Primjer 1.

Polazeći od analognog filtra čija je funkcija prenosa

( ) ca

cH s

s

Ω=

+ Ω,

gdje je cΩ 3-dB granična učestanost analognog filtra, projektovati digitalni

niskopropusni filtar koristeći metodu impulsne invarijanse. Rješenje Preslikavanje analognog filtra u digitalni mora očuvati osnovne osobine frekvencijskog odziva filtra. Naime, imaginarna osa u s-ravni se mora preslikati u jediničnu kružnicu u z-ravni, i stabilan analogni filtar mora dati stabilan digitalni filtar. Ovu funkciju prenosa preslikaćemo u digitalni domen korišćenjem metode impulsne invarijanse. Osnovna ideja je da se za impulsni odziv digitalnog filtra uzme periodično odmjeren impulsni odziv analognog filtra.

( ) ( )tnhnh a ∆= ,

gdje je t∆ period odmjeravanja. Neka je data funkcija prenosa analognog filtra razvijena u parcijalne razlomke:

( ) ∑= −

=N

k k

ka ss

AsH

1

,

funkcija prenosa digitalnog filtra dobijenog metodom impulsne invarijanse će biti:

( ) ∑=

−∆−=

N

kts

k

ze

AzH

k1

11. (1)

Dakle, polovi ks funkcije prenosa analognog filtra će se preslikati u polove tsk

kez ∆=

odgovarajućeg digitalnog filtra. Meñutim, važno je napomenuti da metoda impulsne invarijanse ne preslikava s-ravan u z-ravan pomoću ove jednačine, to je samo relacija kojom se preslikavaju polovi. Iz jednačine (1) u ovom slučaju slijedi:

( )11 c

ct

H ze z−Ω ∆ −

Ω=

−.

Meñutim, frekvenciju odmjeravanja 0 2 tπΩ = ∆ treba izabrati na takav način da se izbjegne preklapanje spektra. Dati su primjeri poreñenja amplitudnih karakteristika filtara sa 3dB graničnom frekvencijom od 1Hz, 5Hz i 50Hz za frekvenciju odmjeravanja od 2kHz, tj. 0.5t ms∆ = .

Primjer 2.

Polazeći od analognog filtra čija je funkcija prenosa

( ) ca

cH s

s

Ω=

+ Ω,

gdje je cΩ 3-dB granična učestanost analognog filtra, projektovati digitalni

niskopropusni filtar čija 3-dB granična učestanost iznosi kurad/odmjer2,0 π , koristeći bilinearnu transformaciju. Rješenje: Kada se za preslikavanje analognog filtra u digitalni koristi bilinearna transformacija polazi se od aproksimacije integrala trapezoidnim pravilom što rezultuje preslikavanjem s-ravni u z-ravan prema jednačini

+−

∆= −

−

1

1

1

12

z

z

ts , (2)

što daje relaciju izmeñu frekvencijskih promjenljivih u analognom i digitalnom domenu

2

tg2 ω∆

=Ωt

, (3)

odnosno

2

tarctg2

Ω∆=ω .

Cijeli frekvencijski opseg u domenu analognog filtra preslikava se u opseg π≤ω≤π− , ali to preslikavanje je nelinearno. Dolazi do kompresije frekvencijskog

opsega (frequency warping). Korištenjem jednačine (3) sada dobijamo 3-dB frekvenciju analognog filtra

ttc ∆=π

∆=Ω 65,0

0,1tg2

, pa je funkcija prenosa analognog filtra

( )ts

tsH

∆+∆=

65,0

65,0.

Korištenjem bilinearne transformacije (2) dobije se funkcija prenosa digitalnog filtra

( ) ( )1

1

509,01

1245,0−

−

−+=

z

zzH .

Lako se provjerava da je 3-dB učestanost ovog filtra odmjerku

rad0,2π=ωc , tj. da

zadovoljava specifikacije. Važno je uočiti da vrijednost perioda odmjeravanja t∆ u ovom slučaju ne utiče na konačni rezultat. Može se zaključiti da je ovaj parametar potpuno transparentan kada su specifikacije filtra zadate u digitalnom domenu pa ga je moguće izabrati proizvoljno, npr. 1=∆t . Naravno, kada se filtar koristi za obradu digitalnih signala dobijenih A/D konverzijom rezultujuća frekvencijska karakteristika zavisi od perioda odmjeravanja.

Primjer 2.

Korišćenjem metode impulsne invarijanse projektovati digitalni IIR filtar koji zadovoljava sledeće specifikacije: • maksimalno ravna magnituda u propusnom opsegu 0 ≤ ω ≤ 0.2π rad, • maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu 1dB, • nepropusni opseg 0.3π ≤ ω ≤ π rad, • minimalno slabljenje u nepropusnom opsegu 15dB, • period odmjeravanja 1s. Realizovati ovaj filtar korišćenjem prve i druge direktne forme.

Rješenje Preslikaćemo zadate specifikacije u analogni domen. U odsustvu aliasinga impulsna invarijansa preslikava analognu u digitalnu frekvenciju na linearan način:

t∆ω=Ω .

Sada su granične frekvencije u analognom domenu: Ωp=0.2π rad/s i Ωs=0.3π rad/s. Izvršićemo normalizaciju sa Ω0=0.2π rad/s, pa su normalizovane granične frekvencije: ωp=1 i ωs=1.5. Batervortov filtar koji zadovoljava ove specifikacije je 6. reda i ima normalizovanu funkciju prenosa:

1.965 + s 6.784 + s 11.71 + s 12.82 + s 9.349 + s 4.324 + s

1.965)(ˆ

23456=sH N .

Nakon denormalizacije funkcija prenosa analognog filtra je:

0.1209 + s 0.6644 + s 1.825 + s 3.179 + s 3.691 + s 2.717 + s

0.1209)(ˆ

23456=sH .

Frekvencijska karakteristika analognog filtra.

100

101

-200

-100

0

100

200

Frequency (radians)

Ph

as

e (

de

gre

es

)

100

101

10-10

10-5

100

Frequency (radians)

Ma

gn

itu

de

U MATLABu je metoda impulsne invarijanse realizovana funkcijom impinvar , koja u našem primjeru daje sledeći rezultat:

6-5-4-3-2-1-

-6-5-4-3-2-1

z 0.06607 +z 0.5706 - z 2.107 + z 4.276 - z 5.068 + z 3.364 - 1

z 0.0001033 +z 0.004101 + z 0.01614 + z 0.0101 + z 0.000631 + z 014-1.132e-)( =zH

Frekvencijska karakteristika digitalnog filtra.

Amplitudne karakteristike analognog i digitalnog filtra

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-600

-400

-200

0

Normalized frequency (Nyquis t == 1)

Ph

as

e (

de

gre

es

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-80

-60

-40

-20

0

Normalized frequency (Nyquis t == 1)

Ma

gn

itu

de

Re

sp

on

se

(d

B)

10-3

10-2

10-1

100

101

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frekvencija [rad/s]

Mag

nitu

da

analognidigitalni

Dobijene amplitudne karakteristike potvrñuju činjenicu da je frekvencijski odziv digitalnog filtra dobijen metodom impulsne invarijanse pod uslovom da nema preklapanja spektra:

( )

∆ω

∆≈ω

tjH

teH a

j 1.

Vidimo da za visoke frekvencije odmjeravanja digitalni filtar može imati vrlo veliko pojačanje, pa je zbog toga preporučljivo za impulsni odziv digitalnog filtra uzeti:

( ) ( )tnthnh a ∆∆= ,

što se automatski dobija kada se koristi funkcija impinvar . Takoñe se može uočiti da ako su specifikacije zadate (kao u ovom slučaju) pomoću digitalnih frekvencija, vrijednost frekvencije odmjeravanja ne igra nikakvu ulogu u konačnom obliku digitalnog filtra. Mana metode impulsne invarijanse je postojanje aliasinga.

Primjer 3.

Ponoviti prethodni primjer korišćenjem metode bilinearne transformacije. Rješenje Ponovo počinjemo preslikavanjem specifikacija u analogni domen. Veza izmeñu analogne i digitalne frekvencije je sada nelinearna:

( )2tan2 ω∆

=Ωt

.

Sada su granične frekvencije u analognom domenu: Ωp=0.6498 rad/s i Ωs=1.0191 rad/s. Normalizacija učestanosti: Ω0=0.6498 rad/s. Normalizovane učestanosti: ωp=1, ωs=1.5683. Ove specifikacije zadovoljava Batervortov filtar 6. reda, pa je normalizovana karakteristika ista kao i u prethodnom primjeru. Nakon denormalizacije imamo:

0.1479 + s 0.786 + s 2.088 + s 3.516 + s 3.948 + s 2.81 + s

0.1479)(ˆ

23456=sH .

Funkcija prenosa digitalnog filtra dobija se smjenom: 1

1

1

12−

−

+−

∆=

z

z

ts .

6-5-4-3-2-1-

-6-5-4-3-2-1

z 0.06285 +z 0.5459 - z 2.028 + z 4.144 - z 4.95 + z 3.314 - 1

z 0.0005795 + z 0.003477 z 0.008693 + z 0.01159 + z 0.008693 + z 0.003477 + 0.0005795)(

+=zH

Frekvencijska karakteristika digitalnog filtra.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-600

-400

-200

0

Normalized frequency (Nyquist == 1)

Ph

as

e (

de

gre

es

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-300

-200

-100

0

Normalized frequency (Nyquist == 1)

Ma

gn

itu

de

Re

sp

on

se

(d

B)

Amplitudne karakteristike analognog i digitalnog filtra.

Vidimo da je zbog nelinearnosti preslikavanja frekvencijske promjenljive koje sabija frekvencijski opseg amplitudna karakteristika digitalnog filtra nešto strmija. U stvari, sa sledeće slike se vidi da je ovo preslikavanje približno linearno samo za niske frekvencije. Sa porastom frekvencije odmjeravanja ovaj interval linearnosti se proširuje.

-15 -10 -5 0 5 10 15-3

-2

-1

0

1

2

3

Ω∆t

ω

Preslikavanje izmeñu frekvencijskih promjenljivih.

Primjer 4.

Korišćenjem metoda impulsne invarijanse i bilinearne transformacije projektovati digitalni eliptički filtar koji zadovoljava sledeće specifikacije:

10-3

10-2

10-1

100

101

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frekvencija

Magnituda

analognidigitalni

• propusni opseg 0 ≤ ω ≤ 0.2π rad, • maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu 1dB, • nepropusni opseg 0.3π ≤ ω ≤ π rad, • minimalno slabljenje u nepropusnom opsegu 15dB, • period odmjeravanja 1s. Rješenje Preslikaćemo zadate specifikacije u analogni domen. U odsustvu aliasinga impulsna invarijansa preslikava analognu u digitalnu frekvenciju na linearan način:

t∆ω=Ω .

Sada su granične frekvencije u analognom domenu: Ωp=0.2π rad/s i Ωs=0.3π rad/s. Izvršićemo normalizaciju sa Ω0=0.2π rad/s, pa su normalizovane granične frekvencije: ωp=1 i ωs=1.5. Eliptički filtar koji zadovoljava ove specifikacije je trećeg reda i normalizovana funkcija prenosa analognog prototipa je:

( )7551.0225.19805.0

7551.04711.0ˆ23

2

++++=

sss

ssH N .

Njenom denormalizacijom se dobija:

( )1873.04837.06161.0

1873.0296.0ˆ23

2

++++=

sss

ssH

Konačno, primjenom impulsne invarijanse dobija se funkcija prenosa digitalnog filtra:

( )321

321

5401.0794.1119.21

3063.04461.0296.0−−−

−−−

−+−+−=

zzz

zzzzH

Meñutim, slabljenje ovog filtra na frekvenciji 0.2π iznosi 2.25dB, a na frekvenciji 0.3π 11.20dB. Očigledno, ove vrijednosti ne zadovoljavaju specifikacije filtra. Preklapanje spektra koje se javlja kod metode impulsne invarijanse uništilo je rezultujući eliptički filtar zato što frekvencijska karakteristika analognog prototipa nije «frekvencijski ograničena». Bilinearna transformacija, meñutim, nema ovaj problem. Preslikavanjem graničnih frekvencija u analogni domen dobijamo: Ωp=0.6498 rad/s i Ωs=1.0191 rad/s. Normalizacija učestanosti: Ω0=0.6498 rad/s. Normalizovane učestanosti: ωp=1, ωs=1.5683. Ponovo dobijamo eliptički filtar trećeg reda čiji je normalizovani analogni prototip:

( )7551.0225.19805.0

7551.04711.0ˆ23

2

++++=

sss

ssH N .

Denormalizacijom se dobija:

( )2072.05173.06371.0

2072.03061.0ˆ23

2

++++=

sss

ssH

Konačno, bilinearnom transformacijom, dobijamo:

( )321

321

5325.0784.1111.21

1214.005114.005114.01214.0−−−

−−−

−+−+−−=

zzz

zzzzH .

Slabljenja na graničnim frekvencijama propusnog i nepropusnog opsega su 1dB i 16dB, respektivno, što odgovara zadatim specifikacijama.

Primjer 5.

Dat je analogni filtar sa funkcijom prenosa 1

)(ˆ+

=s

ssH .

O kakvom se filtru radi? Kolika je njegova granična učestanost? Nacrtati njegovu frekvencijsku karakteristiku. Preslikati ovaj filtar u digitalnim domen korišćenjem bilinearne transformacije sa frekvencijom odmjeravanja fs=100Hz. Kakav rezultat se dobija? Nacrtati frekvencijsku karakteristiku dobijenog filtra. Preslikati sada filtar u digitalni domen korišćenjem metode impulsne invarijanse sa istom frekvencijom odmjeravanja. Kakav rezultat se dobija? Nacrtati frekvencijsku karakteristiku dobijenog filtra. Komentarisati rezultate ovih transformacija i odrediti ograničenja metoda za preslikavanje funkcija prenosa iz analognog u digitalni domen. Rješenje

Dati filtar je visokopropusni filtar sa graničnom učestanošću s

rad1=Ωc .

Amplitudna karakteristika analognog filtra.

Prenosna funkcija digitalnog filtra dobijenog primjenom bilinearne transformacije:

( )( ) 1

1

22

12)( −

−

−∆+∆+−=

ztt

zzH .

10-1

100

101

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frekvencija

Ma

gn

itu

da

Amplitudna karakteristika.

Prenosna funkcija digitalnog filtra dobijenog primjenom impulsne invarijanse:

1

1

1 11

11

-t-

-t-

-t- z-e

z-e

z-eH(z) ∆

∆

∆ =−= .

Impulsni odziv analognog filtra.

Time (sec.)

Am

plit

ud

e

Impulse Response

0 1 2 3 4 5 6

-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

10-1

100

101

102

103

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Frekvencija

Ma

gn

itu

da

0 100 200 300 400 500 600-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Impulsni odziv digitalnog filtra dobijenog metodom impulsne invarijanse

(nacrtan je svaki 10 odmjerak).

Amplitudna karakteristika digitalnog filtra dobijen og metodom impulsne

invarijanse. Problem je moguće izbjeći tako što se NF prototip preslika u digitalnim domen primjenom impulsne invarijanse:

1

1)(ˆ

+=

ssH ,

11

1)( −∆−−

=ze

zHt

.

Sada pomoću frekvencijske transformacije 1

11

1 −

−−

α+α+−=

Z

Zz , preslikavamo NF

digitalni filtar u VF:

( ) 1

1

1

1)( −∆−∆−

−

+α+α+α+=

zee

zzH

tt.

Neka je pθ granična učestanost digitalnog NF filtra, a pω željena granična

učestanost VF filtra. Konstantu α tada odreñujemo iz uslova:

10-1

100

101

102

103

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Frekvencija

Mag

nitu

da

p

pp

j

jj

e

ee ω−

ω−θ−

α+

α+−=1

,

što daje:

θ−ω

θ+ω

−=α

2cos

2cos

pp

pp

U našem slučaju, pošto je s

rad1=Ωc , i impulsna invarijansa linearno preslikava

frekvenciju imamo da je ωp=θp=∆t , pa je tp ∆−=θ−=α coscos .

Frekvencijska karakteristika digitalnog filtra dobi jenog impulsnom

invarijansom i frekvencijskom transformacijom u digitalnom domenu.

10-1

100

101

102

103

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

Primjer 6.

Korištenjem bilinearne transformacije projektovati Čebiševljev digitalni filtar koji će raditi na učestanosti odmjeravanja Hz800=SF i zadovoljava sledeće specifikacije

• granična učestanost propusnog opsega 100Hz, • granična učestanost nepropusnog opsega 300Hz, • maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu 1dB, • minimalno potrebno slabljenje u nepropusnom opsegu 20dB.

Rješenje Korištenjem MATLAB-a se lako dobija da navedene specifikacije zadovoljava analogni Čebiševljev filtar trećeg reda. Da bismo projektovali digitalni filtar moramo najprije specifikacije preslikati u digitalni domen. Maksimalna učestanost ulaznog signala u ovom slučaju može biti 400Hz. Na osnovu relacije tΩ∆=ω , dobijamo da su granične učestanosti odgovarajućeg digitalnog filtra

π=π=∆Ω=ω 25,08001002tpp i

π=π=∆Ω=ω 75,0800/3002tss .

Sada se problem svodi na projektovanje digitalnog filtra sa zadatim specifikacijama. Kada se filtar projektuje korištenjem bilinearne transformacije ove granične učestanosti se preslikavaju u analogni domen korištenjem relacije

( )2tan2 ω∆

=Ωt

,

pri čemu sada period odmjeravanja više nije bitan pa možemo izabrati 1=∆t . Dobijamo: 8284,0=Ω p i 8284,4=Ωs . Ove specifikacije zadovoljava Čebiševljev

filtar drugog reda

( )7566,09094,0

6744,0ˆ2 ++

=ss

sH .

Konačno, bilinearnom transformacijom ovaj filtar se preslikava u digitalni filtar

( )4468,09865,01

1026,02051,01026,01

21

+−++= −

−−

z

zzzH .

Amplitudna karakteristika ovog filtra data je na slici

0 50 100 150 200 250 300 350 400-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Frekvencija [Hz]

Mag

nitu

da [

dB]

Primjer 7.

Data je pravougaona prozorska funkcija dužine N. a) Odrediti spektar pravougaone prozorske funkcije. b) Generisati i nacrtati u MATLAB-u pravougaonu prozorsku funkciju dužine N=32

i N=128. c) Izračunati i nacrtati u MATLAB-u spektar pravougaonog prozora. d) Definisati značajne parametre u spektru prozorske funkcije i uočiti njihovu

zavisnost od dužine prozorske funkcije. a) Pravougaona prozorska funkcija definisana je izrazom:

1, 0,1,..., 1( )

0, inačeR

n Nw n

= −=

.

Dakle, pravougaona prozorska funkcija ne modifikuje ulazni signal, osim odsijecanja ako je dužina ulaznog signala veća od dužine prozorske funkcije. Spektar pravougaone prozorske funkcije je:

( )1 1

( 1) / 2

0 0

sin1 2( )1 sin

2

j NN Nj j n j n j N

R R jn n

Ne

W e w n e e ee

θθ θ θ θ

θ

θ

θ−− −

− − − −−

= =

−= = = =−∑ ∑ .

b) N = 32; %duzina prozora nn = 0:N-1; w = boxcar(N); figure, stem(nn, w); title( 'Pravougaoni prozor N=32' ) W = fft(w,1024); Wnorm = abs(W)/N; %normalizacija spektra tako da bude W(0)=1 figure, plot(0:1/512:1-1/512, 20*log10(Wnorm(1:512) )); title( 'Amplitudska karakteristika (dB)' ); xlabel( 'Normalizovana frekvencija' );

0 5 10 15 20 25 30 350

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Pravougaoni prozor N=32

Pravougaona prozorska funkcija dužine N = 32.

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Pravougaoni prozor N=128

Pravougaona prozorska funkcija dužine N = 128.

c)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-60

-50

-40

-30

-20

-10

0Amplitudska karakteristika (dB)

Normalizovana frekvencija

Amplitudna karakteristika pravougaonog prozora dužine N = 32.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-60

-50

-40

-30

-20

-10

0Amplitudska karakteristika (dB)

Normalizovana frekvencija

Amplitudna karakteristika pravougaonog prozora dužine N = 128.

d) Najvažniji parametri prozorske funkcije su širina glavnog luka i slabljenje prvog bočnog luka.

Prva nula spektra pravougaone prozorske funkcije dobija se za π=ω2

N, što odgovara

učestanosti Nπ=ω 2 . Dakle, širina glavnog luka je Nπ=ω∆ 40 . Vidimo da je

širina glavnog luka obrnuto proporcionalna dužini prozorske funkcije. Pošto mi težimo da smanjimo širinu glavnog luka da bismo smanjili širinu prelaznog opsega to znači da moramo da koristimo dužu prozorsku funkciju. Sa druge strane, duža prozorska funkcija povećava složenost implementacije (izračunavanja), te su ova dva zahtjeva kontradiktorna. Pošto su magnitude spektara pravougaonih prozorskih funkcija dužine N=32 i N=128 normalizovane dužinom prozorske funkcije N na slikama se čini da slabljenje prvog bočnog luka ne zavisi značajno od dužine prozora i da iznosi približno 13dB. Meñutim, ovo slabljenje, u stvari, opada sa porastom N tako da površina ispod svakog luka ostane konstantna. Veće slabljenje bočnog luka može se postići drugačijim prozorskim funkcijama, npr. trougaonom, Hannovom itd. Značajno je uočiti i da slabljenje ostalih bočnih lukova brže opada kod duže prozorske funkcije.

Primjer 8.

Ponoviti prethodni primjer za trougaoni (Bartletov) prozor. a) Bartletov prozor definisan je izrazom:

−≤≤−−

−

−≤≤−=

12

1,

1

22

2

10,

1

2

)(Nn

N

N

n

Nn

N

n

nwB .

Spektar trougaone prozorske funkcije je

( ) ( )( )

2/)1(21

0 2sin

4sin2)( −ω−

−

=

ω−ω

ωω

== ∑ NjN

n

njB

jB e

N

NenweW .

b)

Bartletov (trougaoni) prozor dužine N = 32.

c)

Amplitudna karakteristika Bartletovog prozora dužin e N = 32.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0Amplitudska karakteris tika (dB)

Normalizovana frekvencija

0 5 10 15 20 25 30 350

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Bartletov prozor N=32

c) Slabljenje prvog bočnog luka trougaone prozorske funkcije iznosi 25dB, što je veće nego u slučaju pravougaone prozorske funkcije. Meñutim ovo poboljšanje dobijeno je na račun veće širine glavnog luka koja sada iznosi 8π/N.

U tabeli su date jednačine za neke prozorske funkcije koje se često koriste: Pravougaoni 10,1)( −≤≤= Nnnw Trougaoni (Bartletov)

−≤≤−−

−

−≤≤−=

12

1,

1

22

2

10,

1

2

)(Nn

N

N

n

Nn

N

n

nw

Hanov 10,

1

2cos1

2

1)( −≤≤

−π−= Nn

N

nnw

Hemingov 10,

1

2cos46,054,0)( −≤≤

−π−= Nn

N

nnw

Blekmenov

−π+

−π−=

1

4cos08,0

1

2cos5,042,0)(

N

n

N

nnw

Kajzerov

−ω

−−−

−ω

=

21

21

21

)(

0

22

0

NI

Nn

NI

nw

a

a

Uporedne karakteristike prozorskih funkcija:

Prozor

Maksimalna amplituda

bočnog luka (dB)

Širina glavnog luka

Minimalno slabljenje u

nepropusnom opsegu (dB)

Pravougaoni -13 4π/N -21

Bartletov -25 8π/N -25

Hanov -31 8π/N -44

Hemingov -41 8π/N -53

Blekmenov -57 12π/N -74

Primjer 9.

Dat je idealni niskopropusni filtar:

π≤ω≤ππ≤ω

=ω

/2,0

2/,1)( j

d eH .

a) Nacrtati frekvencijsku karakteristiku ovog filtra; b) Odrediti impulsni odziv hd ovog filtra;

Rješenje a)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω/π

|Hd(e

j ω)|

Amplitudna karakteristika idealnog NP filtra.

b) Impulsni odziv ovog filtra je:

( )n

ndedeeHnh cnjnjj

dd

c

cπ

ω=ω

π=ω

π= ∫∫

ω

ω−

ωωπ

π−

ω )sin(

2

1

2

1)( .

Impulsni odziv idealnog NP filtra (51 odmjerak).

Očigledno je da se radi o nekauzalnom IIR filtru. Za razliku od analognih filtara gdje je nemoguće realizovati nekauzalan filtar, kod digitalnih sistema to je moguće, ukoliko se ne zahtijeva rad u realnom vremenu. Meñutim, u sledećem primjeru pozabavićemo se projektovanjem kauzalnog FIR filtra.

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Impulsni odziv idealnog NF filtra

n

hd(n

)

Primjer 10.

Metodom množenja prozorskom funkcijom projektovati kauzalan NF FIR filtar dužine 51 (50. reda) sa graničnom frekvencijom ωc=0.5π. Rješenje Najjednostavnija varijanta ove metode je upotreba pravougaonog prozora koji odgovara odsijecanju impulsnog odziva IIR filtra koji zadovoljava zadate specifikacije. Znači, u našem slučaju upotrebićemo prozorsku funkciju dužine N=51. Da bismo dobili kauzalan FIR filtar potrebno je da prije množenja prozorskom funkcijom pomjerimo impulsni odziv IIR filtra za (N-1)/2 odmjeraka udesno. U

našem slučaju ovaj pomak iznosi 25 odmjeraka (vidi sliku)

−−=2

1)(1

Nnhnh d .

Sada je impulsni odziv traženog FIR filtra (uz pretpostavku da koristimo pravougaoni prozor):

≥<

−=

−−==Nnn

NnN

nhnwnhnh d

,0,0

1,,1,0,2

1)()()( 1

…

.

Impulsni odziv kauzalnog FIR filtra.

Primijetimo da pomjeranje impulsnog odziva IIR filtra ne mijenja amplitudsku karakteristiku, već samo faznu, jer je spektar pomjerenog IIR filtra:

( )

ω>ωω≤ω=

−ω−ω

c

c

Nj

j eeH,0

,2

1

1 .

Na slikama su prikazane amplitudna i fazna karakteristika FIR filtra dobijenog korišćenjem pravougaone prozorske funkcije dužine N=51.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

n

h(n

)

Impulsni odziv FIR filtra N=51

Amplitudna karakteristika FIR filtra dobijenog množ enjem pravougaonom

prozorskom funkcijom.

Fazna karakteristika.

Na slici vidimo da u blizini granične učestanosti amplitudna karakteristika ima značajne oscilacije. Ovo se može objasniti polazeći od frekvencijske karakteristike filtra

( ) ( )∑∞

−∞=

ω−ω =n

njj enheH ,

koja u suštini predstavlja Furijeov red čiji su koeficijenti odmjerci impulsnog odziva filtra. Uzimajući FIR filtar praktično se željeni frekvencijski odziv aproksimira konačnim brojem članova Furijeovog reda što uvodi Gibsove oscilacije. Vrijednost pojačanja filtra na graničnoj učestanosti je prema tome -6dB. Ukoliko želimo da smanjimo efekat Gibsovih oscilacija moramo posmatrati njihovu vezu sa prozorskom funkcijom. Impulsni odziv FIR filtra dobijen je množenjem željenog impulsnog odziva prozorskom funkcijom

( ) ( ) ( )nwnhnh d= .

Množenje u vremenskom domenu odgovara konvoluciji u frekvencijskom domenu

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Normalizovana frekvenc ija

Fa

za

Fazna karakteristika FIR filtra

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Normalizovana frekvencija

Ma

gn

itu

da

Amplitudska karakteristika FIR filtra N=51

FIR (pravougaoni)idealan NF

( ) ( ) ( )dvvWvHeH dj

∫π

π−

ω −ωπ

=2

1.

Sada je jasno da široki glavni luk u spektru prozorske funkcije unosi prelazni opseg u amplitudnu karakteristiku FIR filtra. Pored toga, izraženi bočni lukovi unose oscilacije u okolini granične učestanosti i utiču na slabljenje filtra u nepropusnom opsegu. Da bismo smanjili efekat Gibsovih oscilacija možemo da iskoristimo neku drugu prozorsku funkciju, npr. trougaonu koja nema nagli prekid u vremenskom domenu. Vidimo da prozorska funkcija sa većim slabljenjem bočnog luka rezultuje manjom amplitudom Gibsovih oscilacija i većim slabljenjem u nepropusnom opsegu. Meñutim, ove funkcije imaju širi glavni luk, što rezultuje širim prelaznim opsegom. Takoñe, povećanjem dužine prozorske funkcije može se smanjiti širina glavnog luka, odnosno prelazni opseg FIR filtra. Slabljenje u nepropusnom opsegu uglavnom nije funkcija dužine prozorske funkcije, nego uglavnom njenog oblika. Kada se koristi trougaoni prozor impulsni odziv FIR filtra je:

Impulsni odziv FIR filtra (trougaoni prozor)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

n

Impulsni odz iv FIR filtra - trougaoni prozor

Amplitudne karakteristike FIR filtara dobijenih korištenjem različitih prozorskih

funkcija.

Funkcija pojačanja FIR filtara dobijenih korištenjem različitih prozorskih funkcija.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20Funkcija pojacanja

Normalizovana frekvenc ija

Po

jac

an

je (

dB

)

FIR (pravougaoni)FIR (trougaoni)FIR (Hanning)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Normalizovana frekvencija

Mag

nitu

da

Amplitudska karakteristika FIR filtra N=51

FIR (pravougaoni) idealan NFFIR (trougaoni) FIR (Hanning)

Funkcija pojačanja FIR filtra u zavisnosti od dužine filtra.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20Razlicite duz ine prozora

Normalizovana frekvenc ija

Fu

nk

cija

po

jac

an

ja

N=51N=129

Primjer 11.

Korišćenjem metode odmjeravanja u frekvenciji projektovati niskopropusni FIR filtre dužine 33 i 34 sa graničnom frekvencijom ωc=0.3π. Razmotriti mogućnosti povećavanja slabljenja u nepropusnom opsegu. Rješenje Neka je h(n), n=0,...,N-1 impulsni odziv FIR filtra dužine N (reda N-1). Njegova frekvencijska karakteristika data je jednačinom:

( ) ∑−

=

ω−ω =1

0

)(N

n

njj enheH .

DFT impulsnog odziva:

( )∑−

=

π−=1

0

2)()(N

n

knNjenhkH ,

predstavlja uniformno odmjerenu frekvencijsku karakteristiku digitalnog FIR filtra. Dakle, ako su poznati odmjerci frekvencijske karakteristike H(k), k=0,...,N-1 moguće je korišćenjem IDFT odrediti impulsni odziv FIR filtra:

( ) 1,0,)(1

)(1

0

2 −== ∑−

=

π NnekHN

nhN

k

nkNj… ,

odnosno prenosnu funkcija:

( )∑−

=−π

−

−−=

1

0121

)(1)(

N

kkNj

N

ze

kH

N

zzH .

Frekvencijska karakteristika: ( ) )()( ωΦω ω= jj eAeH . Odmjerci amplitudne karakteristike idealnog niskopropusnog filtra

( )k

N

jd

k

keAkA π=ω

ω= 2)( , za N=33 prikazani su na slici.

Odmjerci u frekvenciji idealne niskopropusne amplitudne karakteristike.

Potrebno je još zadati odmjerke fazne karakteristike Φ(ωk). Najčešće je poželjno da fazna karakteristika bude linearna. Kod FIR filtara moguće je postići linearnu fazu,

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Normalizovana frekvencija

Am

plit

ud

a

odnosno konstantno grupno kašnjenje. Ovo je osobina FIR filtara sa simetričnim impulsnim odzivom i njihova fazna karakteristika je oblika:

( ) π≤ω≤π−ω−−=ωΦ ,2

1N.

Dakle, odmjerke frekvencijske karakteristike konstruisaćemo kao: )()()( kjekAkH Φ= .

Ovim pristupom dobija se, za N=33 filtar sa amplitudnom karakteristikom na slici.

Amplitudna karakteristika FIR filtra dobijenog odmj eravanjem u frekvenciji

N = 33.

Impulsni odziv FIR filtra, N = 33.

0 5 10 15 20 25 30 35-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

n

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Normalizovana frekvencija

Am

plit

ud

a

Frekvencijska karakteristika N = 33.

Meñutim, za N parno nailazimo na probleme jer H(z) ima nule na jediničnoj kružnici, pa amplitudska karakteristika nije analitička funkcija, a fazna karakteristika ima diskontinuitete.

Rezultat primjene opisanog postupka na projektovanje filtra dužine N = 34.

Problem se može prevazići ako se A(ω) posmatra kao realna funkcija (koja može uzeti i pozitivne i negativne vrijednosti). Za FIR filtre sa simetričnim impulsnim odzivom frekvencijska karakteristika ima oblik:

( ) ( )neparno ,

2

1cos)(2

2

1 23

0

2

1

NN

nnhN

heeHN

n

Nj

j

ω

−−+

−= ∑−

=

ω−−ω

( ) parno ,2

1cos)(2

12/

0

2

1

NN

nnheeHN

n

Nj

j

ω

−−= ∑−

=

ω−−ω ,

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Normalizovana frekvencija

Am

plit

ud

a

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1000

-800

-600

-400

-200

0

Normalized frequency (Nyquist == 1)

Ph

as

e (

de

gre

es

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-60

-40

-20

0

20

Normalized frequency (Nyquist == 1)

Ma

gn

itu

de

Re

sp

on

se

(d

B)

Može se pokazati da je ( )

ω

−−−=

ω−π

−− +−

2

1cos)1(2

2

1cos 12 N

nN

n Nn , što

znači da je A(ω ) simetrična za N neparno, a antisimetrična za N parno. To znači da za N parno odmjerke moramo izabrati na sledeći način.

Odmjerci željene amplitudne karakteristike za N = 34.

Ovim postupkom dobija se FIR filtar...

Amplitudna karakteristika FIR filtra dužine N = 34.

Impulsni odziv FIR filtra dužine N = 34.

0 5 10 15 20 25 30 35-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

n

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Normalizovana frekvencija

Am

plit

ud

a

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Normalizovana frekvencija

Am

plit

ud

a

Frekvencijska karakteristika.

Ukoliko u prelaznom opsegu dodamo jedan ili dva odmjerka čija je vrijednost izmeñu 0 i 1 proširićemo prelazni opseg ali ćemo povećati slabljenje u nepropusnom opsegu.

Amplitudna karakteristika FIR filtra projektovanog metodom odmjeravanja u

frekvenciji uz zadavanje odmjeraka u prelaznom opsegu.

Frekvencijska karakteristika.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1500

-1000

-500

0

Normalized frequency (Nyquist == 1)

Ph

as

e (

de

gre

es

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

-50

0

50

Normalized frequency (Nyquist == 1)

Ma

gn

itu

de

Re

sp

on

se

(d

B)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Normalizovana frekvencija

Am

plit

ud

a

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1500

-1000

-500

0

Normalized frequency (Nyquist == 1)

Ph

as

e (

de

gre

es

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-80

-60

-40

-20

0

20

Normalized frequency (Nyquist == 1)

Ma

gn

itu

de

Re

sp

on

se

(d

B)

Ako želimo da pored ovoga zadržimo istu širinu prelaznog opsega moraćemo udvostručiti red filtra. Korišćenjem tehnika linearne optimizacije moguće je izabrati vrijednosti ovih odmjeraka tako da se dobije najbolja aproksimacija željenog filtra.