Taller Uno

Antiderivadas

1. Encuentre las funciones antiderivadas de:

f(x) = 3x2 + 2x+ 1

h(t) = −1t2

m(s) = s5/2 − 5s4

p(x) =√x(1− x2)

i(x) = 2x4−3x3+57x2

f(z) = tan2 z

d(t) = 4 sin(2πt)− 2 sin(4π)

n(x) = 3ex + 7sec2x

l(u) = senu+ 2 senhu

v(x) =senx

cos2 x

2. La antiderivada de x senxdx es

x2

2senx+ C −x cosx+ C −x cosx+ senx+ C

3. La antiderivada de tanx sec2 dx es

sec3 x

3+ C

1

2tan2 x+ C

1

2sec2 x+ C

4. ¿Cual de las siguientes graficas muestra la solucion del problema de valor inicialdy

dx= −x,

y(−1) = 1

Fig 4

5. Halle f

f ′(x) = 2ex + secx tanx

f ′′(x) = 6x+ cosx

f ′′′(t) = et

f ′′(θ) = sin θ + cos θ, f(0) = 3, f ′(0) = 4

f ′′(t) = 2ex + 3 sinx, f(0) = 0 f ′(π) = 0

6. Muestre que las funciones claramente distintas F1(x) =1

1− xy F2 =

x

1− xson ambas

primitivas de f(x) =1

(1− x)2. ¿Cua1 es la relacion entre F1(x) y F2(x)?

7. Use las identidades cos2 x =1 + cos(2x)

2y sin2 x =

1− cos(2x)

2para determinar las

primitivas de f(x) = sin2 x y f(x) = cos2 x.

1

8. Resuelva los problemas con condiciones iniciales

dy

dx= (x− 2); y(2) = 1

dy

dx= (2x+ 3)3/2; y(3) = 100

9. Sean s(x) y c(x) dos funciones que satisfacen s′(x) = c(x) y c′(x) = −s(x) para todo x. Sis(0) = 0 y c(0) = 1. Demostrar que [s(x)]2 + [c(x)]2 = 1

10. En Fig 1. se muestra la grafica de f ′. Dibuje la grafica de f si esta es continua y f(0) = −1.

11. En la Fig 2. se ilustra la grafica de la derivada f ′ de una funcion f. Determine.

(a) ¿En que intervalos f es creciente o decreciente?

(b) ¿Para que valores de x la funcion f tiene un maximo local o un mınimo local?

(c) Trace la grafica de f ′′.

(d) Trace la grafica posible de f .

12. Sea R la region que esta bajo la grafica de y = f(x) en el intervalo [a, b] sobre el ejex. Calcular una R-estimacion y una L-estimacion de las siguientes funciones usando unaparticion regular.

f(x) = 2x+ 3 en [0, 3] n = 6.

f(x) = 1 + 2√x en [2, 3] n = 5.

f(x) =1

xen [1, 6], n = 5

Fig 1

Fig 2

13. Determine las sumas de Riemann para la funcion indicada y una particion regular delintervalo dado en n subintervalos. Utilice ci = xi es decir, extremo derecho.

f(x) = 9− x2 en [0, 3] n = 10

f(x) = x3 − 3x en [1, 4] n = 5

14. Demuestre

n∑

k=0

rk =1− rn+1

1− r

15. Calcule la integral definida de f(x) = ex en [0, 4] usando sumas de Riemann.

16. *Calcule la integral definida de f(x) =1

x2en [1, 2] usando sumas de Riemann. (Sugerencia:

elija ci =√xi−1xi, y use la identidad 1

m(m+1) =1m − 1

m+1 )

17. Demuestre usando sumas de Riemann que

∫ b

0

x3 =1

4b4

18. Calcule la integral definida de g(x) = 3√x en [0, 1] (Sugerencia ci =

i3

n3 y ∆xi = ci − ci−1)

19. Evalue el limite dado reconociendo primero la suma indicada como una suma de Rie-mann asociada a una particion regular de [0, 1] y evaluando a continuacion la integralcorrespondiente.

lımn→∞

∑

i=1

i2

n3lım

n→∞

13 + 23 + 33 + · · ·+ n3

n4 lımn→∞

√1 +

√2 +

√3 + · · ·+√

n

n√n

20. Evalue la integral

∫ 5

0

√

25− x2dx interpretandola como el area bajo la grafica de cierta

funcion.

2

21. La grafica f esta compuesta por segmentos de recta y un semicirculo, como se muestra enla figura 3. Evalue cada integral definida utilizando formulas geometricas

∫ 2

0

f(x)dx

∫ 6

2

f(x)dx

∫ 6

−4

f(x)dx

∫ 2

−4

f(x)dx

∫ 6

−4

|f(x)|dx

∫ 6

−4

[f(x) + 2]dxFig 3

22. Emplear formulas geometricas para calcular

∫ 8

0

f(x)dx donde f(x) =

4 si x < 4

x si x ≥ 4

Teorema fundamental del Calculo

23. Calcular cada una de las siguientes integrales. Dibujese la grafica en cada caso

∫ 2

0

f(x)dx f(x) =

x2 si 0 ≤ x ≤ 1

2− x si 1 < x ≤ 2

∫ 3

1

f(x)dx f(x) =

1− x si −1 ≤ x < 0

x2 si 0 ≤ x < 2

−1 si 2 ≤ x ≤ 3

∫ 1

0

f(x)dx, f(x) =

x si 0 ≤ x ≤ c

c1− x

1− csi c < x ≤ 1

c

es un numero real fijo, 0 < c < 1.

24. Si f(x) ≥ 0, b > 1 y

∫ b

1

f(x) =√

b2 + 1−√2. Halle f(x).

25. Hallar un polinomio cuadratico para el cual P (0) = P (1) = 0 y

∫ 1

0

P (x)dx = 1

26. Halle un polinomio cubico tal que P (0) = P (−2) = 0, P (1) = 15 y 3

∫ 0

−2

P (x)dx = 4

27. Calcule

∫ 1

0

|x(2x− 1)|dx y

∫ 2

0

|(x− 1)(3x− 1)|dx

28. Halle todos los valores c para los cuales

∫ c

0

|x(1− x)|dx = 0

29. Demostrar∫ b

a

f(x)dx = (b− a)

∫ 1

0

f(

a+ (b− a)x)

dx

∫ b

a

f(c− x)dx =

∫ c−a

c−b

f(x)dx

30. Calcule f(4) si: (a)

∫ x2

0

f(t)dt = x cos(πx) (b)

∫ f(x)

0

t2dt = x cos(πx)

31. Calcule f(2) suponiendo que f es continua y satisface

∫ x

0

f(t)dt = x2(1 + x)

32. Suponga que f es continua en R, tal que f(3x) = 5f(x) y si

∫ 1

0

f(s)ds = 1. Calcule

∫ 3

0

f(s)ds

33. Escriba

∫ 2

−2

f(x)dx+

∫ 5

2

f(x)dx−∫ −1

−2

f(x)dx como una sola integral

∫ b

a

f(x)dx:

3

34. Si

∫ 5

1

f(x)dx = 12 y

∫ 5

4

f(x)dx = 3,6 encuentre

∫ 4

1

f(x)dx

35. Si

∫ 1

0

f(x)dx = 4 y f(x) ≥ 0, entonces es cierto

∫ 1

0

√

f(x)dx =√4 = 2?

36. Encontrar la integral indefinida

∫

dx

∫

sec y(tan y − sec y)

∫

cosx

1− cos2 x

37. Determinar si los enunciados es Verdadero o Falso, si es falso, explicar por que proporcionarun ejemplo

Cada antiderivada de una funcion polinomica de grado n es un funcion polinomicade grado n+ 1

Si p(x) es un polinomio entonces p tiene exactamente una antiderivada cuya graficacontiene el origen.

Si F (x) y G(x) son primitivas de f(x), entonces F (x) = G(x) + C.∫

f(x)g(x)dx =∫

f(x)dx∫

g(x)dx.

las primitivas son unicas.

Si la norma de una particion tiende a cero, entonces el numero de subintervalos tiendea infinito.

el valor de

∫

f(x)dx debe ser positivo.

38. Encontrar las constantes a y b que maximizan el valor

∫ b

a

(4− x2)dx. Explique el razona-

miento

39. Evaluar, si es posible, la integral

∫ 2

0

⌊x⌋ dx

40. Usar el TFC para encontrar F ′(x) de las siguientes funciones

F (x) =

∫ x

2

(t2 − 2t)dt

F (x) =

∫ x2

2

cos(t)dt

F (x) =

∫ x+2

2

(2t2 − 1)dx

F (x) =

∫ sen x

2

√r dr

F (x) =

∫ x

−x

sen(θ2)dθ

F (x) =

∫ x

1/x

1

tdt

F (x) =

∫ sen x

cos x

1

1− t2dt

F (y) =

∫ 2√y

√y

sen(t2)dt

F (x) =

∫ x2+3

x

t(5− t)dt

41. Sea f una funcion continua tal que

∫ x

0

tf(t)dt = x sinx−cosx. Calcula f(π/2) y f ′(π/2).

42. Halle una funcion f y un numero a tal que 6 +

∫ x

a

f(t)

t2dt = 2

√x

43. Pruebe que y = senx+

∫ π

x

cos(2t)dt+ 1 satisface las dos condiciones siguientes:

y′′ = − senx+ 2 sen(2x)

Cuando x = π y = 1 y y′ = −2.

44. Calcular el area acotada por el eje x y la parabola y = 6− x− x2

4

45. Determinar el valor medio de f(x) = 3x2 − 2x en el intervalo [1, 4]

46. Encuentre el area de las regiones sombreadas de las figuras 6,

Fig 6

47. Usando la grafica de la Fig 5. Se define la funcion g(x) =

∫ x

1

f(f)dt

Encuentre g(1), g(3) y g(−1)

Halle los x ∈ (−3, 4) donde g tiene un maximo relativo.

Escriba una ecuacion para la recta tangente a la grafica de g en x = 1.

Halle los x donde g tiene un punto de inflexion.

Encuentre el rango de g. Fig 3

48. Use una apropiada sustitucion

∫

t√t+ 1dt

∫

cos(√x)√

xdx

∫ π/2

0

(1+sin θ)3/2 cos θdθ

∫ π2

π2/4

sin√x cos

√x√

xdx

∫

2− x2

x3 − 6x+ 1dx

∫

x2ex3

dx

∫

1

1 + exdx

∫

ex

1 + e2xdx

5

Taller Dos

Tecnicas de Integracion

NOTA: LOS PUNTOS CON (*) SON PARA ENTREGAR. EL TRABAJO DEBE HACER-CE EN PAREJAS. EXITOS

1. Demuestre que

∫ n

0

⌊x⌋ dx =n(n− 1)

2

2. Demostrar que

∫ x

0

|t|dt = 1

2x|x| para todo real x real

3. *Si f(x) =

∫ g(x)

0

1√1 + t2

dt, donde g(x) =

∫ cos x

0

[1 + sin(t2)]dt, encuentre f ′(π/2)

4. Encuentred2

dx2

∫ x

0

(

∫ sen t

1

√

1 + u4du)

dt

5. Exprese los limites como una integral definida sobre un intervalo adecuado o el que sepide

a) lımn→∞

n∑

i=1

xi ln(1 + x2i )∆xi en [2, 6]

b) * lımn→∞

n∑

i=1

n

n2 + i2

c) * lımn→∞

n∑

i=1

13

√

n3(1 + i/n)

d) * lımn→∞

n∑

i=1

1√n√n+ i

6. Integrales por sustitucion

6

a) *Demostrar que

∫ 1

x

dt

1 + t2=

∫ 1/x

1

dt

1 + t2si x > 0

b) *Demostrar que

∫ π

0

xf(sinx)dx =π

2

∫ π

0

f(sinx)dx sugerencia u = π − x

c) Demostrar que

∫ b

a

f(x) =

∫ b

a

f(a+ b− x)dx

d) *Si f es par,

∫ a

−a

f(x)dx = 2

∫ a

0

f(x)dx

e) *Si f es impar,

∫ a

−a

f(x)dx = 0

f )

∫

x√1 + 3xdx

g) *

∫

dx

x lnx

h)

∫ 1/3

−2/3

xdx√2− 3x

i) *

∫

xdx√

1 + x2 +√

(1 + x2)3

j )

∫ 1

0

2x+ 3

(6x+ 7)3dx

k) *

∫

13√x2(1 +

3√x2)

dx

l)

∫ 2

1

sin(1/x)

x2dx

m)

∫

x2√

x3 + 9dx

n)

∫

2 sin3 x cosxdx

n) *

∫

z3√1− z2

dz

o)

∫

x2

(x3 + 5)4dx

p)

∫

t√t+ 1dt

q)

∫

cos(√x)√

xdx

r)

∫ π/2

0

(1 + sin θ)3/2 cos θdθ

s)

∫ π2

π2/4

sin√x cos

√x√

xdx

t)

∫

2− x2

x3 − 6x+ 1dx

u)

∫

x2ex3

dx

v) *

∫

1

1 + exdx =

w) *

∫

ex

1 + e2xdx =

x) *

∫

x2

(1 + x2)2dx =

y) *

∫

4

(x2 + 9)dx =

z) *

∫

sec2(θ) e(5−7 tan θ)dθ

7. Integrales por partes

7

a) *Calcular

∫ 1

0

xf ′′(2x)dx sabiendo que f(0) = 1, f(2) = 3 y f ′(2) = 5

b) *Suponga que para cierta funcion f se sabe que

f ′(x) =cos(x)

x, f(π/2) = a, f(3π/2) = b

Utilice integracion por partes para evaluar

∫ 3π/2

π/2

f(x)dx.

c) * Dada la funcion F (x) =

∫ x

0

sin t

tdt. Calcule

∫

F (x)dx

d) Suponga que existe f es una funcion continua y invertible en [0, 1], y que

∫ 1

0

f(x)dx =1

3. Calcule

∫ 1

0

f−1(x)dx

e) *

∫

(z2 − 5z − 3)sen(z)dz

f )

∫

sen−1(z)dz

g) *

∫

x cosxdx

h)

∫

t(ln t)2dt

i)

∫ 1

0

z2ezdz

j )

∫

ln t

t√tdt

k)

∫

sen(3x)e2xdx

l)

∫

cos3 xdx

m) *

∫

x tan−1 xdx

n)

∫

sin((x− 1)1/4)dx

n)

∫ √x(lnx)dx

o)

∫

ln(x)dx

p)

∫

x sinxdx

q)

∫

x2e−xdx

r) *

∫

sec3(t)dt

s) *

∫

ln(1 + t2)dt

t) *

∫

x5e−x2

dx

8. integrales Fracciones Parciales∫

x4 − 2x3 − 3x2 + 15x− 8

x3 − 3x+ 2dx

∫

cosx

sinx(sinx− 1)dx

∫

dx

x(x2 + 1)∫

1

(x3 − 1)3dx

∫

x2 + 1

x5 + x4 − x− 1dx

*

∫

sec2 t

tan3 t+ tan2 tdt

*

∫

1 + ln t

t(3 + 2 ln t)2dt

*

∫

e4t

(e2t − 1)3dt

∫

x2

x4 − 1dx

*

∫

4x4 + x+ 1

x5 + x4dx

9. *Aplicacion: Suponga que la poblacion P (t) (en millones) de Ruritania satisface Ia ecua-cion diferencial

dP

dt= k P (200− P ) (k constante).

Su poblacion en 1940 era de 100 millones y entonces aumentaba a razon de 1 millon porano. Pronostique la poblacion de este pais para el ano 2000.

10. Sustituciones trigonometricas

a) *

∫

sin2 x

cos6 xdx

b)

∫

sin2(3x)dx

c)

∫

sin3(x) cos2 xdx

d) *

∫

cos5(x)dx

e)

∫

cos4(2x)dx

f )

∫

tan θdθ

8

g)

∫ π/2

0

sec(x

2)dx

h)

∫

tan(t) sec3(t)dt

i)

∫

sec6(t)dt

j ) *

∫

sin3 x√cosx

dx

k) *

∫

sin3/2(t) cos3(t)dt

l)

∫

cot(t) + csc(t)

sin(t)dt

11. Halle las siguientes integrales usando una apropiada sustitucion trigonometrica.

a)

∫ r

−r

√

r2 − x2dx Geometricamente que significa?

b)

∫

dx√4x2 + 1

c)

∫

dx

(x2 + 1)3/2

d) *

∫ 2

√3

√x2 − 3

x

e)

∫

√

x2 + 1dx

f ) *

∫

1√9 + 4x2

dx

g)

∫

√

x2 + 1dx

h) *

∫

√

x2 − 4dx

i) *

∫

√

25− x2dx

j )

∫

dx√49x2 − 4

k) *

∫

x3

√1− 4x2

dx

l) *

∫ e

1

dy

y√1− ln y

dx

m) *

∫ ln 4

0

eydy√e2y + 9

dx

12. Integrales interesantes

a) *

∫

1√9 + 16x− 4x2

dx Sug: complete el cuadrado perfecto

b) Determine constantes a y b tales que x4 + 1 = (x2 + ax + 1)(x2 + bx + 1) y luego

Calcule

∫

dx

x4 + 1

c) *

∫

dx

2− sin2 xUse la sustitucion tanx = t

d) **Demuestre que

∫ 1

0

x2 + 1

x4 + 1dx =

π

2√2

e) *

∫ √x

x3/4 + 2dx

f ) *

∫

√x+ 4

xdx

g) *

∫

2x+ 3

9x2 + 6x+ 5dx

h)

∫

2 + 6x

(3 + 2x− x2)2dx

i) *

∫

x2

√16− x6

dx =

j ) **

∫

dx

x2√

(1 + x2)3

k)

∫

(3x−2)√

9x2 + 12x+ 8dx

l) **

∫

2x3 + 3x

x4 + x2 + 1dx

13. Integre aplicando cualquier metodo

9

a)

∫

5xdx

b) *

∫ π/2

0

7cos t sin tdt

c) *

∫

xx(1 + ln(x))dx

d)

∫

ln(x+ x2)dx

e)

∫ π/3

0

x tanxdx

f ) *

∫

e√3s+9ds

g) *

∫

x4 + 2x2

x3 − 1dx

h) *

∫

1

x3 + 8dx

i)

∫

x3

x− 5dx

j )

∫

x2 − x− 2

x3 − 2x− 4dx

k)

∫

x2 + 1

x3 + 3x− 4dx

l)

∫ 2

0

(x2 − ⌊x⌋)dx

m)

∫ 2

−1

z sin(πz2

4)dz

n)

∫

1

u2 + 2u+ 5du

n)

∫

1

x2

√

1 + 1/x

1− 1/xdx

o)

∫ 1/2

−1

x2√

1− x2dx

p)

∫

x√3− 2x− x2

dx

q)

∫

1

9x2 + 6x+ 5dx

r)

∫

2 + 6x

3 + 2x− x2dx

s) *

∫

senh(lnx)

xdx

t)

∫

cosx√

1 + sin2 xdx

u) *

∫

x√e2x2 − 1

dx

v)

∫

1√2x− x2

dx

w) *

∫

√

x2 + 1dx

x ) *Demuestre que para cualquier numero a > 1

∫ a

1

lnxdx+

∫ ln a

0

eydy = a ln a

y) *Suponga que f tiene inversa y Demuestre

∫

f−1(x)dx = xf−1(x)−∫

f(y)dy

y a partir de esto calcule

∫

cos−1 xdx

z ) Resuelva los problemas con valor inicial para y como una funcion de x.

1) xdy

dx=

√x2 − 16 x ≥ 4, y(4) = 0

2) (x2 + 1)2dy

dx=

√x2 + 1 y(0) = 1

14. Recuerde que sinhx =ex − e−x

2y que coshx =

ex + e−x

2usando esto demuestre que

senh(x) es una funcion impar y que coshx es una funcion par

cosh2 x− senh2 x = 1

10

* senh−1 x = ln(x+√x2 + 1) para todo x

* tanh−1 x =1

2ln(

1+x1−x

)

para |x| < 1.

15. * Calcule

∫

dx√1 + x2

usando la sustitucion x = sinh t y tambien usando x = tan t

16. Calcule

∫

dx√x2 − 1

usando la sustitucion x = cosh t y tambien usando c = sec t

17. *Determine si la expresion es Falsa o Verdadero, Si es falsa explicar por que o dar unejemplo que lo demuestre

a)

∫

dx

3x√9x2 − 16

=1

4arc sec(

3x

4) + C

b)

∫

dx

25 + x2=

1

25arctan(

x

25) + C

c)

∫

dx√4− x2

= − arc cos(x

2) + C

18. *Halle

∫

2e2x√9− e2x

dx usando la funcion arcoseno.

19. Reglas del Trapecio y regla de Simpson

a) Use (a) la regla del trapecio, (b) la Regla de Simpson para aproximar la integral con el valorespecificado de n. (Redondee sus respuestas a seis decimales.)

1)

∫ 2

1

lnx

1 + xdx, n = 10

2)

∫ 5

1

cosx

xdx, n = 8

3) *

∫ 4

1

(4− x2)dx, n = 6

4)

∫ 9

4

√xdx, n = 8

5)

∫ 3

0

1

1 + y5dy, n = 6

b) *Aproximar el area de la region sombreada utilizando a) la regla de los trapecios y b) la regla deSimpson con n = 4.

20. Nuevos Ejercicios

Pruebe que si f es continua, entonces

∫ x

0

f(z)(x− z)dz =

∫ x

0

(

∫ z

0

f(t)dt)

dz

11

Taller Tres

Aplicaciones de la Integral

1. Calcular el area de las regiones segun la grafica

(*) (*) (*)

2. Dibuje y calcule el area de la region acotada por las cada una de las curvas

a) y = |x|; 2y = x+ 2.

b) y2 = x; y2 = 2(x− 3).

c) *x = y2 − 2; y = ln(x); y = 1; y = −1

d) * y2 = x− 4y; 2y = y2 + x

e) y = 4− x2; y + x = 2; x = −2; x = 3

f ) y = −x2 − 2x; y = x2 − 4

g) * y = |x2 − 4| 2y = x2 + 8

h) x = (y − 1)2: x+ y = 3; x2 = 4y

3. Encontrar c tal que la recta y = c divide la region acotada por las dos funciones en dosregiones de area igual.

a) * y = 9− x2, y y = 0

b) y = 9− |x|, y y = 0

c) y = x, y = 4 x = 0

d) *y2 = 4− x, x = 0

4. Encontrar el area de la region en el primer cuadrante, que esta acotada por arriba pory =

√x y por abajo por el eje x y la recta y = x− 2

5. Determine el area de la region R acotada por la recta y = 12x y por la parabola y2 = 8−x.

6. *Trace la region en el plano xy definida por las desigualdades x−2y2 ≥ 0 y 1−x−|y| ≥ 0,y determine su area.

12

7. ¿Para que valores m de la recta y = mx y la curva y = xx2+1 definen una region? Calcule

el area de la region.

8. Utilice el calculo para obtener la formula A = πr2 para el area de un circulo de radio r.

9. *Hay una recta que pasa por el origen que divide la region definida por la parabola y = x−x2

y el eje x en dos regiones de area igual. ¿Cual es la pendiente de la recta?

10. * En la figura 1se ilustra una horizontal y = c que corta a la curva y = 8x−27x3. Encuentreel numero c tal que las areas de las regiones sombreadas sean iguales.

11. **En la figura 2 se ilustra una curva C con la propiedad de que para todo punto P en lamitad de la curva y = x2, las areas A y B son iguales. Determine una ecuacion de C.

12. La elipsex2

a2+

y2

b2= 1. Demostrar que el area de la region que acota es A = πab. (Fig 1).

13. *Sean A y B los puntos de interseccion de la parabola y = x2 y la recta y = x+2 y sea C elpunto de la parabola donde la recta tangente es paralela a la grafica de y = x+ 2. Muestreque el area del la region entre la parabola y la recta es 4

3 del area del triangulo ABC.

Fig 1.

Fig 2

Ejer 13 Ejer 14.

VOLUMENES DE SOLIDOS: Use cualquier metodo

1. Encontrar el volumen del solido formado al girar la region acotada por las graficas de

a) y = x2 − 1, y = 0, x = 0 y x = 1 alrededor del eje y

b) y = x2 + 1, y = −x+ 3 alrededor de x = −1.

c) * y = x2 y = 4x− x2, (a) alrededor del eje x; (b) alrededor de y = 6

d) y = 6− 2x− x2 y = x+ 6, (a) alrededor del eje x (b) alrededor de y = 3

2. *Un fabricante taladra una esfera de metal de 5 pulgadas de radio. El orificio tiene unradio de 3 pulgadas. ¿Cual es el volumen del objeto de metal resultante?

3. Suponga que la base de un solido es la region acotada por las rectas f(x) = 1 − x2 ,

g(x) = −1 + x2 y x = 0; y cuando hacemos secciones transversales perpendiculares al eje

y son triangulos equilateros. Con esta informacion Calcule el Volumen de dicho solido.

4. * Demostrar que el volumen de una piramide con una base cuadrada es V = 13hB, donde

h es la altura de la piramide y B es el area de la base.

5. Encontrar el volumen del solido generado por la region acotada por y = 31−x , y = 0, x = 0

x = 3 la cual gira alrededor de la recta y = 4.

6. * Un toro se forma al girar la region acotada por la circunferencia x2 + y2 = 1 alrededorde la recta x = 2

13

7. *Encontrar el volumen del solido generado por la region acotada por las graficas de lasecuaciones al girar alrededor de las rectas dadas.

a) (y − 2)2 = 4− x, x = 0

El eje x

la recta y = 5

El eje y

la recta x = 5

8. * Se corta una cuna curva de una cilindro con radio 3 en dos planos. Uno de los planos esperpendicular al eje del cilindro; el otro cruza al primero formando un angulo de 45◦ en elcentro del cilindro ver figura. Determinar el volumen de la cuna.

9. * Cada una de las integrales representa el volumen de un solido de revolucion. Identificar a)la region plana que se gira y b) el eje de revolucion.

a) 2π

∫ 2

0

x3dx

b) 2π

∫ 1

0

y − y3/2dy

c) 2π

∫ 6

0

(y + 2)√

6− ydy

d) 2π

∫ 1

0

(4− x)exdx

e) π

∫ 5

1

(x− 1)dx

f ) 2π

∫ 2

0

y[5− (y2 + 1]dy

g) 2π

∫ 4

0

x(x

2)dx

h) π

∫ 2

0

[16− (2y)2]dy

10. * Volumen de un casquete de una esfera Sea una esfera de radio r que se corta por unplano, formando un casquete esferico de altura h. Mostrar que el volumen de este segmentoes 1

3πh2(3r − h).

11. Calcule el volumen de un tronco de un cono circular recto cuya altura es h, base inferior deradio R, y radio de la parte superior r.

12. * Sean V1 y V2 los volumenes de los solidos que resultan cuando la region plana limitada pory = 1

x , y = 0, x = 14 , y x = c (c > 1

4 ) se gira alrededor del eje x y el eje y, respectivamente.Encontrar el valor de c para el cual V1 = V2.

13. *Considerar la grafica y2 = x(4−x)2 (ver la figura 2). Encontrar los volumenes de los solidosque se generan cuando la espira de esta grafica se gira alrededor a) del eje x, b) del eje y yc) la recta x = 4.

14. *Determine el volumen comun a dos cilindros circulares, ambos de radio r, si los ejes de loscilindros se cortan en angulos rectos ver fig.

Fig 2

Fig 2

15. Determine la formula para el area A(x) de las secciones transversales del solido perpen-dicular al eje x. En cada uno delos siguientes casos

(I) El solido que se encuentra acotado por los planos x = 1 y x = 1 y las semi-circuferencias y =

√1− x2 y y = −

√1− x2.

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a) Las secciones transversales son discos circulares con diametros en el plano xy.

b) Las secciones transversales son cuadrados con base en el plano xy.

c) *Las secciones transversales son cuadrados con diagonales en el plano xy. (Lalongitud de la diagonal de un cuadrado es

√2 veces la longitud de sus lados).

d) *Las secciones transversales son triangulos equilateros con bases en el plano xy.

(II) El solido se encuentra entre los planos x = 0 y x = 4 y las parabolas y = −√x y

y =√x

a) *Las secciones transversales son discos circulares con diametros en el plano xy.

b) *Las secciones transversales son cuadrados con bases en el plano xy.

c) Las secciones transversales son cuadrados con diagonales en el plano xy.

d) Las secciones transversales son triangulos equilateros con bases en el plano xy.

16. *La regiones que se muestra a continuacion se hace girar alrededor del eje x para generarun solido. ¿Cual de los metodos (el de discos, el de arandelas, o el de casquillos) podrıautilizarse para determinar el volumen del solido? ¿Cuantas integrales son necesarias encada caso? Explique.

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