Suites numériques en MPSI

On appellera suite réelle tout élément de RN.

II - Quelques théorèmes généraux

1) Convergence — Unicité de la limite

Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle (un) admet ℓ pour limite si et seulement si

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |un − ℓ| ≤ ε.Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (un) est convergente, ou encore qu’elle admet unelimite finie.Le nombre ℓ est alors unique, appelé la limite de la suite (un), noté lim

n→∞un.

Dans le cas contraire, on dit que la suite (un) est divergente.On dit que (un) admet pour limite +∞ (resp. −∞) si et seulement si

∀A > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ un ≥ A (resp. un ≤ −A).

Attention ! Dans le cas où (un) admet pour limite ±∞, (un) est divergente.

2) Composition de limites

Soient f une fonction numérique et (un)n∈N une suite réelle telle que un soit dans l’ensemble de définitionde f à partir d’un certain rang.

Si (un)n∈N converge vers a et si f admet une limite ℓ en a, alors la suite(f (un)

)n∈N

converge vers ℓ.

Si (un)n∈N converge vers a et si f est continue en a, alors la suite(f (un)

)n∈N

converge vers f (a).

3) Convergence et relation d’ordre

a) Passage à la limite dans une inégalité

Si (un)n∈N et (vn)n∈N sont deux suites réelles convergentes telles que, à partir d’un certain rang,un ≤ vn, alors lim (un) ≤ lim (vn).Attention ! Avant d’appliquer cette propriété, bien justifier l’existence des limites (voir aussi le para-

graphe suivant).

Attention ! Les inégalités strictes ne se transmettent pas en général (cf. ∀n ∈ N∗ 1

n> 0).

b) Théorème d’encadrement (dit “des gendarmes”)

Soient (un)n∈N , (vn)n∈N , (wn)n∈N trois suites réelles telles que :

• à partir d’un certain rang, un ≤ vn ≤ wn ;

• (un)n∈N et (wn)n∈N convergent vers une même limite ℓ.

Alors (vn)n∈N converge également vers ℓ.

Attention ! Ce n’est pas le cas sans l’hypothèse de la limite commune à (un)n∈N et (wn)n∈N(cf. ∀n ∈ N − 1 ≤ (−1)n ≤ 1).

NB : Ce résultat permet d’établir la convergence de (vn)n∈N.

4) Convergence des suites monotones

Théorème : toute suite réelle croissante majorée converge ;toute suite réelle décroissante minorée converge.

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Plus précisément, si (un)n∈N est une suite réelle croissante, alors

limn→∞

un = sup {un, n ∈ N} ∈ R ∪ {+∞}

(soit elle est majorée, auquel cas elle converge, soit elle a pour limite +∞).

De même, si (un)n∈N est une suite réelle décroissante, alors

limn→∞

un = inf {un, n ∈ N} ∈ R ∪ {−∞}

(soit elle est minorée, auquel cas elle converge, soit elle a pour limite −∞).

5) Suites adjacentes

Définition : deux suites réelles (an)n∈N et (bn)n∈N sont adjacentes si et seulement si l’une est croissante,l’autre décroissante et lim

n→∞(an − bn) = 0.

Théorème : si (an)n∈N et (bn)n∈N sont adjacentes, avec (an)n∈N croissante et (bn)n∈N décroissante,alors ∀ (p, q) ∈ N2 ap ≤ bq et (an)n∈N et (bn)n∈N convergent vers une même limite.

NB : un énoncé équivalent est le théorème des segment emboîtés : si([an, bn]

)n∈N

est une suite décrois-

sante de segments de R, telle que limn→∞

(an − bn) = 0, alors⋂

n∈N

[an, bn] est un singleton.

Remarque pratique : pour montrer que deux suites sont adjacentes, sachant que l’une est croissanteet l’autre décroissante, penser éventuellement à montrer d’abord que les deux convergent (par exempleà l’aide du § 1), puis que leurs limites sont égales (en utilisant les définitions des suites). On en déduitque la différence converge vers 0 !

6) Suites extraites

Définition : on appelle suite extraite (ou sous-suite) d’une suite (an)n∈N toute suite de la forme(aϕ(n)

)n∈N

, où ϕ est une application strictement croissante de N dans N (en parti-culier lim

+∞ϕ = +∞).

Exemples : (an+1)n∈N, (a2n)n∈N, (a2n)n∈N sont des suites extraites de (an)n∈N.

Propriété : si (an)n∈N admet une limite (dans R), alors toute suite extraite de (an)n∈N admet la mêmelimite.

Exercice classique : si (a2n)n∈N et (a2n+1)n∈N admettent une même limite ℓ, alors (an)n∈N admetpour limite ℓ (mais cf.

((−1)n

)n∈N

. . . ).

7) Théorème de Bolzano-Weierstrass

Théorème : de toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente.

IIII - Quelques idées pour l’étude de suites récurrentes

1) Généralités

On se donne une application f : D→ R et on s’intéresse aux suites réelles (un)n∈N définies par la donnéede u0, dans l’ensemble de définition D de f , et la relation de récurrence : ∀n ∈ N un+1 = f (un).

a) Définition de la suite (un)n∈N

On peut chercher une partie F de D, stable par f , telle que u0 ∈ F ; il est alors clair par récurrenceque la suite est définie et a tous ses termes dans F .

b) Représentation graphique

Ayant tracé le graphe Γ de f et la bissectrice ∆ du repère (d’équation y = x), partant du point (u0, u1)

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de Γ, on trace un segment parallèle à Ox pour rejoindre (u1, u1) de ∆, puis un segment parallèle à Oypour rejoindre (u1, u2) de Γ,. . .

c) Limites possibles

Si (un)n∈N converge vers ℓ et f continue en ℓ, nécessairement f (ℓ) = ℓ.

d) Cas où f est croissante

Si f : F → F est croissante sur F , on montre par récurrence que (un)n∈N est monotone :

• si u0 < u1, alors (un)n∈N est croissante ;

• si u0 > u1, alors (un)n∈N est décroissante.

NB : la position de u0 par rapport à u1 est fournie par l’étude du signe de f (x)− x.

e) Cas où f est décroissante

Si f : F → F est décroissante sur F , alors les deux sous-suites (u2p)p∈N et (u2p+1)p∈N sont monotones,de sens contraires :

• si u0 < u2, alors (u2p)p∈N est croissante et (u2p+1)p∈N décroissante ;

• si u0 > u2, alors (u2p)p∈N est décroissante et (u2p+1)p∈N croissante.

En effet, ces deux suites sont des suites récurrentes associées à la fonction f ◦ f , qui est croissante !NB : la position de u0 par rapport à u2 est fournie par l’étude du signe de f ◦ f (x)− x.

Rappel : (un)n∈N converge vers ℓ si et seulement si(u2p)p∈N et (u2p+1)p∈N convergent vers ℓ.

2) Rapidité de convergence

a) Cas d’une fonction contractante

Supposons f : F → F et k ∈ [0, 1[ tels que : ∀ (x, y) ∈ F 2 |f (x)− f (y)| ≤ k · |x− y| (penser àl’inégalité des accroissements finis . . . ).Si f admet pour point fixe ℓ dans F et si u0 ∈ F , une récurrence immédiate montre que

∀n ∈ N |un − ℓ| ≤ kn · |u0 − ℓ|(majoration par une suite géométrique). On a convergence très rapide de (un)n∈N vers ℓ.

b) Convergence quadratique

Supposons f : F → F , λ ∈ R+∗ et ℓ ∈ F point fixe de f tels que : ∀x ∈ F |f (x)− ℓ| ≤ λ · |x− ℓ|2.Si u0 ∈ F et p ∈ N, une récurrence immédiate montre que

∀n ≥ p |un − ℓ| ≤ λ2n−p−1 · |up − ℓ|2

n−p

Pourvu que |λ · (up − ℓ)| < 1, pour une certaine valeur de p, on a convergence “ultra-rapide” de (un)n∈Nvers ℓ. On a coutume de dire que le nombre de décimales exactes est doublé à chaque itération (si l’onconsidère un comme une valeur approchée de ℓ).

Exemple : pour a > 0 donné, soient F = [√a,+∞[ et f : x �→ 1

2

(x+

a

x

); on vérifie que

√a est point

fixe de f et que

∀x ∈ F∣∣f (x)−

√a∣∣ =

1

2x

(x−

√a)2 ≤ 1

2√a

(x−

√a)2

Pour a = 2 et u0 = 2, on trouve :u1 ≈ 1.5000000000000000000000000000000000000000000000000u2 ≈ 1.4166666666666666666666666666666666666666666666667u3 ≈ 1.4142156862745098039215686274509803921568627450980u4 ≈ 1.4142135623746899106262955788901349101165596221157u5 ≈ 1.4142135623730950488016896235025302436149819257762u6 ≈ 1.4142135623730950488016887242096980785696718753772tandis que :√2 = 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769 . . .

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c) Obtention d’équivalents à l’aide du théorème de Cesàro

On suppose ici F de la forme [0, b] (b > 0) et f : F → F telle que

f (x) = x− a.xp + o (xp) où a > 0, p > 1

Alors, pour u0 > 0, suffisamment proche de 0, il est aisé de vérifier que (un)n∈N décroît vers 0.

On cherche α tel que vn =1

uαn+1− 1

uαnadmette une limite réelle non nulle :

vn ∼uαn − uαn+1u2αn

car un+1 ∼ un puisque f (x) ∼0x

or

uαn+1 = f (un)α = uαn ·

(1− a.up−1n + o

(up−1n

))α

= uαn ·(1− α.a.up−1n + o

(up−1n

))

d’oùvn ∼ α.a · up−1−αn

On choisit donc α = p− 1, alors (vn) converge vers (p− 1) .a et, par sommation, le théorème de Cesàropermet de montrer que

1

up−1n

∼ n. (p− 1) .ad’où

un ∼(

1

(p− 1) .a.n

) 1p−1

Exemple : avec f : x �→ sinx, b = 1, a =1

6, p = 3, on obtient un ∼

√3

n(convergence lente !)

3) Suites arithmético-géométriques

Ici F = R et f : x �→ ax+ b (a ∈ R\ {0, 1}et b ∈ R∗). Les idées précédentes s’appliquent, mais on peutexprimer directement un en fonction de n :

• on détermine le point fixe ω de f : ω =b

1− a ;

• on remarque que la suite (un − ω)n∈N est géométrique, de raison a.

Par suite,∀n ∈ N un = ω + a

n. (u0 − ω)et (un)n∈N converge (vers ω) si et seulement si (|a| < 1 ou u0 = ω).

4) Récurrences homographiques

Ici f : x �→ ax+ b

cx+ davec c �= 0 et ad − bc �= 0 ; f est une bijection de R\

{−dc

}dans R\

{ac

}; la

définition de la suite (un)n∈N dans le cas général n’est pas triviale, il est bon de trouver F stable parf . . . Précisément, (un)n∈N est définie si et seulement si u0 n’appartient pas à l’ensemble des valeursprises par la suite (vn)n∈N telle que

v0 = −d

cet ∀n vn+1 = f

−1 (vn) (tant qu’elle est définie !)

Les points fixes de f sont les solutions d’une équation du second degré.On peut ici aussi exprimer directement un en fonction de n :

• si f admet deux points fixes distincts α et β, on vérifie que la suite(un − αun − β

)est géométrique ;

• si f admet un unique point fixe α (racine double. . . ), on vérifie que la suite(

1

un − α

)est

arithmétique.