TD AL 4

TD AL 4 - Complexes et trigonométrie

Exercice 11. Calculer le nombre z = (2− 3i)(1 + 2i)(3− 2i)(2 + i).

2. Déterminer sous forme algébrique le nombre complexe z =1 + ki

2k + (k2 − 1)ioù k est un réel donné.

Exercice 2Soit ϕ ∈ [−π, π]. Déterminer le module et un argument des nombres :

z1 = −1 + i√3 z2 =

1 + i√3√

3 + i

z3 = 1 + cosϕ+ i sinϕ z4 =1 + i tanϕ

1− i tanϕ

Exercice 3Soient z1 =

1

2

(√6− i

√2)et z2 = 1 + i.

1. Déterminer le module et un argument de Z =z1z2

.

2. Exprimer Z sous forme algébrique.

3. En déduire les valeurs de cosπ

12et sin

π

12.

Exercice 41. Déterminer les racines quatrièmes de i, puis celles de 28 + 96i.2. Déterminer les racines carrées de 5 + 12i.

Exercice 51. Montrer que l’équation 4z3 − 6i

√3z2 − 3

(3 + i

√3)z − 4 = 0 admet une solution réelle, puis résoudre cette

équation dans C.2. Montrer que l’équation z3 − (5 + i)z2 + (9 + 4i)z − 3(3 + i) = 0 admet une solution réelle, puis résoudre cette

équation dans C.3. Soit ϕ ∈ R. Résoudre dans C l’ équation : z2 − 2z cosϕ+ 1 = 0.

Exercice 6Soient a ∈ R et n ∈ N∗.

1. Résoudre dans C l’équation : (z + 1)n = cos(2na) + i sin(2na).

2. En déduire une expression simple de Pn(a) =

n−1∏k=0

sin

(a+

kπ

n

).

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TD AL 4

Exercice 7Déterminer l’ensemble des pointsM(x, y) du plan complexes dont l’affixe z vérifie l’une des conditions suivantes :

1. Les points d’affixes 1, z, z3 sont alignés.2. Les points d’affixes 1, z, z3 forment un triangle rectangle en M .3. Les points d’affixes 1, z, z3 forment un triangle rectangle et isocèle en M .

4.(z − i− 1

iz + 1

)2

est réel.

5.z2

z + iest un imaginaire pur.

6. |z| = 2|z − i|.

Exercice 8Soient a et b deux nombres complexes. On pose c =

a− b1− ba

.Montrer :

1. |c| = 1⇔ (|a| = 1 ∨ |b| = 1).2. |c| < 1⇔ [(|a| < 1 ∧ |b| < 1) ∨ (|a| > 1 ∧ |b| > 1)].

Exercice 9Soient n ∈ N et (a, b) ∈ R2 tels que b 6= 0 [2π]. Calculer les sommes :

1. Cn =

n∑k=0

cos(a+ kb) et Sn =

n∑k=0

sin(a+ kb).

2. Tn =

n∑k=0

ak cos(kb) et Un =

n∑k=0

ak sin(kb).

Exercice 10Résoudre dans R l’équation suivante :

1 + cosx

1− cos 2x= 1.

Exercice 11

1. Montrer l’égalité : 2 sinπ

7

(cos

π

7+ cos

3π

7+ cos

5π

7

)= sin

6π

7.

2. En déduire la valeur exacte de S = cosπ

7− cos

2π

7+ cos

3π

7.

Exercice 12Montrer que, pour tout réel t, on a :

tan(π4− t)=

cos 2t

1 + sin 2t.

Exercice 13On suppose que a+ b+ c = π. Montrer que :

1. sin a+ sin b+ sin c = 4 cosa

2cos

b

2cos

c

2.

2. tan a+ tan b+ tan c = tan a tan b tan c.

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