PSI - 2013/2014 1

TD C4 - Correction

1 Guide d'ondes

4. Pour déterminer la vitesse de propagation de l'énergie, on utilise le même raisonnement que

dans le chapitre C3 (cf. poly page 13).

En considérant l'énergie électromagnétique δUem traversant une surface dS pendant un inter-

valle de temps dt, on obtient, en notant vE la vitesse de propagation de l'énergie :

δUem = uem−→vE ·

−→dS dt =

−→Π ·

−→dS dt soit ⟨

−→Π ⟩ = ⟨uem⟩−→vE

Connaissant les expressions de−→E et

−→B , on peut exprimer :

uem =1

2ε0E

2 +B2

2µ0et

−→Π =

−→E ∧

−→B

µ0

Il vient, en passant aux valeurs moyennes temporelles :

⟨uem⟩ = 1

2ε0E

20 sin

2(πz

a

)+

E20

2µ0

[( π

aω

)2cos2

(πza

)+

(k

a

)2

sin2(πz

a

)]

et :

⟨−→Π ⟩ = E20

µ0

k

2ωsin2

(πza

)−→uxOn utilise la relation de dispersion pour éliminer k2 dans l'expression de ⟨uem⟩ :

k2 =ω2

c2− π2

a2

et on obtient, après calcul :

vE =k

ωc2 soit vE = vg

On constate que vE = vg : on véri�e bien que la vitesse de groupe correspond à la vitesse de

propagation de l'énergie.

2 TD C4 - Correction

3 Ondes à la surface de l'eau

1. La dimension de la constante de tension super�cielle γ véri�e : [k] =

[gµ

k2

]Sachant que [g] = L.T−2 (accélération), [µ] = M.L−3 (masse volumique) et [k] = L−1 (vecteur

d'onde), on obtient [γ] = M.T−2 Ainsi, γ s'exprime en kg.s−2.

2. Les e�ets de la pesanteur et ceux de la tension super�cielle sont identiques lorsque :

gk =γk3

µsoit k2 =

µg

γ

Puisque [k] = L−1, ceci permet de dé�nir une longueur caractéristique ℓc par ℓc =

√γ

µg

3. (a) • Si λ ≪ ℓc, les e�ets de tension super�cielle l'emportent et la relation de dispersion

se simpli�e en :

ω2 =γ

µk3tanh(kh)

• Si λ ≫ ℓc, les e�ets de pesanteur l'emportent et la relation de dispersion devient :

ω2 = gk tanh(kh)

(b) Puisque kh =2π

λh, on a tanh(kh) ≃ kh lorsque h ≪ λ et tanh(kh) ≃ 1 lorsque h ≫ λ.

On résume les expressions de vφ et vg pour les di�érents cas dans le tableau suivant :

λ ≪ ℓc λ ≫ ℓch ≪ λ h ≫ λ h ≪ λ h ≫ λ

vφ

√hγ

µk

√kγ

µ

√gh

√g

k

vg 2vφ3

2vφ vφ

1

2vφ

Il y a dispersion dans tous les cas sauf pour les ondes de gravité de faible profon-

deur (λ ≫ ℓc et λ ≫ h), pour lesquelles la vitesse de phase ne dépend pas de k.

4. Application numérique pour l'eau (γ = 0, 073 SI et µ = 103 kg.m−3) : ℓc ≈ 2, 7 mm

• Pour une onde de marée de longueur d'onde 1000 km et de profondeur 5 km par exemple,

on est dans le cas des ondes de gravité en eau peu profonde (λ ≫ ℓc et λ ≫ h), d'où :

vφ = vg =√

gh = 220 m.s−1

Remarque : il y a deux ondes de marées par jour, une telle onde doit donc parcourir environ

la moitié de la circonférence du globe, soit 20000 km. Avec la valeur de vitesse trouvée, en

12 heures cette onde parcourt une distance d = 12× 3600× 220 ≃ 107 m = 10000 km : l'ordre

de grandeur est correct.

PSI - 2013/2014 3

• Pour une houle de faible longueur d'onde, dans un océan profond, on est dans le cas λ ≫ ℓcet λ ≪ h, d'où :

vφ = 2vg =

√g

k=

√gλ

2π≃ 3 m.s−1

Remarque : cette vitesse correspond bien à l'ordre de grandeur de la vitesse de la houle observée

en plein océan (cette vitesse est peu di�érente de celle des vagues arrivant au bord).

• En�n, pour une onde dans une cuve à onde, λ ≫ ℓc et λ ≫ h, d'où :

vφ = vg =√

gh ≃ 0, 1 m.s−1

Remarque : cette vitesse correspond bien à l'ordre de grandeur de la vitesse des ondes à la

surface de l'eau dans un évier, lorsque le robinet coule et que la bonde est ouverte.

5. (a) Au premier ordre, pour une onde de gravité avec h ≪ λ (soit tanh(kh) ≃ kh), la relation

de dispersion devient w2 ≈ ghk2 On en déduit les vitesses de phase et de groupe :

vφ =ω

k=√

gh et vg =dω

dk=√

gh

Dans ce cas, la propagation des vagues n'est pas dispersive puisque la vitesse de phase

ne dépend pas de ω.

Avec λ = 10 m et h = 1 m, on trouve que les vagues se déplacent à environ 3 m.s−1 à

proximité du rivage, ce qui correspond bien à l'ordre de grandeur observé en réalité (on

retrouve le même ordre de grandeur que la vitesse de la houle en pleine mer, ce qui est

en accord avec l'expérience).

(b) Lorsque l'onde se rapproche du rivage, la variation de hauteur entre le bas et le haut de

l'onde devient importante. Or, la vitesse de l'onde étant proportionnelle à√gh, la partie

haute de l'onde se déplace nécessairement plus vite que sa partie basse, ce qui génère la

formation d'une vague. Il peut alors y avoir déferlement, plus ou moins loin du bord

en fonction de la topologie du fond marin et de l'amplitude de la houle. Notons que cet

e�et est ampli�é par le fait qu'à l'approche du rivage, l'amplitude de l'onde augmente

par simple conservation du débit d'eau déplacée par l'onde.

Figure 1 � Schéma de principe du déferlement des vagues.

(c) L'indice est dé�ni par analogie avec l'optique par : n =c0

c=

√gh0√gh

=

√h0

h

Près des côtes, si h0 est �xé, comme la hauteur d'eau diminue, on en déduit que l'indice

augmente. Les vecteurs d'onde−→k vont donc avoir tendance à se rapprocher de la

direction normale à la côte, de la même façon que les rayons lumineux se rapprochent

de la normale lors du passage vers un milieu plus réfringent. Expérimentalement, on

constate bien que les vagues ont tendance à s'aligner avec la plage.

4 TD C4 - Correction

4 Ondes mécaniques sur des pendules couplés

1. Le moment de la force de frottement �uide−→f = −α−→v s'exerçant en un point M d'une barre

est donné par : −→M(M) =−−→OM ∧ (−α−→v (M)) = −αr2θ̇−→u z

On en déduit la valeur moyenne du moment qui s'exerce sur toute la longueur ℓ de la barre :

⟨−→M⟩ =1

ℓ

∫ ℓ

0

−→M(M)dr = −αℓ2

3θ̇−→uz

Sachant que ⟨−→M⟩ = −fθ̇, on en déduit en�n l'expression du coe�cient f :

f = αℓ2

3

2. Chaque pendule est soumis à son poids, aux actions exercées par les �ls de torsion reliés à

ses deux voisins et au couple de frottement �uide. Le théorème du moment cinétique

appliqué au point On, �xe dans le référentiel du laboratoire assimilé à un référentiel galiléen,

s'écrit, en projection sur l'axe (Ony), sachant que le moment de la force de réaction est nul

car cette dernière s'applique sur l'axe (Onx) :

mℓ2

3θ̈n = −C (θn − θn+1)− C (θn − θn−1)−

mgℓ

2sin θn − fθ̇n

A�n de déterminer les signes des couples de torsion, on a utilisé le fait que :

� si θn > θn+1 : la barre n+ 1 a tendance à faire tourner la barre n dans le sens négatif avec

l'orientation choisie sur la �gure.

� si θn > θn−1 : de même, la barre n − 1 a tendance à faire tourner la barre n dans le sens

négatif avec l'orientation choisie sur la �gure.

3. En utilisant l'approximation des milieux continus, on obtient :

mℓ2

3

∂2θ

∂t2= −C [θ(x, t)− θ(x+ d, t)]− C [θ(x, t)− θ(x− d, t)]−

mgℓ

2sin θ − f

∂θ

∂t

4. E�ectuons des développements de Taylor à l'ordre 2 :

θ(x+ d, t) = θ(x, t) + d∂θ

∂x+

d2

2

∂2θ

∂x2et θ(x− d, t) = θ(x, t)− d

∂θ

∂x+

d2

2

∂2θ

∂x2

En réinjectant dans l'équation de la question précédente, on obtient :

mℓ2

3

∂2θ

∂t2= Cd2

∂2θ

∂x2−

mgℓ

2sin θ − f

∂θ

∂t

On obtient donc une équation aux dérivées partielles, non linéaire à cause du terme sin θ.

5. Dans l'approximation des petits mouvements, θ reste faible de sorte qu'on peut écrire :

sin θ ≃ θ. L'équation précédente peut alors être linéarisée :

mℓ2

3

∂2θ

∂t2= Cd2

∂2θ

∂x2−

mgℓ

2θ − f

∂θ

∂t

Notons qu'on retrouve bien une équation de d'Alembert si on néglige l'in�uence du poids

et des frottements, et on obtient une célérité c =

√3Cd2

mℓ2.

PSI - 2013/2014 5

6. L'équation précédente étant linéaire, on peut utiliser la notation complexe. En réinjectant

l'expression complexe de θ, on obtient :(mℓ2ω2

3− Cd2k2 −

mgℓ

2− jfω

)θ = 0

On obtient ainsi pour θ ̸= 0 la relation de dispersion suivante :

k2 =mℓ2ω2

3Cd2−

mgℓ

2Cd2−

jfω

Cd2

On véri�e ici que si ω est réel, k est nécessairement complexe.

7. (a) Si ω est � grand �, les termesmgℓ

2Cd2et

jfω

Cd2sont négligeables devant le terme en ω2.

La relation de dispersion devient alors :

k2 =mℓ2ω2

3Cd2

Dans ce cas :

k′ =

√mℓ2

3Cd2ω et k′′ = 0

La vitesse de phase est donnée par :

vφ =ω

|k′|=

√3Cd2

mℓ2

La vitesse de phase est indépendante de ω, donc le milieu est non dispersif.

De plus, k′′ = 0, donc le milieu est non absorbant.

Il n'est pas surprenant d'obtenir ce résultat car on a négligé la pesanteur et les frotte-

ments : on est ramené au cas de l'équation de d'Alembert (cf. question 5).

(b) Dans ce second cas, la relation de dispersion devient :

k2 =mℓ2ω2

3Cd2−

jfω

Cd2

En utilisant un développement limité au premier ordre, on obtient :

k = ±

√mℓ2ω2

3Cd2

√1−

3jf

mℓ2ω≃ ω

√mℓ2

3Cd2

(1−

3jf

2mℓ2ω

)

de sorte que :

k′ = ±

√mℓ2

3Cd2ω et k′′ = ∓f

√3

4mℓ2Cd2

La vitesse de phase est donné par :

vφ =ω

|k′|=

√3Cd2

mℓ2

6 TD C4 - Correction

La vitesse de phase est indépendante de ω, donc le milieu reste non dispersif. De plus,

pour une onde se propageant dans le sens des x positifs, on doit avoir k′ > 0, soit k′′ < 0 :

le milieu est donc absorbant. L'amortissement se fait sur une distance caractéristique :

δ =1

|k′′|=

√4mℓ2Cd2

3f2

On voit que l'amortissement est directement relié au couple de frottement, et que la

distance caractéristique d'amortissement est d'autant plus faible que f est grand.

8. La relation de dispersion précédente devient, dans le cas f = 0 :

k2c2 = ω2 − ω2c

en posant

c =

√3Cd2

mℓ2et ωc =

√3g

2ℓ

• Si ω > ωc, k2 > 0 et le vecteur d'onde k est réel, avec

k′ = ±√

ω2 − ω2c

cet k′′ = 0

La vitesse de phase vaut :

vφ =ω

|k′|= c

√√√√√√1 +1

ω2

ω2c

− 1

Elle dépend de la pulsation ω donc le milieu est dispersif. En revanche, il est non absorbant

car k′′ = 0, ce qui est cohérent puisqu'on a négligé les frottements.

• Si ω < ωc, k2 < 0, et le vecteur d'onde est imaginaire pur :

k′ = 0 et k′′ = ±√

ω2c − ω2

c

A�n d'interpréter ce cas, revenons à l'expression réelle de θ(x, t) :

θ(x, t) = Aek′′x cos(ωt)

où le signe de k′′ peut être déterminé en fonction des conditions aux limites.

La vitesse de phase est nulle, mais le milieu est absorbant. Les variables spatiales et tem-

porelles sont découplées, c'est-à-dire qu'on a a�aire ici à une onde stationnaire, ce qui est

cohérent avec le fait que la vitesse de phase soit nulle. Cependant, contrairement à ce qu'on

a vu jusqu'à présent, il n'y a ni ventres, ni n÷uds. Cette onde stationnaire décroissant

exponentiellement avec une coordonnées de l'espace est en général appelée � onde stationnaire

évanescente �.