1Semestre 2015-2

Fsica Estadstica

26 de enero(inicio)-24 de mayo(final)

Tarea I (4-6 de febrero)

1.1 a) Cual es la probabilidad de que el 24 de diciembre de 2025sea jueves? la pregunta tiene sentido?

b) Sea un oscilador armonico de frecuencia natural = 2, Lascondiciones iniciales han implicado una solucion x(t) = sen(2t +0.25). Cual es la probabilidad de que al tiempo t = 1 se encuentreen x(t = 1) = 0.77807? Cual es la probabilidad de que a ese tiempose encuentre en x(t = 1) = 0.77807

x(t)=sen(2t+0.25)

t1 2 3 4

-1.0

-0.5

0.5

1.0

c) se puede calcular la probabilidad? tiene sentido la pregunta?explique en un renglon.

1.2a) Suponga un dado de 6 caras o mas, como los que se ilustran

en la figura:

2Cual es la probabilidad de obtener 6 en un dado de seis caras?Cual es la probabilidad de obtener 6 en un dado de doce caras?por que?. Cual es el proceso experimental que sigues para de-terminar las probabilidades.

b) Discuta por que, si un evento r puede ocurrir de diferentesmaneras que son igualmente posibles, y si de entre las hay rfavorables a una pregunta especfica, entonces la probabilidad deque el evento ocurra es

pr =r

c) Cual es la probabilidad de sacar la carta as de corazones,este es el evento r, de una baraja de cartas? Cuanto vale ycuanto vale r?

d) Como obtienes la probabilidad de sacar una carta de cora-zones de una baraja? Cuanto vale y cuanto vale r?

e) Cual es la probabilidad de obtener una flor imperial? (cualquierade cinco cartas seguidas del mismo palo, del as al rey)

-Recuerda que hay 13 cartas de cada una de las figuras

-1.3 Sean dos monedas que se tiran simultanea e independiente-mente.

a) Haga un arreglo matricial {i, j} de todos los posibles resulta-dos.

b) Cual es la probabilidad de obtener cara en las dos monedas?es decir {cara, cara}.

c) Y la de obtener cara en una y cruz en la otra.

31.4 Considere que una moneda y un dado de 6 caras se tiran cuales la probabilidad de que ocurra: cara de la moneda y el 4 del dado.

1.5 Cual es la probabilidad de sacar dos ases consecutivamentede la misma baraja.

-Un conjunto de eventos se dice que son independientes si la

ocurrencia de cualquiera de ellos, no es influenciado por la ocur-rencia de los otros.

Entonces, si la probabilidad de ocurrencia de cada uno de losmiembros del conjunto de n eventos independientes es p1, p2,..., pn,entonces la probabilidad de la ocurrencia de todos los miembrosdel conjunto es el producto:

p = p1p2 pn

-1.6 Suponga que tiene una moneda de dos caras totalmente sime-trica, de manera que la probabilidad de que en una tirada resultecara es 1/2.

a) Calcule la probabilidad pk de que en k tiradas independientesy consecutivas, siempre obtenga cara.

Es decir cuanto vale la probabilidad p1 de que en la primeratirada salga cara.

Cuanto vale la probabilidad p2 de que en la segunda tirada salgacara.

Cuanto vale la probabilidad p3 de que en la tercera tirada salgacara.

etc. Cuanto vale la probabilidad pk de que en la k-esima tiradasalga cara.

(Es claro que si en algun momento sale cruz, el juego se inter-rumpe)

c) Supongamos que el que juega aposto para jugar y que la casade juego paga 2 euros, cada vez que gana. Cuanto debera pagar lacasa en la k-esima tirada consecutiva.

(Paradoja de San Petersburgo de Daniel Bernoulli)

4Fsica Estadstica

Tarea 2 (9-11 de febrero)

2.1 Considere el hamiltoniano definido en el espacio fase, es decirque es una superficie en (q, p),

H = H(q, p, t)

de manera que un cambio en el, es

dH =H

qdq +

H

pdp+

H

tdt = pdq + qdp+ H

tdt

donde se ha usado a las Ecuaciones de Hamilton

q(t) =H

p, p(t) = H

q

a) Muestre quedH

dt=H

t+ {H,H}PP =

H

t

donde PP es el parentesis de Poisson, o el Jacobiano de dos fun-ciones F y G, y es:

{F,G}PP =(F,G)

(q, p)=F

q

G

p Fp

G

q

es decir que {H,H}PP = 0b) Sabemos que en una transformacion de coordenadas, el volu-

men en el espacio fase se transforma de acuerdo a

dqdp =(q, p)

(q, p)dqdp

Muestre que las soluciones para un oscilador armonico, son

q(t) = q(0)cost+p0m

sent

p(t) = p(0)costmq(0)sent

5y que el volumen fase se conserva, es decir

dq(t)dp(t) = dq(0)dp(0)

y que el hamiltoniano no depende explcitamente del tiempo.

c) En cambio, si tenemos una partcula en movimiento sufriendouna fuerza de friccion dependiente de la velocidad

mv = v

Muestre que las soluciones son

p(t) = p(0)et/m, q(t) = q(0) +1

p(0)

(1 et/m

)y que el volumen fase evoluciona en el tiempo de manera que

dq(t)dp(t) = et/mdq(0)dp(0)

Que ocurre con esta clase de sistema cuando definimos una cascarade energa en el espacio fase y tratamos de determinar el numerode estados accesibles?

2.2 Sea un oscilador armonico clasico de masa m y constante delresorte k. De el sabemos ademas que tiene una energa E pero elestado inicial (x(t = 0), x(t = 0)), es totalmente desconocido.a) Como usted aprendio en su curso de mecanica escriba la energaen terminos de (x(t), x(t)).

La energa total es la suma de las energa cinetica mas la poten-cial

E =1

2m

(dx

dt

)2+

1

2kx2 =

1

2mx(t)2 +

1

2kx(t)2

b) Como usted aprendio en su curso de mecanica escriba la energaen terminos de la amplitud de oscilacion.

Cuando x = l, entonces x = 0.

E =1

2kl2

c) Para determinar el periodo de oscilacion T haga lo siguiente:

6Una solucion es x(t) = lcost que implica x(t) = lsent, que alsustituir en la energa resulta

E =1

2kl2 =

1

2m(l22

)sen2t+

1

2kl2 cos2 t

Cuando sent = 1 el cost = 0 y

E =1

2kl2 =

1

2ml22

de donde se sigue que

=

(k

m

)1/2sabemos que = 2pi = 2pi/T y el periodo es

T = 2pi(m

k

)1/2d) Ya que hay muchas posibles condiciones iniciales podemos con-struir una coleccion de osciladores armonicos, un ensemble deosciladores armonicos, independientes entre si. De manera quepodemos introducir la hipotesis de probabilidades a priori iguales.A la manera de Buffon, y preguntarnos: cual es la probabilidadde encontrarlo en el intervalo dt:

Hipotesis: La probabilidad de encontarlo en el intervalo dt es

P(t)dt =dt

T

e) Con todo lo anterior obtenga la densidad de probabilidad P(x) deencontarlo en el intervalo entre x y x+ dx. Es decir, determine

P(x)dx =

Note que en el intervalo de tiempo dt el oscilador o viene o se va, demanera que hay estas dos contribuciones

P(x)dx = 2dt

T

7de donde resulta que

P(x) =2

T

1

dx/dt

con el periodo y la conexion con la energa y x(t) que es

k

m(l2 x2) = (dx

dt)2

tenemos

P(x) =1

pi

(k

2E kx2)1/2

-1.0 -0.5 0.5 1.0

2

3

4

5

6

8Fsica Estadstica

Tarea 3 (11-13 de febrero)

3.1 Obtenga el numero de estados o el volumen fase accesible auna partcula ultrarelativista, cuya masa en reposo es desprecia-ble: H2 = c2p2 +m2c4 c2p2, y que se encuentra en el interior de unacaja de volumen V, en d = 3.

(V,E,N = 1) =1

h3

H(P )E

dqdp

El lmite ultrarelativista consiste en despreciar el contenido ener-getico asociado a la masa en reposo frente a la asociada a sumovimiento. ( Puesto que la masa en reposo del foton es cero elresultado sera aplicable a un foton.)

3.2 Sean N osciladores armonicos independientes y aislados conla energa entre E y E + E.

El hamiltoniano de los 3N osciladores armonicos independientes,de frecuencia natural 0, es

H =3Ni=1

(p2i2m

+1

2m20q

2i

)

Si en lugar de usar las variables canonicas conjugadas (Q,P ), u-samos el espacio (X,P ) donde xi = m0qi, el calculo en b) serainmediato. Por que?Cual es el nuevo hamiltoniano?

a) Para ello, escriba el numero de estados accesibles , exhi-biendo las celdas elementales; las integrales en el espacio fase(Q,P ) = (~q1, ~q2, , ~qN |~p1, ~p2, , ~pN), condicionadas por el valor nume-rico del hamiltoniano. Transforme a las nuevas variables (X,P ) yobserve como se modifica el hamiltoniano y el integrando.

Recuerde que esta coleccion de osciladores no estan localizados,

y pueden corresponder a los grados de libertad internos de unamolecula. Por ello, ya que la indistinguibilidad se introdujo en ladescripcion del movimiento del centro de masa de esas moleculas elfactorial no debe aparecer en este calculo.

9b) Calcule el numero de estados o volumen fase (E,N), por

debajo de E.

En clase se mostro que el volumen de una esfera de dimension

arbitraria d y de radio R, es:

Vd(R) =pid2

d2(d

2)Rd

donde la funcion es

(s+ 1) = 0

d se

con (s+ 1) = s(s) = s!Recuerde que

(E, E) = (E)E =(E)

EE

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Fsica Estadstica

Tarea 4 (16-18 de febrero)

4.1 Sea un sistema de N partculas independientes e indistin-guibles. Cada partcula puede tener solo uno de dos posibles valo-res de la energa: y +.

Si hay n() partculas en el nivel y n(+) partculas en el nivel +,entonces el numero total de partculas es N = n()+n(+) y la energatotal es E = n()+ n(+) = M.a) Cual es la separacion entre los niveles? y cuantos niveles hayen el interior de E ?b) Si el macroestado se determina con los dos valores (E,N) =(M,N), determine el numero (E,N |E) de microestados asociadosa ese macroestado en el intervalo de energa entre E y E + E

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4.2 Asociado al problema previo:

a) Obtenga la entropa S = k ln (E,N |E).b) Empleando la aproximacion de Stirling: ln n! = n ln nn, muestreque

S k{n(+)ln (

n(+)N

) + n()ln (n()N

)}

c) Considere que

n(+) =1

2(N +M), n() =

1

2(N M)

entonces la temperatura es

1

T=k ln

E=

1

k ln

M=

k

2ln (

N MN +M

)

d) Discuta como de este ultimo resultado puede obtener las tem-peraturas positivas y negativas y que significan.

Esto no es tarea:

Y como tienen mucho tiempo durante el fin de semana pruebena jugar con mathematica, aqu estan las instrucciones, grafique,cambie las funciones, los valores de la variables, etc, juegue.

Si tiene problemas, en la pagina del curso puse el libro deStephen Wolfram.

En la primera instruccion solamente se esta graficando la expo-

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nencial de la gaussiana para diferentes anchuras:

13

Pero una gaussiana de verdad depende de la anchura en su ampli-

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tud y en la exponencial de manera que este normalizada:

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Fsica Estadstica

Tarea 5 (25 de febrero-2 de marzo)

5.1 (Problema 1.1 del Reif:) Cual es la probabilidad de obtener 6puntos o menos, lanzando tres dados?

5.2 (Problema 1.5 del Reif:) En el juego de la ruleta rusa (no re-comendable) se introduce un solo cartucho en el tambor de unrevolver, dejando vacas las otras cinco camaras. Se hace girar eltambor y se aprieta el gatillo.

Cual es la probabilidad de disparar el cartucho despues dejugar N veces?

5.3 (Reif 1.16) Considere un gas de N moleculas sin interaccionesmutuas encerrado en un recipiete de volumen V . Enfoquemosnuestra atencion a un subvolumen cualquiera V0 de ese recipientey designemos por N0 el numero de moleculas contenidas en esesubvolumen. En ausencia del campo gravitacional parece razon-able suponer que cada molecula tiene la misma probabilidad deencontarse en un punto cualquiera del recipiente; en consecuen-cia, la probabilidad de que una molecula dada este situada dentrodel subvolumen V0 es sencillamente V0/V .

a) Cual es el numero medio N0 de moleculas dentro de V0?Expresar el resultado en funcion de N , V y V0.

b) Determinar la dispersion relativa (N0 N0)2/N2 en el numerode moleculas situadas dentro de V0. Expresar el resultado en funcionde N , V y V0.

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c) Discuta que ocurre en b) si V0

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Examen 1 (4 de marzo)

(Reif 2.4, recargado) Consideremos un sistema aislado formadopor un gran numero N = n1 + n2 de partculas debilmente interac-tivas, de espn 1/2, y por ello cada partcula tiene un momentomagnetico que puede tener sentido paralelo o antiparalelo alcampo aplicado H. La energa E del sistema es :

E = (n1 n2)Hsiendo n1 el numero de espines alineados paralelamente a H y elde n2 el de antiparalelos.

a) Consideremos el intervalo de energa entre E y E + E en el queE es muy pequeno comparado con la energa macroscopica E. Lamnima separacion entre niveles, es decir, la energa necesariapara invertir un solo espn es

= 2H

Donde, en efecto, E es microscopicamente grande de forma queE >> 2H.

Determine el numero total de estados accesibles (E,N, E)en el intervalo E de energa

b) Obtenga a la entropa S = k ln (E,N, E) en funcion de (E,N)aplicando la aproximacion de Stirling ( ln(n!) = nln(n) n ).

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De esta manera tenemos la ecuacion fundamental en la rep-S, es decir S = S(E,N). Muestre que la entropa intensiva S/Nkcomo funcion de la energa intensiva E/N tiene la estructura quese muestra en la figura:

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0S/Nk

E/NH-E/NH

c) Hemos visto que la temperatura es

1

T=

(S

E

)

y podemos notar que la derivada del lado izquierdo corresponde atener temperaturas positivas y en el lado derecho, las temperaturasnegativas. Cuando la derivada es cero, tendremos temperaturasinfinitas, tales que

kT >> 2NH

es decir que la separacion entre niveles N es cero comparadacon la temperatura, y ambos niveles estan igualmente poblados.Explique como se obtienen en el laboratorio las temperaturas pos-itivas y como estan distribuidos los espines. Como se obtienen lastemperaturas negativas y como estan distribuidos los espines.

d) Del resultado en el inciso b), exprese a la entropa en terminosde las probabilidades de ocupacion de los niveles:

p1 =n1N

=1

2

(1 E

NH

), p2 =

n2N

=1

2

(1 +

E

NH

)

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Tarea 6 (9-11 de marzo)

6.1 Sea una molecula larga y delgada (con forma de aguja) quese encuentra en contacto con un gas a temperatura T (el banotermico). Si el eje mas largo lo hacemos coincidir con el eje-z, laforma de la molecula indica que los momentos de inercia satisfacenIz < Ix, Iy. Si consideramos que a la temperatura T la descripcionestadstica puede ser la clasica, en la que es valido el principio deequiparticion de la energa.

Diga como es su momento angular en promedio, paralelo o per-pendicular al eje largo de la molecula, cuanto vale en funcion de latemperatura.

6.2 [Reif: problema 6.1] Un oscilador armonico cuantico tiene susniveles de energa dados por n = h(n + 1/2), en donde es la fre-cuencia caracterstica (angular) del oscilador y en donde el numero

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cuantico n solo puede tomar los valores enteros n = 0, 1, 2, ....Supongamos que este oscilador esta en contacto termico con un

bano termico a temperatura T, lo bastante baja para que

kT/h

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Tarea 7 (11-(viernes)13 de marzo)

7.1 Sea un zipper con N uniones. Cada union tiene un estadocerrado con energa = 0, o un estado abierto con una energa . Sihay n uniones abiertas el sistema tiene una energa n = n

Una union puede abrirse solo cuando todas las uniones de laizquierda a ella (1, 2, ..., n 1), ya estan abiertas y cerradas desdela derecha (como indica la figura). Este modelo se ha usado paradescribir a la cadena de moleculas en la molecula de ADN.

a) Muestre que la funcion de particion canonica:

ZC =n=0

en =1 (e)N+1

1 e

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b) Obtenga la energa media, o el numero promedio < n >, deuniones abiertas, como funcion de la temperatura T y de . Grafquela.

< n >=e

1 e (N + 1)(e)N+1

1 (e)N+1c) Muestre que para bajas temperaturas, es decir: kT es independiente de N .

Por que? diga el significado de esto.

7.2 Considere un atomo en contacto con un gas a temperatura T .El atomo, ademas de su energa cinetica translacional asociada alcentro de masa, tiene dos niveles de energa internos: el estadobase con una energa 1 = 0 y una degeneracion g1 y el estado ex-citado con una energa 2 = E por encima del estado base, y unadegeneracion g2.

a) Obtenga la energa promedio del atomo.b) Obtenga la capacidad termica de un gas constituido por esta

clase de atomos.

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Tarea 8 (18-20 de marzo)

8.1 Considere un sistema de N moleculas, monoatomicas indistin-guibles, de una solo especie qumica, que ocupa un volumen V yque se encuentra en contacto termico y en equilibrio con un banoa temperatura T . Obtuvimos que la funcion de Particion Canonicaes

ZC(T, V,N) =1

N !h3N

d3q1 . . . d

3qNd3p1 . . . d

3pN eH(q1,...,qN ,p1,...,pN )

En general el hamiltoniano H = T + V tiene dos contribuciones: lacinetica y la de interaccion entre las particulas.

( Lo que sigue lo hicimos en clase, solo quiero saber que pueden reproducirestos calculos )

a) Ahora considere que se trata de un gas ideal cuyas particulasno interaccionan, es decir que son independientes. Muestre que lafuncion canonica puede escribirse como:

ZC(T, V,N) =1

N !(Z1(T, V ))

N

donde Z1(T, V ) es la funcion de particion canonica de una partculaen dimension d = 3, es decir:

Z1(T, V ) = d3qd3p

h3eH1

donde H1 = p2/2m. Recuerde que el volumen en el espacio de coor-denadas, es V = L3 =

d3q.

b) Entonces para dimension d = 3, muestre que la densidadde estados de una partcula, g(p), como funcion del momento, esderivable de la integral en el espacio fase de la integral

Z1(T, V ) = d3qd3p

h3eH =

0

ep2/2m g(p)dp,

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y que es

g(p)dp =4piV

h3p2dp

c) Obtenga la densidad de estados de energa para una partcula,g(), de la integral en el espacio fase de la integral

Z1(T, V ) = d3qd3p

h3eH =

0

e g()d,

que como una funcion de la energa = p2/2m, es

g()d = 2piV(

2m

h2

)3/21/2 d

[Esta densidad de estados g() de una partcula es la misma que se uso en elconjunto microcanonico en general, aunque con una letra diferente (, V,N =1).]

d) Obtenga Z1 integrando, sustituya en ZN y finalmente deter-mine la energa libre de Helmholtz F (T, V,N), para el gas ideal.

8.2 Sea un gas extremadamente relativista, consistente de N moleculasmonoatomicas, cada una con la relacion energa-momento = pc,donde c es la velocidad de la luz, y contenido en un recipiente devolumen V , en d = 3.

a) Muestre que la funcion de particion canonica Z(T, V,N) estadada por

ZC(T, V,N) =1

N !

8piV(kT

hc

)3N

obtenga la energa libre de Helmholtz y de este potencial, las ecua-ciones de estado: pV = U/3 U = 3NkT

b) Considere el gas previamente enunciado pero que se encuen-tra confinado a moverse en una dimension. Muestre que la funcionde particion canonica es

ZC(T, L,N) =1

N !

{2L

(kT

hc

)}N

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obtenga la energa libre de Helmholtz y de este potencial, las ecua-ciones de estado.

8.3 Obtenga la densidad de partculas como funcion de la posicionradial n(r, T )dr, o lo que es lo mismo determine la probabilidadde encontarse entre r y r + dr, es decir P (r)dr, para un gas de Nmoleculas, cada una de masa m, contenidas en el cilndro de unacentrfuga de radio R y longitud L, rotando con una velocidad an-gular alrededor de su eje. Desprecie el efecto de la gravedady suponga que la centrfuga ha rotado durante mucho tiempo demanera que se ha establecido la distribucion de equilibrio a tem-peratura T .

Recuerde que el efecto de la rotacion desde el sistema en rotacion,es como si estuviera sujeto a un campo virtual externo actuandosobre el sistema

U(r) = 12m2r2

Y que para determinar constantes recuerde que el numero de partculasen el cilndro es N :

n(r, T )dV = N

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Examen 2 (27 de marzo)

2.1 (Reif 6.3) Sea un solido a temperatura T con unas pocas im-purezas magneticas diluidas en el, de manera que son indepen-dientes por ello se comporta como un paramagneto en presenciade un campo magnetico. El momento magnetico que tienen es ytiene dos posibles proyecciones a lo largo de la direccion del campo,H, aplicado.

a) Determine ZC(N).b) Por debajo de que temperatura se debe enfriar el solido para

que mas del 75% de los N dipolos se polaricen con sus espinesparalelos al campo externo.

Es decir que, en promedio de 4 hay 3 paralelas al campo yuna antiparalela al campo.

2.2 (Reif 7.2) Un gas monoatomico ideal de N partculas de masam, esta en equilibrio con un bano a temperatura T . El gas estacontenido en una caja cubica de arista L, cuyas caras superior einferior son paralelas a la superficie de la Tierra. Debe considerarsela influencia del campo gravitarorio uniforme de la Tierra sobre laspartculas, siendo g la intensidad del campo.

a) Sea z la altura de una molecula del gas, evalue la enrgamedia de una partcula del gas, es decir:

=p2

2m+mgz

b) Del promedio de la energa calcule la capacidad termica a volu-men constante (por partcula) y y estudie particularmente los casoslmites: cuando T 0 y T .

RECUERDE QUE EXPLICAR COMO OBTIENE LOS RESULTA-

DOS ME PERMITE TENER UNA IDEA CLARA DEL PROCESO DESOLUCION Y PODRE EVALUARLO ADECUADAMENTE. ENTONCESEXPLIQUE. Ademas por favor escriban con letra grande, estoyciego. Si necesitan mas hojas pdanlas.

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Fsica Estadstica

Tarea 9 (6-8 de abril)

9.1 En clase se empleo el conjunto microcanonico para la de-scripcion de la formacion de defectos, ahora haga lo mismo perocon ayuda del conjunto canonico, es decir: considere un cristalperfecto a temperatura T y considere que la formacion de una solavacancia por la migracion de un atomo hasta la superficie. Laenerga involucrada para la formacion de este unico defecto es

Calcule la funcion de particion canonica pensando que un atomotiene dos posibles estados, asociado a estar en el interior del cristalo estar en la superficie. Escriba la probabilidad de migrar a la su-perficie.

Calcule la energa media.Calcule la capacidad termica de este cristal ante la formacion

de este tipo de defectos.En cada caso grafquelas.

8.2 (Reif: 7.6) Consideremos un gas que no es ideal de modo quelas moleculas interaccionan entre s. Este gas esta en equilibriotermico a la temperatura T . Supongamos que los grados de libertadde translacion de este gas pueden estudiarse clasicamente.

Cual es la energa cinetica media de translacion (del centro demasa) de una molecula en este gas?

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8.3 (Reif: 7.7) Moleculas absorbidas sobre una superficie estanlibres para moverse sobre esta superficie y pueden estudiarse comoun gas bidimensional clasico ideal, a la temperatura absoluta T .

a) Cual es la capacidad termica molar de las moleculas mono-atomicas absorbidas de este modo, sobre una superficie de tamanofijo?

b) Y, si las moleculas absorbidas son diatomicas?