Solucin Ejercicios Captulo 4-5

April 21, 2015

Problemas

4.1 Utilidad: U (t, s) =ts

Si los pastelillos (t) cuestan $0.10 cada uno y la bebida(s) $0.25 por vaso,Pablo cmo debe gastar el dlar que le da su madre para maximizar su

utilidad?

Maximiceos Utilidad, por proceso lagrangiano.

L = ts+ (I Ptt PSs)C.P.O

(1) Lt =s

2t Pt = 0

(2) Ls =t

2s Ps = 0

(3) L = I Ptt PSs = 0(1) entre (2)s

2tt

2s

= PtPs2(s)

2

2(t)

2 =PtPs

st =

PtPs

(4) s = PtPs t

(4) en (3)

I Ptt PS PtPs t = 0I Ptt Ptt = 0I 2Ptt = 0(5) t = I2PtPor reciprocidad tenemos que

(6) s = I2Pst = 12(0.1) = 5s = 12(0.25) = 2

Pablo debe gastar el dolar que le da su madre as: t = 5 y s = 2 parapoder maximizar su utilidad.

U =

5 2 = 10

1

Precio de t aumenta a $0.40, Cuanto dinero mas tendra que dar la madrede Pablo para que mantenga el mismo nivel de utilidad

U =

5 2 = 1010 =

I0.8 I0.5

10 =

I2

0.4

10 = I2

0.40.4 10 = I24 = I2

2 = I

t? = 2.5s = 4As la madre de Pablo tendra que dar $1 de ms para que pueda mantener

su nivel de utilidad.

4.2 Utilidad: U (wf , wc) = w2/3f w

1/3c

Sea

I = 300Pf = 20PC = 4

L = w2/3f w1/3c + (I Pfwf Pcwc)Sea = 23 =

13

(1) Lwf = w1f w

c Pf = 0

(2) Lwc = wfw

1c Pc = 0

(3) L = I Pfwf Pcwc = 0(1) entre (2)

w1f wc

wf w1c

=PfPc

(

)wcwf

=PfPc

(4) wc =PfPc

(

)wf

(4)en (3)

I Pfwf Pc PfPc(

)wf = 0 I Pfwf Pfwf

(

)= 0

I wf(Pf + Pf

(

))= 0

(5) wf =I

(Pf+Pf( ))

(5) en (4)

wc =PfPc

(

)I

(Pf+Pf( ))wc =

(

)I

(Pc+Pc( ))

wf =300(

20+20

(1323

)) = 10

2

wc =(

1323

)300(

4+4

(1323

)) = 25 Si el precio de wf a disminuido a $10 y el precio de wc se mantiene con-stante, cantidades optimas en esta situacin.

wf =300(

10+10

(1323

)) = 20wc =

(1323

)300(

4+4

(1323

)) = 25 Explique por qu este amante de los vinos est en mejor posicin en elinciso b que en el inciso a. Usted cmo asignara un valor monetario a

este incremento de su utilidad?

Calculemos Utilidad de ambos incisos

Ua = 102/3251/3 = 13, 5

Ub = 202/3251/3 = 21, 5

Esta en mejor situacion en el inciso b, puesto la su utilidad tras dichas

elecciones optimas es mayor que la utilidad que percibe con las elecciones opti-

mas del inciso a.El valor monetario lo asignaria calculando la tiidad indirecta y

observaria el incremento del ingreso requerido.

4.3 U (c, b) = 20c c2 + 18b 3b2

Cuanto cigarros y copas de brandy consume esa noche? sin tener encuenta el costo, no es obstaculo

L = 20c c2 + 18b 3b2(1) Lc = 20 2c = 0(2) Lb = 18 6b = 0De (1) tenemos:

20 = 2c10 = c

De (2) tenemos:18 = 6b3 = bU = 127

As cosumira 10 cigarrillos y 3 copas de brandy

Limita su consumo a 5 entre cigarrilos y brandy, Canto consumir enesta nueva circunstancias?

Es decir c+ b = 5

3

20 2c = 18 6b2c = 2 6bc = 1 + 3b

1 + 3b+ b = 51 + 4b = 54b = 4b = 1

Por tal

c = 1 + 3 (1)c = 4

El consumo sera en la nueva circunstancia es de 4 cigarrillos y 1 copa de

brandy

4.4 Utilidad: U (x, y) =x2 + y2

Maximice la utilidad si Px = $3 y Py = $4 y I = 50Debido a que es una funcin monotanomaente creciente resulta lo mismo max-

imizar U2

L = (x2 + y2) + (I Pxx Pyy)(1) Lx = 2x Px = 0(2) Ly = 2y Py = 0(3) L = I Pxx Pyy = 0(1) entre (2)2x2y =

PxPy

(4) x = PxPy y

(4) en(3)

I Px PxPy y Pyy = 0I P 2XPy y Pyy = 0y(P 2XPy

+ Py

)= I

(5) y = I(P2XPy

+Py

)(5) en (4)

x = PxPyI(

P2XPy

+Py

)x = IPx

(P 2x+P 2y )

y = 50( 94+4)

= 8

x = 503(9+16)) = 6

U =(

82 + 62)

= 10

4

Qu dice la grca sobre el comportamiento del Sr. B? Ha encontradousted un autntico mximo?

Esto no es un mximo local porque las curvas de indiferencia no tienen una RMS

decreciente . Por lo tanto, tenemos condiciones necesarias pero no sucientes

para un mximo.

4.5 U = (g, v) = min(g2 , v)

Dibuje la curva de indiferencia del Sr. A en trminos de g y v para diversosniveles de utilidad. Muestre que, independientemente de los precios de

los dos ingredientes, el Sr. A nunca alterar la forma en que mezcla los

martinis.

De nada importa cul sea el precio relativo es (es decir, la pendiente de la

restriccin presupuestaria) la interseccin de la utilidad mxima ser siempre

en el vrtice de una curva de indiferencia donde g = 2v

Funciones de Demanda

Como es de proporciones ja:

g2 = v

5

g = 2v

I = Pgg + PvvI = Pg2v + PvvI = v (2Pg + Pv)

I(2Pg+Pv)

= v2I

(2Pg+Pv)= g

Funcin de Utilidad Indirecta

V (Pg, Pv, I) =g2 =

2I(2Pg+Pv)

12 = I(2Pg+Pv) Funcin del Gasto

E (Pg, Pv, U) = (2Pg + Pv)U

4.6 U(x, y, z) = x0.5y0.5 (1 + z)0.5

Px = 0.25, Py = 1,Pz = 2 , I = 2

Tomando z=0, la maximizacion de la utilidad da como resultado las mis-mas elecciones optimas del punto 4.1

L = x0.5y0.5 (1 + z)0.5 + (I Pxx Pyy Pz)(1) Lx = 0.5x

0.5y0.5 (1 + z)0.5 Px = 0(2) Ly = 0.5x

0.5y0.5 (1 + z)0.5 Py = 0(3) L = I Pxx Pyy Pzz = 0(1) entre (2)

0.5x0.5y0.5(1+z)0.5

0.5x0.5y0.5(1+z)0.5 =PxPy

y(1+0.5)0.5

x(1+0.5)0.5= PxPy

yx =

PxPy

(4) y = PxPy x

(4) en (3)I Pxx Py PxPy x Pzz = 0I Pxx Pxx Pzz = 0I 2Pxx Pzz = 02Pxx = Pzz Ix = Pzz2Px +

I2Px

Ahora si hacemos z=0, tenemos

x = Pz02Px +I

2Pxx

x = 0 + I2Pxx = I2PxPor reciprocidad

6

y = I2PyQue son las mismas elecciones optimas del punto 4.1

Demanda:

x = 22(0.25) = 4y = 22(1) = 1z = 0U = 40.510.5 = 4

Miremos para z>0

z = 0.5

x = 20.520.25 +2

20.25 = 20 = 2 (0.25 2) (2 0.5) y0.5 = y0.5 = y

U1 = 20.50.50.5 (1 + 0.5)

0.5= 1.22

Aqui mostramos que para valores de z>o disminuyen la utilidad.

z=0 es un optimo puesto garantiza que la utilidad sea la maxima posible. Los ingresos de este individuo qu tan altos deben ser para que puedacomprar una cantidad z cualquiera?

Si tomamos a I = 10 las elecciones optimas claraente son x = 16, y =4 z = 1Un mayor ingreso hace posible consumir z como parte de una utilidad mx-

ima. Para encontrar la renta mnima a la que se comprara cualquier fraccion

de z, si asumimos que el hecho de que con la Cobb-Douglas esta persona va a

gastar cantidades iguales en (x, y) y (1 + z) es decir:Pxx = Pyy = Pzz(1 + z)Sustituimos esto en la restriccin presupuestaria tenemos:

2Pz(1 + z) + Pzz = I3Pzz = I 2PzPor lo tanto sucede que:

Si z > 0 debe suceder que I > 2Pz o I > 4

4.7U(x, y) = xy1

Funcin de Utilidad indirectaL = xy1 + (I Pxx Pyy)

(1) Lx = x1y1 Px = 0

(2) Ly = (1 )xy Py = 0(3) L = I Pxx Pyy = 0(1) entre (2)

(4) x1y1

(1)xy =PxPy

7

(4) y = PxPy(1

)x

(4) en (3)

I Pxx Py PxPy(1

)x = 0

I Pxx Px(1

)x = 0

I xPx(1 +

(1

))= 0

x = IPx(1+( 1 ))

y = IPy(1+( 1 ))

( 1 )Porl lo tanto la funcion de utilidad indirecta es:

V (Px, Py, I) = U [ (Px, Py, I)]

=

(I

Px(1+( 1 ))

)(I

Py(1+( 1 )) ( 1 ))1Porl lo tanto la funcion del gasto es:

E (Px, Py, I) =

(I

Px(1+( 1 ))

)(I

Py(1+( 1 )) ( 1 ))1 U

Compensacin requerida para equilibrar depende del tamao del expo-nente.

ePx

= 1(1 )1P1x P 1y UePx

= (1 )Px Py UEs claro entonces que depende del tamao de exponente

4.8 El principio de la suma nica ilustrado en la gura 4.5 se puede aplicar

tanto a la poltica de transferencias como a la tributacin. Este problema analiza

la aplicacin del principio.

Utilice una grca similar a la gura 4.5 para demostrar que una dotacinde ingresos a una persona proporciona ms utilidad que un subsidio para

el bien x, que le cuesta la misma cantidad de dinero al gobierno.

8

Utilice la funcin gasto Cobb-Douglas que presentamos en la ecuacin4.52 para calcular la cantidad extra de poder adquisitivo que necesita esta

persona para incrementar su utilidad de U = 2 a U = 3.

E(Px, Py, U) = 2P0.5x P

0.5y U con Px = 1 Py = 4, U = 2

As:

E = 8

Para elevar la utilidad a 3 se requerir:

E = 12

Esdecir un subsidio al ingreso de 4.

Utilice la ecuacin 4.52 de nueva cuenta para calcular el grado en queel gobierno debe subsidiar el bien x para incrementar la utilidad de esta

persona de U = 2 a U = 3. Cunto le costara este subsidio al gobierno?

Compare este costo con el costo que calcul en el inciso b?

Para este caso requerimos que E = 8 = 2P 0.5x 40.53 o de igual forma: P 0.5x =

8

12=

2

3

9

Entonces Px =4

9es decir cada unidad debe ser subisidiada por

5

9y al precio

subsidiado la persona compra

x = 9

Entonces el subsidiado en mayor en una unidad monetaria que el inciso

anterior, es decir, 5.

El problema 4.7 le pide que compare una funcin gasto para una funcinde utilidad Cobb-Douglas ms general que la utilizada en el ejemplo 4.4.

Utilice esa funcin gasto para contestar, de nueva cuenta, los incisos b y

c en el caso donde = 0.3; es decir, una cifra cercana a la fraccin de losingresos que las personas de bajos ingresos gastan en alimentos.

E(Px, Py, U) = 1.84P0.3x P

0.7y U Px = 1 Py = 4 U = 2 E =

9.71

El aumento de U a 3, se requiere gastos extras de 4.86. Subsidiando solo el

bien x a un precio de Px = 0.26 es decir un subsidio de 0.74 por unidad. A esteprecio la persona decidira comprar x = 11.2 por lo que el subsidio total seria de8.29

4.9 Funcin de Utilidad ESC dada por:

U(x, y) = x

+y

Demuestre que las condiciones de primer orden para una utilidad mximacon restriccin con esta funcin exige que los individuos elijan los bienes

en proporcion

xy =

(PxPy

) 11

Maximcemos:

L = x + y

+ (I Pxx Pyy)(1) Lx =

x1 Px = 0

(2) Ly =y1

Py = 0(3) L = I Pxx Pyy = 0(1) entre (2)x1

y1

= PxPyx1y1 =

PxPy

xy =

(PxPy

) 11

Con lo cual queda mostrado.

Hacemos caso Cobb-Douglas = 0, para mirar que la asignacion de fondoses igual.

10

xy =

(PxPy

) 101

xy =

(PxPy

)1xy =

(PyPx

)(4) xPx =Pyy

Queda mostrado que asignaran sus fondos a partes iguales.

Como depende PxxPyy del valor de

PxxPyy

=(PxPy

) 1

Derivar Funcin del Gasto

Teniamos:

xy =

(PxPy

) 11

sea

11 = Por practicidad, por tal:

xy =

(PxPy

)x =

(PxPy

)y

I Px(PxPy

)y Pyy = 0

I P+1xPy y Pyy = 0I y

(P+1xPy

+ Py

)= 0

y = I(P+1xPy

+Py

)x =

(PxPy

) I(

P+1xPy

+Py

)x= I(

P+1yPx

+Px

)Funcion de Utilidad Indirecta

V =

[I

P+1yPx

+Px

1+

1+

+

I

P+1xPy

+Py

1+

1+ ]As la funcin del gasto es:

E(U,Px, Py) = U(1+

) [(x

1+ y

1+

)]4.10 Suponga que los individuos necesitan determinada cantidad de alimen-

tos (x) para sobrevivir y que esta cantidad es igual a x0. Una vez adquirida la

11

cantidad x0. los individuos obtienen utilidad de los alimentos y de otros bienes(y) de acuerdo con la frmula

U(x, y) = (x x0)y donde + = 1

Demuestre que si I > Pxx0 el individuo maximizar su utilidad gastando (I Pxx0) + Pxx0 en el bien x y (I Pxx0) en el bien y. Interpreteeste resultado.

Para x < x0la utilidad es negativa por lo que sucede primero Pxxo Si sucedeque I Pxxoingreso extra, esto no es mas que el problema estandar de unaCobb-Douglas

Px(x x0) = (I Pxxo), Pyy = (I Pxxo)

En este problema, las proporciones PxxIy

Pyy

Icmo varan a medida

que aumenta el ingreso?

Calculemos de la proporcion con el presupuesto:

Pxx

I= +

(1 + )Pxx0I

,

Pyy

I= Pxx0

IMiremos en el limite:

lim(I )PxxI

= ,

lim(I )PyyI

=

12

5.1 Ed el sediento slo bebe agua mineral, pero la puede comprar en botel-

las de dos tamaos: una de 0.75 litros u otra de 2 litros. Dado que el agua es

inherentemente idntica, considera que estos dos bienes son sustitutos perfec-

tos.

Suponiendo que la utilidad de Ed slo depende de la cantidad de aguaque consume y que las botellas no producen utilidad alguna, exprese esta

funcin de utilidad en trminos de cantidades de botellas de 0.75 litros (x)

y de 2 litros (y).

Cantidad de Agua=0.75x+ 2y

Funciones de demanda

SiPx 38Py entonces x = 0 y =

IPy

Curva de Demanda

Cambios de I y del precio de y, dezplazan la curva de la demanda de x asi:

13

Incrementos de I desplazan la curva de la demanda de x hacia afuera, pero las

reducciones en los precios de y no afectan la demanda de x hasta que Py 0.

5.2 Sean los siguientes datos:

I = $3mantequilla de cacahuate (Pmc) = $0.0.5mermelada (Pm) = $0.1

Canta mantequilla y mermelada comprar David por semana con sus $3?

Para maximizar la Utilidad se requiere que:

mc = 2m

La restriccion presupuestaria es:

0.05mc+ 0.1m = 3

Si sustituimos tenemos que:

(0.05 2m) + 0.1m = 30.1m+ 0.1m = 30.2m = 3m = 30.2 = 15mc = 2(15) = 30

Si Pm = $0.15 lo que produce:

Reemplazamos:

0.05mc+ 0.15m = 3(0.05 2m) + 0.15m = 3(0.1m) + 0.15m = 30.25m = 3m = 30.25 = 12mc = 24

Canto tendra que aumentar la paga de David para compensar el incre-mento del precio de la mermelada?

Para continuar comprando m = 15 y mc = 30. David necesita comprar 3unidadesmas de mermelada y 6 unidades ms de mantequilla lo que le genereara

un aumento en su paga igual a:

3(0.15) + 6(0.05) = 0.75

14

Grca representando la situacin anterior:

Este problema, en qu sentido implica un solo bien: o sea sandwiches demantequilla de cacahuate y mermelada? Trace la curva de la demanda de

este nico bien.

Como el pan es gratis sucede que:

Psand = 2Pmc + Pm

En la parte a tenemos:

Psand = 0.20Qsan = 15

En la parte b tenemos:

Psand = 0.25Qsan = 12

As la curva se comporta como si fuese un hiperbola: Qsand =3PS

Analice los resultados de este problema en trminos del efecto ingreso yel efecto sustitucin que implica la demanda de mermelada.

No hay efecto de sustitucin debido a la proporcin ja. Un cambio en los

resultados de los precios en slo resultara evidente por el efecto ingreso.

15

5.3 Como denimos en el captulo 3, una funcin de utilidad es homottica

si una lnea recta que parta del punto de origen corta todas las curvas de in-

diferencia en puntos que tienen la misma pendiente; es decir, la TMS depende

de la proporcin de y/x.

Demuestre que, en este caso, x/I es constante.A medida que aumenta la renta, la relacin

PxPyse mantiene constante; por tal las

condiciones de maximizacion de utilidad exique que la RMS permanezca con-

stante. As si la RMS depende de la relacion

yx y esta relacion debe permanecer

cosntante a medida que aumenta el ingreso y como los ingresos se gasta slo en

estos dos bienes, x, y son proporcionales al ingreso.

Demuestre que si un mapa de curvas homotticas de indiferencia repre-senta los gustos de un individuo, entonces el precio y la cantidad se deben

mover en direcciones opuestas; es decir, demuestre que la paradoja de

Gien no puede ocurrir.

Puesto que en el inciso anterior, sucede que

x

I> 0 entonces la paradoja de

bienes Gien no puede ocurrir en tal caso.

5.4 Como en el ejemplo 5.1, suponga que la utilidad est determinada por:

U(x, y) = x0.3y0.7

Utilice las funciones de demanda sin compensar del ejemplo 5.1 para cal-cular la funcin de utilidad indirecta y la funcin de gasto para este caso.

Tomando

x = 0.3IPxy = 0.7IPyTenemos que la Uitlidad indirecta es:

U = 0.30.30.70.7IP0.3x P0.7y = IP

0.3x P

0.7y

La funcin del gasto:

E = 1UP 0.3x P0.7y

Utilice la funcin de gasto calculada en el inciso anterior y el lema deShephard (nota 5 a pie de pgina) para calcular la funcin de demanda

compensada para el bien x.

Utilizando el lema de shepard tenemos:

xC =E

Px= 0.31P0.7x P

0.7y

16

Utilice los resultados del inciso anterior y la funcin de demanda sin com-pensar del bien x para demostrar que, en este caso, se cumple la ecuacin

de Slutsky.

Para mostrar la ecuacin de Slutsky, resulta sencillo en elasticidades con slo

leer los exponentes de las diversas funciones de la demanda:

x,Px = 1x,I = 1xC ,Px = 0.7Sx = 0.3

As:

x,Px = xC ,Px Sx x,I1 = 0.7 (0.3 1)5.6 En las ampliaciones del captulo 4 se demostr que la mayor parte de los

trabajos empricos de la teora de la demanda se concentran en las porciones de

los ingresos. En el caso de un bien, x, denimos la fraccin del ingreso como

Sx =Pxx

IEn este problema, se demostr que podemos derivar la mayor parte

de las elasticidades de la demanda a partir de las correspondientes elasticidades

de las porciones.

Demuestre que la elasticidad de la fraccin del presupuesto para un bien,con relacin al ingreso Sx,I =

sxI Isxes igual a x,I 1. Interprete estaconclusin con algunos ejemplos numricos.

Tenemos que:

Sx,I =Pxx/I

I IPxx/I

=IPxx/I Pxx

I2 I

2

Pxx= x,I 1As por mirar ejemplo:

x,I = 1.3 entoncesSx,I = 0.3

Demuestre que la elasticidad de la fraccin del presupuesto para un bien,con relacin a su precio propio Sx,Px =

sxPx Pxsxes igual a x,Px+1 . De

nueva cuenta, interprete este resultado con algunos ejemplos numricos.

Sx,Px = (Pxx/I)

Px PxPxx/I

=Pxx/Px + x

I Ix

= x,Px + 1

As por mirar ejemplo:

x,Px = 0.73 entoncesSx,Px = 0.27

17

Utilice los resultados del inciso anterior para demostrar que la elasticidadgasto del bien x con relacin a su precio propiox,Px,Px =

(Px x)Px

1xtambin es igual a x,Px = +1

Como pueden ser cancelados de la derivacin en el inciso anterior , sucede

igual que:

x,Px,Px =x,Px = +1

Demuestre que la elasticidad de la fraccin del presupuesto para un bien,con relacin a un cambio de precio de otro bien

(Sx,Py =

sxPy

Pysx

)es

igual a x,Py.

Sx,Py = (Pxx/I)

Py PyPxx/I

=Pxx/Py

I PyIPxx

=x

Py Py

x= x,Py

En las ampliaciones del captulo 4 se demostr que con una funcin deutilidad con CES, la fraccin de los ingresos dedicada al bien x est de-

terminada por sx =1

1 + P ky Pkx

. Tal que k =

1 = 1 .Utilice estaecuacin de la fraccin para probar la ecuacin 5.56: xCPx = (1 sx).

Usando el inciso b, tenemos:

sx,Px =kP ky P

k1x(

1 + P ky Pkx

)2 Px (1 + P ky Pkx ) = kP ky Pkx1 + P ky PkxHagamos = P ky P

kx

Por tanto

x,Px = sx,Px 1 =k

1 + 1 = k 1

1 + Usamos la ecuacion de Slutsky, recordando que x,I = 1

xCPx = x,Px + sx =k 1

1 + +

1

1 + =(k 1)

1 + = (1 sx)()

5.7 Suponga que una persona considera que el queso y el jamn son com-

plementos puros; es decir que siempre utilizar una rebanada de jamn con una

de queso para hacer un sandwich de jamn y queso. Suponga tambin que el

jamn y el queso son los nicos bienes que adquiere la persona y que el pan es

gratis. Demuestre:

Que si el precio del jamn es igual al precio del queso, entonces la elastici-dad precio propio de la demanda de jamn es 0.5 y la elasticidad precios

cruzados de la demanda de jamn con relacin al precio del queso tambin

es 0.5.

18

Como las proporciones entre h y c son jas podemos notar que la demanda

de jamn es:

h =I

(Ph + Pc)

h,Ph =h

Ph=

I(Ph + PC)2

Ph(Ph + Pc)I

=Ph

(Ph + Pc)

De igual forma podemos obtener:

h,Pc =Pc

(Ph + Pc)

Luego si Ph = Pcsucede que h,Ph = h,Pc = 0.5

Explique por qu los resultados del inciso anterior tan slo reejan los efec-tos ingreso, pero no los efectos sustitucin. Cules son las elasticidades

precio compensado en este problema?

Se sabe que en proporciones jas no hay efectos de sustitucin. Aqu las

elasticidades precio compensadas son cero, por lo que la ecuacin de Slutsky

muestra lo siguiente:

x,px = 0 sx = 0.5

Utilice los resultados del inciso anterior para demostrar los cambios queregistraran sus respuestas al inciso a si el precio de una rebanada de jamn

es el doble que l de una rebanada de queso.

Tenemos Ph = 2Pc del inciso a) tomamos que h,Ph =23, h,Pc =

13

Explique cmo podra resolver este problema, por intuicin, suponiendoque esta persona slo consume un bien, o sea un sandwich de jamn y

queso.

Si la persona consume slo sndwiches de jamn y queso, la elasticidad

precio de la demanda de aquellos debe ser -1. La elasticidad del precio de

los componentes reeja el efecto proporcional de un cambio en el precio del

componente sobre el precio del todo el sndwich. Si miramos en el inciso a, por

ejemplo, un aumento de 5% en el precio del jamn se incrementar el precio de

un sndwich en un 2.5 % y que har que la cantidad demandada caiga un 2.5

%.

5.8 El inciso e del problema 5.6 tiene varias aplicaciones muy tiles porque

demuestra cmo las respuestas del precio dependen, al nal de cuentas, de los

parmetros fundamentales de la funcin de utilidad. En concreto, utilice ese

resultado y la ecuacin de Slutsky en trminos de elasticidad para demostrar:

En el caso Cobb-Douglas ( = 1) la relacin siguiente se cumple entre laselasticidades precio propio de x y y: x,Px + y, Py = 2

19

x,Px = (1 sx) sxy,Py = sx syPor lo tanto:

x,Px + y,Py = 1La suma es igual a 2 que es el caso trivial de Cobb-Douglas

Si > 1, x,Px + y,Px < 2 y si < 1, x,Px + y,Px > 2 Ofrezca unaexplicacin intuitiva de este resultado.

El resultado se puede obtner usando el incisio a). Intuitivamente, elastici-

dades precio son grandes cuando es grande y pequea cuando es pequea.

Cmo generalizara este resultado a casos que incluyen ms de dos bienes?Explique si esta generalizacin tendra signicado especial.

Una posible generalizacin de la funcin CES varia variables es posible, pero

la restriccin que se impone sobre el comportamiento por esta funcin muy

probablemente no sean sostenibles.

5.9Las tres relaciones de agregacin que se presentan en este captulo pueden

ser generalizadas a una cantidad cualquiera de bienes. Este problema le pide

que haga justo eso. Suponemos que hay n bienes y que si denota la fraccin delos ingresos destinada al bien i. Adems, denimos las elasticidades siguientes:

i,j =xiI

=I

xi

i,j =xiPj

=Pjxi

Utilice la notacin para demostrar:

Homgeneidad: nj=1 i,j + i,j = 0Se sabe que la demanda de cualquier bien es Homogenea de Grado cero, el

teorema de Euler muestra que:nj=1 Pj

xiPj

+ IxiI

= 0

Si multiplicamos por

1

xvamos a obtener el resultado deseado, que mostrado.

Agregacin de Engel :nj=1 sii,I = 1

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Tomamos la restriccion presupuestaria :i Pixi = I

La diferenciamos con respecto al ingreso y obtenemos:i Pi

xiI

= 1

Multiplicamos cada termino por:

xiI

xiIy obtenemos:n

j=1 sii,I = 1

Agregacin de Cournout: nj=1 sii,j = sjDiferenciamos la restriccin Presupuestaria respcto a Pj :i Pi

xipj

+ xj = 0

Multiplicamos por

PjI xixiTenemos as:nj=1 sii,j = sj5.10 En un periodo de tres aos, un individuo observa el siguiente compor-

tamiento de consumo:

Px Py x y

Ao 1 3 3 7 4

Ao 2 4 2 6 6

Ao 3 5 1 7 3

Este comportamiento es congruente con el gran axioma de la preferenciarevelada?

El ao 2 revela su prefrencia sobre el ao 1 ya que cuestan lo mismo a precios

del ao 2. Adems el ao 2 se revela preferido al ao 3 por la misma razn pero

en el ao 3, el paquete del ao 2 cuesta menos que el ao 3 y an asi no se elige.

Por lo tanto se viola el axioma.

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