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Universite Antonine Semestre-2Annee 2013-2014
Feuille 5Integrales triples
Exercice 1. Soit V le domaine :
V ={
(x, y, z) R3, x2 + y2 + (z 1)2 6 1, z 6 1} .Montrer que
Vdxdydz peut secrire sous la forme :
1. ba(
Ddxdy)dz en precisant les valeurs de a et b.
2.
D( (x,y)(x,y)
dz)dxdy en precisant les expressions de et .
Exercice 2. Calculer le volume dune sphe`re centree en O et de rayon R.
Exercice 3. Soit V = [0, 1] [0, 2] [1, 1], calculer V
x2yexyzdxdydz
Exercice 4. Calculer I1 =
Vxzdxdydz et I2 =
Vx2zdxdydz ou`
V ={
(x, y, z) R3, z 6 1, x2 + y2 6 z} .en utilisant la methode des batons et la methode des tranches.
Exercice 5. Calculer
Df(x, y, z)dxdydz ou` f(x, y, z) = z
x2+y2
et D = {(x, y, z) R3;x2 + y2 6 a2 et 0 < z < a}
Exercice 6. Soit V le volume defini par V = {(x, y, z) R3, x2 + y2 6 z 6 1} .1. Calculer le volume V.
2. Calculer
Vx2zdxdydz
Exercice 7. Soit V = {(x, y, z) R3, 0 6 x, 0 6 y, x2 + y2 + z2 6 4} .Calculer
Vxyzdxdydz
Exercice 8. Calculer
Vzx
2+y2dxdydz ou` D = {(x, y, z) R3, x2 + y2 6 4, 0 6 z 6 1} .
Exercice 9. Soit D le domaine de R3 limite par les surfaces dequations z = 25 x2 y2et le plan z = 9.En utilisant les coordonnees cylindriques, calculer
D
(5x2 + y2)dxdydz
1
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Exercice 10. Calculer le centre de gravite du domaine V, de masse volumique 1, defini par
V ={
(x, y, z) R3, x2 + y2 6 1, 0 6 z 6 1} .Exercice 11. Calculer le volume de lellipsode
V =
{(x, y, z) R3, x
2
a2+y2
b2+z2
c26 1}.
On suppose que a, b et c sont des nombres reels donnes strictement positifs.
Exercice 12. Calculer le centre de gravite du domaine
V ={
(x, y, z) R3, x > 0, y > 0, z > 0, xa
+y
b+z
c6 1}.
On suppose que a, b, et c sont des constantes strictement positives et que le domaine esthomoge`ne, c.a`-d. de masse volumique constante.
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