Formula Rio Di Analisi a

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1 FUNZIONI A PIU VARIABILI Curve di livello: ( ) ( ) { } k y , x f : I y , x Lf k = = Norma di P: ( ) == =n1 i2i n 1x P x ,..., x P Limiti: ( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) < < + > > = l y , x f y y x xy , x D y , x : 0 , 0l y , x f limD : f20200 0y , x ) y , x (20 0 Limiti iterati: ( )( ) ( ) ( )( )2 12x x y y1y y x xy , x ) y , x (y y x xl l l Alloral y , x f lim liml y , x f lim lim se e l y , x f limy , x f lim lim0 00 00 00 0= === = Coord. Polari: ( )( )+ =+ = sen y ycos x x00 Limiti ( ) , : ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )= + += + + =0 l sen y , cos x f sup liml sen y , cos x f lim l y , x f lim0 000 000 , 0 ) y , x ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )+ = + ++ = + + + = sen y , cos x f inf limsen y , cos x f lim y , x f lim0 000 000 , 0 ) y , x ( ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )= = =+ + 0 l sen , cos f sup liml sen , cos f lim l y , x f lim) y , x ( ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )+ = + ++ = + + + = sen y , cos x f inf limsen y , cos x f lim y , x f lim0 000 00) y , x ( Condizione necessaria affinch una funzione ( ) y , x f abbia limite l per ( ) ( )0 0y , x y , x che per ogni curva regolare di equazioni parametriche ( ) ( ) t y y , t x x = = passanti per ( )0 0y , x tali che ( ) ( )0 0 0 0t y y , t x x = = , risulti: ( ) ( ) ( ) l t y , t x f lim0t t= 2 La convergenza al limite l deve essere indipendente dalla curva scelta. Spesso si usa il fascio di rette passanti per ( )0 0y , x di equazioni parametriche: ( ) lt x t x0 + = ( ) lt x t x0 + = Continuit: ( ) ( )0P P0P f P f lim se P in continua f0= Derivate parziali: ( )( ) ( )( )( ) ( )( )0 00 0 0 00 h0 00 0 0 00 h0 0y , xyfhy , x f h y , x flimy , xxfhy , x f y , h x flim: limiti i finiti esistono se punto talein parziali drivate ammette y , x di intorno un in definita f funzione Una= += + yx xy yx xyf f continue sono f f Se: Schwarz di Teorema= Differenziabilit: . P in continua f allora P in abile differenzi f Se .. P in abile differenzi fallora P intorno un in continue parziali derivate ammette f Se .. P in continua sia che detto non P in derivabile f Se .0 0000 0 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0y y x xy y k x x h y , x f y , x flim0P PP P H P f P flim: k h, H un vettore se P in abile differenzi f , I a interno punto P20200 0 0 0y , x y , x00 0P P0 f 00 00= + = = ( ) ( ) ( )( ) ( )h vettore del componenti le sono h dove h P f h L : P in f di ale differenzi detta L0hh L P f h P flim : che tale : L lineare funzione a un se P in abile differenzi f , I a interno punto Pin1 ii 0 x 00 00 hn0 f 0i=== + Gradiente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pendenza. massima di direzione la indica allora 0 f vettore il SeP f , P f P f P punto un in derivabile y x, f Sia0 y 0 x 0 0 = 3 Derivate direzionali: ( )( ) ( )( ) ( )finito. esiste sety , x f t y , t x flim: di direzione nella y , x punto un in y x, f di le direziona derivata La1 : unitario modulo di vettore un , Sia0 0 2 0 1 00 t0 02221 2 1 + += + = Equazione del piano tangente al grafico della funzione in ( ) ( )0 0P f , P : ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 y 0 0 0 x 0 0 0 0 0y y y , x f x x y , x f y , x f P P P f P f z + + = + = Equazione della retta tangente alla curva di livello passante per 0P : ( )( )( )( )( ) ( )( ) + === == 0 0 000 0P P P f P f zP f zr0. z piano sul fnz. la e piano il tra ne intersezio r retta della proiezione la r retta La0 P P P f Studio dei massimi e minimi: ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )I. su f di e restrizion della relativo minimo e massimo punti i cercando I, za parametriz si I, frontiera Sulla 3)1. punto nel come procede si chiuso, : I Se 2)f per sella di punto P 0 P H f per relativo massimo di punto P 0 P f 0 P H f per relativo minimo di punto P 0 P f 0 P H P f P fP f P fP H 0 P f aperto : I : modo seguente nel procedere deve si critici punti i e determinar Per ) 1I C f I : f : Sia0 00 0 xx 00 0 xx 00 yy 0 yx0 xy 0 xx002 2 < < > > >== Parametrizzazione della frontiera: ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) I in trovati quelli con confronto li e minimi i e massimi i cerco , Calcolocritici. punti ottengo 0rsen , rcos f y , x frsen yrcos x: pone si nza circonfere una I Sekk = = == 4 Studio dei massimi e minimi in caso di ( ) 0 P H0 = ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) relativi massimi dei ho 0 y x, f : punti solo intorno questo in serelativi minimi dei ho 0 y x, f : punti solo intorno questo in se relativi estremi ho non 0 y x, f : punti e 0 y x, f : punti intorno questo in se : critici punti dei intorno l' Guardo 3) xy. piano nel grafico il Disegno 2)0 y x, f dove e 0 y x, f dove 0 y x, f dove Guardo 1): locale studio uno con procedere deve si 0 P H Hessiano te determinan il Se0 < > < > < > == Applicazione del teorema di Dini: ( )( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) rel. max. di punto P 0 P f , 0P f P fP f P f , 0 P H Se 2) rel. min. di punto P 0 P f , 0P f P fP f P f , 0 P H Se 1) : AlloraP f P f P fP f P f P fP f P f P fP H 0 P f che tale e A ad erno int punto P A C f A : f z y, x, f f : Sia0 0 xx0 yy 0 yx0 xy 0 xx0 30 0 xx0 yy 0 yx0 xy 0 xx0 30 zz 0 zy 0 zx0 yz 0 yy 0 yx0 xz 0 xy 0 xx0 30 023 < > < > > >== = 5 EQUAZIONI DIFFERENZIALI Equazioni differenziali lineari del primo ordine: ( ) ( ) x f y x a y = + ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] C dx x f e e x y : risulta generale egrale int ' l Allora, x a di primitiva una x A SiaI, intervallo nell' contnue funzioni f a, Sianox A x A+ =} ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )((((

}+}= == + } dt t f e y e x yy x yx f y x a y: del soluzione I in derivabile , x y soluzione sola una ed una esiste y AlloraI x SiaI, limitato e chiuso intervallo nell' continue funzioni x f , x a Siano:xxds s a0dt t a0 0000t0xx0xCauchy di Teorema Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine: 0 by y a y = + + ( ) ( ) ( ) x y c x y c x y : risulta generale egrale t in ' l allorac , c sianoti, indipenden e linearment equazione dell' i particolar soluzioni due y e y Siano :2 2 1 12 12 1+ = Teorema ( )( )( ) ( ) ( ) x sen e c x cos e c x y 0 ) 3xe c e c x y 0 ) 2e c e c x y 0 ) 10 b a : tica caratteris Equazionex2x1x2x1x2x122 1 + = < + = = + = > = + + Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine n: ( ) ( )( ) x f y a y a ... y a yn 1 n1 n1n= + + + + ( ) [ ] ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) x y~x y c ... x y c x y : risulta generale egrale t in ' l alloracompleta, della e particolar soluzione x y~ e, x f e a di e definizion di intervallo b a, x 0 x W che tali cioti, indipenden e linearment omogenea eq. dell' i particolar soluzioni y ,..., y Siano :n n 1 1in 1+ + + = Teorema 6 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) x 0 x W 0 x W Se0 x W : I x 0 x Wx y ... x y x y... ... ... ...x y ... x y x yx y ... x y x yx W Sia :00 01 nn1 n21 n1n 2 1n 2 1 = = = Louville di Teorema ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )=+= =+ = =+ = = + + + + =2e ex sen e2e ex cos e x sen i x cos e ex sen i x cos e e: ottengono si cui da i coniugata radice la ancha avr essa , i complessa radice una ha tica caratteris eq. l' Se e x ,..., xe , e r ordine di multipla complesse) o (reale radice una se 2) e ,..., e ... risultano complesse) o (reali radici n le se 1) 0 a a ... a P : tica caratteris eq. dell' ione Determinaz -:x xxx xxx xx xx 1 r x xx xn 2 1n 1 n1 n1nn 1 omogenea equazione dell' Soluzione ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ]{ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ]{ }=+)` = + ==+)` + =)`==)`=k m, max mx sen x s x cos x q e x : h t molteplici con i 0 i Px sen x r x cos x p e x f 4)k m, max mx sen x s x cos x q e : 0 i Px sen x r x cos x p e x f 3)x q e x : h t molteplici con 0 P x p e x f 2)x q e : 0 Px p e x f 1): k grado di polinomio un r e m, grado di polinomio un p Siax y~m mx hk mxm mxk mxmx hmxmxmxk m soluzionesoluzionesoluzionesoluzione e particolar soluzione della ione Determinaz 7 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) [ ]( ) [ ]( )( )( )( )( )( )( )( ) eq. nell' o sostituiscp 2 x y~q px 2 x y~r qx px x y~C Bx Ax x feq. nell' o sostituiscAe a x y~aAe x y~Ae x y~e x feq. nell' o sostituiscxe e 2 A x y~xe e A x y~Axe x y~e x feq. nell' o sostituiscx cos B x sen A x y~x sen B x cos A x y~x cos B x sen A x y~x sen x f:22ax 2axaxaxx xx xxx= + = + + = + + == = = =+ = + = = = = = + = =Esempi Equazioni differenziali lineari a coefficienti continui di ordine n in forma normale: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) x f y x a y x a ... y x a y0 11 n1 nn= + + + + ( )( ) ( )