T E S I S - U. Académicafisica.uaz.edu.mx/~jcmover/tesis/Arely-tesis-MCF.pdf · Dr. Juan Carlos...

Universidad Autonoma de Zacatecas

“Francisco Garcıa Salinas”

Unidad Academica de Fısica

Propiedades opticas lineales y no lineales en pozos δ-dopados dobles

asimetricos tipo n en GaAs

T E S I SQue para obtener el grado de

Maestro en Ciencias Fısicas

Presenta

Fis. Karla Arely Rodrıguez Magdaleno

Director de Tesis

Dr. Juan Carlos Martınez Orozco

en codireccion del

Dr. Isaac Rodrıguez Vargas

Zacatecas, Zac. Octubre 2013

iii

A mis padres

Jose Antonio y Ma. Domitila

v

Agradecimientos

Me gustarıa expresar mis mas sinceros agradecimientos a la Unidad Academica de Fısica de

la Universidad Autonoma de Zacatecas por haberme permitido llevar a cabo mis estudios en su

Programa de Maestrıa en Ciencias Fısicas. Agradezco a mi asesor, el Dr. Juan Carlos Martınez

Orozco y mi coasesor, el Dr. Isaac Rodrıguez Vargas por todo su apoyo, esfuerzo y dedicacion,

brindados durante la realizacion de esta tesis. De igual forma, agradezco al Dr. Jose de Jesus

Araiza Ibarra por su participacion y seguimiento en mi comite tutoral. A los Dres. Julio Cesar

Lopez Domınguez y Rolando Perez Alvarez, tambien les doy las gracias por su participacion

como sinodales y por todo lo aportado a mi trabajo.

Agradezco tambien a la Escuela de Ingenierıa de Antioquia (EIA) y a la Universidad de

Antioquia (UdeA), en particular al Dr. Carlos Alberto Duque Echeverri, coordinador del grupo

de Materia Condensada del Instituto de Fısica, por su hospitalidad y facilidades para la reali-

zacion de mi estancia de investigacion, donde se llevaron a cabo gran parte de los calculos de

este trabajo de tesis.

Agradezco el apoyo economico otorgado por el COZCyT-FOMIX a traves del proyecto “Con-

solidacion Academica de la Maestrıa en Ciencias Fısicas UAF-UAZ”, ası como tambien al

Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa (CONACYT) y al Departamento Administrativo de

Ciencia, Tecnologıa e Innovacion de Colombia (COLCIENCIAS), por su apoyo brindado me-

diante sus programas de becas para estudio de posgrado y del proyecto de Colaboracion Bilateral

2012-2013 titulado: “Estudio de propiedades opticas, electronicas y de transporte en sistemas

de baja dimension basados en carbono y semiconductores III-V: efectos de campos externos,

temperatura y presion hidrostatica”.

Agradezco infinitamente a mis padres: Jose Antonio y Ma. Domitila, a mis hermanos: Karina,

vi

Rosalıa y Jose Antonio, a mi segunda familia: Roberto, Rosa Elvia, Miriam y Edith, por su apoyo

y por estar en todo momento a mi lado.

Sin lugar a duda, una de las cosas adquiridas y que hicieron mas amena mi formacion en la

Maestrıa, fueron mis companeros y amigos, Jose Guadalupe Rojas Briseno, Rogelio Rodrıguez

Gonzalez y Enrique Arturo Carrillo Delgado, a cada uno les reitero mi agradecimiento por todo

el tiempo compartido durante y fuera de los cursos. Tambien agradezco a mis profesores y

amigos, al Dr. Alejandro Puga Candelas y al Dr. Jaime Raul Suarez Lopez.

A Priscilla Castillo Velazquez, Claudia Carlos Pinedo, David Chong Alba y Salome Gu-

tierrez Ramos, les agradezco cada una de las alegrıas, tristezas, triunfos y fracasos que hemos

compartido.

A todos... ¡Gracias!

vii

Resumen

En el presente trabajo de tesis de Maestrıa en Ciencias Fısicas (MCF), se realiza el estudio

de las propiedades electronicas de sistemas δ-dopados dobles tipo n en una matriz de GaAs,

ası como tambien el estudio de algunas propiedades opticas del sistema, en particular del coe-

ficiente de absorcion optica y del cambio relativo del ındice de refraccion relacionados con la

transicion fundamental E10. Se propone el potencial del sistema de pozos δ-dopados dobles ti-

po n como la suma analıtica del potencial de dos pozos δ-dopados simples. La validez de este

modelo se verifico cuando la separacion entre los pozos es considerable, de manera tal que se

reprodujera la estructura electronica correspondiente a los pozos δ-dopados simples, ademas de

comparar nuestros resultados con un calculo autoconsistente reportado en la literatura, encon-

trando excelente acuerdo en el valor de la transicion fundamental. En este estudio se considera

siempre una separacion entre los pozos mayor al radio de Bohr (10 nm) de las impurezas en el

material. Una vez que se tiene el modelo de potencial se trabaja en la aproximacion de masa

efectiva a una banda.

El metodo usado en este trabajo para calcular la estructura electronica esta basado en expan-

dir la solucion del Hamiltoniano del sistema en terminos de las soluciones de un pozo cuantico

de potencial rectangular infinito, de ancho L∞. Una vez obtenida la estructura electronica del

sistema, se calculo, a traves de expresiones bien establecidas en la literatura, el coeficiente de

absorcion optica ası como el cambio relativo del ındice refraccion del sistema, considerando

correcciones de tercer orden en ambas propiedades fısicas, las cuales son debidas, fundamental-

mente, a efectos de laser intenso y donde la asimetrıa del sistema juega un rol importante. En

este estudio se investigo, manteniendo fijos los valores de la densidad de impurezas de las capas

δ-dopadas de impurezas en 5.0 y 4.0 en unidades de ×1012 cm−2, la estructura electronica del

sistema y el comportamiento de los elementos de matriz como funcion de la separacion entre los

viii

pozos (ℓp) en el rango de 10 a 20 nm. Esto con el fin de encontrar el maximo del elemento de

matriz |M10|2, que determina el maximo del coeficiente de absorcion y la magnitud del cambio

relativo del ındice de refraccion, estudiando entonces, el efecto de la asimetrıa del sistema al

calcular dichas propiedades opticas para un par de distancias especıficas para la separacion entre

los pozos (12, 18 nm).

Fijando pues la densidad de impurezas de la capa δ-dopada de la izquierda enNL2d = 5,0×1012

cm−2, y la separacion entre los pozos en ℓp = 12 nm, se vario la densidad de impurezas de la

capa δ-dopada de la derecha NR2d en un rango de 0 a 7.5 ×1012 cm−2 reportando la estructura

electronica, determinando la region en la que se maximiza el valor de |M10|2, que corresponde al

caso completamente simetrico, estudiando luego el efecto de la correccion de tercer orden en las

propiedades opticas de interes al calcular dichas propiedades para una densidad de impurezas

bidimensional del segundo pozo de NR2d=3.5, 4.5, 5.5 y 6.5 ×1012 cm−2, encontrando corrimientos

en los picos del coeficiente de absorcion y en el nodo del cambio relativo del ındice de refraccion,

ademas de que las correcciones de tercer orden son mas importantes en el caso mas simetrico.

Finalmente, fijando la separacion entre los pozos (ℓp=12 nm) y las concentraciones de impu-

rezas de las capas δ-dopadas en 5.0 y 4.0 en unidades de ×1012 cm−2, se hace el mismo analisis

como funcion de un campo electrico externo estacionario en el rango de -20 a 20 kV/cm, en

donde el maximo del elemento de matriz |M10|2 se da para un valor de 15 kV/cm, investigando

entonces el efecto de las correcciones de tercer orden, calculando tanto el coeficiente de absorcion

ası como el cambio relativo del ındice de refraccion alrededor de este maximo para determinar

la importancia de las correcciones.

Al variar los parametros antes mencionados, se pueden proponer valores para los cuales se

maximizan tanto el valor del coeficiente de absorcion, ası como el cambio relativo del ındice de

refraccion, ademas de determinar la importancia de las correcciones de tercer orden en ambas

ix

propiedades, encontrando que es posible el sintonizar la energıa de resonancia para el coeficiente

de absorcion y del nodo del cambio relativo del ındice de refraccion, los cuales estan en el rango

del infrarrojo lejano.

La estructura de la tesis es la siguiente: en el capıtulo 1 se da una breve introduccion a los

sistemas de estudio, donde se presentan algunas generalidades de los sistemas cuanticos semi-

conductores, pozos cuanticos simples, dobles y δ-dopados de impurezas, ası como la importancia

de estos y la motivacion para realizar este trabajo de tesis. En el capıtulo 2 se presenta el marco

teorico donde se describen las principales teorıas fısicas como lo son: la aproximacion de masa

efectiva y modelo hidrogenoideo, ası como una breve descripcion de la forma en que se calculan

las expresiones para las propiedades opticas de interes, posteriormente en los capıtulos 3 y 4 se

reportan los resultados de la estructura electronica y las propiedades opticas, respectivamente.

Finalmente, en el capıtulo 5 se presentan las conclusiones de este trabajo.

Indice general

Dedicatoria III

Agradecimientos V

Resumen VII

Indice X

1. Introduccion 1

1.1. Materiales Semiconductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Arseniuro de Galio (GaAs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Pozos cuanticos en materiales semiconductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Pozo rectangular finito e infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2. Pozo rectangular finito doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Pozos δ-dopados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1. Crecimiento de pozos δ-dopados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Marco teorico 25

xi

xii INDICE GENERAL

2.1. Aproximacion de masa efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Impurezas poco profundas y modelo hidrogenoideo . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3. Metodo de Xia y Fan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4. Propiedades opticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5. Propiedades opticas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.1. Coeficiente de absorcion y cambio relativo en el ındice de refraccion lineal

y no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Estructura electronica 37

3.1. Estructura electronica de pozos δ-dopados dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1. Como funcion de la separacion entre pozos ℓp . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.2. Como funcion de la concentracion de los pozos . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.3. Como funcion del campo electrico F aplicado . . . . . . . . . . . . . . . 46

4. Propiedades opticas lineales y no lineales 49

4.1. Coeficiente de absorcion e ındice de refraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.1. Como funcion de la separacion entre pozos . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.2. Como funcion de la la concentracion de los pozos . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.3. Como funcion del campo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5. Conclusiones 65

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Materiales Semiconductores

Los materiales semiconductores son, sin duda, una parte muy importante en la construccion

de dispostivos electronicos y optoelectronicos. La razon principal que destaca la importancia de

los semiconductores es el hecho de que sus propiedades electricas y opticas pueden ser facilmente

modificadas impurificando las muestras. Los semiconductores mas utilizados en la industria

electronica son el Silicio (Si) y el Germanio (Ge), ası como sus heteroestructuras. Ademas de

estos semiconductores estan los semiconductores compuestos que por lo general se forman de

dos, tres o cuatro elementos diferentes y se conocen como binarios, ternarios y cuaternarios,

respectivamente.

Los semiconductores compuestos binarios mas importantes estan basados en los elementos de

las columnas III, V, II y VI de la tabla periodica. Por esta razon estos compuestos son llamados

III-V y II-VI, por ejemplo, el Arseniuro de Galio (GaAs), el Fosfuro de Indio (InP ), el Arseniuro

de Aluminio (AlAs), el Oxido de Zinc (ZnO), el Seleniuro de Cadmio (CdSe) y el Sulfuro de

Zinc (ZnS), entre otros. Los compuestos ternarios se pueden formar con tres elementos como la

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCCION

mezcla ternaria Arseniuro-Galio-Aluminio (AlxGa1−xAs), donde x representa la concentracion

de Aluminio que esta presente en el compuesto. Los compuestos cuaternarios se forman con

cuatro elementos, un ejemplo de este tipo de semiconductor es el InxGa1−xAsyP1−y, donde x y

y son las concentraciones de Indio y Arseniuro, respectivamente.

El clasificar a un material como semiconductor, se debe a la fısica que se encuentra presente

en los solidos. Todo solido cristalino tiene simetrıa traslacional, es decir, el solido se puede dividir

en un conjunto de celdas identicas (llamada celda unitaria) de manera que cuando el sistema

se traslada a una distancia igual a la longitud de la celda unitaria, llamada constante de red,

se mantiene invariante ante dicha traslacion. El potencial electrostatico que corresponde a los

atomos del solido tambien es periodico, lo que significa, que es traslacionalmente simetrico. El

hecho de que todos los solidos cristalinos tengan un potencial periodico es muy importante, ya

que se establece que para un sistema con un potencial traslacionalmente simetrico, los niveles de

energıa de los electrones se disponen en regiones continuas llamadas bandas, las cuales pueden

ser de conduccion o de valencia. Entre ellas existe un rango de energıa prohibida, llamada gap, en

la cual los estados permitidos no pueden existir. La banda que se encuentra superior a esta region

se llama “banda de conduccion”, que es en donde los electrones se pueden propagar y por lo tanto

llevar una corriente; la banda inferior es la “banda de valencia”, aqui los estados electronicos

existen pero no son libres. Tomando como referencia el llamado gap, un semiconductor se define

como aquel material que tiene un gap con un valor entre algunos y 4 eV. Otra manera de

clasificar a un semiconductor es en terminos de la resistividad, la cual se encuentra en el rango

de 10−2-109 Ω·cm [1].

El comportamiento de los electrones en un solido cristalino se encuentra dado por el Hamil-

toniano

1.1. MATERIALES SEMICONDUCTORES 3

H =∑i

p2i2mi

+∑j

P 2j

2Mj

+1

2

∑j′,j

′ZjZj′e

2

4πε0|Rj −Rj′ |−∑j,i

Zje2

4πε0|ri −Rj|+

1

2

∑i′,i

′ e2

4πε0|rj − rj′ |, (1.1)

donde los primeros dos terminos corresponden a las energıas cineticas de los electrones y de los

nucleos, respectivamente. Los demas terminos corresponden a las interacciones nucleo-nucleo,

electron-nucleo y electron-electron. ri representa la posicion del i-esimo electron y Rj la posicion

del j-esimo nucleo, Zj es el numero atomico de los nucleos, pi y Pj son los operadores de momento

para los electrones y los nucleos respectivamente, e es la carga del electron, ε0 es la constante

de permitividad electrica en el vacıo.∑ ′ significa que es unicamente sobre el par de ındices que

sean distintos.

El Hamiltoniano anterior se resuelve haciendo algunas consideraciones. La primer considera-

cion es separar los electrones en dos grupos: electrones de valencia y electrones que no participan

en los enlaces llamados del core. El primer grupo en su mayorıa esta localizado cerca del nucleo

y tiene llenos sus orbitales; estos electrones junto con el nucleo se les llama iones. Como resul-

tado de dicha aproximacion los ındices j y j′ ahora denotan los iones del core y los ındices i e

i′ a los electrones de valencia. La siguiente aproximacion que se hace es la conocida como de

Born-Oppenheimer o adiabatica. Dado que la masa de los iones es de tres a cinco ordenes de

magnitud mayor que la de los electrones, se supone que se mueven lentamente en el espacio y en

comparacion con la velocidad de los electrones, permanecen practicamente estacionarios, por lo

cual, el termino de la energıa cinetica de los iones se desprecia. Con la aproximacion de Born-

Oppenheimer el Hamiltoniano dado por la ecuacion 1.1 puede expresarse como la suma de tres

terminos

H = Hion(Rj) +He(ri,Rj0) +He−ion(ri, δRj), (1.2)


donde Hion(Rj) es el Hamiltoniano que describe el movimiento de los iones bajo la influencia

de los potenciales ionicos mas los potenciales electronicos adiabaticos. He(ri,Rj0) es el Hamil-

toniano para la interaccion electron-ion, donde los iones no se mueven, es decir estan en su

posicion de equilibrio Rj0 y He−ion(ri, δRj) describe el cambio de la energıa electronica como

resultado de los desplazamientos δRj de los iones con respecto a su posicion de equilibrio. He−ion

es conocido como la interaccion electron-fonon. En el caso del estudio de esta investigacion, lo

que interesa es el comportamiento de los electrones en el solido, por lo cual solo se tomara el

Hamiltoniano correspondiente a estos y que se encuentra descrito por la ecuacion

He =∑i

p2i2mi

+1

2

∑i′ ,i

′ e2

4πε0|rj − rj′ |−∑j,i

Zje2

4πε0|ri −Rj|. (1.3)

La ultima aproximacion que se hace es la conocida como aproximacion de campo medio, en

donde cada electron se mueve en un potencial promedio que incluye la interaccion con todos los

iones, ası como la interaccion electron-electron. Permitiendo expresar la funcion de onda como

un producto de ondas individuales de cada electron. Entonces, la ecuacion de Schrodinger a

traves de la cual se obtienen las propiedades electronicas se expresa como

H1eψn(r) =

(p2

2m+ V (r)

)ψn = Enψn(r). (1.4)

1.1.1. Arseniuro de Galio (GaAs)

Algunos de los semiconductores compuestos binarios mas importantes estan basados en los

elementos de las columnas III y V de la tabla periodica como ya se menciono en la Seccion 1.1.

El GaAs es uno de los semiconductores mas utilizados en la construccion de dispositivos, ya

que, es uno de los materiales mas estudiados y se conocen sus propiedades electronicas. Este

1.2. POZOS CUANTICOS EN MATERIALES SEMICONDUCTORES 5

Figura 1.1: a) Estructura Zinc Blenda perteneciente al GaAs. Los atomos verdes representan alAs y los rojos al Ga. b) Primera zona de Brillouin (octaedro-truncado) del GaAs.

material tiene una estructura cristalina zinc blenda (Figura 1.1 a)), la cual, consiste en dos

redes cubicas centradas en las caras (fcc), desplazada una de la otra a lo largo de la diagonal

una distancia de un cuarto de la constante de red (a/4), siendo a la constante de red. La red

recıproca es una red centrada en el cuerpo (bcc) y su primera zona de Brillouin es un octaedro

truncado como el que se muestra en la figura figura 1.1 b).

La energıa de ancho de banda prohibida (gap) del GaAs es Eg=1.424 eV, la masa efectiva de

los electrones m∗e=0.067m0, la masa de los huecos ligeros m∗

lh=0.087m0, la masa de los huecos

pesados m∗hh=0.52m0, la masa banda split-off mso = 0.15mo (siendo m0 la masa del electron en

el vacıo), la constante dielectrica relativa εr=12.5, finalmente la constante de red es a=5.65 A.

1.2. Pozos cuanticos en materiales semiconductores

En los dispositivos semiconductores convencionales con uno o dos tipos de portadores tipo n

o tipo p, diferentes funciones operacionales se han logrado para la construccion de una union con


Figura 1.2: Estructura de bandas del GaAs.

el mismo material, por ejemplo, la union p-n. Este tipo de uniones comunmente son llamadas

homouniones, con las cuales se fabrican dispositivos homoestructurados. Si mas de un material

es usado en un dispositivo, este recibe el nombre de dispositivo heteroestructurado.

Una heterounion es formada cuando dos materiales diferentes se unen. Hoy en dıa, gracias

a los modernos procesos de crecimiento y deposito de materiales, es posible construir hete-

rouniones extremadamente abruptas, de hecho, heterouniones interfaciales delgadas pueden ser

fabricadas en una escala dimensional que se acerca a una monocapa1. La heteroestructura simple

es una estructura que consiste de una heterounion entre dos materiales semiconductores dife-

rentes. Hay una gran seleccion de varios materiales (semiconductores, metales y aislantes) que

lleva a interfaces de alta calidad y que permiten la fabricacion de diferentes heteroestructuras

que manifiestan caracterısticas electronicas deseadas como funcion de los potenciales aplicados.

1Una monocapa se define como la capa mınima necesaria para representar un material, teniendo en cuentala estructura cristalina del mismo.


Figura 1.3: Tipos de heteroestructuras. a) Tipo I, b) Tipo II, c) Tipo III.

El ejemplo mas conocido y aplicado es la heterounion SiO2/Si [2, 3] con una densidad muy

pequena de defectos en la interfaz. Los compuestos semiconductores binarios III-V tales como:

GaAs/AlGaAs, GaInAs/InP , GaInAs/AlInAs, GaSb/AlSb, GaN/AlN , InN/GaN tienen

gran importancia en aplicaciones tecnologicas y en estudios de propiedades de heteroestructu-

ras. Otra clase de estudio activo y aplicado en heterosetructuras esta basado en los compuestos

II-VI: CdZnSe/ZnSe, ZnSTeSe/ZnSSe, entre otros [4–7].

Uno de los objetivos principales de la fabricacion de heteroestructuras es el controlar las

bandas de energıa (valencia y conduccion) de los portadores. De acuerdo con la alineacion de

las bandas, las heteroestructuras se pueden clasificar en tres tipos.

Suponiendo que se tienen dos materiales llamados A y B y si al unirlos la banda de con-

duccion del material B se encuentra por debajo de la banda de conduccion del material A y la

banda de valencia del material B esta por encima de la banda de valencia del material A, se

tiene una heteroestructura tipo I, perteneciendo a estas las constituidas por GaAs/AlxGa1−xAs.

Si la banda de conduccion del material A se encuentra por debajo de la banda de conduccion

del material B y lo mismo ocurre con la banda de valencia, ademas de la condicion de que


ambos bordes de la banda de conduccion esten por encima de los de valencia, se tiene una

heteroestructura tipo II, teniendo como ejemplo In1−xGaxAs/GaAs con concentracion x mayor

que 0.3.

Una heteroestructura tipo III se tiene cuando la banda de valencia del material A se traslapa

con la banda de conduccion del material B. A estas pertenecen las formadas por InAs y GaSb.

En la Figura 1.3 se puede observar la alineacion de las bandas de conduccion y valencia para

cada tipo de heteroestructura aquı presentada.

Cuando hay exceso de energıa termica de los portadores bajo condiciones tıpicas operacio-

nales, estos pueden confinarse facilmente dentro de las regiones electricamente activas llamadas

pozos de potencial o pozos cuanticos delimitados por barreras de potencial, en donde el ancho

es comparable o menor que la longitud de onda de de Broglie, generando niveles de energıa

llamadas “subbandas energeticas”, por lo que estos portadores de energıa solo podran tomar

valores discretos de energıa. Un pozo cuantico puede ser fabricado cuando una capa simple de

un material es crecida entre otras dos capas de material(es) diferente(s), las cuales estan ca-

racterizadas por tener anchos de banda prohibida (gaps, por sus traduccion al ingles) mayores

que la capa central, es decir es una heteroestructura tipo I. A continuacion se muestran dos de

los pozos cuanticos mas estudiados en la mecanica cuantica: el pozo rectangular finito y una

idealizacion que es, el pozo infinito.

1.2.1. Pozo rectangular finito e infinito

En esta seccion se vera como es que una partıcula se puede confinar en un pozo de profundi-

dad finita U . El problema muestra la relacion existente entre el confinamiento espacial de una

partıcula y la naturaleza discreta de su espectro de energıas.

Se considera que la partıcula se mueve bajo el siguiente potencial


Figura 1.4: Pozo rectangular finito centrado en el origen correspondiente a la ecuacion 1.5.

V (x) =

0, para x < −a

−U, para − a ≤ x ≤ a

0, para x > a.

(1.5)

El problema se tratara considerando tres regiones (I, II, III), las cuales se muestran en la

Figura 1.4, obteniendo una solucion a la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo

correspondiente para cada region. Entonces la funcion de onda que corresponde a la region I,

donde x < −a y V (x)=0, es

ψ(x) = Ae−kx +Be+kx, (1.6)

cuando x → −∞, la solucion fısicamente permitida para que ψ(x) sea finita, es la dada por el

exponencial positivo, de modo que A = 0 y

ψ(x) = Be+kx. (1.7)

En la segunda region II que corresponde a −a ≤ x ≤ a y V (x)=−U , la funcion de onda es


ψ(x) = C sin(lx) +D cos(lx), (1.8)

donde k y l son los vectores de onda correspondientes a las regiones I y II, respectivamente.

Finalmente, en la region III donde x > a y V (x)=0, al igual que en la region I se tiene la

solucion

ψ(x) = Fe−kx +Ge+kx, (1.9)

para garantizar una solucion fısicamente permitida cuando x→ ∞, la solucion del exponencial

positivo no se toma en cuenta, tal que G = 0 y entonces ψ(x) es

ψ(x) = Fe−kx. (1.10)

Las condiciones de frontera para ψ(x) y dψ(x)dx

en x = ±a, se pueden imponer solo en el punto

x = a, ya que ψ(−x) = ±ψ(x) (+ para par y - para impar). Tomando las soluciones pares y

aplicando la continuidad en la funcion y en su derivada, se obtiene la siguiente relacion

k = l tan(la). (1.11)

Para las soluciones impares se obtiene

k = −l cot(la). (1.12)

Como se sabe k y l estan relacionadas con la energıa, de aquı pues se obtienen las energıas

permitidas. Las ecuaciones 1.11 y 1.12 son ecuaciones trascendentes que se resuelven numerica-

mente y graficamente. Sean z = la y z0 = ah

√2mV0, donde z es una medida adimensional de


0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

z

Π

Figura 1.5: Solucion grafica de la ecuacion 1.13. La lınea solida corresponde a tan(z), la lınea a

trozos a − cot(z), la lınea punteada a

√(z0z

)2− 1 y las intersecciones marcadas con los puntos,

indican las soluciones.

la energıa y z0 una medida adimensional del tamano del pozo. En esta notacion las ecuaciones

1.11 y 1.12 se convierten en

√(z0z

)2

− 1 =

tan(z),

− cot(z).(1.13)

En la Figura 1.5 se muestra graficamente la ecuacion 1.13 en donde z0=15. Los puntos de

interseccion representan las soluciones a las ecuaciones trascendentes y por lo tanto las energıas

permitidas en el pozo finito (numericamente implica el calculo de la raız).

Las funciones de onda y las densidades de probabilidad se muestran en la Figura 1.6 que

resultan para las energıas mas bajas permitidas de la partıcula.

Se observa como es que las funciones de onda se “unen” de manera continua en las fronteras

del pozo de potencial. El que ψ(x) sea diferente de cero en las paredes incrementa la longitud de

onda de De Broglie en el pozo, lo cual a su vez disminuye la energıa y la cantidad de movimiento.


Figura 1.6: a) Funciones de onda para las energıas mas bajas de una partıcula en un pozo finito.b) Densidad de probabilidad para los tres niveles energeticos mas bajos de una partıcula en unpozo rectangular finito.

La densidad de probabilidad se observa como es diferente para cada nivel de energıa.

Se ha encontrado como es que una partıcula se confina en un pozo rectangular finito, sin

embargo, es necesario analizar que es lo que pasa si se encuentra en un pozo donde el potencial

es infinito.

Sea el potencial

V (x) =

0, para |x| ≤ a

+∞, para |x| > a,(1.14)

sobre el cual la funcion de onda fuera del pozo no puede encontrarse, es decir, sera cero ψ(x)=0

en la region |x| > a. Dentro del pozo, para conocer la funcion de onda, se tiene que resolver

la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo, correspondiente, con potencial cero, cuya

solucion es


Figura 1.7: Pozo de potencial infinito centrado en el origen.

ψ(x) = A sin(kx) +B cos(kx). (1.15)

Ademas se exige que ψ(±a)=0. Aplicando condiciones de frontera

A sin(ka) +B cos(ka) = 0, (1.16)

por lo tanto

A sin(ka) = B cos(ka) = 0. (1.17)

Si A = 0, entonces cos(ka)=0 y por lo tanto

kn =nπ

2a, con n = 1, 3, 5..., (1.18)

ahora si B=0, sen(ka)=0 entonces


Figura 1.8: a) Diagrama de los niveles de energıa de una partıcula confinada en un pozo infinito

con ancho 2a, la energıa mas baja permitida es E1 con valor h2π2

8ma2. b) Funciones de onda para

n = 1, 2 y 3. c) Distribucion de probabilidad para n = 1, 2 y 3.

kn =nπ

2a, con n = 2, 4, 6... (1.19)

Se sabe que la energıa depende de k, por lo tanto la expresion esta dada por

En =h2

8m

(nπ

a

)2

con n = 1, 2, 3..., (1.20)

los niveles de energıa estan distribuidos por el factor n2 tal y como se muestran en la figura 1.8

a). Las funciones de onda y la densidad de probabilidad para los tres primeros niveles, tambien

se pueden observar en esta Figura b) y c).

El conocer como es que la partıcula se comporta con este potencial, permitira mas adelante

entender como es que se obtienen las funciones de onda para el sistema que se esta estudiando

en esta tesis.


Figura 1.9: Representacion esquematica de un pozo finito doble, donde Lw1 representa el anchodel pozo de la izquierda, Lw2 el ancho del pozo de la derecha, Lb corresponde a la separacionentre los pozos, U1 y U2 el potencial de cada pozo, izquierdo y derecho, respectivamente.

1.2.2. Pozo rectangular finito doble

Si bien en la subseccion anterior, se mostro como es que se comporta una partıcula en un

pozo finito, se obtuvo que la energıa se encuentra cuantizada y como es que estos niveles ası como

su correspondiente funcion de onda estan distribuidos. Sin embargo, ¿que es lo que pasa si en

lugar de tener solo un pozo se tienen dos? La respuesta a la pregunta anterior se puede contestar

con base en los trabajos que se han hecho considerando pozos rectangulares finitos simetricos y

asimetricos basados en los materiales semiconductores GaAs-AlxGa1−xAs [8–10].

El comportamiento de los niveles de energıa que se obtienen en este tipo de sistemas se

muestra en la figura 1.10, donde la profundidad de los pozos se encuentra dada por la concen-

tracion x en la mezcla AlxGa1−xAs. Se puede observar como es que hay degeneracion cuando

los pozos son totalmente simetricos, los niveles se empiezan a desdoblar cuando la distancia

entre ellos es pequena, en este ejemplo, aproximadamente a 10 nm para el estado base. Cuando

hay una asimetrıa se ve como los niveles son totalmente independientes, sin embargo hay un

“anticruce” entre cada nivel, ademas de que la distancia entre ellos disminuye. Este tipo de

comportamiento se deben de obtener en el sistema sobre el cual se esta trabajando en esta tesis,


6 9 12 1530

32

34

36

38

120

130

140

10 20 30 400

20

40

60

80

100

E3

E2

E1

E0

Lw1

=Lw2

=10 nm

En

ergí

a (m

eV)

Ancho barrera Lb (nm)

a)Lw1

=20 nm; Lb=12 nm

Ener

gía

(meV

)

Ancho pozo de la derecha Lw2 (nm)

b)

Figura 1.10: Niveles de energıa para un pozo rectangular doble. a) niveles de energıa cuandoel sistema es simetrico como funcion de la distancia entre los pozos (ancho de la barrera), conancho de pozos de Lw1 =Lw2=10 nm. b) Sistema asimetrico, los niveles de energıa se encuentrancomo funcion del ancho del segundo pozo Lw2.

ya que garantizara que el modelo y el tratamiento utilizado en el esquema de calculo es correcto.

1.3. Pozos δ-dopados

El dopaje tipo δ surge por la necesidad de tener perfiles dopados bien definidos y angostos

en semiconductores. El poder controlar y crear este tipo de estructuras, se debe al desarrollo de

las tecnicas experimentales basadas en el metodo de crecimiento epitaxial, tales como la Epita-

xia por Haces Moleculares (Molecular Beam Epitaxy, MBE) y el Deposito Quımico de Vapores

Metalorganicos (Metal-Organic Chemical V apor Deposition, MOCVD), la habilidad que tie-

nen estas tecnicas es el controlar la distribucion de las impurezas dopantes en la estructura. El

comportamiento de las impurezas dopantes ha motivado mucho a la investigacion de las capas

1.3. POZOS δ-DOPADOS 17

δ-dopadas de impurezas con interes principal en sus propiedades electricas. El crecimiento de

estos sistemas a traves de las tecnicas anteriormente mencionadas se mostrara en la subseccion

1.3.1.

En 1979 Bass [11] creo el primer pozo δ-dopado de impurezas usando la MOCVD para crecer

la capa dopante en la interface de la capa epitaxial del sustrato. En 1980 Wood et al. [12] lograron

producir un perfil de dopado hiperabrupto y algunas heteroestructuras en GaAs dopado con

Ge a traves de MBE. El dopado hiperabrupto o dopaje “deltaico” de las impurezas, consiste en

la interrupcion del crecimiento epitaxial para el deposito de los atomos dopantes, tıpicamente

bajando la temperatura y evitando con esto en cierta forma la difusion de impurezas para

continuar entonces con el crecimiento epitaxial. Ploog [13] mediante MBE, utilizando impurezas

donantes de Si en un pozo δ-dopado tipo n deGaAs demostro experimentalmente por mediciones

de Shubnikov de Haas, la existencia de la cuantificacion bidimensional de subbandas. Es en los

90’s cuando Ioriatti [14] resuelve mediante la teorıa de Thomas-Fermi un potencial analıtico

autoconsistente mediante el cual se logra obtener el perfil de potencial que describe a los pozos

δ-dopados simples. Con respecto al calculo de la estructura electronica para los sistemas δ-

dopados de impurezas, hay una cantidad importante de trabajos en esta lınea, por ejemplo,

existe uno en donde se reporta la estructura de los niveles de energıa mediante el uso de la

aproximacion de la funcion envolvente (EFA, por sus siglas en ingles) para un pozo δ-dopado

tipo n y p [15]. A traves de calculos autoconsistentes se ha obtenido tambien la estructura

electronica para un pozo δ-dopado simple tipo n en GaAs [16], ası como con un campo electrico

externo aplicado [17,18]. Hay un calculo reciente de la estructura electronica, utilizando la teorıa

del funcional de la densidad, en un pozo δ-dopado doble tipo n con fosforo en una matriz de

Silicio [19], donde los autores reportan la dependencia de los niveles de energıa como funcion

de la distancia entre los pozos, coincidiendo los resultados con los calculos previos hechos por


Figura 1.11: Representacion esquematica bidimensional de una matriz de Arseniuro de Galio.a) Dopaje tipo n (SiGa) y b) Dopaje tipo p (SiAs).

Rodrıguez-Vargas y Gaggero-Sager [20].

Idealmente un pozo δ-dopado de impurezas consiste en la incorporacion en una sola capa

atomica de atomos dopantes (impurezas) en un material semiconductor base. Se tiene un pozo δ-

dopado tipo n cuando las impurezas son donadoras, es decir, tienen un electron mas de valencia

que el material base, por ejemplo Fosforo (P ) en Silicio (Si). En cambio, un pozo δ-dopado tipo

p se forma cuando las impurezas son aceptoras, es decir, tienen un electron de valencia menos

que el material base, por ejemplo Boro (B) en Silicio (Si).

En este trabajo en particular estamos interesados en el dopado tipo n del GaAs, tıpicamente

cuando se sustituye un atomo de Ga por uno de Si en una matriz de GaAs se tiene una

impureza donadora2, como se muestra en la figura 1.11 a). Con fines ilustrativos, aprovechando

la naturaleza anfoterica3 del Si en GaAs, sı sustituimos un atomo de As por uno de Si en el

Arseniuro de Galio tendremos una impureza aceptora como se muestra en la figura 1.11 b).

2Sustituimos un atomo de valencia III, por uno tetravalente (grupo IV) como es el Silicio –una notacionestandarizada para estas impurezas sustitucionales es; SiGa.

3Esto significa que el Silicio puede sustituir tanto atomos de Galio (SiGa) como atomos de Arseniuro (SiAs)en el GaAs de manera que puede actuar tanto como impureza tipo n como p lo cual depende ademas de lascondiciones de crecimiento de la direccion cristalografica, en el caso particular de la direccion [0 0 1] se sabe queel Silicio sustituye preferentemente a los atomos de Galio (SiGa) sirviendo entonces como impureza donadora.

1.3. POZOS δ-DOPADOS 19

El objetivo de introducir impurezas en un material semiconductor es el modular el potencial

debido al campo electrostatico que producen las impurezas ionizadas e introducir portadores de

carga a la estructura. El ejemplo mas conocido de este hecho es un pozo cuantico rectangular

basado en la heteroestructura AlxGa1−xAs/GaAs/AlxGa1−xAs donde x representa el porcentaje

de impurezas sustitucionales (AlGa). De hecho en esta lınea de perfiles de dopaje existen una

cantidad importante de trabajos donde se estudian y analizan sus propiedades electronicas y

opticas [10,21,22].

Por otro lado, uno de los parametros que caracterizan un perfil δ-dopado de impurezas, es

la densidad de los atomos dopantes en la lamina. Asumiendo que la superficie de la capa del

material base se encuentra en el plano xy del sistema cartesiano, la coordenanda z es medida

desde el borde de la superficie y los dopantes estan localizados en el plano x− y a una distancia

z respecto del origen, entonces el perfil de dopaje esta dado por N2d(z) = N2dδ(z−zd), donde la

densidad bidimensional de impurezas es denotada por N2d, representando el numero de atomos

dopantes en el plano x − y por cm2. El ancho de la lamina del material con el que se dopa

debe ser idealmente cero, lo que hace suponer una distribucion de impurezas como una δ de

Dirac, surgiendo de aquı el nombre de estas estructuras. La densidad de impurezas que se

coloca debe ser tan alta que las orbitas medias de los portadores se solapen y ası formen un gas

bidimensional de electrones (2DEG). Esto forma un potencial electrostatico en forma de V para

los portadores, que estan localizados alrededor del plano por la atraccion coulombiana. En este

tipo de sistemas, el confinamiento aumenta al aumentar la cantidad de impurezas bidimensional

N2d. La cantidad de concentracion de portadores que se logran alcanzar se encuentran hasta el

rango de 1013 cm−2.

Supongamos, por ejemplo, que el material semiconductor base es el Arseniuro de Galio y

que colocamos una densidad de impurezas por unidad de area N2d de atomos de Silicio en la


Figura 1.12: Representacion esquematica bidimensional de la distribucion de impurezas susti-tucionales (SiGa) tipo n en una matriz de GaAs.

direccion de crecimiento [001], como se muestra en la figura 1.12. Se observa como los atomos

de Silicio sustituyen a los atomos de Galio, fungiendo entonces como impurezas donadoras.

1.3.1. Crecimiento de pozos δ-dopados

La construccion de pozos δ-dopados se da a traves de tecnicas experimentales por un cre-

cimiento epitaxial, ya que el dopar al semiconductor implica que la distribucion de impurezas

dopantes este confinada en una sola capa, obteniendo tal caracterıstica al interrumpir el cre-

cimiento epitaxial. Tecnicas como la Epitaxia por Haces Moleculares (MBE, por sus siglas en

ingles) permiten realizar estos tipos de procedimientos.

La Epitaxia de Haces Moleculares fue utilizada por primera vez por Cho y Arthur [23] para

crecer sistemas cuanticos semiconductores a nivel de capas atomicas. La MBE consiste en el

crecimiento de capas epitaxiales mediante la reaccion de uno o mas haces moleculares termicos

1.4. MOTIVACION 21

con un substrato cristalino. Se hacen incidir sobre una superficie caliente haces moleculares

o atomicos dentro de una camara de ultra alto vacıo (10−11 Torr). Los haces por lo general

son de baja densidad, y es despreciable la interaccion entre los mismos atomos del gas con los

gases residuales de la camara, por lo que llegan a la superficie en donde se depositan sin sufrir

colisiones.

Los avances en la tecnologıa de ultra-alto vacıo, permiten el deposito de material a tem-

peraturas relativamente bajas, con un gran control de la composicion y pureza del material,

ası como una gran exactitud entre la determinacion de una capa y otra de materiales diferentes.

Practicamente se hacen crecer estas muestras con un control de crecimiento de una capa atomi-

ca a la vez. Ademas, los equipos modernos permiten el monitoreo de la estructura y el espesor

de la estructura, analizando la reflexion de haces de electrones de alta energıa (RHEED, por

sus siglas en ingles) que se hacen incidir en angulos casi rasantes con la superficie. La pureza

quımica y la composicion del sustrato y del material crecido, se pueden analizar por medio de

la Espectroscopia de Electrones Auger (AES, por sus siglas en ingles).

En la figura 1.13 se muestra un equipo tıpico de crecimiento por MBE. Este contiene celdas

de efusion, en la cuales se calientan los materiales que producen los haces moleculares. Cada

celda tiene un obturador para controlar la cantidad de salida del gas, de tal forma que se controle

el grosor de las capas a crecer. El soporte en donde se encuentra el sustrato, tiene su propio

control de temperatura a fin de mantenerlo a la temperatura deseada.

1.4. Motivacion

El uso de la optica en el desarrollo de dispositivos se hace cada vez mas extenso debido a

las ventajas de las propiedades opticas no lineales de los materiales [24]. El procesamiento de

senales opticas como la conversion de frecuencia, la modulacion optica, el interruptor optico,


Figura 1.13: Esquema de un equipo de crecimiento por MBE.

los detectores infrarojos, el laser de estado solido, los polarizadores, los piezoelectricos, entre

otros, son ejemplos de la importancia de nuevas tecnologıas desarrolladas a partir de la optica

no lineal [25]. En la actualidad, el interes por el estudio de materiales con propiedades opticas

no lineales se ha incrementado considerablemente [26–31]. La optica no lineal es el estudio del

fenomeno que ocurre como una consecuencia de la modificacion de las propiedades opticas de

un material por la presencia de luz laser intensa. Este estudio representa una herramienta util

en la caracterizacion y estructura de los materiales con propiedades opticas no lineales.

El interes del estudio de la optica no lineal comienza en 1960, cuando Maiman [32] descubre el

laser, seguido por la observacion que realizo Franken et al. [33] de la generacion de los segundos

armonicos en un cristal de cuarzo en 1961. Hoy en dıa muchos son los sistemas compuestos por

materiales semiconductores sobre los cuales se estudian este tipo de propiedades, principalmente

1.4. MOTIVACION 23

en pozos con diferentes geometrıas, por ejemplo: rectangulares, triangulares, Poschl-Teller, δ-

dopados, entre otros [34–41].

Desde su propuesta en 1980 y hasta hoy en dıa, los pozos δ-dopados han atraıdo mucho la

atencion por las grandes aplicaciones que han tenido en la construccion de dispositivos electroni-

cos. Se han realizado estudios de estructura electronica, movilidad y transporte [42–46], los cuales

han ayudado a crear y mejorar las propiedades de los dispositivos. Hoy en dıa, no solo se realiza

el estudio de las propiedades mencionadas, sino tambien el estudio de las propiedades opticas

para la aplicacion de dispositivos optoelectronicos. El estudio del coeficiente de absorcion ası co-

mo el cambio relativo en el ındice de refraccion son dos de las propiedades mas reportadas en

la literatura. Existe un trabajo del calculo teorico del coeficiente de absorcion como funcion de

un campo magnetico en un sistema formado por dos pozos δ-dopados en una matriz de GaAs,

reportandose un corrimiento al azul en los picos de resonancia cuando el campo magnetico

aumenta [47]. La absorcion optica no lineal, las correcciones al cambio relativo del ındice de re-

fraccion y la generacion de segundos armonicos en un δ- FET en GaAs bajo efecto de la presion

hidrostatica han sido reportados por Martınez-Orozco et al. [48, 49]. Se encontro que debido

al efecto de la presion, es posible incrementar la amplitud (magnitud) de los picos resonantes

del coeficiente de absorcion, si la presion se encuentra en el rango de 0-6 kbar. No solo existen

reportes de la optica no lineal de pozos δ-dopados en GaAs, sino tambien en heteroestructuras

cuanticas δ-dopadas en AlGaN/GaN [50] y en pozos cuanticos dobles en arseniuros III-V con

y sin presencia de campos electricos, magneticos y efectos de laser intenso [51–56].

El perfil de confinamiento cuantico de un pozo δ-dopado doble asimetrico con Si en GaAs

que se propone en este trabajo, es una configuracion asimetrica que puede proporcionar contri-

buciones no despreciables en la modificacion de las propiedades opticas no lineales. Manipulando

las densidades en los pozos, es posible sintonizar diferentes niveles de energıa, lo cual se puede


usar para generar, bien sea corrimientos hacia el azul o bien hacia el rojo en los picos resonantes

que se obtienen en el coeficiente de absorcion. Mediante el acople entre los pozos, que se logra

variando la distancia entre los mismos, es posible modificar la intensidad de los momentos de

dipolo de las funciones de onda y con ello tambien, la modificacion de las propiedades opticas

lineales y no lineales de sistema. Otro efecto que resulta importante y como ya se evidencia en

las referencias anteriores, es la aplicacion de un campo electrico externo en el sistema. Por ello en

el presente trabajo se prentende tener una caracterizacion lo mas clara y completa posible de los

sistemas de estudio, basados primeramente en la verificacion de los resultados obtenidos com-

parando con resultados previos. Para proponer entonces, fundamentados en el estudio de dicho

sistema, alguna configuracion de parametros para los cuales se observen, al menos teoricamente,

incrementos en las propiedades fısicas de interes y/o facilidad de controlar dichas caracterısticas

del sistema. En este sentido, se sabe que los sistemas cuanticos asimetricos son interesantes

para el estudio de las propiedades opticas de primer y tercer orden; y que considerando efectos

de laser intenso, campos electricos y magneticos se usan como medio para manipular dichas

cantidades fısicas [21, 57–59]. Es por ello y por la experiencia que se tiene en pozos δ-dopados,

el interes de investigar el efecto de la asimetrıa del sistema en las amplitudes de las propiedades

opticas, ası como del campo electrico externo aplicado.

Capıtulo 2

Marco teorico

2.1. Aproximacion de masa efectiva

El problema de un electron en un cristal es mas complicado que su analogo en el cristal ideal,

ya que el electron ademas de sentir el potencial cristalino esta sometido a otros potenciales que

no poseen ninguna periodicidad, haciendo practicamente imposible de resolver la ecuacion de

Schrodinger de manera exacta.

La ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo se encuentra dada por la expresion

[−h2m

∇2 + V (r) + U(r)

]Ψn(r) = EΨn(r), (2.1)

donde V (r) representa el potencial periodico del cristal perfecto asociado con el Hamiltoniano

del cristal

H0 =−h2m

∇2 + V (r). (2.2)

25

26 CAPITULO 2. MARCO TEORICO

El termino U(r) es cualquier potencial perturbador que sienta el electron.

La dificultad de tener ahora un potencial externo que afecta al electron, da lugar a tomar

un metodo aproximado para resolver este tipo de problemas conocido como: Aproximacion de

Masa Efectiva (AME). En general, existen varios enfoques para abordar la AME [1,60]. Uno de

ellos involucra el concepto de funciones de Wannier y el otro utiliza unicamente funciones de

Bloch, ambos enfoques producen el mismo resultado.

Las funciones de Bloch reflejan la periodicidad del potencial cristalino pero es posible realizar

una descripcion del cristal en terminos de funciones localizadas que recuerdan los orbitales

atomicos. Las funciones localizadas han recibido gran atencion en relacion con los metodos

de calculo de la estructura electronica cristalina que escalan con el numero de electrones. Las

funciones de Wannier son un importante ejemplo de este tipo de funciones.

En este caso se utilizaran las funciones de Wannier, estas funciones se encuentran localizadas

en los vertices de la red cristalina, ademas de cumplir con la propiedad de ser ortogonales.

La funcion de onda Ψn(r) en la ecuacion (2.1) se puede escribir como una combinacion lineal

de un conjunto completo de funciones de Wannier

Ψn(r) =∑n,l

fn(R)an(r − Rl). (2.3)

Las funciones de Wannier an(r− Rl) son transformadas de Fourier de las funciones de Bloch

Ψnk(r), es decir

an(r − Rl) =1√N

∑k

exp(−ik · Rl)Ψnk(r), (2.4)

donde Rl es un vector de la red, k es el vector de onda, N es el numero de celdas unitarias del

cristal y n el ındice de la banda.

2.1. APROXIMACION DE MASA EFECTIVA 27

Suponiendo que se esta en una sola banda, sustituyendo la ecuacion (2.3) en (2.1) y se

obtiene

∑l

[H0f(R)a(r − Rl) + U(r)f(R)a(r − Rl)

]= Ef(R)a(r − Rl), (2.5)

integrando sobre todo el cristal y multiplicando por a∗(r − R′l)

∑l

∫d3r a∗(r − R′

l) H0 f(R) a(r − Rl) +

∑l

∫d3r a∗(r − R′

l) U(r) f(R) a(r − Rl)

=∑l

a∗(r − R′l) E f(R) a(r − Rl),

usando la transformada de Fourier para la energıa

En(k) =∑n

En,l, (2.6)

o bien

En,l =1√N

exp(−ik · Rl), (2.7)

con k = −i∇. Y usando la solucion para el electron no perturbado

H0 Ψk,n = En(k) Ψk,n, (2.8)

se obtiene

[En′(k) fn′(r)− E fn′(r)

]r=Rl

+∑n,l

Unn′(Rl, R′l) fn(Rl) = 0, (2.9)

donde Un,n′(Rl, R′l) son los elementos matriciales del potencial perturbador entre las funciones

de Wannier.


A pesar de que la ecuacion anterior es muy importante, ya que la funcion envolvente fn(r)

viaja a traves de todo el cristal y no unicamente en algun punto de la red, es posible hacer un

uso mejor de ella si se hacen algunas aproximaciones:

Asumir que la perturbacion no es suficientemente intensa, es decir, que no es posible inducir

transiciones inter-bandas, se puede entonces ignorar el elemento matricial Un,n′(Rl, R′l)

para n = n′.

Suponer que el potencial perturbador varıa muy poco en la distancia de una constante

de la red, es decir, que Un,n′(Rl, R′l) se puede despreciar cuando Rl = R′

l, en este caso se

puede hacer Un,n′(Rl, R′l) = U(r) |r=Rl

.

A partir de las suposiciones anteriores la ecuacion de movimiento (2.9) es igual a

[En(k) + U(r)

]fn(r) = Efn(r). (2.10)

La diferencia entre las ecuaciones (2.1) y (2.10) radica en que ahora no es necesario incluir

explıcitamente el Hamiltoniano H para describir el movimiento del electron en el cristal. Este

operador se remplaza en la ecuacion de movimiento por En(k). En el caso de materiales se-

miconductores se ha encontrado que la energıa en el mınimo de la banda de conduccion sigue

siendo parabolica, es decir, En(k) =h2k2

2m∗ con m∗ como las masa efectiva del electron y k = −i∇

[− h2

2m∗∇2 + U(r)

]fn(r) = Efn(r). (2.11)

Esto significa que el efecto del potencial cristalino, es cambiar la masa del electron en el vacıo

por una masa efectiva en el material o bien, se puede decir que todos los efectos del potencial

son atribuidos en la masa efectiva.

2.2. IMPUREZAS POCO PROFUNDAS Y MODELO HIDROGENOIDEO 29

2.2. Impurezas poco profundas y modelo hidrogenoideo

Se sabe que los semiconductores dopados son materiales que contienen impurezas de atomos

de otro material que se incorporan en la estructura cristalina del semiconductor base. Estas

impurezas pueden incorporarse involuntariamente debido a la falta de control durante el creci-

miento del semiconductor o se pueden anadir con el proposito de proporcionar portadores libres

en el semiconductor, tal cual es el caso de los pozos δ-dopados de impurezas. El que se tenga

portadores se debe a que los atomos de la impureza, o bien han donado o aceptado un electron.

Estas impurezas son llamadas poco profundas o ionizadas, ya que requieren poca energıa para

donar (banda de conduccion) o aceptar (en la banda de valencia) un electron.

El modelo del atomo de hidrogeno es la base para el calculo de algunas propiedades de las

impurezas poco profundas, tales como la energıa de ionizacion y los estados de las funciones de

onda. Este problema se comienza a resolver, considerando una impureza donadora y la siguiente

ecuacion

[− h2

2m∗e

∇2 − e2

4πκε0r

]F (r) = E F (r), (2.12)

esta ecuacion es equivalente a la de Schrodinger usada para derivar los estados electronicos de

un atomo de hidrogeno, en donde se remplaza la masa m por m∗ y la constante dielectrica es

la correspondiente al semiconductor κε0 = ε. La energıa del estado base R∗y es del donador y se

representa por el llamado Rydberg efectivo

R∗y = − m∗

ee4

2(4πε)2h2= −m

∗e/m0

(ε/ε0)2Ry, (2.13)

donde


Ry =me4

2(4πε)2h2= 13,6 eV, (2.14)

que es la energıa de ionizacion del atomo de hidrogeno. El radio de Bohr efectivo a∗0 es

a∗0 =4πhε

m∗ee

2=

ε/ε0m∗e/mo

a0, (2.15)

con

a0 =4πε0h

2

m0e2= 0,52 A. (2.16)

Los valores del Rydberg efectivo y radio de Bohr en GaAs son 100 A y 5.8 meV, respectivamente.

Tomando m∗e=0.067 y εr=12.5 [1].

2.3. Metodo de Xia y Fan

El calculo de la estructura electronica en este trabajo, se realiza dentro de la aproximacion

de masa efectiva de un pozo δ-dopado doble asimetrico de GaAs bajo los efectos de un campo

electrico externo aplicado en la direccion de crecimiento de la homoestructura (F = −F uz). La

ecuacion de Schrodinger del electron confinado en el sistema es

[− h2

2m∗e

d2

dz2+ V (z)− e F z

]ψi(z) = Ei ψi(z) , (2.17)

donde m∗e es la masa efectiva del electron, e es el valor absoluto de la carga del electron y F

es la intensidad del campo electrico externo. Los niveles de energıa Ei y las correspondientes

funciones de onda envolventes ψi para los estados de un solo electron son obtenidas mediante

la metodo de diagonalizacion propuesto por Xia y Fan [61]. Este metodo esta basado en la

2.4. PROPIEDADES OPTICAS 31

expansion de los estados del electron sobre la base completa ortogonal de funciones sinusoidales

o seno, asociadas con el pozo rectangular de paredes infinitas (en este trabajo el ancho del pozo

cuantico es L∞=100 nm). La funcion envolvente del electron ψi(z) esta dada por

ψ(z) =(

2

L∞

)1/2 ∞∑m=1

Cm sin(mπ z

L∞+mπ

2

). (2.18)

En la ecuacion (2.17), V (z) es el potencial de confinamiento asociado con el pozo δ-dopado

doble asimetrico, el cual esta descrito por el siguiente potencial [62]

V (z) = − α2

(α |z − ℓp/2|+ z0L)4

− α2

(α |z + ℓp/2|+ z0R)4, (2.19)

±ℓp/2 representa la distancia desde el origen a la izquierda y derecha de las capas δ-dopadas

de impurezas (ℓp es entonces la distancia entre los pozos), α = 2/15 π, z0L

=(

α3

πNL2d

)1/5

z0R

=(α3

πNR2d

)1/5

. Aquı, NL2d y NR

2d son las densidades de impurezas en la izquierda y derecha de las

capas δ-dopadas, respectivamente.

Lo primero que se hace en este metodo, es construir la matriz con sus respectivas funciones

envolventes, para posteriormente diagonalizar la matriz y con ello finalmente obtener los estados

correspondientes a cada elemento de la diagonal.

Una vez obtenida la estructura electronica resolviendo la ecuacion de Schrodinger para masa

efectiva, se pueden calcular las propiedades opticas no lineales.

2.4. Propiedades opticas

Las propiedades opticas se relacionan con la interaccion entre un material y las radiaciones

electromagneticas en forma de ondas o partıculas de energıa, conocidas como fotones. Esta


Figura 2.1: Diagrama esquematico de los procesos opticos que ocurren en la superficie y dentrode un material.

interaccion produce una diversidad de efectos tales como: absorcion, transmision, reflexion,

refraccion, entre otros, ver figura 2.1.

Al interactuar con la estructura cristalina de un material, los fotones de una fuente exter-

na crean varios fenomenos opticos. Si los fotones incidentes interactuan con los electrones del

material pueden ocurrir varias cosas: los fotones ceden energıa al material, en cuyo caso hay

absorcion; o puede ser que cuando los fotones aportan energıa, de inmediato el material emite

electrones de identica energıa, de forma que se produce reflexion. Tambien puede que los foto-

nes no interactuen con la estructura electronica del material, en ese caso ocurre la transmision.

En cualquiera de estos tres casos, la velocidad de los fotones cambia, este cambio propicia la

refraccion.

En condiciones tıpicas de temperatura y de interaccion con luz, los materiales presentan

valores fijos en su constante de absorcion, constante dielectrica y en la polarizacion que se

induce. Sin embargo, al trabajar con “haces luminosos de alta intensidad”, estos valores dejan

de ser constantes y dan pie a lo que se llaman propiedades opticas no lineales.

Las caracterısticas de las propiedades opticas lineales y no lineales de los materiales son de

2.5. PROPIEDADES OPTICAS NO LINEALES 33

gran importancia en el desarrollo de la tecnologıa en fotonica y electronica.

2.5. Propiedades opticas no lineales

El origen de las propiedades opticas no lineales radica en la magnitud de la interaccion de

la luz con la materia. En el caso concreto de un material para que su respuesta optica no lineal

sea importante, se requiere que la “intensidad del campo electromagnetico sea elevada”. Esta

interaccion dara lugar a que una de las componentes del campo electromagnetico resultante

quede alterada en fase, frecuencia, amplitud u otras caracterısticas de propagacion del campo.

Para entender la optica no lineal, se considera un momento dipolar por unidad de volumen

o polarizacion P (t) de un material que depende de la intensidad de un campo electrico E(t)

aplicado. En el caso convencional (lineal), la polarizacion inducida depende linealmente de esta

fuerza de manera tal, que se puede expresar como

P (t) = ε0χ(1)E(t), (2.20)

donde la constante de proporcionalidad χ(1) es conocida como la susceptibilidad electrica lineal y

ε0 es la constante de permitividad del electron en el vacıo. En la optica no lineal, por la presencia

de campos electricos de alta intensidad, la polarizacion P (t) pierde la proporcionalidad entre la

polarizacion y el campo electrico. Por lo tanto, la polarizacion ahora ya no es lineal y se expresa

en serie de potencias del campo electrico

P (t) = ε0[χ(1)E(t) + χ(2)E2(t) + χ(3)E3(t) + · · ·

]. (2.21)

Las cantidades χ(2) y χ(3) son conocidas como las susceptibilidades electricas no lineales de

segundo y tercer orden, respectivamente. Entonces de la misma forma las polarizaciones de


segundo y tercer orden estan definidas como

P (2)(t) = ε0χ(2)E2(t), (2.22)

P (3)(t) = ε0χ(3)E3(t), (2.23)

donde las unidades de χ(2) y χ(3) son m/V y (m/V)2, respectivamente. A partir de esa conside-

racion para P , se obtienen las propiedades opticas no lineales.

2.5.1. Coeficiente de absorcion y cambio relativo en el ındice de re-

fraccion lineal y no lineal

En los materiales semiconductores nanoestructurados, el fenomeno de la absorcion ocurre

debido a las transiciones electronicas que se dan cuando fotones con una energıa apropiada inci-

den sobre el sistema y los electrones se excitan a un nivel de energıa superior. Estas transiciones

pueden ser de dos tipos: interbanda e intrabanda.

Las transiciones interbanda ocurren entre estados localizados en las bandas de conduccion

y valencia del material. El fenomeno de absorcion se puede dar debido a una transicion directa

o bien indirecta. La transicion directa ocurre cuando el mınimo de la banda de conduccion

coincide con el maximo de la banda de valencia mediante el proceso de creacion de un par

electron-hueco, es decir, un exciton. En la transicion indirecta involucra la absorcion o emision

de un fonon dado que el mınimo de la banda de conduccion no coincide con el maximo de la

banda de valencia, esta transicion es dos o tres ordenes de magnitud mas debil que la directa y

pueden despreciarse en metales, pero son importantes en semiconductores.

Las transiciones intrabanda son aquellas donde los fotones excitan electrones a niveles supe-

2.5. PROPIEDADES OPTICAS NO LINEALES 35

riores dentro de la misma banda, este tipo de transiciones suceden principalmente en metales

pero tambien suceden en semiconductores a altas temperaturas o con altos niveles de dopaje que

es el caso de este trabajo. Por ello, se considera la transicion principal entre el estado base E0

y primer estado excitado E1 del sistema estudiado. Las expresiones para el calculo de los coefi-

cientes de absorcion se encuentran dadas por las formulas que se muestran a continuacion [63].

Para el coeficiente de absorcion lineal se tiene

α(1)(ω) = ω e2√µ

ε

[ρhΓ10|M10|2

(E10 − hω)2 + (hΓ10)2

], (2.24)

donde el elemento de la matriz dipolar se define como Mij = ⟨ψi|z|ψj⟩, siendo ψi y ψj las

funciones de onda de los primeros dos estados (i-esimo y j-esimo) obtenidos de la solucion

a la ecuacion (2.17), ω es la frecuencia angular de los fotones incidentes, ε es la constante

dielectrica del material, e es la carga del electron, µ representa la permitividad magnetica

del material(= 4π × 10−7 H m−1), E10 = E1 − E0 es la diferencia de energıa de la transicion

intersubbanda fundamental, hΓ10 = h/T10=3.3 meV es el termino de amortiguamiento asociado

con la vida media del electron debido a la dispersion intersubbanda, ρ=3.0 × 1023 m−3 es la

densidad de electrones considerada.

El coeficiente de absorcion no lineal (correccion de tercer orden) es

α(3)(ω, I)=−ω e4√µ

ε

(I

2nε0c

)ρ hΓ10|M10|2

[(E10 − hω)2 + (hΓ10)2]2×

4|M10|2−|M11−M00|2[3E2

10−4E10hω+h2(ω2−Γ2

10)]

E210 + (hΓ10)2

, (2.25)

teniendo a I =0.1 MW/cm2 como la intensidad de la radiacion optica en el sistema.

Por lo tanto el coeficiente de absorcion total estara dado por la suma de los dos terminos


anteriores

α(ω, I) = α(1)(ω) + α(3)(ω, I). (2.26)

Se sabe que todos los materiales tienen un ındice de refraccion, es decir, como es que la

velocidad de la luz que esta interactuando con el se ve afectada por la interaccion con el material.

El cambio relativo expresa como es que el ındice de refraccion del sistema cambia con respecto

al ındice de refraccion del material.

El cambio relativo del ındice de refraccion de primer orden esta dado por [63]

∆n(1)(ω)

n=ρ e2 |M10|2

2n2ε0

[E10 − hω

(E10 − hω)2 + (hΓ10)2

], (2.27)

donde n =√ε es el ındice de refraccion del material, c es la velocidad de la luz.

Y la correspondiente correccion a tercer orden es

∆n(3)(ω)

n= − ρ e4 |M10|2

4n3ε0

µcI

[(E10 − hω)2 + (hΓ10)2]2[4(E10 − hω)|M10|2 −

(M11 −M00)2

(E10)2 + (hΓ10)2

(E10 − hω)

[E10(E10 − hω)− (hΓ10)2] − (hΓ10)

2(2E10 − hω)], (2.28)

la contribucion total es la suma de la parte lineal (2.27) mas la parte no lineal (2.28)

∆n(ω, I)

n=

∆n(1)(ω)

n+

∆n(3)(ω, I)

n. (2.29)

Capıtulo 3

Estructura electronica

3.1. Estructura electronica de pozos δ-dopados dobles

En este capıtulo se presenta la estructura electronica para un pozo δ-dopado doble asimetrico,

en donde se varıa la distancia de separacion entre las capas δ-dopadas, la densidad de impurezas

del segundo pozo NR2d manteniendo fija la densidad del primer pozo NL

2d, ası como la aplicacion

de un campo electrico externo. El obtener la estructura electronica a traves de los parametros

del sistema antes mencionados, permitira entender el comportamiento fısico del sistema, pro-

poniendo valores para los cuales existan las propiedades opticas que se estan estudiando. El

calculo de la estructura electronica se realizo resolviendo a traves de la aproximacion de la masa

efectiva, el hamiltoniano dado por la ecuacion (2.17), obteniendo las funciones de onda a traves

de una expansion sobre una base ortogonal de funciones sinusoidales (ec. 2.18) asociadas con el

pozo rectangular de paredes infinitas con un ancho de L∞=100 nm, tomando en cuenta la masa

efectiva correspondiente al GaAs, siendo m∗=0.067, ası como la constante dielectrica relativa

εr=12.5.

La forma de verificar la validez del modelo utilizado para el potencial, es analizando por un

37

38 CAPITULO 3. ESTRUCTURA ELECTRONICA

lado el caso lımite cuando ℓp es muy grande, de manera tal que se pueden considerar a los pozos

δ-dopados como independientes, lo cual quiere decir que los niveles correspondientes a ellos,

coinciden con los de un pozo δ-dopado simple, concordando bastante bien con calculos previos

[15]. Por otro lado, comparando nuestros resultados con un calculo autoconsistente [47], en donde

la transicion principal E1 − E0 reportada en el es de 9.5 meV, mientras que la obtenida para

nuestro modelo es de 10.5 meV utilizando ℓp=15 nm y NL2d=N

R2d=2.0 ×1012 cm−2, resultando

ser una buena aproximacion.

Para la separacion entre los pozos δ-dopados, la densidad de impurezas del segundo pozo NR2d

y el campo electrico aplicado, se muestra el perfil de potencial con sus respectivas densidades de

probabilidad, ası como la diferencia de energıa entre cada estado, puesto que es necesaria para

el calculo de las propiedades opticas lineales y no lineales.

3.1.1. Como funcion de la separacion entre pozos ℓp

En la figura 3.1 se presenta el perfil de potencial de un sistema formado por dos pozos δ-

dopados simetricos con densidad de impurezas NL2d=N

R2d=5.0×1012 cm−2 para tres distancias de

separacion ℓp de 12, 18 y 24 nm.

En los tres casos se observa como es que la simetrıa del sistema induce a una simetrıa en

las densidades de probabilidad de los cuatro primeros estados, es decir, el electron se puede

encontrar con igual probabilidad en cada uno de los pozos respecto del origen. Cuando la

distancia de separacion de los pozos es pequena, los niveles de energıa se encuentran separados.

Sin embargo, cuando la distancia de separacion entre los pozos comienza a aumentar, el estado

base y el primer estado excitado se tienden a juntar, de igual forma ocurre con el segundo y

tercer estado excitado. Entonces pues, cuando la distancia entre los pozos es muy grande, ya no

hay interaccion entre ellos, lo cual significa que hay una degeneracion en los niveles de energıa.

3.1. ESTRUCTURA ELECTRONICA DE POZOS δ-DOPADOS DOBLES 39

-250

-200

-150

-100

-50

0

-250

-200

-150

-100

-50

0

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-250

-200

-150

-100

-50

0

a)

c)

Ener

gía

(meV

)

b)

Distancia (nm)

Figura 3.1: Perfil de potencial y densidades de probabilidad de los primeros cuatro estadospara un pozo δ-dopado doble simetrico, con densidad de impurezas NL

2d=NR2d=5.0×1012 cm−2

y diferentes distancias de separacion entre los pozos ℓp. a) ℓp=12 nm, b) ℓp=18 nm y c) ℓp=24nm.

En la figura 3.2 se representan cuatro niveles de energıa como funcion de la distancia de

separacion de los pozos δ-dopados en el rango de 10-40 nm. Se puede observar, como efectiva-

mente hay una degeneracion entre los niveles de energıa. Entre el estado base y primer estado

excitado la degeneracion se da cuando la distancia entre los pozos es mayor a 24 nm, cuando la

distancia es de 24 nm se ve como ya hay un desdoblamiento de niveles, ya que el estado base

y el primer estado excitado se encuentran con una energıa de E0=-118 meV y E1=-117 meV,


10 15 20 25 30 35 40-250

-200

-150

-100

-50

0

E3

E2

E1

E0

-48 meV

-117 meV

-118 meV

-47 meV

-69 meV-123 meV

-45 meV

-76 meV

-133 meV

24 nm18 nm

Ener

gía

(meV

)

Distancia (nm)

12 nm

-148 meV

-126 meV

-58 meV

Figura 3.2: Niveles de energıa como funcion de la distancia de separacion ℓp de los pozos δ-dopados simetricos con NL

2d=NR2d=5.0×1012 cm−2. E0 estado base, E1 primer estado excitado,

E2 segundo estado excitado y E3 tercer estado excitado. Se muestran las diferencias de energıaque corresponden a ℓp=12, 18 y 24 nm.

respectivamente. Para el tercer y cuarto estado la degeneracion se da para una distancia mayor

a 35 nm. Cualitativamente a traves de los valores de energıa que corresponden a las distancias

(12 nm, 18 nm y 24 nm) utilizadas en la figura 3.1, se observa que la diferencia de energıa entre

el estado base y primer estado excitado (E10), ası como entre el tercer y cuarto estado (E32),

aumenta conforme los pozos se van acercando. El comportamiento obtenido en este sistema

concuerda con el que se mostro en la figura 1.10. Se ha visto entonces, como es la estructura

electronica para un sistema δ-dopado doble simetrico.

Las figuras 3.3 y 3.4 muestran la estructura electronica cuando al sistema formado por los

dos pozos δ-dopados se le da cierta asimetrıa. Esta se da a traves de la densidad de impurezas

del pozo de la derecha NR2d que se esta tomando en cuenta, en este caso esta densidad es de

NR2d=4.0×1012 cm−2 y la del pozo de la izquierda NL

2d=5.0×1012 cm−2, al igual que en el caso


-250

-200

-150

-100

-50

0

-250

-200

-150

-100

-50

0

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-250

-200

-150

-100

-50

0

a)

c)

Ener

gía

(meV

)

b)

Distancia (nm)

Figura 3.3: Perfil de potencial y densidades de probabilidad de los primeros cuatro estados deenergıa para un pozo δ-dopado doble asimetrico, con densidad de impurezas NL

2d=5.0×1012 cm−2

y NR2d=4.0×1012 cm−2 y diferentes distancias de separacion entre los pozos ℓp. a) ℓp=12 nm, b)

ℓp=18 nm y c) ℓp=24 nm.

simetrico se tomaron los mismos valores de la distancia entre los pozos. La figura 3.3 representa

el perfil de potencial y la densidad de probabilidad para cuatro estados de energıa del sistema

antes mencionado.

Se observa como la densidad de probabilidad de los estados ya no es simetrica. Cuando la

distancia entre los pozos es de 12 nm tal y como lo muestra la figura 3.3 a), la densidad de

probabilidad del estado base se encuentra distribuida en los dos pozos, pero es mayor en el pozo


10 15 20 25 30 35 40-250

-200

-150

-100

-50

0

c)b)

20 meV18 meV

E3 E2 E1 E0

Ener

gía

(meV

)

Distancia (nm)

22 meV

a)

Figura 3.4: Niveles de energıa como funcion de la distancia de separacion entre los pozos δ-dopados asimetricos con NL

2d=5.0×1012 cm−2 y NR2d=4.0×1012 cm−2. E0 estado base, E1 primer

estado excitado, E2 segundo estado excitado y E3 tercer estado excitado.

de la izquierda, en el primer estado excitado la densidad de probabilidad esta casi contenida en

el pozo de la derecha, sin embargo hay una pequena probabilidad en el pozo de la izquierda,

es decir, ocurre lo contrario que en el estado base por cuestiones de ortogonalidad, se ve como

es que estos niveles se encuentran separados. En las figuras 3.3 b) y 3.3 c) la densidad de

probabilidad del estado base se localiza en el pozo de la izquierda, mientras que en el primer

estado excitado se halla totalmente contenida en el pozo de la derecha. Los niveles de energıa se

encuentran mas juntos comparados con los de la figura 3.3 a) y ademas estan casi en la misma

energıa, por lo tanto, conforme la distancia entre los pozos aumenta, la diferencia de energıa

entre estos dos estados permanece casi constante.

En la figura 3.4 se muestran los niveles de energıa como funcion de la distancia entre los

pozos δ-dopados para las mismas concentraciones de impurezas utilizadas en la figura 3.3. Se

ve como es que ya no existe degeneracion alguna en los niveles de energıa comparado con el


caso simetrico de la figura 3.2, pero sı como es que el estado base y primer estado excitado se

comienzan a juntar, cuando la distancia entre los pozos es muy pequena, la diferencia de energıa

es mucho mayor, sin embargo, conforme la distancia aumenta, la diferencia de energıa disminuye.

La diferencia de energıa E10 que se analiza es para las distancias utilizadas en la figura anterior

12 nm, 18 nm y 24 nm, obteniendo un valor de 22 meV, 18 meV y 20 meV, respectivamente. Es

importante mencionar que se estan mostrando cuatro estados, sin embargo, el calculo de estas

propiedades opticas lineales y no lineales, esta basado en la transicion del estado base y primer

estado excitado, por ello, solo se muestra la diferencia de energıa entre estos.

3.1.2. Como funcion de la concentracion de los pozos

En la figura 3.5 se presenta el perfil del potencial para un pozo δ-dopado doble asimetrico

con sus correspondientes densidades de probabilidad para cuatro estados (E0, E1, E2 y E3), en

donde la densidad de impurezas del pozo de la izquierda permanece constante NL2d=5.0×1012

cm−2 y la densidad del pozo de la derecha se toma para cuatro valores diferentes de NR2d=3.5,

4.5, 5.5, 6.5 ×1012 cm−2, la distancia entre los pozos δ-dopados es ℓp=12 nm.

En la figura 3.5 a) el valor de la densidad de impurezas del pozo de la derecha esNR2d=3.5×1012

cm−2, se puede observar que la densidad de probabilidad del estado base esta totalmente en la

region del pozo δ-dopado de impurezas izquierdo y la del primer estado excitado esta contenida

casi completamente en el pozo δ-dopado de impurezas derecho, sin embargo, se observa que

existe tambien una pequena probabilidad en el primer pozo. En la figura 3.5 b), NR2d es 4.5×1012

cm−2 y para esta configuracion la densidad de probabilidad del estado base se distribuye en los

dos pozos, pero es mayor en el primero, en el primer estado excitado esta compartida entre las

regiones de los dos pozos δ-dopados. En la figura 3.5 c) la densidad de impurezas del pozo de la

derecha NR2d supera la densidad del pozo de la izquierda NL

2d, se observa entonces que la densi-


-250

-200

-150

-100

-50

0

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-250

-200

-150

-100

-50

0

-250

-200

-150

-100

-50

0

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-250

-200

-150

-100

-50

0

Ener

gía

(meV

)

d)

c)

b)

Ener

gía

(meV

)

a)

Distancia (nm)

Distancia (nm)

Figura 3.5: Perfil del potencial y densidades de probabilidad de los primeros cuatro estados paraun pozo δ-dopado doble asimetrico con una distancia de separacion entre los pozos de ℓp=12nm. La densidad de impurezas del pozo δ-dopado de la izquierda (primer pozo) NL

2d se encuentrafija en 5.0×1012 cm−2 y la densidad del pozo de la derecha NR

2d con valores de a) 3.5×1012 cm−2,b) 4.5×1012 cm−2, c) 5.5×1012 cm−2 y d) 6.5×1012 cm−2.

dad de probabilidad del estado base se desplaza a la region del pozo δ-dopado derecho, la causa

que lo origina es que esta region del pozo es ahora mas atractiva. La densidad de probabilidad

del primer estado excitado se encuentra claramente en la region del pozo δ-dopado izquierdo.

Finalmente en la figura 3.5 d) que corresponde a NR2d=6.5×1012 cm−2 en contraste con la figura

3.5 a), las densidades de probabilidad del estado base y primer estado excitado se localizan en

la region del pozo del lado derecho e izquierdo, respectivamente. Este analisis es importante

para investigar en cuales regiones y con que parametros del sistema los elementos de la matriz

de dipolo Mij no son nulos.


0 1 2 3 4 5 6 7-200

-160

-120

-80

-40

0

16 meV

d)c)b)

28 meV18 meV

18 meV

Ener

gía

(meV

)

Densidad de impurezas NR2d ( 1012 cm-2)

E3 E2 E1

E0

27 meV

a)

Figura 3.6: Niveles de energıa como funcion de la densidad de impurezas del pozo de la derechaNR

2d. E0 estado base, E1 primer estado excitado, E2 segundo estado excitado, E3 tercer estadoexcitado. NL

2d=5.0×1012 cm−2 ℓp=12 nm.

En la figura 3.6 se reportan los primeros cuatro niveles de energıa del sistema como funcion

de la densidad de impurezas del pozo de la derecha NR2d en el rango de 0 a 7 ×1012 cm−2. Se

observa que la diferencia de energıa de transicion entre el estado base y el primer estado excitado

(E1 − E0) decrece hasta el valor de NR2d=5.0×1012 cm−2 siendo de 16 meV (que corresponde

al caso simetrico) y, a partir de este punto esta diferencia de energıa comienza a incrementar

nuevamente. El valor de esta diferencia para las densidades utilizadas en la figura 3.5 a) 3.5×1012

cm−2, b) 4.5×1012 cm−2, c) 5.5×1012 cm−2 y d) 6.5×1012 cm−2 es 27 meV, 18 meV, 18 meV

y 28 meV, respectivamente. Esta diferencia de energıa determina la localizacion de los picos

resonantes para el caso del coeficiente de absorcion que se discutira en el capıtulo 4.


-225

-150

-75

0

75

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-225

-150

-75

0

75

-225

-150

-75

0

75

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-225

-150

-75

0

75

Ener

gía

(meV

)

d)

c)

b)

Ener

gía

(meV

)

a)

Distancia (nm)Distancia (nm) Distancia (nm)

Distancia (nm)

Figura 3.7: Perfil del potencial y densidades de probabilidad del estado base y primer estadoexcitado para un pozo δ-dopado doble asimetrico aplicando un campo electrico de a) 5 kV/cm,b) 10 kV/cm, c) 15 kV/cm y d) 20 kV/cm. La distancia entre los pozos es ℓp=12 nm, ladensidad de impurezas del pozo de la izquierda y de la derecha de 5.0×1012 cm−2 y 4.0×1012

cm−2, respectivamente.

3.1.3. Como funcion del campo electrico F aplicado

En la figura 3.7 se presenta el perfil de potencial y la densidad de probabilidad de los primeros

dos estados de energıa (E0, E1) para un pozo δ-dopado doble asimetrico, fijando la densidad

de impurezas en ambos pozos que conforman el sistema (NL2d=5.0×1012 cm−2 y NR

2d=4.0×1012

cm−2), en la cual se investigan los efectos producidos por un campo electrico estacionario en la

estructura electronica del sistema. En la figura 3.7 a) se observa que el campo electrico aplicado,

cuyo valor es de F es 5.0 kV/cm, no tiene influencia significativa en la estructura electronica,


-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-160

-140

-120

-100

d)c)b)

E1 E0

17 meV16 meV17 meV

Ener

gía

(meV

)

Campo eléctrico (kV/cm)

18 meV

a)

Figura 3.8: Niveles de energıa como funcion de un campo electrico externo aplicado. E0 esta-do base, E1 primer estado excitado, E2 segundo estado excitado, E3 tercer estado excitado.NL

2d=5.0×1012 cm−2, NR2d=4.0×1012 cm−2 y ℓp = 12 nm. Se presenta las diferencias de energıa

entre el estado base y primer estado excitado para cada valor del campo electrico aplicado.

comparandola con la figura 3.1 b). Cuando se comienza a incrementar el campo hasta F = 10

kV/cm tal y como se muestra en la figura 3.7 b) se observa que tampoco existe modificacion

alguna en la estructura electronica del sistema, sin embargo, cuando el campo alcanza el valor

de F = 15 kV/cm que corresponde a la figura 3.7 c), la densidad de probabilidad para el estado

base y primer estado excitado se vuelve casi simetrica, solo por el efecto del campo electrico.

Finalmente para F = 20 kV/cm, la densidad de probabilidad del estado base esta totalmente

contenida en el pozo δ-dopado de la derecha y la del primer estado excitado se encuentra

contenida en los dos pozos con mayor proporcion en el pozo de la izquierda tal y como se

muestra en la figura 3.7 d).

La figura 3.8 muestra el estado base y primer estado excitado de energıa como funcion de

un campo electrico externo aplicado en el rango de −20 < F < 20 kV/cm, para densidades


NL2d=5.0×1012 cm−2 y NR

2d=4.0×1012 cm−2 y una distancia de separacion entre los pozos de

ℓp = 12 nm. La diferencia de energıa E1−E0, cuando el campo electrico tiene un valor de F = 5

kV/cm, es 18 meV. Por otro lado el campo electrico aplicado, cuando la diferencia de energıa

es mınima (16 meV), tiene un valor de F = 15,0 kV/cm. Finalmente para F = 20,0 kV/cm,

E1 − E0=17 meV. Entonces, la diferencia de energıa entre los dos primeros estados decrece de

-20 a 15 kV/cm.

Capıtulo 4

Propiedades opticas lineales y no

lineales

4.1. Coeficiente de absorcion e ındice de refraccion

En este capıtulo se presentan los resultados de las propiedades opticas lineales y la correccion

no lineal de tercer orden que se obtienen con base en la estructura electronica de los pozos δ-

dopados dobles asimetricos. Era necesario, antes de realizar el calculo del coeficiente de absorcion

y del cambio relativo del ındice de refraccion del sistema cuantico, hacer un estudio completo

de la estructura electronica como se presenta en el capıtulo anterior. Se hace mencion de esto,

puesto que el estudiar de manera adecuada y profunda la estructura electronica del sistema

permite no solo entender el comportamiento fısico de este, sino tambien investigar regiones de

los parametros del sistema para los cuales se obtienen las propiedades opticas de interes.

La importancia de calcular la estructura electronica completa, se fundamenta en lo siguiente;

es necesario conocer para que rango de los parametros del sistema se tienen elementos de matriz

49

50 CAPITULO 4. PROPIEDADES OPTICAS LINEALES Y NO LINEALES

dipolar (Mij) con valores no nulos, los cuales se definen como

Mij =∫ψi(z) z ψj(z)dz =< ψi| z |ψj > . (4.1)

Que fundamentalmente representa el momento dipolar asociado con la transicion entre dos

estados cuanticos i-esimo y j-esimo. Como se puede ver claramente de las expresiones para el

coeficiente de absorcion tanto en su parte lineal (ec. 2.24), como su correccion de tercer orden

(ec. 2.25) ası como las correspondientes al cambio relativo del ındice de refraccion, dados por

las ecuaciones (2.27) y (2.28), dichas propiedades dependen de este elemento de matriz.

Entonces, es primordial el investigar cuando es que este elemento de matriz dipolar, dado por

la ecuacion (4.1), es diferente de cero. Queda claro que debe existir cierto traslape espacial en las

funciones de onda del estado i-esimo y j-esimo para que el valor de la integral (4.1) sea diferente

de cero. Por otro lado, si se introduce un cierto grado de asimetrıa al sistema, cambiando por

ejemplo la densidad de impurezas del pozo de la derecha (NR2d), dicho traslape se hace menor y

a su vez, justamente por la asimetrıa que se induce en las funciones de onda, la diferencia de

elementos de matriz al cuadrado (|M11 −M00|2), que toma cuenta de dicha asimetrıa, empieza

a ser distinto de cero y contribuye a las correcciones de tercer orden tanto en el coeficiente

de absorcion como en el cambio relativo del ındice de refraccion. En las siguientes secciones se

muestra la dependencia de estos factores como funcion de la separacion entre los pozos (ℓp), de

la densidad de impurezas del pozo de la derecha (NR2d), manteniendo fijos los demas parametros,

y finalmente como funcion del campo electrico externo aplicado (F ). Se presentan y discuten

los resultados del coeficiente de absorcion y cambio relativo del ındice de refraccion para cada

caso.

4.1. COEFICIENTE DE ABSORCION E INDICE DE REFRACCION 51

4.1.1. Como funcion de la separacion entre pozos

Para investigar en que regiones de los parametros de interes se tienen valores no-nulos del

factor |M10|2, que es el elemento de la matriz dipolar al cuadrado y del factor |M11 −M00|2 que

toma en cuenta la asimetrıa del sistema, se grafica la magnitud de estos dos parametros como

funcion de la sepacion entre los pozos, manteniendo fijas las concentraciones de impurezas de

las capas δ-dopadas en NL2d = 5,0 × 1012 cm−2 para la capa de la izquierda y NR

2d = 4,0 × 1012

cm−2 para la de la derecha. En la figura 4.1 se presentan dichos comportamientos para un

rango de separacion entre pozos de 10 a 20 nm, que es el rango de separacion para el que

se encontraron valores significativos para |M10|2. Por otro lado, se observa que el factor de

asimetrıa |M11−M00|2, que participa en las correcciones de tercer orden, tanto del coeficiente de

absorcion (ec. 2.24) como del ındice de refraccion (ec. 2.28) aumentan de manera importante en

este rango de separacion entre pozos. Sin embargo, se debe enfatizar que es aun mas importante

el rol de |M10|2 ya que, como se observa de las expresiones anteriores, las propiedades opticas

dependen linealmente de este y aunque el factor de asimetrıa crece de manera importante esto

no impacta considerablemente en las propiedades fısicas de interes, porque el valor de |M10|2

tiende a cero para separaciones mayores a 20 nm. Entonces aunque |M11−M00|2 crece de manera

importante, las propiedades opticas siguen moduladas por |M10|2 que tiende a cero cuando ℓp

aumenta. Finalmente, se puede observar que el maximo valor de |M10|2 esta cerca de los 11

nm, lo cual es muy importante porque dice que para una separacion entre pozos de alrededor

de este valor se tendra un maximo del coeficiente de absorcion y un mayor cambio relativo del

ındice de refraccion. A continuacion se muestran estas dos propiedades opticas como funcion de

la separacion de los pozos ℓp.

En la figura 4.2 a) se muestra el comportamiento del coeficiente de absorcion lineal α(1)(ω)

para dos valores particulares de la distancia de separacion entre pozos, la lınea solida representa


10 12 14 16 18 200

3

6

9

12

15

18

10 12 14 16 18 200

80

160

240

320

400

|M10

|2 (n

m2 )

Distancia (nm)

|M11

-M00

|2 (n

m2 )

Distancia (nm)

Figura 4.1: Dependencia con la distancia de separacion entre los pozos (ℓp) del elemento dematriz dipolar al cuadrado (|M10|2) y del factor |M11 − M00|2 para un pozo δ-dopado dobleasimetrico con NL

2d = 5,0× 1012 cm−2 y NR2d = 4,0× 1012 cm−2.

dicho coeficiente de absorcion para una separacion entre pozos de 12 nm y la lınea punteada

para el caso de 18 nm. Los picos de resonancia (que corresponden a la energıa de transicion

E1 − E0) de este coeficiente, se encuentran en 22 y 18 meV, respectivamente para cada valor

de la distancia. Se observa que para una distancia de separacion de 18 nm el pico resonante

se encuentra a la izquierda respecto del que corresponde a ℓp = 12 nm, es decir, experimenta

un corrimiento hacia el rojo como queda claro de la figura 3.4 donde se grafican los niveles

de energıa como funcion de ℓp. Ademas de que la intensidad de este pico es mucho menor que

el pico resonante que corresponde a ℓp = 12 nm como lo evidencıa la figura 4.1 que dice que

el parametro |M10|2 es maximo alrededor de esta separacion (12 nm) y disminuye conforme

se separan cada vez mas los pozos δ-dopados de impurezas (18 nm). En la figura 4.2 b) se

presenta la correccion no lineal de tercer orden al coeficiente de absorcion, la cual se sabe que

es consecuencia de la intensidad del laser incidente, que en este caso es I=0.1 MW/cm2, y de la


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

(1) (

) (10

5 m-1

) ld=18 nm ld=12 nm

b)

a)

c)

(3) (

,I) (1

05 m-1

)

(,I)

(105 m

-1)

Energía (meV)

n(1) (

)/n

n(3) (

,I)/n

f)

n(,I)

/n

d)

e)

Energía (meV)

Figura 4.2: a) Coeficiente de absorcion lineal α(1)(ω), b) Correccion de tercer orden α(3)(ω, I),c) Coeficiente de absorcion total α(ω, I), d) Cambio relativo lineal del ındice de refraccion∆n(1)/n, e) Correccion de tercer orden del cambio relativo de ındice de refraccion ∆n(3)(ω, I)/ny f) Cambio relativo total del ındice de refraccion ∆n(ω, I)/n para un pozo δ-dopado dobleasimetrico como funcion de la energıa del foton incidente para una separacion entre pozos deℓp=12 nm y ℓp=18 nm. Con concentraciones bidimensionales de impurezas NL

2d=5.0×1012 cm−2

y NR2d=4.0×1012 cm−2.

asimetrıa del potencial. Se encuentra que la correccion de tercer orden es mas importante para

el caso de una separacion entre pozos mas pequena, de hecho esta es del 30% respecto de la

contribucion lineal para ℓp=12 nm y del 20% de su respectiva parte lineal cuando la separacion

entre pozos aumenta hasta los 18 nm. Finalmente se presenta el coeficiente de absorcion total en

la figura 4.2 c) que es la suma de las contribuciones lineales y las correspondientes correcciones

de tercer orden. Lo importante de esta figura es el hecho de que cuando la separacion entre


pozos es cercana a los 20 nm, el coeficiente de absorcion total practicamente es cero, debido

fundamentalmente a que el valor de |M10|2 va a cero en esta region, como queda claro de la

figura 4.1 y que cuando ℓp es 12 nm este coeficiente de absorcion total, incluida su correccion

por efecto de laser intenso y asimetrıa del potencial es maxima.

Por otro lado, el cambio relativo del ındice de refraccion de primer orden ∆n(1)/n como

funcion de la energıa del foton incidente, se muestra en la figura 4.2 d). Se puede ver como

es que existen regiones en donde ∆n es mayor que n y otra en donde se vuelve negativo. La

distancia entre los pozos repercute de manera significativa en el valor de la energıa para la cual

∆n=0. Cuando los pozos se encuentran a una distancia de 12 nm la energıa del foton incidente

para la cual el cambio relativo del ındice de refraccion de primer orden tiene el nodo, es 22 meV

y para 18 nm se encuentra en 18 meV. Como se puede concluir del valor de las energıas, el

cambio relativo del ındice de refraccion experimenta tambien un corrimiento hacia el rojo, ya

que la diferencia de energıa del estado base y primer estado excitado disminuye. En la figura

4.2 e) se muestra la correccion del tercer orden del cambio relativo del ındice de refraccion,

esta correccion es aproximadamente de un 20% en proporcion del cambio relativo de primer

orden en 12 nm y para 18 nm la correccion es de 14%, este comportamiento esta de acuerdo

a la dependencia que tiene esta correccion con |M10|2. La figura 4.2 f) representa el cambio

relativo del ındice de refraccion total, en el cual se refleja la contribucion de tercer orden para

cada parametro de distancia, por lo tanto, al igual que en el caso del coeficiente de absorcion,

el cambio relativo del ındice de refraccion (tanto en su parte lineal ası como en su correccion de

tercer orden) disminuye de forma significativa conforme la distancia entre los pozos δ-dopados

aumenta.


0 1 2 3 4 5 6 70

20

40

60

80

|M

10|2 , |M

11-M

00|2 (n

m2 )

Densidad de impurezas NR2d (1012 cm -2)

Figura 4.3: Dependencia con la concentracion de impurezas de la capa δ-dopada de la derecha(NR

2d) del elemento de matriz dipolar al cuadrado |M10|2 (lınea continua) y del factor |M11−M00|2(lınea a trozos) para un pozo δ-dopado doble asimetrico con una distancia de separacion entrepozos de 12 nm.

4.1.2. Como funcion de la la concentracion de los pozos

En la seccion anterior se realizo el calculo del coeficiente de absorcion y el cambio relativo

del ındice de refraccion lineal y no lineal de un sistema conformado por dos pozos δ-dopados

asimetricos como funcion de la distancia ℓp entre los pozos, sin embargo, como se ha propuesto

anteriormente, se quiere conocer tambien el comportamiento de estas propiedades en funcion

de la asimetrıa generada al variar la densidad de impurezas del segundo pozo (NR2d), dejando

fija la densidad de impurezas del primero (NL2d) ası como la distancia entre ellos. Para esto,

primeramente se analizan los elementos de la matriz dipolar |M10|2 y |M11 −M00|2 que como

se sabe son los factores que mas influyen en estas propiedades. En la figura 4.3 se muestra la


dependencia de los elementos de la matriz dipolar |M10|2 y |M11 −M00|2 con la densidad de

impurezas del pozo de la derecha (NR2d) en el rango de 0 a 7.0 × 1012 cm−2, el pozo de la izquierda

tiene una densidad de 5.0 × 1012 cm−2, siendo la distancia entre ellos de 12 nm. Se observa que

el valor maximo de |M10|2 corresponde al caso simetrico (NR2d=5.0×1012 cm−2), por ello, para

valores cercanos a esta densidad se tendran coeficientes de absorcion lineales maximos debido

a su dependencia con |M10|2. Mientras tanto, el factor que se ve afectado por la asimetrıa del

sistema |M11−M00|2 tiene valor mınimo (cero) tambien en dicha densidad NR2d=5.0×1012 cm−2.

Por esta razon la contribucion de tercer orden en regiones cercanas con este valor de densidad,

se veran afectadas simplemente por |M10|2 y por efectos de laser intenso.

A continuacion se muestra el efecto que tienen los valores de |M10|2 y |M11−M00|2 sobre las

propiedades opticas que se estudian en este trabajo, reportando el coeficiente de absorcion y el

cambio relativo en el ındice de refraccion en el rango de 3.5 a 6.5 ×1012 cm−2, que es en el cual

|M10|2 tiene valores importantes, fuera de este rango el valor de este es muy pequeno. Por otro

lado, se puede observar que |M11−M00|2 tiene un valor maximo cuando NR2d=3.0×1012 cm−2, lo

cual puede resultar interesante en las correcciones de tercer orden de ambas propiedades fısicas,

pero que sin embargo, no son tan importantes en este trabajo, puesto que se pretende investigar

las regiones en las cuales se maximizan las propiedades opticas de interes, las cuales se discuten

enseguida.

En la figura 4.4 a) se reporta el comportamiento del coeficiente de absorcion lineal α(1)(ω)

para cuatro valores diferentes de NR2d. Los picos de resonancia para la energıa de transicion

(E1 − E0) correspondientes a las densidades 3.5, 4.5, 5.5 y 6.5 en unidades de ×1012 cm−2 se

encuentran en 28, 18, 18 y 27 meV, respectivamente. Claramente se ve que para los tres primeros

valores de NR2d se tiene un corrimiento al rojo tomando como base la densidad de 3.5×1012 cm−2,

sin embargo, para el valor de 6.5×1012 cm−2 el pico resonante experimenta un corrimiento al


0.00.20.40.60.81.01.2

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.00.20.40.60.81.01.2

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

-0.02

0.00

0.02

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10 6.5x10

12 cm

-2

5.5x1012

cm-2

4.5x1012

cm-2

3.5x1012

cm-2

(1) (

) (10

5 m-1

)

b)

a)

c)

(3) (

,I) (1

05 m-1

)

(,I)

(105 m

-1)

Energía (meV)

n(1) (

)/n

n(3) (

,I)/n

f)

n(,I)

/n

d)

e)

Energía (meV)

Figura 4.4: a) Coeficiente de absorcion lineal α(1)(ω), b) Correccion no lineal de tercer ordenα(3)(ω, I) y c) Coeficiente de absorcion total α(ω, I), d) Cambio relativo del ındice de refraccionde primer orden ∆n(1)/n, e) Correccion de tercer orden ∆n(3)(ω, I)/n y f) Cambio relativo totaldel ındice de refraccion ∆n(ω, I)/n para un pozo δ-dopado doble asimetrico como funcion de laenergıa del foton incidente con NL

2d=5.0×1012 cm−2 y varios valores de la densidad de impurezasdel pozo de la derecha NR

2d. La distancia entre los pozos es ℓp=12 nm.

azul respecto a los otros. La situacion anterior ocurre ya que la diferencia de energıa entre el

estado base y el primer estado excitado a partir de NR2d=5.0×1012 cm−2 incrementa, tal y como lo

muestra el analisis de la figura 3.4. La figura 4.4 b) corresponde a la correccion a tercer orden del

coeficiente de absorcion α(3)(ω, I) debido a efectos de laser intenso, ası como a la asimetrıa del

sistema a traves del factor |M11 −M00|2 que se presento en la figura 4.3. Los picos resonantes

estan localizados en el mismo valor de energıa que los del coeficiente lineal, sin embargo, la


magnitud de la correccion de tercer orden es de aproximadamente de un 45% respecto de la

contribucion de primer orden para las densidades 4.5 y 5.5 ×1012 cm−2 y del 20% para 3.5 y 6.5

×1012 cm−2. Finalmente en la Figura 4.4 c) se muestra el coeficiente de absorcion total donde

se observa que la amplitud de α(ω, I) es escencialmente igual para todas las concentraciones.

La explicacion de esto es que la magnitud de la correccion de tercer orden aumenta de manera

considerable para los valores 4.5 y 5.5×1012 cm−2, sin embargo, disminuye para 3.5 y 6.5×1012

cm−2. Esto fundamentalmente es debido al hecho de que al variar la concentracion de 4.5 a

5.5 ×1012 cm−2, el pozo se hace casi simetrico y hace que aumente significativamente el valor

del elemento de matriz |M10|2 tal y como se muestra la figura 4.3. Esto implica por un lado, el

aumento tan importante del maximo del coeficiente de absorcion del sistema dada la dependencia

lineal de α(1)(ω) con |M10|2, por otro lado, explica tambien la correccion de tercer orden, que

como ya se discutio, es del orden de 45% y 20%. Cabe mencionar que la correccion de tercer

orden depende tambien de la asimetrıa del sistema a traves del factor |M11 − M00|2, el cual

se vuelve mas importante conforme el sistema es mas asimetrico. Por ello, para los valores de

3.5 ×1012 cm−2 y 6.5 ×1012 cm−2 la correccion de tercer orden es menor porcentualmente que

cuando la densidad de impurezas del pozo de la derecha vale 4.5 ×1012 cm−2 y 5.5 ×1012 cm−2.

Lo anterior se observa claramente en la figura 4.4 c), donde inclusive el maximo del coeficiente

de absorcion total es mayor para el caso mas asimetrico que simetrico, en contraste con el caso

del coeficiente de absorcion lineal, debido a la correcciones de tercer orden.

Por otro lado, en la figura 4.4 d) se reporta el cambio relativo del ındice de refraccion de

primer orden ∆n(1)/n como funcion de la energıa del foton incidente, de la figura se observa

que existen regiones de energıa del foton, para cada valor de NR2d, donde ∆n es “mucho” mas

grande que n, eventualmente el cambio relativo del ındice de refraccion es cero, posteriormente

se vuelve negativo. La energıa del foton para la cual ∆n=0 depende del valor de NR2d (hω del


nodo), para ello cuando NR2d tiene valores de 3.5 (28 meV), 4.5 (18 meV), y 5.5×1012 cm−2 (18

meV). Esta energıa del foton incidente (para la cual ∆n=0) experimenta un corrimiento hacia

el rojo, pero cuando NR2d=6.5 ×1012 cm−2 (27 meV) sufre un cambio hacia el azul respecto

a las otras densidades. Ademas para NR2d de 4.5 y 5.5×1012 cm−2, la diferencia del ındice de

refraccion ∆n es mas significativa aun que la correspondiente al conjunto de los otros valores,

por los mismos argumentos ya mencionados de la dependencia con |M10|2. En la figura 4.4 e) se

reporta la correccion de tercer orden ∆n(3)(ω, I)/n del cambio relativo del ındice de refraccion,

el cual es un 20% de la magnitud del cambio relativo del ındice de refraccion de primer orden

para las densidades de 4.5 y 5.5 ×1012 cm−2. Finalmente en la figura 4.4 f) se reporta el cambio

relativo total del ındice de refraccion del sistema, el cual considera una vez mas la dependencia

de este parametro tanto en |M10|2 como la asimetrıa del sistema a traves de |M11 −M00|2.

4.1.3. Como funcion del campo electrico

Finalmente otro parametro a considerar y que ademas induce mas asimetrıa al pozo δ-dopado

doble, es un campo electrico externo. Tal y como se vio en el calculo de la estructura electronica,

el aplicarlo sobre el sistema cambia la interaccion y traslape entre las funciones de onda, por

lo cual, los elementos de la matriz dipolar tambien se ven afectados. La figura 4.5 muestra la

dependencia con el campo electrico, en el rango de -20< F <20 kV/cm, de los elementos |M10|2

y |M11−M00|2 para un sistema donde la densidad de impurezas del primer pozo es NL2d=5.0×1012

cm−2 y la densidad del segundo es NR2d=4.0×1012 cm−2, siendo la distancia entre ellos de 12 nm.

Se observa como el elemento |M10|2 incrementa hasta el valor de F=15 kV/cm en donde

alcanza su valor maximo, y de la figura 3.7 c) que corresponde a este valor del campo, se puede

observar que a pesar de que el perfil de potencial no es simetrico, si lo son ası las funciones de

onda, lo cual por un lado maximiza el valor de |M10|2 y por otro anula el factor de |M11−M00|2.


-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

10

20

30

40

50

60

70

|M

10|2 , |M

11-M

00|2 (n

m2 )

Campo eléctrico (kV/cm)

Figura 4.5: Dependencia con el campo electrico externo F del valor del elemento |M10|2 (lıneacontinua) y |M11 − M00|2 (lınea a trozos) para el sistema de estudio cuando la separacionentre pozos es de 12 nm y las concentraciones de impurezas son de NL

2d=5.0×1012 cm−2 yNR

2d=4.0×1012 cm−2 para los pozos de la izquierda y derecha, respectivamente.

Pasando este valor de campo electrico, |M10|2 comienza a disminuir una vez mas, esto traera un

efecto de atenuamiento en el coeficiente de absorcion lineal para valores mayores de 15 kV/cm.

Por otra parte, el valor |M11−M00|2 disminuye de 0 a 15 kV/cm, siendo en 15 kV/cm donde tiene

su valor mınimo, comprobando una vez mas que este factor se ve involucrado por la simetrıa o

asimetrıa del sistema (siendo nulo cuando existe simetrıa en las funciones de onda). Una vez ya

con un panorama general del comportamiento de los elementos de la matriz dipolar, de los cuales

dependen y son los factores mas importantes en el calculo de la propiedades opticas lineales y

no lineales, se puede explicar como repercuten en el calculo de las mismas.

La figura 4.6 a) muestra el comportamiento del coeficiente de absorcion lineal α(1)(ω) para


0.00.20.40.60.81.01.2

-0.75

-0.60

-0.45

-0.30

-0.15

0.00

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.00.20.40.60.81.01.2

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10 20 kV/cm 15 kV/cm 10 kV/cm 5 kV/cm

(1) (

) (10

5 m-1

)

b)

a)

c)

(3) (

,I) (1

05 m-1

)

(,I)

(105 m

-1)

Energía (meV)

n(1) (

)/n

n(3) (

,I)/n

f)

n(,I)

/n

d)

e)

Energía (meV)

Figura 4.6: a) Coeficiente de absorcion lineal α(1)(ω), b) Coeficiente de absorcion no lineal α(3)(ω,I) y c) Coeficiente de absorcion total α(ω, I), d) Cambio relativo del ındice de refraccion deprimer orden ∆n(1)/n, e) Correccion de tercer orden ∆n(3)(ω, I)/n y f) Coeficiente de absorciontotal ∆n(ω, I)/n para un pozo δ-dopado doble asimetrico como funcion del la energıa del fotonincidente para diferentes valores de campo electrico F aplicado.

cuatro valores diferentes de campo electrico aplicado sobre un pozo δ-dopado con los mismos

parametros usados en la figura 4.5. La diferencia de energıa (E1−E0) que da la ubicacion de los

picos resonantes del coeficiente de absorcion lineal es 18, 17, 16 y 17 meV, respectivamente para

los valores de campo electrico 5, 10, 15 y 20 kV/cm. Se puede observar que el comportamiento

del coeficiente es muy parecido al mostrado en la figura 4.4, los picos resonantes muestran

un corrimiento al rojo y tal como lo predice la diferencia de energıa entre el estado base y el

primer estado excitado (ver figura 3.8), el valor de F=15 kV/cm es el que mas experimenta este


corrimiento, ya que la diferencia de energıa de transicion es mas pequena. Sin embargo, cuando

el valor del campo electrico es de 20 kV/cm, el comportamiento del coeficiente de absorcion toma

el mismo comportamiento que el de F=10 kV/cm y tiene un corrimiento hacia el azul respecto

a los valores previos del campo. En la correccion a tercer orden del coeficiente de absorcion

α(3)(ω, I) que se muestra en la figura figura 4.6 b) los picos resonantes estan localizados en el

mismo valor de energıa que los del coeficiente lineal, el orden de magnitud de la correccion de

tercer orden es diferente para cada valor del campo electrico, por ejemplo, para F=5 kV/cm es

del 40% en proporcion al coeficiente de absorcion lineal, para F=15 kV/cm es del 55% y para

F=10 y 20 kV/cm del 50%, esto se obtiene, ya que para 5 kV/cm el valor de |M10|2 es menor

que el correspondiente a los demas valores del campo electrico, por lo tanto esta contribucion

es menor. Para 15 kV/cm la contribucion es mayor, ya que |M10|2 es maximo, ademas que el

factor |M11 −M00|2 que se ve afectado por la simetrıa que adquiere el sistema, es cero. En 10 y

20 kV/cm el valor de |M10|2 y |M11 −M00|2 es el mismo, por lo cual, la contribucion de tercer

orden tambien lo es. Estas contribuciones se pueden ver claramente reflejadas en el coeficiente

de absorcion total que se muestra en la figura 4.6 c), disminuyendo en mayor proporcion el

coeficiente que corresponde a 15 kV/cm.

Finalmente en la figura 4.6 d) se presenta el cambio relativo del ındice de refraccion de primer

orden ∆n(1)/n como funcion de la energıa del foton incidente, la energıa para la cual ∆n=0 es

18, 17, 16 y 17 meV y corresponde para cada valor 5, 10, 15 y 20 kV/cm del campo electrico,

respectivamente. Tal como lo muestra la figura 4.6 d) y los valores de energıa, se observa que

conforme se aumenta el campo electrico el nodo (∆n = 0 ) experimenta un corrimiento hacia el

rojo. Sin embargo, cuando el campo es 20 kV/cm se tiene un corrimiento hacia el azul respecto

a los demas valores y el comportamiento es esencialmente el mismo que el de F=10 kV/cm . La

correccion de tercer orden del cambio relativo del ındice de refraccion tiene un valor del 30% de


la magnitud de la del primer orden para todos los valores de F aplicados sobre el sistema, como

se muestra en la figura 4.6 e), en esta ocasion esta correccion depende de los demas factores

involucrados en la ec. 2.28 y no solo de los elementos de la matriz dipolar. El cambio relativo

total del ındice de refraccion se muestra en la figura 4.6 f), en donde se considera la contribucion

de la correccion de tercer orden.

Capıtulo 5

Conclusiones

En este trabajo de tesis se presenta el calculo de la estructura electronica y de las propiedades

opticas lineales y no lineales para un pozo δ-dopado doble asimetrico tipo n en una matriz de

GaAs. En el presente estudio, se ha usado el esquema de la masa efectiva, utilizando un modelo

analıtico sencillo del potencial que se ha propuesto para modelar el sistema de un pozo δ-dopado

doble asimetrico. El objetivo es proponer valores de diseno de este tipo de sistemas donde se

tengan respuestas opticas como las que se calculan aquı.

Primeramente, se calculo la estructura electronica de los pozos δ-dopados dobles como fun-

cion de diferentes parametros, por ejemplo, como funcion de la separacion de los pozos ℓp en

un rango de 10 a 20 nm para el caso completamente simetrico, comparando los resultados con

calculos previos [15,47] para mostrar que nuestros resultados son correctos. Se calculo entonces

la estructura electronica de un pozo δ-dopado doble asimetrico, suponiendo que la densidad

de impurezas de las capas δ-dopadas son distintas. En general, se consideraron densidades de

impurezas en el rango de 1012 cm−2, en particular las densidades de 5,0×1012 cm−2 y 4,0×1012

cm−2.

Una vez fijadas las concentraciones de impurezas, se calculo la estructura electronica del

65

66 CAPITULO 5. CONCLUSIONES

sistema como funcion del la separacion entre los pozos en un rango de 10 a 20 nm y se en-

contro que el elemento de matriz dipolar |M10|2 es maximo alrededor de los 11 nm para la

separacion entre capas δ-dopadas de impurezas y tiende a cero rapidamente alrededor de los

20 nm, esto determina en que region de separacion entre capas de impurezas, el coeficiente de

absorcion y el cambio relativo del ındice de refraccion son maximos, lo cual, se puede observar

claramente en las figuras 4.2. Finalmente, se debe aclarar que a pesar de que el factor de asi-

metrıa |M11 −M00|2 aumenta de manera importante como funcion de la separacion entre las

capas, no influye significativamente en las correcciones de tercer orden tanto del coeficiente de

absorcion como del cambio relativo del ındice de refraccion, dada la dependencia lineal de dichas

correcciones con |M10|2, como queda claro de las ecuaciones (2.25) y (2.28). De esta parte de

los resultados, se puede concluir que para una separacion entre capas de alrededor de 12 nm se

tendran respuestas opticas importantes del sistema de estudio y que no es recomendable crecer

el sistema con separacion entre pozos mas alla de los 20 nm, porque dichas propiedades no son

tan buenas con respecto de esta separacion que maximiza a |M10|2.

Ya determinada una separacion adecuada entre capas, se investigo la estructura electronica

completa del sistema, manteniendo fija dicha separacion entre pozos en 12 nm y la concentracion

de la capa δ-dopada de la izquierda enNL2d = 5,0×1012 cm−2, graficando la estructura electronica,

con algunas funciones de onda como funcion de la densidad de impurezas de la capa de la derecha

desde 0 hasta 7.0×1012 cm−2, encontrando por un lado, que la mınima separacion energetica

corresponde al caso simetrico, es decir, cuando NL2d = NR

2d. Se calculo tambien la dependencia de

los elementos de matriz, en este caso como funcion de NR2d y se encontro que |M10|2 es maximo

tambien cuando el sistema es simetrico y que el factor de asimetrıa efectivamente vale cero justo

en este punto. Este analisis permite entonces, el calcular tanto el coeficiente de absorcion total

ası como el cambio relativo del ındice de refraccion total para el rango de concentraciones de

67

impurezas para las cuales el valor |M10|2 es significativo, el cual es: 3,5 < NR2d < 6,5 en unidades

de ×1012 cm−2. En esta parte, se puede concluir que a pesar de que el factor de asimetrıa, para el

rango de impurezas que se trabaja, pareciera no ser tan importante, se ve que las correcciones de

tercer orden sı lo son y como consecuencia se tienen propiedades opticas totales con amplitudes

independientes de la concentracion, cambiando unicamente la ubicacion del pico resonante en

cada caso.

Finalmente se investigo el efecto de un campo electrico externo aplicado en la direccion de

crecimiento del sistema en el rango de -20 a 20 kV/cm. En este caso, se reporta tambien toda

la estructura electronica en este rango, y se identifican las regiones de campo electrico para

los cuales se maximizan los elementos de matriz, cabe mencionar que en este caso usamos la

configuracion de concentracion y separacion entre pozos δ-dopados de impurezas que dan las

mejores respuestas opticas, es decir, ℓp = 12 nm, NL2d = 5,0×1012 cm−2 y NR

2d = 4,0×1012 cm−2.

Para esta configuracion en particular se encuentra que el maximo valor de |M10|2 corresponde al

valor de 15 kV/cm, como se observa de la figura 4.5, que es cuando la funcion de onda adquiere

simetrıa (ver figura 3.7 c). En contraste, el valor de |M11 −M00|2 vale cero en este valor del

campo electrico, lo cual hace que su correccion de tercer orden sea mucho mayor a la de los

otros valores del campo electrico aplicado (5, 10, 20 kV/cm) donde el factor |M11 −M00|2 es

distinto de cero y disminuye la correccion de tercer orden. Este ultimo analisis es de particular

importancia puesto que permite, por medio de un factor fısico externo, como lo es en este caso

un campo electrico estatico, el sintonizar la localizacion del pico resonante del coeficiente de

absorcion y modificar el valor del cambio relativo del ındice de refraccion con relativa facilidad.

Hay que mencionar que este tipo sistemas permiten transiciones opticas que tienen potencial

aplicacion como fotodetectores en el regimen del infrarrojo lejano, como lo propone originalmente

Ahn [64].

68 CAPITULO 5. CONCLUSIONES

Como trabajo a futuro, el estudio de estas propiedades se puede realizar tambien bajo otros

factores externos, tales como: variacion en la temperatura, campo magnetico (incluyendo este

factor en la ecuacion 2.17) y presion hidrostatica, con la cual la constante dielectrica y la masa

efectiva del material se ven afectadas. Ademas, de proponer calculos autoconsistentes para el

modelado del potencial de la banda de conduccion.

Bibliografıa

[1] P. Yu and M. Cardona. Fundamentals of Semiconductors. Springer, third edition, 2005.

[2] Q. Xue, S. Wang, J. Li, H. Zhang, and Z. Jiao. Influence of substrate resistivity on photo-

voltaic characteristics of Pd-doped amorphous carbon film/SiO2/Si heterojunction. Phys.

Status Solidi A, 209:1359–1362, 2012.

[3] N. Herbots, J. M. Shaw, Q. B. Hurst, M. P. Grams, R. J. Culbertson, David. J. Smith,

V Atluri, P. Zimmerman, and K. T. Queeney. The formation of ordered, ultrathin

SiO2/Si(1 0 0) interfaces grown on (1×1) Si(1 0 0) . Mater. Sci. Eng. B, 87:303–316, 2001.

[4] L. Borkovska, N. Korsunska, V. Kladko, M. Slobodyan, O. Yefanov, Ye. Venger, T. Krysh-

tab, Yu. Sadofyev, and I. Kazakov. A new type of structural defects in CdZnSe/ZnSe

heterostructures. Microelectr. J., 39:589–593, 2008.

[5] Y. Gu, O. Kuskovsky, R. Robinson, I. Herman, G. Neumark, X. Zhou, S. Guo, M. Mu-

noz, and M. Tamargo. A comparison between optically active CdZnSe/ZnSe and CdZn-

Se/ZnBeSe self-assembled quantum dots: effect of beryllium. Solid State Commun.,

134:677–681, 2005.

69

70 BIBLIOGRAFIA

[6] I. A. Davidson, R. T. Moug, E. C. Vallance, M. C. Tamargo, and K. A. Prior. MBE

growth and design of II-VI heterostructures for epitaxial lift-off. Phys. Status Solidi A,

209:1428–1431, 2012.

[7] J. Fan, L. Ouyang, X. Liu, J. K. Furdyna, D. J. Smith, and Y. H. Zhang. GaSb/ZnTe

double-heterostructures grown using molecular beam epitaxy. J. Cryst. Growth, 371:122–

125, 2013.

[8] E. Tangarife, S. Y. Lopez, M. de Dios-Leyva, L. E. Oliveira, and C. A. Duque. Effects

of hydrostatic pressure and crossed electric and magnetic fields on shallow-donor states in

quantum wells. Microelectr. J., 39:431–434, 2008.

[9] R. L. Restrepo, G. L. Miranda, C. A. Duque, and M. E. Mora-Ramos. Simultaneous effects

of hydrostatic pressure and applied electric field on the impurity-related self-polarization

in GaAs−Ga1−xAlxAs multiple quantum wells. J. Lumin., 131:1016–1021, 2011.

[10] G. L. Miranda, M. E. Mora-Ramos, and C. A. Duque. Exciton-related energies of the 1s-like

states of excitons in GaAs−Ga1−xAlxAs double quantum wells. J. Lumin., 132:2525–2530,

2012.

[11] S. J. Bass. Silicon and germanium doping of epitaxial gallium arsenide grown by the

trimethylgallium-arsine method. J. Cryst. Growth, 47:613–618, 1979.

[12] C. E. C. Wood, G. Metze, J. Berry, and L. F. Eastman. Complex free-carrier profile

synthesis by ”atomic-plane” doping of MBE GaAs. J. Appl. Phys., 51:383–387, 1980.

[13] K. Ploog. Molecular Beam Epitaxy of Artificially Layered III-V Semiconductors: Ultrathin-

Layer (GaAs)m (AlAs)m superlattices and delta (δ-) Doping in GaAs. Phys. Scripta,

1987:136–12, 1987.

BIBLIOGRAFIA 71

[14] L. Ioriatti. Thomas-Fermi theory of δ-doped semiconductor structures: Exact analytical

results in the high-density limit. Phys. Rev. B, 41:8340–8344, 1990.

[15] I. Rodrıguez-Vargas and L. M. Gaggero-Sager. Subband structure comparison between n-

and p-type double δ-doped GaAs quantum wells. Rev. Mex. Fıs., 50:614–619, 2004.

[16] E. Ozturk, Y. Ergun, H. Sari and I. Sokmen. The self-consistent calculation of Si δ-doped

GaAs structures. Appl. Phys. A Mater. Sci. Process, 73:749–754, 2001.

[17] J. A. Cuesta, A. Sanchez, and A. Dominguez-Adame. Self-consistent analysis of electric

field effects on Si δ-doped GaAs. Semicond. Sci. Technol., 10:1303–7, 1995.

[18] E. Ozturk, Y Ergun, H Sari, and I. Sokmen. Electronic properties of Si δ-doped GaAs

under an applied electric field. Semicond. Sci. Technol., 16:421–6, 2001.

[19] D. J. Carter, O. Warschkow, N. A. Marks, and D. R. McKenzie. Electronic structure of

two interacting phosphorus δ-doped layers in silicon. Phys. Rev. B, 87:045204–8, 2013.

[20] I. Rodrıguez-Vargas and L. M. Gaggero-Sager. Subband and transport calculations in

double n-type δ-doped quantum wells in Si. J. Appl. Phys., 99:033702–7, 2006.

[21] I. Karabulut, M. E. Mora-Ramos, and C. A. Duque. Nonlinear optical rectification and op-

tical absorption in GaAs/Ga1−xAlxAs asymmetric double quantum wells: Combined effects

of applied electric and magnetic fields and hydrostatic pressure. J. Lumin., 131:1502–1509,

2011.

[22] M. E. Mora-Ramos, C. A. Duque, E. Kasapoglu, H. Sari, and I. Sokmen. Electron-related

nonlinearities in GaAs/Ga1−xAlxAs double quantum wells under the effects of intense laser

field and applied electric field. J. Lumin., 135:301–311, 2013.

72 BIBLIOGRAFIA

[23] A. Y. Cho and J. R. Arthur. Molecular beam epitaxy. Prog. Sol. State Ch., 10:157–191,

1975.

[24] R. W. Boyd. Nonlinear Optics, Third Edition. Academic Press, 3rd edition, 2008.

[25] E. Rosencher and B. Vinter. Optoelectronics. Cambridge University Press, 2002.

[26] X. Yao and A. Belyanin. Nonlinear optics of graphene in a strong magnetic field. J. Phys.:

Condens. Matter., 25:054203–5, 2013.

[27] S. Chen and G. Wang. Nonlocal optical properties in InGaN/GaN strained quantum wells

with a strong built-in electric field. J. Appl. Phys., 113:023515–6, 2013.

[28] L. Zhang. Studies on Linear and Nonlinear Intersubband Optical Absorptions in a Wurtzite

AlGaN/GaN Coupling Quantum Well. Comm. Theor. Phys., 49:786–790, 2008.

[29] A. V. Kiryanov, N. N. Ilichev, and E. S. Gulyamova. Nonlinear change in refractive index

and transmission coefficient of silicon at long-pulse, µJ-range, 1.54-µ m excitation. Laser

Phys., 21:137–147, 2011.

[30] K. Koksal and M. Sahin. The effect of dilute nitrogen on nonlinear optical properties of

the InGaAsN/GaAs single quantum wells. Eur. Phys. J. B, 85:333–9, 2012.

[31] F. Ungan. Intensity-dependent nonlinear optical properties in a modulation-doped single

quantum well. J. Lumin., 131:2237–2243, 2011.

[32] T. H. Maiman. Optical and microwave-optical experiments in ruby. Phys. Rev. Lett.,

4:564–566, 1960.

[33] P. A. Franken, A. E. Hill, C. W. Peters, and G. Weinreich. Generation of optical harmonics.

Phys. Rev. Lett., 7:118–119, 1961.

BIBLIOGRAFIA 73

[34] E. Ozturk and I. Sokmen. Nonlinear intersubband absorption and refractive index changes

in square and graded quantum well modulated by temperature and hydrostatic pressure.

J. Lumin., 134:42–48, 2013.

[35] V. Ustoglu. Unal, E. Aksahin, and O. Aytekin. Electric field effect on the refractive index

changes in a Modified-Poschl-Teller quantum well. Physica E, 47:103–108, 2013.

[36] H. Yildirim and B. Aslan. Effects of magnetic field on the terahertz nonlinear optical

properties in donor-doped GaAs/AlGaAs quantum wells. Phys. Status Solidi, 249:2207–

2212, 2012.

[37] G. Liu, K. Guo, and Q. Wu. Linear and nonlinear intersubband optical absorption and

refractive index change in asymmetrical semi-exponential quantum wells. Superlattice.

Microst., 52:183–192, 2012.

[38] T. Chen, W. Xie, and S. Liang. Nonlinear optical properties in a quantum well with the

hyperbolic confinement potential. Physica B, 407:263–267, 2012.

[39] U. Yesilgul, F. Ungan, E. Kasapoglu, H. Sari, and I. Sokmen. The linear and nonlinear

intersubband optical absorption coefficients and refractive index changes in a V-shaped

quantum well under the applied electric and magnetic fields. Superlattice. Microst., 50:400–

410, 2011.

[40] E. Ozturk and I. Sokmen. The effects of hydrostatic pressure on the nonlinear intersubband

transitions and refractive index changes of different QW shapes. Opt. Commun., 285:5223–

5228, 2012.

74 BIBLIOGRAFIA

[41] H. Hassanabadi, G. Liu, and L. Lu. Nonlinear optical rectification and the second-harmonic

generation in semi-parabolic and semi-inverse squared quantum wells. Solid State Com-

mun., 152:1761–1766, 2012.

[42] E. H. Hwang and S. Das Sarma. Electronic transport in two-dimensional Si:P δ-doped

layers. Phys. Rev. B, 87:125411–9, 2013.

[43] N. V. Baidus, V. V. Vainberg, B. N. Zvonkov, A.S. Pylypchuk, V.N. Poroshin, and O.G.

Sarbey. Transport properties of InGaAs/GaAs Heterostructures with δ-doped quantum

wells. Semiconductors, 46:631–636, 2012.

[44] L. M. Gaggero-Sager and G. G. Naumis and M. A. Munoz-Hernandez and V. Montiel-

Palma. Self-consistent calculation of transport properties in Si GaAs quantum wells as a

function of the temperature. Physica B, 405:4267–4270, 2010.

[45] A. Yildiz, S. B. Lisesivdin, H. Altuntas, M. Kasap, and S. Ozcelik. Electrical conduction

properties of Si δ-doped GaAs grown by MBE. Physica B, 404:4202–4206, 2009.

[46] O. Oubram, M. E. Mora-Ramos, and L. M. Gaggero-Sager. Effect of the hydrostatic

pressure on two-dimensional transport in δ-doped systems. Eur. Phys. J. B, 71:233–236,

2009.

[47] E. Ozturk. Optical intersubband transitions in double Si δ-doped GaAs under an applied

magnetic field. Superlattice. Microst., 46:752–759, 2009.

[48] J. C. Martınez-Orozco, M. E. Mora-Ramos, and C. A. Duque. The nonlinear optical

absorption and corrections to the refractive index in a GaAs n-type δ-doped field effect

transistor under hydrostatic pressure. Phys. Status Solidi B, 249:146–152, 2012.

BIBLIOGRAFIA 75

[49] J. C. Martınez-Orozco, M. E. Mora-Ramos, and C. A. Duque. Nonlinear optical rectification

and second and third harmonic generation in GaAs systems under hydrostatic pressure. J.

Lumin., 132:449–456, 2012.

[50] I. Saidi, L. Bouzaıene, H. Maaref, and H. Mejri. Optical nonlinearities in δ-doped Al-

GaN/GaN quantum well heterostructures. J. Appl. Phys., 101:094506–5, 2007.

[51] I. Karabulut and C. A. Duque. Nonlinear optical rectification and optical absorption in

GaAsGa1−xAlxAs double quantum wells under applied electric and magnetic fields. Physica

E, 43:1405–1410, 2011.

[52] E. Ozturk and I. Sokmen. Intersubband transitions and refractive index changes in coupled

double quantum well with different well shapes. Superlattice. Microst., 50:350–358, 2011.

[53] F. Ungan, E. Kasapoglu, and I. Sokmen. Intersubband optical absorption coefficients and

refractive index changes in modulation-doped asymmetric double quantum well. Solid State

Commun., 151:1415–1419, 2011.

[54] M. J. Karimi and A. Keshavarz. Electric field effects on the linear and nonlinear inter-

subband optical properties of double semi-parabolic quantum wells. Superlattice. Microst.,

50:572–581, 2011.

[55] N. Zamani, A. Keshavarz, and M. Soliemanivareki. Optimization of nonlinear optical recti-

fication coefficient in asymmetric double quantum wells. J. Math. Computer Sci., 5:75–81,

2012.

[56] A. Keshavarz and N. Zamani. Optimization of optical absorption coefficient in asymmetric

double rectangular quantum wells by PSO algorithm. Opt. Commun., 294:401–404, 2013.

76 BIBLIOGRAFIA

[57] L. Zhang. Electric field effect on the linear and nonlinear intersubband refractive index

changes in asymmetrical semiparabolic and symmetrical parabolic quantum wells. Super-

lattice. Microst., 37:261–272, 2005.

[58] F. Ungan, U. Yesilgul, S. Sakiroglu, E. Kasapoglu, H. Sari and I. Sokmen. Nonlinear

optical absorption and refractive index in GaInNAs/GaAs double quantum wells under

intense laser field and applied electric field. J. Lumin., 143:75–80, 2013.

[59] E. Ozturk and I. Sokmen. Electric field effect on the nonlinear optical absorption in double

semi-graded quantum wells. Opt. Commun., 305:228–235, 2013.

[60] C. Hamaguchi. Basic Semiconductor Physics. Springer, Second edition, 2010.

[61] J. B. Xia and W. J. Fan. Electronic structures of superlattices under in-plane magnetic

field. Phys. Rev. B, 40:8508–8515, 1989.

[62] J. G. Rojas-Briseno and J. C. Martınez-Orozco and I. Rodrıguez-Vargas and M. E. Mora-

Ramos and C. A. Duque. Nonlinear absorption coefficient and relative refraction index

change for an asymmetrical double δ-doped quantum well in GaAs with a Schottky barrier

potential. Physica B, 424:13–19, 2013.

[63] S. Unlu, I. Karabulut, and H. Safak. Linear and nonlinear intersubband optical absorption

coefficients and refractive index changes in a quantum box with finite confining potential.

Physica E, 33:319–324, 2006.

[64] F. Schubert. Delta-doping semiconductors. Cambridge University Press, 1996.

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