José Francisco Gómez González Benjamín González Díaz María de la Peña Fabiani Bendicho Ernesto Pereda de Pablo

PUNTOS OBJETO DE ESTUDIO Generalidades sobre sistemas trifásicos Conceptos básicos Magnitudes básicas Sistemas trifásicos equilibrados Potencia en sistemas equilibrados Comparación entre sistemas equilibrados Δ-Υ

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GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS TRIFÁSICOS (I) A) Definición de sistema trifásico de tensiones:

“Tres fuentes monofásicas de igual ω pero desfasadas 120º (2π/3 rad)”

¿Por qué 120º? 360º/3=120º ¿Por qué trifásica? ver al final.

Definición de sistema trifásico Equilibrado: “Tres fuentes monofásicas de igual ω y AMPLITUD pero desfasadas 120º (2π/3 rad)”

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GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS TRIFÁSICOS (II)

APENDICE: Propiedades matemáticas. 1/0º + 1/120º + 1/-120º = 0 Si tenemos tres tensiones (o intensidades) trifásicas

equilibradas: 1/0º - 1/+120º = √3 /-30º y 1/0º - 1/-120º = √3 /+30º Si restamos dos vectores con igual módulo y

desfasados 120 º entre si V /ϕ - V /ϕ+120º = V /ϕ-30º

V /ϕ - V /ϕ-120º = V /ϕ+30º

5

⇒ Va −Vb = Va 1− e± j120º( )= Va 3⋅ em j 30º

Va +Vb +Vc = 0

Formulación exponencial: a= e j120º a2 = e j240º = e -j120º 1+a+ a2= 0 Va+Vb+Vc = 0 1- a = √3 e -j30º 1- a2 = √3 e j30º

GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS TRIFÁSICOS (III)

APENDICE: Demostración.

1∠ 0º −1∠ −120º = cos0º+ jsen0º( )− cos −120º( )+ jsen −120º( )( )=

= 1+12

+ j3

2

=

32

+ j3

2

= 3

32

+ j12

= 3 cos30º+ jsen30º( )= 3∠ 30º

⇒ Va −Vb = Va 1−Vb

Va

= Va 1∠0º −1∠−120º( )= Va 3∠30º

Supongamos Va = V∠ϕ y Vb = V∠ϕ −120º ⇒Va

Vb

=1∠ −120º

6

GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS TRIFÁSICOS (IV) B) Conexión de cargas: estrella y triángulo

Z12 = Z1 + Z2 +Z1⋅ Z2

Z3

Z23 = Z2 + Z3 +Z2⋅ Z3

Z1

Z31 = Z3 + Z1 +Z3⋅ Z1

Z2

Z1 =Z12⋅ Z31

Z12 + Z23 + Z31

Z2 =Z12⋅ Z23

Z12 + Z23 + Z31

Z3 =Z23⋅ Z31

Z12 + Z23 + Z31

Estrella Triángulo (Delta)

Elementos de Δ en función de * Elementos de * en función de Δ

Regla Mnemotécnica

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GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS TRIFÁSICOS (V)

B) Conexión de cargas: estrella y triángulo Sistema equilibrado

Estrella Triángulo (Delta)

Conexión Δ o ϒ equilibrada Las tres cargas son iguales

Sistemas de cargas equilibradas Δ y ϒ equivalentes ZΔ = 3 ZΥ

DEMOSTRACIÓN: Sustituir Z1=Z2=Z3 en el caso general.

8

GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS TRIFÁSICOS (VI)

C) Conexión de fuentes: estrella y triángulo

Fuentes conectadas en estrella: Unir los 3 terminales de polaridad de referencia negativa en un punto común N (llamado punto neutro) .

Se suele representar en la forma de estrella de la que recibe el nombre (ϒ)

Fuentes conectadas en triángulo: Conectar sucesivamente los terminales de distinta polaridad.

Se suele representar en la forma de triángulo o Delta (Δ)

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GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS TRIFÁSICOS (VII)

C) Conexión de fuentes ideales Equivalencias

Elementos de Δ en función de Υ

Eab = E1 − E2

Ebc = E2 − E3

Eca = E3 − E1

⇓

E1 =Eca − Ebc

3

E2 =Eab − Eca

3

E3 =Ebc − Eab

3

Elementos de Υ en funci ón de Δ

SISTEMA EQUILIBRADO:

E∆ = 3⋅ EΥ /±30º→Si E2 / E1 = /+120º ⇒ /−30º→Si E2 / E1 = /−120º ⇒ /+30º

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GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS TRIFÁSICOS (VIII) D) Conexión de generadores reales de tensión: Estrella y triángulo

Sistema trifásico EQUILIBRADO: Las tres cargas son iguales

Las tres fuerzas electromotrices tienen igual módulo (!No son iguales pues están desfasadas 120º!)

¿Equivalentes? Las tres cargas son equivalentes entre si (Z1=Z2=Z3) Los tres fuentes “ideales” de tensión son equivalentes entre sí.

(Ver apartados anteriores) 11

CONCEPTOS BÁSICOS (I) Conexiones Generador-Carga:

Sistema trifásico completo = Generador + Líneas + Carga

Tres sistemas monofásicos Seis líneas de conducción Un sistema trifásico Tres/Cuatro líneas de conducción

Conectamos los generadores en Δ ó Υ Conectamos las cargas en Δ ó Υ Utilizamos tres líneas de conducción

NOTA: En estrella-estrella existe un cuarto cable que une los puntos neutros

SISTEMAS POSIBLES: Δ – Υ ; Υ – Δ; Δ –Δ; Υ – Υ

Sistema trifásico equilibrado: Un sistema trifásico está totalmente equilibrado cuando lo están todas sus partes (generación, líneas y carga)

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CONCEPTOS BÁSICOS (II) Magnitudes Básicas:

A) Secuencia de fase:

Secuencia de fase= Orden de aparición de las tres fases ante un observador fijo Concepto “relativo”. 13

CONCEPTOS BÁSICOS (III)

B) Magnitudes de línea:

Z

Z Z

R

S

T

IR

IS

IT

N

URN

USNUTN

URS

UST

UTR

Intensidad de línea (3)= Intensidades a través de los conductores de conexión G-C

En conexiones Υ – Υ la intensidad por el neutro no se “considera” I de línea .

Tensión de línea (3)= Diferencia de tensión entre dos conductores de línea

“La tensión de línea en el generador ≠ tensión de línea en las cargas” EXCEPCIÓN: Si las líneas tienen impedancia nula (no pierden tensión) .

Z

Z

Z

R

S

T

IR

IS

IT

IRS

IST

ITR

URS

UST

UTR

14

CONCEPTOS BÁSICOS (IV) C) Magnitudes de fase:

Z

Z

Z

R

S

T

IR

IS

IT

IRS

IST

ITR

URS

UST

UTR

Intensidad de fase (3)= I suministrada por cada generador o consumida por cada carga

En conexiones Υ (carga o generador) IFASE=ILINEA .

Tensión simple o de fase (3)= ΔV entre un hilo o terminal de fase y el neutro.

En conexiones Δ (carga o generador) VFASE=VLINEA .

Z

Z Z

R

S

T

IR

IS

IT

N

URN

USNUTN

URS

UST

UTR

15

MAGNITUDES BÁSICAS D) Relación entre las magnitudes de fase:

Intensidad de fase Tensión de fase

FUENTES: CARGAS:

VFa = Vaa ′ = IF

a ⋅ Z1

VFb = Vbb ′ = IF

b ⋅ Z2

VFc = Vcc ′ = IF

c ⋅ Z3

VFa = Vaa ′ = E1 − IF

a ⋅ Z1

VFb = Vbb ′ = E2 − IF

b ⋅ Z2

VFc = Vcc ′ = E3 − IF

c ⋅ Z3

Estas relaciones son válidas tanto para conexiones en Δ como en ϒ 16

SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (I) 4.3. SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS

17

SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (II) 4.3.1 Resolución de conexiones equilibradas en triángulo: SISTEMA EQUILIBRADO:

Secuencia directa : IAB= IF /φº ; IBC=IF /φ -120º , ICA=IF /φ +120º

Recordemos: VF = VL = VAB y IA=IAB – ICA ( =aplicar NUDOS en A)

Secuencia inversa : IAB= IF /φº ; IBC=IF /φ +120º , ICA=IF /φ - 120º

⇒ IA = IAB − ICA = IAB 1∠0º −1∠+120º( )= IAB 3∠−30º

⇒ IB = IBC 3∠−30º ; IC = ICA 3∠−30º

⇒ IA = IAB − ICA = IAB 1∠0º −1∠−120º( )= IAB 3∠+30º ⇒ IB = IBC 3∠+30º ; IC = ICA 3∠+30º

CONCLUSIÓN:

IAB = IF∠ϕIA = IL∠α

⇒ IA = IAB 3 ∠ m30º⇒IL = 3IF

α = ϕ m30º

18

SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (III) 4.3.1 Resolución de conexiones equilibradas en triángulo:

VAB=V(fase)=V(línea) .

Hay un desfase de 30º entre I(fase) e I(linea) SD IL retrasa (-30º) respecto a IF SI IL adelanta (+30º) ) respecto a IF

IL = IF 3

19

SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (IV) 4.3.1 Resolución de conexiones equilibradas en triángulo:

RESUMEN: Relación entre magnitudes de fase y línea en Δ equilibrados

Dir

ecta

In

vers

a

3 30º

3 30º

3 30º

R RS TR RS

S ST RS ST

T TR ST TR

I I I I

I I I I

I I I I

= − = ∠ −

= − = ∠ −

= − = ∠ −

3 30º

3 30º

3 30º

R RS TR RS

S ST RS ST

T TR ST TR

I I I I

I I I I

I I I I

= − = ∠ +

= − = ∠ +

= − = ∠ +

Intensidad de línea retrasa 30º respecto

a la de fase

Intensidad de línea adelanta 30º respecto

a la de fase

Línea ⇒r I R ,

r I S ,

r I T

Fase ⇒

r I RS =

r I Ur

I ST =r I Vr

I TR =r I W

Nomenclatura:

20

SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (V) 4.3.2 Resolución de conexiones equilibradas en estrella :

Recordemos: IF = IL = IA y VAB = VAN – VBN

SISTEMA EQUILIBRADO: Secuencia directa : VAN= VF /φº ; VBN=VF /φ -120º , VCN=VF /φ +120º

Secuencia inversa : VAN= VF /φº ; VBN=VF /φ + 120º , VCN=VF /φ - 120º

⇒ VAB = VAN −VBN = VAN 1∠0º −1∠−120º( )= VAB 3∠+30º

⇒ VB = VBC 3∠+30º ; VC = VCA 3∠+30º

CONCLUSIÓN:

⇒ VAB = VAN −VBN = VAN 1∠0º −1∠+120º( )= VAB 3∠−30º ⇒ VB = VBC 3∠−30º; VC = VCA 3∠−30º

VAN = VF∠ϕVAB = IL∠α

⇒ VAB = VAN 3 ∠ ± 30º⇒VL = 3VF

α = ϕ ± 30º

21

SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (VI) 4.3.2 Resolución de conexiones equilibradas en estrella :

IA= I (fase) = I (línea) .

Hay un desfase de 30º entre V(fase) e V(linea) SD VL adelanta (+30º) a VF SI VL retrasa (- 30º) a VF - IN=IA+IB+IC = 0 (recordar matemáticas)

VL = VF 3

22

SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (VII) 4.3.1 Resolución de conexiones equilibradas en estrella:

RESUMEN: Relación entre magnitudes de fase y línea en Δ equilibrados

Dir

ecta

In

vers

a

Tensión de línea adelanta 30º respecto

a la de fase

Tensiónde línea retrasa 30º respecto

a la de fase Nomenclatura: 3 30º

3 30º

3 30º

RS RN

ST SN

TR TN

U U

U U

U U

= ∠ +

= ∠ +

= ∠ +

3 30º

3 30º

3 30º

RS RN

ST SN

TR TN

U U

U U

U U

= ∠ −

= ∠ −

= ∠ −

Línea ⇒UR = URS

US = UST

UT = UTR

Fase ⇒UU = URN

UV = USN

UW = UTN

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SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (VIII) 4.3.3 Equivalente monofásico de un sistema trifásico equilibrado. (A) SISTEMA ESTRELLA-ESTRELLA

Demostración (Millman):

VN .N ′ =

εa +εb +εc

ZY1

ZN

+3

ZY

= 0

Solución general del problema (no equilibrado) •ZY

a = Zga + ZL

a + Za (ZYb ; ZY

c ) •Kirchoff Ia +Ib +Ic +IN = 0 Tres problemas monofásicos. •Millman UN´N

Zga = Zgb = Zgc = Zg

ZLa = ZLb = ZLc = ZL

Za = Zb = Zc = Z

⇒ ZΥ = Zg + ZL + ZS. Equilibrado

ε1, ε2, ε3, equilibrado εa + εb + εc =0 VN´N = 0 IN=0 S. Equilibrado

Cálculo por reducción a 3 modelos monofásicos: (modelo monofásico equivalente)

⇓

24

SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (IX) (A) SISTEMA ESTRELLA-ESTRELLA: Equivalente monofásico

VN .N ′ = 0 ⇒

No existe caída de tensión entre N-N´ ¿Por qué hilo neutro? Sª trifásico “casi” equilibrado.

¿Intensidades de fase/linea? Forman un Sª trifásico equlibrado. RECORDAR: IL=IF . Calculamos Ia y “desfasamos” Ib, Ic

Ia =εa

Zg + ZL + Z

Ib =εb

Zg + ZL + Z

Ic =εc

Zg + ZL + Z

Podemos sustituír un sistema trifásico (3 incógnitas) por tres sistemas monofásicos independientes (Ia)

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SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (X) 4.3.3 Equivalente monofásico de un sistema trifásico equilibrado. (B) SISTEMA TRIÁNGULO-TRIÁNGULO

Sistema equilibrado: NOTA: Cuidado con los sentidos de I

Iab = Ib ′a ′

Ibc = Ic ′b ′

Ica = Ia ′c ′

Solución general del problema (no equilibrado) • Kirchoff (incógnitas Ia, Ib, Ic, Iab, Ib´a´….) Muy complicado.

RECORDAR: VL=VF y Vabcarga ≠ Va´b´ generador

Ia = Iab 3∠±30º ⇒

Sistema equilibrado: Sólo tres incógnitas: ¿Intensidades de fase? Para cada fase resolvemos un sistema monofásico equivalente Una incóginita = Iab

⇒ Z∆ = Zg + 3ZL + Z

⇒

Iab = EaZ∆

Ibc = EbZ∆

Ica = EcZ∆

⇒

Forman un Sª trifásico equlibrado

Calculamos Ia y “desfasamos” Ib, Ic

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SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (XI) (B) SISTEMA TRIÁNGULO-TRIÁNGULO:

Equivalente monofásico Demostración: Sª Equilibrado Iab=Ib´a

Kirchoff en malla (abb´a´) Secuencia directa Sustituimos Ia, Ib en la ec. de la malla

Igual resultado que considerando aisladamente un circuito monofásico con

E∠ 0º = ZgIb ′a ′ + ZLIa + Z⋅ Iab − ZLIb

Ia = Iab 3∠−30º

Ib = Ibc 3∠−30º = Iab 3∠−150º

Ibc = Iab∠−120º( )

E∠0º = Iab (Zg + 3ZL + Z) ⇒ Iab =E∠0º

Zg + 3ZL + Z

NOTA: La demostración es idéntica con un Sª de secuencia inversa

Z∆ = Zg + 3ZL + Z

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SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (XII) 4.3.3 Equivalente monofásico de un sistema trifásico equilibrado. (C) SISTEMA TRIÁNGULO-ESTRELLA o ESTRELLA-TRIÁNGULO

No existe equivalente monofásico para este tipo de sistemas: Pasamos a equivalente Δ-Δ ó Pasamos a equivalente ϒ-ϒ

CUIDADO: Si para resolver un sistema Δ-ϒ pasamos a su equivalente (Δ-Δ ó ϒ-ϒ), los resultados que obtenemos en el nuevo sistema nos dan las magnitudes de línea del sistema inicial. Para obtener las magnitudes de fase del sistema inicial hemos de volver al punto de partida (no son iguales a las del sistema equivalente!!!)

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POTENCIA EN SISTEMAS EQUILIBRADOS (I) 4.4. POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS Potencia suministrada (generador) o consumida (cargas) por Sª trif. Equílibrado = = 3 x Potencia de una fase.

Potencia

Activa (W ) = P3F = 3⋅ VF ⋅ IF ⋅ cosϕRe activa (VAr) = Q3F = 3⋅ VF ⋅ IF ⋅ senϕAparente (VA)S3F = 3⋅ VF ⋅ IF

Compleja =r S 3F = 3⋅ VF ⋅ IF (cosϕ + j⋅ senϕ)

con: •VF= Valor eficaz de V(fase) •IF= Valor eficaz de I( fase) •φ= desfase entre V e I de fase

NOTA: En ocasiones las cantidades “medibles” son las de línea y no las de fase:

Triángulo ⇒VL = VF

IL = 3IF

Estrella ⇒VL = 3VF

IL = IF

⇒ 3VF IF = 3VLIL

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POTENCIA EN SISTEMAS EQUILIBRADOS (II) 4.4. POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS Potencia instantánea = Suma P(t) de cada fase Sª Trifásico equilibrado P(t) = 3Vf If cosφ = P.activa = cte con t La potencia total en cada instante es constante e igual a la suma de la potencia activa

en cada una de las fases.

Demostración :

VA = VF sen(ωt)IA = IF sen(ωt −ϕ)

⇒

PA (t) = VF I f sen(ωt)sen(ωt −ϕ)PB (t) = VF I f sen(ωt −120º)sen(ωt −ϕ −120º)PC (t) = VF I f sen(ωt +120º)sen(ωt −ϕ +120º)

⇓P3F (t) = PA (t) + PB (t) + PC (t) = 3VF I f cosϕ

NOTA: Los motores trifásicos arrancan mejor y funcionan mejor que los monofásicos - P(monofásica) varía con t y P(trifásica) es cte con t.

30

POTENCIA EN SISTEMAS EQUILIBRADOS (III)

4.4. POTENCIA EN SISTEMAS TRIF. EQUILIBRADOS (Resumen) Comparación potencia monofásica-trifásica:

31

COMPARACIÓN ENTRE SISTEMAS EQUILIBRADOS Δ-ϒ (I) 4.5. COMPARACIÓN TRIÁNGULO-ESTRELLA EQUILIBRADOS. A) SISTEMAS GENERADORES

Generador trifásico = = 3 devanados monofásicos

Se pueden conectar en Δ o ϒ

Y : VL=√ 3 VF VL > VF (pero IL = IF ) Δ: IL= √ 3 IF IL > IF (pero VL = VF ) Por tanto:

La conexión en Y requiere mayores aislamientos (mayores Vs) La conexión en ∆ requiere cables de mayor sección (mayores Is)

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COMPARACIÓN ENTRE SISTEMAS EQUILIBRADOS Δ-ϒ (II)

4.5. COMPARACIÓN TRIÁNGULO-ESTRELLA EQUILIBRADOS. B) CARGAS

para igual tensión de línea: la potencia absorbida por las cargas es tres veces mayor en conexión triángulo (∆) que en estrella (Υ)

Demostración :

∆ :VF = VL

IF =VL

Z

⇒ S∆ = 3VF IF =

3V 2L

Z

Υ :VF =

VL

3

IF =VF

Z=

VL

3 Z

⇒ SΥ = 3VF IF =V 2

L

Z

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