Solución Ejercicios Capítulo 4-5

April 21, 2015

Problemas

4.1 Utilidad: U (t, s) =√ts

• Si los pastelillos (t) cuestan $0.10 cada uno y la bebida(s) $0.25 por vaso,¾Pablo cómo debe gastar el dólar que le da su madre para maximizar suutilidad?

Maximiceos Utilidad, por proceso lagrangiano.

L =√ts+λ (I − Ptt− PSs)

C.P.O

(1) ∂L∂t =

√s

2√t− λPt = 0

(2) ∂L∂s =

√t

2√s− λPs = 0

(3) ∂L∂λ = I − Ptt− PSs = 0

(1) entre (2)√s

2√t√t

2√s

= λPtλPs

2(√s)

2

2(√t)

2 = PtPs

st = Pt

Ps

(4) s = PtPst

(4) en (3)

I − Ptt− PS PtPs t = 0I − Ptt− Ptt = 0I − 2Ptt = 0(5) t∗ = I

2Pt

Por reciprocidad tenemos que

(6) s∗ = I2Ps

t∗ = 12(0.1) = 5

s∗ = 12(0.25) = 2

Pablo debe gastar el dolar que le da su madre así: t∗ = 5 y s∗ = 2 parapoder maximizar su utilidad.

U =√

5× 2 =√

10

1

• Precio de t aumenta a $0.40, ¾Cuanto dinero mas tendra que dar la madrede Pablo para que mantenga el mismo nivel de utilidad

U =√

5× 2 =√

10√

10 =√

I0.8 ×

I0.5

√10 =

√I2

0.4

10 = I2

0.40.4× 10 = I2

4 = I2

2 = I

t? = 2.5s∗ = 4

Así la madre de Pablo tendra que dar $1 de más para que pueda mantenersu nivel de utilidad.

4.2 Utilidad: U (wf , wc) = w2/3f w

1/3c

SeaI = 300Pf = 20PC = 4

L = w2/3f w

1/3c + λ (I − Pfwf − Pcwc)

Sea α = 23 β = 1

3

(1) ∂L∂wf

= αwα−1f wβc − λPf = 0

(2) ∂L∂wc

= βwαfwβ−1c − λPc = 0

(3) ∂L∂λ = I − Pfwf − Pcwc = 0

(1) entre (2)

αwα−1f wβc

βwαf wβ−1c

=PfPc

(αβ

)wcwf

=PfPc

(4) wc =PfPc

(βα

)wf

(4)en (3)

I − Pfwf − Pc PfPc(βα

)wf = 0 I − Pfwf − Pfwf

(βα

)= 0

I − wf(Pf + Pf

(βα

))= 0

(5) w∗f = I

(Pf+Pf( βα ))

(5) en (4)

wc =PfPc

(βα

)I

(Pf+Pf( βα ))w∗c =

(βα

)I

(Pc+Pc( βα ))

w∗f = 300(20+20

(1323

)) = 10

2

w∗c =(

1323

)300(

4+4

(1323

)) = 25

• Si el precio de wf a disminuido a $10 y el precio de wc se mantiene con-stante, cantidades optimas en esta situación.

w∗f = 300(10+10

(1323

)) = 20

w∗c =(

1323

)300(

4+4

(1323

)) = 25

• Explique por qué este amante de los vinos está en mejor posición en elinciso b que en el inciso a. ¾Usted cómo asignaría un valor monetario aeste incremento de su utilidad?

Calculemos Utilidad de ambos incisosUa = 102/3251/3 = 13, 5Ub = 202/3251/3 = 21, 5

Esta en mejor situacion en el inciso b, puesto la su utilidad tras dichaselecciones optimas es mayor que la utilidad que percibe con las elecciones opti-mas del inciso a.El valor monetario lo asignaria calculando la tiidad indirecta yobservaria el incremento del ingreso requerido.

4.3 U (c, b) = 20c− c2 + 18b− 3b2

• ¾Cuanto cigarros y copas de brandy consume esa noche? sin tener encuenta el costo, no es obstaculo

L = 20c− c2 + 18b− 3b2

(1) ∂L∂c = 20− 2c = 0

(2) ∂L∂b = 18− 6b = 0

De (1) tenemos:

20 = 2c10 = c

De (2) tenemos:18 = 6b3 = bU = 127

Así cosumira 10 cigarrillos y 3 copas de brandy

• Limita su consumo a 5 entre cigarrilos y brandy, ¾Cúanto consumirá enesta nueva circunstancias?

• Es decir c+ b = 5

3

20− 2c = 18− 6b−2c = −2− 6bc = 1 + 3b

1 + 3b+ b = 51 + 4b = 54b = 4b = 1

Por tal

c = 1 + 3 (1)c = 4

El consumo sera en la nueva circunstancia es de 4 cigarrillos y 1 copa debrandy

4.4 Utilidad: U (x, y) =√x2 + y2

• Maximice la utilidad si Px = $3 y Py = $4 y I = 50

Debido a que es una función monotanomaente creciente resulta lo mismo max-imizar U2

L = (x2 + y2) + λ (I − Pxx− Pyy)

(1) ∂L∂x = 2x− λPx = 0

(2) ∂L∂y = 2y − λPy = 0

(3) ∂L∂λ = I − Pxx− Pyy = 0

(1) entre (2)2x2y = Px

Py

(4) x = PxPyy

(4) en(3)

I − Px PxPy y − Pyy = 0

I − P 2X

Pyy − Pyy = 0

−y(P 2X

Py+ Py

)= −I

(5) y∗ = I(P2XPy

+Py

)(5) en (4)

x∗ = PxPy

I(P2XPy

+Py

)x∗ = IPx

(P 2x+P

2y )

y∗ = 50

( 94+4)

= 8

x∗ = 50×3(9+16)) = 6

U =(√

82 + 62)

= 10

4

• ¾Qué dice la grá�ca sobre el comportamiento del Sr. B? ¾Ha encontradousted un auténtico máximo?

Esto no es un máximo local porque las curvas de indiferencia no tienen una RMSdecreciente . Por lo tanto, tenemos condiciones necesarias pero no su�cientespara un máximo.

4.5 U = (g, v) = min(g2 , v)

• Dibuje la curva de indiferencia del Sr. A en términos de g y v para diversosniveles de utilidad. Muestre que, independientemente de los precios delos dos ingredientes, el Sr. A nunca alterará la forma en que mezcla losmartinis.

De nada importa cuál sea el precio relativo es (es decir, la pendiente de larestricción presupuestaria) la intersección de la utilidad máxima será siempreen el vértice de una curva de indiferencia donde g = 2v

• Funciones de Demanda

Como es de proporciones �ja:g2 = v

5

g = 2v

I = Pgg + PvvI = Pg2v + PvvI = v (2Pg + Pv)

I(2Pg+Pv)

= v∗

2I(2Pg+Pv)

= g∗

• Función de Utilidad Indirecta

V (Pg, Pv, I) = g2 = 2I

(2Pg+Pv)× 1

2 = I(2Pg+Pv)

• Función del Gasto

E (Pg, Pv, U) = (2Pg + Pv)U

4.6 U(x, y, z) = x0.5y0.5 (1 + z)0.5

Px = 0.25, Py = 1,Pz = 2 , I = 2

• Tomando z=0, la maximizacion de la utilidad da como resultado las mis-mas elecciones optimas del punto 4.1

L = x0.5y0.5 (1 + z)0.5

+ λ (I − Pxx− Pyy − Pz)(1) ∂L

∂x = 0.5x−0.5y0.5 (1 + z)0.5 − λPx = 0

(2) ∂L∂y = 0.5x0.5y−0.5 (1 + z)

0.5 − λPy = 0

(3) ∂L∂λ = I − Pxx− Pyy − Pzz = 0

(1) entre (2)

0.5x−0.5y0.5(1+z)0.5

0.5x0.5y−0.5(1+z)0.5= Px

Pyy(1+0.5)0.5

x(1+0.5)0.5= Px

Pyyx = Px

Py

(4) y = PxPyx

(4) en (3)I − Pxx− Py PxPy x− Pzz = 0

I − Pxx− Pxx− Pzz = 0I − 2Pxx− Pzz = 0−2Pxx = Pzz − Ix = Pzz

−2Px + I2Px

Ahora si hacemos z=0, tenemosx = Pz0

−2Px + I2Pxx

x = 0 + I2Px

x∗ = I2Px

Por reciprocidad

6

y∗ = I2Py

Que son las mismas elecciones optimas del punto 4.1

Demanda:

x∗ = 22(0.25) = 4

y∗ = 22(1) = 1

z∗ = 0U = 40.510.5 = 4

Miremos para z>0z = 0.5

x = 2×0.5−2×0.25 + 2

2×0.25 = 20 = 2− (0.25× 2)− (2× 0.5)− y−0.5 = −y0.5 = y

U1 = 20.50.50.5 (1 + 0.5)0.5

= 1.22

Aqui mostramos que para valores de z>o disminuyen la utilidad.

• z=0 es un optimo puesto garantiza que la utilidad sea la maxima posible.

• ¾Los ingresos de este individuo qué tan altos deben ser para que puedacomprar una cantidad z cualquiera?

Si tomamos a I = 10 las elecciones optimas claraente son x = 16, y =4 z = 1

Un mayor ingreso hace posible consumir z como parte de una utilidad máx-ima. Para encontrar la renta mínima a la que se compraría cualquier fraccionde z, si asumimos que el hecho de que con la Cobb-Douglas esta persona va agastar cantidades iguales en (x, y) y (1 + z) es decir:

Pxx = Pyy = Pzz(1 + z)Sustituimos esto en la restricción presupuestaria tenemos:2Pz(1 + z) + Pzz = I3Pzz = I − 2PzPor lo tanto sucede que:Si z > 0 debe suceder que I > 2Pz o I > 4

4.7U(x, y) = xαy1−α

• Función de Utilidad indirecta

L = xαy1−α + λ (I − Pxx− Pyy)(1) ∂L

∂x = αxα−1y1−α − λPx = 0

(2) ∂L∂y = (1− α)xαy−α − λPy = 0

(3) ∂L∂λ = I − Pxx− Pyy = 0

(1) entre (2)

(4) αxα−1y1−α

(1−α)xαy−α = PxPy

7

(4) y∗ = PxPy

(1−αα

)x

(4) en (3)

I − Pxx− Py PxPy(1−αα

)x = 0

I − Pxx− Px(1−αα

)x = 0

I − xPx(1 +

(1−αα

))= 0

x∗ = I

Px(1+( 1−αα ))

y∗ = I

Py(1+( 1−αα ))

×(1−αα

)Porl lo tanto la funcion de utilidad indirecta es:

V (Px, Py, I) = U [µ (Px, Py, I)]

=

(I

Px(1+( 1−αα ))

)α(I

Py(1+( 1−αα ))

×(1−αα

))1−α

Porl lo tanto la funcion del gasto es:

E (Px, Py, I) =

(I

Px(1+( 1−αα ))

)α(I

Py(1+( 1−αα ))

×(1−αα

))α−1U

• Compensación requerida para equilibrar depende del tamaño del expo-nente.

∂e∂Px

= α1−α(1− α)α−1Pα−1x P 1−αy U

∂e∂Px

= α−α(1− α)αPαx P−αy U

Es claro entonces que depende del tamaño de exponente α

4.8 El principio de la suma única ilustrado en la �gura 4.5 se puede aplicartanto a la política de transferencias como a la tributación. Este problema analizala aplicación del principio.

• Utilice una grá�ca similar a la �gura 4.5 para demostrar que una dotaciónde ingresos a una persona proporciona más utilidad que un subsidio parael bien x, que le cuesta la misma cantidad de dinero al gobierno.

8

• Utilice la función gasto Cobb-Douglas que presentamos en la ecuación4.52 para calcular la cantidad extra de poder adquisitivo que necesita estapersona para incrementar su utilidad de U = 2 a U = 3.

E(Px, Py, U) = 2P 0.5x P 0.5

y U con Px = 1 Py = 4, U = 2

Así:

E = 8

Para elevar la utilidad a 3 se requerirá:

E = 12

Esdecir un subsidio al ingreso de 4.

• Utilice la ecuación 4.52 de nueva cuenta para calcular el grado en queel gobierno debe subsidiar el bien x para incrementar la utilidad de estapersona de U = 2 a U = 3. ¾Cuánto le costaría este subsidio al gobierno?¾Compare este costo con el costo que calculó en el inciso b?

Para este caso requerimos que E = 8 = 2P 0.5x 40.53 o de igual forma: P 0.5

x =8

12=

2

3

9

Entonces Px =4

9es decir cada unidad debe ser subisidiada por

5

9y al precio

subsidiado la persona compra

x = 9

Entonces el subsidiado en mayor en una unidad monetaria que el incisoanterior, es decir, 5.

• El problema 4.7 le pide que compare una función gasto para una funciónde utilidad Cobb-Douglas más general que la utilizada en el ejemplo 4.4.Utilice esa función gasto para contestar, de nueva cuenta, los incisos b yc en el caso donde α= 0.3; es decir, una cifra cercana a la fracción de losingresos que las personas de bajos ingresos gastan en alimentos.

E(Px, Py, U) = 1.84P 0.3x P 0.7

y U Px = 1 Py = 4 U = 2 E =9.71

El aumento de U a 3, se requiere gastos extras de 4.86. Subsidiando solo elbien x a un precio de Px = 0.26 es decir un subsidio de 0.74 por unidad. A esteprecio la persona decidira comprar x = 11.2 por lo que el subsidio total seria de8.29

4.9 Función de Utilidad ESC dada por:

U(x, y) = xδ

δ + yδ

δ

• Demuestre que las condiciones de primer orden para una utilidad máximacon restricción con esta función exige que los individuos elijan los bienesen proporcion

xy =

(PxPy

) 1δ−1

Maximcemos:

L = xδ

δ + yδ

δ + λ (I − Pxx− Pyy)

(1) ∂L∂x = δxδ−1

δ − λPx = 0

(2) ∂L∂y = δyδ−1

δ − λPy = 0

(3) ∂L∂λ = I − Pxx− Pyy = 0

(1) entre (2)δxδ−1

δδyδ−1

δ

= PxPy

xα−1

yα−1 = PxPy

xy =

(PxPy

) 1δ−1

Con lo cual queda mostrado.

• Hacemos caso Cobb-Douglas δ = 0, para mirar que la asignacion de fondoses igual.

10

xy =

(PxPy

) 10−1

xy =

(PxPy

)−1xy =

(PyPx

)(4) xPx =Pyy

Queda mostrado que asignaran sus fondos a partes iguales.

• Como depende PxxPyy

del valor de δ

PxxPyy

=(PxPy

) δδ−1

• Derivar Función del Gasto

Teniamos:xy =

(PxPy

) 1δ−1

sea 1δ−1 = α Por practicidad, por tal:

xy =

(PxPy

)αx =

(PxPy

)αy

I − Px(PxPy

)αy − Pyy = 0

I − Pα+1x

Pαyy − Pyy = 0

I − y(Pα+1x

Pαy+ Py

)= 0

y∗ = I(Pα+1xPαy

+Py

)x =

(PxPy

)α× I(

Pα+1xPαy

+Py

)x∗= I(

Pα+1yPαx

+Px

)Funcion de Utilidad Indirecta

V =

[I

Pα+1yPαx

+Px

1+αα

1+αα

+

I

Pα+1xPαy

+Py

1+αα

1+αα ]

Así la función del gasto es:

E(U,Px, Py) = U(1+αα

) [(x∗−

1+αα y∗−

1+αα

)]4.10 Suponga que los individuos necesitan determinada cantidad de alimen-

tos (x) para sobrevivir y que esta cantidad es igual a x0. Una vez adquirida la

11

cantidad x0. los individuos obtienen utilidad de los alimentos y de otros bienes(y) de acuerdo con la fórmula

U(x, y) = (x− x0)αyβ donde α+ β = 1

• Demuestre que si I > Pxx0 el individuo maximizará su utilidad gastandoα (I − Pxx0) + Pxx0 en el bien x y β (I − Pxx0) en el bien y. Interpreteeste resultado.

Para x < x0la utilidad es negativa por lo que sucede primero Pxxo Si sucedeque I − Pxxoingreso extra, esto no es mas que el problema estandar de unaCobb-Douglas

Px(x− x0) = α(I − Pxxo), Pyy = β(I − Pxxo)

• En este problema, ¾las proporcionesPxx

IyPyy

Icómo varían a medida

que aumenta el ingreso?

Calculemos de la proporcion con el presupuesto:

Pxx

I= α+

(1 + α)Pxx0I

,

Pyy

I= β − βPxx0

IMiremos en el limite:

lim(I →∞)Pxx

I= α,

lim(I →∞)Pyy

I= β

12

5.1 Ed �el sediento� sólo bebe agua mineral, pero la puede comprar en botel-las de dos tamaños: una de 0.75 litros u otra de 2 litros. Dado que el agua esinherentemente idéntica, considera que estos dos �bienes� son sustitutos perfec-tos.

• Suponiendo que la utilidad de Ed sólo depende de la cantidad de aguaque consume y que las botellas no producen utilidad alguna, exprese estafunción de utilidad en términos de cantidades de botellas de 0.75 litros (x)y de 2 litros (y).

Cantidad de Agua=0.75x+ 2y

• Funciones de demanda

SiPx <38Py entonces x = I

Pxy = 0

SiPx >38Py entonces x = 0 y = I

Py

• Curva de Demanda

• Cambios de I y del precio de y, dezplazan la curva de la demanda de x asi:

13

Incrementos de I desplazan la curva de la demanda de x hacia afuera, pero lasreducciones en los precios de y no afectan la demanda de x hasta que Py <

8Px3

entonces la demanda de x caera a cero.

• Curva de la demanda compensada: La curva de la demanda compensadadel bien x, es solamente el punto x,px lo que caracteriza el consumot actual;cualquier cambio del en el precio de x, cambiaria el nivel de utilidad eneste punto. Si se supone que x>0.

5.2 Sean los siguientes datos:

I = $3mantequilla de cacahuate (Pmc) = $0.0.5mermelada (Pm) = $0.1

• Cúanta mantequilla y mermelada comprará David por semana con sus $3?

Para maximizar la Utilidad se requiere que:

mc = 2m

La restriccion presupuestaria es:

0.05mc+ 0.1m = 3

Si sustituimos tenemos que:(0.05× 2m) + 0.1m = 30.1m+ 0.1m = 30.2m = 3m = 3

0.2 = 15mc = 2(15) = 30

• Si Pm = $0.15 lo que produce:

Reemplazamos:

0.05mc+ 0.15m = 3(0.05× 2m) + 0.15m = 3(0.1m) + 0.15m = 30.25m = 3m = 3

0.25 = 12mc = 24

• ¾Cúanto tendría que aumentar la paga de David para compensar el incre-mento del precio de la mermelada?

Para continuar comprando m = 15 y mc = 30. David necesita comprar 3unidadesmas de mermelada y 6 unidades más de mantequilla lo que le generearíaun aumento en su paga igual a:

3(0.15) + 6(0.05) = 0.75

14

• Grá�ca representando la situación anterior:

• Este problema, ¾en qué sentido implica un solo bien: o sea sandwiches demantequilla de cacahuate y mermelada? Trace la curva de la demanda deeste único bien.

Como el pan es gratis sucede que:

Psand = 2Pmc + Pm

En la parte a tenemos:

Psand = 0.20Qsan = 15

En la parte b tenemos:

Psand = 0.25Qsan = 12

Así la curva se comporta como si fuese un hiperbola: Qsand = 3PS

• Analice los resultados de este problema en términos del efecto ingreso yel efecto sustitución que implica la demanda de mermelada.

No hay efecto de sustitución debido a la proporción �ja. Un cambio en losresultados de los precios en sólo resultaría evidente por el efecto ingreso.

15

5.3 Como de�nimos en el capítulo 3, una función de utilidad es homotéticasi una línea recta que parta del punto de origen corta todas las curvas de in-diferencia en puntos que tienen la misma pendiente; es decir, la TMS dependede la proporción de y/x.

• Demuestre que, en este caso, ∂x/∂I es constante.

A medida que aumenta la renta, la relación PxPy

se mantiene constante; por tal las

condiciones de maximizacion de utilidad exique que la RMS permanezca con-stante. Así si la RMS depende de la relacion y

x y esta relacion debe permanecercosntante a medida que aumenta el ingreso y como los ingresos se gasta sólo enestos dos bienes, x, y son proporcionales al ingreso.

• Demuestre que si un mapa de curvas homotéticas de indiferencia repre-senta los gustos de un individuo, entonces el precio y la cantidad se debenmover en direcciones opuestas; es decir, demuestre que la paradoja deGi�en no puede ocurrir.

Puesto que en el inciso anterior, sucede que∂x

∂I> 0 entonces la paradoja de

bienes Gi�en no puede ocurrir en tal caso.

5.4 Como en el ejemplo 5.1, suponga que la utilidad está determinada por:

U(x, y) = x0.3y0.7

• Utilice las funciones de demanda sin compensar del ejemplo 5.1 para cal-cular la función de utilidad indirecta y la función de gasto para este caso.

Tomando

x = 0.3IPx

y = 0.7IPy

Tenemos que la Uitlidad indirecta es:

U = 0.30.30.70.7IP−0.3x P−0.7y = βIP−0.3x P−0.7y

La función del gasto:

E = β−1UP 0.3x P 0.7

y

• Utilice la función de gasto calculada en el inciso anterior y el lema deShephard (nota 5 a pie de página) para calcular la función de demandacompensada para el bien x.

Utilizando el lema de shepard tenemos:

xC =∂E

∂Px= 0.3β−1P−0.7x P−0.7y

16

• Utilice los resultados del inciso anterior y la función de demanda sin com-pensar del bien x para demostrar que, en este caso, se cumple la ecuaciónde Slutsky.

Para mostrar la ecuación de Slutsky, resulta sencillo en elasticidades con sóloleer los exponentes de las diversas funciones de la demanda:

εx,Px = −1εx,I = 1εxC ,Px = −0.7Sx = 0.3

Así:

εx,Px = εxC ,Px − Sx × εx,I−1 = −0.7− (0.3× 1)

5.6 En las ampliaciones del capítulo 4 se demostró que la mayor parte de lostrabajos empíricos de la teoría de la demanda se concentran en las porciones delos ingresos. En el caso de un bien, x, de�nimos la fracción del ingreso como

Sx =Pxx

IEn este problema, se demostró que podemos derivar la mayor parte

de las elasticidades de la demanda a partir de las correspondientes elasticidadesde las porciones.

• Demuestre que la elasticidad de la fracción del presupuesto para un bien,

con relación al ingreso εSx,I =∂sx∂I× I

sxes igual a εx,I − 1. Interprete esta

conclusión con algunos ejemplos numéricos.

Tenemos que:

εSx,I =∂Pxx/I

∂I× I

Pxx/I=IPx∂x/∂I − Pxx

I2× I2

Pxx= εx,I − 1

Así por mirar ejemplo:

εx,I = 1.3 entoncesεSx,I = 0.3

• Demuestre que la elasticidad de la fracción del presupuesto para un bien,

con relación a su precio propio εSx,Px =∂sx∂Px× Pxsx

es igual a εx,Px+1 . De

nueva cuenta, interprete este resultado con algunos ejemplos numéricos.

εSx,Px =∂ (Pxx/I)

∂Px× PxPxx/I

=Px∂x/∂Px + x

I× I

x= εx,Px + 1

Así por mirar ejemplo:

εx,Px = −0.73 entoncesεSx,Px = 0.27

17

• Utilice los resultados del inciso anterior para demostrar que la �elasticidad

gasto� del bien x con relación a su precio propioεx,Px,Px =∂(Px × x)

∂Px× 1

xtambién es igual a εx,Px = +1

Como pueden ser cancelados de la derivación en el inciso anterior , sucedeigual que:

εx,Px,Px =εx,Px = +1

• Demuestre que la elasticidad de la fracción del presupuesto para un bien,

con relación a un cambio de precio de otro bien

(εSx,Py =

∂sx∂Py

× Pysx

)es

igual a εx,Py.

εSx,Py =∂ (Pxx/I)

∂Py× PyPxx/I

=Px∂x/∂Py

I× PyI

Pxx=

∂x

∂Py× Py

x= εx,Py

• En las ampliaciones del capítulo 4 se demostró que con una función deutilidad con CES, la fracción de los ingresos dedicada al bien x está de-

terminada por sx =1

1 + P ky P−kx

. Tal que k =δ

δ − 1= 1− σ.Utilice esta

ecuación de la fracción para probar la ecuación 5.56: εxCPx = −(1− sx)σ.

Usando el inciso b, tenemos:

εsx,Px =kP ky P

−k−1x(

1 + P ky P−kx

)2 × Px (1 + P ky P−kx

)=

kP ky P−kx

1 + P ky P−kx

Hagamos θ = P ky P−kx

Por tanto

εx,Px = εsx,Px − 1 =kθ

1 + θ− 1 =

kθ − 1θ

1 + θUsamos la ecuacion de Slutsky, recordando que εx,I = 1

εxCPx = εx,Px + sx =kθ − θ − 1

1 + θ+

1

1 + θ=θ(k − 1)

1 + θ= (1− sx)(−σ)

5.7 Suponga que una persona considera que el queso y el jamón son com-plementos puros; es decir que siempre utilizará una rebanada de jamón con unade queso para hacer un sandwich de jamón y queso. Suponga también que eljamón y el queso son los únicos bienes que adquiere la persona y que el pan esgratis. Demuestre:

• Que si el precio del jamón es igual al precio del queso, entonces la elastici-dad precio propio de la demanda de jamón es �0.5 y la elasticidad precioscruzados de la demanda de jamón con relación al precio del queso tambiénes �0.5.

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Como las proporciones entre h y c son �jas podemos notar que la demandade jamón es:

h =I

(Ph + Pc)

εh,Ph =∂h

∂Ph=

−I(Ph + PC)2

× Ph(Ph + Pc)

I=

−Ph(Ph + Pc)

De igual forma podemos obtener:

εh,Pc =−Pc

(Ph + Pc)

Luego si Ph = Pcsucede que εh,Ph = εh,Pc = −0.5

• Explique por qué los resultados del inciso anterior tan sólo re�ejan los efec-tos ingreso, pero no los efectos sustitución. ¾Cuáles son las elasticidadesprecio compensado en este problema?

Se sabe que en proporciones �jas no hay efectos de sustitución. Aquí laselasticidades precio compensadas son cero, por lo que la ecuación de Slutskymuestra lo siguiente:

εx,px = 0− sx = −0.5

• Utilice los resultados del inciso anterior para demostrar los cambios queregistrarían sus respuestas al inciso a si el precio de una rebanada de jamónes el doble que él de una rebanada de queso.

Tenemos Ph = 2Pc del inciso a) tomamos que εh,Ph =−2

3, εh,Pc =

−1

3

• Explique cómo podría resolver este problema, por intuición, suponiendoque esta persona sólo consume un bien, o sea un sandwich de jamón yqueso.

Si la persona consume sólo sándwiches de jamón y queso, la elasticidadprecio de la demanda de aquellos debe ser -1. La elasticidad del precio delos componentes re�eja el efecto proporcional de un cambio en el precio delcomponente sobre el precio del todo el sándwich. Si miramos en el inciso a, porejemplo, un aumento de 5% en el precio del jamón se incrementará el precio deun sándwich en un 2.5 % y que hará que la cantidad demandada caiga un 2.5%.

5.8 El inciso e del problema 5.6 tiene varias aplicaciones muy útiles porquedemuestra cómo las respuestas del precio dependen, al �nal de cuentas, de losparámetros fundamentales de la función de utilidad. En concreto, utilice eseresultado y la ecuación de Slutsky en términos de elasticidad para demostrar:

• En el caso Cobb-Douglas (σ = 1) la relación siguiente se cumple entre laselasticidades precio propio de x y y: εx,Px + εy, Py = −2

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εx,Px = −(1− sx)σ − sxεy,Py = −sxσ − syPor lo tanto:

εx,Px + εy,Py = −σ − 1

La suma es igual a −2 que es el caso trivial de Cobb-Douglas

• Si σ > 1, εx,Px + εy,Px < −2 y si σ < 1, εx,Px + εy,Px > −2 Ofrezca unaexplicación intuitiva de este resultado.

El resultado se puede obtner usando el incisio a). Intuitivamente, elastici-dades precio son grandes cuando σ es grande y pequeña cuando σ es pequeña.

• ¾Cómo generalizaría este resultado a casos que incluyen más de dos bienes?Explique si esta generalización tendría signi�cado especial.

Una posible generalización de la función CES varia variables es posible, perola restricción que se impone sobre el comportamiento por esta función muyprobablemente no sean sostenibles.

5.9Las tres relaciones de agregación que se presentan en este capítulo puedenser generalizadas a una cantidad cualquiera de bienes. Este problema le pideque haga justo eso. Suponemos que hay n bienes y que si denota la fracción delos ingresos destinada al bien i. Además, de�nimos las elasticidades siguientes:

εi,j =∂xi∂I

=I

xi

εi,j =∂xi∂Pj

=Pjxi

Utilice la notación para demostrar:

• Homgeneidad:∑nj=1 εi,j + εi,j = 0

Se sabe que la demanda de cualquier bien es Homogenea de Grado cero, elteorema de Euler muestra que:∑n

j=1 Pj∂xi∂Pj

+ I∂xi∂I

= 0

Si multiplicamos por1

xvamos a obtener el resultado deseado, que mostrado.

• Agregación de Engel :∑nj=1 siεi,I = 1

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Tomamos la restriccion presupuestaria :∑i Pixi = I

La diferenciamos con respecto al ingreso y obtenemos:∑i Pi

∂xi∂I

= 1

Multiplicamos cada termino por:xiI

xiIy obtenemos:∑n

j=1 siεi,I = 1

• Agregación de Cournout:∑nj=1 siεi,j = −sj

Diferenciamos la restricción Presupuestaria respcto a Pj :∑i Pi

∂xi∂pj

+ xj = 0

Multiplicamos porPjI× xixi

Tenemos así:∑nj=1 siεi,j = −sj

5.10 En un periodo de tres años, un individuo observa el siguiente compor-tamiento de consumo:

Px Py x y

Año 1 3 3 7 4Año 2 4 2 6 6Año 3 5 1 7 3

• ¾Este comportamiento es congruente con el gran axioma de la preferenciarevelada?

El año 2 revela su prefrencia sobre el año 1 ya que cuestan lo mismo a preciosdel año 2. Además el año 2 se revela preferido al año 3 por la misma razón peroen el año 3, el paquete del año 2 cuesta menos que el año 3 y aún asi no se elige.Por lo tanto se viola el axioma.

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