sollecitazioni composte a31

Mec

cani

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– G

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S.p

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Tabella 3.7 Coefficienti ω per acciaio S 275 e sezione di tipo a

sollecitazioni composte a32

Mec

cani

ca, M

acch

ine

ed E

nerg

ia –

art

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– G

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λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 λ 0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0 10 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,01 10 20 1,01 1,02 1,02 1,02 1,03 1,03 1,04 1,04 1,05 1,05 20 30 1,06 1,06 1,07 1,07 1,08 1,08 1,09 1,10 1,10 1,11 30 40 1,11 1,12 1,12 1,13 1,14 1,14 1,15 1,16 1,16 1,17 40 50 1,18 1,19 1,20 1,21 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 50 60 1,27 1,28 1,29 1,30 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,38 60 70 1,39 1,41 1,42 1,43 1,45 1,47 1,48 1,50 1,52 1,54 70 80 1,55 1,57 1,59 1,61 1,63 1,65 1,67 1,69 1,71 1,73 80 90 1,75 1,76 1,80 1,82 1,85 1,87 1,89 1,92 1,94 1,97 90 100 1,99 2,02 2,05 2,07 2,10 2,13 2,16 2,19 2,22 2,25 100 110 2,28 2,31 2,34 2,37 2,40 2,43 2,46 2,50 2,53 2,56 110 120 2,60 2,63 2,66 2,70 2,73 2,77 2,81 2,84 2,88 2,92 120 130 2,95 2,99 3,03 3,07 3,11 3,14 3,18 3,22 3,28 3,30 130 140 3,34 3,39 3,43 3,47 3,51 3,56 3,60 3,65 3,69 3,74 140 150 3,79 3,83 3,87 3,91 3,96 4,00 4,05 4,09 4,14 4,19 150 160 4,23 4,28 4,33 4,38 4,43 4,48 4,53 4,57 4,63 4,68 160 170 4,73 4,78 4,83 4,88 4,93 4,98 5,03 5,08 5,13 5,18 170 180 5,23 5,29 5,34 5,40 5,45 5,50 5,55 5,60 5,68 5,71 180 190 5,77 5,83 5,89 5,94 5,99 6,05 6,11 6,17 6,23 6,29 190 200 6,35 6,41 6,47 6,53 6,59 6,65 6,71 6,78 6,84 6,90 200 210 6,96 7,02 7,08 7,14 7,20 7,25 7,32 7,39 7,45 7,51 210 220 7,57 7,62 7,68 7,75 7,82 7,89 7,96 8,03 8,08 8,14 220 230 8,20 8,26 8,33 8,39 8,46 8,53 8,59 8,65 8,73 8,81 230 240 8,87 8,94 9,02 9,09 9,16 9,24 9,31 9,39 9,46 9,53 240 250 9,61 — — — — — — — — — 250

Tabella 3.8 Coefficienti ω per acciaio S 275 e sezione di tipo b

sollecitazioni composte a33

Mec

cani

ca, M

acch

ine

ed E

nerg

ia –

art

icol

azio

ne E

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ia 2

– G

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ppe

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S.p

.A.

λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 λ 0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 l,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0 10 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,01 10 20 1,02 1,02 1,03 1,03 1,04 1,05 1,05 1,06 1,07 1,07 20 30 1,08 1,09 1,09 1,10 1,11 1,12 1,12 1,13 1,14 1,15 30 40 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 40 50 1,26 1,27 1,28 1,29 1,31 1,32 1,33 1,35 1,36 1,37 50 60 1,39 1,40 1,42 1,43 1,45 1,46 1,48 1,50 1,51 1,53 60 70 1,55 1,57 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 70 80 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86 1,88 1,91 1,93 80 90 1,95 1,97 2,00 2,02 2,04 2,07 2,09 2,12 2,14 2,17 90 100 2,19 2,22 2,25 2,27 2,30 2,33 2,36 2,39 2,42 2,45 100 110 2,48 2,50 2,54 2,57 2,60 2,63 2,66 2,69 2,72 2,76 110 120 2,79 2,82 2,85 2,89 2,92 2,96 2,99 3,02 3,06 3,09 120 130 3,13 3,16 3,20 3,24 3,27 3,31 3,35 3,39 3,43 3,47 130 140 3,51 3,55 3,59 3,63 3,68 3,72 3,76 3,80 3,85 3,89 140 150 3,93 3,98 4,02 4,07 4,11 4,15 4,20 4,24 4,29 4,33 150 160 4,38 4,43 4,47 4,52 456 4,61 4,66 4,70 4,75 4,80 160 170 4,84 4,89 4,94 4,99 5,03 5,08 5,13 5,18 5,23 5,28 170 180 5,33 5,38 5,43 5,47 5,53 5,59 5,65 5,70 5,75 5,81 180 190 5,86 5,92 5,98 6,03 6,08 6,14 6,20 6,26 6,32 6,38 190 200 6,43 6,49 6,55 6,61 6,67 6,73 6,79 6,85 6,91 6,96 200 210 7,03 7,08 7,14 7,20 7,26 7,32 7,37 7,44 7,50 7,56 210 220 7,63 7,68 7,74 7,81 7,88 7,97 8,03 8,08 8,13 8,19 220 230 8,26 8,33 8,40 8,46 8,52 8,59 8,65 8,72 8,79 8,85 230 240 8,93 8,99 9,06 9,13 9,20 9,27 9,34 9,41 9,48 9,55 240 250 9,62 — — — — — — — — — 250

Tabella 3.9 Coefficienti ω per acciaio S 275 e sezione di tipo c

sollecitazioni composte a34

Mec

cani

ca, M

acch

ine

ed E

nerg

ia –

art

icol

azio

ne E

nerg

ia 2

– G

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Anz

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S.p

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λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 λ 0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0 10 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,01 10 20 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 20 30 1,12 1,13 1,14 1,15 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 30 40 1,24 1,25 1,26 1,27 1,29 1,30 1,31 1,33 1,34 1,35 40 50 1,37 1,38 1,40 1,41 1,43 1,44 1,46 1,48 1,49 1,61 50 60 1,53 1,54 1,56 1,58 1,60 1,61 1,63 1,65 1,67 1,69 60 70 1,71 1,73 1,75 1,77 1,79 1,81 1,83 1,85 1,87 1,89 70 80 1,91 1,93 1,95 1,97 1,99 2,01 2,04 2,05 2,09 2,11 80 90 2,13 2,16 2,19 2,20 2,23 2,25 2,28 2,30 2,33 2,35 90 100 2,39 2,40 2,43 2,45 2,48 2,51 2,53 2,55 2,59 2,62 100 110 2,64 2,67 2,70 2,73 2,76 2,79 2,82 2,85 2,88 2,91 110 120 2,94 2,97 3,00 3,03 3,06 3,10 3,13 3,16 3,19 3,23 120 130 3,26 3,30 3,33 3,36 3,40 3,43 3,47 3,49 3,54 3,58 130 140 3,61 3,65 3,69 3,72 3,76 3,80 3,84 3,88 3,92 3,96 140 150 4,00 4,04 4,08 4,12 4,16 4,20 4,24 4,28 4,32 4,36 150 160 4,41 4,45 4,49 4,54 4,58 4,62 4,67 4,72 4,77 4,80 160 170 4,85 4,89 4,94 4,99 5,03 5,08 5,12 5,17 5.22 5,27 170 180 5,32 5,36 5,41 5,46 5,51 5,56 5,61 5,66 5,71 5,76 180 190 5,81 5,86 5,91 5,97 6,02 6,07 6,12 6,17 6,23 6,28 190 200 6,33 6,39 6,44 6,49 6,55 6,60 6,66 6,71 6,77 6,83 200 210 6,89 6,94 7,00 7,06 7,11 7,17 7,22 7,25 7,34 7,40 210 220 7,46 7,52 7,58 7,63 7,69 7,75 7,81 7,87 7,94 7,99 220 230 8,06 8,12 8,18 8,24 8,30 8,36 8,43 8,49 8,55 8,62 230 240 8,68 8,75 8,81 8,88 8,94 9,00 9,07 9,14 9,20 9,27 240 250 9,34 — — — — — — — — — 250

Tabella 3.10 Coefficienti ω per acciaio S 275 e sezione di tipo d

sollecitazioni composte a35

Mec

cani

ca, M

acch

ine

ed E

nerg

ia –

art

icol

azio

ne E

nerg

ia 2

– G

iuse

ppe

Anz

alon

e, P

aolo

Bas

sign

ana,

Giu

sepp

e B

rafa

Mus

icor

o •

Cop

yrig

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Ulri

co H

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i Edi

tore

S.p

.A.

λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 λ 0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0 10 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,01 1,01 10 20 1,01 1,02 1,02 1,02 1,03 1,03 1,03 1,04 1,04 1,04 20 30 1,05 1,05 1,06 1,06 1,00 1,07 1,07 1,08 1,08 1,09 30 40 1,10 1,10 1,11 1,11 1,12 1,13 1,13 1,14 1,15 1,15 40 50 1,16 1,17 1,18 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 50 60 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,31 1,32 1,33 1,35 1,36 60 70 1,38 1,39 1,41 1,43 1,45 1,47 1,48 1,50 1,53 1,55 70 80 1,57 1,59 1,61 1,64 1,66 1,69 1,71 1,74 1,77 1,79 80 90 1,82 1,85 1,88 1,91 1,94 1,97 2,00 2,03 2,06 2,10 90 100 2,13 2,16 2,19 2,23 2,26 2,30 2,33 2,37 2,41 2,44 100 110 2,48 2,52 2,56 2,60 2,63 2,67 2,71 2,75 2,79 2,83 110 120 2,88 2,92 2,96 3,00 3,05 3,09 3,13 3,18 3,22 3,27 120 130 3,31 3,36 3,40 3,45 3,49 3,54 3,59 3,63 3,68 3,73 130 140 3,78 3,83 3,88 3,93 3,98 4,03 4,09 4,14 4,19 4,24 140 150 4,30 4,35 4,40 4,46 4,51 4,57 4,63 4,68 4,74 4,80 150 160 4,86 4,91 4,96 5,02 5,07 5,13 5,19 5,25 5,31 5,37 160 170 5,43 5,49 5,56 5,62 5,68 5,74 5,80 5,86 5,93 5,99 170 180 6,05 6,12 6,19 6,25 6,32 6,39 6,45 6,52 6,59 6,66 180 190 6,72 6,78 6,85 6,92 7,00 7,07 7,14 7,21 7,28 7,36 190 200 7,43 7,50 7,57 7,65 7,72 7,79 7,87 7,95 8,03 8,10 200 210 8,15 8,26 8,33 8,41 8,48 8,56 8,64 8,72 8,79 8,87 210 220 8,95 9,02 9,10 9,18 9,26 9,33 9,42 9,49 9,57 9,65 220 230 9,73 9,81 9,90 9,99 10,08 10,17 10,25 10,33 10,42 10,50 230 240 10,60 10,67 10,76 10,85 10,94 11,03 11,11 11,21 11,30 11,40 240 250 11,49 — — — — — — — — — 250

Tabella 3.11 Coefficienti ω per acciaio S 355 e sezione di tipo a

sollecitazioni composte a36

Mec

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λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 λ 0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0 10 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,01 1,01 1,02 10 20 1,02 1,03 1,03 1,04 1,04 1,05 1,05 1,06 1,07 1,07 20 30 1,08 1,08 1,09 1,10 1,10 1,11 1,12 1,12 1,13 1,14 30 40 1,15 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 40 50 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,30 1,31 1,32 1,34 1,35 50 60 1,37 1,38 1,40 1,41 1,43 1,45 1,46 1,48 1,50 1,52 60 70 1,54 1,56 1,58 1,61 1,63 1,65 1,67 1,70 1,72 1,75 70 80 1,77 1,80 1,82 1,85 1,87 1,90 1,93 1,96 1,99 2,02 80 90 2,05 2,08 2,11 2,14 2,17 2,21 2,24 2,28 2,31 2,34 90 100 2,38 2,42 2,45 2,49 2,53 2,56 2,60 2,64 2,68 2,72 100 110 2,76 2,80 2,84 2,88 2,93 2,97 3,01 3,05 3,10 3,14 110 120 3,19 3,23 3,28 3,32 3,37 3,42 3,46 3,51 3,56 3,62 120 130 3,67 3,72 3,77 3,83 3,87 3,92 3,97 4,02 4,07 4,12 130 140 4,17 4,23 4,28 4,34 4,39 4,45 4,50 4,56 4,62 4,67 140 150 4,73 4,79 4,84 4,90 4,96 5,01 5,07 5,13 5,19 5,25 150 160 5,31 5,37 5,43 5,49 5,55 5,61 5,67 5,73 5,80 5,87 160 170 5,93 5,99 6,05 6,12 6,19 6,26 6,33 6,40 6,46 6,53 170 180 6,60 6,67 6,74 6,81 6,88 6,94 7,01 7,08 7,15 7,21 180 190 7,29 7,36 7,43 7,50 7,57 7,63 7,69 7,77 7,85 7,93 190 200 8,01 8,08 8,14 8,21 8,26 8,36 8,43 8,51 8,58 8,66 200 210 8,74 8,82 8,90 8,98 9,06 9,15 9,23 9,31 9,40 9,48 210 220 9,57 9,65 9,74 9,83 9,92 10,00 10,09 10,18 10,27 10,36 220 230 10,45 10,54 10,63 10,73 10,83 10,92 11,02 11,11 11,20 11,30 230 240 11,40 11,49 11,58 11,69 11,78 11,88 11,99 12,09 12,20 12,30 240 250 12,40 — — — — — — — — — 250

Tabella 3.12 Coefficienti ω per acciaio S 355 e sezione di tipo b

sollecitazioni composte a37

Mec

cani

ca, M

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ine

ed E

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S.p

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λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 λ 0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0 10 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,01 1,01 1,02 1,03 10 20 1,03 1,04 1,05 1,05 1,06 1,07 1,08 1,08 1,09 1,10 20 30 1,11 1,12 1,13 1,13 1,14 1,15 1,16 1,18 1,19 1,20 30 40 1,21 1,22 1,23 1,24 1,26 1,27 1,28 1,30 1,31 1,33 40 50 1,34 1,36 1,37 1,39 1,41 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 50 60 1,51 1,53 1,55 1,57 1,59 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 60 70 1,72 1,75 1,77 1,79 1,82 1,84 1,87 1,89 1,92 1,94 70 80 1,97 1,99 2,02 2,05 2,07 2,10 2,13 2,16 2,19 2,22 80 90 2,25 2,28 2,31 2,34 2,38 2,41 2,44 2,47 2,51 2,54 90 100 2,58 2,61 2,65 2,68 2,72 2,76 2,79 2,83 2,87 2,91 100 110 2,95 2,98 3,02 3,06 3,10 3,14 3,18 3,22 3,27 3,31 110 120 3,35 3,40 3,44 3,49 3,53 3,58 3,63 3,68 3,72 3,77 120 130 3,82 3,87 3,92 3,97 4,02 4,07 4,12 4,17 4,22 4,27 130 140 4,32 4,38 4,43 4,48 4,53 4,58 4,64 4,69 4,74 4,79 140 150 4,85 4,90 4,95 5,01 5,06 5,12 5,17 5,23 5,29 535 150 160 5,40 5,45 5,51 5,58 5,64 5,71 5,77 5,83 5,89 5,96 160 170 6,02 6,08 6,14 6,21 6,27 6,34 6,41 6,47 6,54 6,61 170 180 6,67 6,74 6,81 6,88 6,94 7,01 7,08 7,15 7,21 7,28 180 190 7,34 7,41 7,48 7,55 7,63 7,69 7,76 7,83 7,93 8,01 190 200 8,07 8,13 8,20 8,27 8,35 8,43 8,50 8,57 8,64 8,72 200 210 8,80 8,87 8,95 9,03 9,11 9,19 9,27 9,35 9,43 9,50 210 220 9,58 9,67 9,75 9,83 9,92 10,00 10,09 10,17 10,27 10,36 220 230 10,45 10,54 10,63 10,73 10,83 10,92 11,02 11,11 11,20 11,30 230 240 11,40 11,49 11,58 11,69 11,78 11,88 11,99 12,09 12,20 12,30 240 250 12,40 — — — — — — — — — 250

Tabella 3.13 Coefficienti ω per acciaio S 355 e sezione di tipo c

sollecitazioni composte a38

Mec

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ca, M

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S.p

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λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 λ 0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0 10 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,01 1,02 1,03 10 20 1,04 1,05 1,06 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,15 20 30 1,16 1,17 1,18 1,20 1,21 1,22 1,24 1,25 1,26 1,28 30 40 1,29 1,31 1,32 1,34 1,35 1,37 1,39 1,40 1,42 1,44 40 50 1,45 1,47 1,49 1,51 l,53 1,55 1,56 1,58 1,60 1,62 50 60 1,64 1,67 1,69 1,71 1,73 1,75 1,77 1,79 1,82 1,84 60 70 1,86 1,89 1,91 1,93 1,96 1,98 2,00 2,03 2,06 2,09 70 80 2,11 2,13 2,16 2,19 2,21 2,24 2,27 2,29 2,32 2,35 80 90 2,38 2,41 2,44 2,46 2,49 2,52 2,55 2,58 2,61 2,65 90 100 2,68 2,71 2,74 2,77 2,81 2,84 2,87 2,91 2,94 2,97 100 110 3,01 3,04 3,08 3,12 3,15 3,19 3,22 3,26 3,30 3,34 110 120 3,38 3,42 3,46 3,49 3,53 3,57 3,62 3,66 3,70 3,74 120 130 3,78 3,82 3,87 3,91 3,95 4,00 4,04 4,09 4,13 4,18 130 140 4,22 4,27 4,31 4,36 4,41 4,45 4,50 4,55 4,60 4,65 140 150 4,70 4,77 4,80 4,85 4,90 4,95 5,00 5,05 5,11 5,16 150 160 5,21 5,27 5,32 5,37 5,43 5,48 5,53 5,59 5,65 5,70 160 170 5,76 5,82 5,87 5,93 5,99 6,04 6,10 6,16 6,22 6,28 170 180 6,34 6,40 6,46 6,52 6,58 6,64 6,70 6,76 6,82 6,89 180 190 6,95 7,01 7,08 7,14 7,20 7,27 7,33 7,39 7,46 7,53 190 200 7,59 7,66 7,72 7,79 7,86 7,93 7,99 8,06 8,13 8,20 200 210 8,27 8,33 8,40 8,47 8,54 8,62 8,69 8,76 8,83 8,90 210 220 8,97 9,05 9,12 9,19 9,27 9,34 9,42 9,50 9,57 9,65 220 230 9,74 9,81 9,89 9,97 10,05 10,13 10,22 10,30 10,39 10,48 230 240 10,56 10,65 10,73 10,83 — — — — — — 240 250 — — — — — — — — — — 250

Tabella 3.14 Coefficienti ω per acciaio S 355 e sezione di tipo d

sollecitazioni composte a39

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l’Unità didattica in breve a3

tensioni interne dovute a sollecitazioni composte

Gli organi di macchine o gli elementi di una struttura, di solito, sono soggetti all’azione contemporanea di due o più caratteristiche di solle­citazione.

Quando agiscono sollecitazioni che determinano tensioni dello stesso tipo, σ o τ, si chiama in causa il principio di sovrapposizione degli effetti.

Se nella sezione agiscono la forza assiale N–

e il momento flettente M–

f, che danno origine a due tensioni normali σ, entrambe perpendicolari al piano della sezione e aventi direzioni parallele, la tensione risultante è data dalla somma algebrica delle intensità delle singole tensioni. Se invece nella sezione agiscono la forza di taglio T

– e il momento torcente

M–

t, che generano due tensioni tangenziali τ, entrambe agenti nel piano della sezione, ma di norma non parallele, la tensione risultante è ottenu­ta dalla composizione vettoriale delle singole tensioni; se le due tensioni tangenziali hanno la stessa direzione, la tensione risultante è ricavata mediante somma algebrica.

Per tali casi di sollecitazioni composte, la verifica di resistenza consiste, come per le sollecitazioni semplici, nell’accertare che il va­lore della tensione risultante massima non superi quello della tensione ammissibile statica.

Altre combinazioni delle caratteristiche di sollecitazione danno ori­gine, in ogni punto di una sezione retta, a una tensione normale σ e a una tensione tangenziale τ; insieme, le due tensioni costituiscono uno stato biassiale o bidimensionale di tensione. In tale condi­zione, per determinare la tensione risultante, si ricorre a una tensione monoassiale equivalente, o tensione ideale σid. Quando si ha l’azione contemporanea di tre o più sollecitazioni, si raggruppano quelle che ge­nerano tensioni σ e quelle che generano tensioni τ, quindi si procede alla determinazione della tensione ideale.

Determinati i valori massimi delle tensioni interne σ e τ, si calcola la tensione ideale, quindi si impone che essa non superi la tensione ammissibile σams del materiale considerato, in modo da assicurare la resistenza del corpo in esame. Nel caso di corpi soggetti a sollecitazioni variabili nel tempo, la tensione ammissibile di confronto è quella a fa tica σamf.

Forza assiale e momento flettente

In questo tipo di sollecitazione, il sistema di forze esterne, ridotto al baricentro della sezione trasversale, è costituito da una forza di com­pressione N

– e da un momento flettente Mf.

Dato che le tensioni indotte da N– e Mf sono entrambe normali alla

sezione σ, per il principio di sovrapposizione degli effetti, la tensione ri­sultante è ottenuta dalla loro somma algebrica.

sollecitazioni composte a310

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Fissato un valore della tensione ammissibile σams del materiale, per la verifica della resistenza del corpo in esame, occorre imporre la condi­zione che la tensione massima non superi la tensione ammissibile. Se il materiale ha un diverso comportamento a trazione e a compressione e i valori delle tensioni interne dovute alla flessione superano quelli dovuti alla compressione, occorre eseguire una doppia verifica; una nella zona compressa e una nella zona tesa.

Forza assiale e momento torcente

Questo tipo di sollecitazione composta si verifica negli alberi di trasmis­sione, ai quali sono applicate due coppie di uguale intensità e verso op­posto, su due piani ortogonali all’asse geometrico dell’albero, e una spin­ta assiale di trazione o compressione. Un esempio tipico è il caso degli alberi propulsori delle eliche delle navi.

Una qualsiasi sezione circolare trasversale dell’albero presenta una distribuzione uniforme delle tensioni σ, dovute alla forza assiale, e una distribuzione delle tensioni τ, dovute al momento torcente, va­riabile lungo il diametro della sezione, assumendo valori massimi sul contorno.

Poiché le due tensioni sono diverse, costituiscono un sistema di ten­sioni biassiale, riducibile a un sistema monoassiale equivalente, carat­terizzato dalla tensione ideale σid di tipo normale. Ai fini della verifica del la resistenza dell’albero, nei punti più sollecitati della sezione, il valo­re della tensione ideale non deve superare quello della tensione ammis­sibile del materiale.

Forza di taglio e momento torcente

La contemporanea azione della forza di taglio e del momento tor-cente è presente in pochi organi meccanici, fra i quali si annoverano le molle di torsione, a cui appartengono le barre di torsione, e le molle a elica cilindrica o conica, a sezione circolare o rettangolare.

La verifica di resistenza è soddisfatta se il valore massimo della ri­sultante delle tensioni tangenziali, generate dal taglio e dal momento torcente, è inferiore al valore della tensione tangenziale ammissibile del materiale.

Forza di taglio e momento flettente

Questo caso riguarda le travi rettilinee, sottoposte a forze dirette per­pendicolarmente al loro asse geometrico.

Le caratteristiche di sollecitazione Mf e T variano lungo la trave in modo diverso; il momento flettente è massimo nelle sezioni dove il taglio si annulla o cambia segno.

Anche le tensioni σ e τ nella generica sezione sono differenti: le ten­sioni τ, dovute al taglio, sono nulle al bordo della sezione e assumono il

sollecitazioni composte a311

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valore massimo in corrispondenza dell’asse neutro; le tensioni σ, dovute al momento flettente, assumono invece il valore massimo nei punti dove si annullano le tensioni τ.

Per tali motivi, non è sempre facile individuare i punti maggiormen­te sollecitati della trave. Tuttavia il dimensionamento di una trave sot­toposta a flessione e taglio si semplifica notevolmente, supponendo che la trave sia soggetta solo al momento flettente, poiché di solito l’effetto del taglio è trascurabile in qualunque punto.

Calcolato il massimo momento flettente, si determina la corrispon­dente tensione normale e, mediante l’equazione di stabilità della solle­citazione a flessione, si ricavano le dimensioni della sezione in esame o si verifica la resistenza della trave. In seguito, in alcune sezioni che possono risentire di più intense tensioni tangenziali, si verifica che la tensione τmax non sia maggiore della tensione ammissibile τams.

momento flettente e momento torcente

Questa combinazione di sollecitazioni si manifesta comunemente negli alberi di trasmissione delle macchine. Il momento torcente è costituito dal momento che un motore trasmette a una macchina operatrice – per esempio, un motore a combustione interna accoppiato, mediante l’albe­ro, a un generatore elettrico – oppure il momento che un organo mecca­nico (ruo te dentate, pulegge e così via), calettato su un albero motore, trasmette a un altro organo, calettato sull’albero condotto.

Il peso proprio dell’albero e degli organi meccanici su di esso montati, le forze trasmesse dai rami della cinghia che avvolge una puleggia e la spinta fra i denti di un ingranaggio danno origine alle sollecitazioni di flessione e di taglio; tuttavia gli effetti del taglio sono spesso trascurabi­li, salvo procedere in seguito a un’opportuna verifica.

Poiché le due tensioni dovute al momento flettente e al momento tor­cente sono diverse, si adotta la tensione ideale; la condizione di resisten­za a flesso­torsione si riduce dunque al confronto fra la tensione ideale e la tensione ammissibile. Nel caso di flesso-torsione, l’albero soggetto a flessione, ruotando intorno al proprio asse, inverte periodicamente la po­sizione delle fibre tese e di quelle compresse; le fibre, pertanto, sono sot­toposte alternativamente a trazione e a compressione, ogni mezzo giro dell’albero. La sollecitazione è dunque variabile nel tempo e ha carattere alternato simmetrico, dando origine al fenomeno della fatica. Pertanto è necessario, nella verifica di resistenza, fare riferimento alla tensione ammissibile a fatica σamf, avente valore minore rispetto alla tensione ammissibile statica σams.

instabilità elastica a carico di punta

Quando un corpo è molto lungo rispetto alla sua sezione trasversale, sot­toponendolo a sollecitazione di compressione, anche con una forza N

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plicata nel baricentro della sezione, esso tende a inflettersi lateralmen­te, ossia, si manifesta una sollecitazione composta di presso-flessione.

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Tale situazione, com’è stato accertato sperimentalmente, avviene quan­do la lunghezza del corpo è circa dieci volte maggiore della dimensione minima della sezione trasversale; i corpi che presentano tale caratte­ristica sono definiti travi snelle e la sollecitazione è detta carico di punta.

Considerando per esempio una trave rettilinea, sottoposta alla forza di compressione N

– perfettamente centrata, se per una qualsiasi causa

es ter na la trave s’inflette lateralmente, la forza N–

non agisce più in modo perfettamente assiale; si genera quindi un momento flettente esterno Me, che tende a incurvare maggiormente la trave. Per effetto dell’inflessione, all’interno della trave si sviluppano reazioni elastiche, ossia tensioni in­terne, capaci di generare un momento flettente interno Mi, che tende a ri portare la trave alla configurazione rettilinea. Se risulta Me > Mi, l’equilibrio è instabile e l’inflessione della trave aumenta ulteriormente, con con seguente collasso della stessa; se Me < Mi, l’equilibrio è stabile e la trave riprende la configurazione iniziale.

Esiste un valore della forza di compressione, detto carico critico Ncr, per il quale Me = Mi. In questo caso la configurazione della trave, curva o rettilinea, corrisponde a uno stato di equilibrio indifferente che, per le inevitabili imperfezioni della trave o dell’applicazione assiale del­la forza, non è detto che permanga, anzi, preannuncia il definitivo cedi­mento.

Il dimensionamento delle travi caricate di punta può essere effet­tuato mediante formule empiriche, come quelle di Eulero e Rankine, o pro cedimenti di calcolo basati sull’utilizzo di tabelle, come il metodo omega.

Secondo Eulero, l’espressione del carico critico, corrispondente alla condizione di equilibrio indifferente, è funzione del modulo di elasticità longitudinale del materiale che costituisce la trave, del momento qua­dratico minimo della sezione trasversale della trave, rispetto all’asse neutro di flessione, e della lunghezza libera di inflessione, che tiene conto dell’influenza dei vincoli.

La lunghezza libera di inflessione è la distanza fra due punti di flesso successivi della deformata flessionale (di tipo sinusoidale) della tra ve, ossia della linea che rappresenta l’asse deformato della trave. Es­sa dipende dalle condizioni di vincolo e dalla lunghezza della trave.

Passando dalle forze alle tensioni, si definisce tensione critica eu-le riana il rapporto fra il carico critico Ncr e l’area della sezione retta della trave. Tale relazione è funzione unicamente della snellezza λ della trave e del modulo di elasticità longitudinale E. La legge di variazione della tensione critica in funzione di λ è rappresentata con un’iperbole cubica, detta iperbole di Eulero.

La snellezza λ della trave è il rapporto fra la lunghezza libera d’in­flessione e il raggio d’inerzia ρ.

La formula di Eulero del carico critico ha validità fin quando la ten­sione critica si mantiene entro il limite di proporzionalità del materiale; per cui esiste un valore della snellezza λp che individua il limite oltre il quale si può applicare la formula di Eulero.

Quando la snellezza ha un valore inferiore a λp, decade la validità della formula di Eulero. Per il campo compreso fra 0 < λ < λp sono sta­te proposte diverse formule dedotte in via sperimentale, rappresentabili

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gra ficamente con linee o curve, che si collegano all’iperbole di Eulero nel punto corrispondente alla snellezza limite λp; fra queste si annoverano i raccordi di Tetmajer e di Johnsson.

Stabilito l’andamento delle tensioni critiche per le diverse snellezze e fissato un coefficiente di sicurezza g, si può determinare il valore della tensione ammissibile a carico di punta σamp, dato dal rapporto fra la tensione critica σcr e il coefficiente g; ne consegue che, per la verifica di stabilità, la tensione massima dovuta alla compressione dev’essere inferiore rispetto alla tensione ammissibile a carico di punta.

I calcoli di verifica e di progetto dei corpi caricati di punta, aventi una snellezza λ minore di quella limite λp, possono essere effettuati me­diante la formula di Rankine, il cui campo di validità è esteso a tutti i valori della snellezza λ.

La verifica di stabilità di corpi di qualsiasi lunghezza, secondo Ran­kine, si esegue sempre confrontando la tensione massima dovuta alla compressione con la tensione ammissibile a carico di punta che, in que­sto caso, è funzione della tensione ammissibile statica, dell’area della sezione del corpo caricato di punta, della snellezza del corpo e di un coef­ficiente adimensionale sperimentale, dipendente dal materiale.

Il metodo omega, applicabile per qualsiasi valore della snellezza e diffusamente impiegato nelle costruzioni metalliche, semplifica molto i calcoli di verifica delle strutture snelle caricate di punta. Tale metodo consiste nell’applicare l’equazione di stabilità a compressione sempli­ce, adottando un carico di sicurezza σω ridotto, funzione della tensione am missibile a compressione semplice e di un coefficiente numerico ω maggiore di 1, fissato in funzione della snellezza λ e del tipo di sezione.

I valori del coefficiente ω sono determinati mediante diagrammi o tabelle.

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problemi di riepiloGo a3

1. Calcolare il massimo carico eccentrico di compressione F, compatibile con la resistenza di una trave a sezione quadrata, di lato l = 40 mm, sapendo che l’eccentricità vale e = 12 mm e la tensione ammissibile è σams = 90 N/mm2. Determinare, inoltre, il valore del carico di compressione che la trave può sopportare in sicurezza, se questo è applicato con eccentricità nulla.

2. L’albero porta­elica di un motoscafo, di diametro d = 65 mm, trasmette una potenza P = 66 kW, alla frequenza di rotazione n = 3000 giri/min, fornendo al motoscafo una spinta propulsiva F = 6000 daN. Verificare la resistenza dell’albero, tenendo conto che è sollecitato a fatica alternata e che il materiale utilizzato è l’acciaio S 355.

3. Eseguire la verifica di resistenza di una sezione circolare di diametro d = 25 mm, soggetta alla sollecitazione composta di taglio e torsione, sapendo che la forza di taglio è T = 1100 daN, il momento torcente è Mt = 98 000 N mm e il materiale impiegato è l’acciaio S 355.

4. Una trave a sezione rettangolare appoggiata alle estremità, di lunghez­za l = 1200 mm e spessore s = 20 mm, è soggetta a un carico complessivo Q = 600 daN. Considerando che la tensione ammissibile del materiale è σams = 140 N/mm2, determinare il valore della larghezza della trave necessaria per resistere in sicurezza.

5. Una trave di lunghezza l = 3 m, appoggiata alle estremità, è costituita da un profilato IPE in acciaio S 275 ed è soggetta a due carichi concentrati F1 = 400 daN e F2 = 500 daN. Considerando che la forza F1 è applica­ta alla distanza a = 1,2 m, dall’appoggio di sinistra, e che la forza F2 è applicata alla stessa distanza dall’appoggio di destra, determinare le dimensioni del profilato ed eseguire la verifica a taglio della trave.

6. Su un albero cilindrico di lunghezza l = 850 mm e diametro d = 50 mm, è calettata, alla distanza l0 = 130 mm dal supporto di destra, una puleggia di diametro D = 500 mm e massa m = 60 kg. Sapendo che i valori delle forze nei rami della cinghia sono F1 = 7800 N e F2 = 1900 N, adottando l’acciaio S 235, eseguire la verifica di resistenza a flesso­torsione della trave.

7. Eseguire il dimensionamento di un’asta a sezione circolare sollecitata a carico di punta, di lunghezza l = 2 m, incernierata alle estremità e sot­toposta al carico assiale di compressione F = 19 000 daN, supponendo di adottare l’acciaio S 355.

8. Si consideri una trave di lunghezza l = 3 m, incastrata a un estremo e sollecitata all’estremo libero da una forza verticale F = 6000 N. Dimen­sionare la trave a flessione ed eseguire la verifica a taglio. Si ipotizzi una sezione circolare e si assuma la tensione ammissibile σams = 140 N/mm2.

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9. Determinare il carico critico di una trave snella in acciaio S 275, incastra­ta a un estremo e libera all’altro, ipotizzando una lunghezza l = 1,5 m e che abbia la forma di un profilato HE 120 A.

10. Verificare la stabilità a carico di punta di una trave a sezione quadrata di lato a = 30 mm e lunghezza l = 1,5 m, incastrata a un estremo e in­cernierata all’altro estremo, ipotizzando che sia sollecitata da una forza di compressione F = 2000 daN e che il materiale utilizzato sia l’acciaio S 275.

11. Un albero a sezione circolare piena trasmette una potenza P = 32 kW, alla frequenza di rotazione di 350 giri/min. Dimensionare l’albero tra­scurando il suo peso, considerando come materiale un acciaio con σamf = 70 N/mm2 e un momento flettente Mf = 560 Nm, dovuto a una puleggia calettata in mezzaria.

12. Dimensionare una trave snella, a sezione circolare cava, con diametro interno di uguale all’80% del diametro esterno de, soggetta a una forza assiale di compressione F = 12 000 daN.

Si ipotizzi che la trave, in acciaio S 275, abbia una lunghezza l = 1,2 m e che sia incastrata a entrambi gli estremi.