1

IUT 1 DE GRENOBLE

Département mesures physiques

Cours de Mathématiques Premier semestre

Jean-Marie De Conto

2

Chapitre 1 : Rappels de trigonométrie Cercle trigonométrique : Il s’agit du cercle de rayon 1, centré sur l’origine O.

On définit la mesure « principale » de l’angle (AOM), notée θ, par )(AM , la longueur de

l’arc sur le cercle unité. La rotation dans le sens positif correspond au sens inverse des aiguilles d’une montre. Unité : un angle s’exprime, sauf indication contraire, en radians, unité légale. On utilise bien sûr d’autres unités comme le degré.

180deg radiansrés

Longueur d’arc : Un arc défini par un angle θ (en radians) sur un cercle de rayon R a pour longueur R θ. Les angles sont comptés positivement dans le sens trigonométrique, inverse des aiguilles d’une montre. Un angle de 2π correspond à une rotation d’un tour complet. La mesure d’un angle est définie à 2π près. L’angle π correspond à un demi tour dans le sens direct, et à –π dans le sens rétrograde. Propriété : Les angles sont définis dans l’intervalle [0,2π] ou [-π,+π], de manière identique. Ils sont définis à un nombre entier de tours près. On écrira donc de manière générale :

k20

Avec k entier et :

]2,0[0 ou ],[0

O

M

A

x

y

P

Q

3

Fonctions trigonométriques : On définit :

sin

coscot

cos

sintan

sin

cos

____

____

OM

OP

OM

OQ

Attention aux grandeurs algébriques (avec un signe).

Angles remarquables La table qui suit est à connaître par cœur

θ sin cos

0 0 1

6

2

1

2

3

4

2

2

2

2

3

2

3

2

1

2

1 0

On déduit les tangentes et cotangentes par calcul direct.

Valeurs déduites par lecture sur le cercle trigonométrique. Elles sont légion et nous ne donnerons que quelques cas, à compléter soi-même :

?2

sin

?2

cos

?2

sin

?2

cos

?sin

?cos

?sin

?cos

?2

3sin

?2

3cos

?2

3sin

?2

3cos

Formules d’addition

4

Nous verrons, dans la partie « nombres complexes » comment l’on démontre les formules qui suivent. Les relations fondamentales, les valeurs remarquables, ainsi que les formules relatives à l’angle double ou moitié sont à connaître par cœur.

5

Fonctions trigonométriques réciproques

L’équation ysin admet une solution unique dans l’intervalle [-/2, /2]. On la

note )sin(yArc

L’équation ycos admet une solution unique dans l’intervalle [0, ]. On la

note )cos( yArc

L’équation ytan admet une solution unique dans l’intervalle ]-/2, /2[. On la

note )tan( yArc

Nous avons ainsi défini trois fonctions trigonométriques réciproques :

Arcsin : défini de [-1 1] sur [-/2, /2]

Arccos défini de [-1 1] sur [0, ]

Arctan défini de ]-∞ +∞ [ sur ]-/2, -/2[ Propriétés élémentaires La définition des fonctions trigonométriques, ainsi que la relation

1sincos 22 permettent de démontrer aisément les relations suivantes :

2/arcsinarccos

1)tan(arccos

1)tan(arcsin

)sin(arccos1)cos(arcsin

2

2

2

xx

x

xx

x

xx

xxx

Exercice : démontrer ces relations Dérivation des fonctions réciproques Nous reverrons ce point ultérieurement, mais nous mentionnerons d’ores et déjà les relations :

2

2

2

1

1arctan

1

1arcsin

1

1arccos

xx

dx

d

xx

dx

d

xx

dx

d

6

Equations trigonométriques. Première partie. On considère l’équation :

n

Où n est un nombre entier et un angle fixé.

Résolution : on sait que est défini à un nombre entier de rotations près, c'est-à-dire que

l’équation s’écrit en fait, rigoureusement :

nk

n

kn

2

2

L’équation précédente a n solutions (pour k=0…(n-1)).

Exemple. Résoudre 3

5

Combien y a-t-il de solutions (sans calcul). Donner ensuite toutes les solutions.

Equations trigonométriques. Seconde partie. Les fonctions réciproques, accessibles sur toute calculatrice, nous permettent de résoudre des équations trigonométriques simples, qui sont les suivantes :

nkyArc

nnx

oun

kyArcn

x

kyArcnx

ou

kyArcnx

ynx

nkyArc

nx

oun

kyArcn

x

kyArcnx

ou

kyArcnx

ynx

yArcx

ou

yArcx

yx

yArcx

ou

yArcx

yx

2)sin(1

2)sin(1

2)sin(

2)sin(

sin

2)cos(1

2)cos(1

2)cos(

2)cos(

cos

)sin(

)sin(

sin

)cos(

)cos(

cos

Equations trigonométriques. Troisième partie. Nous considérons maintenant les équations du type acosx+bsinx=c. La procédure est assez aisée. On se ramène par normalisation au sinus ou au cosinus d’une somme. 1 On normalise l’équation en la réécrivant, de manière équivalente :

222222sincos

ba

cx

ba

bx

ba

a

7

On a alors, par construction :

1

2

22

2

22

ba

b

ba

a

2 On reconnaît le développement du sinus d’une somme. Il existe donc y, à déterminer, tel que :

yba

asin

22

et yba

bcos

22

L’équation devient finalement :

22)sin(sincoscossin

ba

cyxxyxy

Cas 1 : 122

ba

c pas de solution

Cas 2 : 122

ba

c On procède alors comme suit :

- On résoud22

)sin(ba

cz

, ce qui donne deux solutions z1 et z2.

- On détermine y de manière unique (à 2 près) car on connaît son sinus et son cosinus (paragraphe 2).

- on déduit x1,2=z1,2-y+2k (deux solutions). Remarque fondamentale : Si au lieu de cosx et de sinx on a cos(nx) et sin(nx), la résolution est identique. Par contre on a 2n solutions, x étant remplacé par nx.

On a : nx1,2=z1,2-y+2k soit n

kn

yzx

22,12,1

(2n solutions).

Variante : On reconnaît le développement du cosinus d’une somme en posant :

yba

acos

22

et yba

bsin

22

l’équation devient alors :

22)cos(sinsincoscos

ba

cyxxyxy

On procède comme précédemment.

8

Quelques applications de la trigonométrie.

1 Coordonnées polaires On se place dans le plan, avec les coordonnées cartésiennes usuelles. Dans ce cas, un

point M de coordonnées (x,y) peut être représenté par sa distance à l’origine et l’angle

entre

OM et l’axe des abscisses.

On définit les coordonnées polaires de M par le module et l’argument qui sont définies par, respectivement

sin

cos

22

y

x

yx

2 Equation paramétrique d’un cercle Les points d’un cercle de rayon R centré sur l’origine vérifient, par définition, l’équation implicite :

222 Ryx

Ils vérifient donc l’équation dite « paramétrique » suivante (le paramètre est en fait θ).

sin

cos

Ry

Rx

Exercice : Ecrire l’équation paramétrique d’un cercle centré sur un point quelconque du plan

M

x

y

θ

9

3 Equation paramétrée d’une ellipse centrée Si a et b sont respectivement les demis grands axes horizontal et vertical, l’équation de l’ellipse centrée est alors de la forme :

sin

cos

by

ax

4 Application On se donne un mouvement elliptique dans le plan, de la forme :

tbty

tatx

sin)(

cos)(

Calculer le vecteur vitesse

Comment le vecteur vitesse est il orienté par rapport à l’ellipse ?

Déduire de ce raisonnement le vecteur normé tangent à une ellipse quelconque.

5 Valeurs approchées

Pour x petit (c'est-à-dire inférieur à 0.1 environ en valeur absolue), on a les relations :

xx

xx

xx

)tan(

21)cos(

)sin(

2

6 Equations différentielles

Théorème : les fonctions sinus et cosinus sont solutions de l’équation différentielle du second ordre :

)(2

2

xfdx

fd

Corollaire : les fonctions sin(ωx) et cos(ωx) sont solutions de l’équation différentielle du second ordre :

)(2

2

2

xfdx

fd

10

Chapitre 2 : Fonctions logarithme et exponentielle

1 Fonction logarithme népérien Théorème : la fonction f(x)=1/x admet une primitive sur R*+, l’ensemble des réels strictement positifs, et qui soit nulle pour x=1. Cette primitive est unique et est notée ln(x). Corollaire1 :

)0(

)ln(

1)ln(

1

x

t

dtx

xdx

xd

x

Corollaire 2 : La primitive de 1/x pour x négatif est )ln( x . Par conséquent, la primitive de

1/x, pour x non nul dans R, est xln

Courbe représentative de la fonction logarithme népérien

2 Propriétés élémentaires On montre assez aisément les propriétés suivantes, qui sont à connaître par cœur.

0

0)ln(

lim

)ln(lim

)ln(lim

0

n

x

x

x

x

nx

x

x

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur [,0] et est à valeurs dans

[,]

11

Logarithme du produit Considérons x et a deux réels positifs. Soit

)ln()( axxf

Par dérivation

xax

axf

1)(

Par conséquent, la fonction f et la fonction logarithme ayant la même dérivée, elles diffèrent d’une constante C.

Cxax )ln()ln(

Cette relation est vraie pour tout x, en particulier pour x=1, d’où :

CCa )1ln()ln(

et donc

)ln()ln()ln( axax

On déduit immédiatement :

)ln()ln(ln xax

a

Exercice : le démontrer à partir de la formule précédente Théorème : La fonction logarithme népérien est la seule et unique fonction continue f qui vérifie f(ab)=f(a)+f(b) et f(1)=0.

3 Existence du nombre e

Théorème : Il existe un nombre unique noté « e », base des logarithmes népériens, qui vérifie ln(e)=1. Ceci se démontre par exemple en utilisant le fait que la fonction est strictement croissante et continue (paragraphe 2).

4 Dérivation et intégration logarithmique Soit

)(ln)( xfxG

On déduit, par dérivation de fonctions composées :

)(

)()(

xf

xfxG

Cette expression particulière est appelée la dérivée logarithmique de f.

12

L’intérêt de cette relation est de pouvoir calculer certaines primitives. Par exemple, soit :

3

2

1)(

x

xxg

On peut écrire :

cxdttg

xxf

xf

xf

x

x

x

xxg

3

3

3

2

3

2

ln2

1)(

)(

)(

)(

3

1

1

3

3

1

1)(

où c est une constante d’intégration. Remarque : ne jamais oublier la valeur absolue. 5 Fonction exponentielle Définition : la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme. Propriété fondamentale :

)exp()exp())exp(ln()exp()ln()ln()ln()ln(

)ln(yxababyxabbayx

by

ax

Par définition : exp(1) =e On déduit immédiatement que exp(n)=en pour n entier, et, de manière générale, on a, pour tout x réel :

xex )exp(

Corollaire :

baab

a

eeab

ae

)exp(

)ln(

6 Logarithme de base quelconque : Soit b un réel positif, on peut écrire

)ln(

)ln(

)ln()ln(

)ln(exp)ln(

)ln()ln(exp))exp(ln(

bx

bbb

xbxx b

x

Par définition, on pose

)ln(

)ln()(log

b

xxb

qui est le logarithme à base b de x.

13

7 Propriétés élémentaires de la fonction exponentielle On montre assez aisément les propriétés suivantes, qui sont à connaître par cœur.

0)exp(lim

)exp(lim

0)exp(lim

)exp(lim

xx

x

x

x

x

n

x

nx

x

x

La fonction exponentielle est strictement croissante sur [,] et est à valeurs dans

[,0]

Les courbes représentatives de l’exponentielle sont symétriques par rapport à la diagonale principale, ainsi qu’on le voit sur la figure ci-dessous.

Exponentielle et logarithme (l’exponentielle est la courbe supérieure).

8 Valeurs approchées

Pour x petit, on a les relations :

xx

xx

1)exp(

)1ln(

14

9 Dérivation de la fonction exponentielle L’exponentielle étant la fonction réciproque du logarithme, sa dérivée vient directement de l’expression de la dérivée des fonctions composées.

)exp()exp()exp()exp(

11)exp(ln)exp(ln xx

dx

dx

dx

d

xx

dx

dxx

10 Application : désintégration radioactive, équations différentielles Un ensemble de N atomes se désintègre. Pour un intervalle de temps dt aussi petit que l’on veut, le nombre d’atomes se désintégrant est proportionnel à N et à dt. La variation dN du nombre d’atomes est donc :

NdtdN

où σ est une constante qui dépend du corps étudié. Par conséquent

Ndt

dN

Dont une solution est teNN 0 , où N0 est le nombre d’atomes initial.

Théorème : l’équation différentielle y’+ay=0, avec a constant, a pour solution ateyy 0 où y0

est la valeur prise par y pour t=0.

15

Chapitre 3 Trigonométrie hyperbolique

La trigonométrie hyperbolique est analogue en bien des points à la trigonométrie usuelle. Nous en verrons plus précisément le rapport dans le cours sur les nombres complexes.

1 Définitions On définit respectivement le cosinus, le sinus et la tangente hyperboliques par :

xx

xx

xx

xx

ee

ee

xch

xshxth

eexsh

eexch

)(

)()(

2)(

2)(

Les courbes représentatives sont données ci-dessous, paragraphe 2.

2 Propriétés fondamentales : Propriété fondamentale :

1)()( 22 xshxch

Exercice : le démontrer

Les fonctions sont définies sur R tout entier.

A +∞ et à -∞, le cosinus hyperbolique se comporte comme 2

xe

A +∞, le sinus hyperbolique se comporte comme 2

xe

A -∞, le sinus hyperbolique se comporte comme 2

xe

La tangente hyperbolique admet deux valeurs asymptotiques à +∞ et -∞, et qui sont

respectivement -1 et 1.

Pour x petit, on a les approximations :

21)cosh(

)tanh()sinh(

2xx

xxx

Les dérivées s’obtiennent immédiatement en sachant dériver l’exponentielle :

16

xthxchxch

xshxchxth

dx

d

xchxshdx

d

xshxchdx

d

2

22

22

11

)(

)()(

)()(

Fonctions cosinus, sinus et tangente hyperboliques (de gauche à droite).

3 Equations différentielles

Théorème : les fonctions sinus et cosinus hyperboliques sont solutions de l’équation différentielle du second ordre :

)(2

2

xfdx

fd

Corollaire : les fonctions sh(ωx) et ch(ωx) sont solutions de l’équation différentielle du second ordre :

)(2

2

2

xfdx

fd

4 Formules usuelles Elles sont similaires à celles de la trigonométrie circulaire. Nous donnerons simplement les quelques formules suivantes, à connaître par coeur :

shxxsh

chxxch

)(

)(

thxthy

thythxyxth

chxshyshxchyyxsh

shxshychxchyyxch

1)(

)(

)(

17

shxchxxsh

xchxshxchxch

2)2(

12)2( 222

5 Fonctions réciproques 5.1 Argument cosinus hyperbolique On considère l’équation où y est l’inconnue :

2)(

yy eeychx

Cette équation admet deux solutions opposées (voir l’allure de la courbe) si et seulement si x≥1. Si x<1, elle n’admet pas de solutions. Pour x=1, il y a une seule solution. On pose

1

012

2

2

xxY

xYY

eY y

la solution correspondant à y>0 est alors :

1ln

1

2

2

xxy

xxY

On définit donc :

1ln)(arg 2xxxch

5.2 Argument sinus hyperbolique De même, on considère l’équation :

2)(

yy eeyshx

Cette équation admet toujours une solution. Par le même raisonnement que précédemment, on trouve :

1ln 2xxy

On définit :

1ln)(arg 2xxxsh

18

5.3 Argument cosinus hyperbolique Enfin, l’équation x=th(y) admet une solution unique si et seulement si -1<x<1. On trouve directement :

x

xy

1

1ln

2

1

On définit alors :

x

xxth

1

1ln

2

1)(arg

Exercice : le démontrer à partir de l’expression de la tangente hyperbolique

6 Dérivation des fonctions réciproques La dérivation directe des formules données ci-dessus donne immédiatement :

2

2

2

1

1)(arg

1

1)(arg

1

1)(arg

xxth

dx

d

xxsh

dx

d

xxch

dx

d

Exercice : le démontrer.

7 Paramétrisation d’une hyperbole Nous admettrons ce résultat sans démonstration. L’équation paramétrique

bshy

achx

est l’équation d’une hyperbole. On en déduit la forme implicite :

12

2

2

2

b

y

a

x

19

Chapitre 4 : Nombres complexes Note importante : Conformément aux usages de la physique et notamment de l’électricité, nous noterons « j » le nombre imaginaire pur, et pas « i » comme il est d’usage en mathématiques.

1 Introduction On trouve parfois (souvent) dans les ouvrages de terminale ou assimilé des expressions sans justifications du type :

Il existe un nombre dont le carré est -1

Les nombres complexes sont essentiellement de la géométrie Ces deux assertions sont totalement fausses ou stupides. En fait, on construit un ensemble de nombres où les carrés peuvent être négatifs. Cet ensemble, C, est équivalent au plan, muni d’opérations spéciales. Et les nombres complexes servent essentiellement à tout autre chose que la géométrie.

2 Définition On considère le plan. Le point M de coordonnées (x,y) représente par définition un nombre complexe z. On dit que z est l’affixe de M. A partir d’un point z1 de coordonnées (x1,y1) et d’un point z2 de coordonnées (x2, y2), on

construit z3 de coordonnées ),( 12212121 yxyxyyxx .

Cette opération s’appelle la multiplication complexe et est notée :

213 zzz

On notera de façon générale : jyxz

Propriété : les nombres complexes de partie imaginaire nulle correspondent de manière biunivoque aux nombres réels. On les y assimilera donc. Conséquence : Selon cette convention, le nombre complexe j2 ayant une partie imaginaire nulle et une partie réelle égale à -1 sera donc considéré égal à -1.

3 Module et argument Si l’on travaille en coordonnées polaires, les parties réelle et imaginaire du nombre complexe z=x+jy peuvent s’écrire :

sincos

sin

cos

)Re()Re(

jzy

x

zyzx

encore ou

et

avec

)arg(2 zyz et x2

20

Les nombres et θ sont respectivement le module et l’argument de z. le module de z se note habituellement |z|. Propriété : l’ensemble des nombres complexes de module 1 est le cercle unité.

4 Addition La somme de deux nombres complexes s’obtient en ajoutant respectivement les parties réelles et les parties imaginaires. L’opposé d’un nombre complexe s’obtient en prenant l’opposé des parties réelle et imaginaire.

5 Multiplication

bxayjbyaxjbajyx ))((

Inverse d’un nombre complexe :

2

2

2

)Im(1Im

)Re(1Re

11

z

z

z

z

z

z

z

jyx

jyxz

jyxz

Addition et multiplication sont commutatives. Nombre complexe conjugué ; Par définition, le nombre complexe z conjugué de z, est défini par :

jyxzjyxz

On a immédiatement les propriétés suivantes :

jj

z

z

z

zzz

zzzz

/1

12

2

21

____

21

21

5 Interprétations géométriques. Formule de Moivre Propriété 1 : La multiplication par j correspond à une rotation d’angle π/2 Propriété 2 : La multiplication par un complexe de module 1 et d’argument θ correspond à une rotation d’angle θ. Formule de Moivre La propriété 2 indiquée ci-dessus signifie que l’élévation à la puissance « n » d’un complexe de module 1 correspond à une rotation d’angle n θ du point d’affixe 1. Par conséquent (formule de Moivre) :

)sin()cos(sincos njnjn

Corollaire : Module et argument du produit et du rapport

)sin()cos(sincossincos 212121222111 jjj

)sin()cos(sincos

sincos2121

2

1

222

111

j

j

j

Application : ces formules permettent de trouver toutes les formules usuelles de la trigonométrie. Exercice : calculer cos(3 θ)

Module et argument de zn L’application directe de la formule de Moivre donne immédiatement les deux relations :

)arg(arg znz

zz

n

nn

Exercice : Calculer 2431 j

22

6 La fonction exponentielle complexe Nous verrons dans le chapitre « développements limités » et, de manière générale, on montre que l’on peut écrire, pour réel :

!5!4!321)exp(

!5!3sin

!6!421cos

5432

53

642

On observe sur ces trois développements une grande similitude. Formellement, remplaçons par le nombre imaginaire pur j . On peut alors définir,

arbitrairement, la quantité :

!5!4!32

1)exp(5432

jjjj

qui est égale à :

)sin()cos( j

Nous avons ainsi défini, pour x réel :

)sin()cos()exp( jej j

La fonction exponentielle complexe peut donc être vue comme l’extension à tous le plan complexe de la fonction exponentielle, compte tenu de ses relations avec les fonctions trigonométriques circulaires. Propriété : De manière évidente, on a

1je

Exercice : le démontrer

Propriété : Tout nombre complexe z de module et d’argument θ peut s’écrire sous la forme jez

Corollaire : Autre version de la formule de Moivre

jnnn ez

23

7 Formules d’Euler L’expression de l’exponentielle complexe permet d’obtenir les deux relations suivantes, dites formules d’Euler, pour le sinus et le cosinus

j

eejsh

eej

jchee

jjjj

jj

2sin)(

2sin

)(2

cos

Nous avons vu que la formule de Moivre permettait le calcul direct des fonctions trigonométriques des angles multiples. De même, les formules d’Euler permettent de calculer les puissances d’une fonction trigonométrique en fonction des multiples de l’angle. Plus

précisément, on déduit immédiatement des formules d’Euler, et en posant jez 0

22sin

2cos

0000

00

zzj

j

zz

zz

Par conséquent :

nn

nnn

n

n

n

zzj

zz

00

00

2

)1(sin

2

1cos

Avec la propriété fondamentale :

100 zz

Exemple d’application : On désire calculer une primitive de 3cos . Pour cela

On applique la formule précédente, qui donne 3cos en fonction des angles multiples :

4

)cos(3)3cos(cos

)cos(23)3cos(2

333

3

300

000030

30

30

2000

20

30

300

zz

zzzzzzzzzzzzzz

8 Racines nièmes d’un nombre complexe Théorème : tout nombre complexe z admet n racines nièmes où n est un nombre entier naturel

Si jez , alors tout nombre complexe de la forme

nk

njz n

k

2exp/1 vérifie zzn

k ,

pour k variant de 1 à n.

24

Définition : Les nombres kz sont appelés les racines nièmes du nombre z

Propriété : Le nombre 1 admet n racines nièmes, qui sont de la forme

nk

nj

2exp

Exercice : Résoudre dans C l’équation 84 z

9 Dérivation de l’exponentielle complexe On vérifie directement

tjtjtjtj jeedt

dee

dt

d et j

D’où :

tjtj

tjtj

eedt

d

eedt

d

2

2

et

-

2

2

2

2

Par conséquent, tje et tje sont des solutions fondamentales de l’équation

R

dt

f

f-d 2

2

2

Application : impédance d’un circuit RLC 10 Equation du second degré. Nous donnerons le résultat sans démonstration, celle-ci étant identique à celle vue au lycée.

Théorème : l’équation 02 cbzaz avec a, b, c et z complexe admet deux solutions en z.

On les obtient ainsi :

Soit acb 42 (discriminant)

Soit une des deux racines carrées du discriminant (l’autre racine carrée étant, de

manière évidente, -).

Les deux solutions (éventuellement confondues) sont :

a

bz

a

bz

2

2

2

1

25

Cas des équations à coefficients réels On distingue seulement deux cas :

Le discriminant est réel positif. On a les formules usuelles.

Le discriminant est réel négatif. Dans ce cas,

a

jbz

a

jbz

2

2

2

1

26

Chapitre 5 : Polynômes

1 Définitions

Une fonction (réelle ou complexe) de la forme f(x)=axn où n est un entier et x la variable est appelé monôme de degré n en x. On suppose a non nul.

Une somme de monômes est, par définition, un polynôme.

Le degré du polynôme est celui du monôme de degré le plus élevé. Il est d’usage (et commode) d’ordonner les polynômes selon l’ordre croissant ou décroissant des puissances de la variable Notation : Pour des raisons de simplicité on écrit :

n

i

ii

nn xaxaxaxaaxP

0

2210)(

2 Propriétés. Somme et produit. Théorème : Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux. Ceci peut sembler évident, aussi nous le réécrivons de manière moins évidente. Théorème : Si deux fonctions polynomiales sont égales en tout point, alors les coefficients des deux polynômes sont égaux. Corollaire : Un polynôme est identiquement nul si et seulement si ses coefficients sont tous nuls. Théorème : Les coefficients de la somme de deux polynômes sont obtenus en faisant la somme des coefficients de chaque polynôme. Le degré de la somme est le degré du polynôme de degré maximum.

),max(

000

)()()(

nm

i

iii

m

i

ii

n

i

ii xqpxqxpxQxP

Théorème : Le produit de deux polynômes est un polynôme de degré égal à la somme des degrés des deux polynômes. On obtient le produit par développement.

ji

jiji

m

j

jiji

n

i

m

i

ii

n

i

ii xqpxqpxqxpxQxP

,0000

)()(

27

3 Division de deux polynômes Division selon les puissances décroissantes Soient P1(x) et P2(x) deux polynômes quelconques, P2 étant supposé non identiquement nul. On a le : Théorème : il existe deux polynômes uniques Q et R, appelés quotient et reste, tels que P1(x)=P2(x)Q(x)+R(x), et tels que deg(R)<deg(P2) Procédure : Ecrire les polynômes de gauche à droite selon les puissances décroissantes et procéder à une division classique. Exemple : diviser x5+3x3-3x-2 par x3+x+1. Réponse : Q(x)=x2+1 et R(x)=-x2-4x-3 Division selon les puissances croissantes Soient P1(x) et P2(x) deux polynômes quelconques, P2 étant supposé non identiquement nul. Soit un entier r fixé. On a le : Théorème : il existe deux polynômes uniques S et T, appelés également quotient et reste, tels que P1(x)=P2(x)S(x)+xr+1T(x), et tels que deg(S)≤r Procédure : Ecrire les polynômes de gauche à droite selon les puissances croissantes et procéder à une division classique. Exemple : diviser 2+x2 par 1-x+3x2 en s’arrêtant à l’ordre r=2. Réponse : S(x)=2+2x-3x2 et x3 T(x)=-9x3+9x4

4 Allure à l’infini des polynômes réels. Théorème : Un polynôme de variable réelle et à coefficients réels se comporte à l’infini comme son monôme de plus haut degré. Preuve : on met le terme de plus haut degré en facteur.

5 Zéros et multiplicité Par définition, a est un zéro du polynôme P(x) si et seulement si P(a)=0. Théorème : Si x0 est un zéro de P(x), il existe un nombre entier k strictement positif et un

polynôme Q(x) tels que )()( 0 xQxxxPk

, avec 0)( 0 xQ .

Le nombre k, qui indique « combien de fois » x0 annule P, est appelé la multiplicité de x0.

28

Zéros du produit de deux polynômes : Ce sont l’ensemble des zéros de chacun des polynômes. Propriété : si x0 est un zéro commun à P et Q, et de multiplicité respective k1 et k2, alors x0 est zéros de PQ avec la multiplicité k1+k2. Propriété : Si x0 est un zéro de P de multiplicité k alors il annule toutes les dérivées de P de l’ordre 0 à l’ordre (k-1).

Preuve : On écrit )()( 0 xQxxxPk

, où (x-x0) ne peut se mettre en facteur dans Q

6 Formule de Taylor Soit

N

i

nn xaxP

0

)(

Par dérivations successives, on constate que :

n

x

n

n

anxPdx

d!)(

0

Et par conséquent, tout polynôme de degré N peut s’écrire (formule de Taylor) :

N

n

n

x

n

n

xxPdx

d

nxP

0 0

)(!

1)(

7 Equations polynomiales Théorème de d’Alembert: tout polynôme de variable et à coefficients complexe, de degré N, admet N zéros, comptés avec leur ordre de multiplicité. Soit P(z) de degré N, on peut écrire :

i

i

i

ki

Nk

xxAzP i)(

Remarque : le coefficient A est en fait le coefficient du terme de plus haut degré. Autrement dit, une équation polynomiale de degré N admet toujour N solutions (attention : comptées avec leur ordre de multiplicité), dans C. Polynômes à coefficients réels Théorème : Si un polynôme est à coefficients réels, le conjugué de tout zéro est un zéro.

Preuve : Si P est à coefficients réels, alors )()( zPzP .

29

Soit z0 un zéro, alors )()(00)( 000 zPzPzP

Corollaire : Un polynôme de degré 3 à coefficients réels a au moins un zéro réel. Autre démonstration du corollaire : On suppose que le coefficient du terme de plu haut degré est positif (s’il est négatif, le raisonnement reste semblable). Alors, la limite à plus l’infini du polynôme P(x) est plus l’infini. Elle est moins l’infini quand x tends vers moins l’infini. Comme la fonction polynôme est continue, sa valeur passe au moins une fois par zéro. Polynômes symétriques Définition : un polynôme symétrique de degré N et de coefficients ai est un polynôme qui vérifie aN-i =ai . Propriété : Un polynôme symétrique de degré N pair s’écrit (Q est un polynôme à déterminer) :

)1

()( 2/

xxQxxP N

Un polynôme symétrique de degré N impair s’écrit :

)1

()1()( 2/)1(

xxQxxxP N

On voit apparaître naturellement le changement de variable :

xxX

1

Exemple : Résoudre 0122 34 xxx

On applique la première expression avec N=4:

xxX

XXxxx

xxxxxxxP

1

212

2122)( 22

2

2234

On cherche les zéros du polynôme en X, et on obtient directement :

2122 XXXX

On résout ensuite indépendamment les deux équations: X=1 et X=-2 Qui donnent respectivement deux familles de solutions en x:

2

31,

2

31 jj et -1.

30

Chapitre 6 : Fractions rationnelles

1 Définition : Si )(1 xP et )(2 xP sont deux polynômes de degrés respectifs n et m, on définit la fraction

rationnelle :

)(

)()(

2

1

xP

xPxF

Son degré deg(F) est n-m (peut donc être négatif). Si P1 et P2 ont des zéros (complexes) en commun, la fraction rationnelle se simplifie par les termes communs (relatifs à ces zéros) qui se mettent en facteur dans chacun des polynômes. Une fraction rationnelle qui «ne se simplifie pas » est dite irréductible.

2 Décomposition :

Si deg(F)0, on peut écrire

)(

)()()(

2 xP

xRxQxF

Q est le quotient de la division de P1 par P2 selon les puissances décroissantes. R en est le reste. Le degré de Q est égal au degré de F. Le degré de la fraction rationnelle « reste » est strictement inférieur au degré de F. Pôles : Les zéros du dénominateur sont appelés pôles ou « singularités » de F.

Dans la décomposition )(

)()()(

2 xP

xRxQxF , le quotient Q est la partie dite « entière » de F

(on devrait dire polynômiale). La fraction rationnelle « reste » caractérise sa partie polaire. Exemple :

xxx

xxx

xxx

xx

xxx

xxxF

23

1573

23

1

)2)(1(

1)(

23

2

23

44

Les pôles sont donc 0, 1 et 2, et ont pour multiplicité 1

Théorème pour les fractions rationnelles complexes: La fraction rationnelle « reste »

)(

)(

2 xP

xRest égale à la somme de termes appelés « éléments simples de première espèce» de

la manière suivante. Chaque pôle xi, de multiplicité k, donne une contribution :

i

i

ki

iki

xx

A

xx

AE

1

31

telle que:

)()()(

)(1

2

xExExP

xRh

où h est le nombre de pôles (sans compter l’ordre de multiplicité).

Autrement dit :

h

h

kh

hk

k

kh

xx

A

xx

A

xx

A

xx

AxQxExExQxF

1

1

11

1

11 )()()()()(

Intérêt : simplifier la fraction au maximum. Permettre le calcul d’intégrales.

Théorème pour les fractions rationnelles à coefficients réels: On reprend la

décomposition précédente. Les coefficients étants réels, à tout pôle non-réel correspond son

conjugué. Décomposons chaque pôle xi en partie réelle et imaginaire jxi

Si k est la multiplicité du pôle non-réel, il donne une contribution :

22

11

22 )()(

x

NxM

x

NxME ii

k

ikiki

3 Exemples:

On montre sur le premier exemple que (0, 1 et 2 étant de multiplicité 1), que

)2(2

19

1

3

2

1

23

15723

2

xxxxxx

xx

et donc que:

)2(2

19

1

3

2

13

23

1573

)2)(1(

1)(

23

24

xxxx

xxx

xxx

xxx

xxxF

De la même manière, on a :

18

3

18

1

14

1

18

3

18

1

14

1

1

1232332

4

xxxxxxx

x

les pôles étant 1 et -1, de multiplicité 3.

De même, on a :

1

2

)1(

2

1

22

)1(

1

)1()1(

12222222

2

xxxx

x

xxxxx

x

On voit ici les termes de seconde espèce, provenant du fait que 12 xx n’a pas de zéros

réels.

32

4 Exemples et méthodes Nous donnons quelques méthodes de base, mais sans être exhaustifs. 4.1 Fractions rationnelles sur C ou réelles avec pôles réels Dans ce cas on a décomposition en éléments simples uniquement.

P(x)=N(x)/D(x) 4.1.1 On divise N par D pour obtenir la partie entière 4.1.2 On cherche les zéros du dénominateur (les pôles) et leur multiplicité, comme on peut. Dans les problèmes,

soit l’on a D(x) assez simple. Ex : polynôme de degré 3 D(x)=ax3+bx2+cx+d avec un zéro évident

o on trouve x0 « évident » o on écrit D(x)=(z-x0)(Ax2+Bx+C) o on trouve A, B et C par division o On résoud Ax2+Bx+C=0

soit l’on donne D(x) tout factorisé. 4.1.3 On écrit que la partie polaire P(x)=R(x)/D(x) de la fraction rationnelle est somme d’éléments simples. 4.1.3.1 Pour tout pôle x0 de multiplicité k, on a un terme A/(x-x0)k

On sait également que P(x)=R(x)/(x-x0)kE(x) On trouve A en multipliant P par (x-x0)k et en faisant x=x0. Soit : A=R(x0)/E(x0) 4.1.3.2 Pour les termes de degré inférieur, on fait comme on peut, selon la fraction rationnelle. Pour les dénominateurs de degré 3 on a 3 cas :

3 pôles distincts : on applique 1.3.1 à chaque pôle

1 pôle triple : on procède par divisions successives (cf exo no 2)

1 pôle double et un simple : on applique 1.3.1 pour le pôle simple et le terme de degré 2 du pôle double. On donne alors une valeur quelconque à x et on trouve le terme manquant.

4.1.3.3 : Remarque importante : quand on a un seul pôle mais de multiplicité quelconque, on procède par divisions successives (cf exo no 2) du numérateur par (x-x0) où x0 est le pôle. On fait cela k fois, k étant la multiplicité. Exemple général :

:= ( )F x x4 x 1

x3 4 x2 5 x 2

33

Pôles

On cherche un zéro évident du dénominateur : 1 l’est.

On écrit : x3 4 x2 5 x 2 sous la forme (x-1)(ax2 + bx +c)

On trouve a=1,b=-3,c=2

Les zéros de x2 -3x+2 sont 1 et 2

Donc 1 est pôle de multiplicité 2 et 2 est pôle de multiplicité 1

Partie entière

On divise le numérateur N(x) par le dénominateur D(x)

N(x)=Q(x)D(x)+R(x)

On trouve Q(x)=x+4 et R(x)= 9 17 x 11 x2

La partie « polaire » est donc R(x)/D(x)

:= ( )P x 9 17 x 11 x2

( )x 1 2 ( )x 2

et F(x)=x+4+ 9 17 x 11 x2

( )x 1 2 ( )x 2

On décompose P(x)

P(x)=A/(x-1)2 +B/(x-1)+C/(x-2)

On trouve A en mutipliant P par (x-1)2 et en faisant x=1 dans le résultat obtenu. Autrement

dit :

A=R(1)/(1-2)=-3

De même

C=R(2)/(1-2)2 = 19

On trouve C en faisant x quelconque (-1 par exemple) et en disant que

P(-1)=-37/12=-3/(-1-1)2 +19/(-1-2) +C/(-1-1)

-37/12+3/4+19/3=-C/2

d’où C=-8

Au final :

:= ( )F x x4 x 1

x3 4 x2 5 x 2 = x+4 - 3/(x-1)2 -8/(x-1) +19/(x-2)

34

4.2 Fractions rationnelles sur R ou avec pôles conjugués complexes On suppose que l’on sait traiter les éléments simples de première espèce qui ont pu apparaître dans le dénominateur (voir paragraphe 1). Nous nous cantonnerons à un exemple : Décomposer :

32

25

)1(

132

xx

xx

dont le dénominateur ne se factorise pas dans R. Il y a bien deux pôles conjugués de multiplicité 3.

On divise le numérateur par 12 xx

)65()522)(1(132 23225 xxxxxxx

d’où l’obtention d’un premier élément simple (celui de droite), de seconde espèce:

3222

23

32

25

)1(

65

)1(

522

)1(

132

xx

x

xx

xx

xx

xx

On recommence avec la fraction qui n’est pas « terminée ». On divise 522 23 xx par

12 xx

92)42)(1(522 223 xxxxxx

D’où

22222

23

)1(

92

1

42

)1(

522

xx

x

xx

x

xx

xx

Et finalement :

2223232

25

)1(

92

1

42

)1(

65

)1(

132

xx

x

xx

x

xx

x

xx

xx

Exercices :

:= ( )F x x4 3 x 2

x3 6 x2 11 x 6

:= ( )F x x4 3 x 2

x3 6 x2 12 x 8

:= ( )F x x4 3 x 2

x3 2 x2 x

35

Réponses Exercice no1

F(x)=

x 6 38 57 x 25 x2

x3 6 x2 11 x 6

:= ( )F x x 63

x 1

24

x 2

46

x 3

Exercice no2 : on trouve que 2 est pôle triple

x 6 50 61 x 24 x2

x3 6 x2 12 x 8

On divise le numérateur qui reste par (x-2)

50 61 x 24 x2

= (x-2)( 24 x 13 )+24

donc

50 61 x 24 x2

x3 6 x2 12 x 8

24 x 13

( )x 2 2

24

( )x 2 3

on divise ce qui reste (24x-13) par x-2

24x-13=24(x-2)+35

D’où

50 61 x 24 x2

x3 6 x2 12 x 8

24

x 2

35

( )x 2 2

24

( )x 2 3

Exercice no3 : 0 est pôle simple, 1 est pôle double

La fraction est égale à

x 2 2 x 3 x2

x3 2 x2 x

2 x 3 x2

x3 2 x2 x

2

x

6

( )x 1 2

1

x 1

(on multiplie par x et on fait x=0, idem par (x-1)2 avec x=1, et enfin on prend une valeur de x pour trouver le terme manquant).

36

Chapitre 7 Continuité, dérivation, différentielles

1 Notions générales Une fonction numérique f réelle de variable réelle associe un nombre x un autre nombre noté f(x). L’ensemble des réels où f est définie est appelé ensemble de définition. L’ensemble des points de coordonnées (x,f(x)) est appelé le graphe de f, ou encore la courbe représentative de f. Une fonction peut être continue ou non, selon que sa courbe représentative l’est ou non. Exemples :

f(x)=1/x est discontinue en 0 car non définie.

La courbe qui à x associe 0 pour x<0 et 1 sinon est définie partout et non continue en 0.

Les fonctions polynômiales sont continues

La fonction sin(x)/x est non définie en 0. On peut néanmoins la prolonger par continuité en lui donnant la valeur 1 en zéro.

Les propriétés élémentaires comme la dérivabilité imposent la continuité (en un point donné). Limites : Nous donnons quelques exemples de définition. Le lecteur reconstruira les cas manquants.

On dit que L (réel) est la limite de f quand x tend vers x0 (ou « en x0 ») si pour tout

positif, on peut trouver η tel que 0)( xxsiLxf

0)()(lim0

xxsiLxfLxfxx

En langage courant, L est la limite de f si l’on peut rendre f(x) aussi proche de L que l’on veut à la seule condition que x soit assez proche de x0. De même :

On dit que L (réel) est la limite de f quand x tend vers +∞ si pour tout positif, on peut

trouver X tel que Xx siLxf )(

On dit que L (réel) est la limite de f quand x tend vers -∞ si pour tout positif, on peut

trouver X tel que Xx siLxf )(

Limites infinies.

On dit que +∞est la limite de f quand x tend vers x0 si pour tout A, on peut trouver η tel

que 0)( xxsiAxf

On dit que -∞est la limite de f quand x tend vers x0 si pour tout A, on peut trouver η tel

que 0)( xxsiAxf

On dit que +∞est la limite de f quand x tend vers +∞ si pour tout A, on peut trouver X tel que X xsiAxf )(

37

On dit que -∞est la limite de f quand x tend vers +∞ si pour tout A, on peut trouver X tel que Xx siAxf )(

Théorème : Quand la limite existe, elle est unique. Théorème : Quand une fonction admet une limite finie en un point ou elle est définie, elle y est continue. Si elle n’y est pas définie, on peut la définir en ce point en la prolongeant par continuité (exemple déjà donné : sin(x)/x en zéro). Exercices :

donner des exemples où la limite n’existe pas

donner un exemple de fonction discontinue partout Théorème : Si localement (dans un voisinage de x0, ce dernier n’étant pas forcément fini) on

a f(x)g(x), alors on a la même propriété quant aux limites, si elles existent. Théorème : Si localement (dans un voisinage de x0, ce dernier n’étant pas forcément fini) on

a f(x)U(x)g(x), alors on a la même propriété quant aux limites, si elles existent.

2 Nombre dérivé

Définition : Soit x0 un nombre réel et une fonction définie en x0. Si

x

xfxxfL

x

)()(lim 00

0existe et est un nombre réel, on dit que f est dérivable en x0 et

y a pour nombre dérivé L. On note ce nombre f’(x0) ou, plus rigoureusement 0xxdx

df

Cette notation provient de la définition :

x

f

dx

df

x

0lim

La fonction qui associe à x le nombre dérivé de f en x est la fonction dérivée de f par rapport à x. Théorème : La dérivée en un point est la pente de la courbe en ce point. Propriétés : Propriété 1: Une fonction dérivable en un point y est continue Propriété 2 : Une fonction impaire a pour dérivée une fonction paire et vice-versa. Exercice : le montrer sur des exemples

38

Théorème : Pour admettre un extremum local, il est nécessaire que la dérivée s’annule. Si La dérivée s’annule et change de signe, alors on a un extremum local. Concavité et point d’inflexion

Si la dérivée seconde sur un intervalle est positive, alors la fonction y est dite convexe. Localement, la fonction ressemble à une parabole dont les branches vont vers le haut.

Si la dérivée seconde sur un intervalle est négative, alors la fonction y est dite concave. Localement, la fonction ressemble à une parabole dont les branches vont vers le haut.

Si la dérivée seconde est nulle en un point et change de signe, on a un point d’inflexion.

3 Dérivation des fonctions composées Soit

)())(()( xgfxgfxF

On a :

000 )( xxxgXxx dx

dg

dX

df

dx

dg

dg

dF

dx

dF

On obtient la dérivée de la composée en faisant le produit des dérivées (prises au bon endroit). Application : dérivation de la fonction réciproque Soit F une fonction. S’il est possible, pour y donné, de trouver une et une seule valeur de x telle que y=F(x), autrement dit si l’équation y=F(x) admet une solution unique,alors l’expression de x en fonction de y définit une fonction appelée réciproque de F.

)()(1

yFxxFy

Nous ne mettons pas de signe équivalence, seulement une double flèche, car la réciproque n’existe que sous conditions. Exemple (pour b non nul):

b

ayyF

b

ayxxbay

xbaxF

)(

)(

1

Dans certains cas, on n’a pas unicité de la solution de y=F(x), mais on peut décider de qui est la fonction réciproque. Par exem[ le, la réciproque de la fonction « carré » peut être choisie comme étant la fonction « racine carrée », mais on peut décider de prendre la fonction « moins racine carrée ». Il n’y a au sens strict pas de fonction réciproque dans ce cas.

39

Soit 1

F la fonction réciproque de F. Par définition, on a :

)(1

xFFx

On a par conséquent, compte tenu du résultat de la dérivation des fonctions composées :

1

)( 11

dx

dxFF

dx

xFFd

En prenant les fonctions, encore une fois, « au bon endroit » :

1

1 1

FF

F

Exemples : calculer la dérivée de Arcos(x)

4 Différentielle d’une fonction Différentielle d’une fonction d’une variable réelle La définition du nombre dérivé donne une approximation locale de la fonction. Localement, si la courbe de f est assez régulière, on imagine assez bien que l’on puisse l’approcher par un polynôme. Plus précisément, on montre, et l’admettrons, que l’on peut écrire, dans le cas où la fonction est dérivable et x assez petit :

...)()(

...)()()()(

2

2

xaxxff

xaxxfxfxxf

où a est un nombre a priori inconnu. La variation de f comporte donc une partie linéaire proportionnelle à f’(x) et à la variation de x. On traduit cette dernière phrase par :

dxxfdf )(

Définition : df est appelée différentielle de f (à ne surtout pas confondre avec la dérivée). Différentielle d’une fonction de deux (ou plusieurs) variables : Soit, pour simplifier, une fonction de deux variables f(x,y). De la même manière que précédemment, on considère la partir linéaire de la variation de f :

etc...( en termes 22 )(,,)),(),( yyxxybxayxfyyxxf

Définition : la partie linéaire de la variation de f est appelée sa différentielle.

40

Théorème : les coefficients a et b de la formule précédente sont les dérivées partielles de f par rapport à x et y. On note :

dyy

fdx

x

fdf

Exercices :

Résoudre 0 ydyxdx

Résoudre 03 ydyxdx

Différentielle logarithmique

Si )()()( xvxuxf alors :

v

dv

u

du

f

df

Si )(

)()(

xv

xuxf alors :

v

dv

u

du

f

df

Si ba xvxuxf )()()( alors :

v

dvb

u

dua

f

df

5 Théorème de Rolle et formule des accroissements finis Théorème de Rolle : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [a,b]. Si f(a)=f(b) alors il existe ],[ bac tel que la dérivée de f en c soit nulle (f’(c)=0).

Formule des accroissements finis : Soit f une fonction dérivable sur [a,b]. Il existe ],[ bac

tel que ab

afbfcf

)()()(

Exercice : le démontrer à partir du théorème de Rolle. Variante : Il s’agit d’une reformulation de la formule précédente. Soit f une fonction dérivable sur [x,x+h], alors il existe θ compris entre 0 et 1 tel que

)()()( hxfhxfhxf

41

6 Règle de l’Hospital Théorème : Soient f et g deux fonctions continues dérivables au voisinage de a et s’y annulant. On a alors :

)(

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

axax

7 Formule de Taylor-Mac Laurin Il s’agit en fait de la généralisation de la formule des accroissements finis. Théorème : Soit une fonction f définie sur [a,b] et dérivable n fois. Il existe un nombre c appartenant à [a,b] tel que (formule de Taylor):

1)1()(

2 )()!1(

)()(

!

)()(

!2

)()(

!1

)()()(

nn

nn

abn

cfab

n

afab

afab

afafbf

Formule de Mac Laurin : Il s’agit de la formule de Taylor dans le cas a=0.

1)1()(

2

)!1(

)(

!

)0(

!2

)0(

!1

)0()0()(

n

nn

n

bn

cfb

n

fb

fb

ffbf

Démonstration : On se cantonne à la formule de Mac-Laurin, qui n’est jamais qu’une version translatée de la formule de Taylor. Soit :

n

n

xn

fx

fx

ffxfxR

!

)0(

!2

)0(

!1

)0()0()()(

)(2

On déduit :

)0()()( )()( nn

n

n

fxfdx

xRd

On applique la formule des accroissements finis à la dérivée nième de f. Il existe c tel que :

)()0()( )1()()( cxffxf nnn

Par conséquent :

)()( )1( cxf

dx

xRd n

n

n

Par conséquent, par n intégrations successives, on obtient la formule de Mac-Laurin

42

Chapitre 8 : Développements limités

L’objectif des développements limités est de donner une approximation polynômiale d’un fonction au voisinage d’un point, c'est-à-dire dans un petit intervalle autour de ce point. La précision de l’approximation dépend des cas, et l’on devra vérifier à chaque fois que l’on est dans les bonnes conditions d’utilisation.

1 Formule de Taylor avec reste de Young Si l’on peut développer une fonction f au voisinage d’un point sous la forme

nnn

ababn

afab

afab

afafbf )()(

!

)()(

!2

)()(

!1

)()()(

)(2

avec 0lim

ab

on dit alors que l’on a développé f à l’ordre n avec le reste de Young nab )(

Le développement limité de f à l’ordre n est donc :

nn

abn

afab

afab

afaf )(

!

)()(

!2

)()(

!1

)()(

)(2

Exercice : développer la fonction cosinus au voisinage de 0, à l’ordre 4.

Exercice : développer x1 au voisinage de 0, à l’ordre 2.

Remarque : le développement n’existe pas toujours, comme par exemple celui de la racine carrée au voisinage de l’origine (la fonction n’y est pas dérivable).

La figure ci-dessous représente x1 et ses développements à l’ordre 2, 4 et 8. On voit que

l’approximation est bonne dans un certain domaine, mais qu’au-delà, la situation devient très mauvaise. Le développement à l’ordre 8 est le plus précis localement, mais aussi celui qui diverge le plus rapidement.

x1

Ordre 2

Ordre 4

Ordre 8

43

2 Propriétés Si l’on considère maintenant plusieurs fonctions, on peut considérer le développement limité de leurs somme, produit etc. Il est important de noter que l’ordre doit être préservé :

Si l’on travaille à l’ordre n, les développements utilisés au départ doivent tous être à l’ordre n.

Les développements intermédiaires et finaux ne peuvent dépasser l’ordre n, et par conséquent on ne considérera pas les termes de degré supérieur (ceci revient, du point de vue de l’approximation, à les considérer comme négligeables).

On a les propriétés suivantes :

Le développement limité (DL) de la somme de deux fonctions est la somme des développements limités. Ils doivent être de même ordre.

Le développement limité du produit à l’ordre n de deux fonctions est le produit des développements limités, en se limitant aux termes de degré inférieur ou égal à n. Les développements limités de départ doivent être d’ordre n.

Le développement limité du quotient à l’ordre n de deux fonctions est obtenu par le quotient des développements limités, en divisant les développements selon les puissances croissantes.

Le développement limité à l’ordre n de g(f(x)) (composition) est obtenu en remplaçant le DL à l’ordre n de f dans celui de g, et en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à n.

Si la fonction est dérivable, le DL à l’ordre (n-1) de la dérivée est obtenu en dérivant le DL à l’ordre n de la fonction.

Si la fonction est intégrable localement, le DL à l’ordre (n+1) de la primitive est obtenu en intégrant le DL à l’ordre n de la fonction.

3 Un exemple utile On peut connaître le DL de 1/(1+x) par application de la formule de Taylor. Nous pouvons l’obtenir d’une autre façon.

x

xxxx

nn

1

11

12

Par conséquent, pour x assez petit:

nxxxx

211

1

Par conséquent, on a également :

nn xxxxx

)1(11

1 32

Par intégration, on a immédiatement :

1)1(

32)1ln(

132

n

xxxxx

nn

La même formule du développement de 1/(1+x) donne, en remplaçant x par x2 :

44

nn xxxxx

2642

2)1(1

1

1

Et par intégration :

12)1(

53)arctan(

1253

n

xxxxx

nn

Remarque :

De la relation )1arctan(4

, on déduit que (en fait, c’est un peu plus compliqué, il faut montrer

que le reste tend vers zéro quand le degré du développement augmente):

7

1

5

1

3

11

4

5 Développement limité au voisinage de l’infini

On parle du développement au voisinage de l’infini quand la variable x peut être arbitrairement grande. Dans ce cas, la variable X=1/x est arbitrairement petite. Faire un développement à l’infini en x revient donc à faire un développement en zéro en X=1/x. Exemple : Développement à l’ordre 3

xxxf

XXXX

XX

X

x

xx

x

x

x

xxf

67)(

671

)1

51

311

51

311

5

31)( 2

32

77

3

2

7

7

6

7

32

7

26X+7X+(1

On voit par exemple tout de suite que la droite y=x+7 est asymptote. De manière générale, on voit le comportement de f pour x grand : la courbe est asymptote à une droite et s’en rapproche selon une courbe en 1/x, par valeurs supérieures. Le développement correspond à la courbe initialement au dessous.

45

Chapitre 9 : Intégration – Intégrales généralisées

1 Fonctions en escalier. Intégration Définition 1: Une fonction f définie de manière constante sur des intervalles (finis ou non) est dite fonction en escalier.

Exemple de fonction en escalier Définition 2 : Soit f une fonction en escalier définie sur [a,b], a et b étant réels, l’aire I (algébrique, c'est-à-dire) comprise entre la courbe représentative de f est l’axe horizontal est appelée intégrale de Riemann de f entre a et b et se note.

b

a

dxxfI )(

46

Remarque : I a un signe. Les surfaces sont comptées positivement quand elles sont au dessus de l’axe et négativement en dessous. Remarque : le signe « x » dans l’intégrale est une variable dite muette. Autrement dit :

b

a

b

a

b

a

fdttfdxxf )()(

2 Intégration des fonctions continues par morceaux Théorème : Une fonction continue par morceaux sur [a, b] peut être approchée en valeurs aussi précisément que l’on veut par une fonction en escalier. En langage plus mathématique, une fonction continue par morceaux est limite uniforme d’une suite de fonctions en escaliers.

],[,)()(,0 baxxsxfs nn escalier, en

Nota : Il s’agit d’une limite en valeurs et pas, par exemple, en dérivée. On peut considérer ainsi une suite sn de fonctions en escaliers qui convergent vers f. Dans ce cas, si la limite de la suite des intégrales des termes sn existe, alors f est dite intégrable et on définit :

b

a

nn

b

a

dxxsdxxf )(lim)(

Interprétation : l’intégrale ainsi définie permet de définir l’aire algébrique comprise entre une courbe et l’axe des abscisses.

Approximation par des fonctions en escalier

3 Propriétés générales

La surface sous un point est nulle, autrement dit :

47

0)( a

a

dxxf

Relation de Chasles

c

a

c

b

b

a

dttfdxxfdxxf )()()(

Corollaire :

a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

Linéarité. Si α et β sont deux réels quelconques, et f deux fonction intégrables

quelconques, alors :

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

En particulier, l’intégrale de la somme de deux fonctions est égale à la somme des intégrales des fonctions. L’intégrale d’une fonction multipliée par une constante est égale à l’intégrale multipliée par la constante. Exemple particulier : Si la fonction f est constante égale à A sur l’intervalle [a,b], la définition de l’intégrale, sous forme de surface, conduit immédiatement à :

)( abAAdx

b

a

Si f(x)<g(x) pour tout x appartenant à l’intervalle [a,b], alors :

b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

Inégalité triangulaire On sait que, pour tout couple de nombres réels A et B, on a :

BABA

Et par conséquent, en appliquant les propriétés précédentes, il vient :

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

4 Primitives et intégrales Définition : Une fonction F(x) dont la dérivée par rapport à x est f(x) est appelée primitive de f. Propriété : la fonction nulle admet pour primitives toutes les fonctions constantes. Théorème : Si F et G sont deux primitives de f, alors elles diffèrent seulement par une constante. Exercice : le démontrer à partir de la dérivée de F-G.

48

Théorème : La fonction F définie par x

a

dttfxF )()( est une primitive de f.

Démonstration (explication): On considère

hx

x

dttfxFhxF )()()( . Ceci est la surface

comprise sous la courbe, entre x et x+h. Pour h assez petit, ceci correspond à la surface du trapèze défini par les points (x,0), (x,f(x)),(x+h,0) et (x+h, f(x+h)). L’aire A de ce trapèze vaut :

hxfhxfhxf

A )(2

)()(

pour h assez petit. Donc :

)()()(

lim

)()(

0xf

h

xFhxF

hxfdttf

h

hx

x

Ce qui signifie bien que f est la dérivée de F. Corollaire : Si F est une primitive quelconque de f, donc est définie à une constante près, on a :

b

a

aFbFdttf )()()(

4.1 Intégration par parties Cette formule usuelle vient de la dérivée du produit de deux fonctions

b

a

ba

b

a

dttvtutvtudttvtuvuvuuv )()()()()()()(

4.2 Changement de variable Changer la variable d’intégration est parfois un bon moyen de calculer une intégrale. Il est basé sur la propriété suivante :

)(

)(

)()())((

bg

ag

bt

at

dfdttgtgf

Exemple : calculer

b

a

dtttI 21

On pose 2tx d’où l’on déduit :

dxxdttt

txdt

xt

12

11

2

1

2

1

2

2

2

2

22/322/322/32 )1()1(

3

11

3

2

2

11

2

11

bx

ax

b

a

b

a

abxdxxdttt

49

On voit sur cet exemple comment procéder :

On trouve la nouvelle variable en fonction de l’amcienne

On exprime l’ancienne en fonction de la nouvelle

On prend la différentielle

On remplace 4.3 Valeur moyenne d’une fonction Définition : La valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle [a,b] est

b

a

dttfab

f )(1

Exemple : la valeur moyenne du carré de la fonction sinus (ou cosinus) sur une période vaut ½. Calculer par exemple la valeur moyenne de cos2(ωt) sur une période. Application et exercice : On applique une tension sinusoïdale de valeur crête V0 aux bornes d’une résistance R. Quelle est la valeur de la tension Veff continue qui, placée aux bornes de R, dissiperait en moyenne la même puissance Joule ?

Réponse : 2

0VVeff . La tension Veff est appelée tension efficace (pour une tension

sinusoïdale).

5 Longueur d’un arc de courbe Il s’agit d’une application parmi d’autres. On considère une courbe (figure ci-dessous). On suppose des accroissement petits de x et de y=f(x), on on travaille directement avec des différentielles.

La longueur élémentaire de l’arc de courbe est donné par le théorème de Pythagore, car si l’on suppose dy et dy assez petits, la courbe se confond localement avec sa tangente.

dy

dx

ds

50

dxxfdxdx

dydydxds

dydxds

dxxfdfdy

)(11)()(

)()()(

0(

22

22

222

par conséquent, la longueur d’un arc de courbe entre x=a et x=b est donné par :

b

a

dxxfL )(1 2

Exemple : Périmètre d’un cercle de rayon R On se cantonne à celui du demi cercle supérieur.On part de l’équation du demi cercle supérieur et on applique ce qui vient d’être vu.

2222

22

22

22

1xR

R

xR

R

dx

dy

xR

x

dx

dy

xRy

Et par conséquent :

R

R

R

R

dx

R

xdx

xR

RL

2

222

1

1

Il reste à faire un changement de variable. On pose :

RtR

t

dtR

t

dtRL

Rdtdx

Rtx

tR

x

1

1

1

12

1

12

)arcsin(

11

On a obtenu le périmètre du demi cercle.

5 Estimation numérique d’une intégrale Nous n’avons pas donné, pour les dérivées, de méthode de calcul numérique car il s’agit alors d’une opération délicate. Par contre, l’ intégration est une opération plus aisée. Nous nous limiterons à la méthode des trapèzes, mais il en existe bien d’autres, comme la méthode de Simpson (une amélioration de celle des trapèzes) ou de plus sophistiquées comme les méthodes de quadrature. On discrétise l’axe des x en ne considérant que des valeurs discrètes xi. On pose hi=(xi+1-xi) et fi=f(xi) L’aire du trapèze ainsi défini vaut

51

iii

i hff

A2

1

et l’aire sous la courbe entre x0 et xN est approchée par (pour h assez petit) :

N

i

iii

x

x

hff

dxxfA

N

0

1

2)(

0

En particulier, si le pas est constant égal à h :

N

i

NN

ii ffff

fh

ffhA

0

1121

01

222

Exemple : Estimer l’intégrale de f(x)=x2 entre 0 et 3 par la méthode des trapèzes, avec un pas h=1. Comparer à la vraie valeur. Expliquer pourquoi la valeur estimée est un peu trop grande.

6 Intégrales généralisées Il s’agit d’intégrales sur un domaine allant jusqu’à l’infini ou jusqu’à une borne où la fonction à intégrer n’est pas définie.

Exemples : Nous allons considérer 1

0x

dx et

1

2x

dx

La première intégrale pose un problème en zéro, la seconde à l’infini. Nous constatons que :

21(2lim2limlim0

1

0

1

0

x

x

dx

On définit donc

1

0

1

0

1lim

x

dx

x

dx

De la même manière :

11

1limlim

1

2

1

2

Xx

dx

x

dx

X

X

X

6.1 Définitions Définition : Compte tenu des exemples précédents, si une fonction présente une singularité (asymptote, valeur non définie) en A, ou si A est une borne infinie, on dit que l’intégrale

A

a

dxxf )( est convergente si

X

aAX

dxxf )(lim existe. On suppose ici que la fonction f est bien

définie en « a ».

52

Cas de deux singularités : Supposons toujours f bien définie en a. Si A et B sont soit infinis, soit des singularités de f, on peut définir, si les limites existent :

X

aBX

a

XAX

B

A

dxxfdxxfdxxf )(lim)(lim)(

La propriété doit être indépendante du choix de a.

La propriété « physique » à vérifier, de manière générale, est que l’aire comprise sous la courbe soit une quantité finie.

Exercices : que valent

1x

dxet

1

dxe x ?

6.2 Convergence absolue.

Théorème : Si l’intégrale B

A

dxxf )( converge, alors B

A

dxxf )( aussi. On dit que l’intégrale est

absolument convergente. Application : Théorème : Une intégrale généralisée est convergente à l’infini si la valeur absolue de la fonction est majorée par x-s avec s>1, réel, pour x assez grand.

Preuve : Cherchons à calculer

a

dxxf )( , avec les hypothèse précédentes.

Il existe X tel que sxxf )( pour x>X et X

a

dxxf )( est définie

Donc

A

X

s

A

X

dxxdxxf )( pour A>x

AXs

A

X

s xs

dxx 1

1

1

converge quand A tend vers l’infini à la condition que s-1 soit

strictement négatif, donc que s soit strictement supérieur à 1.

Dans ce cas,

X

dxxf )( converge.

Donc, dans ce cas, l’intégrale est absolument convergente, donc convergente.

53

7 Equations différentielles du premier ordre Définition : une équation différentielle est une équation qui relie une fonction est ses dérivées. Ainsi, une équation différentielle du premier ordre relie une fonction, notée y(x), sa dérivée y’(x) et la variable x. Conditions aux limites : une équation différentielle est souvent la loi d’évolution d’un système dynamique (dépendant du temps par exemple). Il manque donc, dans ce cas, les conditions initiales. De manière générale, une équation différentielle ne suffit pas. Il faut en outre les conditions aux limites (CL) : 1 pour les équations du premier ordre, N pour celle d’ordre N. Pour une équation du premier ordre, il s’agira de la valeur de la fonction pour une valeur donnée de x.

7.1 Equations à variables séparables Ce sont, de manière imagée, les équations où les termes en x (dont la quantité dx) et ceux en y peuvent être regroupés indépendamment. Nous en donnerons 3 types : 7.1.1 Equation du type )(xfy

On l’écrit sous la forme )(xfdx

dy

D’où : dxxfydxxfdy )()( +CL

7.1.2 Equation du type )( ygy

On l’écrit sous la forme )( ygdx

dy

D’où : )()()()(

1

xGyyGyg

dyxdx

yg

dy

+CL

Exemple : résoudre 2yy . Réponse : CLx

xy 1

)( soit, en fait : cx

xy

1

)( où c est une

constante d’intégration (celle qui apparaît naturellement dans le calcul).

7.1.3 Equation du type)(

)(

yg

xfy

On l’écrit sous la forme )(

)(

yg

xf

dx

dy

D’où : ))(()()()()()()(1

xFGyyGdyygxdxfxFdxxfdyyg

+CL

54

Exemple : y

xy .

On a alors : dxcxycyx

2222

2

12

2

1

2

1où d est une constante quelconque.

7.2 Equation homogènes Il s’agit des équations du type

x

yfy

On procède par changement de variable en posant x

yxt )(

D’où : )(tftxtytxy

On a alors :

ttf

dt

x

dx

dx

dtxttf

)()(

CxFxy

x

yFCx

x

yFtF

ttf

dt

x

dx

)ln(

)ln(

)()(

1

Exemple : résoudre 0222 xyyyx

Réponse : 222

1

22

x

y

x

y

yx

xyy

On obtient alors (exercice) : 022 Cyyx où C est une variable d’intégration. On résout

alors selon y, ce qui donne deux familles de solutions.

7.3 Equations linéaires 7.3.1 Equations linéaires dans second membre Ce sont les équations de la forme

0)()( yxByxA

La solution est immédiate. On a en effet :

dxxA

xBDdx

xA

xBcyxFdx

xA

xBcy

xA

xB

y

y

)(

)(exp

)(

)(exp)(

)(

)()ln(

)(

)(

Théorème : si F et G sont deux solutions de l’équation sans second membre précédente, alors )()()( xGxFxK , où λ et μ sont deux réels quelconques est également solution.

55

Cas particulier : si A et B sont des constantes, on remarque que la solution est

particulièrement simple. On obtient en effet

x

A

BDy exp

7.3.2 Equations linéaires avec second membre Ce sont les équations de la forme

)()()( xyxByxA

Théorème : la solution générale de cette équation est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution particulière. Résolution : on résout d’abord l’équation sans second membre sous sa forme générale. Puis on ajoute une solution particulière. Méthode de variation de la constante. Soit y0 une solution de l’équation sans second membre (c'est-à-dire que y0 est un cas particulier quelconque, au choix, de la solution générale de l’équation sans second membre). Alors une solution particulière de l’équation complète est :

dttytA

tyy

x

p

00

0)()(

)(

Exercice : Montrer que yp est bien solution particulière.

Exercice :Résoudre y’sinx-y=cos(x) avec le changement de variable 21

2sin

t

tx

avec

t=tan(x/2). Résoudre d’abord l’équation sans second membre, avec le changement de variable indiqué, puis déduire la solution générale par la méthode indiquée

56

8 Equations linéaires du second ordre Les équations de ce type décrivent, par exemple, les systèmes dynamiques où apparaît une force, car une accélération (ou une force) n’est rien d’autre qu’une dérivée seconde d’une ou plusieurs coordonnées spatiales. Nous nous bornerons effectivement au cas où ces équations sont linéaires, les non-linéaires étant beaucoup plus complexes.

8.1 Equations linéaires sans second membre Il s’agit d’équations du type

0)()()( yxcyxbyxa

Ainsi que de deux conditions aux limites (soit la valeur de la fonction et sa dérivée en un point, soit deux valeurs de la fonction ou de sa dérivée en deux points différents). Théorème Il existe au moins deux solutions linéairement indépendantes de l’équation homogène. La solution générale est combinaison linéaire de ces solutions. Théorème équivalent Il existe 2 solutions indépendantes (de rapport non constant) C et S telles que C(0)=1, C’(0)=0, S(1)=0, S’(0)=1 telles que :

)()()( 00 xSyxCyxy

où y0 et y’0 sont les conditions initiales (fonction et dérivée)

Exemple : Trouver les fonctions C et S pour l’équation y’’+ 2x=0 Définition : on appelle wronskien de l’équation la fonction w(x)=CS’-C’S Propriétés du wronskien: De la relation

w’=CS’’-C’’S On déduit immédiatement

a(x)w’+b(x)w=0

et donc que

x x

dtta

tbxwdt

ta

tbxw

0 0)(

)(exp)(

)(

)()(ln

ainsi que, par définition du wronskien et des fonction C et S :

1)0( w

Propriété : Si la fonction b(x) est identiquement nulle (c'est-à-dire b(x)=0 quel que soit x), alors le wronskien est égal à 1.

57

8.2 Equations linéaires avec second membre Il s’agit d’équations du type

)()()()( xyxcyxbyxa

Ainsi également de deux conditions aux limites. Théorème : La solution générale de l’équation avec second membre est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre, ayant les conditions aux limites requises, et d’une solution particulière de l’équation complète. Théorème : une solution particulière est donnée par (« variation des constantes »).

xx

p dw

SxCd

w

CxSxy

00)(

)()()(

)(

)()()()(

où w est le wronskien donné plus haut. La solution complète s’écrit donc :

xx

dw

SxCd

w

CxSxSyxCyxy

00

00)(

)()()(

)(

)()()()()()(

8.3 Equation du second ordre à coefficients constants

8.3.1 Elimination du second membre supposé constant Les fonction a, b, c et sont considérées maintenant comme constantes.

cyybya

Toutes les dérivées de sont nulles et l’on peut réécrire :

0

cyc

cyb

cya

On pose

cxyxY

)()(

Et l’on constate que Y est solution de l’équation sans second membre. On ne traitera donc que cette dernière équation. 8.3.2 Cas d’un second membre non constant On résout l’équation sans second membre et on applique la méthode de variation des constantes décrite plus haut, si besoin. 8.3.3 Résolution de l’équation sans second membre et à coefficients constants

On cherche une solution en ex, où α est un nombre complexe.

58

L’équation, supposée sans second membre, devient une équation polynômiale, dite équation caractéristique :

a2 + b+c=0 On résout l’équation caractéristique, pour laquelle 3 cas sont à envisager : deux zéros réels distincts, deux zéros non-réels conjugués et enfin un seul zéro réel de multiplicité 2. Théorème :

Si les zéros de l’équation caractéristique sont tous deux réels, on a des solutions en xx

eCeCy 2121

Si les zéros sont égaux, on a des solutions en 21 CxCey x

Si les zéros sont conjugués, j 21 , les solutions sont alors :

xCxCey x sincos 21

Exemples : résoudre y’’+4y=0, y’’-4y=0 et y’’+8y’+20y=5 Exercice : On considère un circuit RLC série. Quelle est la tension aux bornes du condensateur ? On part d’un condensateur chargé sous 1 volt. Equation différentielle :

U+RCU’+LCU’’ =0 Le discriminant de l’équation caractéristique est :

LCCR 422

On a donc trois régimes différents selon le discriminant. On a toujours un amortissement, correspondant au terme RC. La quantité 1/(RC) est la constante de temps du système.

Tension sur le condensateur pour un discriminant respectivement négatif, nul, positif, de gauche à droite de la feuille.

Par rapport au théorème : Δ>0 correspond à deux zéros réels : on a amortissement pur (cas de droite) Δ<0 correspond à deuz zéros conjugués. Ils ont une partie réelle non nulle (amortissement) et une partie imaginaire non nulle (oscillation) (cas de gauche) Δ=0 correspond à deux zéros égaux, donc réels, et donc à un amortissement (centre).

59

8.3.4 Cas des circuits électriques en régime sinusoidal. On suppose ici que l’on est en régime établi, et que toutes les grandeurs sont sinusoïdales. Nous prendrons l’exemple du circuit RLC série alimenté par un générateur de tension sinusoïdal de pulsation ω. L’équation du circuit s’écrit (Ug est la tension aux bornes du générateur) :

C

I

dt

IdL

dt

dIR

dt

dUdI

Cdt

dILRIU

gt

g 2

2

0

)(1

La tension du générateur étant sinusoïdale, on l’écrit sous forme complexe :

tjg eUU ˆ

On cherche I sous la forme :

)(ˆ tjeII

En reportant, on obtient :

jj eI

jCjLRUeI

CLRjUj ˆ1ˆˆ1ˆ 2

On définit l’impédance complexe (connue0

jCjLRZ

1

Sachant que le module de je vaut 1, on déduit

Z

UI

ˆˆ

et on déduit φ, toutes les autres quantités étant connues..

Ug

60

Exercice 1

xxxxxxxA

xx

xxxxA

xxx

xxxx

xxxxxxxA

cos3cos4cos)cos1(2coscos2

cos1sin

cossin2coscos2

cossin2)2sin(

1cos2sincos)2cos(

)sin()2sin()cos()2cos()2cos()3cos(

323

22

23

222

Exercice 2

xt

t

t

tt

ttt

t

t

t

t

t

t

A

t

tx

t

tx

xt

x

xxA

cos11

11

1

11

1

2

)31)(1(

62

31

1

6

1

11

1

2sin

1

1cos

)2/tan(

?)2/tan31

sin3cos1

2

2

2

22

22

22

2

2

2

2

61

Solution des exercices

?)6cos(1

)6sin(

x

x

On pose t=tan(3x) 9tangente de l’angle moitié, d’où

)3tan(

111

12

)6cos(1

)6sin(22

2

xttt

tt

x

x

?12

tan

t ?

12

7tan

32

1

320141

2

2

1

12sin 2

2

t

t

tttt

t

3212

tan12

cot

12sin

12

7cos

12cos

12

7sin

12212

7

g

?)6cos(1

)6sin(

x

x

On pose t=tan(3x) 9tangente de l’angle moitié, d’où

)3tan(

111

12

)6cos(1

)6sin(22

2

xttt

tt

x

x

?12

tan

t ?

12

7tan

32

1

320141

2

2

1

12sin 2

2

t

t

tttt

t

3212

tan12

cot

12sin

12

7cos

12cos

12

7sin

12212

7

g

62

Devoir Maison

Exercice 1 :

Que valent

239

1arctantan

5

1arctantan

b

a

?

En utilisant deux fois de suite l’expression de tan(2x), en déduire la valeur de

5

1arctan4tanA

En utilisant la formule de tan(x+y) déduire

239

1arctan

5

1arctan4tan

En déduire la valeur de

239

1arctan

5

1arctan4tan (Formule de Méchin)

Exercice 2 :

Montrer que 2

1cos

2

1cos2 x

xArc

Exercice 3 : Résoudre 03tan)31(tan2 xx

Exercice 4 :

Montrer, en utilisant l’expression de tan(a+b), que 48

1arctan

5

1arctan

2

1arctan

63

Nous distinguerons tout d’abord les Exemple : Propriétés des fonctions par rotation de pi/2 ou pi Résolution dans le cercle et nombre de solutions des équations trigonométriques Formules usuelles. Formulaire. Exemples, exercices Fonctions réciproques et bon usage de la calculatrice Coordonnées cartésiennes et polaires Equation paramétrique du cercle. Coordonnées polaires d’un vecteur. Interprétation des fonctions trigonométriques en termes de projection. Vecteur tournant.