1

La particolarità del problema di Saint-Venant consente di determinare in modo semplice le soluzioni del problema dell’equilibrio elastico. Nel caso della torsione semplice si è in uno stato tensionale puramente tangenziale:

τ τ σ σ σ τ0 0 0zx zy x y z xy ; ; ¹ ¹ = = = =

Applicando il metodo degli spostamenti, sono soddisfatte dapprima le equazioni indefinite di compatibilità:

( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0 0

0

uu uu y z u x z u x yx y zu x zu y z

y x

∂∂ ∂= ⇒ = ⇒ = ⇒∂ ∂ ∂∂∂ + =∂ ∂

yx zx y z

yx

, ; , ; , ;,,

x

y

z

τz x

τz y

zM

Componentinulle

τzy

τzx

τzx

τzy

xyτ

xσxyτ

yσ

zσ

Componentinon nulle

SOLIDO DI SAINT VENANT: TORSIONE

2

Nello spirito del metodo semi-inverso, è possibile ipotizzare che la soluzione abbia la seguente forma:

( ) ( )

( )[ ]

x y

z

,

c c

G c c

u y y z u x x z

u x y y x x y

ϑ ϑ

ϑ ω

= − − = −

= − +

essendo:

( )

( )

,

,

G

c c

x y

x y

ϑ

ω Funzione di ingobbamento, che definisce come si ingobba la sezione trasversale

Angolo unitario di torsione, che esprime la rotazione relativa tra due sezioni trasversali poste a distanza unitaria

Coordinate del centro di torsione C

zcc

ϑ

SOLIDO DI SAINT VENANT: TORSIONE

1l =

Una volta definita la forma della soluzione in termini di spostamento si ottiene dalle equazioni costitutive:

( ) ( )ω ω ττγ ϑ γ ϑy zyz x zx z

zx zyG Gx y x yuu u uy xx z x G y z y G

∂ ∂∂∂ ∂ ∂ = = − = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , ,+ = ; =

Sostituendo le precedenti relazioni nelle equazioni indefinite di equilibrio si ha:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

τ γτ γ

ω ωττ

zy zyzx zx

zyzx2 2

2 2

0 0

0 0G G

x y x yx y x yG Gz z z zx y x yx yx y

x y x y

∂ ∂∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂∂ + = ⇒ + =∂ ∂ ∂ ∂

, ,, , ; , ,,, Equazione di Laplace

Associando all’equazione di Laplace le condizioni al contorno:

( ) ( ) ( ) ( ), ,, , G Gx y x yx y n x y n n n yn xnx yω ω

τ τ∂ ∂+ = ⇒ + = −∂ ∂0zx x zy y x y x y

si definisce il cosidetto Problema di Neumann, che ammette soluzione unica a meno di una costante arbitraria (basi libere). In tal modo la soluzione è una funzione armonica e risulta completamente definita.

Gω

SOLIDO DI SAINT VENANT: TORSIONE

3

In questo caso per la simmetria polare si avrà: 0== cc yx .

Le componenti dello spostamento assumono la forma

xu y zϑ= − yu x zϑ= z 0u =

Dalla condizione di equivalenza sulle basi segue:

4

TORSIONE: SEZIONE CIRCOLARE le sezioni trasversali si mantengono piane ω ( , )G x y = 0

R

r R≤

tM

tM

( )

( )

τ τ

ϑ ϑ

z zy zx

A

yz

A z x

A

M = =

=

+

t

P

M x y dA

uu xy zG dAu u yx z

G x y dA G I

−

∂∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = + =

∫

∫

∫ 2 2

; = Lt

p

MGI

ϑ φ ϑ=

5

TORSIONE: SEZIONE CIRCOLARE (le sezioni trasversali si mantengono piane)

; = Lt

p

MGI

ϑ φ ϑ=

2 2z zx zy

t

p

Mr

Iτ τ τ= + =

R

Lφ ϑ=

r R≤

Lφ ϑ=

maxzτ

tM

tM

tM

zx ; t

p

MG y y

Iτ ϑ= − = − yz

t

p

MG x x

Iτ ϑ= =

4

max 3

2

2t

z P

M RI

Rπ

τπ

= =;

sezione circolare piena

r

Rzτ

6

( ) ( )4 4

max 4 4

2,

2t

p e i z ee i

MI R R R

R Rπ

τπ

= − =−

sezione circolare cava:

eRiR

R

1l =

angolo unitario di torsioneϑ

tM

tM

Rr

Gx

y

P

x

y

z

zy

zx

t

r maxzrR

τ τ=ϑz

xu yu

R

α ϑ α ϑx yu u cos =- ; u u sin == =yz xzϑ ϑ 2 2= +u= R x y

α

ϑ si calcola dalla condizione di equivalenza sulle basi

TORSIONE: SEZIONE CIRCOLARE

4

max 3

2

2t

z P

M RI

Rπ

τπ

= =;

sezione circolare piena :ϑz

z

Cerchio del Mohr:

4

max 3

2

2t

z PM R

IR

πτ

π= =;

max, min 3

2; 0t

z z

MR

σ τπ

= ± =

tM tM

Materiale duttile. Superficie di rottura

Materiale fragile. Superficie di rottura

maxzσ

minzσ

TORSIONE: plasticità - rottura

7

tM

t3

2MpR

ztM

maxσminσ

a

b

tM

tM

Z=N

8

M T

MT

a

b

a>b

3max 2

4

2;

L

t t tz z t

t t

t

M M My b I ab

I I ab

I

τ τ α β= ⇒ = = =

fattore di rigidezza torsionale

ω ( , )G x y ≠ 0TORSIONE: SEZIONE RETTANGOLARE

Le sezioni non si mantengono piane:

SOLUZIONE APPROSSIMATA:

TORSIONE

SEZIONI APERTE A SPESSORE SOTTILE: soluzioni approssimate

3max 2 2

1 ; 3 ;

3t t

t z

M MI ab

ab abτ α= = =

3max ,max

1 ; ;

3i i tt i i t t z i

t

MI a b I I b

Iτ= = ⇒ =∑

( )3max max

1 ( ) ;

3 l

tt zs

t

MI b s ds b s

Iτ= ⇒ =∫

9

Sezioni rettangolari allungate

Sezioni di forma qualunque

Le sezioni non si

mantengono piane:

G?(

x,y)

?0

10

TORSIONE: ANALOGIA IDRODINAMICA

L’ANALOGIA IDRODINAMICA è stata introdotta per comprendere qualitativamente l’andamento delle

tensioni tangenziali nella torsione.

Incremento delle tensioni in corrispondenza di restringimenti della

sezione: intagli o fori.

Andamento completamente diverso delle tensioni tangenziali nei casi di sezione aperte o chiuse.

Sezione chiusa (monoconnessa) Sezione aperta (biconnessa)

11

TORSIONE: ANALOGIA IDRODINAMICA

Tensioni tangenziali quasi nulle in vicinanza di spigoli

esterni (sporgenti).

Viceversa tensioni elevate in corrispondenza di spigoli

interni (rientranti).

Per evitare concentrazioni

di tensioni elevate o spreco del

materiali gli spigoli vengono arrotondati.

12

TORSIONE: ANALOGIA IDRODINAMICAformula approssimata di BREDT: sezioni chiuse a spessore sottile

o

d

Tds= b dsz

ds

z

( b )

s

s

b

( a )

spessore “b” diametro del cerchio bitangente

( ) ( ) ( ) ( ); costante ( )

2l

tt z zs

MM r s Tds T s b s s

b sτ τ= = = ⇒ =

Ω∫

( ) ( ) ( )1/ 2 2 2 ls

d r s ds r s ds d r s dsΩ = ⇒ = Ω ⇒ Ω = ∫

Le sezioni non si

mantengono piane:

G?(

x,y)

?0