Traffic Flow (Conservation Law)

Model Skalar Arus Lalu Lintas

Septian Hertoto Mambrasar

Universitas Gadjah Mada

31 Maret 2015

Septian Hertoto Mambrasar (UGM) Conservation Laws : Traffic Flow 31 Maret 2015 1 / 19

Overview

1 Perumusan Model

2 Contoh Masalah

Perumusan Model

Misalkan ρ menyatakan kepadatan kendaraan di jalan raya (misal dalamkendaraan per kilometer).

Misalkan u menyatakan kecepatan kendaraan.

Dalam masalah ini ρ terbatas pada rentang tertentu, 0 ≤ ρ ≤ ρmax,dimana ρmax adalah nilai kepadatan kendaraan saat semua kendaraansaling bertumbukan (bumper to bumper) atau macet total.

Karena diasumsikan banyaknya kendaraan selalu tetap, maka kepadatandan kecepatan kendaraan saling berelasi dalam persamaan konservasi,yaitu

ρt + (ρu)x = 0. (1)

Untuk memperoleh hukum konservasi skalar atas ρ sendiri, diasumsikanu = u(ρ). Asumsi ini masuk akal karena saat di jalan raya, jika ke-padatan meningkat maka kecepatan kendaraan akan menurun, begitupula sebaliknya.

Perumusan Model

ρt + (ρu)x = 0. (1)

Perumusan Model

ρt + (ρu)x = 0. (1)

Perumusan Model

ρt + (ρu)x = 0. (1)

Perumusan Model

ρt + (ρu)x = 0. (1)

Perumusan Model

Misalkan umax adalah batas kecepatan maksimal di jalan raya, makarelasi linier antara kecepatan dan kepadatan kendaraan adalah

u(ρ) = umax

(1− ρ

). (2)

Pada saat ρ = 0 (jalan raya kosong) kecepatan kendaraan adalahumax, namun kecepatan akan berkurang menuju nol apabila kepadatanmeningkat menuju ρmax.

Dengan menggunakan persamaan (1), diperoleh

ρt + f(ρ)x = 0 (3)

dimanaf(ρ) = ρumax (1− ρ/ρmax) . (4)

Perumusan Model

Misalkan umax adalah batas kecepatan maksimal di jalan raya, makarelasi linier antara kecepatan dan kepadatan kendaraan adalah

u(ρ) = umax

(1− ρ

). (2)

Pada saat ρ = 0 (jalan raya kosong) kecepatan kendaraan adalahumax, namun kecepatan akan berkurang menuju nol apabila kepadatanmeningkat menuju ρmax.

Dengan menggunakan persamaan (1), diperoleh

ρt + f(ρ)x = 0 (3)

dimanaf(ρ) = ρumax (1− ρ/ρmax) . (4)

Perumusan Model

Kecepatan karakteristik untuk (3) dengan fluks (4) adalah

f ′(ρ) = umax

(1− 2ρ

). (5)

Kecepatan shock untuk lompatan dari ρl ke ρr adalah

s =[f ]

[ρ]=f(ρl)− f(ρr)

ρl − ρrdengan

f(ρl)− f(ρr) = ρlumax(1− ρl/ρmax)− ρlumax(1− ρl/ρmax)= umax(ρl − ρl2/ρmax)− umax(ρr − ρr2/ρmax)= umax(ρl − ρl2/ρmax − ρr + ρr

2/ρmax)

= umax((ρl − ρr)− (ρl2 − ρr2)/ρmax)

= umax(1− (ρl + ρr)/ρmax)(ρl − ρr)

Perumusan Model

Kecepatan karakteristik untuk (3) dengan fluks (4) adalah

f ′(ρ) = umax

(1− 2ρ

). (5)

Kecepatan shock untuk lompatan dari ρl ke ρr adalah

s =[f ]

[ρ]=f(ρl)− f(ρr)

ρl − ρrdengan

f(ρl)− f(ρr) = ρlumax(1− ρl/ρmax)− ρlumax(1− ρl/ρmax)= umax(ρl − ρl2/ρmax)− umax(ρr − ρr2/ρmax)= umax(ρl − ρl2/ρmax − ρr + ρr

2/ρmax)

= umax((ρl − ρr)− (ρl2 − ρr2)/ρmax)

= umax(1− (ρl + ρr)/ρmax)(ρl − ρr)

Perumusan Model

Rumus kecepatan shock untuk lompatan dari ρl ke ρr yaitu

s = umax

(1− (ρl + ρr)

). (6)

Kondisi entropi menyatakan bahwa suatu shock yang merambat harusmemenuhi f ′(ρl) > f ′(ρr).

f ′(ρl)− f ′(ρr) = umax(1− 2ρl/ρmax)− umax(1− 2ρr/ρmax)

= umax(−2ρl/ρmax + 2ρr/ρmax)

= 2umax(ρr − ρl)/ρmax

Relasi f ′(ρl) > f ′(ρr) dipenuhi hanya apabila ρl < ρr. Perhatikanbahwa kondisi ini merupakan kebalikan dari ketaksamaan pada per-samaan Burges, sebab pada masalah arus lalu lintas ini fungsi fluks fmerupakan fungsi konkaf.

Perumusan Model

Rumus kecepatan shock untuk lompatan dari ρl ke ρr yaitu

s = umax

(1− (ρl + ρr)

). (6)

Kondisi entropi menyatakan bahwa suatu shock yang merambat harusmemenuhi f ′(ρl) > f ′(ρr).

f ′(ρl)− f ′(ρr) = umax(1− 2ρl/ρmax)− umax(1− 2ρr/ρmax)

= umax(−2ρl/ρmax + 2ρr/ρmax)

= 2umax(ρr − ρl)/ρmax

Relasi f ′(ρl) > f ′(ρr) dipenuhi hanya apabila ρl < ρr. Perhatikanbahwa kondisi ini merupakan kebalikan dari ketaksamaan pada per-samaan Burges, sebab pada masalah arus lalu lintas ini fungsi fluks fmerupakan fungsi konkaf.

Contoh 1

Diberikan data awal

ρ(x, 0) =

{ρl x < 0ρr x > 0

dimana 0 < ρl < ρr < ρmax. Kecepatan shock diberikan seperti padapersamaan (6), yaitu

s = umax

(1− (ρl + ρr)

Perhatikan bahwa meskipun u(ρ) > 0, kecepatan shock s dapat bernilainegatif maupun positif bergantung pada ρl dan ρr.

Contoh 1

Perhatikan kasus untuk ρr = ρmax dan ρl < ρmax. Diperoleh s < 0dan shock menyebar ke kiri. Model pada kasus ini menyatakan situasi di-mana kendaraan-kendaraan bergerak dengan kecepatan ul > 0, kemudiansecara tiba-tiba mengalami kemacetan total dan menginjak rem, yaitu se-cara seketika mengurangi kecepatan sampai 0, dan kepadatan melompatdari ρl ke ρmax. Kediskontinuan terjadi pada shock, dan jelas bahwa lokasishock bergerak ke kiri seiring dengan bertambahnya mobil yang bergabungdalam kemacetan.

Secara khusus jika diambil ρl =12ρmax, maka ul =

12umax. Dalam kasus ini

f ′(ρl) = 0 . Untuk kasus ρl >12ρmax diperoleh f ′(ρl) < 0 dan semua kurva

karakteristiknya bergerak ke kiri, sedangkan untuk ρl <12ρmax didapat

f ′(ρl) > 0 dan semua kurva karakteristik di sebelah kiri shock bergerak kekanan.

Contoh 1

Untuk kasus ini kecepatan shock diberikan sebagai berikut

s = umax

12ρmax + ρmax

)= −umax

Dengan demikian penyelesaian untuk kasus ini adalah

ρ(x, t) =

{12ρmax x < −umax

2 tρmax x > −umax

Selanjutnya diketahui dxdt = u = umax

(1− ρ

)sehingga diperoleh

x(t) =

{12umaxt+ c1 x < −umaxt

2c2 x > −umaxt

dengan c1, c2 konstanta sembarang.

Contoh 1

Gambar 1: Gelombang shock kemacetan (trayektori kendaraan), denganρl =

12ρmax dan ρr = ρmax.

Contoh 1

Selanjutnya untuk mencari kurva-kurva karakteristik digunakan metode karak-teristik. Perhatikan bahwa untuk r < 0, didapat x = f ′(ρmax/2)t+ r = r.Kemudian untuk r > 0, didapat x = −umaxt + r. Jadi diperoleh kurva-kurva karakteristik

{r r < 0−umaxt+ r r > 0.

Gambar 2: Kurva-kurva karekteristik

Contoh 2

Diperhatikan kembali masalah Riemann dengan data dalam bentuk (7),namun sekarang dipilih 0 < ρr < ρl < ρmax sehingga solusinya merupakangelombang rarefaction.

Masalah ini memodelkan pergerakan kendaraan saat lampu lalu lintas ber-ubah menjadi hijau. Kendaraan di sebelah kiri mula-mula diam, namunpengendara dapat mulai mempercepat kendaraannya saat kendaraan di de-pannya mulai bergerak. Karena kecepatan berelasi dengan kepadatan dalampersamaan (2), tiap pengendara dapat meningkatkan kecepatan apabilajarak antara kendaraannya dan kendaraan di depannya melebar, dan denganbegitu kita dapat melihat percepatan dan berpencarnya kendaraan secaraberangsur-angsur. Sementara kendaraan bergerak melalui gelombang rar-efaction, kepadatan kendaraan berkurang.

Kita perhatikan kasus khusus untuk ρl = ρmax dan ρr =12ρmax.

Contoh 2

Dengan menggunakan metode karakteristik diperoleh

ρ(x, t) =

{ρmax x < −umaxt12ρmax x > 0

Kemudian untuk −umaxt < x < 0, solusi berupa gelombang rarefaction,yaitu ρ(x, t) = g−1(x/t) dimana g(v) = f ′(v). Didapat

g−1(x/t) = ρmax

(umax − x/t

)= ρmax

(umaxt− x2umaxt

sehingga diperoleh penyelesaian umum

ρ(x, t) =

ρmax x < −umaxtρmax

(umaxt−x2umaxt

)−umaxt < x < 0

12ρmax x > 0

Contoh 2

Seperti contoh sebelumnya karena dxdt = u = umax

(1− ρ

x(t) =

{c1 x < −umaxt12umaxt+ c2 x > 0.

dengan c1, c2 konstanta sembarang. Untuk −umaxt < x < 0,

dt=umax2

Fungsi x = umaxt merupakan salah satu solusi PD tersebut. Dengan de-mikian dapat kita tulis x(t) = umaxt+ y(t), dengan fungsi y memenuhi

Contoh 2

Dengan metode separasi variabel diperoleh y(t) = c√t, dengan c konstanta

sembarang. Dari sini diperoleh

x(t) = umaxt+ c√t.

Perhatikan bahwa gelombang kemacetan dengan kecepatan −umax akanmencapai kendaraan yang berjarak d di belakang lampu lalu lintas padawaktu td = d/umax. Hingga saat itu tiba, kendaraan hanya diam di x = −d,kemudian kendaraan akan berjalan. Untuk memperoleh konstanta c di atas,diselesaikan

x(td) = −d atau d+ c

umax= −d,

yaitu c = −2√umaxd, sehingga

x(t) = umaxt− 2√umaxdt.

Contoh 2

Secara umum trayektori kendaraan diberikan sebagai berikut

x(t) =

c1 x < −umaxtumaxt− 2

√umaxdt −umaxt < x < 0

12umaxt+ c2 x > 0.

Gambar 3: Gelombang rarefaction (trayektori kendaraan), dengan ρl = ρmax danρr = 1

2ρmax.

Contoh 2

Dari pencarian penyelesaian dengan menggunakan metode karakteristik se-belumnya diperoleh kurva-kurva karakteristik

{−umaxt+ r r < 0r r > 0,

dan kurva rarefaction fan x = wt, dengan −umax < w < 0.

Gambar 4: Kurva-kurva karekteristik

Referensi

Randall J. LeVeque (1992)

Numerical Methods for Conservation Laws

Stephen Childress (2005)

Notes on Traffic Flow

The End

Traffic Flow (Conservation Law)

Documents

Transcript of Traffic Flow (Conservation Law)