TEOREMA DE BERNOULLI TEOREMA DE BERNOULLI

GENERALIZADOGENERALIZADO

Dada una sucesión 1 2 3, , ,..... nx x x x

dos a dos independientes, con una

misma distribución de probabilidad y con

esperanza µ y varianza 2σ Se verifica que esperanza µ y varianza σ Se verifica que

0ε∀ >

El límite, en probabilidad, de la media muestral para

n → ∞ es igual a su esperanza matemática

1 0n n

P x ó P xlím límµ ε µ ε→∞ →∞

− ≤ = − > =

Demostración

1 2 3, , ,..... nx x x x

Son variables aleatorias independientes de una variable X

con esperanza y varianza iguales. 2( ) ( )i iE x y V xµ σ= =n

ixx

n= ∑ Es una función de 1 2 3, , ,..... nx x x x

1i

xn=

= ∑

Por lo tanto es otra variable aleatoria.

( ) ( )1 1

1 1. .

n ni

ii i

xE x E E x n

n n nµ µ

= =

= = = =

∑ ∑

( ) ( )2

2

2 21 1

1 1. .

n ni

ii i

xV x V V x n

n n n n

σσ

= =

= = = =

∑ ∑

Aplicando la desigualdad Aplicando la desigualdad de Tchebyshevde Tchebyshev

Consideramos

22

2.

nk k

n

σ εε

σ= ⇒ =

�

2

1. 1-P x k

kn

σµ

− ≤ ≥ �

2

1. 1-P x k

nn

σµ

ε

− ≤ ≥ �

2knε

�

2

2

nnε

ε

σ

�

2

2. 1-P x k

nnε

σ σµ

ε

− ≤ ≥

2

2< ó P x

n

σµ ε

ε − >

Aplicando Límite para n Aplicando Límite para n tendiendo a infinitotendiendo a infinito

2

2n n

P 1xlím límn

σµ ε

ε→∞ →∞

− ≤ ≥ −

n

P 1xlím µ ε→∞

− ≤ =

El teorema se puede generalizar a variables

aleatorias con distintas esperanzas y varianzas.

n→∞

n

0 P 0ó xlímε µ ε→∞

∀ > − > =

SUMA DE VARIABLES SUMA DE VARIABLES ALEATORIASALEATORIAS

Teorema del límite Teorema del límite centralcentral

El teorema afirma que, con ciertas restricciones leves, la distribución de la suma de un gran número de variables

aleatorias, tiene aproximadamente aleatorias, tiene aproximadamente una distribución normal.

El valor de este teorema es que no requiere

condiciones para las distribuciones de las variables

aleatorias individuales que se suman.

Enunciado del TLCEnunciado del TLC

Si S es la suma de un gran número de variables aleatorias, entonces, bajo ciertas condiciones, la función de densidad

de probabilidad de la variable aleatoria S se distribuye normalmente, para n tendiendo a infinito.

( )

n

iS µ=

−

=∑

∼ ( )1

2

1

0,1i

n

ii

z N

σ

=

=

=∑

∑∼

Observar que

1

( )n

ii

E s µ=

=∑ 2

1

( )n

ii

Sσ σ=

= ∑

Esta generalización es válida cuando las variables

aleatorias individuales sólo hacen una contribución

relativamente pequeña a la suma total

En particular, si las xi En particular, si las xi están idénticamente están idénticamente distribuidas, es decir, tienen la misma media y distribuidas, es decir, tienen la misma media y

la misma varianza, la misma varianza,

( )

( )1 1

( ) .

i

n n

i ii i

E x

E S E x E x n

µ

µ= =

=

= = =

∑ ∑

( ) 2σ=

Por ser las xi independientes.

( )

( )

2

2

1 1

( ) .

i

n n

i ii i

V x

V S V x V x n

σ

σ= =

=

= = =

∑ ∑

Entonces el teorema afirma que la fdp de la variable S

se distribuye normalmente

Luego( )0,1

.

S nz N

n

µ

σ

−= ∼

Ejemplo 1Ejemplo 1

Supóngase que un proceso de fabricación produce lavadoras

de las cuales, alrededor del 5% son defectuosas. Si se

inspeccionan 100 lavadoras ¿Cuál es la probabilidad de que

haya entre 2 y 6 lavadoras defectuosas?

( ) ( )2 6 3 ( 4) ( 5)P x P x P x P x< < = = + = + =

0,4977

( ) ( )2 6 3 ( 4) ( 5)P x P x P x P x< < = = + = + =

3 97 4 96 5 95100 100 1000,05 .0,95 0,05 .0,95 0,05 .0,95

3 4 5

= + + =

Comparemos el resultado del cálculo directo con el cálculo aproximado, es decir, aplicando el TCL:

Aplicamos el TCLAplicamos el TCL

Calculamos

E(x)=np=100.0,05=5 V(x)= np(1-p)=100.0,05.0,95= 4,75

( ) ( ) ( )6 5 2 5

2 6 0,46 1,384,75 4,75

P x − −

< < = Φ − Φ = Φ − Φ − = 4,75 4,75

0,6772 0,0838 0,5934

= − =

Comparamos con el resultado exacto 0,4977. No es una buena aproximación. Por ser x una variable discreta,

calculemos

( ) ( )

5 5 3 5(3 5)

4,75 4,75

0 0,92 0,5 0,1788 0,3212

P x − −

≤ ≤ = Φ − Φ =

= Φ − Φ − = − =

Tampoco es buena

aproximación

La distribución Binomial converge a la normal cuando n tiende a ∞∞∞∞ (teorema de de Moivre, caso particular del

teorema central del límite)

1 1

2 2Si a x b a x b≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤ +

a -0.5a

b + 0.5b

p(x)

Corrección por continuidadCorrección por continuidad

Para variables discretas, consiste en ampliar el intervalo en una unidad, es decir:

1 1

2 2Si a x b a x b≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤ +

0,4659

2 2

( )

( ) ( )

5,5 5 2,5 52,5 5,5

4,75 4,75

0,23 1,15 0,591 0,1251

P x − −

≤ ≤ = Φ − Φ =

= Φ − Φ − = − =

Es una buena aproximación

Ejemplo 2Ejemplo 2Una fábrica de productos alimenticios produce carne enlatada, con un peso

medio de 250 grs y una varianza de 900 grs cuadrados por lata. Si los pesos de las latas son estadísticamente independientes. Las cajas

contienen 60 latas. Se elige una al azar, hallar la probabilidad de que:

a) El peso de la caja sea a lo sumo 14,5 kg.

b) El peso de la caja sea al menos 15,3 kg.b) El peso de la caja sea al menos 15,3 kg.

: es el peso de cada lata C: es el peso de la cajaix

2( ) 250 . ( ) 30i iE x grs V x grs= =

( )60 60 60

1 1 1

( ) 60.250 15.000 15 .i i ii i i

C x E C E x E x grs kg= = =

= ⇒ = = = = =

∑ ∑ ∑

( )60 60

2

1 1

( ) 60.900 54.000

( ) 60.900 60.30 232,38 0,23238

i ii i

V C V x V x grs

C grs kgσ

= =

= = = =

⇒ = = = =

∑ ∑

Calculamos las probabilidades Calculamos las probabilidades pedidaspedidas

( ) ( )14,5 15

) 14,5 2,15 0,01580,23238

a P C−

≤ = Φ = Φ − =

( ) ( )15,3 15

) 15,3 1 1 1,290,23238

1 0,9015 0,0985

b P C−

≥ = − Φ = − Φ =

= − =

Consideraciones finalesConsideraciones finales

• El n que se requiere para aplicar el teorema central del

límite en gran parte depende de la forma de la

distribución de las variables aleatorias individuales que

se suman

•Si los sumandos están normalmente distribuidos , al

aplicar el teorema central del límite, las probabilidades aplicar el teorema central del límite, las probabilidades

obtenidas son exactas. No importa n.

•Si no se conoce la distribución de los sumandos, para n

mayor o igual que 25, se obtienen buenas

aproximaciones.

•Si las variables aleatorias se distribuyen binomialmente,

n >10 si p 0,5

tambien si p 0 ó 1 , n debe ser bastante mayor.

≅

≅