Todo Junto - 25

Espacios Lineales

Jos D. Edelstein

Universidade de Santiago de Compostela

FSICA MATEMTICASantiago de Compostela, febrero de 2011

Espacios vectoriales. Espacios normados. Espacios de Hilbert.

Jos D. Edelstein (USC) Tema I: Espacios Lineales feb-2011 1 / 37

Espacio vectorial o lineal

Un espacio vectorial sobre un cuerpo := {a,b, . . .}, es la terna formada porun conjunto no vaco, V := {|x, |y, . . .},una aplicacin suma, + : V V V yy una aplicacin producto externo, : V V ,

que satisfacen las siguientes propiedades:

asociatividad: |x+ (|y+ |z) = (|x+ |y) + |z,conmutatividad: |x+ |y = |y+ |x,elemento neutro: |x+ |0 = |0+ |x = |x,elemento opuesto: |x+ |x = |0,composicin: a (b |x) = (a b) |x,distributividad en V: a (|x+ |y) = a |x+ a |y,distributividad en : (a + b) |x = a |x+ b |x,elemento neutro: 1 |x = |x.


Independencia y dimensin lineales

A los elementos {|x, |y, . . .} de V se les llama vectores, mientras que a los{a,b, . . .} se les denomina escalares.Si R, diremos que V es un espacio vectorial real, mientras que si C,hablaremos de un espacio vectorial complejo.

Un subconjunto de n vectores, Xn := {|x1, . . . , |xn} V , se dice linealmenteindependiente, si

a1 |x1+ . . .+ an |xn = |0 a1 = . . . = an = 0 .

Si no, decimos que Xn es un conjunto de vectores linealmente dependientes.

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo . Si V contiene un conjunto de dvectores linealmente independientes, y cualquier otro de d + 1 vectores eslinealmente dependiente, decimos que

dim V = d .

la dimensin lineal de V es d .Jos D. Edelstein (USC) Tema I: Espacios Lineales feb-2011 3 / 37

Base lineal

Se denomina cardinalidad de un conjunto al nmero de elementos del mismo.

Si no hay lmite para el cardinal de un conjunto linealmente independiente,decimos que V tiene dimensin lineal infinita.

Decimos que un subconjunto Bd V , forma una base lineal o de Hamel deV , cuando es linealmente independiente y maximal (i.e., no est contenido enningn otro subconjunto linealmente independiente de V ).

La dimensionalidad depende del cuerpo sobre el que est construido elespacio vectorial V .

Por ejemplo, si d

Dimensin infinita y cardinalidad

En el caso de dimensin infinita, podemos afinar un poco ms, y comparar Vcon algunos conjuntos conocidos de cardinalidad infinita, como los naturalesN, cuya cardinalidad coincide con la de los racionales Q, o los reales R, cuyacardinalidad coincide con la de los complejos C.

La cardinalidad de N se denomina 0 (Georg Cantor, 1874).Un conjunto es numerable cuando su cardinalidad coincide con la de N; i.e.,es posible establecer una aplicacin uno a uno entre ambos conjuntos.

E.g., q Q, q = r/s, siendo r , s N primos relativos, podemos definir

iQ : Q N N , iQ(q) = (r , s) , MCD(r , s) = 1 .

Como N Q, card(N) card(Q) card(N N) = card(N); por lo tanto,card(Q) = card(N) = 0.Sin embargo R no es numerable y decimos que su potencia es superior a lade Q. La cardinalidad de R se denota 1.


Ejemplos

La recta real, x R, con la operacin usual de adicin x + y = z, ymultiplicacin por nmeros reales a x = y , es un espacio vectorial,x |x. El espacio vectorial y el cuerpo coinciden, V = = R.El espacio vectorial R3, dado por el conjunto de los triples ordenados denmeros reales, |x = (x1, x2, x3). La generalizacin de este caso a uncuerpo y dimensin arbitrarios se denomina producto cartesiano, n.Una base est dada por B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.N, consta detuplas, |a = (a1,a2, . . .), con ai . Tiene dimensininfinita, |a+ |b = (a1 + b1,a2 + b2, . . .) y |a = (a1, a2, . . .).MN, consta de matrices infinitas, |M = {M i j , i , j N}.Cn(R) funciones continuas de variable real n veces derivables. f (x) |fcon x R y f (n)

Subespacios vectoriales

Un subespacio de un espacio vectorial, es un subconjunto W V , que a suvez es un espacio vectorial.

Llamamos propio a un subespacio de dimensin estrictamente menor que ladel espacio en el que est contenido.

Dado un subconjunto Xp V , llamamos variedad o envolvente lineal, lin(Xp),al mnimo subespacio vectorial que contiene a Xp.

Una consecuencia inmediata es que (eliminamos la notacin |x por |x)

lin(Xp) = {|x V / |x = a1 |x1+ . . .+ ap |xp} .

El adjetivo lineal lleva implcita la idea de que se trata de sumas de un nmerofinito de trminos, independientemente de que el conjunto Xp sea finito o no.

E.g. Sea X = {1, t , t2, . . . , tn, . . .} C([0,1]), lin(X ), es el espacio vectorialde polinomios en la variable t .

La funcin et , por ejemplo, no pertenece a lin(X ).


Suma directa de espacios vectoriales

Proposicin: Si B es una base de V , entonces V = lin(B). Dicho de otramanera, la descomposicin

|x =n

i=1

ai |xi |x V ,

existe y es nica.

Demostracin: Sea B una base de V . Supongamos que existe un elemento|x V tal que |x 6 lin(B). Entonces podramos ampliar B a B = {B, |x},que sera linealmente independiente y mayor que B, pero B es maximal.La unicidad se deja como un ejercicio trivial.

Decimos que un espacio V es la suma lineal de dos subespacios V1 y V2,V = V1 V2, cuando todo elemento |x V puede ser escrito en forma nicacomo |x = |x1+ |x2 donde |x1 V1 y |x2 V2.Esta definicin se generaliza trivialmente a la suma directa de variosespacios o subespacios vectoriales, V = V1 . . . Vn.


Espacio mtrico

Un espacio mtrico es un par (X ,d), dado por un conjunto de elementos, X ,y una nocin de distancia entre ellos;

es decir, una funcin, d , definida sobre pares ordenados, |x, |y X , tal quese verifican las propiedades siguientes:

simetra: d(|x, |y) = d(|y, |x),

auto-distancia nula: d(|x, |x) = 0,

positividad: d(|x, |y) > 0 si |x 6= |y,

desigualdad triangular: d(|x, |y) d(|x, |z) + d(|z, |y) |x, |y, |z X .


Espacio normado

Un espacio vectorial V sobre , se dice que es normado cuando existe unaaplicacin (norma),

|| || : |x V |||x|| R , tal que |x, |y V y a ,se verifican las siguientes propiedades:

positividad: |||x|| 0,

unicidad de la norma del cero: |||x|| = 0 |x = |0,

homogeneidad: ||a |x|| = |a | |||x||,

desigualdad triangular o de Minkowski: |||x+ |y|| |||x||+ |||y||.

Cuando queramos hacer referencia explcita a la norma, escribiremos para unespacio normado, (V , || ||). Todo espacio normado es un espacio mtrico, enel que la distancia viene definida por la norma:

d(|x, |y) = |||x |y|| .


Es importante destacar la diferencia entre norma y distancia. La definicin denorma requiere un V , mientras que se puede definir una distancia sobre unconjunto arbitrario.

An en el contexto de espacios vectoriales, una norma define una distanciapero lo contrario no es cierto en general.

Ejemplos:

n(Rn Cn) es un espacio lineal normado con la norma eucldea || ||p,

|||x||p = ||(a1, . . . ,an)||p := n

j=1

|aj |p1/p .

El espacio Mm de matrices m m cuyos elementos toman valores en ,puede dotarse de una norma,

|||M||p := m

i=1

mj=1

|M i j |p1/p .


Sobre N construimos los siguientes subespacios lineales normados

p := {|x = (a1,a2, . . .) N / |||x||p :=

j=1

|aj |p1/p

Convergencia: vecindad y punto de adherencia

C(K ) admite otras estructuras normadas, como por ejemplo (C(K ), || ||p),

|||f||p

K|f (x)|pdx

1/p .Si relajamos el requisito de continuidad en el ejemplo anterior, llegamosal espacio vectorial normado, Lp(K ), de funciones f que verifican

||f ||p

K|f |pdx

1/p 0, |z M talque |z O(|x) (cualquier vecindad suya contiene al menos un punto de M).


Cerrados, densos y separables

Si |x M, trivialmente es un punto de adherencia. Pero adems existenpuntos de adherencia en V que no pertenecen a M.

Por ejemplo, sea V = R y M = [0,1); el punto 1 es de adherencia.

El conjunto formado por la unin de M con todos sus puntos de adherenciase denomina clausura de M y se denota con M.

Decimos que M V es cerrado, si coincide con su clausura, M = M.Sean M,N V . Decimos que M es denso en N cuando N M.M V se dice que es siempre denso en V , cuando M = V .Un espacio normado (V , || ||) se dice que es separable, cuando existe unsubconjunto numerable, siempre denso en V .

El ejemplo clsico de subconjunto siempre denso en R es Q. Dado que Q es,adems, un conjunto numerable, R es un espacio normado separable.


Sucesin convergente y series en espacios normados

Se dice que una sucesin {|xn}1 V converge (fuertemente) a |x0 V ,simblicamente |xn |x0, si

limn |||xn |x0|| 0 .

Decimos que |x0 es el lmite de la sucesin.Lema: Dado un subconjunto M V y un vector |x V , |x es un punto deadherencia de M, si y slo si {|xn}1 M, tal que |xn |x.Sean |vi (V , || ||). Se dice que la serie

i=1 |vi converge hacia |v V , si

la sucesin de sumas parciales

|sn =n

i=1

|viconverge a |v.La operacin

i=1 para |vi es posible porque en V hay una norma definida

( se puede definir en trminos de la distancia a cualquier elemento de V ).Jos D. Edelstein (USC) Tema I: Espacios Lineales feb-2011 15 / 37

Sucesin de Cauchy

{|yn}1 V es una sucesin de Cauchy (o fundamental), si

limn,m |||yn |ym|| 0 ,

es decir, si > 0, N > 0 tal que |||yn |ym|| < , n,m > N.Proposicin: Toda sucesin convergente en (V , || ||) es de Cauchy.Demostracin: Se deduce de la desigualdad triangular,

|||xn |xm|| |||xn |x0||+ |||x0 |xm|| 0 .

Sin embargo, no toda sucesin de Cauchy es convergente. Por ejemplo,{|yn}1 :=

(1 + 1n

)n Q es de Cauchy, perolim

n |yn = e / Q .

Resulta til identificar aquellos espacios en los que se pueda asegurar laconvergencia de sucesiones de Cauchy.


Espacio completo

Un espacio normado, (V , || ||), se dice que es completo en la norma asociadao de Banach, cuando toda sucesin de Cauchy es tambin convergente en V .

La relacin entre completo y cerrado puede llevar a confusin.

Un subconjunto no vaco, M (V , || ||), es completo, si toda sucesin deCauchy {|xn}1 M converge en M.Proposicin: Si (V , || ||) es completo y M (V , || ||) es no vaco, entonces:M completo M cerrado.Demostracin:[] Si {|xn} M V , tal que |xn |y V (es completo), entonces por unlado {|xn} es de Cauchy y por otro est en M.Luego si M es completo la sucesin converge en M, luego M es cerrado.

[] Dado M cerrado, si {|xn} M es de Cauchy, debe converger en V (yaque es completo) hacia |y M, pero M = M, luego M es completo.


Ejemplos

Q es el ejemplo clsico de conjunto no completo en la norma eucldea,|| ||2. Rn y Cn son completos y separables en la misma norma.Sea V un espacio vectorial real (complejo) de dimensin finita. Hay unisomorfismo entre este espacio y Rn (Cn), que asocia a cada vector consus componentes en una determinada base.

En virtud de la completitud de Rn (Cn), cualquier espacio vectorial dedimensin finita sobre R (C) es automticamente completo y separable.

Sea (C[0,1], || ||). El subconjunto P de polinomios en t [0,1] es, a suvez, un subespacio lineal normado.

El teorema de Weierstrass asegura que |f C[0,1], existe algunasucesin de polinomios, {|Pn}1 |f en || ||

(P, || ||) no es completo y (C[0,1], || ||) s lo es.p es completo.

Lp[a,b] es completo.


Complecin

Sea V normado. El espacio normado V se denomina complecin de V si:

V es un subespacio de V .

V es siempre denso en V , es decir V = V .

Dos V1 y V2 se dice que son isomorfos en norma, si un isomorfismo linealT : V1 V2 isomtrico: |||Tx||V2 = |||x||V1 , |x V1.Teorema: Todo V normado admite una nica (salvo isomorfismos en norma)complecin V en un espacio normado y completo.

Demostracin: Se aaden a V clases de equivalencia de sucesiones deCauchy sin lmite en V . La estructura lineal normada se extiende a V porcontinuidad. Ejemplos:

R es la complecin de Q.

(C[0,1], || ||) es la complecin de (P[0,1], || ||).Lp[a,b] es la complecin de C[a,b] en la norma || ||p.


Espacios lineales con producto escalar

La norma permite asociar un nmero positivo a cada |x V .Con el producto escalar podemos generalizar conceptos como ngulos,proyecciones o perpendicularidad, propios de la geometra eucldea clsica.

El producto escalar sobre V es una aplicacin (, ) : V V , que cumple:positividad: (|x, |x) 0 y (|x, |x) = 0 |x = 0,linealidad: (|x, |y+ |z) = (|x, |y) + (|x, |z),homogeneidad: (|x,a |y) = a (|x, |y),hermiticidad: (|x, |y) = (|y, |x).

Espacio con producto escalar es el par (V , (, )). Se dice que |v, |w V sonortogonales, |v |w, si

(|v, |w) = 0 .Se dice que S = {|v}J V es ortogonal cuando todos sus elementos loson de a pares. Si adems (|v, |v)J = 1, S se denomina ortonormal.


Norma inducida por un producto escalar

Dos conjuntos de vectores S1,S2 (V , (, )) son mtuamente ortogonales,S1S2, cuando

(|v1, |v2) = 0 , |v1 S1, |v2 S2 .Se sigue inmediatamente de las propiedades de linealidad del productoescalar que lin(S1) lin(S2) S1S2.En (V , (, )), la aplicacin |x |||x|| (|x, |x) define una norma.Teorema (de Pitgoras generalizado): Si S = {|v}J es un subconjuntoortonormal finito en (V , (, )), entonces |v V se cumple que

|||v||2 =J|(|v, |v)|2 + |||v

J

(|v, |v) |v||2 .

Demostracin: Sea |d = |v J

(|v, |v) |v, es fcil ver |v d |d.

Entonces:

|||v||2 = (|v, |v) = ((|v d) + |d, (|v d) + |d) = |||v d||2 + |||d||2 .


Desigualdades

Corolario (Desigualdad finita de Bessel): Si {|v}J es un subconjuntoortonormal finito de (V , (, )), se tiene que

|||v||2 J|(|v, |v)|2 , |v V .

Desigualdad de Schwarz: |x, |y V |(|x, |y)| |||x|| |||y||. Cuandose satura la desigualdad, |x = |y para algn .Demostracin: Sean |x, |y 6= 0. Tomando el subconjunto ortonormal finitodado por un elemento {|y/|||y||}, y usando la desigualdad de Bessel,

|||x|| |(|x, |y/|||y||)| = 1|||y|| |(|x, |y)| .

Desigualdad triangular o de Minkowski: Dados |v, |w V ,|||v+ |w||2 = |||v||2 + |||w||2 + 2 Re(|v, |w) |||v||2 + |||w||2 + 2|(|v, |w)|

|||v||2 + |||w||2 + 2|||v|| |||w|| = (|||v||+ |||w||)2 .


Ejemplos

n admite una estructura de espacio con producto escalar:

(|v, |w) n

j=1

a?j bj , |v = (a1, . . . ,an) , |w = (b1, . . . ,bn) .

2 admite el producto escalar:

(|v, |w) N

a? b , |v = {a}N , |w = {b}N .

p es normado pero 6 (, ) que induzca la norma asociada, para p 6= 2.C(K ), con K R compacto, admite el producto escalar:

(|f, |g)

Kf (x)? g(x) dx .

L2(R) con producto escalar (anlogamente para L2[a,b]):

(|f, |g) R

f (x)? g(x) dx .


Convergencia dbil

Definicin: Sea {|xn}1 una sucesin en (V , (, )). Decimos que convergedbilmente a |x, {|xn}1 |x si

(|y, |xn) (|y, |x) |y V .

Teorema: Convergencia fuerte implica convergencia dbil. Es decir:

{|xn}1 |x = {|xn}1 x .

Demostracin: Para todo |y V ,

|(|y, |xn) (|y, |x)| = |(|y, |xn |x)| |||y|| |||xn |x|| 0 .

La implicacin inversa no ocurre necesariamente.

Recordemos que todo espacio normado admite una nica extensin a unespacio completo. Un espacio vectorial con producto escalar induce unanorma nica, y por tanto, tambin admite una nica complecin.


Espacios de Hilbert

Un espacio de Hilbert, H, es un par (V , (, )) completo en la norma asociada.Ejemplos:

Rn, Cn y MN son espacios de Hilbert.

2 y M son espacios de Hilbert.

L2(Rn) y L2[a,b] son espacios de Hilbert.

Sea M un subconjunto de un espacio de Hilbert H. Llamamos complementoortogonal de M en H, M, a

M {|v H / |vM} (M := HM) .

Teorema fundamental de la proyeccin ortogonal: Si M es un subespaciolineal cerrado de H, entonces |v H,

|v = |v1+ |v2 con |v1 M , |v2 M ,

y tal descomposicin es nica. |v1 es la proyeccin ortogonal de |v sobre M.Jos D. Edelstein (USC) Tema I: Espacios Lineales feb-2011 25 / 37

Bases de un espacio de Hilbert

Sean dos subespacios lineales cerrados M,N H, diremos que H es sumadirecta ortogonal de ellos, H = M N, si H = M ~N (suma directa) y MN.El teorema anterior afirma que M H cerrado, H = M M.

Sea S := {|f}I , donde I es un conjunto finito o infinito de ndices. S esbase de H si es maximal, i.e., no es subconjunto propio de ningn conjuntolinalmente independiente de H.En un espacio de Hilbert, podemos formar la matriz de productos escalaresde los elementos de una base

g = (|f, |f) , I .

Un conjunto ortonormal de vectores S = {|e} es una base ortonormal de Hsi es maximal.

La matriz de productos escalares elementales es la delta de Kronecker,

(|e, |e) = .Jos D. Edelstein (USC) Tema I: Espacios Lineales feb-2011 26 / 37

Teorema de Gramm-Schmidt

Teorema de Gramm-Schmidt: Sea {|vj}jJ H un conjunto linealmenteindependiente con J finito ({1,2, . . . ,n}) o infinito numerable (N). Entonces {|uj}jJ ortonormal tal que lin({|vj}jJ) = lin({|uj}jJ).Demostracin: Por construccin explcita del modo siguiente:

|w1 := |v1 |u1 := |w1|||w1|| |w2 := |v2 (|u1, |v2) |u1

|u2 := |w2|||w2|| |wm := |vm m1k=1

(|uk , |vm) |uk

|um |wm|||wm||

El nuevo conjunto es ortogonal por construccin.

|wm no se anula en virtud de la supuesta independencia lineal de {|vj}jJ .Es evidente que las variedades lineales generadas son las mismas.


Componentes covariantes y criterio de convergencia

Dada una base ortonormal, S = {|e}I , de H, todo |v H puedeexpresarse como combinacin lineal finita o infinita

|v =I

v|e .

Los coeficientes v pueden recuperarse calculando la proyeccin del vectorsobre el elemento de la base deseado,

v = (|e, |v) ,y reciben el nombre de componentes covariantes de |v en la base S.Lema: Sea {|ej}j=1 un conjunto ortonormal de H. Entonces:

j=1

vj |ej converge en H j=1

|vj |2 converge en R .

Teorema de existencia de bases ortonormales: Todo espacio de HilbertH 6= {} posee alguna base ortonormal.


Caracterizacin de bases ortonormales

Teorema de caracterizacin de bases ortonormales: Sea S = {|e}Iun conjunto ortonormal numerable de H y v := (|e, |v). Las siguientesproposiciones son equivalentes:

S es base ortonormal de H.

lin S = H.

Si |v |e, I |v = |0. Es decir, S = {|0}.

(Desarrollo de Fourier) |v H |v =I

v |e.

(Identidad de Parseval) |v, |w H (|v, |w) =I

v? w.

(Identidad de Parseval) |v H || |v||2 =I|v|2.


Demostracin del teorema de caracterizacin de bases ortonormales

Sea S = {|e}I conjunto ortonormal numerable de H y v := (|e, |v).[1] Si S es base ortonormal de H, entonces lin S = H.Teorema de la proyeccin ortogonal: un subespacio lineal S es denso en H siy slo si S = {}. Si lin S 6= H, |w S (tal que |||w|| = 1). Entonces,podemos aadir |w a S, pero S es maximal.[2] Si lin S = H, entonces si |v |e , I |v = |0; i.e., S = {|0}.

[3] Si S = {|0}, entonces |v H |v =I

v |e.

Si I es finito, |v = I v |e es tal que (|v |v) |e |v = |v.Si I es infinito, por la desigualdad finita de Bessel, para cualquier J I finito,

J|(|e, |v)|2 |||v||2

en I v|e slo hay una coleccin finita, a lo sumo numerable, detrminos no nulos.


Demostracin del teorema de caracterizacin de bases ortonormales

La sucesin de sumas parciales, {|wn n

i=1 v|ei }n=1 es de Cauchy,

|||wn |wm||2 =n

m+1

|v|2 0 , n > m .

Podemos definir |v limn |wn H, (|v |v) |e |v = |v.

[4] Si |v H , |v =I

v |e |v, |w H , (|v, |w) =I

v? w.

[5] Si |v, |w H , (|v, |w) =I

v? w, entonces || |v||2 =I|v|2.

[6] Si |v H , || |v||2 =I|v|2, entonces S es base ortonormal de H.

Si no fuera as, |w tal que S {|w} sera ortonormal. Por lo tanto, |w S,lo que es absurdo porque 1 = |||w||2 = I |w|2 = 0.


Espacios de Hilbert separables

La dimensin de H puede ser finita o infinita. Sea, pues, H de dimensin 0.Este es el caso de los espacios de Hilbert separables.

Un espacio topolgico, X , se llama separable si posee algn subconjuntonumerable, siempre denso en X .

E.g., Q es numerable y denso en R, por tanto R es separable. Lo mismopuede decirse de Rn y de Cn. En C[a,b], los polinomios con coeficientesracionales forman un subconjunto numerable y denso.

Si V es separable y, con respecto a la norma inducida por (, ) es un espaciode Hilbert, diremos que (V , (, )) es un espacio de Hilbert separable.

En general nos restringiremos en adelante a espacios de Hilbert separables.

Teorema: Un espacio de Hilbert, H 6= {}, es separable si y slo si admiteuna base ortonormal numerable (finita o infinita numerable).

Corolario: La dimensin de todos los espacios de Hilbert separables es obien finita e igual a d

Teorema del Isomorfismo

Dos espacios de Hilbert sobre , H1 y H2, son isomorfos si existe algnisomorfismo lineal U : H1 H2 que conserva los productos escalares, i.e.,(U|x,U|y)H2 = (|x, |y)H1 , |x, |y H1.

Teorema del isomorfismo: Todo espacio vectorial de Hilbert separable Hsobre , es isomorfo a d si la dimensin de H es finita (d

Teorema del Isomorfismo

Adems es sobreyectiva pues para cualquier coleccin finita de nmeros = {n}n=J 2 se tiene n = 0, excepto para n1, . . . ,np; el vector|v = pi=1 ni |eni verifica U |v := {(|eni , v)} = {ni} 2.Si fuese infinito tambin define un nico elemento |v H. Efectivamente,por ser elemento de 2 debe cumplir

jJ |j |2

Algunas bases ortonormales importantes

Veamos algunos ejemplos de bases ortonormales de uso frecuente. Paratodas ellas la ortonormalidad es relativamente fcil de verificar. El puntodelicado es probar el hecho de que su variedad lineal es densa en H.

Base estndar de H = 2: Una base numerable ortonormal es

{|ek }1 = {(1,0,0, . . .), (0,1,0, . . .), (0,0,1, . . .), . . .} .

|x 2 , |x =i=1

ai |ei coni=1

|ai |2


Base de Hermite de H = L2(R): Ahora, {xn}0 6 H. Sin embargo, elconjunto {xn ex2/2}0 H, y es linealmente independiente. Tras aplicar elmtodo de ortonormalizacin, el resultado a que se llega es

{|n}0 n(x) =1

(2nn!pi)1/2

ex2/2 Hn(x) ,

llamadas funciones de Hermite, siendo {Hn(x)}0 los polinomios de Hermite

Hn(x) = (1)nex2 dn

dxnex

2.

Base de Fourier de H` = L2[0, `]: el subconjunto de L2(R) dado por lasfunciones peridicas |f f (x) = f (x + `),

{|en}nZ en(x) = 1`

ei2pin` x .

constituye una base ortonormal.



Toda funcin |f H` es desarrollable en serie de Fourier relativa a la basede funciones trigonomtricas

|f =+

n=fn |en con fn = (|en, |f) = 1

`

`0

ei2pin` x f (x) dx

y |||f||2 =+

n=|(|en, |f)|2.

Base de Laguerre de H = L2(R+), R+ = [0,): Partiendo del conjunto{xn ex/2}0 H, y por Gramm-Schmidt, llegamos a una familia ortonormal ynumerable {n(x)}1 ,

|n n(x) = ex/2 Ln(x) ,siendo Ln los polinomios de Laguerre

Ln(x) =1n!

exdn

dxn(exxn) .


Tema II: Espacio Dual

Jos D. Edelstein


FSICA MATEMTICASantiago de Compostela, marzo de 2011

Formas lineales. Aplicacin adjunta. Distribuciones. Bases continuas.

Jos D. Edelstein (USC) Tema II: Espacio Dual mar-2011 1 / 26

Formas lineales y espacio dual

Sea V un espacio lineal. Una forma o funcional lineal u| (tambin llamada,simplemente, bra), es una aplicacin lineal: u| : V ,

u| : |v u|v con u| (|v1+ a|v2) = u|v1+ a u|v2 .

La evaluacin de un bra, u|, sobre un ket, |v, se llama tambin contraccino braket, u|v.

El conjunto de todas las forma lineales sobre V , con la operacin natural desuma y multiplicacin por un elemento de ,

w| = w1|+ a w2| w|v = w1|v+ a w2|v |v V

constituye el espacio dual V ?.

Imponemos, adems, que el elemento neutro de la suma, 0|, sea el nicocon la propiedad

0|v = 0 |v V .


Base y dimensin

En V , un conjunto linealmente independiente y maximal {|eii=1,...,n}, es unabase. Todo |v V admite una expansin de la forma

|v = v i |ei :=n

i=1

v i |ei .

Utilizamos la convencin de Einstein: los ndices contrados se suman.

V ? es un espacio lineal por lo que valen las mismas consideraciones quepara V . Cuando dim(V ) es finita, la situacin se simplifica:

Teorema: Sea V un espacio lineal de dimensin finita dim(V ) = n. EntoncesV y V ? son isomorfos. En particular, la dimensin de V ? es igualmente n.

Trabajaremos en lo que sigue, si no se indica lo contrario, con espacios dedimensin finita.

Corolario: V ? admite una base de formas lineales {ui |i=1,...,n}, tal que paracualquier w| V ?,

w| = wi ui | .Jos D. Edelstein (USC) Tema II: Espacio Dual mar-2011 3 / 26

Base cannica dual y componentes contravariantes

El uso de una base para V ?, {ui |}, unida a la de una base para V , {|ei},permite reducir la informacin necesaria para evaluar cualquier contraccin,w|v, al conjunto de contracciones elementales f i j = ui |ej,

w|v = (wiui |)(v j |ej) = wi v j ui |ej = wi v j f i j .Dada una base {|ei} de V , existe una nica base cannica dual {ei |} deV ?, definida por f i j = i j , i.e.,

ei |ej = i j i , j = 1, . . . ,nEn esta base una contraccin general presenta la forma ms simple

w|v = wi v j i j = wi v i .El uso de la base dual permite recuperar las componentes contravariantes de|v mediante la contraccin de dicho vector con los elementos de la base dual

v i = ei |v .Anlogamente, las componentes wi de w|, resultan de

wi = w|ei .Jos D. Edelstein (USC) Tema II: Espacio Dual mar-2011 4 / 26

Cambios de base

Un espacio vectorial admite infinitas bases. Sean {|ei} y {|ei } dos de ellas.Cualquier vector de una de ellas admite una expansin en la otra

|ei = O j i |ej O j i = e j |ei .El conjunto {O j i} caracteriza completamente el cambio de base.Los coeficientes de expansin de un vector en ambas bases:

|v = v j |ej = v i |ei = v iO j i |ej .Por independencia lineal,

v j = O j i v i.

El conjunto de nmeros {O j i} relaciona las bases y los coeficientes de modoinverso. En este sentido decimos que los coeficientes se transforman deforma contravariante.

Un operador es una aplicacin O : |u V |v := O|u V . Podemos verel cambio de base como el resultado de la accin de un operador lineal:

O|ei := |ei = O j i |ej .Jos D. Edelstein (USC) Tema II: Espacio Dual mar-2011 5 / 26

Notacin matricial

Existe una representacin ms compacta en trminos de matrices.

Por ejemplo, colocamos los coeficientes v i y v j en matrices columna v y v,as como los O j i en una matriz O donde j etiqueta las filas e i las columnas:

v = O v

v1

v2...

vn

=

O11 O12 O1nO21 O22 O2n

......

. . ....

On1 On2 Onn

v 1

v 2...

v n

,y expresar las coordenadas finales en trminos de las iniciales:

v = O1 v .

El ndice j de los vectores |ej, en cambio, |ei = O j i |ej, se suma con el delas filas (notar la diferencia con v j = O j i v

i ):

si e y e son matrices columna con entradas |ej y |ei ,et = et O e = Ot e .


Notacin para los ndices de bases transformadas

Si construimos las matrices A y B con los elementos Ai j y Bi j , entonces

(A B)i k =n

j=1

Ai j B j k (At B)i k =n

j=1

A j i B j k .

Usaremos la siguiente notacin para los cambios de base. La base de partidarecibir ndices i , j , . . . y los de la transformada sern i , j , . . ., ambos dentrodel mismo rango (1, . . . ,n).

As, no es necesario mantener la prima encima de los objetos referidos a labase transformada; v i

:= v i

y |ei := |ei. Slo al dar valores numricos se

deber restituir la prima; e.g., cuando i = 2, |ei |e2.Con esta convencin, es natural llamar O i j al conjunto de datos necesariospara expresar la base {|ei} en la base {|ej},

|ej = O i j |ei y |ei = O ji |ej ,

al cambio de base inverso generado por el conjunto O ji .


Relacin de cierre

Basta ahora componer dos transformaciones de ida y vuelta,

|ei = O ji |ej = O j

i Ok j |ek ,

para descubrir que verifican la relacin de cierre:

Ok j O ji =

ki .

En lenguaje matricial esto quiere decir que las matrices formadas por losnmeros O i i y O i

i son inversas entre s,

O i i O O ii O1 ,

entonces la relacin de cierre equivale a O O1 = 1.

Tal como la distincin entre ndices con prima y sin prima es convencional,tambin debe verificarse la relacin de cierre inversa

O ij O j k = i

k ,

o, matricialmente O1 O = 1.Jos D. Edelstein (USC) Tema II: Espacio Dual mar-2011 8 / 26

ndices covariantes y contravariantes

En esta notacin, la forma en la que aparece O ij es natural. Es la nica

consistente al dejar los mismos ndices libres en ambos miembros.

Anlogamente, si queremos conectar los coeficientes v i

con los v j , la nicaforma gramaticalmente consistente es

v i

= O ij v j o bien v j = O j i v i

,

que muestra que las componentes son magnitudes contravariantes.

Esto pone de manifiesto el carcter bajo transformacines lineales de la base,hacindolo depender de la posicin en la que se encuentran los ndices.

Los ndices para los elementos de la base dual tambin codifican sus propie-dades de transformacin. Si a {|ei} le corresponde la base dual {ej |}, a labase transformada {|ei} le deber corresponder {ei |} que satisface

ei |ej = ij ei

|O i j |ei = ij ei

| = O ik ek | ,

puesto que, entonces:Jos D. Edelstein (USC) Tema II: Espacio Dual mar-2011 9 / 26

ndices covariantes y contravariantes

ei |ej = O ik O i j ek |ei = O i

k O i j k i = O i

k Ok j = i

j .

La regla de transformacin de ek | es la nica consistente con la posicin delos ndices: las formas lineales se transforman de manera contravariante conrespecto a los vectores.

Nos queda por examinar cmo se transforman las componentes wi de unaforma lineal. Frente a un cambio de base

w| = wi ei | = wj e j | = wj O j

i ei | .

Entonces, los nmeros wi y wj estn relacionados por

wi = O ji wj = wi = O j i wj ,

Tal como revela la posicin de los subndices, los coeficientes de las formasse transforman igual que los vectores de la base de modo que se dice que lohacen de manera covariante.


Resumiendo...

El conjunto de nmeros, O i j , define un cambio de base con respecto al cuallas cuatro magnitudes estudiadas se agrupan esencialmente en dos:

Covariantes: (con el ndice abajo) se transforman como ì = O i i ì . Porejemplo los vectores de la base |ei o las componentes de una forma wi .Contravariantes: (con el ndice arriba) se transforman como ì

= O i

i `

i .Por ejemplo las componentes de vectores v i o los vectores de la basedual ei |.

La gran claridad y simetra de esta notacin se obtiene a expensas de tenerque trabajar con ndices. Ntese que en ningn momento hemos hablado dematrices sino de conjuntos de nmeros.

Se puede recurrir a la formulacin matricial, pero hay que tener cuidado conla identificacin de los ndices con las filas y columnas pudiendo requerirse lainclusin de transposiciones o inversiones oportunas.

Un cambio de base es una transformacin pasiva. El vector |v no cambia, loque vara es su descripcin debido a la modificacin de la base |ei |ei.


Transformaciones activas y pasivas

Las componentes contravariantes se transforman con la matriz inversa paracompensar el cambio producido en la base y mantener al vector invariante.

Por el contrario, una transformacin activa implica un cambio del vector encuestin, quedando intacta la base: |v |v = O |v indica que el vector decomponentes v i pasa a otro de componentes v i

en la misma base.

Si v i

= O ii v i , la accin que representa O es inversa en las componentes y

en la base. Por ejemplo, pensemos que O es una rotacin de ngulo en elplano,

O ij =

(cos sen sen cos

).

El cambio que produce en las componentes admite dos interpretaciones:

a) (activa) el vector ha sido rotado un ngulo (O ii son las componentes de

O actuando sobre |v).b) (pasiva) el vector es el mismo, expresado en una base nueva, girada unngulo con respecto a la antigua (O1 actuando sobre la base {|ei}).


La aplicacin adjunta, : V V ?

A cada ket le corresponde un bra. Sea (V , (, )) un H. El producto escalar dauna manera de elegir, para cada |v V , un v| V ?. Denominamos a staaplicacin adjunta, : V V ?:

|v |v := v| .

Para cada |w V el adjunto |w w| V ? es el nico elemento que

|v V verifica w|v = (|w, |v) .

Comprobamos la unicidad. Si |u = u| = u|, con u| 6= u|, entonces

|v V u u|v = (|0, |v) = 0 u| u| = 0| u| = u| .

El modo consistente de extender la accin de la aplicacin adjunta a , si|u = |v+ |w, es u| = v|+ ?w|, ya que u|x:

(|u, |x) = (|v+ |w, |x) = (|v, |x) + ?(|w, |x) = (v|+ ?w|)|x .

La accin de se extiende a como la conjugacin compleja : ?.Jos D. Edelstein (USC) Tema II: Espacio Dual mar-2011 13 / 26

Bases adjunta y dual

Denotemos con gij el conjunto de los productos escalares elementales entrelos elementos de la base |ei,

gij := (|ei, |ej) = (|ej, |ei)? = g?ji .Asociadas a la misma base de V tenemos dos bases para V ?:

|ei {

base cannica dual: ei | ei |ej = i jbase adjunta: ei | = |ei ei |ej = (|ei, |ej) = gij

Ambas deben estar relacionadas linealmente, de forma que las expresionesanteriores sean compatible. De hecho,

ei | = gij e j | .Supongamos que expandimos un cierto ket en una base, |w = w i |ei. El braasociado, w| = |w admite dos expansiones, segn la base que utilicemos:w| = e j |wj o w| = (w i |ei) = ei |w i? = gij e j |w i? wj = w i? gij .

Se denomina a esta ltima operacin, bajar el ndice.Jos D. Edelstein (USC) Tema II: Espacio Dual mar-2011 14 / 26

Bases adjunta y dual

Si {|ei} es una base ortonormal tenemos queei |ej = (|ei, |ej) = ij wi = w j? ji = w i? .

Si c C, a veces se escribe |c v para denotar c |v. es anti-lineal:c v| = |c v = (c |v) = c?v|

Ejemplo: Estado CunticoEn mecnica cuntica, el estado de un sistema viene caracterizado por unvector de un cierto espacio de Hilbert complejo | H. En general se utilizauna base |ei de autoestados de algn operador hermtico O (observable).Escribiendo | = c i |ei, los coeficientes c i se interpretan como la densidadde probabilidad de obtener como resultado de una medida el autovalor iasociado al autovector |ei.Por ser O hermtico, la base puede escogerse ortonormal; as, | = cj e j |con cj = c j?. Diremos que | est normalizado (la suma de probabilidadeses la unidad) si | = ci c i =

i |c i |2 = 1 .


Producto escalar no-degenerado

A las propiedades del producto escalar le podemos aadir la siguiente

no-degeneracin: Si (|u, |x) = 0 |u |x = 0.

Cuando dimV es finita, demostramos que la condicin de no-degeneracines equivalente a la invertibilidad de gij . En efecto,

|u = ui |ei , |x = x i |ei (|u, |x) = ui?gij x j = 0 ui

= gij x j = 0 .Este sistema homogneo slo debe tener por solucin x j = 0, entonces:

(, ) no degenerado det gij 6= 0 .

Cuando el producto escalar es no-degenerado podemos invertir la matriz gijen cualquier base. Denotamos su inversa mediante

g ij := g1ij = gji .

Otra manera de decir lo mismo es afirmar que

g ik gkj = i j = gjk g ki .


Subir ndices: V ? V

Si el producto escalar es no-degenerado podemos invertir wj = w i? gijmultiplicando en ambos lados por g jk ,

wk? = wj g jk = g kj?wj ya que w i?gij g jk = w i? ki = wk? .

Es decir, conjugando esta ecuacin,

w i = g ijw?j .

Hagamos una verificacin de consistencia

w|v = wj v j = w i?gij g jk v?k = w i? ki v?k = w i? v?i = (vi w i )? = v|w?

En resumen, en un espacio lineal de dimensin finita con producto escalarno-degenerado, siempre podemos asociar a cualquier forma w| un vector|w; las componentes se relacionan por la ecuacin anterior.Es decir, la aplicacin adjunta es biyectiva.


Dimensin infinita: Distribuciones

Si H es separable admite una base ortonormal numerable y los resultadospueden extenderse sin ms que dejar que los subndices i , j , i , j , . . . N.Sin embargo, deja de ser cierto que V y V ? sean automticamente isomorfosaunque H sea no-degenerado en el sentido de la seccin anterior. No todoslos w| V ? son de la forma (|w, ) para algn |w V .Sea, por ejemplo, H = L2(R). A cada funcin f (x), tal que R |f (x)|2dx

Dimensin infinita: Distribuciones

Por un lado, la norma |||unx0|| =

n diverge cuando n,

limn |u

nx0 / L2(R) .

Sin embargo, en este lmite la integral anterior alcanza un valor bien definido

limnu

nx0 |g = limn

unx0 (x) g(x)dx = limng(x0)

unx0 (x)dx = g(x0) ,

|g L2(R). La sucesin unx0 | s converge dentro de L2?(R),

limnu

nx0 | = x0| L2?(R) ,

y puede definirse por su accin sobre cualquier vector |g L2(R),

x0|g = g(x0) .

Asociamos x0| a la delta de Dirac (x x0) del mismo modo que |g g(x).


Ondas Planas

Sea una sucesin de funciones con la forma de una onda plana truncada enun intervalo de longitud L N.

|vLp0 vLp0 (x) =

0 |x | L212pi

eip0x |x | < L2 |vLp0 L2(R) .

Cuando L, |||vLp0|| =

L2pi ; el lmite no es un elemento de L2(R).

Sin embargo, si a cada elemento le asociamos un dual:

vLp0 |g = (|vLp0, |g) = L/2L/2

dx2pi

eip0x g(x) ,

cuando L, la cantidad vLp|g alcanza un lmite

limLvLp0 |g =

dx2pi

eip0xg(x) = g(p0) ,

que es el valor de la transformada de Fourier g(p0).Jos D. Edelstein (USC) Tema II: Espacio Dual mar-2011 20 / 26

Ondas Planas

En consecuencia, podemos definir

limLvLp0 | p0| L2?(R) ,

por su accin sobre todos los elementos |g L2(R) definida por

p0|g = g(p0) .

L2?() no es, por lo tanto, isomorfo a L2(), sino que es ms grande.

Vimos que hay funciones que no son de cuadrado integrable y sin embargomantienen un producto escalar finito con cualquier vector de este espacio: seles puede asociar un elemento de L2?().

Por ejemplo, los dos conjuntos de formas {x|} (x R) y {p|} (p R).

Se denomina distribuciones a estos elementos de L2?().


Bases Continuas

Cualquiera de los dos conjuntos de formas, {x|} (x R) y {p|} (p R),permite reconstruir completamente las funciones f (x) y f (p), asociadas acualquier vector |f L2(R)

f (x) = x|f f (p) = p|f

Por tanto, podemos definir una base generalizada, formada por un conjuntocontinuo de vectores x| |x y p| |p con los que poder escribir

|f =

dx x|f |x =

dx f (x) |x ,

o bien

|f =

dp p|f |p =

dp f (p) |p .

Estrictamente hablando, ni |x ni |p tienen norma finita. Por ejemplo, ningunade las dos admite la interpretacin de una funcin de onda.


Base cannica dual de una base continua

Se trata de un par de bases continuas y slo sirven al efecto de escribir unaexpansin formal.

Su utilidad, sin embargo, es mayor al generalizar la relacin de dualidadcannica entre las bases {x |, p|} y {|x, |p} de la forma siguiente:

x |x = (x x) p|p = (p p) .Al tratar con bases continuas debemos sustituir i j por (x x).

El anlogo de O ji = e j |ei es, ahora,

x |p = 12pi

eipx p|x = 12pi

eipx ,

mientras que el anlogo de |ei = O j i |ej debe leerse formalmente como

|x = 12pi

eipx |pdp |p = 12pi

eipx |xdx .


La delta de Dirac

La compatibilidad equivale a la transformada de Fourier de la delta de Dirac

(x x) = x |x =(

dp x |p p|)(

dp p|x |p

)

=

dpdpeipx

2pi

eipx2pi

(p p) =

dp2pi

eip(xx) .

Anlogamente,

(p p) =

dx2pi

eix(pp) .

Otras definiciones de (x) que pueden resultar tiles:

(x x0) = lim0

12

e|xx0|

= lim0

1pi

(x x0)2 + 2 = lim0+12pi

e(xx0)2

2

= lim0

1pi

sen ( xx0 )(x x0) = lim0

pi

sen 2( xx0 )(x x0)2 =


Propiedades de (x)

Propiedades que se demuestran sobre cualquier funcin de prueba:Sea g(x) una funcin y {xj} el conjunto de todas sus races, g(xj ) = 0,

(g(x)) =

j

1|g(xj )| (x xj )| .

Si g(x) tiene ceros mltiples (tales que g(xj ) = 0), entonces (g(x)) notiene sentido. Esta propiedad implica, en particular

(x) = (x) (c x) = 1|c|(x) .

Se cumple la identidad x (x) = 0 y, de manera ms general,

g(x) (x x0) = g(x0) (x x0) .

Definimos la derivada de (x) a travs de la integracin por partesg(x) (x x0)dx =

g(x) (x x0)dx = g(x0) .


Derivadas y primitivas de (x)

Podemos obtener una expresin ms general a partir def (x) (n)(x)dx =

fx

(n1)(x)dx .

Por lo tanto, si f (x) = x g(x),x g(x) (x)dx =

(g(x) + x g(x)) (x)dx =

g(x) (x)dx .

Podemos leer la ecuacin anterior como:

x (x) = (x) xn (n)(x) = (1)nn! (x) .

La funcin escaln, (x x0), definida por

(x x0) ={

1 si x > 0

0 si x < 0

tampoco pertenece a L2(R). Verifica la siguiente relacin con (x),

(x x0) = x

(x x0) dx (x x0) = (x x0) .Jos D. Edelstein (USC) Tema II: Espacio Dual mar-2011 26 / 26

Tema III: Tensores

Jos D. Edelstein



Producto tensorial de espacios. Tensores. Operaciones con tensores. Tensoressimtricos y antisimtricos. Tensor mtrico.

Jos D. Edelstein (USC) Tema III: Tensores mar-2011 1 / 29

Producto tensorial de espacios vectoriales

El espacio vectorial producto directo de V (1) y V (2), V := V (1) V (2), es elconjunto de pares ordenados |v = |v1 |v2, con |v1 V (1) y |v2 V (2), ytodas sus combinaciones lineales (|v1 |v2) + (|w1 |w2) + . . .El producto tensorial es lineal en cada argumento. Esto quiere decir que

( |v1+ |w1) |v2 (|v1 |v2) + (|w1 |v2) ,

con una identidad semejante para el segundo argumento.

Si {|e(1)i=1, ,d1} es base de V (1) y {|e(2)=1,...,d2} es base de V (2), una base

para V = V (1) V (2) est dada por todos los pares {|ei := |e(1)i |e(2) }.Por tanto, la dimensin de V = V (1) V (2) es d = d1d2.Notar la diferencia con el producto cartesiano V (1) V (2), en el que la sumade elementos se induce a partir de las sumas en cada espacio por separado;si v = v1 v2 y u = u1 u2, entonces v + u = (v1 + u1) (v2 + u2).Es evidente que la dimensin de V = V (1) V (2) es d = d1 + d2.


La funcin de onda de espn

Un vector |u V (1) V (2) admite una descomposicin nica|u = ui |ei = ui |e(1)i |e(2) .

En general, no es posible encontrar |v1 y |v2 tales que |u = |v1 |v2.

Ejemplo: La funcin de onda de espn

El producto tensorial aparece cuando tenemos que representar ms de unapropiedad de un sistema.

La funcin de onda de un electrn describe la densidad de probabilidad deencontrarlo en una posicin ~x , con una determinada componente del espn,sz igual a s1 = + 12 s2 = 12 .

Por ello la representamos mediante i(~x). stas son las componentes de unvector | C2 L2(R3),

| =i=1,2

d3x i(~x) |si |~x .


Ejemplo: Estados entrelazados

La funcin de onda de un sistema de dos electrones es un elemento delespacio vectorial producto directo: C2 L2(R3) C2 L2(R3).Si obviamos la parte espacial y adoptamos una base |si1,2 de autoestados deSz , el estado de espn ms general en que puede encontrarse el sistema es

|12 =

i,j=1,2

sij |si1 |sj2 .

donde los coeficientes sij han de ser amplitudes de probabilidad:i,j=1,2

|sij |2 = 1 .

En general, no es posible escribir |12 = |1 |2, salvo para valoresespeciales de sij . En ese caso hablaremos de un estado separable; si no, deun estado entrelazado.

Un estado inicialmente separable, |1 |2 evolucionar genricamente aun estado entrelazado si existe interaccin entre los subsistemas 1 y 2.


Ejemplo: Estados entrelazados

En un estado separable, la medida de un observador sobre un subsistema noafecta a la funcin de onda del otro subsistema.

Por ejemplo, usando la notacin |s1 = | y |s2 = |; si al medir sobre elestado |1 encontramos |1, habremos efectuado la operacin (no unitaria)

|1 |2 Sz |1 |2 .

En un estado entrelazado, en cambio, el resultado de medir sobre 1 afecta alestado que describe el sistema 2. Por ejemplo, podriamos tener

|1 |2 + |1 |2 Sz |1 |2 .

Este tipo de correlaciones pueden parecer inocentes. Sin embargo no lo sontanto si se piensa que los dos subsistemas 1 y 2 que comparten un estadoentrelazado pueden residir a miles de kilometros de distancia.

Este tipo de correlaciones se estudian actualmente en el contexto de laTeora Cuntica de la Informacin.


Tensores

En lo que sigue consideraremos casos particulares en los que V1,V2 = V V ?. La dimensin del espacio producto es, entonces, d2.

Por ejemplo, para V V tenemos la base {|eij := |ei |ej}, mientras queen V V ? tenemos otra del tipo {|ei j = |ei ej |}.Un vector de V V admite una expansin en la base anterior

|v = v ij |eij = v ij |ei |ej .y uno de V V ?, anlogamente, puede desarrollarse en la forma

|w = w i j |ei j = w i j |ei ej | .

Un cambio de base en V implica un cambio en V V de la forma|ei j = O i i O j j |eij .

Naturalmente, se produce un cambio de base en V ? que produce:

|ei j = O i i O j

j |ei j .


Tensores de rango arbitrario

Inmediatamente, sin ms que invocar invariancia de los objetos geomtricos|v y |w frente a cualquier cambio de base, se deduce que

v i j = O i

i O j

j v ij v i

j = O i

i O j j v i j ,

las componentes siguen la ley de transformacin que indica la posicin desus ndices (covariante o contravariante).

Tensores de rango arbitrario

Generalizamos la definicin del producto tensorial a N espacios vectoriales; apartir de V (1), . . . ,V (N), formamos el espacio producto, V = V (1) V (N),el cual est formado por Ntuplas ordenadas de vectores |v(1) |v(N).En particular estamos interesados en el caso en el que p de estos espaciosson iguales a V , y q de ellos son iguales a V ?,

p V V

q V ? V ? .


Componentes covariantes y contravariantes

Un elemento arbitrario de este espacio adopta la forma genrica

T = T i1...ip j1...jq |ei1 |eip ej1 | ejq | ,

y recibe el nombre de tensor de rango(pq

)o (p;q).

Los nmeros T i1...ip j1...jq son las componentes de T en la base cannica.

Bajo un cambio de base, de la forma |ei = O i i |ei, estas componentes setransforman de la nica manera compatible con la posicin de sus ndices

T i1...ip j1...j

q

= O i1 i1 O i

p ip T

i1...ipj1...jq O

j1j1 O jp jp .

Por esta razn, a veces se dice que T es un tensor p veces contravariante y qveces covariante. Se trata de un abuso de lenguaje: el tensor es invariante.Son sus componentes las que son covariantes o contravariantes.

Igualmente es de tipo (p;q) un tensor de componentes T i1 j1i2...ip j2...jq , pero es

un elemento del espacio V V ? V V V ? V .Jos D. Edelstein (USC) Tema III: Tensores mar-2011 8 / 29

Algunos ejemplos

La notacin (p;q) slo hace referencia a la cantidad de ndices covariantes ycontravariantes; debemos tener cuidado con la posicin horizontal de cadandice, que identifica a un espacio vectorial diferente.

Veamos algunos ejemplos:

Si (p;q) = (1; 0), recuperamos el propio espacio vectorial V .

Si (p;q) = (0; 1), tenemos su dual V ?.

Los dos casos examinados al principio de la clase se corresponden con(p;q) = (2; 0) y (p;q) = (1; 1).

Por definicin, los elementos de son tensores de rango (p;q) = (0; 0) yse denominan escalares; i.e., no se transforman bajo cambios de base.

Los espacios V y V ? son intercambiables. En este sentido, un vector puedeconsiderarse un funcional lineal sobre elementos de V ?,

|v : w| |v(w|) = w|v .


Dualidad y el tensor como funcional multilineal

Las componentes en una base se obtienen, anlogamente, por evaluacinsobre elementos de la base cannica dual

v i = |v(ei |) = ei |v .

Siguiendo con esta manera de interpretar vectores y formas, un tensor derango (p;q) puede verse como un funcional multilineal sobre elementos delespacio dual V ? V ? V V .Es decir, T es un artefacto que, para producir un nmero, necesita tener porargumentos p formas y q vectores,

T T(w1|, . . . , w p|; |v1, . . . , |vq) ,y que es lineal en cada uno de esos argumentos.

En particular, las componentes de dicho tensor no son otras que los nmerosque se obtienen evaluando T sobre los elementos de la base

T i1...ip j1...jq := T(ei1 |, . . . , eip |; |ej1, . . . , |ejp) .


Dualidad y el tensor como funcional multilineal

Conociendo estos nmeros, la accin de un tensor sobre cualquier conjuntode formas y vectores se obtiene por linealidad

T(w1|, . . . , wp|, |v1, . . . , |vq) = w1i1 . . .wpip T i1...ip j1...jq vj1

1 . . . vjqq .

Por ejemplo, si (p;q) = (1; 2), el dual de V V ? V ?, cuyos elementos sonT = T i1 j1 j2 |ei1 ej1 | ej2 | ,

es V ? V V , cuyos elementos son (2; 1)-tensores de la forma

S = Sk1l1 l2 ek1 | |el1 |el2 .

La evaluacin de S sobre T, se efecta espacio por espacio

S|T := S(T) = Sk1 l1 l2 T i1 j1 j2 ek1 |ei1 ej1 |el1 ej2 |el2

= Sk1l1 l2 T i1 j1 j2

k1i1

j1l1

j2l2 = Si1

j1 j2 T i1 j1 j2 .


Operaciones con Tensores

La generalizacin a (p;q) arbitrarios es inmediata.

Los tensores del mismo rango pueden sumarse y multiplicarse externamentepor elementos de un cuerpo. De este modo forman un espacio vectorial quedenominamos T pq .Podemos definir el producto tensorial: dados dos tensores de rangos (p1;q1)y (p2;q2), podemos formar con ellos un tensor de rango (p1 + p2;q1 + q2).

Ya vimos los casos ms simples: con los vectores, |v = v i |ei y |w = w j |ej,podemos formar el tensor T T 20, T = |v |w de componentes T ij = v i w j .Tambin vimos como formar un (1; 1)-tensor a partir de un vector y una forma.

Si T T 12 y S T 11 tienen, respectivamente, componentes T i1 j1 j2 y Si2 j3 , esposible formar R = T S T 23, cuyas componentes

R i1 j1 j2i2j3 = T

i1j1 j2 S

i2j3 ,

son obtenidas por simple multiplicacin de las de T y S.


Contraccin

Otra operacin que podemos efectuar con un tensor es la contraccin, queproduce a partir de un tensor de rango (p;q) otro de rango (p 1;q 1).Por ejemplo, sea T T 23 de componentes T i1 i2 j1 j2 j3 . Si igualamos los ndicesi2 = j3 = k , resulta T i1k j1 j2k , donde la suma sobre todos los valores de k estsobrentendida: hemos contrado las componentes i2 y j3.

Probemos que este tensor es de rango (1; 2):

T i1kj1 j2k = O i

1 i1 O

k k T i1k j1 j2 l O

j1j1 O

j2j2 O

lk = O i

1 i1 T

i1kj1 j2 l O

j1j1 O

j2j2 O

lk Ok

k

= O i1 i1 T

i1kj1 j2 l O

j1j1 O

j2j2

lk = O i

1 i1 T

i1kj1 j2k O

j1j1 O

j2j2 .

Por tanto, a todos los efectos T i1k j1 j2k se comportan frente a cambios de basecomo las componentes Si1 j1 j2 de un tensor de rango (1; 2).

Podramos haber efectuado diferentes contracciones: en un tensor de rango(p;q) hay, por tanto, p q contracciones independientes.


Contracciones mltiples y contraccin total

Son posibles tambin las contracciones mltiples. As, contraemos el tensorobtenido anteriormente y encontramos

T i1 i2 j1 j2 j3 Si1 j1 j2 = T i1k j1 j2k Rj1 = Sk j1k T 01 .

Ya no podemos seguir por falta de ndices a los cuales emparejar.

La nica manera de conseguir un escalar mediante el proceso de contraccines comenzar con un tensor de rango (p;p).

El resultado, naturalmente, es independiente de la base en la que trabajemos,

T i1...ip j1...jp T = T i1...ip i1...ip T i1...ip j1...j

p T = T i1...ip i1...ip ,

entonces, T = T .

Esta operacin ya la hemos visto: la evaluacin de una forma sobre un vectorpuede entenderse como la contraccin de ndices del (1; 1)-tensor, w| |v,de componentes wj v i para formar el escalar w|v = wi v i .


Contraccin total

De forma ms general, podemos entender el proceso de evaluacin de untensor de rango (p;q) sobre su dual de rango (q;p) en dos pasos:

se realiza el producto tensorial (p;q) (q;p) = (p + q;p + q),se contraen todos los ndices.

El hecho de que la contraccin elimine una pareja de ndices, se debe a quela combinacin i i es invariante frente a cambios de base:

ii = O i

i O j i i j = j i i j = i i .

Esto es lo que hace que, no slo a|v sea invariante, sino que los propiostensores lo sean.

Por ejemplo, encontramos esta combinacin de ndices en la expansin de unvector en una base |v = v i |ei, de una forma a| = ai ei |, o de un tensor engeneral, T = T i1...ip j1...jq |ei1 |eip ej1 | ejq |.


Tensor mtrico y producto escalar real

Si el cuerpo de V es R, la hermiticidad del producto escalar se reduce a

(|v, |u) = (|u, |v) ,de modo que ste resulta bilineal y, por tanto, se trata de un elemento de T 02.Sea V sobre R. Un (0; 2)-tensor g es un tensor mtrico si define un productoescalar real no-degenerado.

En una cierta base {|ei} podemos expandirlo comog = gij ei | ej | gij = g(|ei, |ej) .

La nica propiedad que debe imponerse a las componentes de g: que formenuna matriz simtrica, no-degenerada y definida positiva. Es decir, que gij = gjiy todos sus autovalores sean estrictamente positivos i > 0, i = 1, . . . ,d .

La no-degeneracin implica que det gij 6= 0, lo cual asegura la existencia de lamatriz inversa g ij := (g1)ij ,

g ik gkj = i j .


Subir y bajar ndices

El producto escalar establece una aplicacin entre V y V ? que es invertible siaqul es no-degenerado. En lenguaje de componentes, subir y bajar ndices.

Si el producto escalar es real y simtrico, gij = gji , por lo que no necesitamosprestar atencin a cul es el ndice de gij que se contrae:

vi = gji v j = gij v j v i = g ji vj = g ij vj .

Podemos extender este procedimiento a tensores de tipo (p;q); cambiar laposicin de uno o ms ndices y pasar as a un tensor de tipo (p + n;q n).Por ejemplo:

T i1...ip j1...jq = gip jq+1 T i1...ip1 jq+1 j1...jq = g

ip jq+1 g ip1 jq+2 T i1...ip2 jq+2 jq+1 j1...jq =

T i1...ip j1...jq = gip+1 j1 Ti1...ip+1

j2...jq = gip+1 j1 gip+2 j2 Ti1...ip+2

j3...jq =

En presencia de un tensor mtrico las componentes contravariantes y lascovariantes no son independientes: podemos restringirnos a tensores contodos los ndices abajo, o arriba, segn nos convenga.


Pseudo-mtrica

El tensor mtrico g T 02, debe ser definido positivo para representar unproducto escalar. Si prescindimos de esta propiedad, hablaremos de unapseudo-mtrica o producto pseudo-escalar. En este caso, gij puede tenerautovalores positivos y negativos, pero no nulos.

La base que diagonaliza esta matriz se denomina pseudo-ortogonal,

gij = g(|fi, |fj) = i ij i 6= 0 .

Podemos hacer una transformacin de escala |ei := 1|i | |fi tal que

(p,q)ij := g (|ei, |ej) = diag (1, . . . ,1

p

, +1, . . . ,+1 q

) ,

las nuevas componentes definen la mtrica en su forma cannica.

Los distintos tensores (pseudo-)mtricos vienen clasificados por la signatura(p,q); i.e., el nmero de signos negativos y positivos de su forma cannica.


Ejemplos

Espacio Eucldeo [(p,q) = (0,N)]

La base |ei que diagonaliza la mtrica se denomina base cartesiana,

gE (|ei, |ej) = ij = vi = v j ij = v i .

El producto cartesiano de dos vectores es el producto escalar en esta base

gE (|v, |w) = ij v i w j =Ni=1

v i w i .

gij = ij : subir y bajar ndices no altera el valor numrico de las componentes.

Espacio de Minkowski [(p,q) = (1,3)]

Es el espacio R4 con la mtrica de Minkowski, (1,3) = diag (1,1,1,1). Seusan ndices griegos , = 0,1,2,3 para denotar las componentes.

Los cuadrivectores, v = (v0, v1, v2, v3), y las componentes v de sus formasduales resultan, sencillamente, v0 = v0 y vi = v i , i = 1,2,3.


Tensores simtricos

El producto de Minkowski de dos cuadrivectores resulta:

gM (|v, |w) = v w = (1,3) v w = v0 w0 +3

i=1

v i w i .

En rigor, ste no es un producto escalar. El subespacio vectorial formado porlas componentes con ndices latinos es eucldeo.

Sea el (0; 3)-tensor de componentes Tijk . Decimos que es simtrico en el parde ndices i , j si sus componentes, en cualquier base, son invariantes frente ala permutacin de los mismos

Tijk = Tjik .

Esta simetra puede definirse en forma intrnseca, exigiendo que

|u, |v, |w V T (|u, |v, |w) = T (|v, |u, |w) .Por linealidad, esta condicin equivale a la anterior: la propiedad de simetrase expresa de igual forma en cualquier base.


Tensores simtricos y antisimtricos

La simetra se puede definir con respecto a cualquier par e incluso para unconjunto ms grande de ndices. El tensor anterior es totalmente simtrico si

Tijk = Tpi(ijk) ,

donde pi(ijk) es una permutacin arbitraria de los ndices.

Igualmente, podemos definir tensores parcial o totalmente antisimtricos.

Un (0;q)-tensor es antisimtrico en, por ejemplo, los primeros p ndices si,para cualquier conjunto de q vectores |u1, . . . , |uq, verifica que

T (|u1, . . . , |up, |up+1, . . . , |uq)

= (1)|pi| T (|upi(1), . . . , |upi(p), |up+1, . . . , |uq) .

|pi| es el orden de la permutacin: equivale al nmero de permutacioneselementales que la componen (slo depende de si ste es par o impar).


Simetrizador y antisimetrizador

A partir de un (0;q)-tensor podemos obtener otros dos que sean totalmentesimtricos o antisimtricos.

La operacin de simetrizar un conjunto de ndices se expresa encerrandodichos ndices entre parntesis, Ti1...iq T(i1...iq),

T(i1...iq) :=1q!

piSq

Tipi(1)...ipi(q) .

Los ndices simetrizados pueden ser tambin un subconjunto del total.

La operacin de antisimetrizacin se simboliza encerrando el conjunto dendices involucrados entre corchetes Ti1...iq T[i1...iq ], donde

T[i1...iq ] :=1q!

piSq

(1)|pi| Tipi(1)...ipi(q) .

Se sugiere, como ejercicio, demostrar explcitamente que bajo un cambio debase se mantienen las propiedades de simetra de las componentes Tijk .


El smbolo alternante i1...id

En cualquier base de V definimos el smbolo alternante, i1...id = i1...id , con la

condicin de que sea totalmente antisimtrico y 123...d = 1.

En rigor, el smbolo alternante no es un tensor. En d dimensiones, un tensortotalmente antisimtrico de d ndices tiene una componente independiente,

A123...d = a a R = Ai1id = a i1...id ,dado que dicho tensor es antisimtrico en cualquier base. Los cambios debase slo se reflejan en cambios en el valor de a.

El smbolo alternante coincide con las componentes del tensor totalmenteantisimtrico A en alguna base, pero no en cualquiera: no es un tensor.

Mediante el smbolo alternante se definen diversos objetos de inters. Unode ellos es el determinante. Sea una aplicacin lineal que, en una ciertabase, tiene por componentes i j . Definimos el determinante como

det := 1 i1 . . .did

i1...id = i1...id i1

1 . . .idd .


El antisimetrizador y el smbolo alternante

El antisimetrizador efecta una suma de todas las componentes con ndicespermutados, ponderada por la signatura de la permutacin.

Para un tensor de rango maximal, q = d , el mismo resultado se obtiene deuna contraccin con el smbolo alternante,

T[i1...id ] =1d !Ti1...id

i1...id .

Esta suma slo contiene d ! trminos no nulos y los ndices adquieren todaslas permutaciones de los valores 1, . . . ,d .

El signo proviene del valor de la componente del smbolo alternante.

Esto resulta til para mostrar una tercera expresin para el determinante yaque, es muy fcil convencerse, det es una expresin antisimtrica en losndices externos. Por tanto, podemos escribir

det =1d !

i1...id i1j1 id jd j1...jd .


Elemento de volumen

Sea un conjunto de d vectores, Xd := {|va} Vd , linealmente independien-tes, y v ia sus componentes en una cierta base |ei. Se denomina a V (Xd ),

V (Xd ) := V (|v1, . . . , |vd ) = i1...id v i11 v idd ,volumen subtendido por dichos vectores. El volumen de la base cannica es

V (|e1, . . . , |ed ) = i1...id i11 idd = 1...d = 1 .Sea un operador lineal que aplica : |va |va, con componentes v ia ,

v ia = ij v

ja ,

en la misma base |ei. Entonces, el nuevo volumen resulta:

V (X d ) = i1...id vi11 v idd = i1...id i1 j1 v j11 id jd v jdd

= i1...id i1j1 id jd v j11 v jdd = (det ) j1...jd v j11 v jdd = (det ) V (Xd ) ,

det es el cociente de los volmenes antes y despus de la transformacin.Jos D. Edelstein (USC) Tema III: Tensores mar-2011 25 / 29

Densidades tensoriales

Si det = 0, entonces V (X d ) = 0, seal de que dicho conjunto de vectoresno es linealmente independiente.

Las transformaciones especiales (SL(n,R) GL(n,R)) son aquellas quemantienen invariante el volumen: SL(n,R) si det(i j) = 1.Dijimos antes que i1...id no es un tensor. Si lo fuera,

i1...id = i1i1 . . .

idid i1...id ,

por lo que, contrayendo todos los ndices con j1...jd ,

d ! = i1...id i1...id =

i1...id i1 i1 . . .

idid i1...id = (det ) d ! .

Si det 6= 1, llegamos a una contradiccin.Si insistimos en que i1...id = i1...id =

i1...id = i1...id = {1,0}, en cualquier

base, de modo que la frmula del determinante siga valiendo, deberamosmodificar la regla de transformacin:

i1...id := (det jj)1 i1 i1 id id i1...id .


Densidades tensoriales

Anlogamente,i1...id := (det j j) i

1 i1 i

d id

i1...id .

Definimos densidad tensorial de peso h y rango (p;q), h1(p1;q1), a objetos conp ndices contravariantes y q covariantes que transforman segn

T i1...ip j1...j

q

= (det j j)h i1 i1 i

p ip T

i1...ipj1...jq

j1j1 jp jp

bajo cambios de base |ei |ei = i i |ei.De este modo, el smbolo alternante resulta una densidad tensorial de peso1 (segn su carcter contravariante o covariante).

Las densidades tensoriales de peso h y rango (p;q) forman un espaciovectorial. Por lo tanto, se pueden sumar y multiplicar por escalares.

Los tensores son densidades tensoriales de peso h = 0.

Dos densidades tensoriales, h1(p1;q1) y h2(p2;q2)

pueden multiplicarse para

dar lugar a h1+h2(p1+p2;q1+q2).


Tensor de Levi-Civita

El determinante de un tensor de rango (1; 1) es invariante. No as el de unode rango (2; 0) (0; 2). Por ejemplo, definiendo

detgij = g1i1 gdid i1...id ,

bajo un cambio de base |ei |ei = i i |ei,

detgi j = det(i i gij j j) = det i i detgij det j j = (det i i)2 detgij .

En definitiva, detgij es una densidad escalar de peso 2.

Entonces, podemos definir un tensor (covariante) totalmente antisimtrico apartir del smbolo alternante o de Levi-Civita:

wi1...id :=g i1...id g = |detgij | ,

= w i1...id =g i1...id = det

g (det )1 i1 i1 id id i1...id

= i1 i1 id id wi1...id .Jos D. Edelstein (USC) Tema III: Tensores mar-2011 28 / 29

Elemento de volumen

El tensor de Levi-Civita contravariante se obtiene subiendo los ndices,

w i1...id = g i1 j1 g id jd wj1...jd wi1...id = gi1 j1 gid jd w j1...jd .con el tensor mtrico. Podemos verificar que

w i1...id = g i1 j1 g id jd g j1...jd =g detg ij i1...id =

sgi1...id ,

donde s = signo(g) = |g|g = 1 es la signatura del tensor mtrico.

Volviendo a los dos espacios mtricos que vimos anteriormente:

Espacio Eucldeo En: g = s = 1, as que

wi1...in = i1...in wi1...in = i1...in .

Espacio de Minkowski Mn: s = 1 = g, con lo cualwi1....in = i1...in w

i1...in = i1...in .Jos D. Edelstein (USC) Tema III: Tensores mar-2011 29 / 29

Tema IV: Operadores lineales

Jos D. Edelstein



Representaciones de un operador. Operador inverso. Operador adjunto, hermtico,unitario. Proyectores. Valores propios y espectro. Diagonalizacin simultnea.

Jos D. Edelstein (USC) Tema IV: Operadores lineales mar-2011 1 / 54

Operadores lineales y antilineales

Sea V un espacio vectorial sobre . Una aplicacin u operador O se dir quees lineal si |u, |v D(O) V (dominio de definicin de O) y a ,

O (|u+ |v) = O |u+O |v O (a |u) = a O (|u) ,

y llamaremos R(O) := O (D(O)) V al recorrido de O.

Para simplificar escribimos O |u = O (|u). Si por el contrario O verifica

O (|u+ |v) = O |u+O |v O (a |u) = a? O (|u) ,

diremos que es antilineal.

Sea L(V ) el conjunto de las aplicacines lineales de D(O) en R(O); admiteuna estructura de espacio vectorial sobre , sin ms que definir:

(O1 +O2) |u := O1 |u+O2 |u (aO) |u := a (O |u) .

En particular, el operador identidad, I, verifica I |v = |v, |v V .Jos D. Edelstein (USC) Tema IV: Operadores lineales mar-2011 2 / 54

Operadores lineales y antilineales

Llamamos operador cero, O, a aquel que cumple O |u = |0 V , |u V .Si no se especifica lo contrario, supondremos que D(O) = V . En ese caso,

(O1O2) |u := O1 (O2 |u) ,la composicin de operadores hace de L(V ) un lgebra de operadores.Se utilizan de manera equivalente las dos notaciones: |O v := O |v.Sea H un espacio de Hilbert y O L(H), definimos la norma de O mediante

||O|| = sup ||O |v|||||v|| .

Decimos que O es un operador acotado si ||O||

Representacin de un operador

Recordemos que hemos visto dos bases del espacio dual:

la base cannica dual ei | ei |ej = i j ,la base adjunta ei | = |ei ei |ej (|ei, |ej) = gij .

La relacin entre ambas bases es ei | = gij e j |, y si |v = v i |ei,

v| = v i?ei | = vi ei | = v?i = gij v j .

En una base ortonormal gij = ij podemos establecer una relacin diagonal

ei | = ei | vi = v i? .

Sea O un cambio de base. Si H es un espacio de Hilbert complejo, = C, lamatriz de productos escalares se transforma de la manera siguiente

gi j = ei |ej = O i i ei |O j j ej = (O i i)? gij O j j ,

o, en forma matricial, g = O g O.


Operadores como elementos de T 11

Un operador es una aplicacin que tiene vectores por argumento e imagen,

O : |v |v = O (|v) .

En este sentido, se trata claramente de un tensor de rango (1; 1).

Dada una base {|ei} de V , lo ms natural es representar a O L(V ) de lamanera siguiente:

O = Oi j |ei e j | := Oi j |ei e j | .

No usamos ndices i , j ya que O es transformacin activa y no cambio debase. Las componentes Oi j expresan la accin del operador sobre la base:

O : |ei |ei = O |ei = Ok j |ek e j |ei = Ok j |ek j i = Ok i |ek ,

y, por lo tanto, se recuperan utilizando la base cannica dual:

O j i = e j | O |ei .


Ejemplos de operadores

Identidad:El operador identidad, I, puede escribirse como

I = i j |ei e j | = |eiei | Ii j = i j ,en una base discreta, {|ei}i=1,2,3,... de V .Operador Escalera:Dada una base discreta, {|ei}i=1,2,3,... de V , podemos definir la accindel operador escalera, T1,

T1 |ei = c(i1) |ei1 T1 j i = c(i1) j i1 ,donde c(i1) son constantes. Claramente,

T1 = T1 j i |ej ei | =i1

c(i1) |ei1 ei |

Dado que T1 |e1 = |0, imponemos c(0) = 0.Jos D. Edelstein (USC) Tema IV: Operadores lineales mar-2011 7 / 54

Representacin covariante de un operador

Si O : H H es un operador lineal, podemos tomar los elementos de matriz

Oij = ei | O |ej ,

asociados a una representacin de la forma siguiente

O = Oij |ei ej | := Oij |ei ej | = Oij = g?ik Ok j ,

debido a la (anti)linealidad del producto escalar.

Si el producto escalar es no-degenerado detgij 6= 0, existe la relacin inversa

Ok j = g ik Oij gki gij = k j .

Los elementos de matriz transforman como el tensor mtrico:

Oi j = ei | O |ej = (O i i)?ei | O |ejO j j = (O i i)?Oij O j j .

En notacin matricial, O = OOO, donde O = Ot?. Notar la diferencia conla otra representacin del mismo operador, Oi j , O = O1O O.


La traza invariante y el operador cero

Slo para Ti j tiene la traza un significado invariante. En efecto, TrT := Ti i esun escalar y, por lo tanto, invariante bajo cambios de base:

Tii = O i

i Ti j O j i = O j i O i

i Ti j = j i Ti j = Ti i .

Lema: Sea O L(H) (H un espacio de Hilbert complejo). Si v|O v = 0, |v H, entonces O = O.Demostracin: Si v|O v = 0, |v H, entonces

v + w| O (v + w) = 0 = v|Ow+ w|O v = 0 ,mientras que

v + i w|O (v + i w) = 0 = v|Ow w|O v = 0 .Es decir, v|Ow = 0, |v, |w H. En particular, tomando |v = O |w,

O |w = 0 O |w = |0 O = O .Si H es un espacio de Hilbert sobre R, la demostracin del lema falla.


Base ortonormal y representaciones de un operador

Por ejemplo, en H = R2 con el producto escalar eucldeo, el operador Rpi2

querota cualquier vector, |v := (x , y), un ngulo pi2 en torno al origen,

Rpi2

: (x , y) (y , x) ,es claramente no-nulo, sin embargo verifica

v|Rpi2v = 0 |v H .

Recordemos que Gramm-Schmidt da una base ortonormal en la que subir ybajar ndices se reduce a la conjugacin compleja,

gij = ei |ej = ij = wj = w i? ij = w j? ,y para los elementos de matriz de O, a la identidad:

Oij = ik Ok j = Oi j .En una base ortonormal no se diferencian las dos representaciones de O.Si = R, gij forma las componentes de un (0; 2)-tensor simtrico. Si la basees ortonormal, wi = w i y Aij = Ai j .


Representacin continua: identidad

Si utilizamos una base continua {|w} V , con R, (e.g., las bases |x |p), tambin tenemos elementos de matriz

O = w| O |w ,y una representacin continua

O =d d O |w w | .

Veamos algunos ejemplos:

Operador Identidad: Anlogamente a lo encontrado antes,

I =d d ( ) |w w | =

d |w w| ,

en una base continua. As por ejemplo, en las bases de posicin y momento:

I =dx |x x| =

dp |p p| I =

d3x |~x ~x| .


Representacin continua: traslacin

Operador de Traslacin: Sea la base continua {|x} y la traslacin, Ta,Ta |x = c(x+a) |x + a ,

con un cambio de escala dado por el nmero c(x). Los elementos de matriz:

Ta xx = c(x) (x (x + a))

y, por lo tanto, admite una expansin

Ta =dx dx Ta x

x |x x| =

dx c(x+a) |x + a x| .

La accin de Ta sobre |f H en la base de posiciones, f (x) = x|f,

x|Ta |f =dy c(y+a) x|y + a y|f =

dy c(y+a) (x (y + a)) f (y) ,

de modo que Ta |f = |fa:x|Ta |f = x|fa = c(x) f (x a) ,

que representa la traslacin de la funcin f (x).Jos D. Edelstein (USC) Tema IV: Operadores lineales mar-2011 12 / 54

Representacin continua: posicin

Operador Posicin: Tomemos el operador de traslacin T0 y c(x) = x .El operador resultante se denomina posicin:

X =dx x |x x| .

La accin de este operador es diagonal sobre la base de posiciones:

X |x = x |x X x x = x|X |x = x (x x) .

Sobre cualquier elemento |f H es fcil de calcular en esta base

|X f := X |f =(

dx x |x x|)

dx f (x ) |x =dx x f (x ) |x ,

o, tomando el producto dual con x|,

f (x) = x|f = x|X f = x f (x) .


Representacin continua: momento y cambio de base

Operador Momento: El operador momento se define como el de posicin,pero en la base de momentos:

P =dp p |p p| .

Es decir, su accin es diagonal en esta base

P |p = p |p P p p = p|P |p = p (p p) .De forma totalmente anloga al operador de posicin, la accin del operadorde momento es sencilla en la base de momento:

f (p) = p|f = p|P f = p f (p) .

Cambio de base continua: Ante un cambio de base,

|w =d O |w ,

la posicin de los ndices dicta la transformacin de los elementos de matriz.


Cambio de bases continuas: el momento en la base de la posicin

Los elementos de matriz se transforman como sigue

O = w | O |w = w |(

d |w w|)O(

d |w w |)|w

=

d d w |wO w |w =

d d O

O O .

La expresin resultante es anloga a la obtenida anteriormente.

Para representar el operador momento P en la base de posiciones, el cambiode base, recordemos, viene dado por

x|p = 12pi

eipx = p|x? .

Entonces:

x|P |x =dp dp x|p p|P |p p|x =

dp dp

12pi

ei(pxpx ) p (p p)

=1

2pi

dp p eip(xx

) = i2pi

x

dp eip(xx

) = i x

(x x ) .


Relaciones de conmutacin

La composicin de operadores convierte a L(H) en lgebra no conmutativa,A(H), i.e., en general, AB 6= BA. Por ejemplo, en la base continua {|x}:

x |XP |f =dx x |X |x x |P |f = i

dx x (x x ) x f (x )

= x |XP |f = i x x f (x) ,y por otro lado

x |PX |f =dx x |P |x x |X |f = i

dx x(x x ) x f (x )

= idx x (x x ) x f (x ) = i

dx (x x ) x(x f (x ))

= i

dx (x x ) (f (x ) + x x f (x )) = if (x) ix x f (x) .Restando, la relacin de conmutacin define el lgebra de Heisenberg:

[X,P] = i I I A(H) .Jos D. Edelstein (USC) Tema IV: Operadores lineales mar-2011 17 / 54

Relaciones de conmutacin

El conmutador [X,P] es una relacin operatorial independiente de la base.

Podemos generalizar esto a una coleccin de operadores ~X = (X1,X2,X3)actuando sobre la base continua de posiciones, {|~x}, para L2(R3)

Xi =d3x x i |~x ~x | Xi |~x = x i |~x ~x|Xi |~x = x i (~x ~x ) .

En esta base tenemos que

~x |Xi f = x i f (~x) .Anlogamente, para el operador momento en la base |~p,

Pi =d3p pi |~p ~p| Pi |~p = pi |~p ~p|Pi |~p = pi (~p ~p) ,

y, equivalentemente,~p |Pi f = pi f (~p) .

Las relaciones de conmutacin involucran operadores en la misma direccin

[Xi ,Pj ] = i ij I .Jos D. Edelstein (USC) Tema IV: Operadores lineales mar-2011 18 / 54

La Representacin exponencial

Dado un operador acotado A A(H), definimos el operador T = eA mediantela expansin en serie de Taylor

T = I+ A +12A2 + . . . =

k=1

1k !Ak .

La composicin de exponenciales de operadores difiere de la multiplicacinde nmeros, a menos que estos conmuten entre s.

Lema: Sean A,B A(H). Si [A,B] = 0, entonceseA eB = eA+B .

Demostracin: Sea la familia uniparamtrica de operadores F(t) := etA etB,t R. Tenemos que

dF(t)dt

= AetA etB + etA BetB = (A + B)etA etB = (A + B)F(t) ,

F(t) = F(0)et(A+B) = et(A+B) F(1) = eA+B = eA eB .


Teorema de Baker-Campbell-Hausdorf

Si [A,B] 6= O, la situacin es ms complicada. Sean A,B A(H), tal que[A,B] conmuta con A y con B, entonces:

eA eB = eA+B e12 [A,B] .

Demostracin: Tomemos F(t) := etA etB y derivemos; ahora obtenemos

dF(t)dt

= AetA etB + etA BetB = (A + etA BetA)F(t) .

La expansin genrica del segundo trmino,

etA BetA = B + t [A,B] +t2

2[A, [A,B]] + . . .+

tn

n!

n [A, [. . . [A,B] . . .]] ,

se reduce a las dos primeras contribuciones. Entonces:

dF(t)dt

= (A + B + t [A,B])F(t) ,

F(t) = F(0)e(A+B)t+ 12 [A,B]t2 F(1) = eA eB = eA+B e 12 [A,B] .


Operador adjunto

Sea el operador A = |v w|,

A |u = w|u |v |u H .

Definimos el operador adjunto A,

A = ( |v w|) = ? |wv| ,

extendiendo la definicin de la manera natural a combinaciones lineales.

La operacin involucra el cambio de orden en el producto tensorial, sin el culno acabaramos con un operador, sino con un nmero ? v|w.Cualquier operador puede desarrollarse en una base {|ei}, recordemos, dedos maneras diferentes:

la representacin natural A Ai j = ei |A |ej, A = Ai j |ei ej |,la representacin covariante A Aij = ei |A |ej, A = Aij |ei ej |.

La conjugacin hermtica es diferente en cada representacin.Jos D. Edelstein (USC) Tema IV: Operadores lineales mar-2011 21 / 54

Conjugacin hermtica

El caso ms sencillo se presenta con la representacin covariante,

Aij = ei |A |ej = ej |A |ei ej |A |ei? = A?ji .

La matriz que representa al operador es la matriz adjunta A = At?.

En la representacin natural, A Ai j , la relacin es un poco menos sencilla

Ai j = ei |A |ej = ej |A |ei = A? j i = (gjk Ak l g li)?

Es ms prctico transformar a la representacin covariante,

Ai j Aij = gik Ak j .

Si la base utilizada es ortonormal, gij = ij , ambas condiciones son idnticas:

(A)i j = (Aj i)? .

En ese caso, A se representa con la matriz conjugada y traspuesta de lacorrespondiente a A.


Operador adjunto y producto escalar

La nocin de adjunto est ligada al producto escalar definido sobre H,(A |w, |v) := (|w,A |v) ,

que es equivalente a

Aw|v = w|Av w|A |v .De hecho, veamos que la definicin dada verifica esta propiedad. Usando

A =(Ai j |ei e j |

)= Ai? j |e j ei | ,

en el primer miembro de la ecuacin anterior,

Aw|v = v|Aw? = v|A |w? = (Ai? j)? v|e j? ei |w?

= Ai j e j |v w|ei = Ai j w|ei e j |v = w|Av .En resumen, las reglas del operador adjunto se reducen a:

() = ? |v = v| w| = |w ,Jos D. Edelstein (USC) Tema IV: Operadores lineales mar-2011 23 / 54

Operador hermtico

adems de invertir el orden de los elementos. En particular,

Av| = |Av := (A |v) = v|A ,todos los miembros de esta igualdad se definen en trminos del tercero.

Un operador A A(H), se dice que es hermtico con respecto al productoescalar (, ) definido en H, si coincide con su adjunto

A = A .

Claramente, un operador hermtico verifica que

Aw|v = w|Av |v, |w H .Lo ms interesante: esto implica que cualquier elemento de matriz diagonal:

v|Av? = Av|v = v|Av R |v H .En Mecnica cuntica estos elementos de matriz tienen la interpretacin devalores esperados de operaciones de medida, que deben ser reales.


Operador antihermtico

Un operador antihermtico verifica

A = A .A partir de un operador hermtico, B = B, podemos formar uno antihermticoA = i B, y viceversa: hay una relacin unvoca entre ambos conjuntos.

La exponencial un operador (anti)hermtico, A := eB, B = B, verifica

A =(eB)

=

(I+ B +

12B2 + . . .

)= I B + 1

2B2 + . . . = eB .

Si B es hermtico, A tambin, A = A,

Si B es antihermtico, A = A1.

Un operador O siempre se puede descomponer en la forma O = A + B,donde A es hermtico y B es antihermtico. De hecho:

O = O +O

2+O O

2:= A + B .


Operador unitario

Dado un operador lineal A A(V ), el operador inverso se define mediante

A1 A = AA1 = I .

Un operador invertible, U, se dice que es unitario con respecto a (, ) en H, siU = U1. Es una biyeccin lineal, U: H H que conserva (, ):

Uv|Uw = v|w |v, |w H .

En efecto,Uv|Uw = v|U Uw = v|w .

U deja invariante a la matriz de productos escalares (con respecto a la culU es el conjugado hermtico de U),

gij = ei |ej = Uei |Uej = ei |ej = gij .

En particular, transforma toda base ortonormal de H en otra. Un operadorunitario es isomtrico: ||U |v|| = |||v||, |v H (norma invariante).


Operador unitario

Dada una base {|ei}, la forma de U en la representacin natural es:gij = Uei |Uej = Uk i ek |U l j el = Uk? i ek |elU l j = Uk? i gkl U l j = gij .

En notacin matricial,U gU = g .

En una base ortonormal gij = ij y la ecuacin anterior se reduce a

U U = I .

Una matriz que represente a U tiene un determinante de modulo uno. Paraverlo, basta tomar determinantes y recordar que det Ut = det U,

det (Ut? gU) = (det U)? det g det U = |det U|2 det g = det g ,

= |det U|2 = 1 det U = ei [0,2pi) .

La representacin covariante U U ij es ms sencilla, ya que U Uij = U?jiy U1 U1ij = Uij = U1ij .


Proyector

Recordemos que si V = V1~V2, entonces existe una nica descomposicin|v = |v1+ |v2, |v V , con |vj Vj .La aplicacin lineal PVj : |v |vj, se llama proyector de V sobre Vj .

Proposicin: PVj es proyector sobre Vj V es idempotente: PVj 2 =

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