segno di f ′(x) e dunqueriepilogata dal grafico qui sotto

-1 2

+++++++++ +++++++++----------------------------

Osservato poi che:

limx→+∞

(2x3 − 3x2 − 12x+ 1

)= +∞ lim

x→−∞

(2x3 − 3x2 − 12x+ 1

)= −∞

abbiamo il grafico della funzione f(x)

x

y

5.8.4 Ricerca di massimi e minimi con il criterio della derivata seconda

Alla formulazione del criterio e necessario premettere un teorema che generalizza del teorema del valor mediodi Lagrange.

Teorema 5.8.7. Sia f : [a, b] → R una funzione con derivate prima e seconda continue. Esiste allora unelemento c ∈ ]a, b[ tale che:

f(b) = f(a) + f ′(a) (b− a) + f ′′(c)(b− a)

2

2.

Dimostrazione. Poniamo:

A =f(b)− f(a)− f ′(a) (b− a)

(b− a)2 .

Se x ∈ [a, b] definiamo la funzione:

ϕ(x) = f(x)−[f(a) + f ′(a) (x− a) +A (x− a)

2 ].

Si ha:ϕ′(x) = f ′(x)− f ′(a)− 2A (x− a) , ϕ′′(x) = f ′′(x)− 2A.

La tesi sara provata facendo vedere che esiste un punto dell’intevallo ]a, b[ che annulla la derivata seconda ϕ′′(x).Ora, siccome per costruzione abbiamo:

ϕ(a) = ϕ′(a) = ϕ(b) = 0,

il teorema di Rolle assicura che esiste d ∈ ]a, b[ per cui ϕ′(d) = 0. Ma, allora, possiamo applicare ancora unavolta il teorema di Rolle, questa volta alla funzione ϕ′(x) nell’intervallo [a, d] possiamo concludere che esiste unpunto c ∈ [a, d] per cui ϕ′′(c) = 0 e in questo modo abbiamo ottenuto la tesi.

Sfruttando il teorema 5.8.7 possiamo formalizzare il criterio della derivata seconda per la ricerca dei massimie minimi.

Teorema 5.8.8. Sia f : [a, b]→ R una funzione con derivate prima e seconda continue e sia x0 ∈ ]a, b] . Allorase:

• f ′(x0) = 0, f ′′(x0) > 0 si ha che x0 e un punto di minimo locale,

• f ′(x0) = 0, f ′′(x0) < 0 si ha che x0 e un punto di massimo locale.

Dimostrazione. Ci limitiamo a fornire la dimostrazione relativa al massimo, essendo analoga quella per il mi-nimo. Per il teorema della permanza del segno esiste in intorno del punto x0, che indicheremo con I(x0), taleper cui, se x ∈ I(x0), si ha f ′′(x) < 0. Applicando il precedente teorema, prendendo b = x, a = x0 sappiamoche esiste c ∈ I(x0) tale che:

f(x) = f(x0) + f ′′(c)(x− x0)

2

2.

La tesi segue allora dal fatto che f ′′(c) < 0, in quanto:

f(x) = f(x0) + f ′′(c)(x− x0)

2

2< f(x0).

Il teorema 5.8.8 si generalizza a derivate di ordine arbitrario come vedremo nel seguito.

5.8.5 Il teorema della derivata nulla

Nell’esempio 5.1.1 abbiamo visto che le funzioni costanti hanno derivata nulla. Grazie al teorema di Lagrange,se opportune ipotesi sono verificate, l’affermazione puo essere invertita, vale a dire che se una funzione, definitasu di un intervallo ha derivata nulla, essa e stazionaria.

Teorema 5.8.9. Se f ′(x) = 0 per ogni x ∈ I con I intervallo in R, allora f e costante.

Dimostrazione. Si ha, per il teorema di Lagrange, che:

f(x2)− f(x1) = f ′(x) (x2 − x1) = 0

dunque f e costante.

Il teorema 5.8.9 ha svariate importanti conseguenze. Ne vediamo subito alcune, mentre altre riguardano ilcalcolo integrale, di cui ci occuperemo nel prossimo capitolo.

Corollario 5.8.9.1. Per ogni x ∈]− 1, 1[ si ha

arcsinx+ arccosx =π

2(5.17)

Per ogni x > 0 si ha

arctanx+ arctan1

x=π

2(5.18)

Per ogni x < 0 si ha

arctanx+ arctan1

x= −π

2(5.19)

Per ogni x ∈ [0, 1[ si ha

arcsinx = arctanx√

1− x2(5.20)

5.9 Forme indeterminate. Teoremi di de l’Hopital

I teoremi, noti come teoremi di de l’Hopital2, sono uno strumento potentissimo per il calcolo di limiti che sipresentano in una della due forme indeterminate 0/0 e ∞/∞.

Per introdurre il primo dei teoremi di de l’Hopital Consideriamo due funzioni f, g : I → R continuenell’intervallo I. Se a ∈ I e tale che f(a) = g(a) = 0 e se f e g sono derivabili in un intorno N di a,eventualmente privato del punto a e per ogni x ∈ N si ha g′(x) 6= 0. Come abbiamo osservato commentando ilteorema di Darboux, 5.4.1 questa ipotesi equivale a supporre che la derivata di g ha segno costante in N. Orain queste condizioni il limite (5.21)

limx→a

f(x)

g(x)(5.21)

porta ad una forma indeterminata 0/0. Ad esempio se f(x) =√

1 + x − 1, g(x) = ln(1 + x) e [a, b] = [0, 1] illimite (5.21) assume la forma

limx→0

√1 + x− 1

ln(1 + x)(5.21a)

Ora se assumiamo che esista il limite del quoziente delle derivate

limx→a

f ′(x)

g′(x)= ` (5.22)

abbiamo che il limite assegnato (5.21) esiste ed e uguale al limite (5.22).Riassumiamo enunciando il primo teorema di de l’Hopital.

Teorema 5.9.1. Siano f, g : N → R due funzioni continue e derivabili in un intorno N =]a − r, a[∪]a, a + r[del punto a tali che f(a) = g(a) = 0. Supponiamo che esista il limite

limx→a

f ′(x)

g′(x)= ` (5.22)

allora il limite (5.21) esiste e si ha

limx→a

f(x)

g(x)= ` (5.23)

2Guillaume Francois Antoine de Sainte Mesme, marchese de l’Hopital, o de l’Hospital (1661–1704)

5.10. Funzioni convesse 163

Dimostrazione. Prendiamo un punto b ∈ N tale che b > a. Per ipotesi le funzioni f e g sono continue su [a, b]e derivabili su ]a, b[ e dunque verificano le ipotesi del teorema di Cauchy 5.8.4, ne segue allora che esiste unelemento x ∈]a, b[ tale che:

f ′(x)

g′(x)=f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f(b)

g(b)

perche per ipotesi f(a) = g(a) = 0. Quando passiamo al limite per b→ a+ essendo a < x < b si ha che e anchex→ a+. D’altra parte per ipotesi abbiamo che il limite

limx→a+

f ′(x)

g′(x)

esiste e vale `. Ne segue che esiste anche il limite

limb→a+

f(b)

g(b)

e anche esso vale `. Con la stessa tecnica si dimostra poi che anche il limite sinistro

limx→a−

f(b)

g(b)

esiste e vale ` provando il teorema.

In modo completamente analogo si dimostrano versioni del teorema 5.9.1 nelle seguenti situazioni:

• per limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = ±∞ oppure solamente limx→a

g(x) = ±∞

• per limiti sinistri x→ b−

• per f, g definite su intervalli illimitati si possono considerare i limiti per x→ −∞ e per x→ +∞Calcoliamo ad esempio il limite (5.21a). In questo caso abbiamo f(x) =

√1 + x − 1, g(x) = ln(1 + x) quindi

f(0) = g(0) = 0. Poi essendo

f ′(x) =1

2√

1 + x, g′(x) =

1

1 + x

abbiamo

limx→0

f ′(x)

g′(x)=

1

2

dunque per il teorema 5.9.1 abbiamo che il limite (5.21a) esiste e vale 1/2.

5.10 Funzioni convesse

Definizione 5.10.1. Sia I un intervallo di R. Una funzione f : I → R si dice:

• convessa se per ogni u, v ∈ I ed ogni α ∈]0, 1[ si ha:

f ((1− α)u+ αv) ≤ (1− α)f(u) + αf(v),

• strettamente convessa se per ogni u, v ∈ I u 6= v ed ogni α ∈]0, 1[ si ha:

f ((1− α)u+ αv) < (1− α)f(u) + αf(v).


Il significato geometrico della definizione e che le funzioni convesse sono tali per cui la corda che congiungedue punti qualsiasi del grafico della funzione giace al di sopra del grafico stesso.

x1 x2x1 H1 - ΑL + Αx2

x

f HxL

Figura 5.8: convessita

Le funzioni concave ribaltano la proprieta, il loro grafico giace al di sopra della corda. Definire le funzioniconcave e dunque assai semplice, una funzione f(x) e concava se e solo se −f(x) e convessa.

x

f HxL

Figura 5.9: concavita

Per verificare in pratica se una data funzione sia convessa o meno, e di fondamentale importanza il prossimoteorema che, nel caso di funzioni due volte derivabili, mette in relazione la convessita/concavita di una funzionecon il segno della derivata seconda.

Teorema 5.10.1. La funzione f : I → R con derivate prima e seconda continue e strettamente convessa se esolo se risulta f (2)(x) > 0 per ogni x ∈ I.

La prova di questo teorema e molto lunga, preferiamo dividerla in alcuni passi. Cominciamo dimostrandoil:

Lemma 5.10.1. Sia f : I → R strettamente convessa. Fissati x, z ∈ I con x < z, per ogni y ∈ (x, z) riesce:

f(y)− f(x)

y − x <f(z)− f(x)

z − x <f(z)− f(y)

z − y . (5.24)

Dimostrazione. Sia α ∈]0, 1[ , tale per cui y = αx + (1 − α)z . L’ipotesi di convessita su f fornisce f(y) <α · f(x) + (1− α) · f(z), da cui:

f(y)− f(x) < (1− α) (f(z)− f(x)) .

D’altra parte, y − x = (1− α)(z − x), in modo che si ha:

1− α =y − xz − x .

Questo mostra la disuguaglianza a sinistra in (5.24). Analogamente, ancora per la convessita in senso strettodi f , abbiamo:

f(x) >1

α(f(y)− (1− α)f(z)) ,

da cui:

f(z)− f(x) <1

α(f(z)− f(y)) .

Poiche z − x = α−1(z − y) si ha:1

α=z − xz − y ,

e questo prova la disuguaglianza destra in (5.24), e con cio il lemma 5.10.1 e dimostrato.

Dal lemma 5.10.1 segue:

Lemma 5.10.2. Sia f : I → R una funzione strettamente convessa. Sia u ∈ I0; allora, se t ∈ R t 6= 0 lafunzione

ρ(t) =f(u+ t)− f(u)

t, t 6= 0,

e crescente.

Dimostrazione. Siano t1, t2 due reali non nulli. Se 0 < t1 < t2, allora posto x = u, y = u+ t1 e z = u+ t2

f(u+ t1)− f(u)

t1<f(u+ t2)− f(u)

t2,

quindi ρ(t1) < ρ(t2) . I casi t1 < 0 < t2 e t1 < t2 < 0 sono analoghi.

Il lemma 5.10.2 appena provato assicura l’esistenza dei limiti destro e sinistro del rapporto incrementaledella funzione f , dunque, se f e convessa esistono i limiti (destro e sinistro):

limt→0−

f(u+ t)− f(u)

t, lim

t→0+

f(u+ t)− f(u)

t.

Attualmente pero, limitandoci alle sole ipotesi formulate di convessita per f , tali limiti possono essere ±∞ , opuo accadere che:

limt→0−

f(u+ t)− f(u)

t< limt→0+

f(u+ t)− f(u)

t. (5.25)

Se una funzione e dotata di derivata prima e questa e crescente, la funzione e convessa, infatti si ha:

Teorema 5.10.2. La funzione f : I → R di classe dotata di derivate prima e seconda continue e convessa se esolo se la sua derivata f ′(x) e una funzione crescente.

Dimostrazione. Supponiamo che f sia convessa. Dal lemma 5.10.1 con riferimento alla disuguaglianza a sinistrain (5.25), vediamo che, passando al limite per y → x si ha:

f ′(x) ≤ f(z)− f(x)

z − x .

Analogamente la disuguaglianza a destra in (5.25) assicura che:

f(z)− f(x)

z − x ≤ f ′(z),

ma, allora, questo comporta che f ′(x) ≤ f ′(z), il che dimostra la monotonia di f ′.Supponiamo, viceversa, che f ′ sia crescente. Presi x, y, z ∈ I con x < y < z applicando due volte il teorema

del valor medio vediamo che:

f(y)− f(x)

y − x = f ′(ξ1),f(z)− f(y)

z − y = f ′(ξ2)

per certi ξ1, ξ2 tali che x < ξ1 < y < ξ2 < z. Ma allora da f ′(ξ1) < f ′(ξ2) si deduce che:

f(y)− f(x)

y − x ≤ f(z)− f(y)

z − y ,

il che per il lemma 5.10.1 implica la convessita di f.

Dimostrazione del teorema 5.10.1. Il fatto che la convessita di una funzione con derivate prima e seconda con-tinue sia implicata dalla positivita della derivata seconda e adesso evidente, dunque il teorema 5.10.1 puo dirsidimostrato.

Ad esempio sono, quindi, strettamente convesse, tutte le parabole di equazione cartesiana y = ax2 + bx+ ccon a > 0 e le funzioni funzioni esponenziali y = ax con base a > 1.

Assegnata una funzione f : I → R, definita su di un intervallo I puo benissimo accadere che esistano uno opiu punti di tale intervallo in cui la convessita di una funzione, eventualmente studiata attraverso il segno delladerivata seconda, cambi. Tali punti vengono denominati punti di flesso, definiamoli rigorosamente. Premettiamoche, nella definizione seguente f : I → R e una funzione continua, definita nell’intervallo I e x0 ∈ I e un puntointerno ad I, per il quale esista finito o infinito il limite del rapporto incrementale di f(x). Dunque esiste la rettatangente al grafico di f(x) in x0 e tale retta puo essere disposta orizzontalmente (f ′(x0) = 0), obliquamente(f ′(x0) 6= 0 ma finito) oppure verticalmente (f ′(x0) infinito).

Definizione 5.10.2. Diremo che la funzione f(x) ha un punto di flesso in x0 se esiste un intorno completoI(x0) di x0 tale per cui:

• f(x) e strettamente convessa se x < x0 e strettamente concava se x > x0,

• f(x) e strettamente concava se x < x0 e strettamente convessa se x > x0.

Nel primo caso si parla di flesso discendente. Nel secondo caso si parla di flesso ascendente.

Ad esempio f(x) = x ex ha un flesso ascendente in x0 = −2, infatti essendo f ′′(x) = (x+ 2) ex abbiamo chex < −2 =⇒ f ′′(x) < 0 e x > −2 =⇒ f ′′(x) > 0.

La funzione f(x) = −x e−x ha un flesso discendente in x0 = 2 in quanto f ′′(x) = −(x − 2) e−x e quindix < 2 =⇒ f ′′(x) > 0 e x > 2 =⇒ f ′′(x) < 0.

x

y

Flesso ascendente f(x) = x ex

x

y

Flesso discendente f(x) = −x e−x

Il prossimo importante risultato formalizza un altro punto di vista geometrico interessante per l’interpreta-zione della nozione di convessita. Consideriamo una funzione convessa che sia derivabile in tutti punti interniall’intervallo I in cui essa e definita e da un punto x0 ∈ I tracciamo la retta tangente al grafico di f(x)

x0

f Hx0L

x

y

Osservando la figura vediamo che il grafico della funzione convessa f(x) e tutto al di sopra della rettatangente, indipendentemente dalla scelta del punto da cui condurre la tangente. Questo fatto e mostratorigorosamente nel prossimo teorema.

Teorema 5.10.3. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

• f e strettamente convessa;

• f(v) > f(u) + (v − u) f ′(u) per ogni u, v ∈ I .

Dimostrazione. Supponiamo che f sia strettamente convessa. Per il lemma 5.10.2 sappiamo che la funzione:

ρ(t) :=f(u+ t)− f(u)

t, t 6= 0

e crescente, quindi:

(v − u) f ′(u) = limt→0

f(u+ t(v − u))− f(u)

t= lim

t→0ρ(t) < ρ(1) = f(v)− f(u) .


Reciprocamente, se si fissa α ∈]0, 1[ e si sceglie v = u, u = αv + (1− α)u, allora:

f(u) > f ((1− α)u+ αv) + α (u− v) f ′((1− α)u+ αv). (5.26)

Analogamente, se v = v, u = (1− α)u+ αv:

f(v) > f ((1− α)u+ αv) + (1− α) (v − u) f ((1− α)u+ αv) . (5.27)

Moltiplicando la disuguaglianza (5.26) per (1 − α) e la disuguaglianza (5.27) per α e sommando membro amembro troviamo:

(1− α)f(u) + αf(v) > f ((1− α)u+ αv)

Il che completa la dimostrazione.

Dal teorema 5.10.3 scende anche una caratterizzazione globale sulle funzioni strettamente convesse: essepossono infatti avere, al piu un punto critico.

Corollario 5.10.3.1. Sia f strettamente convessa e derivabile. Se u ∈ I un punto critico, allora:

f(u) = minv∈I

f(v).

Dimostrazione. Per ogni v ∈ I essendo f ′(u) = 0 si ha che:

f(v) > f(u) + (v − u) f ′(u) = f(u)

come volevasi.

5.10.1 Applicazioni della nozione di convessita

Terminiamo con alcune applicazioni della nozione di convessita.

La definizione di convessita comporta che dati n numeri αi ∈ [0, 1] , i = 1, . . . , n tali chen∑

i=1

αi = 1 e dati n

punti xi ∈ I si ha:

f

(n∑

i=1

αi · xi)≤

n∑

i=1

αi · f(xi)

Da questa proprieta si deduce una importante disuguaglianza, fra le medie aritmetica, geometrica ed armonica.

Definizione 5.10.3. Se x1, . . . , xn sono n numeri strettamente positivi allora diremo:

• media aritmetica di x1, . . . , xn :

A(x1, . . . , xn) =1

n

n∑

i=1

xi

• media geometrica di x1, . . . , xn :

G(x1, . . . , xn) =

[n∏

i=1

xi

] 1n

• media armonica di x1, . . . , xn :

H(x1, . . . , xn) =

[1

n

n∑

i=1

1

xi

]−1

.

5.11. Il metodo di Newton 169

Si ha allora il:

Teorema 5.10.4. Comunque si prendano n numeri positivi x1, . . . , xn, si ha che:

H(x1, . . . , xn) ≤ G(x1, . . . , xn) ≤ A(x1, . . . , xn)

Dimostrazione. Poniamo zi = lnxi dalla convessita di f(x) = ex segue che:

G(x1, . . . , xn) =n∏

i=1

ezin = exp

(n∑

i=1

zin

)≤ 1

n

∑exp zi = A(x1, . . . , xn),

In questo modo abbiamo la disuguaglianza a destra. A questo punto segue subito anche la disuguaglianzasinistra i:

H(x1, . . . , xn) =1

A(

1x1, . . . , 1

xn

) ≤ 1

G(

1x1, . . . , 1

xn

) = G(x1, . . . , xn)

La convessita della funzione esponenziale consente anche di dimostrare un’altra importante disuguaglianza.

Teorema 5.10.5. Se p, q > 1 sono due numeri reali tali che:

1

p+

1

q= 1

allora per ogni x, y ≥ 0 si ha:

xy ≤ 1

pxp +

1

qyq

Dimostrazione. Possiamo supporre che sia x, y > 0, essendo ovvia la tesi altrimenti. Si ha:

xy = eln(x·y) = eln x+ln y = e1p ln xp+ 1

q ln yq ≤ 1

peln xp +

1

qeln yq =

1

pxp +

1

qyq

5.11 Il metodo di Newton

Consideriamo la funzione f : [a, b] → R che assume valori di segno opposto agli estremi dell’intervallo [a, b] .Se f e continua esiste almeno un elemento r ∈ ]a, b[ per cui f(r) = 0. Se ammettiamo che f sia derivabile conderivata di segno costante in ]a, b[ tale elemento r e unico. Nel prosieguo supporremo sempre che tale ipotesisia soddisfatta. Per fissare le idee sia f(a) < 0, f(b) > 0 e f ′(x) > 0 per ogni x ∈ ]a, b[ . Tutto questo nondanneggia la generalita del ragionamento.

Fissiamo un punto x0 ∈ ]a, b[ tale che f(x0) > 0 e consideriamo la retta tangente alla curva y = f(x) nelpunto (x0, f (x0)) . Tale retta ha equazione y − f(x0) = f ′(x0) (x− x0) . Calcoliamo ora l’ascissa x1 in cui laretta tangente taglia l’asse delle x. Ponendo y = 0 ed eseguendo il calcolo, vediamo che:

x1 = x0 −f(x0)

f ′(x0).

La figura sopra mostra graficamente il procedimento per determinare il punto x1. Facciamo anche notareche e l’ipotesi f ′(x) > 0 che permette di ricavare l’ascissa x1 senza dividere per zero. A questo punto calcoliamo


x

y

r

O

x xo1 x

y

r

O

f(x1). Se f(x1) = 0, allora x1 = r e la ricerca e terminata. Se, invece, f(x1) 6= 0, ragionando esattamentecome prima, scriviamo l’equazione della retta tangente a y = f(x) nel punto (x1, f (x1)) ottenendo y− f(x1) =f ′(x1) (x− x1) , in modo che possiamo ricavare il punto x2 :

x2 = x1 −f(x1)

f ′(x1).

Ora si calcola f(x2): se f si annulla il processo termina, se invece f(x2) 6= 0 il processo riparte per determinarel’elemento x3. In pratica abbiamo identificato un processo iterativo nel modo seguente:

x0 ∈ R, tale che f(x0) 6= 0,

xn = xn−1 −f(xn−1)

f ′(xn−1), per ogni n ∈ N.

(5.28)

Facendo riferimento anche all’ultima figura, vediamo che questo metodo non puo che finire coll’approssimarela soluzione dell’equazione f(x) = 0. Prima di studiare un caso concreto, e necessario capire se il procedimentoiterativo illustrato finisca per condurre sempre e comunque alla radice dell’equazione.


x x xo12 x

y

r

O

Esempio

Consideriamo l’equazione di terzo grado:

f(x) = 7 + 6x− 3x2 + x3 = 0. (E1)

Per prima cosa osserviamo che, essendo f ′(x) = 6 − 6x + 3x2 abbiamo f ′(x) 6= 0 per ogni x ∈ R, inquanto il discriminante del polinomio di secondo grado e negativo. Possiamo applicare il metodo delle tangentiall’equazione (E1) attivando il procedimento di iterazione (5.28). Si osservi che essendo (E1) un’equazione diterzo grado, sappiamo a priori che essa ammette almeno una radice reale e che il comportamento della derivataprima ci assicura che tale radice e unica. La funzione iterativa F (x) e:

F (x) = x− f(x)

f ′(x)=

7 + 3x2 − 2x3

−6 + 6x− 3x2.

In questo modo il processo di Newton si riduce alla valutazione delle iterazioni della funzione F (x). Esso puoessere descritto semplicemente da xn = F (xn−1). Valutando F (x) a partire da x = 0 otteniamo la tabella:

x1 = F (x0) = −1, 16 x2 = F (x1) ' −0, 834688

x3 = F (x2) ' −0, 782790 x4 = F (x3) ' −0, 781619

x5 = F (x4) ' −0, 781618 x6 = F (x5) ' −0, 781618

Si rifletta sul fatto che, limitandosi alle cifre che abbiamo deciso di visualizzare il passaggio da x5 a x6 nonaltera piu le cifre significative della soluzione approssimata, dunque tutte e sei le cifre indicate sono affidabili, eindividuano una approssimazione della soluzione. Molto interessante e anche la valutazione del polinomio f(x) incorrispondenza di x5; si ha f(x5) = 6, 0245× 10−7. Questo rende bene l’idea della validita dell’approssimazioneottenuta.

Esempio

Cerchiamo le radici positive dell’equazione:

1− (1 + x)−5

x= 4. (E2)

Per prima cosa assicuriamoci che (E2) abbia soluzione. Osserviamo che:

limx→0

1− (1 + x)−5

x= 5, lim

x→∞1− (1 + x)

−5

x= 0,

da cio segue subito che l’equazione (E2) ha soluzione positiva. Di seguito, posto:

f(x) =1− (1 + x)

−5

x,

vediamo che:

f ′(x) = −15 + 20x+ 15x2 + 6x3 + x4

(1 + x)6 ,

da cui si deduce che f ′(x) < 0 per ogni x positivo: le condizioni di applicazione del metodo di Newton sonosoddisfatte. La funzione da iterare e:

F (x) = x− f(x)− 4

f ′(x)=

1 + 6x− 20x2 − 50x3 − 48x4 − 22x5 − 4x6

15 + 20x+ 15x2 + 6x3 + x4.

Sappiamo che f(0) = limx→0

f(x) = 5. Iteriamo F a partire da x0 = 0. La sequenza delle iterazioni e:

x1 = F (x0) ' 0, 0666667 x2 = F (x1) ' 0, 0789742

x3 = F (x2) ' 0, 0793080 x4 = F (x3) ' 0, 0793083

x5 = F (x4) ' 0, 0793083

Possiamo affermare allora che, con approssimazione fino alle prime sette cifre decimali, la soluzione dell’equazionef(x)− 4 = e x = 0, 0793083.

Metodo delle tangenti e convessita

Analizziamo il comportamento dell’algoritmo di Newton, se applicato alle funzioni convesse.

Teorema 5.11.1. Sia f : [a, b]→ R una funzione con derivate prime e seconde continue strettamente crescentee convessa e tale che f(a) < 0, f(b) > 0. Allora la successione:

x0 = b,

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn),

converge decrescendo all’unico zero di f(x) in [a, b] .

Dimostrazione. La convessita di f(x) implica f(xn) ≥ 0 per ogni n ∈ N:

f(xn+1) ≥ f(xn) + f ′(xn) (xn+1 − xn) =

= f(xn) + f ′(xn)

(xn −

f(xn)

f ′(xn)− xn

)

= f(xn)− f(xn) = 0.


Da f(xn) ≥ 0 per il fatto che f(x) e crescente, segue subito che, indicato con x∗ lo zero di f(x) in [a, b] , si haxn ≥ x∗ per ogni n ∈ N. Questo intanto prova che la successione di Newton e inferiormente limitata, ma talesuccessione e anche decrescente, essendo, per costruzione:

xn+1 − xn = − f(xn)

f ′(xn)≤ 0.

Ma, allora, la successione xn converge ad un elemento x ∈ [a, b] e dalla relazione:

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn),

passando al limite, ricordando la continuita di f(x), si trova:

x = x− f(x)

f ′(x).

Dunque f(x) = 0, quindi per iniettivita abbiamo x = x∗.

Le conclusioni del teorema 5.11.1 possono essere approfondite, specificamente per valutare la velocita diconvergenza del processo iterativo. Riportiamo la bella trattazione svolta in [AB97]. Ferme restando le ipotesidel teorema 5.11.1, si ponga:

m = minx∈[a,b]

f ′(x), M = maxx∈[a,b]

f ′′(x).

Si tenga presente che nelle ipotesi dichiarate M, m > 0. E possibile far vedere che vale la stima

xn − x ≤2m

M

[M

2m(x0 − x)

]2n

. (5.29)

Applicando il teorema del valor medio (5.8.2) fra x e xn si ottiene:

0 = f(x) = f(xn) + f ′(xn)(x− xn) +f ′′(zn)

2(x− xn)2. (5.30)

D’altra parte per costruzione si ha che

f(xn) = f ′(xn)(xn − xn+1),

che sostituita in (5.30) porta a:

0 = f ′(xn)(xn − xn+1) + f ′(xn)(x− xn) +f ′′(zn)

2(x− xn)2.

e da quest’ultima si trova:

xn+1 − x =f ′′(zn)

2f ′(xn)(x− xn)2.

Se definiamo εn = xn − x in modo da misurare l’errore al passo n, abbiamo che:

0 ≤ εn+1 =f ′′(zn)

2f ′(xn)ε2n ≤

M

2nε2n. (5.31)

La formula (5.31) porta alla tesi (5.29) mediante un ragionamento induttivo. Infatti per n = 0 la tesi si leggesemplicemente come:

x0 − x ≤ x0 − x.Se si assume l’ipotesi induttiva (5.29), per quanto provato prima abbiamo:

εn+1 ≤M

2nε2n ≤

M

2m

(2m

M

)2 [M

2m(x0 − x)

]2n+1

=2m

M

[M

2m(x0 − x)

]2n+1

che e la formula desiderata.


5.12 Polinomi osculatori. Teoremi di Taylor McLaurin

In questo paragrafo presenteremo una serie di risultati di grande importanza per il calcolo effettivo dei valoridelle funzioni. Infatti, se dovessimo per qualche ragione aver bisogno di conoscere con precisione un numero realeottenibile come valore di una data funzione, i fondamenti delle tecniche computazionali si basano sui metodi diapprossimazione che presenteremo qui.

Cominciamo trattando un argomento che a dire il vero poteva essere presentato gia nel capitolo precedente,ma che presentiamo ora in vista di sue immediate applicazioni.

5.12.1 Simboli di Bachmann-Landau

In quello che segue, dato x0 ∈ R considereremo funzioni definite in un intervallo aperto I contenente x0. Nel casoin cui x0 = +∞ considereremo funzioni definite su intervalli del tipo [a,+∞[, mentre se x0 = −∞ considereremofunzioni definite su intervalli del tipo ]−∞, a].

Definizione 5.12.1. Le funzioni f e g sono equivalenti per x→ x0 se

limx→x0

f(x)

g(x)= 1

In tal caso scriveremo f ∼ g per x→ x0

Ad esempio

• x2 + x ∼ x per x→ 0

• x2 + x ∼ x2 per x→ +∞• sinx ∼ x per x→ 0

• lnx ∼ x− 1 per x→ 1

Definizione 5.12.2. Le funzioni f e g hanno lo stesso ordine di grandezza per x→ x0 se

limx→x0

f(x)

g(x)= ` ∈ R \ 0

In tal caso scriveremo f g per x→ x0.

Ad esempio

• 1− cosx x2 per x→ 0

• sin 3x x per x0

•√

1 + 2x2 x per x→ +∞• lnx 3(x− 1) per x→ 1

Osservazione 5.12.1. Se f ∼ g allora f g ma non viceversa. Infatti se ad esempio prendiamo f(x) = ln(1+x)e g(x) = x e f ∼ g ed anche f g per x→ 0. D’altra parte se invece prendiamo f(x) = ln(1 + 2x) e g(x) = xsi ha f g ma non f ∼ g per x→ 0.

Osservazione 5.12.2. Se le funzioni f e g sono entrambe infinitesime i infinite per x→ x0 non possiamo direa priori che esse siano equivalenti o dello stesso ordine di grandezza per il fatto che il limite del loro quozientein tale caso e una forma indeterminata.

Osservazione 5.12.3. Il termine equivalenti usato nella definizione 5.12.2 non e casuale, infatti ∼ e effet-tivamente una relazione di equivalenza nell’insieme delle funzioni definite nell’intervallo aperto I contenentex0.

Elenchiamo, lasciando a chi legge la cura di darne la dimostrazione le proprieta delle relazioni ∼ e .

5.12. Polinomi osculatori. Teoremi di Taylor McLaurin 175

(a) f ∼ f(b) f ∼ g =⇒ g ∼ f(c) f ∼ g, g ∼ h =⇒ f ∼ h(d) se ` 6= 0, ∞, e f → `, g → ` =⇒ f ∼ g(e) f → ` e f ∼ g =⇒ g → `

(α) f f(β) f g =⇒ g f(γ) f g, g h =⇒ f h(δ) f → ` 6= 0 [ o ∞] e g → m 6= 0 [ o ∞] =⇒ f g(ε) f → 0 [ o ∞], e g f =⇒ g → 0 [ o ∞]

Osservazione 5.12.4. Le relazioni ∼ e non godono di proprieta additive, nel senso che se assumiamo chevalgano f1 ∼ g1 e f2 ∼ g2 in generale non e vero che f1 + f2 ∼ g1 + g2 e lo stesso accade anche per la relazione . Infatti basta considerare il caso in cui f1(x) = x, g1(x) = x, f2(x) = x2 − x e g2(x) = x3 − x per x→ 0.

Definizione 5.12.3. Diremo che f o-piccolo di g per x→ x0 e scriveremo f = o(g) per x→ x0 se

limx→x0

f(x)

g(x)= 0

Si dice anche che f e trascurabile rispetto a g per x→ x0

Osservazione 5.12.5. f = o(1) e equivalente a limx→x0

f(x) = 0 mentre 1 = o(f) e equivalente a limx→x0

f(x) =∞

Ad esempio

• x2 = o(x) per x→ 0

• x = o(x2) per x→∞• 1− cosx = o(x) per x→ 0

• x− sinx = o(x2) per x→ 0

Osservazione 5.12.6. Per x→ x0 si ha che

(a) f = o(g), g = o(h) =⇒ f = o(h)

(b) f1 = o(g1), f2 = o(g2) =⇒ f1f2 = o(g1g2)

(c) f1 g1, f2 = o(g2) =⇒ f1f2 = o(g1g2)

(d) f ∼ g ⇐⇒ f − g = o(g)

Ad esempio per x→ 0 e

• 1− ex = o(x) e x2 = o(x) quindi x2(1− ex) = o(x2)

• ln(1 + x) ∼ x quindi ln(1 + x)− x = o(x) e dunque ln(1 + x) = x+ o(x).

Le nozioni di funzione trascurabile e di funzione equivalente ad un’altra trovano applicazione nel calcolo dilimiti, semplificandone il calcolo. Valgono infatti due risultati, noti come principio di eliminazione dei terminitrascurabili, teorema 5.12.1, e principio di sostituzione con funzioni equivalenti, teorema 5.12.2.

Teorema 5.12.1. Se per x→ x0 e f1 = o(f) e g1 = o(g) allora

limx→x0

f(x) + f1(x)

g(x) + g1(x)= limx→x0

f(x)

g(x)

Ad esempio

limx→0

x− x2

3x+ x3= limx→0

x

3x=

1

3, lim

x→+∞1 + x+ x2

1− x− x3= limx→+∞

x2

−x3= −∞


Teorema 5.12.2. Se per x→ x0 e f1 ∼ f e g1 ∼ g allora

limx→x0

f(x)g(x) = limx→x0

f1(x)g1(x)

Inoltre se g e g1 sono diverse da zero in un intorno di x0 si ha

limx→x0

f(x)

g(x)= limx→x0

f1(x)

g1(x)

Ad esempio

limx→0

ln(1 + x2)

ex − 1− x = limx→0

x2

x2

2

= 2

Formula di Taylor

Formulazione di Peano

Definizione 5.12.4. Sia f(x) una funzione derivabile n volte in un intervallo I. Sia x0 un punto di I. Diremon-esimo polinomio di Taylor generato da f(x) in x0 il polinomio di grado n:

Pn (f(x), x0) = f(x0) +f (1)(x0)

1!(x− x0)

1+ · · ·+ f (n)(x0)

n!(x− x0)

n.

La principale caratteristica di Pn (f(x), x0) e che le sue prime n derivate, calcolate in x0, coincidono conquelle della funzione f(x) che lo ha generato. Quindi, fra le curve y = f(x) e y = Pn (f(x), x0), c’e quello cheviene detto un contatto di ordine n.

x

f HxL

Figura 5.10: f(x) =√

x2+2x2+1

con i suoi primi tre polinomi osculatori in x0 = 0

Esempi

Si puo verificare che:

1. Pn (ex, 0) = 1 +x

1!+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n!;


2. Pn

(1

1− x, 0)

= 1 + x+x2

2+ · · ·+ xn

n;

3. Pn (ln(1− x), 0) = x− x2

2+x3

3+ · · ·+ (−1)

n−1 xn

n;

4. Pn ((1 + x)α, 0) = 1 + αx+α(α− 1)

2!x2 + · · ·+ α(α− 1) · · · (α− n+ 1)

n!xn.

La questione principale da affrontare, connessa allo studio dei polinomi osculatori, e la seguente: dal momentoche il polinomio osculatore e la funzione assegnata f(x) nel punto x0, hanno un contatto di ordine n, occorrecapire in quale modo Pn (f(x), x0) approssimi f(x) e, dunque, occorre studiare il comportamento di quello cheviene chiamato resto di ordine n:

Rn (f(x), x0) = f(x)− Pn (f(x), x0) .

Il polinomio osculatore di una funzione, essendo per natura una approssimazione della stessa puo essere usatoal posto della stessa, ad esempio nel calcolo di limiti o nella risoluzione di disequazioni. A tale scopo l’analisidel comportamento asintotico del resto data da Peano nel 1897 si rivela molto utile. Abbiamo, infatti il:

Teorema 5.12.3 (Peano). Sia f(x) una funzione n volte derivabile nell’intervallo I e sia x0 ∈ I. Allora:

limx→x0

Rn (f(x), x0)

(x− x0)n = 0.

Dimostrazione. Scriviamo ancora una volta Rn(x) = Rn (f(x), x0). Come gia osservato si ha Rn(x0) = 0

e R(k)n (x0) = 0, k = 1, . . . , n. La tesi segue dall’applicazione iterata della regola di Bernoulli-De l’Hospital;

infatti:

limx→x0

Rn(x)

(x− x0)n = lim

x→x0

R′n(x)

n (x− x0)n−1 = · · · = lim

x→x0

R(n)n (x)

n!= 0.

Il Teorema 5.12.3 puo essere riformulato usando i simboli di Bachmann-Landau dicendo che il resto di ordinen e trascurabile rispetto a (x− x0)n, in simboli

Rn (f(x), x0) = o(x− x0)n.

L’algebra dei simboli di Bachmann-Landau assieme al Teorema di Taylor-Peano 5.12.3 e molto utile nel calcolodi limiti.

Esempio 5.12.1. Dimostriamo che

limx→0

cosx2 − 1

ln(1− x2) + x sinx=

3

4

Servono gli sviluppi di Taylor che posso ottenere partendo dai tre sviluppi elementari noti

(i) cosx = 1− x2

2+ o(x2) (ii) ln(1− x) = −x− x2

2+ o(x2) (iii) sinx = x− x3

6+ o(x3)

per ottenere


(i) cosx2 − 1 = −x4

2+ o(x4) (ii) ln(1−x2) = −x2− x

4

2+o(x4) (iii) x sinx = x2 − x4

6+ o(x6)

Quindi posso sfruttare questo per calcolare il limite

cosx2 − 1

ln(1− x2) + x sinx=

−x4

2+ o(x4)

−x2 − x4

2+ o(x4) + x2 − x4

6+ o(x6)

=−x

4

2+ o(x4)

−2

3x4 + o(x4)

Dunque

limx→0

cosx2 − 1

ln(1− x2) + x sinx= limx→0

−1

2+ o(1)

−2

3+ o(1)

=3

4

Da notare che se a denominatore avessimo arrestato lo sviluppo al termine precedente in ambo i termini scrivendo

ln(1− x2) = −x2 + o(x2), x sinx = x2 + o(x2)

al momento di sommarli avremmo trovato

ln(1− x2) + x sinx = 0 + o(x2)

che e una espressione inutilizzabile per via della assenza del termine finito. Il termine “o-piccolo” da solo nonci dice nulla del comportamento asintotico della funzione: questo sta a significare che si devono considerareulteriori termini nello sviluppo di Taylor.

Esempio 5.12.2. Dimostriamo che limx→0−

cosx ln(1 + x)− x(

1 +x

2

)

x3= +∞

Usando i simboli di Bachmann-Landau e gli sviluppi di Taylor abbiamo che, se x→ 0−

cosx = 1 + o(1), ln(1 + x) = x− x2

2+ o(x2)

e dunque

cosx ln(1 + x) = x− x2

2+ o(x2)

Pertanto


1 +x

2

)= x− x2

2− x− x2

2+ o(x2) = −x2 + o(x2)

In conclusione il limite assegnato si trova nel modo seguente

limx→0−


1 +x

2

)

x3= limx→0−

−x2 + o(x2)

x3= limx→0−

−1 + o(1)

x= +∞

Esempio 5.12.3. Dimostriamo che limx→0

x sinx− x2 cosx

x4=

1

3Usando i simboli di Bachmann-Landau abbiamo che, se x→ 0

limx→0

x[x− x3

6 + o(x3)]− x2

[1− x2

2 + o(x2)]

x4= limx→0

x4

3 + o(x4)

x4= limx→0

13 + o(1)

1=

1

3


Formulazione di Lagrange

Lagrange, nel 1797, trovo il modo di valutare il resto.

Teorema 5.12.4 (Resto in forma di Lagrange). Sia f(x) una funzione n+ 1 volte derivabile nell’intervallo I esia x0 ∈ I. Allora per ogni x ∈ I esiste un punto ξ nell’intervallo di estremi x0, x tale che:

Rn (f(x), x0) =(x− x0)n+1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ).

Si parla di rappresentazione del resto nella forma di Lagrange.

Dimostrazione. Sappiamo che:

Rn (f(x), x0) = f(x)− Pn (f(x), x0) = f(x)−n∑

k=0

(x− x0)k

k!f (k)(x0).

Scriviamo per brevita Rn(x) al posto di Rn (f(x), x0), allora, per la definizione stessa di polinomio osculatoresi ha, per ogni k, 0 ≤ k ≤ n:

R(k)n (x0) = 0.

Consideriamo adesso la funzione:

Sn(x) =(x− x0)n+1

(n+ 1)!.

Anche per questa funzione per k, 0 ≤ k ≤ n si ha:

S(k)n (x0) = 0.

Applichiamo ora il lemma di Cauchy n volte:

Rn(x)

Sn(x)=Rn(x)−Rn(x0)

Sn(x)− Sn(x0)=R′n(ξ1)

S′n(ξ1)=R′n(ξ1)−R′n(x0)

S′n(ξ1)− S′n(x0)

=R

(2)n (ξ2)

S(2)n (ξ2)

=R

(2)n (ξ2)−R(2)

n (x0)

S(2)n (ξ2)− S(2)

n (x0)=R

(3)n (ξ3)

S(3)n (ξ3)

= · · ·

=R

(n+1)n (ξn+1)

S(n+1)n (ξn+1)

,

dove ξ1 sta nell’intervallo di estremi x0 e x; ξ2 nell’intervallo di estremi ξ1 e x0 e cosı via. Adesso, essendo:

S(n+1)n (x) = 1, R(n+1)

n (x) = f (n+1)(x),

si ha che:Rn(x) = Sn(x) f (n+1)(ξn+1),

che e la tesi, ove si prenda ξ = ξn+1.

Il teorema ora mostrato non calcola esplicitamente il resto, ma, usando stime sulla derivata n+ 1-esima dif(x) possiamo valutare la accuratezza con cui il polinomio osculatore Pn (f(x), x+ 0) approssima f(x).

Ad esempio se f(x) = sinx con x0 = 0 e x ∈ I = [0, 1] prendiamo n = 5, allora per il teorema 5.12.4 si hache:

sinx = x− x3

6+

x5

120− sin ξ

x6

720.


Ora, sebbene di ξ si sappia solamente che e un elemento dell’intervallo I, possiamo osservare che, se x ∈ I:

|R5 (sinx, 0)| =∣∣∣∣sin ξ

x6

720

∣∣∣∣ ≤1

720' 0, 00138889.

Questo significa se x ∈ I che le prime due cifre decimali del polinomio osculatore:

P5 (sinx, 0) = x− x3

6+

x5

120,

coincidono con le prime due cifre decimali della funzione f(x) = sinx. Per esempio se x = 1/2 siamo certi delfatto che le prime due cifre decimali di:

1

2− 1

6

(1

2

)3

+1

120

(1

2

)5

=1841

3840,

sono le stesse di:

sin1

2.

5.13 Esercizi

Esercizi svolti

1. Trovare i punti della retta y = x tali che la somma dei quadrati delle sue distanze dai punti (−a, 0), (a, 0)e (0, b) sia minima

2. Ripartire il numero 8 in due addendi positivi in modo che la somma dei loro cubi sia minima.

3. Si vogliono ritagliare quattro quadrati uguali dai lati di un foglio di carta quadrato di lato 2` vedi figura

in modo che la scatola ottenuta piegando il foglio abbia volume massimo.

4. Per quali valori di a ∈ R la funzione f(x) = ln(1 + x2)− a

2x2 e convessa in R?

5. Sia f : [0; 1] → R derivabile con f(0) = 0 e f(x) > 0 per ogni x ∈ [0; 1]. Provare che esiste c ∈ [0; 1] taleche

2f ′(c)f(c)

=f ′(1− c)f(1− c)

5.13. Esercizi 181

6. Sia n ∈ N e sia f : [0; 1] → R derivabile e tale che f(0) = 0, f(1) = 1. Dimostrare che esistono n puntidistinti 0 < a0 < a2 < · · · < an−1 < 1 tali che

n−1∑

k=0

f ′(ak) = n.

7. Determinare, nel suo dominio naturale D, i punti di massimo e minimo relativo della funzione f(x) =x2 − 3x+ lnx

8. Dimostrare, usando il teorema di Rolle, che l’equazione 5x4 − 4x+ 1 = 0 ha una radice in [0; 1].

9. Siano a0, a1 . . . , an numeri reali tali che

a0 +a1

2+a2

3+ · · ·+ an

n+ 1= 0.

Dimostrare che il polinomioa0 + a1x+ · · ·+ anx

n

ha una radice in [0; 1].

Soluzione

1. I punti della retta sono del tipo P (x, x) la somma dei quadrati delle tre distanze e:

f(x) = [(x+ a)2 + x2] + [(x− a)2 + x2] + [x2 + (x− b)2]

x

y

Si haf ′(x) = 6x+ 2(−a+ x) + 2(a+ x) + 2(−b+ x)

e quindi

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x =b

6.

E un minimo perche f ′′(x) = 12. La distanza minima si ha in P (b/6, b/6).

2. Sia 0 < x < 8 il primo addendo, quindi 8 = x+ (8− x) allora si minimizza, se 0 < x < 8

f(x) = x3 + (8− x)3

Si ha:f ′(x) = 3x2 − 3(8− x)2

dunque f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = 4. E un minimo perche f ′′(x) = 6(8− x) + 6x = 48

3. Diciamo 0 < x < ` il lato del quadrato ritagliato. La scatola ottenuta piegando lungo le linee tratteggiateavra allora dimensioni x, 2`−2x, 2`−2x e, conseguentemente il suo volume sara, per 0 < x < `, dato da:

f(x) = 4x (`− x)2

Allora:

f ′(x) = 4(3x2 − 4` x+ `2

)= 4(x− `)(3x− `),

quindi ne deduciamo che xM =`

3e il punto massimante cercato in quanto f ′′(xM ) = −8`.

4. Si ha:

f ′(x) =2x

x2 + 1− ax, f ′′(x) = −a− 2

(x2 − 1

)

(1 + x2)2 .

Dunque la funzione assegnata sara convessa scegliendo a in modo che sia:

2(1− x2

)

(1 + x2)2 ≥ a.

Allora a va scelto ≤ del minimo assoluto (se esiste) della funzione:

g(x) =2(1− x2

)

(1 + x2)2 .

Si ha:

g′(x) =4(x3 − 3x

)

(x2 + 1)3 ≥ 0 ⇐⇒ −

√3 ≤ x ≤ 0 ∨

√3 ≤ x

ne viene, che (completare il ragionamento) il minimo assoluto e raggiunto in x = ±√

3 ed il suo valore e

−1

4. Quindi se a ≤ −1

4la funzione e convessa.

x

y

Figura 5.11: g(x)

5.13. Esercizi 183

x

y

Figura 5.12: a = −1 funzione convessa

xy

Figura 5.13: a = 1 funzione non convessa

5. Si ponga g(x) = f2(x) f(1 − x). Poiche g(0) = g(1) = 0, g soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle.Dunque esiste c ∈]0, 1[ tale che

g′(c) = 0 =⇒ 2f ′(c)f(c)f(1− c)− f(c)2f ′(1− c) = 0.

Siccome per ipotesi f(c)f(1− c) 6= 0 se dividiamo i due lati per f2(c)f(1− c), abbiamo la tesi.

6. Per 0 ≤ k ≤ n− 1, consideriamo l’intervallo

I =

[k

n,k + 1

n

]

Per il teorema di Lagrange esiste ak ∈ I tale che

f ′(ak) =

f

(k + 1

n

)− f

(k

n

)

1

n

= n

(f

(k + 1

n

)− f

(k

n

)).

Sommando per k = 0 fino a k = n− 1 osservato che:

n−1∑

k=0

f ′(ak) = nn−1∑

k=0

(f

(k + 1

n

)− f

(k

n

))= n(f(1)− f(0)) = n.

si ha la tesi.

7. Si ha D = ]0,∞[ . Poi, derivando si trova:

f ′(x) = 2x− 3 +1

x≥ 0 ⇐⇒ 2x2 − 3x+ 1

xcon x ∈ D

Quindi f ′(x) ≥ 0 ⇐⇒ 0 < x ≤ 1

2∨ x ≥ 1. L’evoluzione del segno di f ′(x) e rappresentata in figura

1

21

++++++++++++++++++ ++++++++++++++++-------

Dunque xm =1

2e punto massimante con estremo f(xm) = −5

4− ln 2, mentre xM = 1 e punto minimante

f(xM ) = −2. Sono due estremi relativi in quanto:

limx→0+

f(x) = −∞, limx→∞

f(x) = +∞

Il grafico di f(x) e riportato nella figura seguente

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

-4

-3

-2

-1

8. Poniamo f(x) = x5 − 2x2 + x. Allora f(0) = f(1) = 0 cosı per il teorema di Rolle esiste c ∈]0; 1[ tale chef ′(c) = 5c4 − 4c+ 1 = 0.

9. Basta porre

f(x) = a0x+a1x

2

2+a2x

3

3+ · · ·+ anx

n+1

n+ 1,

e applicare il teorema di Rolle.

Esercizi proposti

1. Calcolate la derivata prima delle funzioni seguenti:

5.13. Esercizi 185

(a) f(x) = x+ 2

(b) f(x) = x3 + 3x2 + x+ 7

(c) f(x) =2√x

+ 3√x

(d) f(x) = ex + lnx

(e) f(x) = 2x+1

x23

− 3

x

(f) f(x) = x lnx

(g) f(x) = ex lnx

(h) f(x) =8x2 + 1

x3 − 8

(i) f(x) = 3√xex

(j) f(x) =−2

lnx

(k) f(x) =ex

x3

(l) f(x) =

√x− 1

x− 1

(m) f(x) =√x2 + 4x+ 1

(n) f(x) = xe1x

(o) f(x) =√e2x + 1

(p) f(x) = x√e2x + 1

(q) f(x) =ln2 (2x+ 1)

x3

(r) f(x) =e−2x − 1

e3x − 1

(s) f(x) =

√x2 − x+ 5

x+ 2

(t) f(x) = 3√ex ln |x|

(u) f(x) = x√

1− x2

2. Per ognuna delle seguenti funzioni stabilire se f(x) e continua e differenziabile in x = 0:

(a) f(x) =

1− x sex ≥ 0

2x2 − x− 2 se x < 0(b) f(x) =

3x2 + 2x se x ≤ 0

ln√

1 + 4x se x > 0

3. Calcolare la derivata prima delle funzioni seguenti:

(a) f(x) = 3√xex

(b) f(x) = 3√ex ln |x|

(c) f(x) = x√

1− x2

(d) f(x) = xe1x

(e) f(x) =√e2x + 1

(f) f(x) = x√e2x + 1

(g) f(x) =ln2 (2x+ 1)

x3

(h) f(x) = x2 ln(1 + x2)

(i) f(x) = lnax+ b

cx+ d

(j) f(x) =

√ax+ b

cx+ d

(k) f(x) =sin(ax)

sin(bx)

(l) f(x) = sin ln cosx

(m) f(x) = ln sin√x

(n) f(x) = x+ 2

(o) f(x) = x3 + 3x2 + x+ 7

(p) f(x) =2√x

+ 3√x

(q) f(x) = ex + lnx

(r) f(x) = 2x+1

x23

− 3

x

(s) f(x) = x lnx

(t) f(x) = ex lnx

(u) f(x) =8x2 + 1

x3 − 8

(v) f(x) =x+ cosx

x+ sinx

(w) f(x) =−2

lnx

(x) f(x) =ex

x3

(y) f(x) =

√x− 1

x− 1

(z) f(x) =√x2 + 4x+ 1

(aa) f(x) = xex

(ab) f(x) = e5x

(ac) f(x) = e−x

(ad) f(x) = e−2x

(ae) f(x) = cosx sinx

(af) f(x) =e−2x − 1

e3x − 1

(ag) f(x) =

√x2 − x+ 5

x+ 2

(ah) f(x) =ex − xex + x

(ai) f(x) =x2 − x+ 1

x2 + x+ 1

4. Calcolare la derivata prima f−1(y0) = f−1 (f(x0)) se f(x) =ln(1 + x2)√

x, x0 = 1

5. Sia f(x) = x + x3 + x7 e sia a > 0. Calcolare g′(ya) dove g : R → R e la funzione inversa di f eya = a7/2 + a3/2 +

√a

6. Sapendo che tanhx =5

13determinare, senza calcolare il valore di x, sinhx e coshx

7. Risolvere l’equazione 2 sinhx+ 4 coshx = −3

8. Dimostrare che per ogni x, t ∈ R vale: sinh(x+ t) = sinhx cosh t+ coshx sinh t

9. Provare che per ogni x ∈ R valgono:

cosh (arcsinh )x =√

1 + x2,

arcsinh (coshx) = ln

e−x + ex

2+

√

1 +(e−x + ex)

2

4

,

sinh

(1

2arcsinh x

)=

√x+√

1 + x2

2− 1

2√x+√

1 + x2,

sinh

(1

3arcsinh x

)=

3√x+√

1 + x2

2− 1

23√x+√

1 + x2,

essendo arcsinh la funzione inversa di sinh. Si suggerisce di determinare esplicitamente l’espressione diarcsinh risolvendo, rispetto a u l’equazione sinhu = x.

10. Sia n ∈ N e sia f : [0; 1] → N derivabile e tale che f(0) = 0, f(1) = 1. Dimostrare che esistono n puntidistinti 0 < a0 < a2 < · · · < an−1 < 1 tali che

n−1∑

k=0

1

f ′(ak)= n.

11. Determinare i valori del parametro reale a per cui la funzione f(x) = ax + ln(1 + x2

)e strettamente

crescente in R

12. Si deve recintare un terreno in forma rettangolare di area preassegnata Am2. Un lato del terreno e postodi fronte ad una strada, si sa che il costo al metro per recintare insonorizzando e di ¤15 per metro, mentregli altri tre lati possono essere recintati al costo di ¤10 per metro. Scegliere il modo per recintare l’areaA al minimo costo.

13. Determinare i punti di massimo e minimo relativo della funzione f(x) =2√|x| − 1

2(1 + x2)

14. Calcolare la derivata prima f−1(y0) = f−1 (f(x0)) se f(x) =ln(1 + x2)√

x, x0 = 1

15. Usando il teorema della derivata nulla far vedere che per ogni −1 ≤ x ≤ 1 vale:

arcsin

√1− x

2= arccos

√1 + x

2

16. Studiare in dipendenza da a ∈ R, il numero delle radici delle equazioni

(a) x3 − 4a (x− 1)2

= 0

(b) x4 +4

3ax3 − 4a2x2 + 16 = 0

(c)2

3x3 +

1

2x2 − 3x+ 1 = a

(d) x3 − 5ax2 + ax+ 3 = 0

17. Data l’equazione x2 +(a−1)x− (a+3) = 0, a ∈ R e un parametro, dopo aver dimostrato essa ha, sempree comunque radici reali, indipendentemente dalla scelta di a ∈ R, indicare per quale valore di a ∈ R eminima la somma dei quadrati delle radici

5.13. Esercizi 187

18. Determinare a ∈ R in modo che la retta y = x + 2 si tangente alla funzione f(x) =2ax+ a2

3x+ 2anel punto

di ascissa x = 1

19. Per quali valori di a ∈ R la funzione f(x) = lnx

1 + x2e crescente su [1,∞[?

20. Dimostrare che per ogni x > 0 vale xx ≥ x

21. Dire quante sono le soluzioni dell’equazionex2 − 1

x2 + 1= x4 − 5x2 + 4

22. Dimostrare che, per ogni x ∈ [−1, 1] vale arccosx = 2 arccos

√x+ 1

2

23. Determinare a, b ∈ R in modo che la funzione:

f(x) =

2 |x+ 1| − (x+ 1)2, sex < 1

2x+ a

2x+ b, sex ≥ 1

sia continua e derivabile in x = 1.

24. Dimostrare che per ogni x, y ∈ R, x < y risulta:

y − x1 + y2

< arctan y − arctanx <y − x1 + x2

.

Suggerimento: posto f(t) = arctan t si applichi il teorema di La Grangia f(t) nell’intervallo [x, y]

25. Provare che per ogni x ∈ R, x > 1 vale arccosh x = 2 arccosh

√x+ 1

2

26. Data la funzione f(x) = max

x

1 + x2,

x3

1 + x2

, x ∈ R.

(a) f(x) e continua in x = 1? (b) f(x) e derivabile in x = 1?

27. Trovare i punti della retta y = x+ 2 tale per cu la somma dei quadrati delle sue distanze dalle due rette3x− 4y + 8 = 0 e 3x− y − 1 = 0 sia minima

28. Sono dati due punti A(1, 4) e B(3, 0) sull’ellisse di equazione 2x2 + y2 = 18. Trovare il terzo puntoC(x0, y0) sull’ellisse in modo che l’area del triangolo ABC sia o massima o minima

29. Ripartire il numero 36 in due fattori tali che la somma dei loro quadrati sia minima

30. Per quale valore di a la funzione f(x) = a sinx +1

3sin 3x ha un estremo in x =

π

3? Si tratta di un

massimo o di un minimo?

31. Trovare i lati del rettangolo di area massima inscritto nell’ellisse di equazionex2

a2+y2

b2= 1

32. Dire se esistono valori del parametro reale a ∈ R per cui la funzione f(x) =(2 a+ (a− 2) x+ x2

)e−x e

sia strettamente convessa che strettamente decrescente.

33. Dire per quali valori di a ∈ R la funzione f(x) = x3 − ax2 + x − 2a e strettamante crescente. Studiarepoi, sempre in dipendenza dal parametro a ∈ R, il numero delle radici dell’equazione f(x) = 0


34. Determinare il valore del parametro a ∈ R in modo che la funzione f(x) = x2 +a

xabbia un flesso in x = 1

35. Determinare i valori di a, b, c ∈ R per cui la funzione f(x) = x3 +ax2 + bx+ c abbia un punto stazionarioin (1; 5) e un flesso in (2; 3)

36. Determinare gli intervalli di convessita della funzione f(x) = 2x6 + 9x5 + 10x4 − 13x− 5

37. Grafico della seguenti funzioni nel loro dominio naturale

(a) f(x) =√x3 − 3x+ 1

(b) f(x) = x− 3√x3 − 1

(c) f(x) = ln

∣∣∣∣lnx

x

∣∣∣∣

(d) f(x) =3

√|x|2 (x− 1)

4

(e) f(x) =5

√x (x2 − 1)

2

(f) f(x) = 2√x+ 1− x

(g) f(x) = 2− 1

x− lnx

(h) f(x) =6

5x+ ln

∣∣∣∣x− 3

x+ 3

∣∣∣∣

(i) f(x) = −x3 + 3x2 + x+ 4

(j) f(x) = −2x3 − 3x2 + 3x+ 7

(k) f(x) = x3 − 4x+ 16

(l) f(x) = ln√

1 + x2 +7 arctanx− x

38. Studiare in dipendenza da a ∈ R, il numero delle radici delle equazioni

(a) x3 − 4a (x− 1)2

= 0

(b) x4 +4

3ax3 − 4a2x2 + 16 = 0

(c)2

3x3 +

1

2x2 − 3x+ 1 = a

(d) f(x) = x3 − 5ax2 + ax+ 3

39. Data l’equazione x2 +(a−1)x− (a+3) = 0, a ∈ R e un parametro, dopo aver dimostrato essa ha, sempree comunque radici reali, indipendentemente dalla scelta di a ∈ R, indicare per quale valore di a ∈ R eminima la somma dei quadrati delle radici

40. Sia f(x) =x(x− 1)

1 + x2, x ∈ [0, 1] . Dire quanti e quali sono i punti in cui f(x) verifica la tesi del Teorema

di Rolle

41. Dire per quali valori di a ∈ R il dominio naturale della funzione f(x) =1

x− lnx+ ae ]0,∞[

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