Triángulo rectángulo

Triángulo rectángulo se denomina al triángulo en el que uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90º (grados sexagesimales) o π/2 radianes.

Nombre de sus lados

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.

Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.

Relaciones métricas en un triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo:

La medida de un cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.

, también se cumple:

La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.

La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitágoras:

donde es medida de la hipotenusa.

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

El un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo con vértice en A, son:

El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

Área de un triángulo rectángulo

Se puede considerar el área de un triángulo como la mitad del área de un rectángulo partido por su diagonal.

donde y son las medidas de los catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo citado.

Además, los catetos coinciden con dos de las tres alturas del propio triángulo.

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras, fue descubierto por uno de los discípulos de Pitágoras, llamado Hipaso de Metaponto, según la tradición. Es uno de los más conocidos y estudiados. Lleva el nombre de Pitágoras porque se atribuye el descubrimiento a la escuela pitagórica. Establece lo siguiente: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

Demostraciones

El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración de él para alcanzar el grado de Magíster matheseos.

Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pitagoream Proposition.

En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

China: el Chou Pei Suan Ching, y el Chui Chang Suang Shu

Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.

El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.

El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.

Demostración

Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:

Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:

Ya que .

Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:

Con lo cual queda demostrado el teorema.

Aplicaciones de estos teoremas para calcular distancias

Calcular la altura de un punto a cuyo pie no se puede llegar ( inaccesible )

Calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles  

Polígono

Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados. Así, el hexágono es un polígono de seis lados.

La palabra polígono procede del griego antiguo πολύγωνον (polygōnon), de πολύς, "muchos" y γωνία, "ángulo". BUA Ya que un polígono P es una región cerrada y limitada, la frontera de P es un ciclo de aristas, donde dos aristas de tal ciclo comparten un vértice.

Polígono simple.

Un polígono se denomina simple si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan. Además figuran los polígonos ortogonales, también conocidos como isotéticos o rectilíneos, que son aquellos que poseen los mismos elementos que conforman los polígonos simples: un conjunto de vértices y aristas, pero con la singular característica de que sus aristas son paralelas a cualquiera de los ejes cartesianos X e Y.

Suponiendo que n es el número de lados, el número de diagonales trazadas en el interior de un polígono serán n(n − 3) / 2.

Existe también la posibilidad de configurar polígonos utilizando más de tres dimensiones. Así, para tres dimensiones se denominan poliedros, en cuatro dimensiones, polícoros, y en n dimensiones politopos

Clases de polígonos.

Los polígonos se clasifican según tres criterios:

Por la igualdad o desigualdad de lados:

o Polígonos regulares — cuando todos los lados son de igual extensión;o Polígonos irregulares — cuando por lo menos alguno de los lados es de

extensión distinta.

Por la cantidad de lados, aunque por referencia a la igual cantidad de ángulos:

o Triángulos — los que tienen 3 lados y 3 ángulos.o Cuadriláteros — los que tienen 4 lados y 4 ángulos.

o Pentágonos (del griego: penta: cinco) — los que tienen 5 lados y 5 ángulos.

o Exágonos (del griego: exa: seis) — los que tienen 6 lados y 6 ángulos.o Heptágonos (del griego: hepta: siete) — los que tienen 7 lados y 7

ángulos.o Octógonos — los que tienen 8 lados y 8 ángulos.o Encágonos — los que tienen 9 lados y 9 ángulos.o Decágonos — los que tienen 10 lados y 10 ángulos.o Undecágonos — los que tienen 11 lados y 11 ángulos.

Polígono

Nombre Númerode lados

no existe 1no existe 2triángulo 3cuadrilátero 4pentágono 5hexágono 6heptágono 7octágono 8eneágono 9decágono 10endecágono 11dodecágono 12tridecágono 13tetradecágono 14pentadecágono 15hexadecágono 16heptadecágono 17octodecágono 18eneadecágono 19isodecágono 20triacontágono 30tetracontágono 40pentacontágono 50hexacontágono 60heptacontágono 70octacontágono 80eneacontágono 90hectágono 100chiliágono 1.000miriágono 10.000megágono 1.000.000

cuadriáteros

Son cuadriáteros todos los polígonos delimitados por cuatro lados; y que en consecuencia contienen cuatro ángulos, con sus respectivos vértices.

Clases de cuadriláteros.

Los cuadriláteros se clasifican en consideración a la posición que ocupan sus lados, en:

Paralelogramos — cuando los dos pares de sus lados son paralelos entre sí. Trapecios — cuando solamente dos de sus lados son paralelos entre sí. Trapezoides — cuando ninguno de sus lados es paralelo a otro.

Los paralelogramos son:

El cuadrado — cuyos cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos son rectos. El rectángulo — que tiene iguales dos lados, y los otros dos distintos pero

iguales entre ellos (por lo cual es usual decir que son iguales dos a dos) y cuyos cuatro ángulos son rectos.

El rombo — cuyos cuatro lados son iguales pero tiene dos ángulos agudos iguales y dos ángulos obtusos iguales.

El romboide — que tiene sus lados iguales dos a dos, pero tiene dos ángulos agudos iguales y dos ángulos obtusos iguales.