Tarefa7
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Exerc´ ıcios Resolvidos - 7 o . Tarefa 14 de abril de 2013 Quest˜ ao 2 O que acontece para a solu¸c˜ao da eq.(12.54) quando γ = ω 0 ?. Verifique, porsubstitui¸c˜ ao direta que, neste caso, a solu¸c˜ao geral da Eq. (12.52)´ e x =(A+Bt)e -γt . Diz-se, ent˜ao, queooscilador ´ e criticamente amortecido. Determine A e B no caso em que t =0,x = x 0 ev = 0. Fa¸ca um gr´ afico de x emfun¸c˜ ao de t. Que diferen¸cas vocˆ e nota entre este problema e o anterior? Solu¸ c˜ ao Aequa¸c˜ ao 12.54 ´ e ω = q ω 2 0 - γ 2 . Quando γ = ω 0 , a equa¸c˜ ao 12.54 nos diz que ω = 0. Trata-se de um amortecimento cr´ ıtico, no qual x(t)=(A + Bt)e -γt ´ esolu¸c˜ ao, o que ´ e pode ser verificado diretamente: d 2 x dt +2γ dx dt + ω 2 0 x d 2 (A + Bt)e -γt dt +2γ d(A + Bt)e -γt dt + γ 2 (A + Bt)e -γt d 2 (-γ (A + Bt)e -γt + e -γt B) dt +2γ (-γ (A + Bt)e -γt + e -γt B)+ γ 2 (A + Bt)e -γt γ 2 (A + Bt)e -γt - γe -γt B - γe -γt B - 2γ 2 (A + Bt)e -γt +2γe -γt B + γ 2 (A + Bt)e -γt =0 Ou seja, a express˜ ao para x(t)´ esolu¸c˜ ao.Para t = 0: x(0) = x 0 = e -γ.0 (A + B.0) = A como d 2 x dt +2γ dx dt + ω 2 0 x = 0, se x =0e v = 0: γ 2 e-γt(A + Bt) - 2γe -γt B +0+ γ 2 x0 =0=> 2γ x0 - 2B B = γ x0 O amortecimento cr´ ıtico representa, assim, a menor magnitude de amortecimento para a qual nenhuma ocila¸c˜ ao ou ciclo ocorre, em sistemas estruturais submetidos a vibra¸c˜ oes livres. 1
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Exercıcios Resolvidos - 7o. Tarefa
14 de abril de 2013
Questao 2
O que acontece para a solucao da eq.(12.54) quando γ = ω0?. Verifique, por substituicao diretaque, neste caso, a solucao geral da Eq. (12.52) e x = (A+Bt)e−γt. Diz-se, entao, que o osciladore criticamente amortecido. Determine A e B no caso em que t = 0, x = x0ev = 0. Faca umgrafico de x em funcao de t. Que diferencas voce nota entre este problema e o anterior?
Solucao
A equacao 12.54 e ω =√ω20 − γ2. Quando γ = ω0, a equacao 12.54 nos diz que ω = 0. Trata-se de
um amortecimento crıtico, no qual x(t) = (A+Bt)e−γt e solucao, o que e pode ser verificado diretamente:
d2x
dt+ 2γ
dx
dt+ ω2
0x
d2(A+Bt)e−γt
dt+ 2γ
d(A+Bt)e−γt
dt+ γ2(A+Bt)e−γt
d2(−γ(A+Bt)e−γt + e−γtB)
dt+ 2γ(−γ(A+Bt)e−γt + e−γtB) + γ2(A+Bt)e−γt
γ2(A+Bt)e−γt − γe−γtB − γe−γtB − 2γ2(A+Bt)e−γt + 2γe−γtB + γ2(A+Bt)e−γt = 0
Ou seja, a expressao para x(t) e solucao.Para t = 0:
x(0) = x0 = e−γ.0(A+B.0) = A
comod2x
dt+ 2γ
dx
dt+ ω2
0x = 0, se x = 0 e v = 0:
γ2e−γt(A+Bt) − 2γe−γtB + 0 + γ2x0 = 0 => 2γx0 − 2B
B = γx0
O amortecimento crıtico representa, assim, a menor magnitude de amortecimento para a qual nenhumaocilacao ou ciclo ocorre, em sistemas estruturais submetidos a vibracoes livres.
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