FSIMACS 2 Elements FinisInstitut Galilée Année 2008-2009

Travaux dirigés - 2 (Correction)

Exercice 4

Soient a ∈ R et b ∈ R tels que a < b. On considère le problème aux limites suivants : −u′′ + cu = f dans (a, b),

u′(a) + αau(a) = ga

u′(b) + αbu(b) = gb

(4.1)

avec f et c deux fonctions de ]a, b[ à valeurs réelles.

Q. 1 1. Etablir une formulation variationnelle associée au problème (4.1).

2. Donner les conditions pour avoir existence et unicité de la solution de cette formulation variationnelle.

3. Ecrire la formulation variationnelle discrétisée associée dans le cadre d'une résolution par la méthoded'éléments �nis de Lagrange de degré 1.

4. Montrer qu'il est équivalent à la résolution d'un système linéaire dont on précisera la dimension et quel'on explicitera.

5. Expliquer comment, à partir desM et R de l'exercice 1, obtenir un système linéaire équivalent de dimen-sion N + 2.

Q. 2 (Algorithmique) Ecrire un algorithme permettant de résoudre le problème variationnel précédent parune méthode d'éléments �nis de Lagrange de degré 1. On utilisera, entre autres, les fonctions AssembleM,AssembleR de l'exercice 1 et la fonction x←Solve(A, b) qui retourne x solution du système linéaire Ax = b,

Correction Q.1-1Pour obtenir une formulation variationnelle associée au problème (4.1), on multiplie par une fonction test

quelconque v su�sament régulière et on intègre sur [a; b]. On suppose, bien sûr, que les fonctions u, m, c et fsu�sament régulières pour que les intégrales soient bien dé�nies et que l'on puisse utiliser la formule d'intégrationpar partie (i.e. formule de Green), c'est à dire u ∈ H2(a; b), v ∈ H1(a; b), c ∈ L∞(a; b) et f ∈ L2(a; b). Onobtient donc

−∫ b

a

u′′(x)v(x)dx+∫ b

a

c(x)u(x)v(x)dx =∫ b

a

f(x)v(x)dx

On e�ectue ensuite une intégration par partie entre u′′ et v pour obtenir∫ b

a

u′(x)v′(x)dx− [u′(x)v(x)]ba +∫ b

a

c(x)u(x)v(x)dx =∫ b

a

f(x)v(x)dx

La condition aux limites en a donne u′(a) = ga − αau(a) et celle en b, u′(b) = gb − αbu(b). On a alors∫ b

a

u′(x)v′(x)dx+∫ b

a

c(x)u(x)v(x)dx+ αbu(b)v(b)− αau(a)v(a) =∫ b

a

f(x)v(x)dx+ gbv(b)− gav(a)

On remarque alors que, dans cette dernière équation, il est possible d'abaisser la régularité sur u. En e�et, pourque ces intégrales soient bien dé�nies, il su�t d'avoir u ∈ H1(a; b). Une formulation variationnelle s'écrit alorssous la forme {

Trouver u ∈ V, tel queA(u, v) = L(v), ∀v ∈ V. (4.2)

avec V = H1(a; b),

A(u, v) =∫ b

a

u′(x)v′(x)dx+∫ b

a

c(x)u(x)v(x)dx+ αbu(b)v(b)− αau(a)v(a) (4.3)

1

et

L(v) =∫ b

a

f(x)v(x)dx+ gbv(b)− gav(a). (4.4)

Correction Q.1-2Pour démontrer l'existence et l'unicité de la solution de la formulation variationnelle 4.2, nous allons utiliser

le théorème de Lax-Milgram. Pour celà véri�ons ses hypothèses :

1. V = H1(a; b) est un espace de Hilbert !

2. L'application L : H1(a; b) → R est linéaire par linéarité de l'intégrale et des applications traces γa et γb

dé�nies de H1(a; b) à valeurs dans R (voir TD 1).

3. Pour montrer que l'application linéaire L est continue il su�t de montrer qu'il existe C > 0 telle que

|L(v)| ≤ C ‖v‖H1(a;b) , ∀v ∈ H1(a; b).

En e�et, nous avons

|L(v)| ≤

∣∣∣∣∣∫ b

a

f(x)v(x)dx

∣∣∣∣∣+ |gbγb(v)|+ |gaγa(v)|.

Par hypothèse, f ∈ L2(a; b) et v ∈ H1(a; b) ⊂ L2(a; b), nous pouvons donc utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans L2(a; b) pour obtenir∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(x)v(x)dx

∣∣∣∣∣ ≤ ‖f‖L2(a;b) ‖v‖L2(a;b) ≤ ‖f‖L2(a;b) ‖v‖H1(a;b) .

Comme |γb(v)| ≤ Cb ‖v‖H1(a;b) et |γa(v)| ≤ Ca ‖v‖H1(a;b) (Ca et Cb sont les constantes de continuité des

applications linéaires γa et γb), on a alors

|L(v)| ≤ C ‖v‖H1(a;b) , ∀v ∈ H1(a; b)

avec C = ‖f‖L2(a;b) + Ca|ga|+ Cb|gb| > 0.

4. L'application A : H1(a; b)×H1(a; b)→ R est bilinéaire. En e�et, par linéarité de l'intégrale, des applica-tions traces et de l'opérateur de dérivation, nous avons ∀(λ, µ) ∈ R2, ∀(u, v, w) ∈ (H1(a; b))3

A(λu+ µw, v) = λA(u, v) + µA(w, v) et A(u, λv + µw) = λA(u, v) + µA(u,w).

5. Pour montrer que l'application bilinéaire A est continue il su�t de montrer qu'il existe CA > 0 telle que

|A(u, v)| ≤ CA ‖u‖H1(a;b) ‖v‖H1(a;b) , ∀(u, v) ∈ (H1(a; b))2.

En e�et, nous avons

|A(u, v)| ≤

∣∣∣∣∣∫ b

a

u′(x)v′(x)dx

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∫ b

a

c(x)u(x)v(x)dx

∣∣∣∣∣+ |αb||γb(u)||γb(v)|+ |αa||γa(u)||γa(v)|.

Or u′ ∈ L2(a; b) et v′ ∈ L2(a; b), on peut donc appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans L2(a; b) pourobtenir ∣∣∣∣∣

∫ b

a

u′(x)v′(x)dx

∣∣∣∣∣ ≤ ‖u′‖L2(a;b) ‖v′‖L2(a;b) ≤ ‖u‖H1(a;b) ‖v‖H1(a;b) .

De plus, c ∈ L∞(a; b), u ∈ L2(a; b) et v ∈ L2(a; b). Le théorème de Holder, avec u et v, nous donne alorsuv ∈ L1(a; b) et

‖uv‖L1(a;b) ≤ ‖u‖L2(a;b) ‖v‖L2(a;b) .

Une nouvelle application du théorème de Holder avec uv ∈ L1(a; b) et c ∈ L∞(a; b) permet d'obtenircuv ∈ L1(a; b) et∣∣∣∣∣

∫ b

a

c(x)u(x)v(x)dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|c(x)u(x)v(x)|dx = ‖cuv‖L1(a;b) = ‖c‖L∞(a;b) ‖uv‖L1(a;b)

2

Nous avons donc∣∣∣∣∣∫ b

a

c(x)u(x)v(x)dx

∣∣∣∣∣ ≤ ‖c‖L∞(a;b) ‖u‖L2(a;b) ‖v‖L2(a;b) ≤ ‖c‖L∞(a;b) ‖u‖H1(a;b) ‖v‖H1(a;b) .

En utilisant la continuité des applications linéaires γa et γb nous obtenons

|A(u, v)| ≤ CA ‖u‖H1(a;b) ‖v‖H1(a;b) .

avec CA = 1 + ‖c‖L∞(a;b) + |αa|C2a + |αb|C2

b > 0.6. Dernier point à véri�er : la coercivité. Il faut montrer qu'il existe une constante ν > 0 telle que

A(u, u) ≥ ν ‖u‖2H1(a;b) , ∀u ∈ H1(a; b).

Nous avons

A(u, u) =∫ b

a

(u′(x))2dx+∫ b

a

c(x)u2(x)dx+ αbu2(b)− αau

2(a).

Il faut noter qu'ici l'inégalité de Poincarré n'est pas utilisable ! Nous travaillons sur H1(a; b). Pour faireapparaitre la norme H1(a; b) de u, il va falloir conserver un bout de

∫ b

ac(x)u2(x)dx : on ne doit pas

supposer brutalement c(x) ≥ 0 et supprimer le terme en minorant ! On prend donc comme hypothèse qu'ilexiste une constante µ > 0 telle que c(x) ≥ µ > 0. Ensuite, il su�t de prendre αb ≥ 0 et αa ≤ 0 pourobtenir

A(u, u) ≥ ‖u′‖2L2(a;b) + µ ‖u‖2L2(a;b) ≥ min(1, µ)(‖u′‖2L2(a;b) + ‖u‖2L2(a;b)) ≥ ν ‖u‖2H1(a;b)

avec ν = min(1, µ) > 0.Sous les hypothèses f ∈ L2(a; b), c ∈ L∞(a; b) strictement positive (i.e. ∃µ > 0, ∀x ∈ [a; b], c(x) ≥ µ > 0 ),αb ≥ 0 et αa ≤ 0 alors la formulation variationnelle admet une unique solution !

Correction Q.1-3 On introduit un maillage τh de l'intervalle [a; b] en N +1 sous-intervalles Ik = [xk;xk+1]de longueur hk = xk+1 − xk, pour k ∈ {0, . . . , N}, avec a = x0 < x1 < . . . < xN < xN+1 = b.

L'espace des éléments de Lagrange de degré r ≥ 1, noté Xrh, est dé�ni par

Xrh = {vh ∈ C0([a; b]) telles que vh|[xj ;xj+1] ∈ Pr, j = 0, . . . , N} (4.5)

où Pr est l'ensemble des polynômes à coe�cients réels de degré inférieur ou égal à r.On note Vh = X1

h∩H1(a; b). Nous avons vu que, muni du produit scalaire de H1(a; b) et de la norme induite,Vh est un espace de Hilbert. Il est de dimension N + 2 et les fonctions (ϕi)i∈{0,...,N+1} de X

1h dé�nies par

ϕi(xj) = δij ,∀i, j ∈ {0, . . . , N + 1}

forment une base de X1h. On a alors

∀vh ∈ X1h, ∀x ∈ [a; b], vh(x) =

N+1∑j=0

vh(xi)ϕi(x)

La formulation variationnelle discrétisée est donnée par{Trouver uh ∈ Vh, tel queA(uh, vh) = L(vh), ∀vh ∈ Vh.

(4.6)

Nous pouvons montrer (mais ce n'est pas demandé) que cette formulation variationnelle admet une uniquesolution.

Correction Q.1-4 Nous nous ramenons tout d'abord à un nombre �ni d'équations La formulation varia-tionnelle (4.6) est équivalente à {

Trouver uh ∈ Vh, tel queA(uh, ϕi) = L(ϕi), ∀i ∈ {0, . . . , N + 1} (4.7)

3

En e�et (4.6) ⇒ (4.7) est évident puisque ϕi ∈ Vh.

Montrons que (4.7) ⇒ (4.6). Soit vh ∈ Vh quelconque, alors vh(x) =N+1∑j=0

vh(xi)ϕi(x). En multipliant les N + 2

équations de (4.6) par vh(xi) ∈ R et en les sommant nous obtenons

N+1∑i=0

vh(xi)A(uh, ϕi) =N+1∑i=0

vh(xi)L(ϕi).

En utilisant la bilinéarité de A (linéarité par rapport à la deuxième variable) et la linéarité de L, nous avons

A(uh,

N+1∑i=0

vh(xi)ϕi) = L(N+1∑i=0

vh(xi)ϕi)

c'est à dire A(uh, vh) = L(vh) et ceci pour tout vh ∈ Vh.

Nous pouvons maintenant décomposer uh ∈ Vh : uh =N+1∑j=0

uh(xj)ϕj . et nous notons UUU ∈ RN+2 le vecteur

dé�nie par UUU j = uh(xj−1), ∀j ∈ {1, . . . , N + 2} Nous avons donc

uh =N+1∑j=0

UUU j+1ϕj

et, avec ces notations, la formulation (4.7) est équivalente àTrouver UUU ∈ RN+2, tel que

A(N+1∑j=0

UUU j+1ϕj , ϕi) = L(ϕi), ∀i ∈ {0, . . . , N + 1} (4.8)

En utilisant la bilinéarité de A (linéarité par rapport à la première variable), nous obtenons l'écriture équivalenteTrouver UUU ∈ RN+2, tel que

N+1∑j=0

UUU j+1A(ϕj , ϕi) = L(ϕi), ∀i ∈ {0, . . . , N + 1} (4.9)

Nous aboutissons donc à la résolution du système linéaire d'ordre N + 2{Trouver UUU ∈ RN+2, tel que

AUUU = bbb(4.10)

avec ∀(i, j) ∈ {0, . . . , N + 1}2Ai+1,j+1 = A(ϕj , ϕi) et bbbi+1 = L(ϕi).

Correction Q.1-5 En supposant c constante, nous avons

A(ϕj , ϕi) =∫ b

a

ϕ′j(x)ϕ′i(x)dx+ c

∫ b

a

ϕj(x)ϕi(x)dx+ αbϕj(b)ϕi(b)− αaϕj(a)ϕi(a), ∀(i, j) ∈ {0, . . . , N + 1}2

c'est à dire matriciellementA = R+ cM+ C

avec C matrice d'ordre N + 2 dé�nie par C1,1 = −αa

CN+2,N+2 = αb

Ci,j = 0, sinon .

4

Pour le vecteur second membre bbb, nous avons ∀i ∈ {0, . . . , N + 1}

bbbi+1 = L(ϕi) =∫ b

a

f(x)ϕi(x)dx+ gbϕi(b)− gaϕi(a).

On peut, par exemple, approcher f par la fonction de Vh :

f ≈ fh =N+1∑j=0

f(xj)ϕj .

Dans ce cas, nous obtenons en utilisant la linéarité de l'intégrale∫ b

a

f(x)ϕi(x)dx ≈N+1∑j=0

f(xj)∫ b

a

ϕj(x)ϕi(x)dx.

En notant FFF ∈ RN+2 le vecteur dé�ni par FFF i+1 = f(xi), ∀i ∈ {0, . . . , N + 1}, nous en déduisons l'écriturematricielle suivante

bbb =MFFF +

−ga

0...0gb

.

5

Correction Q.2 On suppose ici c constante.

Données : (a, b) ∈ R2 : bornes de l'intervalle a < bf ∈ L2(a; b) : fonction second membrec ∈ R : constante de l'EDPga, αa réels : condition de Robin en agb, αb réels : condition de Robin en bN ∈ N∗ : nombre de discrétisation de l'intervalle [a; b]

Résultat : UUU ∈ RN+2 : vecteur solution, tel que

uh(x) =N+1∑i=0

UUU i+1ϕi.

1: X ←Maillage(a, b,N, eps) . Génération du maillage2: H ← Longueurs(X) . Longueurs des intervalles3: F ← CalculFonction(f,X) . Evalue la fonction au noeud du maillage4: M← AssembleM(H)5: R ← AssembleR(H)6: A← R+ c ∗M7: bbb←M∗FFF8: A(1, 1)← A(1, 1)− αa . Prise en compte des conditions de Robin en a9: bbb(1)← bbb(1)− ga

10: A(N + 2, N + 2)← A(N + 2, N + 2) + αb . Prise en compte des conditions de Robin en b11: bbb(N + 2)← bbb(N + 2) + gb

12: UUU ← Solve(A, bbb) . Resolution du système linéaire

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