Teorema Fundamental da

Trigonometria

1cossen22

Demonstração ...

)θ1 cos

sen

1

-1

-1

0

sen θ

cos θ

θ·

Continuação...

)θ1 cos

sen

1

-1

-1

0

sen θ

cos θ

1

Continuação...

)θ

sen θ

cos θ

1

Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2, temos :

1cossen22

Relações Trigonométricas no

Triângulo Retângulo

)θ

Hipotenusa

Continuação ...

Cotangente de θ

Secante de θ

Cossecante de θ

Tangente de θ

Cosseno de θ

Seno de θ

Relação no Triângulo RetânguloEnte Trigonométrico

HI

COsen

HI

CAcos

CO

HI

sen

1seccos

CA

COtg

CA

HI

cos

1sec

CO

CA

tg

1gcot

Na Circunferência Trigonométrica

)θcos

sen

0

sen θ

cos θ

·

tg

tg θ

Continuação ...

)θ0

·

cotg cotg θ

secante θ

cossec θ

Arcos Notáveis

30150

210 330

45135

225 315

60120

240 300

cos

sen

0

tg

90

180

270

0 /360

arco 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

rad 06 4 3 2 3

22

seno 02

1

2

2

2

31 0 - 1 0

cosseno 1

2

3

2

2

2

10 - 1 0 1

tangente

cos

sen0

3

31 3 - - - 0 - - - 0

Tabela de Entes Trigonométricos ...

Vamos pensar . . .

Que tal fazermos um teste para verificação do que foi

apresentado?

Observem a figura ao lado

1) Em relação ao

ângulo , podemos

dizer que o sen vale:

a) b/c

b) a/c

c) c/b

d) c/a

e) a/b

c

b

hip

.o.csen

2) Em relação ao

ângulo , podemos

dizer que o cos vale:

a) b/c

b) a/c

c) c/b

d) c/a

e) a/b

c

a

hip

.a.ccos

3) Em relação ao

ângulo , podemos

dizer que a tg vale:

a) b/a

b) b/c

c) c/b

d) a/b

e) a/c

a

b

.a.c

.o.ctg

4) Em relação ao

ângulo , podemos

dizer que a cotg

vale:

a) b/a

b) b/c

c) c/b

d) a/b

e) a/c b

a

.o.c

.a.cgcot

5) Em relação ao

ângulo , podemos

dizer que tg .cotg

vale:

a) 1/a

b) 1/c

c) 1/b

d) 0

e) 1 1.o.c

.a.c.

.a.c

.o.c

gcot.tg

6) Se a = 3b, podemos

dizer então, que

sen2 + cos2 vale:

a) b2 / a2

b) 9c2 / b2

c) 0

d) 1

e) (c2 + b2) / 9a2

Pelo teorema fundamental da

trigonometria, temos que:

sen2 + cos2 = 1

portanto,

7) Em relação ao

ângulo , podemos

dizer que sec2 - 1

vale:

a) tg2

b) cotg2

c) - 1

d) 0

e) 12

2

2

2

cos

1sec

cos

1sec

olog,cos

1sec

22

2

2

2

2

2

2tg1sec

cos

sen

cos

cos11

cos

11sec

2

2

2

2

2

cos

sentg

cos

sentg

olog,cos

sentg

22

22

cos1sen

1cossen

22tg1sec

8) Em relação ao

ângulo , podemos

dizer que cossec2 - 1

vale:

a) tg2

b) cotg2

c) - 1

d) 0

e) 12

2

2

2

sen

1seccos

sen

1seccos

olog,sen

1seccos

22

2

2

2

2

2

2gcot1seccos

sen

cos

sen

sen11

sen

11seccos

2

2

2

2

2

sen

cosgcot

sen

cosgcot

olog,sen

cosgcot

22

22

sen1cos

1cossen

22gcot1seccos

9) Se sen b/c,

então, calculando o

valor de

chegaremos a:

a) a/c

b) b/c

c) a/b

d) b/a

e) 1

cos

1cos.)cos1(.

sen

cosy

cos

11.)cos1(.gcoty

22

22

cos1sen

1cossen

cos

11.)cos1(.gcoty

)coscos1(cos.sen

1y

1cos.)cos1(.sen

1y

2

)cos1(.sen

1y

2

2sen.

sen

1y

c

by

seny

Voltando

a parte teórica

Lei dos Senos

Seja um triângulo ABC qualquer

temos :

Csen

c

Bsen

b

Asen

a

) (^

A

^

C

^

B

A B

C

a

c

b

Lei dos Cossenos

Seja um triângulo ABC qualquer

temos :

Ccosba2bac

ouBcosca2cab

ouAcoscb2cba

222

222

222

) (^

A

^

C

^

B

A B

C

a

c

b

Continuação ...

Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é

reto, por exemplo, Â= 90°, temos :

90coscb2cba222

Sabe-se que cos 90° = 0, logo ...

0cb2cba222

Temos, portanto ... 222cba

Teorema de Pitágoras

Gráficos das funções trigonométricas

sen x

y

x

•

•

•

•

•

•

•

•

• •0° 540° 720°450°

630°

360°

270°

180°

-180° -90°

• 90°

1

-1

Continuação ...

cos x

y

x•

•

• •

•

•

• •

•

•

•

0°

540°

720°450° 630°360°270°

180°-180°

-90° 90°

1

-1

Continuação ...

tg x

y

x• • • • • • • • • 0° 360°

-90° 90°

180°

270° 450°

540°

630°

Continuação ...

y

x

• •

•

•

•

•

•

• • •0° 540° 720°450°

630°

360°

270°

180°

-180° -90°

• 90°

1

-1

cossec x

Continuação ...

•

•

• •

•

•

• •

•

•

•

0°

540°

720°450° 630°360°270°

180°-180°

-90° 90°

sec x

y

x

1

-1

Continuação ...

cotg x

y

x• • • • • • • • •

0° 360°

90°

180°

270° 450°

540°

630°

720°

TRIGONOMETRIA APLICADA

• Modelo matemático que indica ao número de horas do dia,

com luz solar, de uma determinada cidade norte americana,

“t” dias após 1º de janeiro.

)80t(365

2sen8,212)t(L

Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 34

Trigonometria

Algumas Aplicações

Parte Prática

O exemplo clássico da Sombra

Para que possamos medir (aproximadamente)

a altura de um prédio, sem a necessidade de subir

ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados,

seria necessário somente 2 elementos.

São eles: uma distância

um ângulo

Observe a seguir . . .

hd.tg

d

htg

.a.c

.o.ctg

temos que:

portanto: tg.dh

Conhecendo a distância d que

vale 50 metros e o ângulo

que vale 30°, podemos dizer

então que:

metros8675,28h

95773502691,0.50h

30tg.50h

tg.dh

Exemplo 1

A inclinação de uma rampa

Uma rampa com inclinação constante, (como

a que existe em Brasília) tem 6 metros de

altura na sua parte mais elevada. Um

engenheiro começou a subir, e nota que após

ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está

a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será

que este engenheiro somente com esses dados

e uma calculadora científica conseguiria

determinar o comprimento total dessa rampa e

sua inclinação em relação ao solo?

Como poderíamos resolver essa situação?

Como sugestão, faremos um “desenho” do que

representa essa situação.

Observemos:

6 metros16,4 metros

2 metros

Comprimento total da rampa

solo

6 m etros

16,4 m etros

2 m etros

Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .

2 metros

16,4 metros

hip c.o.

c.a.

Temos em relação

ao ângulo

hip = 16,4 metros

c.o. = 2 metros

2 metros

16,4 metros

hip c.o.

c.a.

Como:

hip = 16,4 metros

c.o. = 2 metros

121219512195,04,16

2

hip

.o.csen

Obs.: quando dizemos que arcsen = 1/2 , podemos

transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco,

cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que = 30°.

Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:

sen = 0,121951219512, logo podemos encontrar o

ângulo , com o auxílio da calculadora que

normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então,

devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de

sua calculadora.

Se o processo foi realizado corretamente, deverá

ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos

considerar como aproximadamente 7°.

Encontramos assim, a inclinação da rampa!

2,49121219512195,0

6

7sen

6

sen

o.chip

sen

o.chip.o.chip.sen

hip

.o.csen

6 metros2 metros

16,4 metros

hip c.o.

c.a.

Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes,

portanto, podemos dizer que é válido para ambos

Como:

Chegamos a conclusão que o

comprimento total da rampa é 49,2 metros

Exemplo 2

Mecânica Geral

ou Trigonometria?

Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência

no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros

assuntos.

Observemos os exemplos a seguir:

Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde

F1 = 20N, F2 = 100N, F3 = 40N e F4 = 10N, você seria capaz de

determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo

que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?

Em prim eiro lugar, terem os que fazer as projeções de 2F nos eixos das abscissas e das

ordenadas, obtendo assim , respectivam ente os com ponentes )x(2F e )y(2F .

Analogam ente, encontrarem os as projeções de 3F , encontrando os com ponentes )x(3F e )y(3F .

A resu ltante re la tiva ao e ixo das abscissas )x(R

é obtida

da segu inte m aneira :

)x(31)x(2)x(FFFR

60cos.FFFF.60cosF

F60cos.

hip

a.ccos

45cos.FFFF.45cosF

F45cos.

hip

a.ccos

Como

3)x(3)x(33

3

)x(3

2)x(2)x(22

2

)x(2

N20F5,0.4060cos.FF

N70F70,0.10045cos.FFtotanPor

)x(33)x(3

)x(22)x(2

)x(31)x(2)x(FFFR

N70R

202070R

)x(

)x(

A resu ltante re la tiva ao e ixo das abscissas )y(R

é obtida

da segu inte m aneira :

)y(34)y(2)y(FFFR

60sen.FFFF.60senF

F60sen.

hip

o.csen

45sen.FFFF.45senF

F45sen.

hip

o.csen

Como

3)y(3)y(33

3

)y(3

2)y(2)y(22

2

)y(2

N4,34F86,0.4060sen.FF

N70F70,0.10045sen.FFtotanPor

)y(23)y(3

)y(22)y(2

)y(34)y(2)y(FFFR

N6,25R

4,341070R

)y(

)y(

Colocando )x(R e )y(

R , nos e ixos das abscissas e das

ordenadas, respectivam ente,

Percebem os que a figura form ada pe las forças é um

triângulo re tângulo, em que sua h ipotenusa é a Força

Resultante R , )x(R é o cateto ad jacente a e )y(

R o

cateto oposto a , então, va le o teorem a de P itágoras para

calcu larm os o va lor de R .

N53,74R

36,5555R

36,5555R

36,6554900R

6,2570R

RRR

cch

2

2

22

2

2

)y(

2

)x(

2

222

Para o cá lcu lo do ângulo , tem os:

3657,070

6,25

R

R

.a.c

.o.ctg

)x(

)y(

3657,0tg

Esse é o va lor da tangente do ângulo

Para calcu larm os o valor do ângulo ,

tem os que encontrar o arctg , então:

20

3657,0arctgarctg

C oncluím os então que a R esultante N53,74R e form a

um ângulo 20 com o e ixo x .

Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos

pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele

conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das

medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele

percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é

escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a

largura do tronco)

Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele

demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )7,13

Solução:

Resumidamente, temos o

triângulo ao lado que

representa nosso desafio.

)II(y.3h

y.60tghhy.60tgy

h

.a.c

.o.c60tg

)I()y20(.3

3h

)y20(.30tghh)y20(.30tg)y20(

h

.a.c

.o.c30tg

metros10y

y220yy320y.3)y20(

y.3.3)y20(.3y.3)y20(.3

3

y.3h)II()y20(.3

3h)I(

Igualando o h das equações ( I ) e (II)

Como

metros17h

10.7,1h

y.3h

30 metros

17 metros para

subir a árvore

17 metros para

descer da árvore

Agora com o valor das medidas temos condição de determinar

quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:

De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros

segundos20eutosmin5touutosmin333,5t

60

segundos320tsegundos320

2,0

64t

V

stst.V

t

sV

v = 0,2 m/s

Obrigado pela

participação de todos!!!

Prof. Luciano

Ribeiro