Soluciones de los ejercicios del tema 1 - .MatemáticasIGradoenQuímicaSoluciones. (Hoja1) Solución

download Soluciones de los ejercicios del tema 1 - .MatemáticasIGradoenQuímicaSoluciones. (Hoja1) Solución

of 18

  • date post

    20-Jan-2019
  • Category

    Documents

  • view

    219
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Soluciones de los ejercicios del tema 1 - .MatemáticasIGradoenQuímicaSoluciones. (Hoja1) Solución

Matemticas I Grado en Qumica Soluciones. (Hoja 1)

Hallar las diferentes ecuaciones de la recta en R2 que pasa por los puntos A(3, 1) y B(7,1).

Problema 1.

Solucin del problema 1. El vector director ser ~u = AB = (7,1) (3, 1) = (4,2). Aspues,

Ecuacin vectorial: ~x = (3, 1) + (4,2).

Ecuaciones paramtricas: {x = 3 + 4,y = 1 2.

Ecuacin en forma continua:x 34

=y 12

.

Ecuacin implcita: 2x+ 4y 10 = 0.

Ecuacin explcita: y = 12x+

5

2.

Representar en R2 las rectas dadas por las siguientes ecuaciones:

(a) y = 2

(b) y = 3

(c) y = 0

(d) x = 5

(e) x = 12

(f) x = 0

(g) 2x+ 3y 7 = 0

(h) 5x 7 = 0

(i) 4y + 3 = 0

(j) y = 3x+ 2

(k) y = 6x 1

(l) y = 5x+ 2

(m){x = 3 y = 5 + 2

(n){x = y = 5 + 2

(){x = y = 1 +

(o){x = 2 + 3y = 2 + 3

(p)x 12

=y + 3

1

(q)x

2= y3

(r) x 3 = y 72

Problema 2.

Solucin del problema 2.(a) (b)

y = 2

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

y = -3

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

Dpto. de Anlisis Matemtico 1 Curso 2012/13

Matemticas I Grado en Qumica Soluciones. (Hoja 1)

(c) (d)

y = 0

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

x = 5

-1 1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

(e) (f)

x = -1

2

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

x = 0

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

(g) (h)

2 x + 3 y - 7 = 0

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5 x - 7 = 0

-1 1 2 3

-2

-1

1

2

(i) (j)

4 y + 3 = 0

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

y = -3 x + 2

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

4

Dpto. de Anlisis Matemtico 2 Curso 2012/13

Matemticas I Grado en Qumica Soluciones. (Hoja 1)

(k) (l)

y = 6 x - 1

-2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

y = -5 x + 2

-2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

(m) (n)

x = 3 - y = -5 + 2

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-2

-1

1

2

x = -y = -5 + 2

-4 -3 -2 -1 1 2

-6

-4

-2

2

4

() (o)

x = -y = 1 +

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x = -2 + 3 y = 2 + 3

-5 -4 -3 -2 -1 1

-2

-1

1

2

3

4

5

Dpto. de Anlisis Matemtico 3 Curso 2012/13

Matemticas I Grado en Qumica Soluciones. (Hoja 1)

(p) (q)

x - 1

2=

y + 3

-1

-6 -4 -2 2

-4

-3

-2

-1

1

2

x

2= y + 3

-1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

(r)

-x - 3 =y - 7

2

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

Hallar la ecuacin de la recta en R2 que pasa por (2, 3) y es:

(a) Paralela al eje OX.

(b) Paralela al eje OY .

(c) Paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

(d) Paralela a la bisectriz del segundo cuadrante.

(e) Paralela a la recta de ecuacin 5x+ 2y = 0.

Problema 3.

Solucin del problema 3.

(a) Como la recta tiene que ser paralela al eje OX, su vector director ser ~u = (1, 0). Aspues, las ecuaciones paramtricas de la recta pedida son{

x = + 2y = 3

con R.

Dpto. de Anlisis Matemtico 4 Curso 2012/13

Matemticas I Grado en Qumica Soluciones. (Hoja 1)

(b) Como la recta es paralela al eje OY , tiene a ~u = (0, 1) como vector director. Por lotanto, las ecuaciones paramtricas de dicha recta son{

x = 2y = + 3

con R.

(c) Como la recta tiene que ser paralela a la bisectriz del primer cuadrante, su vectordirector ser ~u = (1, 1). As pues, las ecuaciones paramtricas de la recta pedida son{

x = + 2y = + 3

con R.

(d) Como la recta es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante, tiene a ~u = (1, 1)como vector director. Por lo tanto, las ecuaciones paramtricas de dicha recta son{

x = + 2y = + 3

con R.

(e) Observamos que un vector director de la recta 5x+2y = 0 viene dado por ~u = (2, 5).Como la recta pedida tiene que ser paralela a la anterior recta, se tiene que ~u = (2, 5)es tambin un vector director de la recta pedida. As pues, las ecuaciones paramtricasde dicha recta son {

x = 2+ 2y = 5+ 3

con R.

Hallar las ecuaciones de la recta r en R3 que pasa por el punto (1, 2, 3) y es paralela a larecta

s {

2x+ 3y z = 1x y + 3z = 4

Problema 4.

Solucin del problema 4. Tenemos que determinar un vector director de la recta r. Paraello, hallaremos un vector director de la recta s, puesto que los vectores directores de las rectasr y s son el mismo (por ser ambas paralelas). Para calcular el vector director de la recta s,lo que hacemos es resolver el sistema s (es decir, calcular las ecuaciones paramtricas de s).Observamos que se trata de un sistema compatible indeterminado, cuya solucin general vienedada por

x = 8y = 1

8 7

z = 118 5

con R.

Luego, un vector director de s, y por tanto de r, es ~u = (8,7,5). Por lo tanto, las ecuacionesparamtricas de r son

x = 1 + 8y = 2 7z = 3 5

con R.

Dpto. de Anlisis Matemtico 5 Curso 2012/13

Matemticas I Grado en Qumica Soluciones. (Hoja 1)

Hallar las ecuaciones paramtricas de la recta interseccin de los planos

1 : x+ y 5z + 4 = 0 y 2 : 3x y + 2z 1 = 0.

Problema 5.

Solucin del problema 5. Tenemos que resolver el siguiente sistema (formado por la ecuacinque define al plano 1 y la de 2). {

x+ y 5z + 4 = 03x y + 2z 1 = 0

Se trata de un sistema compatible indeterminado, cuya solucin general viene dada porx = 3y = 1 + 17z = 1 + 4

con R.

siendo stas las ecuaciones paramtricas de la recta pedida.

Dados los planos 1 : 3x y+ z = 1 y 2 : x+ y 2z = 0, hallar un vector cuya direccinsea paralela a ambos.

Problema 6.

Solucin del problema 6. Para resolver este problema debemos hallar la interseccin entre1 y 2, es decir, encontrar la solucin general del siguiente sistema:{

3x y + z = 1x+ y 2z = 0

Se trata de un sistema compatible indeterminado, cuya solucin general viene dada porx = y = 2 + 7z = 1 + 4

con R.

Observamos que hemos obtenido las ecuaciones paramtricas de una recta, la cual es la in-terseccin de ambos planos. Por lo tanto, un vector cuya direccin sea paralela a ambos es elvector director de la anterior recta, es decir, ~u = (1, 7, 4).

Obtener la ecuacin implcita del plano determinado por el punto A(1, 2, 3) y los vectores~u = (1,1, 4) y ~v = (1, 1,2).

Problema 7.

Dpto. de Anlisis Matemtico 6 Curso 2012/13

Matemticas I Grado en Qumica Soluciones. (Hoja 1)

Solucin del problema 7. Haciendox 1 y 2 z 31 1 41 1 2

= 0 2x+ 6y + 2z 16 = 0,obtenemos la ecuacin implcita del plano pedido.

Sean las rectas de ecuaciones vectoriales

r1 : ~x = (1, 1, 1) + (2, 1,1) y r2 : ~x = (3, 0, 1).

Hallar la ecuacin implcita del plano que pasa por el origen y es paralelo a ambas rectas.

Problema 8.

Solucin del problema 8. El plano ser paralelo a las rectas r1 y r2 si y slo si, los dos vectoresdirectores de dicho plano son cada vector director de stas dos rectas. Es decir, ~u = (2, 1,1) y~v = (3, 0, 1) son los vectores directores de dicho plano. Teniendo en cuenta que tiene que pasarpor el origen de coordenadas, es decir, por el punto A = (0, 0, 0), tenemos que sus ecuacionesparamtricas son

x = 2+ 3,y = ,z = + ,

con , R.

Por otro lado, la ecuacin implcita viene dada porx y z2 1 13 0 1

= 0 x 5y 3z = 0.Otra forma de calcular la ecuacin implcita del plano sera despejar en las ecuaciones param-tricas y en funcin de x, y y z. Es decir, de la segunda ecuacin paramtrica obtenemosque = y. Sustituyendo en la tercera ecuacin, tenemos que

z = y + = z + y.

Sustituyendo el valor de y en la primera ecuacin paramtrica, deducimos que

x = 2y + 3(z + y) x 5y 3 = 0.

Hallar las ecuaciones paramtricas e implcita del plano que pasa por el origen de coorde-nadas y es paralelo a las rectas

r1 :x 32

=y 73

=z 84

y r2 : x = y = z.

Problema 9.

Dpto. de Anlisis Matemtico 7 Curso 2012/13

Matemticas I Grado en Qumica Soluciones. (Hoja 1)

Solucin del problema 9. El plano que es paralelo a las rectas r1 y r2 tiene como dosvectores directores el correspondiente vector director de cada una de estas dos rectas. Es decir,~u = (2, 3, 4) y ~v = (1, 1, 1) son los vectores directores de dicho plano. Teniendo en cuenta quetiene que pasar por el origen de coordenadas, es decir, por el punto A = (0, 0, 0), tenemos quesus ecuaciones paramtricas son

x = 2+ ,y = 3+ ,z = 4+ ,

con , R.

Por otro lado, la ecuacin implcita viene dada porx y z2 3 41 1 1

= 0 x+ 2y z = 0.

Sean las rectas

r1 :

x = 3 5y = 1 + 2z = 3

y r2 :{

3x y + z = 0x+ 2y z = 0

a) Hallar la ecuacin de un plano que pasa por A(1,1, 0) y es paralelo a las dosrectas.

b) Ha