Teorías

• ¿Que es una teorıa?

• Ya hemos usado antes la nocion de base de conocimiento

• Este concepto se refiere a un conocimiento, representado a traves de axiomas.

• Una teorıa acerca de una base de conocimiento Σ contendra no solo a Σ sinoque a todo lo que se puede deducir de Σ.

• Formalmente,

Definicion 31. Una conjunto de oraciones Σ ∈ L(S) es una teorıa ssi:

– Es cerrado con respecto a la consecuencia logica. Es decir, Σ |= ϕ⇒ ϕ ∈ Σ.– Es consistente.

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¿Para qué queremos una teoría?

• En aplicaciones computacionales de logica nos interesa poder tener algoritmosque verifiquen la pertenencia de cierto conocimiento a las teorıas.

• Nos interesa analizar que tipos de teorıas existen y que propiedades tienenrelacionadas con el conocimiento que se puede obtener de ellas.

• Conociendo estas propiedades sabremos que tipo de teorıas son las interesantesde modelar computacionalmente.

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Obteniendo teorías

• Existen varias formas de generar teorıas.

• Primera Forma: A partir de un conjunto de axiomas.

La teorıa generada a partir del conjunto de axiomas AX es

Th(AX) = {ϕ |AX |= ϕ}

• Segunda Forma: A partir de una estructura E .

La teorıa queda formada por todas las oraciones que son verdaderas en ella:

Th(E) = {ϕ | E |= ϕ}

Ejemplo: La teorıa formada a partir de N = 〈N, ·,+, 0, 1〉

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Teorías Completas

• Definicion 32. Una teorıa de Σ ⊆ L(S) es completa ssi

Σ |= ϕ o Σ |= ¬ϕ

Esto significa que cada oracion es verdadera o falsa en la teorıa.

Consideremos nuevamente los axiomas de la teorıa de grupos, AXG:

∀xyz x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z (asociatividad)

∀xx ◦ e = e ◦ x = x (identidad, e es elemento neutro)

∀xx ◦ i(x) = e (existencia de un inverso)

¿Es Th(AXG) una teorıa completa?

La respuesta es no, de hecho, la siguiente formula

ϕ := ∀x∀y (x ◦ y = y ◦ x)

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es tal que

Σ 6|= ϕ y Σ 6|= ¬ϕ

¿Es Th(N) una teorıa completa?

La respuesta es sı. En general, todas las teorıas que provienen de estructuras soncompletas.

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Teorías decidibles

• Definicion 33. Una teorıa Σ ⊆ L(S) es decidible si existe un algoritmo M quedice SI si Σ |= ϕ y dice NO si Σ 6|= ϕ.

• Si una teorıa es decidible, siempre podemos construir una maquina que verifiquela pertenencia de cualquier oracion a la teorıa.

• Por el teorema de Church-Turing, sabemos que la teorıa Σ = {} es indecidible.

• Pero, ¿que pasa con otras teorıas? ¿son todas las teorıas de primer ordenindecidibles?

Respuesta: Hay algunas indecidibles y otras no.

Por ejemplo, la teorıa de grupos es indecidible, pero la teorıa de gruposconmutativos es decidible.

• ¿Que consecuencias tiene el hecho que queramos trabajar con una teorıaindecidible?

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Axiomatizabilidad Finita

• Hace poco dijimos que una forma de generar teorıas es haciendolo a partir deuna estructura.

• Evidentemente, no resulta computacionalmente atractivo almacenar toda unateorıa.

• Lo que nos podrıa interesar es tener un conjunto finito de axiomas a partir delcual pudiesemos generar la teorıa.

• Una teorıa para la cual existe tal conjunto de axiomas es denominada finitamenteaxiomatizable. Formalmente,

Definicion 34. Una teorıa Σ ⊆ L(S) es finitamente axiomatizable, si es queexiste un conjunto finito de axiomas AX ⊆ L(S) tal que

Σ = Th(AX) = {ϕ ∈ L(S)|AX |= ϕ}

Teorema 9. Si Σ es una completa y finitamente axiomatizable, entonces Σ esdecidible.

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• Demostracion: Ejercicio.

• De la demostracion es posible darse cuenta que no es realmente necesario que elconjunto de axiomas sea finito para poder obtener el resultado de decidibilidad.Basta con que sea recursivamente enumerable.

• ¿Sera posible construir una maquina que sea capaz de enumerar todas las verdadesde la aritmetica?

En otras palabras, ¿es posible construir una maquina que sea capaz de demostrar(o refutar) todos los teoremas de la aritmetica?

• Dado el teorema anterior, para demostrar esto solo necesitamos demostrar queTh(N) es finitamente axiomatizable, o, al menos que puede ser generada a partirde un conjunto recursivamente enumerable de axiomas.

• Lamentablemente, la respuesta a esta pregunta es NO y constituye el primerteorema de incompletitud de Godel.

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Teoremas de Incompletitud de Gödel

• El primer teorema de incompletitud de Godel responde precisamente la preguntaque nos acabamos de hacer.

Teorema 10. [Primer Teorema de Incompletitud de Kurt Godel] SeaAX ⊆L({+, ·, 0, 1}) un conjunto de axiomas recursivamente enumerable y consistente.Entonces siempre existe una oracion ϕ ∈ L({+, ·, 0, 1}) tal que

N |= ϕ, pero

AX 6|= ϕ

Las conclusiones de este teorema son muy fuertes: cualquier axiomatizaciondecente de la aritmetica dejara siempre al menos una verdad (oracion) que nopodremos demostrar.

Podemos concluir que

– Th(N) no es finitamente axiomatizable.

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Demostrando el Primer Teorema de Incompletitud de Gödel

• Advertencia: La demostracion que veremos de este teorema tendra algunasomisiones importantes.

• Supongamos que tuvieramos una maquina M que es capaz de demostrar todoslos teoremas de la aritmetica.

• Es decir, que M es una maquina que enumera recursivamente a los elementos deTh(N).

• Si Th(N) fuera axiomatizable finitamente, tal maquina puede ser construidaporque serıa posible usar el sistema deductivo de Hilbert para encontrar todas lasverdades de la aritmetica.

• La idea principal de la demostracion de Godel es que es posible escribir en unlenguaje logico lo suficientemente expresivo para representar a la aritmetica unaformula que dice lo siguiente:

ϕ := “M no puede demostrar esta formula”

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• Supongamos que M puede demostrar esa formula. Entonces concluimos que estaes un teorema, es decir es verdadera. Pero decir que es verdadera implica aceptarque M no pudo haber demostrado la formula, lo que implica una contradiccion.

• Por lo tanto podemos concluir que ϕ no se puede ser demostrada por M , luegoϕ es verdadera!

• Si tal maquina existiese, tendrıamos una formula que es verdadera en la aritmetica(si es que la formula existe), pero que no se puede demostrar por una maquina.

• La demostracion del teorema de Godel consiste en demostrar que la oracionϕ existe en cualquier teorıa lo suficientemente poderosa para representar a losnaturales.

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Números de Gödel

• Los numeros de Godel son numeros naturales que se le asignan unicamente acada expresion del lenguaje.

• No daremos formalmente una construccion de los numeros de godel pero enesencia:

– A cada expresion del lenguaje (oracion, pedazos de oracion, etc.) le correspondeun numero de Godel unico.

– A partir de un numero de Godel cualquiera, es posible computar la expresionque le corresponde.

– Si ϕ es una formula, denotaremos como dϕe al numero de Godel de ϕ.

• Teorema 11. [de diagonalizacion] Para cualquier formula ψ(y) (con y comovariable libre), es posible encontrar una oracion G tal que

T |= G↔ ψ(dGe),

Donde T es una teorıa sufucientemente poderosa como para representar a losnaturales.

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Recursividad enumerable es definible

• Impongamos la siguiente restriccion sobre M : Diremos que M responde SI alrecibir como entrada a dϕe ssi ϕ es verdadera.

Teorema 12. Si M es una MT, entonces es posible construir una oracion deprimer PM(w) que sera verdadera ssi M acepta a w.

En parte, la demostracion de este teorema la vimos cuando analizamos laindecidibilidad de la logica de predicados.

• Podrıamos pensar a M como una maquina que usa el sistema deductivo de Hilbertpara generar todas las consecuencias de un conjunto recursivamente enumerablede axiomas AX.

• Luego, existe una formula PM(y) que es capaz de decir si y es un teorema de laartimetica.

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Finalmente, la demostración

• Por el teorema de diagonalizacion, si T es una teorıa suficientemente expresivacomo para representar a los naturales, entonces existe un ϕ tal que:

T |= ϕ↔ ¬PM(dϕe) (*)

• Supongamos que ϕ es un teorema de la aritmetica. Por (*) tenemos que ϕ nose puede demostrar. Esto implica que la axiomatizacion interna que posee lamaquina no es completa.

• Supongamos que ϕ no es un teorema (es falsa). ¡Entonces (*) dice que la formulase puede demostrar! ¡Esto implica que el conjunto de axiomas es inconsistentecon la aritmetica!

• Luego, si queremos tener un sistema que axiomatice la aritmetica vamos siemprea tener dos posibilidades:

– Que la axiomatizacion sea incompleta.– Que la axiomatizacion sea inconsistente.

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• El segundo teorema de incompletitud de Godel tiene que ver precisamente sobreesta segunda posibilidad.

• Esencialmente, dice que no es posible demostrar la consistencia de un conjuntode axiomas que representan a la aritmetica usando los mismos axiomas de laaritmetica.

• Para poder demostrar la consistencia de esta tendrıamos que recurrir a otrolenguaje que hable sobre ella.

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Axiomatizando los Naturales con Segundo Orden

• Aun cuando hay limitaciones computacionales inherentes al intentar modelarla aritmetica de primer orden usando logica de primer orden, es posible daraxiomatizaciones que caractericen fielmente a los naturales.

• Supongamos el lenguaje de segundo orden LII({}, {+, ·}, 0, 1).

• Giuseppe Peano propuso en 1889, la siguiente axiomatizacion para los naturales:

∀x¬x+ 1 = 0,

∀x∀y (x+ 1 = y + 1 → x = y),

∀xx+ 0 = x,

∀x∀y x+ (y + 1) = (x+ y) + 1

∀xx · 0 = 0,

∀x∀y x · (y + 1) = x · y + x

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• Ademas del axioma de segundo orden:

∀P ([P (0) ∧ ∀x (P (x) → P (x+ 1))] → ∀xP (x))

• Este es el axioma de induccion de los naturales.

• En la logica de primer orden, ademas de permitirse cuantificar por objetos, sepermite cuantificar sobre propiedades.

• Cualquier estructura que sea modelo de estos axiomas debe ser tal que lapropiedad se cumple para todas las relaciones unarias.

• Esta axiomatizacion captura completamente en la logica a la estructura de losnaturales:

Teorema 13. [de Dedekind] Sea APII la axiomatizacion para los naturales dePeano. Toda estructura A tal que A |= APII es esencialmente la estructuraN = 〈N, ·,+, 0, 1〉. Es decir,

A |= APII entonces A ∼= N

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• A ∼= N significa que A y N isomorfas, es decir, que son esencialmente la misma;A y N pueden ser hechas iguales a traves de un cambio de nobre de sus miembros.

• Parece que esto solucionara los problemas antes planteados por el teorema deincompletitud de Godel y la decidibilidad de la aritmetica.

• Sin embargo, la logica de segundo orden:

1. No tiene, demostradamente, un sistema formal deductivo completo.2. No hay un metodo para generar todas las oraciones que son universalmente

validas.3. Otras propiedades no se cumplen; por ejemplo, compacidad.

• El punto 1 implica que no es posible construir un maquina que responda que SIfrente a la consulta APII |= ϕ cuando ϕ sea un teorema de la aritmetica.

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