Sparčioji Furjė transformacija (FFT)

Šviesos impulsų spektrai

Furjė eilutė

Nyquist teorema

Laboratorinis darbasŠviesos impulsų spektrai

Furje vaizdavimasBet kokią periodinę funkciją galima atvaizduoti Furjė eilute.Furjė eilutės apibendrinimas, kai funkcija nėra periodinė, yra Furjėtransformacija.

Funkcijos )(tf)(Furje vaizdas ωF

apibrėžiamas taip:

∫∞

∞−

−= dtetfF tiωω )()(

Tai yra Furje transformacija. Atvirkštinė Furje transformacijaduoda pradinę funkciją:

J. Fourier (1768-1830)

∫∞

∞−

= ωωπ

ω deFtf ti)(21)(

Furje vaizdavimas

Dvimatė Furje transformacija:

∫ ∫

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

+

∞

∞−

∞

∞−

−−

=

=

yxyikxik

yx

yikxikyx

dkdkekkFyxf

dxdyeyxfkkF

yx

yx

),()2(1),(

),(),(

2π

Skaičiuojant šviesos impulsų energijas bei pluoštų galias, svarbi Planšerelio teorema:

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

= ωωπ

dFdttf 22 |)(|21|)(|

∫ ∫ ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

= yxyx dkdkkkFdxdyyxf2

22 |),(|

)2(1|),(|π

Spartusis Furje vaizdavimas (FFT)

1965 metais James Cooley kartu su John Tukey pasiūlėnaują būdą skaičiuoti Furje transformaciją.

James W. Cooley & John W. Tukey (1965): "An algorithm for themachine calculation of complex Fourier series", Math. Comput. 19, 297–301.

Įdomi FFT sukūrimo istorija.Richard Garwin iš IBM domėjosi, kaip būtų galima greičiau skaičiuotiFurjė transformaciją kompiuteriu. Jo tikslas buvo sukurti įrenginius,fiksuojančius Sovietų Sąjungos vykdomus bandomuosius branduoliniussprogimus. Jis pasiūlė šį uždavinį Cooley ir Tukey, Amerikos matematikams.Jie uždavinį išsprendė, prietaisai buvo pastatyti Sovietų Sąjungoskaimynistėje. Jie galėjo užfiksuoti sprogimus 15 km tikslumu.

Spartusis Furje vaizdavimas (FFT)

Reikia skaitmeniškai suskaičiuoti Furjė vaizdą:

∫∞

∞−

−= dtetfF tiωω )()(

Tuo tikslu daliname dažnio bei laiko intervalus į N dalių – diskretizacija:

Tuomet fazinis daugiklis:

Spartusis Furje vaizdavimas (FFT)

Dažnio ir laiko žingsniai siejami tokiu ryšiu (Nyquist teorema):

Fazinis daugiklis:

Pažymime funkcijų reikšmes:

Spartusis Furje vaizdavimas (FFT)

Diskrečioji Furje transformacija:

∑−

=

−=1

0

/2N

k

Nklikl efF

π

Atvirkštinė transformacija:

∑−

=

=1

0

/21 N

l

Nklilk eFN

f π

N*N operacijų reikia atlikti.Didinant N, skaičiavimo sparta mažėja kvadratiškai.

Atliekant FFT, sparta mažieja tik tiesiškai.

Spartusis Furje vaizdavimas (FFT)

Galime užrašyti:

Ni

N

k

klkl

eW

WfF

/2

1

0π−

−

=

=

=∑kur pažymėta

nN 2=Norint atlikti FFT, turi būti

Tuomet N galima dalinti iš 2 n kartų.

Atlikime šią procedūrą vieną kartą.

∑∑

∑∑−

=

−

=

−

=

++

−

=

+=

=+=

12/

0

2/12/

0

12/

0

)2/(2/

12/

0N

k

Nlklk

N

k

klk

N

k

lkNNk

N

k

klkl

WWhWf

WfWfF

Spartusis Furje vaizdavimas (FFT)

Pastebėję, kad

lliNl elNN

iW )1(2

2exp2/ −==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= − π

π

galime užrašyti

∑−

=

−+=12/

0))1((

N

k

klk

lkl WhfF

Arba, turime

∑

∑−

=+

−

=

−=

+=

12/

0

212

12/

0

22

)()(

,))((

N

k

klkkkl

N

k

klkkl

WWhfF

WhfF

Taigi, dabar turime dvi Furje transformacijas vietoj vienos.

Spartusis Furje vaizdavimas (FFT)

Anksčiau turėtume atlikti operacijų2N

Dabar sparta bus proporcinga N (logaritmas lėtai kintanti funkcija.)

NN 2log2

Nn 2log= -Tiek kartų reikia dalinti N*N matricąpusiau.

Šviesos impulsaiElektrinio lauko stipris, moduliuotas erdvėje ir laike:

arba

kur

•Bangos sklidimo kryptį apibrėžia bangos vektorius•vienetinis bangos poliarizacijos vektorius •nešantysis (centrinis) bangos ciklinis dažnis •kompleksinė bangos amplitudė

0kr

er

0ω

),,,( zyxtA

),( ztAA = - šviesos impulsas

Šviesos impulsai

Furjė vaizdas

čia

Šviesos impulsai

Gauso impulsas

)/exp()0,( 202

0 τtatA −=

Spektras

.4

exp)(20

2

00 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ Ω−=Ω

ττπ aSGauso impulso spektras – taippat Gauso funkcija.

Šviesos impulsai

Stačiakampis impulsas

vaconstta ==)( 2200 ττ ≤≤− t

.

2

2sin

)(0

0

0 τ

τ

τΩ

Ω

=Ω vaS

Impulso spektras:

.56.5

05.0 τ≈∆Ω

Tokio impulso trukmė bet kuriameintensyvumo aukštyje yra 0τ

Kai (monochoromatinė banga), spektras yra delta funkcija.∞→0τ

Šviesos impulsaiImpulso spektras:

[ ]∫∞

∞−

Ω−=Ω .

)/cosh(exp)(

0τtdttiaS v

.2

sec)( 00 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω=Ωπττπ haS v

Hiperbolinio sekanto impulsas

),/(sec)( 0τthata v=

5.02

sec0

5.02 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ττh

).12ln(2 05.0 += ττ .)12ln(4

05.0 πτ

+=∆Ω

Laboratorinis darbas Nr.: 3Šviesos impulsų spektrai

Rasime šviesos impulsų spektrus FFT metodu.

•diskretizuotas laikas turi būti sudalintas į dalis.•dažnio intervalas užduodamas , kur ht – laiko žingsnis•naudojamos Matlab funkcijos fft() ir fftshift().

nN 2=htht /../ ππ−

Furjė eilutė

Furjė vaizdas yra Furjė eilutės apibendrinimas.Periodinę intervale funkciją galima atvaizduoti Furjė eilute:

kur

Funkcija f(t) gali būti su trūkiais.

Furjė eilutė

Stačiakampė bangaIntervale ją aprašo funkcija:

Suma konverguoja kaip 1/n.

Furjė eilutė

Stačiakampė banga

Stačiakampės bangos skleidimas Furjė eilute.Skleidimo narių skaičius: 1 (a), 2 (b), 3 (c), 5 (d), 10 (e).

Furjė eilutė

Pjūklinė bangaJą aprašanti funkcija intervale

Arba:

Kaip ir stačiakampės bangos atveju suma konverguoja kaip 1/n.

Furjė eilutė

Trikampė banga

Pjūklinė banga

Trikampė banga

Harmoninė banga

Garso įrašymas su Matlab

Stačiakampio signalo vertimo garsu Matlab kodas.

Stačiakampėbanga

Komanda, verčianti y garsu

Furjė eilutė ir Furjė integralas

Neperiodinei funkcijai Furjė eilutė virsta Furjė ingeralu.

Jei f(t) periodinė [-T T] intervale, tai Furjė eilutė

kur

Furjė eilutė ir Furjė integralas

arba

Kai funkcija f (t) neperiodinė, t.y. Be to pažymime

Gauname

Furjė eilutė ir Furjė integralas

Sumą pakeičiame integralu:

cos(x) – lyginė funkcija. Pakeičiame integravimo ribas:

sin(x) - nelyginė funkcija, todėl

Sudedame šiuos du integralus ir pasinadojame Oilerio formule:

Furjė eilutė ir Furjė integralas

Tai yra Furjė transformacija. Buvo panaudota prielaida:

Žemo dažnio filtras

Matėme, kad periodines bangas galima skleisti Furjė eilute.Pavyzdžiui, stačiakampės bangos atveju:

Žemo dažnio filtras nufiltruoja aukštesnių dažnių harmonikas.Gaunamas iškraipytas signalas.

R

CUin

UŽemo dažnio filtras – RC kontūras:

Žemo dažnio filtras

R

CUin

U Žemo dažnio filtro lygtis:

čia

Tegul paduodamas harmoninis signalas

Ieškosime sprendinio kaip to paties dažnio signalą

Žemo dažnio filtras

arba

Išėjimo signalo amplitudė priklauso nuo paduodamo signalo dažnio.Filtro perdavimo funkcija-pralaidumo juosta.

Žemo dažnio filtras

Stačiakampės bangos iškraipymas žemo dažnio filtru.

Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon teoremaKokie turi būti laikinis ir dažninis žingsniai atliekant diskrečią Furjėtransformaciją?

Funkcija

spektras Spektro plotis

-Nyquist dažnis

Periodinė funkcija,Periodas

Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon teorema

Periodinė funkcija skleidžiama Furjė eilute:

Skleidimo koeficientai:

Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon teorema

Spektriškai ribotas spektras

Stačiakampė funkcija

Atvirkštinė Furjė transformacija:

Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon teorema

Taigi gavome

Whittaker-Shannon interpolation formula

Ši formulė tiksli šiuoselaiko taškuose

t=

Laiko žingsnis susijęs su spektro pločiu – turi būti pakankamai mažas.Spektrinis žingsnis atvirkščiai proporcingas laikiniam.