SynthŁse de filtresbenoit.decoux.free.fr/ENSEIGNEMENT/SIGNAL/ECE/cours_filtres_1.pdf · ( , Q...

1

Cours de

Traitement du signal- Synthèse de filtres -1ère partie : Filtres Analogiques

Benoît [email protected]

2

Cours de "Synthèse de filtres", 1ère partie

Plan

Introduction généraleGénéralités et rappels sur le filtrage

I) Synthèse de filtres analogiquesI.1) Cellules élémentaires de filtrage

I.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordreI.1.2) Réalisation électroniqueI.1.3) Association des cellules élémentaires

I.2) Filtres de ButterworthI.3) Filtres de TchebyscheffI.4) Filtres de CauerI.5) Filtres de BesselI.6) Comparaison des performancesI.7) Résumé des différentes étapes de synthèseI.8) Exemple complet

3

Introduction

Définitions

e(t) : entrée s(t) : sortie h(t) : réponse impulsionnelle (à δ(t))

E(p) =TL[e(t)] S(p)=TL[s(t)]

Représentations

)p(E)p(S)p(H =

)f(E)f(S)f(Hou

)j(E)j(S)j(H =

ωω=ω

NM,dt

)t(edbdt

)t(sdaM

0mm

m

m

N

0nn

n

n ≤=∑∑==

∫+∞

∞−

τττ−== d)(e)t(h)t)(h*e()t(s

Domaine temporel Domaine fréquentiel (complexe)

p=jω)t(h

TL

Equation différentielle

Réponse impulsionnelle

Réponse à une entrée quelconque

Fonction de transfert de Laplace

Fonction de transfert harmonique

TF

TF

TL

Signaux quelconques

Signaux sinusoïdaux

Introduction générale (1/4)

4

Objectif

Se rapprocher des filtres idéaux (le plus simplement possible)

passe-bas passe-haut passe-bande coupe-bande

Autre type de filtre courant : passe-tout (déphaseur pur)

1

fc f1 f2 f1 f2fc

1 1 1

Introduction Introduction générale (2/4)

)j(H ω

0fc f1 f2 f1 f2fc

0 0 0)j(Hlog20 ω

1)j(H ω

0)j(Hlog20 ω

f

f

f

f

5

Caractérisation des filtres "physiques"

- type : passe-bas, passe-haut, passe-bande : coupe-bande, passe-tout

- fréquence(s) de coupure

- pente des variations (liée à lordre du filtre)

- retard de phase

- retard de groupe

Si la phase est linéaire, tg est constant ↔ le signal ne subit pas de déformation.


ωωϕ−=ϕ

)(t

ωωϕ−=

d)(d

gt

6

Stabilité

Condition par rapport aux pôles

Un système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert de Laplace sont situés dans le demi-plan situéà gauche de laxe imaginaire du plan de la variable p :

plan p

Explication

Pôle réel p0 :

Pôles complexes conjugués p1,2=α±jβ :

Condition par rapport à la réponse impulsionnelle

Soit h(t) la réponse impulsionnelle dun système. Ce système est stable si : ∫+∞

−∞=∞<

tdt)t(h

tpL

0

0Ae)t(hpp

A)p(H =→←−

=

)tsin(.eA)t(h)pp)(pp(

A)p(H tL

21

ωω=→←−−

= α

risque dinstabilité


Re

Im

zone destabilité

7

Cellule passe-bas du 1er ordre

Gain en dB :

Fonction de transfert harmonique :

Cellule passe-haut du 1er ordre

c

j1

1)j(H

ωω+

=ω

)j(Hlog20)(HdB ω=ω

Cellules élémentaires de filtrage : 1er ordreI) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrageI.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordre

c

c

j1

j)j(H

ωω+

ωω

=ωpente=20dB/décade

pente=-20dB/décadepente=-20dB/décade

8

Cellule passe-bas du 2e ordre

Exemple dun filtre passe-bas du 2e ordre :

ξ coefficient damortissement

( , Q facteur de qualité)

Gain en dB :

Le cas ξ=0,7 est intéressant, puisque on a une réduction de gain assez limitée (-3dB), et une pente 40dB/déc.

2

cc

jj21

1)j(H

ωω+

ωωξ+

=ω


Cellules élémentaires de filtrage : 2e ordre (1/3)

Q21=ξ


I.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordre

ξ=0,1

ξ=0,7

pente=-40dB/décade

ξ=2

ξ=0,1

ξ=0,7

pente=-40dB/décade

ξ=2

9

Cellule passe-bande du 2e ordre

Exemple dun filtre passe-bas du 2e ordre :

bande passante :

avec fréquence centrale

Gain en dB :

2

cc

2

c

jj21

j)j(H

ωω+

ωωξ+

ωω

=ω


Cellules élémentaires de filtrage : 2e ordre (2/3)I) Synthèse de filtres analogiques


Qff 0=∆

21 cc0 fff ×=

ξ=0,7

pente=-20dB/décade

ξ=2

ξ=0,1

10

Cellules du 1er et du 2e ordre

1er ordre

Passe-bas : Passe-haut :

2er ordre

Passe-bas : Passe-haut :

Passe-bande : Coupe-bande :

Déphaseur :

Cellules élémentaires de filtrage : 2e ordre (3/3)I) Synthèse de filtres analogiques


2

cc

2

c

jj21

j1

ωω+

ωωξ+

ωω+

2

cc

2

cc

jj21

jj21

ωω+

ωωξ+

ωω+

ωωξ−

2

00

2

0

jj21

j

ωω+

ωωξ+

ωω

2

00

0

jj21

j2

ωω+

ωωξ+

ωωξ

c

j1

1

ωω+

c

c

j1

j

ωω+

ωω

2

cc

jj21

1

ωω+

ωωξ+

11

Différentes formes des fonctions de transfert

harmonique (régime sinusoïdal) en variable de Laplace en variable de Laplace réduite

(forme normalisée

↔ indépendante de ωc)

Exemple : cellule passe-bas du 2e ordre

utile pour étude en fréquence : gain en dB et phase

(cellules élémentaires)

utile pour étude temporelle avec signaux (causals)

quelconques, étude des pôles (étude stabilité, factorisation)

idem variable de Laplace, avec écriture simplifiée

(=variable de Laplace réduite)


I.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordreDifférentes formes des fonctions de transfert

)j(H ω )s(H)p(Hpj =ω s/p c =ω

2

cc

jj21

1)j(H

ωω+

ωωξ+

=ω

2ss211)s(H

+ξ+=

2

cc

pp21

1)p(H

ω

+ω

ξ+

=

12

Intérêt de la forme normalisée

Toute létude peut porter sur la forme normalisée ; indépendamment de ωc.

Au final, il faut "dénormaliser" la fonction de transfert, cest à dire remplacer s par jω/ωc, pour pouvoir réaliser le filtre

satisfaisant aux paramètre du filtrage..


I.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordreDifférentes formes des fonctions de transfert

2

cc

jj21

1)j(H

ωω+

ωωξ+

=ω2ss21

1)s(H+ξ+

=

c

jsωω=

s11)s(H+

=

c

j1

1)j(H

ωω+

=ω

13

Passage du cas passe-bas aux autres cas

Le passage dun type à lautre seffectue facilement par changement de variable.

Passe-bas → passe-haut

Passe-bas → passe-bande

avec

B : bande passante

fc1, fc2 : fréquences de coupure

Passe-bas → coupe-bande f0 : fréquence centrale du filtre

s1s →

+→

s1s

B1s

0

cc

fff

B 12−

=

1

s1sBs

−

+→


I.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordreTransformation du type de filtrage

14

Réalisation par circuits passifs

1er ordre

passe-bas passe-haut

2e ordre

passe-bas passe-bande passe-haut

Méthode de calcul

Chacun de ces montages peut être vu comme un pont diviseur de tension

avec 2 impédances complexes Z1 et Z2.

Dans le cas du 2e ordre, lune des 2 impédances est elle-même constituée

de 2 impédances complexes en série ou parallèle.

Réalisation des cellules élémentaires par circuits passifsI) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrageI.1.2) Réalisation électronique

Z1Z2

15

Réalisation par circuits actifs : cellule du 1er ordre

La cellule du 1er ordre suivante permet de réaliser des filtres passe-bas et passe-haut :

Passe-bas : Z1 : Z2 :

Passe-haut : Z1 : Z2 :

Exemple : passe-bas avec R=1kΩ et C=10nF

ω+−=ω

CjR11.

RR)j(H

21

2

|H(jω)|

ω (éch. log)

-R2/R1

1/R2C


I.1.2) Réalisation électroniqueCellule élémentaire active du 1er ordre

16

Réalisation par circuits actifs : cellules du 2e ordre

Les structures de Sallen-Key et de Rauch permettent de réaliser des filtres passe-bas, passe-haut et passe-bande

du 2e ordre.

Ils permettent dobtenir des facteurs de qualité moyens (jusquà 20 environ).

Structure de Sallen-Key

gain statique (pour f=0)

Passe-bas :

Passe-haut :

)ZZ(Z)ZZ(Z)H1(ZZZkZ

VVH

432321041

42

e

s

++++−==

1RRH

b

a0 +=

11 RZ =pC

1Z2

2 =

pC1Z1

1 = 22 RZ =


I.1.2) Réalisation électronique

4231c CCRR

1=ω

++−=ξ4231

4341021

CCRRCRCR)H1(CR

21

3142c CCRR

1=ω

+++=ξ3142

0343212

CCRR)H1(CRCRCR

21

33 RZ =pC

1Z4

4 =

pC1Z3

3 = 44 RZ =

Cellule élémentaire active de Sallen-Key

17


Structure de Rauch

Passe-bas :

Passe-haut :

Passe-bande :

4343215

31

e

s

YY)YYYY(YYY

VVH

++++−==

11 RZ =pC

1Z2

5 =34 RZ =

pC1Z1

1 = 25 RZ =pC

1Z3

4 =

pC1Z1

2 =

12 RZ =

121 RZZ ==Cp1ZZ 43 ==

25 RZ =



pC1Z2

3 =

23 RZ =1

232

321 CCRR

R1

R1

R1

21

++=ξ

2132c CCRR

1=ω1

30 R

RH −=

3

10 C

CH =3221

c CCRR1=ω ( )

322

1321 CCR

RCCC21 ++=ξ

2

1

R2R=ξ

CR2

1c

ξ=ωξ

−=2

1H0

Cellule élémentaire active de Rauch

18


I.1.2) Réalisation électroniqueCellule élémentaire active universelle

11

22

43

3

CRCR

RRR+

=ξ

2121c CCRR

1=ω43

40 RR

R2H+

=

43

40 RR

R2H+

−=

3

40 R

RH −=

43

4

a

b0 RR

R2RRH

+×−=


Cellule généralisée du seconde degré (ou filtre universel, ou filtre à variables détat)

Intérêts :

- 4 filtrages de base dans une même structure ;

- facteurs de qualité élévés (Q>10).

Inconvénient :

- phases des sorties différentes

Passe-bas : (gain statique)

Passe-haut :

Passe-bande :

Coupe-bande :

19

Circuits passifs vs circuits actifs

Filtres passifs

Inconvénients :

- nécessitent parfois des composants volumineux (condensateurs et bobines)

Avantages :

- passifs, donc ne nécessitent pas dalimentation (exemple : enceintes acoustiques)

Filtres actifs

Inconvénients :

- nécessitent une alimentation

- bande passante limitée donc limitation aux fréquences basses

- sensibles à leurs composants passifs (condensateurs et résistances)

- produisent du bruit

- limités en tension

Avantages :

- permettent une intégration à grande échelle (et notamment dans les processeurs)

- fiables

- coût de fabrication réduit

Circuits passifs vs circuits actifsI) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrageI.1.2) Réalisation électronique

20

Mise en évidence des pôles

Par factorisation du dénominateur, la fonction de transfert peut se mettre sous la forme :

ou N ordre du filtre

Exemple avec N=1

1 pôle (réel pur) :

doù :

Exemple avec N=2 et ξ=0,7

2 pôles (complexes conjugués doù

et à partie réelle <0) :

∏−

= −=

1N

0n nss1)s(H

2

cc

jj21

1)j(H

ωω+

ωω+

=ω 2ss211)s(H

++=

+−=

−−=

)j1(22s

)j1(22s

2

1

))j1(22s))(j1(

22s(

1)s(H+−−−−−

=

Etude des pôles des cellules élémentaires

c/js ωω=

∏−

= −−=

1N

0n n

n

ppp)p(H



c

j1

1)j(H

ωω+

=ωs1

1)s(H+

=c/js ωω=

1s1 −=

)1(s1)s(H−−

=

21

Décomposition des fonctions de transfert

Décomposition sous forme de produit

Une fonction de transfert dordre n quelconque peut se décomposer en un produit de fonctions de transfert élémentaires dordres 1 et 2 (les ordres sajoutent).

Schémas-blocs et modules électroniques

Quand les modules élémentaires (schémas-blocs ou modules électroniques) sont mis en cascade (=en série), les ordres sajoutent. Exemple pour lordre N=5 :

Diagrammes de Bode

Dans les diagrammes de Bode, les courbes de gain (en dB) sadditionnent :

→ importance de létude des cellules de filtrage dordre 1 et 2 ; on les appelle cellules élémentaires

N=2

=


I.1.3) Association des cellules élémentairesIntérêt des cellules élémentaires de filtrage (1/2)

)j(H).j(H).j(H)j(H 321 ωωω=ω

fc fc fc fc=+ +-40 -40 -100-20

H1 H2 H3

N=2 N=1 N=5

H

22

Position du problème

On a vu comment vu la cellule de filtrage passe-bas du 1er ordre, dont les caractéristiques sont :-3dB à fc-atténuation -20dB/décade

puis la cellule de filtrage du 2e ordre dont les caractéristiques sont -3dB à fc-atténuation -40dB/décade

De plus, on sait quen associant des cellules du 1er et du 2e ordre, on peut obtenir des cellules dordre plus élevé.

Problème : est-il possible dobtenir un filtre dordre N quelconque, caractérisé par :-3dB à fc-atténuation -20хN dB/décade ?

On a vu quen associant des cellules élémentaires on pouvait obtenir un ordre quelconque, comme par exemple pour lordre 5 :

mais comment avoir toujours 3dB à fc ?

N=2

=H1 H2 H3

N=1 N=5

H

N=3


I.1.3) Association des cellules élémentairesIntérêt des cellules élémentaires de filtrage (2/2)

23

Intérêt

Comment obtenir une pente quelconque tout en ayant 3dB à fc, sans calculs (trop) compliqués ?

→ Monsieur Butterworth, dans les années 30, a trouvé une solution :

Définition

N ordre du filtre

Propriétés

pente de la décroissance du gain : -20хN dB/décade gain à fc : 3dB (Ұ N)

N2

c

2

1

1)(H

ωω+

=ω

I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth Filtre de Butterworth : définition et propriétés

10-1 100 101-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Gain en dB pour N=1, 2, 3, 4, 5

Programme Matlab :w=linspace(0.1,10,1000);

[z,p,k]=buttap(2);

h=freqs(k*poly(z),poly(p),w);

semilogx(w,20*log10(abs(h)),'black');

...

24

Lien avec cellules élémentaires

Cellule passe-bas du 1er ordre :

Il sagit bien dun cas particulier du filtre de Butterworth, avec N=1.

Cellule passe-bas du 2e ordre, avec (rappel : -3dB à fc) :

Il sagit également dun cas particulier du filtre de Butterworth, avec N=2.

I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth Cellules de filtrage de base : 2e ordreFiltre de Butterworth : étude de lordre 1 et 2

2

cc

jj21

1)j(H

ωω+

ωω+

=ω

22=ξ

4

cc

2

c

2

cc1

1...

2j1

1

jj21

1)j(H

ωω+

==

ωω+

ωω−

=

ωω+

ωω+

=ω

c

j1

1)j(H

ωω+

=ω2

cc

1

1

j1

1)j(H

ωω+

=

ωω+

=ω

25

Etude des pôles de la fonction de transfert (=racines du dénominateur)

Différentes formes de la fonction de transfert

harmonique en variable de Laplace en variable de Laplace réduite

Détermination des pôles

Les pôles sont tels que : ↔ ↔

↔

Il y a 2N pôles (2 fois plus que lordre du filtre), ce qui est normal puisquon a recherché les pôles de |H(jω)|2

0s)1(1 N2N =−+π+−

= N2n21Nj

n es

1N2n0 −≤≤

π++

π+−=

N21n2cosj

N21n2sinsn

N2

c

2

1

1)j(H

ωω+

=ω

N2N2

s)1(11)s(H

−+=

I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth

Filtre de Butterworth : étude des pôles (1)

N2

c

2

p1

1)p(H

ω

+

=N2

2

s11)s(H

+=

ω= jp c/ps ω=

⇒−=ωω↔

ωω= jsjs

cc

26

Position des pôles

La fonction |H(jω)|2 possède 2N pôles ; ils sont situés sur le cercle unité ;: à partie réelle <0: à partie réelle >0

Chaque pôle à partie réelle négative possède un "homologue" à partie réelle >0. Ces derniers, qui ne correspondentpas à un système stable, ne sont pas pris en compte (on a vu précédemment que la cellule passe-bas du 1er ordre et celle du 2e ordre, pour . possédaient respectivement 1 et 2 pôles à partie réelle <0 ; la généralisation à lordre Nconsiste à ne garder que les pôles à partie réelle <0 : ce sont les pôles de H(jω), même si cette dernière nest pas définie directement).

Le pôle réel pur, quand il existe, correspond à une cellule du 1er ordre.

Les autres pôles existent par paires : 1 pôle + son conjugué ;

N=2N=1 N=3 N=4

etc


Filtre de Butterworth : étude des pôles (2)

1Nn0 −≤≤1N2nN −≤≤

non pris en compte

2/2=ξ

27

Exemple : Filtre de Butterworth dordre 2 (passe-bas)

N=2 → 2 pôles :

On retrouve bien les 2 pôles calculés précédemment.

Différentes formes de la fonction de transfert :

Réalisation pratique : mise sous forme standard

(déjà étudiée précédemment)

π++

π+−=

N21n2cosj

N21n2sinsn 1,0n =

π+

π−=

4cosj

4sins0

22j

22 +−=

22j

22 −−= Re

Im

*01 s

4cosj

4sins =

π−

π−=

4s11)s(H+

=4

c

1

1)j(H

ωω+

=ω ou4

c

p1

1)p(H

ω

+

= ou


Filtre de Butterworth : exemple dordre 2

1s2s1)s(H 2 ++

=

28

Exemple : Filtre de Butterworth passe-bas dordre 4

N=4 → 4 pôles :

Réalisation pratique : mise sous forme de 2 fonctions de transfert standard du 2e ordre

3,...,0n =

π+

π−=

8cosj

8sins0

π+

π−=

83cosj

83sins1

*s8

5cosj8

5sins 12 =

π+

π−= *s

87cosj

87sins 03 =

π+

π−=

3210

3

0n n ss1.

ss1.

ss1.

ss1

ss1)s(H

−−−−=

−= ∏

=

)s(H).s(H 21=

)*ss)(ss)(*ss)(ss(

1)s(H1100 −−−−

=

1s848,1s1.

1s765,0s1

22 ++++=

...*ss)*ss(ss

1.*ss)*ss(ss

1

11112

00002

=++−++−

=


Filtre de Butterworth : exemple dordre 4

π++

π+−=

N21n2cosj

N21n2sinsn

Re

Ims0

s1

s2

s3

1

29

Polynômes de Butterworth

Une fois les pôles de la fonction de transfert calculés, les pôles complexes conjugués sont regroupés ensemble.Chaque paire correspond à une cellule élémentaire (passe-bas) du 2e ordre.Le pôle simple réel, sil existe (ordre impair), correspond à la cellule élémentaire (passe-bas) du 1er ordre.

Forme développée

n=1 : s+1n=2 : s2+1,41s+1n=3 : s3+2s2+2s+1n=4 : s4+2,6131s3+3,4142s2+2,6131s+1n=5 : s5+3,2361s4+5,2361s3+5,2361s2+ 3,2361s+1n=6 : s6+3,8537s5+7,4741s4+9,1416s3+7,4741s2+3,8537s+1etc

Forme factorisée

n=1 : s+1n=2 : s2+1,41s+1n=3 : (s+1)(s2+s+1)n=4 : (s2+0,765s+1)(s2+1,848s+1)n=5 : (s+1)(s2+0,618s+1)(s2+1,618s+1)n=6 : (s2+1,932s+1)(s2+1,414s+1)(s2+0,518s+1)etc


Filtre de Butterworth : polynômes

30

Butterworth avec gabarit

Définition dun gabarit

(On parle également de "synthèse sur cahier des charges")

On distingue la bande passante de la bande datténuation (ou coupée).On définit latténuation maximale (Ap) tolérée dans la bande passante, et latténuation minimale tolérée dans la bande darrêt (Aa).

: sélectivité

Dans le cas classique, Ap=3dB. On peut souhaiter une atténuation Ap moins importante. Il suffit dajouter un paramètre

supplémentaire dans la fonction de transfert de Butterworth :

ou

N2

p

2

2

1

1)(H

ωωε+

=ω 10 ≤ε≤

N222

11)(H

Ωε+=ω

pωω=Ω


pulsation réduite

0 ωp ωωa

-Aa

-Ap

p

a

ωω

31

Gabarits

Autres gabarits

passe-bas passe-haut

passe-bande coupe-bande

RemarquePour la transformation de gabarits passe-bas vers passe-bande ou coupe-bande, ces derniers doivent être symétriques.Si ça nest pas le cas, il faut des rendre symétrique (en les rendant plus sévères).La condition de symétrie est :


0 ωp ωωa

-Aa

-Ap

0 ωpωa

-Aa

-Ap

ω

0 ωp1ωa1

-Aa

-Ap

ωωa2ωp2

2a1a2p1p f.ff.f =

0 ωa1ωp1

-Aa

-Ap

ωωp2ωa2

32

Définition dun gabarit

On part du gain en dB :

Soit Ap le gain à la pulsation ω=ωp, (soit Ω=1) on peut démontrer (*) que lon a :

On peut démontrer (**) que lordre du filtre est donné par :

Le résultat peut être fractionnaire ; lordre choisi est lentier supérieur.

On peut démontrer que la fréquence de coupure à 3dB est liée à la fréquence fp par la relation :

(*) il suffit dimposer que le gain soit Ap dB pour ω=ωp ; on a alors Ω2N=1, et la seule inconnue est ε.(**) on impose que la courbe passe par le point (ωp, Aa). Connaissant ε, la seule inconnue est N.

11010pA

−=ε

a

10aA

log2

log2110logN

Ω

ε−

−

=

N2211log20)(Hlog20

Ωε+=Ω

pωω=Ω


Paramètres du filtre de Butterworth à partir du gabarit

0 ωp ωωa

-Aa

-Ap

p

aa ω

ω=Ω

Np

c εω

=ω

33

Exemple : Détermination dun filtre dont le gain est atténué de 1dB à la fréquence fa=1kHz et de 50dB à fr=5kHz

Pulsation réduite datténuation en bande coupée Ωa :

Ordre du filtre :

On prend pour lordre lentier supérieur : N=4.

La fonction de transfert du filtre est la suivante :

Autre exemple : en prenant fa=2kHz, on aurait trouvé un ordre N=10

509,0110110 101

10pA

=−=−=ε

5kHz1kHz5

ff

p

a

p

aa ===

ωω=Ω

99,35log2

509,0log2110log

log2

log2110logN

1050

a

10aA

=−

−

=Ω

ε−

−

=

8

p

N2

p

2 259,01

1

1

1)(H

ωω+

=

ωωε+

=ω


Butterworth à partir dun gabarit : exemple

0 1 f(kHz)5

-50

-1

34

Détermination des pôles

Rappel : uniquement les pôles à partie réelle <0

Les arguments des pôles sont les mêmes que ceux de la fonction de transfert simplifiée avec ε=1, mais situéssur un cercle de rayon


Filtre de Butterworth généralisé : détermination des pôles

N2N22

s)1(11)s(H−ε+

=⇒−=ωω↔

ωω= jsjs

cc

N222

s11)s(Hε+

=

0s)1(1 N2N2 =−ε+π+−

ε= N2

n21NjN

n e1s

1Nn0 −≤≤

π−+

π−−

ε=

N21n2cosj

N21n2sin1s N

n

N /1 εRe

Ims0

s1

s2

s3

N1.ε

35

Utilisation dabaques

Elles permettent de déterminer lordre du filtre en fonction des paramètres Ap, Aa, ωp et ωa.


Butterworth : utilisation dabaques

0ωP ωωa

-Aa

-Ap

p

a

ωω=λ

36

Programmation Matlab

%Réponse en fréquence d'un filtre de Butterworth

[N,Wn]=buttord(1000,5000,1,50,'s')

[b,a]=butter(N,Wn,'s');

F=[100:1:10000]; %vecteur de fréquences

[hb,bc]=freqs(b,a,F); %calcul réponse en fréquence

semilogx(bc,20*log10(abs(hb))); %affichage avec axe des abs. log.

xlabel('Frequence (radians)');

ylabel('Gain (dB)');

grid;

Pour la phase :...

semilogx(bc,angle(hb));

...


Butterworth avec Matlab

102 103 104-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Frequence (Hz)

Phase (rad)

102 103 104-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Frequence (Hz)

Gain (dB)

37

Filtres de Chebyshev (ou Tchebyscheff )I) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev

Définition

Il existe 2 types :

Type I : Type II :

avec Ω pulsation réduite :

TN(.) désigne un polynôme dordre N défini par :

Les premiers polynômes sont donc :

On peut démontrer (*) quil existe une relation de récurrence entre ces polynômes :

(*) la démonstration consiste à exprimer TN+1(ω) et à utiliser les formules de trigonométrie :et

ωωε+

ωωε

=ω

pN

2

pN

2

2

2

2

T1

T)(H

ωωε+

=ω

pN

2

2

2

T1

1)(H 1<ε1<ε

)(T)(T.2)(T 2N1NN ω−ωω=ω −−

....

pωω=Ω

N2N ]1jRe[)(T ω−+ω=ω

ω=ω−+ω=ω ]1jRe[)(T 21

1]1jRe[)(T 020 =ω−+ω=ω

12]1jRe[)(T 2222 −ω=ω−+ω=ω

)bsin().asin()bcos().acos()bacos( −=+ )b(sh).a(sh)b(ch).a(ch)ba(ch −=+

38

Filtres de Chebyshev (ou Tchebyscheff )I) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev

Définition

Les polynômes TN(.) sont également définis par :

On peut démontrer que la fréquence de coupure à 3dB est liée à la fréquence fp par la relation :

>≤= 1xsi))x(charg.N(ch

1xsi))xarccos(.Ncos()x(TN

2ee)xcosh(

xx −+=

2ee)xsinh(

xx −−=

εω=ω 1cosha

n1coshpc

Rappel :

39

Filtres de Chebyshev : caractéristiques

Caractéristiques

Type I

Oscillations dans la bande passante (band-pass ripple)

Soit N lordre du polynôme du dénominateur ;

- si N pair, |H(0)|=0 ; si N impair,

- Pour ω <=ωc, |H(jω)| oscille N/2 fois entre 1 et .

- Pour ω>ωc, |H(jω)| est monotone et décroissante.

1)(H1

12

≤ω≤ε+

I) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.021/1)0(H ε+=

|H(jω)| (N=2,3,4)

21/1 ε+

10-1 100 101-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

20log|H(jω)| (N=2,3,4)

40

Filtres de Chebyshev : caractéristiquesI) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Frequence

Module fonction de transfert

Caractéristiques

Type II

Oscillations dans la bande atténuée (ou coupée) (stop-band ripple) 21)(H0

ε+ε≤ω≤

41


Définition

On part du gain en dB :

On peut montrer que le paramètre est défini par :où Ap est latténuation à ωp

et que lordre N du filtre est donné par :

où Ωa est la pulsation réduite datténuation minimale en bande atténuée.

11010Ap

−=ε

)(charg

110chargN

a

10aA

Ωε

−

=

Paramètres du filtre de Chebyshev à partir du gabarit

)(T1

1log20)(Hlog202

N2 Ωε+

=Ωpω

ω=Ω

p

aa ω

ω=Ω

42

Etude des pôles

Les pôles sont définis par :

avec et (=cte)

Comme dans le cas de Butterworth, on ne prend en compte que la moitié des pôles : ceux à partie imaginaire <0.

En posant

et en se souvenant que , on voit que

ce qui est la définition dune ellipse, sh2(β) et ch2(β) étant des constantes (voir ci-dessous).

Les pôles sont donc situés sur une ellipse.

Rappel : dans un repère (x,y), une ellipse est définie par ; a et b sont les 2 rayons de lellipse.


)(ch)cos(j)(sh)sin(s kkk βα+βα= 1N2k0 −≤≤

Nk

N2kπ+π=α

ε=β 1sharg

N1


)(sh)sin(Re kk βα= )(ch)cos(Im kk βα=

1)(ch

Im)(sh

Re2

2k

2

2k =

β+

β

1by

ax

2

2

2

2

=+

1)x(cos)x(sin 22 =+

43

Etude des pôles : exemple avec N=2

Les pôles sont définis par :

On a :

et , soit

doù

Les pôles sont donc situés sur une ellipse de rayons sh(β)≈0,17 et ch(β)≈1 .


)(ch)cos(j)(sh)sin(s kkk βα+βα= 3k0 ≤≤

Nk

N2kπ+π=α

17,02sharg21

509,01sharg

N11sharg

N1 ≈≈=

ε=β


40π=α

43

241π=π+π=α

45

42π=π+π=α

47

23

43π=π+π=α

17,0)(sh ≈β 1)(ch ≈β

)4

cos(j)4

sin(17,0s0π+π= )

43cos(j)

43sin(17,0)

43cos(j)

43sin(17,0s1

π+π=π+π=

44

Filtres de Chebyshev : exemple avec type I

Exemple avec type I : Gain atténué de 1dB à fa=1kHz et de 50dB à fr=5kHz

Pulsation réduite datténuation en bande coupée :

Ordre du filtre :

On prend pour lordre lentier supérieur : N=3.

Fonction de transfert du filtre :

Autre exemple : en prenant fa=2kHz, on aurait trouvé N=3,66 (→ N=4)

Remarque : lordre est inférieur à celui du filtre de Butterworth équivalent.

509,0110110 101

10Ap

=−=−=ε

1,2)5(charg

110charg

)(charg

110chargN

1050

a

10aA

=ε−

=Ωε

−

=

2

3

3

3

2

33

2

10.23

10.2426,01

1

.10.2T26,01

1)(H2

πω−

πω+

=

πω+

=ω


0 1 f(kHz)5

-50

-1

p

aa ω

ω=Ω

45

Polynômes de Chebyshev

Les coefficients du polynômes sont donnés en fonction de Ap (en général, on prend 0,5 ou 1) et de lordre du filtre N.

Pour Ap=1dB :

Forme développée

n=1 : 0,509s+1n=2 : 0,907s2+0,9957s+1n=3 : 2,0353s3+2,0116s2+2,5206s+1n=4 : 3,628s4+3,4568s3+5,2749s2+2,6942s+1n=5 : 8,1415s5+7,6271s4+13,75s3 +7,933s2+4,7264s+1n=6 : 14,512s6+13,47s5+28,02s4+17,445s3 +13,632s2+4,456s+1etc

Forme factorisée

n=1 : 0,509s+1n=2 : 0,907s2+0,996s+1n=3 : (2,024s+1)(1,006s2+0,497s+1)n=4 : (3,579s2+2,411s+1)(1,014s2+0,283s+1)n=5 : (3,454s+1)(2,329s2+1,091s+1)(1,012s2+0,181s+1)n=6 : (8,019s2+3,722s+1)(1,793s2+0,609s+1)(1,009s2+ 0,126s+1)etc

Polynômes de Chebyshev

Remarque : contrairement aux polynômes de Butterworth, les cellules élémentaires de la forme factorisée ne possèdent pas ici toutes la même fréquence de coupure.


46

Filtres de Bessel : principe (1)I) Synthèse de filtres analogiquesI.4) Filtres de Bessel

Filtres de Bessel

Les filtres de Bessel sont basés sur le critère de la plus grande linéarité possible de la phase (en fonction de la fréquence).

On rappelle lintérêt davoir une phase linéaire : le signal nest pas déformé par le filtre.

On définit le retard de groupe :

Si la phase est linéaire, le retard de groupe est constant.

On définit donc une fonction de transfert (FT) :

Pour simplifier, on prend τ =1 :

On cherche ensuite à mettre la FT sous forme passe-bas (on cherche à faire apparaître ses pôles) :

ωωϕ−=

d)(d

gt

pe)p(H τ−= ωτ−=ω je)j(H avec τ constant

pe)p(H −=

)p(sh)p(ch1

2ee

2ee

1)p(H pppp +=

−++= −−

47

Filtres de Bessel : principe (2)I) Synthèse de filtres analogiquesI.4) Filtres de Bessel

Filtres de Bessel

Pour déterminer le polynôme équivalent au dénominateur,

on utilise la "technique" suivante : on exprime le développement

limité de cth(p)=ch(p)/sh(p), on effectue la division des polynômes

puis on identifie numérateur et dénominateur resp. à ch(p) et sh(p).

En limitant le développement limité à lordre N, on obtient une expression approchée de cth(p).

Pour N=2, on a :

Par identification, on trouve : et doù

Pour N=3, on a

Par identification, on trouve : et doù

etc.

Pour lordre n, on a : avec

...p5

1P3

1p1

...!5

p!3

p1

...!4

p!2

p1

)p(sh)p(ch)p(cth 53

42

++

+=+++

+++==

3

2

pp15p615

p/5/1p/31

p1)p(cth

++=

++=

2p615)p(ch += 3pp15)p(sh +=32 pp6p1515

1)p(sh)p(ch

1)p(H+++

=+

=

nn

2210n pa...papaa1

)p(B1)p(H

++++==

p3p3

p31

p1)p(cth

2+=+=

2p3)p(ch += p3)p(sh = 2pp331

)p(sh)p(ch1)p(H

++=

+=

(p)Bp(p)1)B-(2n(p)B 2-n2

1-nn +=

1B0 =1p(p)B1 +=

48

Filtres de Bessel : normalisationI) Synthèse de filtres analogiquesI.4) Filtres de Bessel

Normalisation

En considérant la fréquence normalisée pour ω/ωc avec ωc telle que 20log|H(ωc)|=-3dB, on a :

Par exemple pour N=2, le polynôme du dénominateur est :

On le transforme en polynôme standard (en mettant en facteur le terme constant, qui représente un gain statique) :

La pulsation normalisée ω=ωc permettant davoir une atténuation de 3dB est telle que

↔ ↔ ↔

La fonction de transfert normalisée devient donc :

203

nn

2210 10pa...papaa =++++

2p31p1 ++

2pp33 ++

203

2 10p31p1 =++ 20

32

cc 10)j(31j1 =ω+ω+ 359,1c =ω

22 p6149,0p359,11

1

)p359,1(31p359,11

1)p(H++

=++

=

49

Polynômes de BesselI) Synthèse de filtres analogiquesI.4) Filtres de Bessel

Coefficients des polynômes du dénominateur

Forme développée (normalisée)

n=1 : s+1n=2 : 0,618s2+1,359s+1n=3 : 0,3607s3+1,2328 s2+1,7556s+1n=4 : 0,1901s4+0,8995s3+1,9149s2+2,1138 s+1n=5 : 0,08911s5+0,5506s4+1,588s3+2,6174s22,4266s+1

Forme factorisée

n=1 : s+1n=2 : 0,618s2+1,359s+1

n=3 : (1,3225s+1)(0,4773s2+0,9998s+1)

n=4 : (0,4883s2+1,3389s+1)(0,3885s2+0,7738s+1)

n=5 : (1,5015s+1)(0,4133s2+1,1408s+1)(0,3885s2+0,7738s+1)

Il nexiste pas de méthode analytique pour permettre de déterminer les coefficients ai en fonction dun gabarit.

Ces coefficients sont obtenus par approximations successives, par des méthodes graphiques ou des

algorithmes numériques

50

Filtres de Bessel : programmation MatlabI) Synthèse de filtres analogiquesI.4) Filtres de Bessel


%Réponse en fréquence d'un filtre de Butterworth

[b,a]=besself(4,1000)






grid;

Pour la phase :...


...

102

103

104

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Frequence (Hz)

Gain (dB)

102

103

104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Frequence (Hz)

Phase (rad)

51

I) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer Filtres de Cauer : introduction

Filtres de Cauer

Introduction

Les filtres étudiés jusquici (Butterworth, Chebyshev, Bessel) étaient tous sous la forme :

On les appelle filtres polynômiaux. Ils sont caractérisés par leurs pôles. On parle de filtres "tous pôles".

D(p) est appelée fonction de transmission.

Il existe également des filtres qui possèdent en plus un polynôme au numérateur.

On les appelle filtres elliptiques. Cest le cas du filtre de Cauer.

En plus de ses pôles, cette fonction de transfert possède des zéros (valeurs de p qui annulent la fonction de transfert).

Ces zéros correspondent à des fréquences pour lesquelles la fonction de transfert est nulle, et donc un signal à cette

fréquence est éliminé.

Sils sont judicieusement placés dans le plan complexe, ils permettent daugmenter les pentes de variation du gain,

par rapport aux filtres polynômiaux.

n210

m210

p...papaap...pbpbb

)p(D)p(N)p(H

++++++++==

n210 p...papaa

1)p(D

1)p(H++++

==

52

I) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer Filtres de Cauer : définition

Filtres de Cauer

Ils sont définis par la fonction de transfert suivante :

où RN(ξ,ω/ω0) est appelée fonction rationnelle de Chebyshev; N est lordre du filtre, ω0 la pulsation de coupure,,ε est le facteur dondulation et ξ est le facteur de sélectivité.

Dans la bande passante, le gain varie donc entre 1 et

Dans la bande atténuée, le gain varie donc entre 0 et , avec

La fonction RN est appelée fonction elliptique.

Ces filtres sont caractérisés par des oscillations à la fois

dans la bande passante et dans la bande coupée.

La décroissance de leur gain est plus rapide

que celle des filtres polynômiaux, avec un ordre inférieur.

Quand , le filtre devient équivalent à un filtre de

Chebyshev de type I.

)/,(R11)(H

02N

22

ωωξε+=ω

21/1 ε+2N

2L1/1 ε+ ),(RL NN ξξ=

∞→ξ

en.wikipedia.org

53


Filtres de Cauer

La fonction elliptique peut se mettre sous la forme suivante :

pour N pair pour N impair

avec xi les zéros et xpi les pôles de ces rationnelles, et r0 un facteur de normalisation tel que

Le dénominateur de ce polynôme fait apparaître des zéros dans la fonction de transfert du filtre.

Ils sont appelés zéros de transmission, et ont la propriété déliminer les fréquences correspondantes.

RN(ξ,x) avec N=3 ; ξ=1,3 RN(ξ,x) avec N=4 ; ξ=1,3

∏∏

=

=

−

−=ξ N

1i pi

N

1i i0N )xx(

)xx(r)x,(R

∏∏

=

=

−

−=ξ N

1i pi

N

1i i0N )xx(

)xx(xr)x,(R

1)1,(RN =ξ

54


Filtres de Cauer

Il nexiste pas dexpression analytique pour les pôles et les zéros de la fonction de transfert du filtre.

Ils sont calculés par des méthodes numériques.

La synthèse comporte les étapes suivantes :

1. Détermination de lordre N en fonction du gabarit

2. Détermination du polynômes du numérateur et du dénominateur

3. Détermination des pôles et des zéros

Exemple Matlab

fp=1000; fa=2000; Ap=1; Aa=40;

[N,Wn]=ellipord(fp,fa,Ap,Aa,'s') %étape 1

[num,den]=ellip(N,1,50,Wn,'s') %étape 2

zeros=roots(num) %étape 3

poles=roots(den) %étape 3

Une fois les pôles et les zéros connus, on peut écrire la fonction de transfert sous forme dun produit de

fonctions de transfert élémentaires du 1er et du 2e ordre (en regroupant les pôles et les zéros conjugués entre eux).

On peut alors passer à la réalisation électronique.

55

Filtres de Cauer : programmation MatlabI) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer


%Réponse en fréquence d'un filtre de Cauer (elliptique)

[N,Wn]=ellipord(1000,5000,1,50,'s')

[b,a]=ellip(N,1,50,Wn,'s');






grid;

Pour la phase :...


...

102 103 104-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Frequence (radians )

Gain (dB)

102 103 104-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Frequence (radians )

Gain (dB)

56

Filtres de Cauer : programmation MatlabI) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer

Caractéristiques

Affichage du gain en dB et de la phase en échelle semi-log :

f=[0.1:0.01:4];

[n,wn]=ellipord(0.4,0.5,1,100) %-99dB entre f/fe=0,4 et 0,5

[b,a]=ellip(n,1,100,wn); % -> ordre 9

[H,fl]=freqz(b,a,f);

semilogx(fl,20*log(abs(H)),'b');

hold;




semilogx(fl,20*log(abs(H)),'r');




semilogx(fl,20*log(abs(H)),'g');

Un affichage de |H(f)| en échelle linéaire permet de constater la

non-linéarité de la phase (même dans la bande passante) :

[n,wn]=ellipord(0.4,0.5,1,100)

[b,a]=ellip(n,1,100,wn);

freqz(b,a);

10-1 100

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-150

-100

-50

0

50

Normalized Angular Frequency (×π rads /s ample)

Magnitude (dB)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-800

-600

-400

-200

0

Normalized Angular Frequency (×π rads /s ample)

Phase (degrees)

57

Butterworth, Chebyshev, Bessel, Cauer

Comparaison des performances des filtres de Butterworth, de Chebyshev de Bessel et de Cauer

Gain en dB

[z,p,k]=buttap(4); %Butterworth ordre 4

w=logspace(-1,1,1000); %1000 points entre 0.1 et 10


semilogx(w,20*log(abs(h)),'b'); %bleu

hold;

[z,p,k]=cheb1ap(4,0.5); %Chebyshev type I ordre 4

h=freqs(k*poly(z),poly(p),w); %(0,5dB max en BP)

semilogx(w,20*log(abs(h)),'r'); %rouge

[z,p,k]=cheb2ap(4,20); %Chebyshev type II ordre 4

h=freqs(k*poly(z),poly(p),w); %(20dB min en BA)

semilogx(w,20*log(abs(h)),'g'); %vert

[z,p,k]=besselap(4); %Bessel ordre 4


semilogx(w,20*log(abs(h)),'c'); %cyan

[z,p,k]=ellipap(4,0.5,20); %Cauer ordre 4

h=freqs(k*poly(z),poly(p),w); %(0,5dB max en BP et

semilogx(w,20*log(abs(h)),'m'); %20dB min en BA)

grid; %magenta

10-1

100

101

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Gain en dB pour N=4

I) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer

58

Butterworth, Chebyshev, Bessel, Cauer

Comparaison des performances des filtres de Butterworth, de Chebyshev de Bessel et de Cauer

Délai de groupe

w=logspace(-1,1,1000); %1000 points entre 0.1 et 10

[z,p,k]=buttap(4); %Butterworth ordre 4


dg=-diff(unwrap(angle(h)))./diff(w); %délai de groupe

semilogx(w(1:length(w)-1),dg,'b'); %bleu

hold;

[z,p,k]=cheb1ap(4,0.5); %Chebyshev type I ordre 4

h=freqs(k*poly(z),poly(p),w); %(0,5dB max en BP)


semilogx(w(1:length(w)-1),dg,'r'); %rouge

grid;

[z,p,k]=besselap(4); %Bessel ordre 4



semilogx(w(1:length(w)-1),dg,'c'); %cyan

Délai de groupe (en secondes) pour N=4

Remarque : le délai de groupe du filtre de Chebyshev de type II

et du filtre de Cauer doit être affiché séparément :

10-1 100 1010

1

2

3

4

5

6

7

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

I) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer

59

Butterworth, Chebyshev, Bessel

Comparaison des performances des filtres de Butterworth, de Chebyshev et de Cauer

*********Absence

doscillations (BP)

*******Linéarité de la phase

*******Raideur des pentes

*******Facilité de conception

CauerBesselChebyshevButterworthCritères de choix selon type de filtre

I) Synthèse de filtres analogiquesI.6) Comparaison des performances

60

Les différentes étapes de la synthèse dun filtre analogique

1. Définition du gabarit désiré

2. Normalisation du gabarit par rapport à une pulsation de référence ωr :

(- fréquence de coupure à 3dB pour un filtre de Butterworth de la forme simplifiée,

- fréquence datténuation max. en bande passante pour un filtre de Butterworth et pour Chebyshev et Cauer,

- fréquence centrale pour un filtre passe-bande ou coupe-bande)

3. Transposition en gabarit (normalisé) passe-bas

4. Détermination de lordre du filtre (calcul, abaques, logiciel)

5. Recherche de la fonction de transfert normalisée (mise en facteur) à partir des tables de polynômes

6. Transposition du filtre passe-bas étudié vers le type de filtre recherché

7. Dénormalisation :

8. Réalisation électronique

Remarque : dans le cas de la synthèse dun filtre passe-bas, les étapes 2 et 5 nont pas lieu dêtre.

I) Synthèse de filtres analogiquesI.7) Résumé des différentes étapes de synthèse Résumé des différentes étape de synthèse

sjr

→ωω

r

jsωω→

61

Exemple complet de synthèse (1/6)I) Synthèse de filtres analogiquesI.8) Exemple complet

Exemple complet de synthèse

On souhaite réaliser un filtre passe-haut satisfaisant les contraintes suivantes :

-atténuation maximale en bande passante : Ap=1dB à fp=4kHz

-atténuation minimale en bande atténuée : Aa=40dB à fa=2kHz

et pour lequel on accepte une ondulation dans la bande passante de 1dB.

Normalisation du gabarit

On normalise les fréquences par rapport à fp : f F=f/fpfp Fp=fp/fp=1

fa Fa =fa/fp=0,5

Gabarit passe-bas (normalisé) correspondant

Changement de variable de la transposition passe-bas vers passe-haut :

Pour f=fa :

(on fait abstraction du signe - )

0 2 f(kHz)4

-40

-1

s1s →

ωω

→ωω

jj p

p

0 0,5 F1

-40

-1

0 1 F2

-40

-1

a

p

p

a

ff

jffj −→ 2j5,0j −→

62



Détermination de lordre du filtre

avec et

on prend N=5

Fonction de transfert normalisée à partir de la table des polynômes de Chebyshev

Transposition vers le type de filtre de départ (passe-haut)

)(charg

110chargN

a

10aA

Ωε

−

= 509,0110110 101

10Ap

=−=−=ε 2p

aa =

ωω=Ω

5,4)2(charg

509,0/)110(chargN10/aA

=−=

)1s181,0s012,1)(1s091,1s329,2)(1s454,3(1)s(H 22 +++++

=

s1s →

1s179,0s988,0s988,0

1s468,0s429,0s429,0

1s29,0s29,0)s(H 2

2

2

2

++×

++×

+=

63



Dénormalisation

Identification :

s/rad665,86)( 1c =ω s/rad372,38)( 2c =ω s/rad285,25)( 3c =ω

Hz8,13)f( 1c = Hz1,6)f( 2c = Hz4)f( 3c =

357,02 =ξ 09,03 =ξ

2

3c3c

2

3c2

2c2c

2

2c

1c

1c321

)(j

)(2j1

)(j

)(j

)(2j1

)(j

)(j1

)(j

)j(H)j(H)j(H)j(H)s(H

ωω+

ωωξ+

ωω

×

ωω+

ωωξ+

ωω

×

ωω+

ωω

=ω×ω×ω=ω→

pp f2jjs

πω=

ωω→

64



Tests

Avant de passer à la réalisation proprement dite, on peut simuler le filtre pour vérifier que la synthèse est correcte.

Programme Scilab :fc=4;w0=2*%pi*fc/0.29num=poly([0 1/w0], "s", "coef");den=poly([1 1/w0], "s", "coef");sys1=syslin('c', num, den);bode(sys1, 0.1, 100);

w0=2*%pi*fc/sqrt(0.429)xi=0.468*w0/(4*%pi*fc)num=poly([0 0 1/w0/w0], "s", "coef");den=poly([1 2*xi/w0 1/w0/w0], "s", "coef");sys2=syslin('c', num, den);bode(sys2, 0.1, 100);

w0=2*%pi*fc/sqrt(0.988)xi=0.179*w0/(4*%pi*fc)num=poly([0 0 1/w0/w0], "s", "coef");den=poly([1 2*xi/w0 1/w0/w0], "s", "coef");sys3=syslin('c', num, den);bode(sys3, 0.1, 100);

Affichage de la fonction de transfert produit :

...bode(sys1*sys2*sys3, 1, 100);...

Le gabarit désiré est bien obtenu.

zoom

H1 x H2 x H3

zoom

H1, H2, H3

65



Réalisation électronique (1/2)

On se propose dutiliser une cellule active du 1er ordre et de 2 filtres de Rauch pour les cellules du 2nd ordre.

66



Réalisation électronique (2/2)

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