Taller Uno

Antiderivadas

1. Encuentre las funciones antiderivadas de:

a) f(x) = (√2−√

x)2

b) h(t) = − 1

t2

c) m(s) = s5/2 − 5

s4

d) p(x) =√x(1− x2)

e) i(x) =2x4 − 3x3 + 5

7x2

f ) f(x) = tanhx

g) f(x) = cothx

h) f(x) = sech2x

i) f(x) = csch2x

j ) f(x) = sechx tanhx

k) f(x) = cothx

l) d(t) = 4 sin(2πt)− 2 sin(4π)

m) n(x) = 3ex + 7sec2x

n) l(u) = senu+ 2 senhu

n) v(x) =senx

cos2 x

o) u(x) =x2 + 1√

x

p) q(x) = 3√x(x− 4)

q) r(θ) = 2 + tan2 θ

2. La antiderivada de x senx es

a)x2

2senx+ C b) −x cosx+ C c) −x cosx+ senx+ C

3. La antiderivada de tanx sec2 x es

a)sec3 x

3+ C b)

1

2tan2 x+ C c)

1

2sec2 x+ C

4. Muestre que las funciones claramente distintas F1(x) =1

1− xy F2 =

x

1− xson ambas

primitivas de f(x) =1

(1− x)2. ¿Cua1 es la relacion entre F1(x) y F2(x)?

5. Use las identidades cos2 x =1 + cos(2x)

2y sin2 x =

1− cos(2x)

2para determinar las

primitivas de f(x) = sin2 x y f(x) = cos2 x.

6. Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies/seg a partir de unaaltura inicial de 80 pies.

Encontrar la funcion posicion que expresa la altura s en una funcion del tiempo t.

¿Cuando llegara la pelota al suelo?

7. Suponga que se dispara una flecha en sentido vertical mediante una poderosa ballesta, desdeel piso, y que vuelve a tocar el suelo 48 segundos despues. Si podemos despreciar la resistenciadel aire, determinar la velocidad inicial de la flecha y la altura maxima que alcanza.

8. Las narcas de derrape de unos neumaticos indican que se han aplicado los frenos duranteuna distancia de 160 pies antes de detenerse el automovil. Supongamos que el automovil encuestion tiene una desaceleracion constante de 20 pies/seg2 bajo las condiciones del derrape.A que velocidad viajaba el auto cuando se comenzo a frenar?

1

9. ¿Cual de las siguientes graficas muestra la solucion del problema de valor inicialdy

dx= −x,

y(−1) = 1

10. Las siguientes graficas muestran las curvas solucion de las ecuaciones diferenciales. En-cuentre, en cada grafica, una ecuacion para la curva que pasa por el punto marcado.

11. Resuelva los problemas con condiciones iniciales

a)dy

dx= (x− 2); y(2) = 1 b)

dy

dx= (2x+ 3)3/2; y(3) = 100

12. En Fig 1. se muestra la grafica de f ′. Dibuje la grafica de f si esta es continua y f(0) = −1.

13. En la Fig 2. se ilustra la grafica de la derivada f ′ de una funcion f. Determine.

a) (a) ¿En que intervalos f es creciente o decreciente?

b) (b) ¿Para que valores de x la funcion f tiene un maximo local o un mınimo local?

c) (c) Trace la grafica de f ′′.

d) (d) Trace la grafica posible de f .

14. Las graficas de f y f ′ pasan a traves del origen. Usar la grafica de f ′′ mostrada en la Fig3 para bosquejar la grafica de f y f ′.

Fig 1 Fig 2 Fig 3

2

15. Sean s(x) y c(x) dos funciones que satisfacen s′(x) = c(x) y c′(x) = −s(x) para todo x.Si s(0) = 0 y c(0) = 1. Demostrar que [s(x)]2 + [c(x)]2 = 1

16. Dibujar las graficas de dos funciones que tengan la derivada senalada.

17. Encontrar una funcion g tal que la grafica de esta tenga una tangente horizontal en (2, 0)y g′′(x) = 2x.

18. Halle la ecuacion de la curva para el cual y′′ =4

x3y que es tangente a la recta 2x+ y = 5

en el punto (1, 3). SOL: y = 2x + 1

19. Si f ′(x) =

1, 0 ≤ x < 2

3x, 2 ≤ x ≤ 5f es continua y f(1) = 3 determinar f , ¿Es diferenciable

en x = 2?

20. (M-Interesante) Sea f : R → R una funcion continua en R tal que

f(0) = 2, f ′(x) =

x

|x| , x ∈ (−∞, 1)

ex x > 1SOL : f ′(x) =

−x+ 2, x ≤ 0

x+ 2, 0 < x ≤ 1

ex + e− 3, x > 1

Determine f(x).

21. (M-Interesante) Sea f : R → R una funcion continua en R tal que

f(0) = −π

2, f ′(x) =

x+ |1− x|x2 + 1

Halle f(x) SOL: f ′(x) =

arctanx− π2 , x ≤ 1

ln(x2 + 1)− arctanx− ln 2, x > 1

22. En las siguientes graficas determine que funcion quien hace el papel de funcion y deantiderivada.

3

23. Usar la grafica de f ′ que se muestra en la Fig 4 para responder lo siguiente, dado quef(0) = −4.

a) Aproximar la pendiente de f en x = 4. Explicar.

b) ¿Es posible que f(2) = −1? Explicar.

c) ¿Es f(5)− f(4) > 0? Explicar.

d) Aproximar el valor de x donde f es maxima. Explicar.

e) Aproximar cualquier intervalo en el que la grafica de f es concava hacia arriba ycualquier intervalo en el cual es concava hacia abajo.

f ) Aproximar la coordenada x a cualquier punto de inflexion.

g) Aproximar la coordenada x del mınimo de f ′′(x).

h) Dibujar una grafica aproximada de f.

Fig 4

24. Usando la grafica de la Fig 5. Se define la funcion g(x) =

∫ x

1

f(f)dt

a) Encuentre g(1), g(3) y g(−1)

b) Halle los x ∈ (−3, 4) donde g tiene un maximo relativo.

c) Escriba una ecuacion para la recta tangente a la grafica de g en x = 1.

d) Halle los x donde g tiene un punto de inflexion.

e) Encuentre el rango de g. Fig 5

Sumas de Riemann

25. Sea R la region que esta bajo la grafica de y = f(x) en el intervalo [a, b] sobre el ejex. Calcular una R-estimacion y una L-estimacion de las siguientes funciones usando unaparticion regular.

a) f(x) = 2x+ 3 en [0, 3] n = 6.

b) f(x) = 1 + 2√x en [2, 3] n = 5.

c) f(x) =1

xen [1, 6], n = 5

26. Determine las sumas de Riemann para la funcion indicada y una particion regular delintervalo dado en n subintervalos. Utilice ci = xi es decir, extremo derecho.

a) f(x) = 9− x2 en [0, 3] n = 10

b) f(x) = x3 − 3x en [1, 4] n = 5

27. Usando induccion y (o usando la formula de∑

i=1

(rk − rk−1)) demuestre quen∑

k=0

rk =1− rn+1

1− r

28. Calcule la integral definida de f(x) = ex en [0, 4] usando sumas de Riemann con unaparticion regular.

29. Calcule el area de la region limitada por las graficas de y = 2√x, eje x, y x = 9 usando

sumas de riemann. R/ 36

4

30. Calcule la integral definida de f(x) =1

x2en [1, 2] usando sumas de Riemann. (Sugerencia:

elija ci =√xi−1xi, y use la identidad

1

m(m+ 1)=

1

m− 1

m+ 1)

31. Demuestre usando sumas de Riemann que

∫ b

0

x3 =1

4b4

32. Calcule la integral definida de g(x) = 3√x en [0, 1] (Sugerencia ci =

i3

n3 y ∆xi = ci − ci−1)

33. Evalue el limite dado reconociendo primero la suma indicada como una suma de Rie-mann asociada a una particion regular de [0, 1] y evaluando a continuacion la integralcorrespondiente.

a) lımn→∞

13 + 23 + 33 + · · ·+ n3

n4 b) lımn→∞

√1 +

√2 +

√3 + · · ·+√

n

n√n

c) lımn→∞

∑

i=1

i2

n3

34. Evalue la integral

∫ 5

0

√

25− x2dx interpretandola como el area bajo la grafica de cierta funcion.

35. Encontrar las constantes a y b que maximizan el valor

∫ b

a

(4− x2)dx. Explique el razonamiento

36. Geometricamente que significa

∫ r

−r

√

r2 − x2dx?

37. Emplear formulas geometricas para calcular

∫ 8

0

f(x)dx donde f(x) =

4 si x < 4

x si x ≥ 4

38. La grafica f esta compuesta por segmentos de recta y un semicirculo, como se muestra enla figura 3. Evalue cada integral definida utilizando formulas geometricas

a)

∫ 2

0

f(x)dx

b)

∫ 6

2

f(x)dx

c)

∫ 6

−4

f(x)dx

d)

∫ 2

−4

f(x)dx

e)

∫ 6

−4

|f(x)|dx

f )

∫ 6

−4

[f(x) + 2]dxFig 3

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

39. Determine si cada una de las siguientes formulas es cierta o falsa, y argumente brevementeel porque de su respuesta.

a)

∫ √2x+ 1dx =

√

x2 + x+ C b)

∫ √2x+ 1dx =

√

x2 + x+ C c)

∫ √2x+ 1dx =

1

3

(√2x+ 1

)3+ C

40. Calcular cada una de las siguientes integrales. Dibujese la grafica en cada caso

a)

∫ 2

0

f(x)dx f(x) =

x2 si 0 ≤ x ≤ 1

2− x si 1 < x ≤ 2

b)

∫ 3

1

f(x)dx f(x) =

1− x si −1 ≤ x < 0

x2 si 0 ≤ x < 2

−1 si 2 ≤ x ≤ 3

c)

∫ 1

0

f(x)dx, f(x) =

x si 0 ≤ x ≤ c

c(1− x

1− c

)

si c < x ≤ 1

c es un numero real fijo, 0 < c < 1.

41. Encontrar la integral indefinida

5

a)

∫

dx b)

∫

sec y(tan y − sec y) c)

∫

cosx

1− cos2 x

42. Suponga que f(x) =d

dx

(

1−√x)

y que g(x) =d

dx

(

x+ 2)

. Encuentre:

a)

∫

f(x)dx

b)

∫

g(x)dx

c)

∫

[−f(x)]dx

d)

∫

[−g(x)]dx

e)

∫

[f(x) + g(x)]dx

f )

∫

[f(x)− g(x)]dx

43. Halle todos los valores c para los cuales

∫ c

0

|x(1− x)|dx = 0

44. Hallar un polinomio cuadratico para el cual P (0) = P (1) = 0 y

∫ 1

0

P (x)dx = 1

45. Halle un polinomio cubico tal que P (0) = P (−2) = 0, P (1) = 15 y 3

∫ 0

−2

P (x)dx = 4

46. Calcule∫ 1

0

|x(2x− 1)|dx∫ 4

−4

|x2 + x− 6|dx∫ −1

−1

|x|1 + x2

dx

47. Calcule f(4) en cada uno de los casos

(a)

∫ x2

0

f(t)dt = x cos(πx) (b)

∫ f(x)

0

t2dt = x cos(πx)

48. Calcule f(2) suponiendo que f es continua y satisface

∫ x

0

f(t)dt = x2(1 + x)

49. Calcule f(2) suponiendo que f es continua y satisface

∫ x2(1+x)

0

f(t)dt = x

50. Suponga que f es continua en R, tal que f(3x) = 5f(x) y si

∫ 1

0

f(s)ds = 1. Calcule

∫ 3

0

f(s)ds

51. Escriba

∫ 2

−2

f(x)dx+

∫ 5

2

f(x)dx−∫ −1

−2

f(x)dx como una sola integral

∫ b

a

f(x)dx:

52. Si

∫ 5

1

f(x)dx = 12 y

∫ 5

4

f(x)dx = 3,6 encuentre

∫ 4

1

f(x)dx

53. Sea f : [−6, 6] → R una funcion continua. Si f es impar y

∫

f(x)dx = 3, halle

∫ 6

2

(f(x)−2x)dx.

54. Determinar si los enunciados es Verdadero o Falso, si es falso, explicar por que proporcionarun ejemplo

a) Si

∫ 1

0

f(x)dx = 4 y f(x) ≥ 0, entonces

∫ 1

0

√

f(x)dx =√4 = 2?

b) Cada antiderivada de una funcion polinomica de grado n es un funcion polinomicade grado n+ 1

c) Si p(x) es un polinomio entonces p tiene exactamente una antiderivada cuya graficacontiene el origen.

6

d) Si F (x) y G(x) son primitivas de f(x), entonces F (x) = G(x) + C.

e)

∫

f(x)g(x)dx =

∫

f(x)dx

∫

g(x)dx.

f ) las primitivas son unicas.

g) Si la norma de una particion tiende a cero, entonces el numero de subintervalos tiendea infinito.

h) el valor de

∫

f(x)dx debe ser positivo.

55. Evaluar, si es posible, la integral

∫ 2

0

⌊x⌋ dx

56. Usar el TFC para encontrar F ′(x) de las siguientes funciones

a) F (x) =

∫

∫ x3

0

11+sen2 tdt

a

cos2(y2 + 4)dy

b) F (x) =

∫ x

2

(t2 − 2t)dt

c) F (x) =

∫ x2

2

cos(t)dt

d) F (x) =

∫ x+2

2

(2t2 − 1)dx

e) F (x) =

∫ sen x

2

√r dr

f ) F (x) =

∫ x

−x

sen(θ2)dθ

g) F (x) =

∫ x

1/x

1

tdt

h) F (x) =

∫ sen x

cos x

1

1− t2dt

i) F (y) =

∫ 2√y

√y

sen(t2)dt

j ) F (x) =

∫ x2+3

x

t(5− t)dt

57. Sea F (x) =

∫ arc sen(cos x)

√3

f(sen t)dt =

√

1− sen t

1 + sin ty G(x) =

∫ sin x

√2

√

g(t)dt =√1− cosx.

Halle H ′(x) si H(x) =

∫ f(1)

g(x)(1−√1−x2)

1

t2dt. R/− 8

x3

58. Si f(x) =

∫ g(x)

0

1√1 + t2

dt, donde g(x) =

∫ cos x

0

[1 + sin(t2)]dt, encuentre f ′(π/2)

59. Encuentred2

dx2

∫ x

0

(

∫ sen t

1

√

1 + u4du)

dt

60. Sea L1 una recta tangente a la curva C : y = g(x) en el punto P (2, 3). Ademas, la recta

L1 pasa por el punto Q(10, 7) que no esta en la curva C. Si f(x) =

∫ g(x)

1

√

t2 + 7dt ,

halle f ′(2). R/ =2

61. Sea f una funcion continua tal que

∫ x

0

tf(t)dt = x sinx−cosx. Calcula f(π/2) y f ′(π/2).

62. Una funcion f esta definida para todo real x por la formula

f(x) = 3 +

∫ x

0

1 + sin(t)

2 + t2dt

Halle un polinomio cuadratico p(x) = a + bx + cx2 tal que p(0) = f(0), p′(0) = f ′(0) yp′′(0) = f ′′(0)

7

63. Dada una funcion g, continua para todo x, tal que g(1) = 5 y

∫ 1

0

g(t)dt = 2. Suponga

que f(x) =1

2

∫ x

0

(x− t)2g(t)dt, demostrar que

f ′(x) = x

∫ x

0

g(t)dt−∫ x

0

tg(t)dt

y calcule f ′′(1) y f ′′′(1).

64. Halle una funcion f y un numero a tal que 6 +

∫ x

a

f(t)

t2dt = 2

√x

65. Sin integrar, explicar por que

∫ 2

−2

x(x2 + 1)2dx = 0

66. Si f(x) ≥ 0, b > 1 y

∫ b

1

f(x) =√

b2 + 1−√2. Halle f(x).

67. Encontrar la funcion f(x) y todos los valores de c, tal que∫ x

c

f(t)dt = x2 + x− 2

.

68. Sea G(x) =

∫ x

0

s[

∫ s

0

f(t)dt]

ds, donde f es continua para todo t real. Determinar

G(0), G′(0), G′′(x) G′′(0).

69. Si f es continua y

∫ 8

0

f(x)dx = 32, encontrar

∫ 4

0

f(2x)dx.

70. Pruebe que y = senx+

∫ π

x

cos(2t)dt+ 1 satisface las dos condiciones siguientes:

a) y′′ = − senx+ 2 sen(2x)

b) Cuando x = π y = 1 y y′ = −2.

71. Calcular el area acotada por el eje x y la parabola y = 6− x− x2

72. Determinar el valor medio de f(x) = 3x2 − 2x en el intervalo [1, 4]

73. Encuentre el area de las regiones sombreadas de las figuras 6,

Fig 6

74. Trace la grafica de F (x) =

∫ x

0

2te−t2 , x ∈ R, Hallando el dominio, las intersecciones con el

eje x, los intervalos de crecimientos-decrecimiento, mınimos-maximos, puntos de inflexion,concavidades, asıntota.

8

Taller Dos

Tecnicas de Integracion

1. Suponga que f tiene una derivada positiva para todos los valores de x, y que f(1) = 0¿Cuales de los siguientes enunciados son VERDADEROS para la funcion

g(x) =

∫ x

0

f(t)dt

Justifique sus respuestas.

a) g es una funcion diferenciable de x.

b) g es una funcion continua de x.

c) La grafica de g tiene una tangente horizontal en x = 1

d) g tiene un maximo local en x = 1

e) g tiene un mınimo local en x = 1

f ) La grafica de g tiene un punto de inflexion en x = 1

g) La graficadg

dxde cruza el eje x en x = 1

2. Suponga que f es la funcion diferenciable Fig 1, y que la posicion en el tiempo t (seg) de

una partıcula que se mueve a lo largo de un eje coordenado es s(t) =

∫ t

0

f(x)dx metros. Use

la grafica para contestar las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.

¿Cual es la velocidad de la partıcula en el tiempo t = 5?

¿La aceleracion de la partıcula en el tiempo t = 5 es positiva o negativa?

¿Cual es la posicion de la partıcula en el tiempo t = 3?

¿En que momento durante los primeros 9 segundos alcanza s su valor maximo?

¿Aproximadamente en que momento la aceleracion es cero?

¿Cuando se esta moviendo la partıcula hacia el origen? ¿Cuando lo hace alejandosedel origen?

¿En que lado del origen esta la partıcula en el tiempo t = 9?Fig. 1

3. Demuestre que

∫ n

0

⌊x⌋ dx =n(n− 1)

2Ayuda: Induccion

4. Demostrar que

∫ x

0

|t|dt = 1

2x|x| para todo real x real

5. Exprese los limites como una integral definida sobre un intervalo adecuado o el que sepide

a) lımn→∞

n∑

i=1

xi ln(1 + x2i )∆xi en [2, 6]

b) lımn→∞

n∑

i=1

n

n2 + i2

c) lımn→∞

n∑

i=1

13√

n3(1 + i/n)

d) lımn→∞

n∑

i=1

1√n√n+ i

9

6. Integrales por sustitucion INTERESANTES*

*

∫

√ex − 1 earctan x + ln

[

(1 + x2)

√

x2ex − x2]

+√ex − 1

√

1 + x2√

ex + x2ex − x2 − 1dx

*

∫

xdx√

1 + x2 +√

(1 + x2)3

∫

senhx coshx

(1 + senh2 x)5dx

*

∫

sen−1 (√x)√

x− x2dx

*

∫

x

e3x(1− x)4dx

∫

x+ 2

(x− 2)4

∫

x√1 + 3xdx

**

∫

7x2 + 16

x4 + 4x2dx

*

∫

2x3x+1

5x+2dx

∫

cos3 x

1− senxdx

∫

dx

1 + cos(10x)

**

∫

dx√2x− 1−√

x

∫

dx

1 + sinx

∫

ln(lnx)

x lnxdx

*

∫

1

2w + 3dw

*

∫

1√em − 1

dm

*

∫

1

4 + 5 cos2 mdm

*

∫

1

ex + 4dx

∫

ln(3x)

x ln(5x)dx

∫

√

ln(x+√x2 + 1)

1 + x2

∫

1

e−x + exdw

∫ √1 + sinxdx

∫

tan−1(√x)√

x+ 2x2 + x3dx

∫

x2 sin x−1(sinx+ x cosx lnx)dx

∫

sin(8x)

9 + sin4(4x)dx

∫

cos2 w(tan2 w + 1)

(sinw + cosw)2dw

∫

√

sec z − tan z

sec z + tan zdz

∫

e2x√1 + ex

dx

∫

ln z

z3(ln z − 1)3dz

∫

(4− 3 lnx)4d(lnx)

*

∫

ex√ex + 2

ex + 6dx

∫

x5

x3 − 8dx

∫

1 + tanx

sen(2x)dx

∫

13√x2(1 +

3√x2)

dx

∫ 2

1

sin(1/x)

x2dx

∫

z3√1− z2

dz

∫

ex

1 + e2xdx =

∫

4

(x2 + 9)dx =

∫

cos(θ)√sen θ + 1

sen θ + 2dθ

7. Calcule

∫

√

2 +

√

2 +

√

2 + 2 cos(5√x+ 4) x−1/2dx, R : (ad)

32

5sin(5

√x+ 4

8+ C

)

8. Demuestre que

a)

∫ b

a

f(x)dx = (b− a)

∫ 1

0

f(

a+ (b− a)x)

dx

b)

∫ b

a

f(c− x)dx =

∫ c−a

c−b

f(x)dx

10

c) Si x > 0 entonces

∫ 1

x

dt

1 + t2=

∫ 1/x

1

dt

1 + t2

d) Si f es continua entonces

∫ π

0

xf(sinx)dx =π

2

∫ π

0

f(sinx)dx Ayuda u = π − x.

Use esto y calcule

∫ π

0

x senx

1 + cos2xdx R(en) = π2

4

e) Demostrar que

∫ b

a

f(x) =

∫ b

a

f(a+ b− x)dx

f ) Demostrar que si f es continua en [0, a] entonces

∫ a

0

f(x)dx =

∫ a

0

f(a − x)dx use

esto para hallar la integral

∫ 1

0

ln(1 + x)

1 + x2dx R(st+en) = π

8 ln 2

g) Si f es funcion par y continua en [−a, a], entonces

∫ a

−a

f(x)dx = 2

∫ a

0

f(x)dx

h) Si f es funcion impar y continua en [−a, a], entonces

∫ a

−a

f(x)dx = 0. Use esto para

demostrar

∫ π/4

−π/4

x9 cosx+7√tanx+ senxecos

2 x + cos2 xdx R(p+i) = π+24

INTEGRALES POR PARTES

**

∫

cosx+ x sinx− 1

(senx− x)2dx Ayuda: lo identidad mas importante de 9o.

**

∫

x2

√1− x2

(

ln(1 + x)x − ln(1− x)x)

dx

**

∫

x2 − sen2 x

x− senx cosx+ x cosx− senxdx

∫

sec5 zdz∫

x tan−1 xdx

**

∫

ex(1 + x lnx)

xdx

*

∫

xearctan x

(1 + x2)3/2dx

*

∫

esin x(x cos3 x− senx)

cos2 xdx

∫

lnx

x3dx

∫

cos(lnx)dx∫

ln(lnx)

xdx

∫

x ln(x− 1

x+ 1

)

dx

**

∫

x2

(x cosx− senx)2dx

**

∫

(x2 + 1)ex

(x+ 1)2dx

*

∫

xex

(x+ 1)2dx

∫

(z2 − 5z − 3)sen(z)dz∫

z sen−1(z)

(1− z2)3/2dz

∫

x cosxdx

*

∫

tan−1 m

m2dm

∫ 1

0

z2ezdz∫

ln t

t√tdt

∫

sen2(lnx)dx∫

ln(√t+

√1 + t)dt

∫

cos3 xdx

**

∫

x cosx− senx+ 1

(x+ cosx)2dx

∫

sin((x− 1)1/4)dx∫ √

x(lnx)dx

∫

e1/x

x3dx

**

∫

(x sinx+ cosx)(x2 − cos2 x)

x2 cos2 xdx

**

∫

(e2x − x2)(x− 1)

x2exdx

∫

x sec2 xdx∫

x2e−xdx∫

x5e−x2

dx∫

1

1− sen(4x)dx

11

9. Si f ′′(x) = −af(x) y g′′(x) = bg(x), donde a y b son constantes, hallar

∫

f(x)g′′(x)dx

10. Calcular

∫ 1

0

xf ′′(2x)dx sabiendo que f(0) = 1, f(2) = 3 y f ′(2) = 5

11. Dada la funcion F (x) =

∫ x

0

sin t

tdt. Calcule

∫

F (x)dx

12. Suponga que para cierta funcion f se sabe que

f ′(x) =cos(x)

x, f(π/2) = a, f(3π/2) = b

Utilice integracion por partes para evaluar

∫ 3π/2

π/2

f(x)dx.

13. Suponga que existe f es una funcion continua y invertible en [0, 1], y que

∫ 1

0

f(x)dx =1

3.

Calcule

∫ 1

0

f−1(x)dx

14. Demuestre que para cualquier numero a > 1

∫ a

1

lnxdx+

∫ ln a

0

eydy = a ln a

15. Suponga que f tiene inversa y Demuestre

∫

f−1(x)dx = xf−1(x)−∫

f(y)dy

y a partir de esto calcule

∫

cos−1 xdx

SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

16. Calcule usando una sustitucion “barata” o una sustitucion trigonometrica

a) ∗∫

x2 + 13√x2 + 9

b) ∗∫

x2

(1 + x2)2dx =

c)

∫

dx

x2√16 + 19x2

d)

∫

x3dx

(x2 + 1)1/2

e) ∗∫

x3dx√x2 + 2x+ 5

f ) ∗ ∗∫

dx

(1 + x4)√√

1 + x4 − x2

g) ∗∫

12dx

(2x− 1)√

(4x2 − 4x− 8)3

h) ∗∫

e−x

(9e−2x + 1)3/2dx

i) ∗ ∗∫

x√1− x√2− x

dx

j )

∫

x2dx√x2 + 4x− 5

k) ***

∫

dx

(x2 + 1)(√1− x2)

l)

∫

dx

x4√x2 + 3

m) ∗∫

4x+ 5

(x2 − 2x+ 2)3/2dx

n) ∗∫

(x2 − 25)3/2

x6dx

n)

∫

xdx

(x2 − 2)√x4 − 4x2 + 5

o) *

∫

dx

(x2 − 1)√x2 − 2

ARTIFICIOS BONITOS∫

senhx+ 3 coshx

coshx(

6 senh2 x+ senh 2x+ 5) (a2) Ayuda: div por cosh3 x

12

*

∫

√

tan2x+ 2dx Ayuda: Div por√tan2x+ 2.

*

∫

sin3(3x) tan(3x)dx

*

∫

sin4(x) + cos4(x)

sen2 − cos2 xdx

*

∫

cosx3√

sen7(2x) cosxdx

*

∫

cos3(2x) sen(3x)dx

*

∫

tanh4(2x)dx

*

∫

sen2 x

cos6 xdx

*

∫

sen4(3x)

cos3(3x)dx

*

∫

tan2 x secx dx

*

∫

1√sen3 x cos5 x

dx

*

∫

1√senx cos3 x

dx

*

∫

sin2 x

cos6 xdx

∫ π/2

0

sec(x

2)dx

∫

tan(t) sec3(t)dt∫

sec6(t)dt∫

cot(t) + csc(t)

sin(t)dt

∫

3e2x − 4ex√4ex − e2x − 3

*

∫

4− 7x√x2 + 2x− 8

dx

*

∫

3dx√4x2 − 16x+ 17

*

∫

sin(2x) + 3 cosx√9 + 4 senx− cos2 x

dx

∫

cosh2(5x)dx

*

∫

tan5(x)√cos3xdx

*

∫

√2dx

cos3 x√

sen(2x)

*

∫

sen(3x) sin(5x)dx

*

∫

cos(2x) cos(7x)dx

*

∫

(1 + cos(4x))3/2dx

∫

dx√senx cos3 x

dx

INTEGRALES FRACCIONES PARCIALES

a)

∫

√sen t

cos tdt

b)

∫

dm

m(m69 + 1)3

c) **

∫ √tan θ dθ

d) ***

∫

x sec2 x

3 + 4 tanx+ sec2(x)dx

e)

∫

x4 − 2x3 − 3x2 + 15x− 8

x3 − 3x+ 2dx

f )

∫

m5

(m2 + 4)2dx

g)

∫

4x2 + 6

x3 + 3x

h)

∫

x2 + x− 1

x3 + x2dx

i) *

∫

x2 + 1

x5 + x4 − x− 1dx

j ) *

∫

x2

1− x6dx

k)

∫

x2

x6 − 10x3 + 9dx

l) **

∫

dx

x4 + 1

m)

∫

cot θ

sen7 θ + 1dθ

n)

∫

1 + ln t

t(3 + 2 ln t)2dt

n)

∫

e4t

(e2t − 1)3dt

o)

∫

x2

x4 − 1dx

p)

∫

4x4 + x+ 1

x5 + x4dx

17. Aplicacion: Suponga que la poblacion P (t) (en millones) de Ruritania satisface Ia ecuaciondiferencial

dP

dt= k P (200− P ) (k constante).

Su poblacion en 1940 era de 100 millones y entonces aumentaba a razon de 1 millon porano. Pronostique la poblacion de este pais para el ano 2000.

18. **Demuestre que

∫ 1

0

x2 + 1

x4 + 1dx =

π

2√2

(Recuerde que tan−1(m) + tan−1(n) = π/2 si

mn = 1)

19. Integrales EMOCIONANTES

a) ∗ ∗∫

(x2 − 1)dx

(x2 + 1)√x4 + 1

b) ∗ ∗∫

(x− 2)

x√x− 1

√x2 − x+ 1

dx c) ∗ ∗∫

√x2 − 4x

x3dx

20. Integrales interesantes

13

a)

∫

√x+ 4

xdx

b)

∫

2x+ 3

9x2 + 6x+ 5dx

c)

∫

2 + 6x

(3 + 2x− x2)2dx

d)

∫

x2

√16− x6

dx =

e)

∫

(3x−2)√

9x2 + 12x+ 8dx

f ) **

∫

2x3 + 3x

x4 + x2 + 1dx

g) **

∫

1√

(y2 + 1)ndy

21. Usando una sustitucion sencilla encuentre una integral mas facil de integrar.

INTEGRAL SUSTITUCION SENCILLA NUEVA INTEGRAL

∗ ∗∫

√

x3 − 3

x11dx u = , du =

∫

5x2 + 20x− 24√5 + x

z = dz =

∫

x4

(4− x2)7/2r = dr =

22. Use Artificios visto en clase, Euler, ruso, ect

a)

∫ √x

x3/4 + 2dx

b)

∫

dx√x(1 + 3

√x)

c)

∫ √x

x+ x4/5dx

d)

∫

dx

(2x+ 5)√2x− 3 + 8x− 12

e)

∫

dx

(x+ 1)3/4 − (x+ 1)5/4

f )

∫

x1/7 + x1/2

x8/7 + x15/14dx

g)

∫

1

x

√

x− 9

x+ 9dx

h)

∫

2

(2− x)23

√

2− x

2 + xdx

i) **

∫

√

cos2 x− cosxdx

j ) **

∫

dx

(cosx− senx)√

cos(2x)

k)

∫

dx

x√x2 + 2x− 3

l)

∫

dx

(x− 1)√x2 − 3x+ 2

m)

∫

1−√1 + x+ x2

x√1 + x+ x2

dx

n)

∫

dx

x−√x2 − 1

n)

∫

x+ 2

(x− 1)√x2 + 1

dx

o)

∫

dx3√x2(1 +

3√x2)

p)

∫

dx

x2(1 + x2)3/2dx

q)

∫

4

√

(1 +√x)3dx

r)

∫

√

2− 3√x

3√x

dx

s)

∫

x5 3√

(1 + x3)2dx

t)

∫

3√x(2 +

3√x2)1/4dx

u)

∫

√1 + x1/3

3√x2

dx

v)

∫

dx

x3(1 + x3)1/3

w)

∫

dx4√1 + x4

x )

∫

cosx sen7 x

(sen2 x+ sen4 x+ cos2 x)3/2dx

y)

∫

dx3√8x3 + 27

z )

∫

dx

x7(x−3 + 1)4/3dx

23. Calcule las siguientes integrales Usando una sustitucion universal o sustitucion auxiliar

∫

dx

sin2 x+ 3 cos2 x∫

dx

2− sin2 x∫

dx

2 + sinx+ 3 cosx∫

senx

1 + sinx

∫

dx

sin2(4x) + tan2(4x)∫

sin(2x)dx

sin4 x+ cos4 x∫

1 + tanx

1− tanx∫

dx

sin2 x− 5 sinx cosx

∫

dx

cos2 x+ 2 sinx cosx+ 2 sen2 x

∫

sin2 x− 2 cos2 x

3− cos2 xdx

∫

senx tanx

sen3 x− cos3 xdx

14

24. EJERCICIOS DE ENTRETENIMIENTO∫

arcsinx+x√

1− x2dx

∫

1

3x2 + 11x+ 10

√

x+ 2

2x+ 3dx

∫

dx√x 3√x(1 + 3

√x)2

*

∫

ex(

cotx+ ln(sinx))

dx∫

6e4x

1− exdx

∫

√

2 + 3x

x− 3dx

∫

1

x3sen( 1

x

)

dx∫

e4√xdx

*

∫

e2x + e−2x

e2x − e−2xdx

∫

√1− x2

x4arcsinxdx

∫

arcsin√2x√

1− 2xdx

∫

√

m+ x

xdx

**

∫

cosx− senx

5 + sen(2x)dx

∫

√1 + x8

x13dx

∫

dx

cos3 x√sen 2x

**

∫

ex(x2 − 8)

(x− 2)2∫

earctan x

(1 + e2 arctan x)(1 + x2)dx

*

∫

ex(x+ 1)

−1 + x2e2xdx

*

∫

e3xx2(x+ 1)

1 + x2e2xdx

∫

ex

(1 + ex)√ex − 1

dx

∫ π/2

0

7cos t sin tdt∫

xx(1 + ln(x))dx∫

ln(x+ x2)dx

∫ π/3

0

x tanxdx∫

x4 + 2x2

x3 − 1dx

∫

x3

x− 5dx

∫

x2 − x− 2

x3 − 2x− 4dx

∫

x2 + 1

x3 + 3x− 4dx

∫ 2

0

(x2 − ⌊x⌋)dx∫ 2

−1

z sin(πz2

4)dz

∫

3dx

x2 − 4x− 3∫

dx

x2 − 2x+ 10∫

2dx

x2 + 6x+ 18∫

5dx

−x2 − 8x− 12

∫

1

x2

√

1 + 1/x

1− 1/xdx

∫ 1/2

−1

x2√

1− x2dx

∫

x√3− 2x− x2

dx

∫

2 + 6x

3 + 2x− x2dx

∫

x√e2x2 − 1

dx

∫

1√2x− x2

dx

25. Pruebe que si f es continua, entonces

∫ x

0

f(z)(x− z)dz =

∫ x

0

(

∫ z

0

f(t)dt)

dz

26. Encuentre lımx→0

1

x3

∫ x

0

t2

t4 + 1dt

27. Demostrar que

∫ b

a

f(x)f ′(x)dx =1

2

(

[

f(b)]2 +[

f(a)]2)

28. Sea f continua en el intervalo [0, b] donde f(x)− f(b− x) 6= 0 en [0, b].

a) Demuestre que

∫ b

0

f(x)

f(x) + f(b− x)dx =

b

2

b) Utilizar el resultado del apartado a) para calcular

∫ 1

0

sin(x)

sin(1− x) + sin(x)dx

c) Utilizar el resultado del apartado a) para calcular

∫ 3

0

√x√

x+√3− x

dx

29. Calcular f(0), sabiendo que f(π) = 2 y que

∫ π

0

[

f(x) + f ′′(x)]

sin(x)dx = 5

30. Sea f(x) una funcion continua sobre [a, b]. suponga que1

b− a

∫ b

a

(f(x))2dx = 1 y que

1

b− a

∫ b

a

f(x)dx = 1. Demuestre que f(x) = 1 para todo x ∈ [a, b].

15

31. Explique la aparente contradiccion

∫

dx

sinx cos(x)=

∫

cotx

cos2(x)dx =

∫

dx

cotx cos(x)(Sea u = cot(x) dv = sec2 x),

= cotx tanx−∫

tanx(− csc2 x)dx = 1 +

∫

dx

sinx cos(x)

quiere decir esto que 1 = 0? Explique matemcaticamente.

32. Resuelva los problemas con valor inicial para y como una funcion de x.

a) xdy

dx=

√x2 − 16 x ≥ 4, y(4) = 0

b) (x2 + 1)2dy

dx=

√x2 + 1 y(0) = 1

33. Recuerde que sinhx =ex − e−x

2y que coshx =

ex + e−x

2usando esto demuestre que

senh(x) es una funcion impar y que coshx es una funcion par

cosh2 x− senh2 x = 1

senh−1 x = ln(x+√x2 + 1) para todo x

tanh−1 x =1

2ln(

1+x1−x

)

para |x| < 1.

34. Determine si la expresion es Falsa o Verdadero, Si es falsa explicar por que o dar unejemplo que lo demuestre

a)

∫

dx

3x√9x2 − 16

=1

4arc sec(

3x

4) + C

b)

∫

dx

25 + x2=

1

25arctan(

x

25) + C

c)

∫

dx√4− x2

= − arc cos(x

2) + C

16

Taller Tres

Aplicaciones de la Integral

1. Reglas del Trapecio y regla de Simpson

a) Use (a) la regla del trapecio, (b) la Regla de Simpson para aproximar la integral con el valorespecificado de n. (Redondee sus respuestas a seis decimales.)

1)

∫ 2

1

lnx

1 + xdx, n = 10

2)

∫ 5

1

cosx

xdx, n = 8

3)

∫ 4

1

(4− x2)dx, n = 6

4)

∫ 9

4

√xdx, n = 8

5)

∫ 3

0

1

1 + y5dy, n = 6

b) Aproximar el area de la region sombreada utilizando a) la regla de los trapecios y b) la regla deSimpson con n = 4.

2. Calcular el area de las regiones segun la grafica

17

3. Calcule el area de la region S limitada por y =2|x|

1 + x2, el eje x y las rectas x = −2 y x = 1

R: A(S) = ln(10)

4. Calcule el area de la region limitada por la parabola y = x2+4x, el eje x y las rectas x = −2y x = 2. R: A = 16

5. Halle el area de la region R limitada por las graficas de y = x2 , y = x3, x = −1 , x = 2. R:A(R) = 25

12

6. Halle el area de la region R limitada por las graficas de y = 4− x2, y = ln(2x− 3) , y = 1.R: A(R) = e

2 + 2√3− 13

3

7. * Halle el area de la region R limitada por las graficas de y = |x3−4x2+x+6|, 3y+x2 = 0,x = 0, x = 4, (Fig.1) R: A(R) = 341

18

8. Halle el area de la region R que se encuentra en el primer cuadrante y esta limitada por las

curvas xy = 1 , xy = 3 , x− xy = 1 , x− xy = 3. R: A(R) = ln(

729256

)

9. Halle el area de la region R, ubicada en el primer cuadrante y que esta limitada por lasgraficas de y = x2, x2 = 4y, x+ y = 6. R: A(R) = 1

3 (28√7− 62)

10. * La region R, limitada por la curva y = 10x−5x2 y el eje x, es dividida en dos partes igualespor una recta que pasa por el origen. Halle la ecuacion de dicha recta. R: y = (10− 5 3

√4)x

Fig.1

Fig.2

11. Determine m de manera que la region que esta por encima de y = mx y debajo de laparabola y = 2x− x2 tenga area igual a 36. R: m = −4

12. Una parabola de eje vertical corta a la curva y = x3 + 2 en los puntos (−1, 1) y (1, 3). Sise sabe que las curvas mencionadas encierran una region de area 2, halle la ecuacion dela parabola. R: 2y = 3x2 + 2x+ 1 o 2y = 7 + 2x− 3x2

13. Sombree la region R limitada por las curvas dadas y calcule su area. y + x = 0, y =∫ x

0

f(t)dt, donde f(t) =

3t2 t < 2

−2t− 1, t ≥ 2R: 23

√14−583

14. La hiperbola equilatera x2 − y2 = 8 divide en 3 regiones a la circunferencia x2 + y2 = 16.Halle el area de cada una de las regiones.

15. Dibuje y calcule el area de la region acotada por las cada una de las curvas

a) y = |x|; 2y = x+ 2.

b) y2 = x; y2 = 2(x− 3).

c) x = y2 − 2; y = ln(x); y = 1; y = −1

d) y2 = x− 4y; 2y = y2 + x

e) y = 4− x2; y + x = 2; x = −2; x = 3

f ) y = −x2 − 2x; y = x2 − 4

g) y = |x2 − 4| 2y = x2 + 8

h)√x = y − 1: x+ y = 3; x2 = 4y y x = 0

16. Encontrar c tal que la recta y = c divide la region acotada por las dos funciones en dosregiones de area igual.

a) y = 9− x2, y y = 0

b) y = 9− |x|, y y = 0

c) y = x, y = 4 x = 0

d) y2 = 4− x, x = 0

18

17. Encontrar el area de la region en el primer cuadrante, que esta acotada por arriba pory =

√x y por abajo por el eje x y la recta y = x− 2

18. Determine el area de la region R acotada por la recta y =1

2x y por la parabola y2 = 8− x.

19. Trace la region en el plano xy definida por las desigualdades x− 2y2 ≥ 0 y 1− x− |y| ≥ 0,y determine su area.

20. ¿Para que valores m de la recta y = mx y la curva y =x

x2 + 1definen una region? Calcule

el area de la region.

21. Utilice el calculo para obtener la formula A = πr2 para el area de un circulo de radio r.

22. Hay una recta que pasa por el origen que divide la region definida por la parabola y = x−x2

y el eje x en dos regiones de area igual. ¿Cual es la pendiente de la recta?

23. En la figura 1se ilustra una horizontal y = c que corta a la curva y = 8x− 27x3. Encuentreel numero c tal que las areas de las regiones sombreadas sean iguales.

24. **En la figura 2 se ilustra una curva C con la propiedad de que para todo punto P en lamitad de la curva y = 2x2, las areas A y B son iguales. Determine una ecuacion de C.

25. La elipsex2

a2+

y2

b2= 1. Demostrar que el area de la region que acota es A = πab.

26. Sean A y B los puntos de interseccion de la parabola y = x2 y la recta y = x+ 2 y sea C elpunto de la parabola donde la recta tangente es paralela a la grafica de y = x+ 2. Muestreque el area del la region entre la parabola y la recta es 4

3 del area del triangulo ABC. (Fig3).

27. * Calcule, si existe, el area de la region infinita comprendida entre la curva (2a−x)y2 = x3,(a > 0) y su asıntota vertical. A = 3πa2

28. Dada la region infinita Ω limitada superiormente por xy = 1, inferiormente por yx2+y−x = 0y a la izquierda por x = 1. Calcule su area si existe. A = ln(

√2)

Fig 1.

Fig 2

Fig 3

Fig 4

VOLUMENES DE SOLIDOS: Use cualquier metodo

1. Encontrar el volumen del solido formado al girar la region acotada por las graficas de

a) y = x2, y =√x, x = 2 alrededor del eje x V= 5π

b) y = x2 − 1, y = 0, x = 0 y x = 1 alrededor del eje y

c) y = x2 + 1, y = −x+ 3 alrededor de y = −1.

d) y = x2 y = 4x− x2, (a) alrededor del eje x; (b) alrededor de y = 6

e) y = 6− 2x− x2 y = x+ 6, (a) alrededor del eje x (b) alrededor de y = 3

2. Un fabricante taladra una esfera de metal de 5 pulgadas de radio. El orificio tiene un radiode 3 pulgadas. ¿Cual es el volumen del objeto de metal resultante?

19

3. Suponga que la base de un solido es la region acotada por las rectas f(x) = 1 − x

2,

g(x) = −1 +x

2y x = 0; y cuando hacemos secciones transversales perpendiculares al eje

y son triangulos equilateros. Con esta informacion Calcule el Volumen de dicho solido.

4. Demostrar que el volumen de una piramide con una base cuadrada es V = 13hB, donde h

es la altura de la piramide y B es el area de la base.

5. Encontrar el volumen del solido generado por la region acotada por y =3

1 + x, y = 0,

x = 0 x = 3 la cual gira alrededor de la recta y = 4.

6. La region limitada por la circunferencia (x+ 2)2 + (y − 2)2 = 1 gira alrededor de la rectax = 3. Calcule el volumen del solido generado (toro de revolucion). V=10π2

7. Encontrar el volumen del solido generado por la region acotada (y − 2)2 = 4− x, y x = 0al girar alrededor de las rectas dadas.

El eje x

la recta y = 5

El eje y

la recta x = 5

8. Encontrar el volumen del solido generado al girar cada region plana alrededor del eje y.(dado el caso aproxime los puntos de interseccion)

9. Determine el volumen comun a dos cilindros circulares, ambos de radio r, si los ejes delos cilindros se cortan en angulos rectos ver fig.

10. Calcule el volumen comun a dos esferas, cada una de radio r, si el centro de cada esferaesta en la superficie de la otra esfera

11. Sea f : [0,∞) → R una funcion continua tal que f(x) > 0, ∀ x > 1. Para todo a > 1,el volumen del solido generado por la rotacion de la region limitada por las graficas de

y = f(x), x = 1, x = a y el eje x, alrededor del eje x es: V = a3

3 + 2a2 − 73 . Determine

f(x). R : f(x) =1√π

√x2 + 4x.

12. Calcule el volumen de la region infinta R comprendida entre la curva y =

∫ x

0

−4t

(t2 + 1)3dt,

(x ∈ R) y su asıntota y el eje de rotacion es su asıntota. V = 3π2

16

20

13. Se corta una cuna curva de una cilindro con radio 3 en dos planos. Uno de los planos esperpendicular al eje del cilindro; el otro cruza al primero formando un angulo de 45 en elcentro del cilindro ver figura. Determinar el volumen de la cuna.

14. Cada una de las integrales representa el volumen de un solido de revolucion. Identificar a)la region plana que se gira y b) el eje de revolucion.

a) 2π

∫ 2

0

x3dx

b) 2π

∫ 1

0

y − y3/2dy

c) 2π

∫ 6

0

(y + 2)√

6− ydy

d) 2π

∫ 1

0

(4− x)exdx

e) π

∫ 5

1

(x− 1)dx

f ) 2π

∫ 2

0

y[5− (y2 + 1]dy

g) 2π

∫ 4

0

x(x

2)dx

h) π

∫ 2

0

[16− (2y)2]dy

15. Volumen de un casquete de una esfera Sea una esfera de radio r que se corta por unplano, formando un casquete esferico de altura h. Mostrar que el volumen de este segmentoes 1

3πh2(3r − h).

16. Calcule el volumen de un tronco de un cono circular recto cuya altura es h, base inferior deradio R, y radio de la parte superior r.

17. Sean V1 y V2 los volumenes de los solidos que resultan cuando la region plana limitada por

y =1

x, y = 0, x =

1

4, y x = c (c >

1

4) se gira alrededor del eje x y el eje y, respectivamente.

Encontrar el valor de c para el cual V1 = V2.

18. Considerar la grafica y2 = x(4−x)2 (ver la figura 2). Encontrar los volumenes de los solidosque se generan cuando la espira de esta grafica se gira alrededor a) del eje x, b) del eje y yc) la recta x = 4.

Fig 2

Fig 2

19. La “base”de un solido es la region limitada por la esfera x2+ y2 = 1. Halle el volumen delsolido S si las secciones transversales perpendiculares al eje x son:

a) Las secciones transversales son discos circulares con diametros en el plano xy.

b) Las secciones transversales son cuadrados con base en el plano xy.

c) Las secciones transversales son cuadrados con diagonales en el plano xy. .

d) Las secciones transversales son triangulos equilateros con bases en el plano xy.

20. El solido se encuentra entre los planos x = 0 y x = 4 y las parabolas y = −√x y y =

√x

a) Las secciones transversales son discos circulares con diametros en el plano xy.

b) Las secciones transversales son cuadrados con bases en el plano xy.

21

c) Las secciones transversales son cuadrados con diagonales en el plano xy.

d) Las secciones transversales son triangulos equilateros con bases en el plano xy.

21. La region limitada por la elipse x2

a2 +y2

b2 = 1 con 0 < b < a gira alrededor de su eje mayor.Calcule el volumen del solido generado. V = 4

3ab2π

22. La regiones que se muestra a continuacion se hace girar alrededor del eje x para generarun solido. ¿Cual de los metodos (el de discos, el de arandelas, o el de casquillos) podrıautilizarse para determinar el volumen del solido? ¿Cuantas integrales son necesarias encada caso? Explique.

23. La region infinita comprendida entre la curva x + xy2 − y = 0 y su asıntota vertical gira

alrededor de su asıntota vertical. Calcule, si existe, el volumen del solido. V = π2

2

24. Determine el volumen del solido de revolucion generado al rotar alrededor del eje x la re

gion infinita comprendida entre la recta y = 0 y la curva y =1

3√x2

V = 3π

25. * Calcule el volumen del solido de revolucion que se obtiene al girar alrededor de la rectax = 1 la region limitada por las graficas de

y = |x2 − 2x− 3|, y + 1 = 0, x− 1 = 0, x− 4 = 0, V =59

2

26. La region infinita comprendida entre la grafica de xy2 = (3a − x), (a > 0 ) y su asıntota

vertical x = 0 gira alrededor del eje y. Calcule el volumen del solido generado. V =9a2π2

2

22

3.1. Longitud de arco

1. Determinar la longitud de la astroide Fig 1, donde las ecuaciones parametricas son

x = cos3 t y = sin3 t, 0 ≤ t ≤ 2π

2. Un fabricante necesita hacer hojas de metal corrugado de 36 pulgadas de ancho con seccionestransversales con la forma de la curva

y =1

2sin(πx) 0 ≤ x ≤ 36

¿Que ancho deben tener las hojas originales extendidas para que el fabricante produzca estashojas corrugadas? Ayuda: Use Simpson n = 6

3. Determine la longitud de la curva

y =√

sec2 x+ 1− ln(1 +

√sec2 x+ 1

secx

)

,π

4≤ x ≤ π

3L =

√3− 1

4. Encuentre la longitud de la curva cuya ecuacion es y =1

2x2+

x4

16desde x = −2 hasta

x = −1. L = 2116

5. Halle el perımetro del triangulo curvilıneo limitado por el eje de las abscisas y por las curvascuyas ecuaciones son: P = π

2 + 2 ln(√2 + 1)

y = ln(cosx), −π

2< x <

π

2y = ln(sinx), −0 < x < π,

6. Calcule la longitud de la parabola semicubica 2y3 = x2, comprendida dentro de la circunfe-rencia x2 + y2 = 20. L = 8

27 (√1000− 1)

7. Calcule el perımetro de la region de menor area limitada por las graficas 2y3 = x2 y x2+y2 =20.

Fig 1

8. Determine las longitudes de las curvas.

a) y = ln(cosx), de 0 ≤ x ≤ π

3

b) y = ln(ex + 1

ex − 1

)

con 0 < a ≤ x ≤ b

c) x = 8 cos t+ 8t sin t, y = 8 sin t− 8t cos t, 0 ≤ t ≤ π/2

d) x =t2

2, y =

(2t+ 1)3/2

3, 0 ≤ t ≤ 4

e) x =y3

3+

1

4yde y = 1 a y = 3

f ) x =

∫ y

0

√

sec4 t− 1dt, −π4 ≤ y ≤ π

4

g) x =

∫ y

−2

√

3t4 − 1dt, −2 ≤ y ≤ −1

h) y =

∫ x

−π/2

√cos tdt, −π

2 ≤ x ≤ π2 , L = 4

i) x = 1− cos t, y = t− sen t, 0 ≤ t ≤ 1

9. Encuentre la longitud de la curva cuya ecuacion es x =

∫ t

1

cos t

tdt, y =

∫ t

1

sin t

tdt desde el

origen de coordenadas hasta el punto mas proximo donde la tangente es vertical. L = ln(π2 )

10. Halle la funcion longitud de arco para la curva y =√x− x2 + arcsin(

√x) con punto de

inicio (a, b).

23

11. Halle la funcion longitud de arco para la curva y = sin−1 x+√1− x2 con punto

de inicio (0, 1).

12. Determine una curva que pase por el punto (1, 1), cuya integral de longitud sea

L =

∫ 4

1

√

1 +1

4xdx. ¿Cuantas curvas cumplen con lo anterior? Justifique su

respuesta.?

13. Determine una curva que pase por el punto (0, 1), cuya integral de longitud sea

L =

∫ 2

1

√

1 +1

y4dy. ¿Cuantas curvas cumplen con lo anterior? Justifique su

respuesta.?

14. Determine la longitud del rizo formado por x = t2, y =t3

3− t Fig 2. El rizo

inicia en t = −√3 y termina en t =

√3

Fig 2

3.2. Area superficies de revolucion

1. Determine el area de cada superficie generada al hacer girar la curva dada alrededordel eje indicado.

a) x = 2√4− y 0 ≤ y ≤ 15

4 , eje y

b) x =√2y − 1 5

8 ≤ y ≤ 1, eje y

c) x =y4

4+

1

8y21 ≤ y ≤ 2 eje x

d) y =1

3(x2 + 2)3/2 0 ≤ x ≤

√2 eje y

e) x = cos t, y = 2 + sin t, 0 ≤ t ≤ 2π eje x

f ) x = t+√2, y = t2

2 +√2t, −

√2 ≤ t ≤

√2, eje y

g) Tronco de Cono: x = 2t, y = t+ 1, 0 ≤ t ≤ 1, eje x.

h) Cono: x = ht, y = rt, 0 ≤ t ≤ 1, eje x

i) y =x√3, 0 ≤ x ≤

√3, eje x

j ) y =√4− x2 −1 ≤ x ≤ 1, eje x

k) 2x = y√

y2 − 1 + ln |y −√

y2 − 1| 2 ≤ x ≤ 5, eje x A(S) = 78π

l) y = 14 (x

2 − 2 lnx) 1 ≤ x ≤ 4, eje x A(S) = 24π

2. * Calcule el area de la superficie de revolucion que se obtiene al hacer girar la curva

y = 2− ex , desde x = 0 hasta x = 2 , alrededor de la recta y = 2 A(S) = π(

e2√1 + e4 −

√2 + ln( e

2+√1+e4

1+√2

))

3. Determine el area de la superficie obtenida al hacer girar la curva y =

∫ x

1

√√t− 1,

1 ≤ x ≤ 16 eje y.

4. Considere una esfera de radio r como una superficie de revolucion, y demuestre que elarea de su superficie es A = 4πr2.

24

5. Un departamento de manufactura necesita saber cuanto esmalte azul debe tener disponiblepara producir 5000 sartenes (ver fig 1).¿Que les dirıa?

6. Por medio de planos paralelos separados una distancia h, se corta, de una esfera de radioR, la banda sombreada que se muestra en la figura 2. Demuestre que el area de la superficiede la banda es 2πRh

7. Halle el area de la superficie de revolucion formada cuando la curva indicada gira alrededordel eje dado.

a) y =x3

3+

1

4x, x ∈ [1, 2]; alrededor de y = 1

b) y = 4 + ex, x ∈ [0, 1]; alrededor de y = 4

c) y = x2, x ∈ [0, 2]; alrededor de y = −1. R = 12√5π

3.2.1. Centros de masa- Centroide

1. En cada uno de los ejercicios, encuentre el centroide de la lamina homogenea de densidadρ que tiene la forma mostradas en la figura ( 112 , 5), (0, 75

13 ), (− 4825π−12 ,− 36

25π−12 ), (− 119 , 0)

2. Encuentre el centroide de las siguientes regiones acotada por las curvas

a) y = cosx, y = 0, x = 0 y x = π/2

b) y = 4x y y = x3

c) y = x2 y y = x− x2 C=( 14 ,18 )

d) x = 2y − y2, x = 0 C=( 25 , 1)

e)√x+

√y = 3 y y = 0, x = 0. C=( 95 ,

95 )

f ) y =√x y x =

√y

g) y = −x2 + 2x y 16x = y2

h) y = −x y x2 + y2 = 1

i) y = x2 − 2x− 3 y y = 6x− x2 − 3 C=(2, 1)

j ) x = 4− y2 y y = x+ 2

3. Halle el centro de gravedad de la region limitada por las curvas x2−8y = 0 , x2+16y = 24C=(0, 4

5 )

25

4. * Determine el centroide de la region plana limitada por las curvas y =

1− x, x ≤ 0

x2 + 1, x > 0,

y = −x2, x = −1, x = 2. C = ( 107110 ,142275 )

5. Halle el centro de gravedad de la region infinita, en el prim er cuadrante, comprendidoentre la curva y = xe−x y el eje x. C = (2, 1

8 )

6. El centro de gravedad de la region acotada por las curvas x2 = 4y, y = mx es un puntode abscisa igual a 2. Determine el valor de m m = 1

7. La placa triangular que se muestra en la fig 1 tiene una densidad constante de ρ = 3g/cm3.Determinar

(a) el momento, My, de la placa respecto del eje y. My = 2

(b) la masa, m, de la placa. m = 2

(c) la coordenada x del centro de masa de la placa. x = 23

Fig 1

8. Usando el teorema de Pappus, halle los volumenes de los solidos que se general rotar lasregiones limitada por las siguientes curvas

a) y = x2, x = −y2 alrededor de la recta x+ y = 3.

b) y = x3, x = y3 alrededor de la recta x+ y = 2.

c) y = −x2 + 2x, y = −4√x alrededor de la recta: (a) x = 4, (b) y = 2, (c) y = x+ 2.

d) y = −x2, y2 = x alrededor de la recta y = −2x+ 3.

e) y = 4x− x2, 0 ≤ x ≤ 4 alrededor de la recta x = −1.

9. Sea R una region cualquiera totalmente contenida en el tercer cuadrante de area 103 y tal

que su centroide se encuentra sobre la recta y = x. si el volumen del solido generado algirar R respsecto a la recta y = −x es 20

√2. Halle

a) El centroide de R.

b) Momento respecto al eje x de R.

c) Volumen del solido generado al rotar respecto a la recta y = 1.

10. * La region limitada por las graficas de y = x2, y = 5 gira alrededor de una recta oblicuaque pasa por el punto P (1, 0). Halle la ecuacion de dicha recta, si el volumen del solidogenerado es igual a 40

√5π. Sol: 3x− 4y − 3 = 0.

3.3. Trabajo

1. Se requiere una fuerza de 10 lb para mantener estirado un resorte 4pulg mas de su longitudnatural. ¿Cuanto trabajo se realiza al estirar el resorte desde su longitud natural hasta6 pulg mas de su longitud natural? Ayuda: recuerde que 4 pulg = 1/3pies

2. Determinar el trabajo requerido para comprimir un resorte desde su longitud natural de1 pie a una longitud de 0,75 pies, si la constante del resorte es k = 16 lb/pie W = 0,5lb-pies

3. Si una persona saca de un pozo una cubeta de 20 kg y realiza un trabajo equivalente a6000 J , ¿Cual es la profundidad del pozo?

26

4. Una partıcula se mueve a lo largo del eje OX mediante una fuerza impulsora dadapor f(x) = ax2 + bx newtons: a = 3, b = −2

(a) Determine las constantes a y b si se sabe que se precisan 900 joules de tra-bajo para desplazar la partıcula 10m a partir del origen y que la fuerza es de65 newtons cuando x = 5m.

b) Si la partıcula se encuentra en la posicion x = 2m, ¿hasta que posicion apro-ximadamente puede ser desplazada si la fuerza puede realizar un trabajo de1580 joules?

5. Un resorte tiene una longitud natural de 1 m. Una fuerza de 24N lo estira hasta unalongitud de 1,8 m.

a) Determinar la constante k del resorte. k = 30 N/m

b) ¿Cuanto trabajo se requerira para estirar el resorte hasta 2 m mas que su lon-gitud natural? W = 60J

c) ¿Hasta que longitud se estirara el resorte si le aplicamos una fuerza de 45 N?x = 3

2m

6. El tanque de la Figura 2 tiene 8 pies de altura y 2 pies de radio en su parte superior. Sise llena de hasta una altura de 6 pies con un aceite que tiene un peso de γ = 60 lb/pies3,encuentre el trabajo requerido para bombear todo ese aceite por el borde superior deltanque. W = 2160 ≈ 6785, 84lb.pie

7. Consideremos un tanque cilındrico acostado cuya base es una region R del plano (nonecesariamente circular). La longitud del cilindro es h y se encuentra completamentelleno con un lıquido de peso γ. Demuestre que el trabajo requerido para bombear todoel fluido hasta una altura por encima del nivel superior del lıquido, es igual al peso dellıquido en el tanque multiplicado por la distancia vertical entre el punto de descarga y elcentroide de R. Es decir, demuestre que

W = G(k − y)

Donde G representa el peso total del lıquido en el tanque y (k − y) es la distanciavertical entre el nivel del punto de descarga y el centroide de la base R del tanque.

Fig 2.

3.4. Ecuaciones Diferenciales

1. Demuestre que la funcion y = f(x) es una solucion de la ecuacion diferencial que se da.

27

y =1

x

∫ x

1

et

tdt, x2y′ + xy = ex

y =1√

1 + x4

∫ x

1

√

1 + t4dt, y′ +2x3

1 + x4y = 1

2. Resuelva la ecuacion diferencial

a) (secx)dy

dx= ey+sin x

b)dy

dx=

e2x−y

ex+y

c)du

dt=

2t+ sec2 t

2u, u(0) = −5

d) f ′(x) = f(x)(1− f(x)) y f(0) = 12

e) y′ tanx = a+ y, y(π/3) = a, 0 < x < π/2

3. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas y =x

1 + kx. Haga un bos-

quejo de varios miembros de cada familia

4. Determine la familia de soluciones de la ecuacion diferencial xdy − 2ydx = 0 y la familiade trayectorias ortogonales. Haga un bosquejo de ambas familias.

5. La funcion con la figura 1 dada es una solucion de una de las siguientes ecuaciones dife-renciales. Decida cual es la ecuacion correcta y justifique su respuesta.

a) y′ = 1 + xy b) y′ = −xy c) y′ = 1− 2xy

6. Explique por que las funciones con las graficas dadas (fig 2) NO pueden ser soluciones de

la ecuacion diferencialdy

dt= et(y − 1)2

fig1 fig 2.

7. Haga corresponder las ecuaciones diferenciales con su campo de pendientes.

a) y′ = x+ y, b) y′ = y + 1, c) y′ = −xy , d) y = y2 − x2

28

3.5. Parametricas y Polares

1. Elimine el parametro para hallar la ecuacion cartesiana de la curva y bosqueje la curva eindique con una flecha la direccion en la que se traza la curva cuando crece t

a) x =√t, y = 1− t

b) x = sin t y = csc t, 0 < t < π/2

c) x = et − 1, y = e2t

d) x = ln t, y =√t, t ≥ 1

e) x =20t

4 + t2, y =

5(4− t2)

4 + t2.

f ) x = 3 sin t y = 4 tan t sec t.

g) x = 3√t− 2 y y = 2

√4− t

2. Encuentre la ecuacion cartesiana de las rectas tangente a la curva cuyas ecuaciones pa-rametricas son x = t2 + 1 y y = t3 + 2t, en el punto donde t = −2. 7x+ 2y − 11 = 0

3. Determine dy/dx y d2y/dx2. ¿Para que valores de t la curva es concava hacia arriba?a) x = t+ ln t, y = t− ln t b) x = 4 + t2, y = t2 + t3

4. Encuentre los puntos sobre la curva donde la tangente es horizontal y vertical.

a) x = 10− t2 y = t3 − 12t

b) x = cos 3θ y = 2 sen θ

5. Encuentre el area acotada por la curva (a) x = t2 − 2t, y =√t y el eje y. (b) x = 1 + et,

y = t− t2 y eje x

6. Determine la longitud de la curva de (a) x =t

1 + ty = ln(1 + t), 0 ≤ t ≤ 2.

(b) x = cos t+ ln(tan 12 t), y = sin t, π/4 ≤ t ≤ 3π/4

Polares

1. ¿Que pares de coordenadas polares representan el mismo punto?

(3, 0)

(−3, 0)

(2, 2π/3)

(2, 7π/3)

(−3, π)

(2, π/3)

(−3, 2π)

(−2,−π/3)

(−2, π/3)

(2,−π/3)

(r, θ)

(r, θ + π)

(−r, θ)

(2,−2π/3)

(−r, θ + π)

(−2, 2π/3)

2. Ubique en el plano los puntos cuyas coordenadas polares son:

A(3,π

6), B(−4,

π

4), C(−5

2,−2π

3)

E(3,11π

4), F (3,−1)

3. Exprese en coordenadas rectangulares los siguientes puntos dados en coordenadas polares.

29

a) P (3, 3π/4)

b) P (−2, π)

c) P (4,−2π/3)

d) P (−2,−5π/12)

e) P (−1/2,−π/4)

f ) P (3, 2)

4. Exprese en coordenadas polares (±r, θ) los siguientes puntos dados en coordenadas rec-tangulares.

a) P (3/2,−3/2)

b) P (1,−√3)

c) P (−√3, 1)

d) P (√8,√2)

e) P (−8, 8)

f ) (4, 4√3)

5. Identifique la curva mediante la determinacion de una ecuacion cartesiana para la curva.

a) r = tan θ sec θ

b) r = 2 sin θ + 2 cos θ

c) r sin θ = ln r + ln cos θ

d) r =5

sin θ − 2 cos θ

e) r = 4 sin θ (Circ)

f ) r =2

2− cos θ(Elip)

6. Encuentre una ecuacion polar para la curva representada por la ecuacion cartesiana dada.

a) x+ y = 9

b) 6xy = 5

c) x2 + (y − 2)2 = 4

d) x2 + xy + y2 = 1

e) (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2)R: r2 = a2 cos2(2θ)

f ) y2 =x3

2a− xR: r = 2a tan θ sen θ

g) 3(x− 2)2 + 4y2 = 16 R: r(2− cos θ) = 6

7. Halle la ecuacion polar de la recta L que pasa por el punto P (4, π3 ) y es perpendicular al

radio vector P , es decir el vector OP . R: r cos(θ − π3 ) = 4

8. Halle la ecuacion polar de la recta L que pasa por el punto P (5, 5π6 ) y es perpendicular al

eje polar. R: r cos θ = − 52

√3

9. Halle la ecuacion polar de las sigueintes circuferencia tal que

a) Su centro es C(−5, π2 ) y su radio es 5. r = −10 sen θ

b) Su centro es C(3, π6 ) y su radio es 8. r2 − 6r cos(θ − π

6 ) = 55

10. *Determinar el centro y el radio de la circuferencia:

a) r2 − 4r cos(θ − π4 )− 12 = 0 Centro C(2, π

4 ) y radio a = 4

b) r = 3 sin θ − 3√3 cos θ Centro C(3, 5π

6 ) y radio a = 3

11. Demuestre: La ecuacion polar de la recta que pasa por los puntos A(r1, θ1) y B(r2, θ2)esta dada por:

r1r sen(θ1 − θ) + r2r sen(θ − θ2) = r1r2 sen(θ1 − θ2)

Ayuda: considere un punto P (r; θ) cualquiera de las rectas y las areas de los triangulosOAB, OBP y OPA

12. * Halle la ecuacion de la recta que pasa por el punto (r1, θ1) y es perperdicular a la rectar cos(θ − ω) = p. R. r sen(θ − ω) = r1 sen(θ1 − ω)

13. Muestre que la ecuacion polar r = a sin θ + b cos θ, donde ab 6= 0, representa un cırculo, yencuentre su centro y radio.

14. Haga un bosquejo de la region definida por las desigualdades

−1 ≤ r ≤ 2 y − π/2 ≤ θ ≤ π/2

15. Muestre que la ecuacion polar r = a sin θ + b cos θ, donde ab 6= 0, representa un cırculo, yencuentre su centro y radio.

16. Trace la grafica de cada una de las ecuaciones siguientes.

30

a) r = θ, θ ≥ 0,

b) r = ln θ, θ ≥ 1

c) r(1− 2 cos θ) = 4

d) r = 4 cos(3θ), rosa de 3 petalos

e) r = 4 sen(5θ), rosa de 5 petalos

f ) r = 3(2 + cos θ), caracol de Pascal.

17. Bosqueje el grafico y halle los puntos de interseccion de los siguientes pares de curvas

a) r = a(1− cos θ) y r = a cos θ(

a2 ,

π3

)

,(

a2 ,−π

3

)

, polo

b)√2r = 3 y r2 = −9 cos(2θ).

(

3√2, π3

)

,(

3√2, 2π

3

)

,(

3√2, 4π

3

)

,(

3√2, 5π

3

)

c) r = 2 cos θ y r = 2 sen θ(√

2, π4

)

, (0, 0)

d) r = 4(1 + sen θ) y r(1− sen θ) = 3 (6, π/6), (6, 5π/6), (2, 7π/6) y (2, 11π/6)

18. ¿Que simetrıas tienen esas curvas? a) r2 = 4 cos 2θ, b) r2 = − sin(2θ)

19. Halle las ecuaciones cartesiana y polar de la recta tangente a la curva r2 = 9 cos(2θ) en

el punto P ( 3√2

2 , π6 ). y = 3

√2/4, r sin θ = 3

√2/4

20. Demuestre que las curvas r = a sin θ y r = a cos θ se cortan en angulos rectos.

21. Determine los puntos sobre la curva dada donde la tangente es horizontal o vertical a)r2 = sin 2θ, b) r = eθ

22. En la figura se muestra la grafica de r como una funcion de θ en coordenadas cartesianas.Empleela para bosquejar la curva polar correspondiente

23. Compare las ecuaciones polares con las graficas I-VI. De razones para sus elecciones. (Nouse un dispositivo de graficacion.)

a) r = cos(θ/3),

b) r = 1 + 2 cos θ

c) r = 2 + sin 3θ

d) r = 1 + 2 sin 3θ

e) r =√θ, 0 ≤ θ ≤ 16π

f ) r = θ2, 0 ≤ θ ≤ 16π

24. Calcule el area de la region limitada por la curva r = 2+ cos θ y los ejes θ = 0 y θ = π/2.A = 9π+16

8

31

25. Halle el area de la region lımitada por las parabolas r(1 + cos θ) = 4 y r(1 − cos θ) = 4.A = 64

3

26. Calcule el area de la region que es interior a la curva r = 4 cos(3θ) y exterior a la circun-ferencia r = 2, A = 2

3 (2π + 3√3)

27. Calcule el area de la region que es interior a las curvas√2r = 3 y r2 = −9 cos(2θ)

A = 32 (6 + π − 3

√3)

28. Encuentre el area de la region que esta acotada por la curva dada y yace en el sectorespecificado. a) r = θ2, 0 ≤ θ ≤ π/4 b) r =

√sin θ 0 ≤ θ ≤ π

29. Encuentre el area de la region que yace dentro de la primera curva y fuera de la segunda(a) r = 2 cos θ, r = 1, (b) r = 3 sin θ, r = 2− sin θ

30. Determine el area de la region localizada dentro de ambas curvas. a) r =√3 cos θ r =

sin θ (b) r = 3 + 2 cos θ, r = 3 + 2 sin θ, c) r = 2 cos θ, r = 2 sin θ

31. Encuentre la longitud exacta de la curva polar. a) r = e2θ, 0 ≤ θ ≤ 2π b) r = θ2,

0 ≤ θ ≤ 2π, c) r =6

1 + cos θ, 0 ≤ θ ≤ π/2

32. Determine el area de las superficies generadas al hacer girar las curvas respecto de los ejesindicados.

a) r =√cos2θ, 0 ≤ θ ≤ π/4 eje y b)

√2eθ/2, 0 ≤ θ ≤ π/2 eje x

33. a) Encuentre el area de la region sombreada en la figura.

b)Parecerıa que la grafica de r = tan θ, −π/2 < θ < π/2 es asintotica a las rectasx = 1 y x = −1. ¿Lo es? Justifique su respuesta.

3.5.1. Integrales Impropias

1. Determine si las siguientes integrales impropias convergen o divergen.

a)

∫ 1

−1

1

x4dx

b)

∫ ∞

2

x+ 3

(x− 1)(x2 − 1)

c)

∫ ∞

0

e−x cosxdx

d)

∫ ∞

0

e−√x

√x

dx

e)

∫ ∞

0

x arctanx

(1 + x2)2dx

f )

∫ 2

−∞(x− 2)exdx R = −e−2

g)

∫ ∞

1

x2 + 2x

x3 + 3x2 + 5dx R = +∞

h)

∫ π/4

−π/4

cot θdθ R = div

i)

∫ 0

−1

e1/x

x3dx R = − 2

e

j )

∫ ∞

−∞

dx

x(x− 2)R = div

k)

∫ ∞

2

1

x√x2 − 4

dx

l)

∫ 3

0

1

(x− 2)2/3dx

2. Muestre que la integral

∫ 1

0

1

xpdx converge si 0 < p < 1 y diverge si p ≥ 1.

3. Sabiendo que

∫ ∞

0

cosx√x

dx =

√

π

2, halle el valor de la integral

∫ ∞

0

sinx√x3 dx, R =

√2π

32

4. Sea f(x) =

mx2 Si |x| ≤ 3

0 Si |x| > 3Determine m de modo que

∫ ∞

−∞f(x)dx = 1, R: m = 1

18

5. Hallar los valores de a y b tales que

∫ ∞

1

(2x2 + bx+ a

x(2x+ a)− 1)

dx = 1

6. ¿Cuales de las siguientes integrales son impropias? ¿Por que?

a)

∫ 2

1

1

2x− 1b)

∫ 1

0

1

2x− 1dx c)

∫ ∞

−∞

sinx

1 + x2dx d)

∫ 2

1

ln(x− 1)dx

7. El solido formado al girar (alrededor del eje x) la region no acotada que queda entre lagrafica de f(x) = 1/x y el eje x (x > 1) se llama la trompeta de Gabriel. Mostrar queeste solido tiene un volumen finito y un area de superficie infinita.

8. Usar la formula de la longitud de arco para demostrar que la circunferencia del cırculox2 + y2 = 1 es 2π.

9. Las secciones transversales, perpendiculares al eje x, del cuerno solido en la figura 1 son discoscirculares de diametros que van del eje x a la curva y = ex, −∞ < x < ln 2. Determine elvolumen del cuerno.

Fig 2

10. Demuestre que si f(x) es una funcion continua y positiva en [0,∞), y la

∫ ∞

0

f(x)dx

converge, entonces

∫ ∞

0

f(x)e−xdx converge.

11. Use el teorema de comparacion para determinar si la integral es convergente o divergente.

a)

∫ ∞

1

2 + e−x

xdx

b) *

∫ 1

0

sec2 x

x√xdx

c)

∫ 1

0

sen2 x

x2dx

d)

∫ ∞

1

cos2 x

x2dx C

e)

∫ ∞

0

1√x5 + 4

dx

f )

∫ ∞

1

1√x6 + x

dx

g)

∫ ∞

1

log x

e2xdx

h)

∫ ∞

3

log x

xdx

i)

∫ ∞

2

dx

x4√1 + x4

C

j )

∫ 1

0

dx√x2 + 2x

C

k)

∫ ∞

2

dx

x3√4x5 + x3 − 1

C

l) *

∫ 5

2

dx

(x2 − x− 2)3/2D

12. Demuestre que

∫ ∞

−∞

1 + x

1 + x2dx diverge, pero lım

b→∞

∫ b

−b

1 + x

1 + x2dx = π

13. Demuestre que

∫ ∞

−∞

x

(1 + x2)dx es convergente, pero

∫ b

−b

x

(1 + x2)dx es diverge.

14. Sea D la region limitada por f(x) =1

x3 + x, x = 3 y el eje x.

(a) Calcule el area de D(b) Calcule el volumen del solido de revolucion generado al girar D alrededor de x.

15. Determine el valor de p para la cual la integral converge, y evalue la integral para esevalor de p.

a)

∫ ∞

e

1

x(lnx)pdx

33

16. Encuentre el valor de la constante C para la cual la integral converge. Calcule la integral.

a)

∫ ∞

2

( Cx

x2 + 1− 1

2x+ 1

)

dx

b)

∫ ∞

1

( x

2x2 + 2C− C

x+ 1

)

dx

c)

∫ ∞

0

( 1√1 + 2x2

− C

x+ 1

)

dx

17. Considere que f es continua en [0,∞] y lımx→∞

f(x) = 1 . ¿Es posible que

∫ ∞

0

f(x)dx sea

convergente?

18. Determinar si la afirmacion es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por que o dar unejemplo que demuestre que es falso.

a) Si f es continua en [0,∞) y lımx→∞

f(x) = 0, entonces

∫ ∞

0

f(x)dx converge

b) Si f es continua en [0,∞) y

∫ ∞

0

f(x)dx diverge entonce lımx→∞

f(x) 6= 0.

c) Si f ′ es continua es continua en [0,∞) y lımx→∞

f(x) = 0, entonces

∫ ∞

0

f ′(x)dx =

−f(0)

d) Si la grafica de f es simetrica con respecto al origen o al eje y, entonces

∫ ∞

0

f(x)dx

converge si y solo si

∫ ∞

−∞f(x)dx converge.

19. **Demuestre que

∫ ∞

−∞

1√1 + t4

dt converge, note que esta integral NO tiene antiderivada

en funciones elementales.

20. **Sea f una funcion simetrica alrededor de x = a y sea

∫ ∞

−∞f(x)dx = 1. Demuestre

a)

∫ a

−∞f(x)dx =

∫ ∞

a

f(x)dx.

b)

∫ ∞

−∞xf(x)dx = a.

21. El siguiente argumento concluye que ln 3 es igual a ∞−∞ ¿Cual es el error en el argu-mento? Justifique su respuesta.

ln(3) = ln(1) + ln(3) = ln(1)− ln1

3

= lımb→∞

ln(b− 2

b

)

− ln1

3= lım

b→∞

[

lnx− 2

x

]b

3

= lımb→∞

[

ln(x− 2)− lnx]b

3= lım

b→∞

∫ b

3

( 1

x− 2− 1

x

)

dx

=

∫ ∞

3

( 1

x− 2− 1

x

)

dx =

∫ ∞

3

1

x− 2dx−

∫ ∞

3

1

xdx

= lımb→∞

[

ln(x− 2)]b

3− lım

b→∞

[

ln(x)]b

3= ∞−∞

22. Demuestre que si f es par y existen las integrales necesarias, entonces∫ ∞

−∞f(x)dx = 2

∫ ∞

0

f(x)dx

34

23. Demuestre que si f es impar y existen las integrales necesarias, entonces∫ ∞

−∞f(x)dx = 0.

24. Utilice la evaluacion directa, criterios de comparacion y los resultados del ejercicio anterior,segun sea adecuado, para determinar la convergencia o divergencia de las integrales. Si sepuede aplicar mas de un metodo, emplee el que usted prefiera.

a)

∫ ∞

−∞

dx

ex + e−x

b)

∫ ∞

−∞

dx√x6 + 1

c)

∫ ∞

−∞

x

(x2 + 1)(x2 + 2)

d)

∫ ∞

−∞

e−x

x2 + 1dx

25. Demostrar que el volumen del cuerpo limitado por las superficies obtenidas al rotar lascurvas y = e−x

√sinx, 0 ≤ x < +∞ alrededor del eje x es π

5(1−e−2π)

SUCESIONES

1. Escribir una expresion para el termino n-esimo de la sucesion.

a) 1, 4, 7, 10, . . .

b) −1, 2, 7, 14, 23, . . .

c)2

3,3

4,4

5,5

6, . . .

d) 2,−1,1

2,−1

4,1

8

2. * Pruebe que lım rn = 0, si 0 < r < 1 y es divergente si r > 1. Ayuda: Use definicion,aquı N = ln ε

ln(r)

3. Determinar el menor valor de N para el que se verifica lo siguiente:

|an − 2| < 10−5, ∀n > N, si an =

√

4 +1

n. N =

1010

1 + 4(105)

4. Demostrar, utilizando la definicion de lımite, que la sucesion de termino general an =4n− 3

n+ 1converge a 4. Aqui, N =

7

ε− 1

5. (Truco- practico) Demostrar que ln(1 + an) ≈ an cuando an → 0. y Demostrar queln(an) ≈ an − 1 cuando an → 1. Luego, encuentre una sucesion equivalente a loga(1+ an)cuando an → 0.

6. Hallar la relacion entre los parametros a y b para que se verifique:

a) lımn→∞

(n+ a

n+ 1

)2n+3

= lımn→∞

(n+ 3

n+ 2

)bn+4

R : b = 2(a− 1)

b) lımn→∞

ln(n+ b

n

)n+1

= lımn→∞

(

√

n+ a

n

)

√

2n√

n+1−√

n

R : b = ea√2/2

7. Determine si la sucesion

2n + n4

3n − n7

es convergente o divergente. C = 0

8. Demuestre que la sucesion definda por la recurrencia a1 = 2, an+1 = 12 (an +6) es conver-

gente.

35

9. Estudiar la convergencia de la sucesion recurrrente dada por a1 = 1, an+1 = 3√

4 + (an)2.

10. Los terminos de la sucesion an vienen dados por

√2,

√

2√2,

√

2

√

2√2, . . .

Demuestre que esta sucesion es creciente y acotada superiormente por 2. Calcule lımn→∞

an

11. Dada la sucesion an en donde a1 = 7, an+1 =

√

(an)2 + 2

an + 2se pide

a) Probar que an ≥ 1 ∀n ∈ N

b) Demostrar que an es convergente y calcular su limite.

12. Calcule el limite de la siguiente sucesion

an =n

n2 + 1+

n

n2 + 2+

n

n2 + 3+ · · ·+ n

n2 + n

13. Determine si las sucesiones son convergentes o divergentes

a) 2n√2n2 + 5

b) 1× 3× 5× . . .× (2n− 1)

2nn!

c) ln(n2)

5n c = 0

d) (n+ en)1/n

e) (en + e2n)1/n

f ) n

√n

g) n2

2n+ 1sen(π

n

)

h) 3n3

e2n

i) an = n2

2n+1 − n2

2n−1

j ) an =(

1 + kn

)n

k) an =1

n

∫ n

1

1

xdx

l) an =

∫ n

0

1

4 + 9x2dx R = π

12

m) an =

∫ n

0

e(a−s)/xdx R = 1s−a , s > a

n) an = n2(

cos(1

n)− 1

)

R = − 12

n) an =√

n2 + 4n−√

n2 − n R = 52

o) an =

√

n2 +√

n4 + 1−√2n R = 0

p) an =1

n2+

2

n2+ · · ·+ n

n2R = 1

2

q) an =

√n

√

n+√

n+√n

R = 1

r) an =ln(5n4 − 4n3 + 6n2 + 3n− 2

ln(6n3 + 4n2 − 5n+ 7)R = 4/3

14. Suponga que f(x) es diferenciable para toda x en [0, 1], y que f(0) = 0. Defina la sucesionan = nf( 1n ). Demuestre que

lımn→∞

an = f ′(0)

Utilice este resultado para determinar los lımites de las sucesiones siguientes.

an = n tan−1(1

n) an = n ln(1 +

2

n) an = n(e1/n−1)

15. Considerar la sucesion an =1

n

n∑

k=1

1

1 + (k/n)y demuestre que lım

n→∞an = ln 2

36

16. Mostrar que para

∫ n

1

ln(x)dx < ln(n!) para n ≥ 2.

17. Sea a1 = 0, an = 1+an−1

2, n ≥ 2. Pruebe que la sucesion es creciente y acotada. Calcule

su limite.

18. Demuestre que todo numero natural se cumple22n−1

n≤ (2n)!

(n!)2y estudie la convergencia

de la(2n)!

(n!)2

19. Determine la veracidad los siguientes limites de sucesiones

a) lımn→∞

(

√

n2 + 2n− n)n

=1√e b) lım

n→∞

2n

√

1 + n

3 + n= 1

c) lımn→∞

n

√

(2n+ 4

2n− 1

)

n2+1

2

=4√e5

20. Halle el lımite de las siguiente sucesiones

a) an =8n3 ln(1 + 1

2n )

(2n2 + 5n) cos( 2πn−26n+3 )

R = 4

b) bn =(√

n2 −√

n2 + n)

c) an =3n4 sin2

(

1n

)

ln(

1 + 1n

)

(n+ 2) cos( πn4n+1 )

R = 3√2

d) an = (4n+ 3)m(

ln(n+ 1

n− 2))m

R = 12m

21. ¿Si lımx→∞

ln(f(x)) = 2, entonces lımx→∞

f(x) = e2?

22. ¿Si f(x) 6= 0 para x 6= a y lımx→a

f(x) = 0, entonces lımx→∞

(1 + f(x))1/f(x) = e?

23. Sean a y b positivos. Probar que

lımn→∞

n

√an + bn = maxa, b.

24. ** Si x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ · · · ≤ xn. Probar que la sucesion yn =x1 + . . .+ xn

nes una la

sucesion monotona creciente, es decir yn+1 ≥ yn.

25. Sea (xn)n∈N una sucesion de numeros reales. Responder razonadamente si cada uno delos siguientes apartados es verdadero o falso.

a) Si (xn)n∈N converge, entonces es creciente o decreciente.

b) Si (xn)n∈N es creciente o decreciente, entonces converge.

c) Si (xn)n∈N converge, entonces esta acotada.

d) Si (xn)n∈N esta acotada, entonces converge.

e) Si (xn)n∈N es creciente, entonces esta acotada superiormente.

f ) Si (xn)n∈N es creciente, entonces esta acotada inferiormente.

g) Si lımxn = x, entonces lımn→∞

|xn| = |x|.

h) Si (xn)n∈N esta acotada y converge, entonces es monotona.

i) Si para todo n ∈ N, an 6= 0 y bn 6= 0, entonces lımn→∞ anbn 6= 0

37

3.5.2. SERIES:

1. Sabiendo que la suma de los n primeros terminos de una serie es

Sn =5n2 − 3n+ 2

n2 − 1

hallar el termino general, an y estudiar la convergencia de dicha serie.

2. Probar que la serie converge y que la suma es la indicada.

a)∑

n=1

(n+ 1)1/2 − n1/2

(n2 + n)1/2= 1

b)∑

n=1

1

(2n− 1)(2n+ 1)=

1

2

c)∑

n=1

2

3n−1= 3

d)∑

n=1

2n + 3n

6n=

3

2

e)∑

n=1

n

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)=

1

4

f )∑

n=1

2n + n2 + n

2n+1n(n+ 1)= 1

g)∑

n=2

ln[

(1 + 1n )

n(1 + n)]

(lnnn)[

ln(n+ 1)n+1] = log2

√e

h)

∞∑

n=1

(√n+ 2− 2

√n+ 1 +

√n)

=

i)

∞∑

n=1

3n+ 7

(n2 + 3n+ 2)

1

4n=

1

2

3. Usando la propiedad telescopica determine una formula para las siguientes sumatorias

a)

n∑

k=1

sin(kx) Ayuda: Use f(k) = cos(kx)

b)

n∑

k=1

kk!

c)n∑

k=1

tanh(19kx)

sech(19kx)

4. Determine una formula para

n∑

k=1

ln(k + 1) y para

n∑

k=1

(√3 + x)k

5. Exprese cada decimal periodico como el cociente de dos enteros,

a) 0, 012012012...R =4

333b) 0, 123123123...R =

41

333

6. Se deja caer una pelota de una altura de 20m. Cada vez que toca el suelo rebota hastatres cuanos de su altura maxima anterior. Encuentre la distancia total que viaja la pelotaantes de llegar a reposo. R = 140m

7. Si an =

n

2nn es impar

1

2nn es par

Entonces∑

an converge?

8. Probar que la sucesion an de termino general

an = (1− 1/4)(1− 1/9) . . . (1− 1/n2)

es convergente y que su lımite es estrictamente positivo.

38

9. Decir si cada una de estas series es convergente o divergente razonando su respuesta

a)∑

n=1

3nn!

nn,

b)∑

n=1

n3(√

2 + (−1)n)n

3n

c)∑

n=1

(−1)nlnn

n

d)∞∑

n=1

√

(2n− 1) ln(4n+ 1)

n(n− 1)

e)∑

n=1

n+ 1

2n

f )∑

n=2

lnn

n√n+ 1

g)∞∑

n=1

∫ 1/n

0

√x

1 + x2dx

h)

∞∑

n=1

(n!)2

2n2

i)

∞∑

n=2

1

(lnn)1/n

j )∞∑

n=1

enn!

nn

k)

∞∑

n=2

1

ln(nlnn)

l)

∞∑

n=2

nn+ 1n

(n+ 1n )

1/n

m)

∞∑

n=1

sin(π2n)3√n

n)∞∑

n=1

cos(xn)

n2

CONTINUA...

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