1 TORSIONE SEMPLICE - SEI Editrice | Libri e Testi ... · Il calcolo delle tensioni indotte dalla...

TORSIONE SEMPLICE1

Si verifica la quando larisultante delle forze esterne relativa a qualunque sezione ènulla e le forze esterne si riducono a una coppia giacente nelpiano della sezione considerata.Le forze che precedono la sezione considerata appartengonoa un piano α non contenente l’asse geometrico z del solido,per cui hanno un momento rispetto all’asse stesso, detto

Mt = P ⋅ d [fig. 1].

Il solido è quindi sollecitato da due coppie di momento ugualee contrario agenti alle estremità, su piani perpendicolari al-l’asse geometrico z [fig. 2].

momento torcente,

sollecitazione di torsione semplice

1 Analisi della torsione semplice

L’effetto che producono le due coppie è la rotazione di ogni se-zione rispetto alla precedente di un certo angolo intorno a unpunto; l’insieme di tali punti individua l’asse geometrico delsolido; tale asse rimane rettilineo nella deformazione, mentre lefibre a esso parallele si dispongono secondo un’elica.Difficilmente in un solido si ha solo torsione, in quanto il solopeso proprio dell’elemento produce anche le sollecitazioni diflessione e taglio.Si fa inoltre notare che la sollecitazione di torsione è molto co-mune negli organi meccanici, quali gli alberi di trasmissione,mentre è piuttosto rara nelle costruzioni edili, potendosi veri-ficare nelle travi a sostegno di scale a sbalzo [fig. 3] e in alcunicasi di pensiline e balconi [fig. 4].Il calcolo delle tensioni indotte dalla torsione può essere effettuatocon procedimenti elementari per sezioni circolari piene o cave.Per altri tipi di sezioni lo studio risulta più complesso e vienecondotto applicando la teoria dell’elasticità, mentre per travitubolari di ridotto spessore si può giungere a risultati validianche se ottenuti con una trattazione approssimata.

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Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Considerando un solido cilindrico [fig. 5] sulle cui sezioni estremegiacciono due coppie con momento Mt uguale e contrario, il va-lore del momento si mantiene costante per tutta la lunghezza ldel solido e determina una torsione, ossia le fibre, prima paral-lele e rettilinee, si dispongono secondo eliche cilindriche.

Questa deformazione si traduce in una rotazione di ogni se-zione rispetto alla precedente di un certo angolo ϕ, detto an-golo di torsione, tanto maggiore quanto più grande è ladistanza fra le due sezioni considerate; inoltre, in perfetta ade-renza all’ipotesi di Navier, durante la deformazione le sezioni

2 Sezione circolare piena

8 Sollecitazioni semplici

si mantengono piane e non si deformano nel loro piano, percui i raggi uscenti dal centro restano rettilinei e ognuno di essiruota dell’angolo ϕ. L’asse geometrico del solido si mantienerettilineo.Prendendo due sezioni s e t a distanza unitaria [fig. 5], la deforma-zione unitaria, detta in questo caso scorrimento unitario e indi-cato con γ, è rappresentata dallo spostamento b b1, cioè del puntob in b1; tale spostamento dipende dall’angolo unitario di tor-sione Q e dalla distanza r del punto b dal centro O per cui risulta:

γ = Θ ⋅ r

In questa deformazione si ammette che la dilatazione di ognifibra sia nulla (σ = 0).

Un elemento piccolissimo di area a distante della quantità ge-nerica r da O e appartenente a una sezione qualsiasi è sog-getto a uno sforzo τ ⋅ a; detto sforzo, rispetto al centro O dellasezione, genera un momento torcente:

Mt = τ ⋅ a ⋅ r

nel quale sostituendo la [1] si ha:

Mt = G ⋅ Θ ⋅ r ⋅ a ⋅ r = G ⋅ Θ ⋅ a ⋅ r2

Estendendo lo stesso ragionamento a tutti gli elementi piccolis-simi costituenti il cerchio di raggio R si ottiene:

Mt = G ⋅ Θ ⋅ ∑ (a ⋅ r2)

sostituendo la [2] e osservando che il termine fra parentesirappresenta il momento d’inerzia polare del cerchio, si ha:

Mt = ⋅ Ip da cui [3 e 4]

che fornisce la tensione tangenziale in un punto generico a di-stanza r dal centro O; è opportuno notare l’analogia della for-mula con quella della flessione semplice.Le tensioni tangenziali variano con legge lineare da un valorenullo in corrispondenza del centro O a quello massimo nellefibre più lontane a distanza R [fig. 7].Poiché la tensione massima si verifica al contorno della se-zione circolare, per r = R = D/2 si avrà:

[5]

dove il rapporto

Wt =

rappresenta il modulo di resistenza a torsione, ed essendo:

sostituendo si ottiene:

[6]

che fornisce la tensione tangenziale massima per torsionedi una sezione circolare.

τmax = 16 ⋅ M t

π ⋅D3

Ip = π ⋅D4

32

Ip

D2

τmax =M t ⋅ D

2Ip

τ = M t ⋅ rIp

τr

28 Sollecitazione semplici Torsione semplice

Limitandosi a considerare due sezioni adiacenti qualsiasi, la ro-tazione di una di queste rispetto all’altra è dovuta a tensioni tan-genziali τ, determinate dalle forze esterne applicate, normalialle fibre longitudinali della trave e giacenti nel piano delle se-zioni, alle quali si oppongono le tensioni interne che in ognicaso non devono superare quelle massime consentite.Queste tensioni tangenziali τ, in una sezione generica [fig. 6],sono proporzionali alla distanza r dal centro della sezione(τ1 < τ2 < τ3).La tensione tangenziale τ è perpendicolare al raggio passanteper il punto C generico e allo scorrimento che avviene delpunto generico da C a C1 per effetto della torsione [fig. 6]; perla legge di Hooke tale scorrimento è proporzionale alla ten-sione tangenziale per cui si ha:

τ = G ⋅ γ = G ⋅ Θ ⋅ r da cui G ⋅ Θ = [1 e 2]

essendo G il modulo di elasticità tangenziale che varia da ma-teriale a materiale.

τr

Fig. 5

Fig. 6 Fig. 7

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Per la sezione circolare l’ipotesi che le sezioni si mantenganopiane durante la deformazione si può ritenere reale; altrettantonon è nel caso di altre sezioni quale quella rettangolare.Mentre per la sezione circolare la distribuzione delle tensioniè lineare dal centro al contorno, per altre forme di sezionequesto non si verifica.Particolarmente per la sezione circolare, l’andamento delletensioni può essere evidenziato in modo abbastanza esatto ri-facendosi a una analogia idrodinamica; quando un liquido,contenuto in un recipiente con la stessa forma della sezione,viene sottoposto a un moto rotatorio, le molecole del liquidonel loro movimento percorrono delle traiettorie che, in unasezione, sono analoghe alle linee di uguale tensione tangen-ziale dovute alla torsione; infatti la velocità di una molecoladipende dalla sua distanza dal centro della sezione, come siverifica per le tensioni.

L’angolo totale di torsione fra due sezioni poste a distanza lè dato da:

ϕ =

e sostituendo i valori di contorno della sezione circolare si ha:

ϕ = [7]

che permette di calcolare l’angolo totale di torsione al con-torno fra due sezioni espresso in radianti.Il valore del modulo di elasticità tangenziale G è legato al mo-dulo di elasticità E dalla relazione:

essendo 1/m = µ il coefficiente di Poisson.


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G = m2 ⋅(m +1)

⋅ E

32 ⋅ Mt ⋅ lπ ⋅ G ⋅ D4

M t ⋅ lG ⋅ Ip

Assumendo per l’acciaio una tensione massima τ = 120 N/mm2, si applica la formula di collaudo:

Mt = = ≈ 1507,96 × 103 ≈ 1,51 kN m

ed essendo il momento torcente dato da:

Mt = P ⋅ r ossia 1,51 = P ⋅ 0,30

si ricava:

Assumendo G = 85 × 103 N/mm2, l’angolo totale di torsione vale:

ϕ = = ≈ 0,0424 radianti32 × 1,51 × 106 × 600π ⋅ 85 × 103 × 404

32 ⋅ Mt ⋅ lπ ⋅ G ⋅ D4

P = 1,510,30

≈ 5,03 kN

π ⋅ 403 × 12016

π ⋅ D3 ⋅ τ16

Su un corto albero di trasmissione in acciaio, con diametro Ø = 40 mm e lunghezza l = 0,60 m, è montata una puleggiacon raggio r = 30 cm.Calcolare il carico massimo perimetrale che può essere sollevato e l’angolo totale di torsione, facendo in modo che latensione massima non superi il valore di 120 N/mm2.

1ESERCIZ I SVOLT IESERCIZ I SVOLT I

La tensione tangenziale massima risulta:

τmax = = ≈ 89,52 N/mm2

Assumendo per il modulo di elasticità tangenziale il valore G = 85 × 103 N/mm2, l’angolo totale di torsione vale:

ϕ = = ≈ 0,0395 radianti32 × 9 × 106 × 1,50 × 103

π ⋅ 85 × 103 × 804

32 ⋅ Mt ⋅ lπ ⋅ G ⋅ D4

16 × 9 × 106

π ⋅ 803

16 ⋅ Mt

π ⋅ D3


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Un albero di trasmissione in acciaio, lungo 1,50 m e con il diametro D = 80 mm, è sollecitato dal momento torcenteMt = 9 kNm.Calcolare la tensione massima che si verifica nell’albero e l’angolo totale di torsione.

2

Un albero in acciaio, con diametro D = 70 mm, è soggetto al carico P = 20 kN applicato all’estremità di una mensolalunga 400 mm in direzione normale all’asse dell’albero, situata in una posizione intermedia.Calcolare i valori dei momenti torcenti nei due tratti AC e BC, e determinare la tensione massima.

3

Il momento torcente vale:

Mt = P ⋅ c = 20 × 0,40 = 8 kN m

La sezione C, pensata come appartenente al tronco AC, ruotadell’angolo ϕ(AC) che deve essere uguale all’angolo ϕ(BC) delquale ruota la stessa sezione C pensata come appartenente altronco BC, ossia ϕ(AC) = ϕ(BC) e sostituendo la [7] si ha:

= 32 ⋅ Mt,(BC) ⋅ b

π ⋅ G ⋅ D4

32 ⋅ Mt,(AC) ⋅ aπ ⋅ G ⋅ D4

e semplificando si ottiene:

Mt,(AC) ⋅ a = Mt,(BC) ⋅ b

Inoltre deve essere:

Mt,(AC) + Mt,(BC) = Mt

Risolvendo il sistema formato da queste ultime due relazioni,ponendo Mt,(AC) = Mt − Mt,(BC) e a + b = l, si ricava:

Mt,(BC) = = ≈

≈ 2,46 × 106 N mm ≈ 2,46 kN m

Analogamente si ha:

Mt,(AC) = = ≈

≈ 5,54 × 106 N mm ≈ 5,54 kN m

La tensione massima risulta:

τmax = = ≈ 118,79 N/mm216 × 8 × 106

π ⋅ 703

16 ⋅ Mt

π ⋅ D3

8 × 106 × 0,90 × 103

1,30 × 103

Mt ⋅ bl

8 × 106 × 0,40 × 103

1,30 × 103

Mt ⋅ al

P

I = 1300

b = 900

a = 400

c = 400

A

B

C

Quanto esposto per la sezione circolare piena è valido anchequando la sezione è una corona circolare [fig. 8].

Indicando con De − Di la differenza fra i diametri esterno e in-terno, si ha:■ momento d’inerzia polare:

■ tensione tangenziale massima al contorno:

[8]

■ angolo di torsione totale:

ϕ = 32 ⋅ M t ⋅ lπ ⋅G ⋅(De

4 − Di4 )

τmax = 16 ⋅ M t

π ⋅(De3 − Di

3 )

Ip = π ⋅(De4 − Di

4 )32


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3 Sezione circolare cava

Fig. 8

Una sezione circolare cava in acciaio, lunga 1,30 m, presenta un diametro esterno De = 140 mm e interno Di = 120 mm edè soggetta a un momento torcente Mt = 24 kN m. Verificare la stabilità della sezione e calcolare l’angolo di torsionedell’asse.


Assumendo una tensione tangenziale ammissibile τam = 120 N/mm2, con la formula di verifica si ottiene:

τ = = ≈ 120,31 N/mm2

L’angolo di torsione totale risulta:

ϕ = = ≈ 0,02115 radianti32 × 24 × 106 × 1300π ⋅ 85 000 × (1404 − 1204)

32 ⋅ Mt ⋅ lπ ⋅ G ⋅ (D4

e − D4i)

24 × 106

199,49 × 103

Mt

Wt

Wt = π ⋅(De3 − Di

3 )16

= π ⋅(143 −123)16

≈ 199,49 cm3

Una sezione circolare piena con diametro D = 90 mm e una anulare con lo stesso diametro esterno e spessore della paretes = 15 mm sono entrambe sollecitate dal momento torcente Mt = 11 kN m.Calcolare le tensioni che si verificano nelle due sezioni e confrontare i valori ottenuti.

5

Sezione circolare pienaLa tensione massima risulta:

τmax = = ≈ 76,85 N/mm2

Sezione anulareIl diametro interno è Di = 90 − 30 = 60 mm.

16 × 11 × 106

π ⋅ 903

16 ⋅ Mt

π ⋅ D3

La tensione massima risulta:

τmax = = ≈ 109,21 N/mm2

Confrontando i risultati si possono fare le seguenti osservazioni:■ la sezione circolare piena ha un’area A ≈ 63,62 cm2 mentre quella della sezione anulare è A ≈ 35,34 cm2, ossia è circa 1,8 volte

minore rispetto alla prima, con una uguale riduzione di materiale;■ a parità di momento torcente, la tensione nella sezione circolare piena è circa 1,42 volte minore rispetto a quella della sezione

anulare;■ in base a quanto sopra, si deduce che, a parità di tensione, la sezione piena con un’area 1,8 volte più grande di quella anulare

può sopportare un momento torcente solo 1,42 volte maggiore rispetto a quello della sezione anulare, che risulta quindi piùconveniente.

16 × 11 × 103

π ⋅ (903 − 603)16 ⋅ Mt

π ⋅ (D3e − D3

i)


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La teoria elementare applicata per sezioni circolari piene ocave non è più valida per le sezioni non circolari, in quantole sezioni, inizialmente piane, per effettodell’azione torcente si deformano, diven-tando cioè gobbe, pur mantenendosi retti-linei i raggi uscenti dal centro dellasezione [fig. 9].Inoltre, le tensioni tangenziali massime siverificano nei punti del contorno più vicinial baricentro della sezione anziché in quellipiù lontani.

Per sezioni non circolari lo studio della tor-sione risulta quindi molto complesso e ge-neralmente per il calcolo delle tensionitangenziali si ricorre a formule empiriche.Verrà esaminata solo la sezione rettango-lare, per la quale verranno fornite solo leformule applicative finali.

Sezione rettangolareLungo le diagonali, la tensione tangenziale, partendo da unvalore nullo in corrispondenza del baricentro G, cresce sino aun certo punto, quindi diminuisce per ritornare a un valorenullo ai vertici, ove non si hanno quindi distorsioni [fig. 10].Lungo le mediane le tensioni aumentano da un valore nullo inG a un massimo alle estremità, per cui la massima distorsionesi verifica nei punti di mezzo dei lati, e in particolare è mag-giore nei punti medi dei lati maggiori; in questi ultimi punti siverifica quindi la tensione tangenziale maggiore rispetto aqualsiasi altro punto del contorno.Il diagramma delle tensioni è riportato in figura 10.

4 Sezioni non circolari

La tensione tangenziale massima viene calcolata con la re-lazione:

τmax = α ⋅ [9]

dove a e b rappresentano rispettivamente le dimensioni mi-nore e maggiore della sezione, mentre α è un coefficiente va-riabile in funzione del rapporto b/a e i suoi valori sono riportatinella tabella 1, oppure possono essere calcolati con la formula:

α = 3 + 1,8 ⋅ .ab

Mt

b ⋅ a2

Tabella 1

b/a 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8

a 4,804 4,67 4,57 4,48 4,40 4,33 4,27 4,21 4,16

b/a 2 2,5 3 4 5 6 8 10 20

a 4,07 3,88 3,74 3,55 3,43 3,35 3,26 3,20 3,10

Fig. 9

Fig. 10

Profilati metalliciLa sezione dei profilati di acciaio, con esclusione di quelli consezione tubolare, è costituita di rettangoli con larghezza ai econ spessori differenti si; la tensione massima per torsione siverifica lungo i bordi del rettangolo con lo spessore maggioresmax e viene calcolata con la relazione:

τmax = [10] 3 ⋅ Mt ⋅ smaxi = nΣ

i = 1(ai ⋅ s3

i)

È da rilevare che le sezioni aperte, come sono quelle dei pro-filati, hanno una resistenza molto scarsa a torsione, resistenzache si riduce ancora quando la torsione è accompagnata ancheda un sia pure limitato momento flettente.


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Una trave in legno con sezione quadrata di 24 × 24 cm2 e con luce l = 2,80 m, impedita a ruotare alle estremità, presenta nor-malmente al suo asse una mensola lunga 0,70 m, sulla cui estremità è applicato il carico P = 6 kN (vedi figura); l’asse dellamensola è situato alla distanza di 1,80 m dall’estremo A.Calcolare i momenti torcenti che si verificano nei due tronchi AN e BN, la tensione massima e tracciare il diagramma delletensioni.


Il momento torcente ha il valore:

Mt = 6 × 0,70 = 4,20 kN m = 4,20 × 106 N mm

Avendo lunghezza differente, nei due tronchi AN e BN il mo-mento torcente avrà valori diversi che possono essere calco-lati tenendo presente che l’angolo di rotazione della sezionein N rispetto all’estremo A deve essere uguale a quello rispettoall’altro estremo B, ossia:

ϕ(AN ) = β ⋅M t (AN ) ⋅ r

G ⋅ b4ϕ(BN ) = β ⋅

M t (BN ) ⋅sG ⋅ b4

0ed essendo ϕ(AN) = ϕ(BN):

e semplificando:

Mt(AN ) ⋅ r = Mt(BN )⋅ s [11]

Inoltre deve anche essere:

Mt(AN ) + Mt(BN ) = Mt

Risolvendo il sistema formato da queste due ultime relazionisi ottiene:

Mt(AN ) = Mt − Mt(BN)

e sostituendo nella [11] e risolvendo rispetto a Mt(BN ) si ha:

= 2,70 × 106 N mm

e anche:

= 1,50 N mm

Per = 1 dalla tabella 1 si ricava α = 4,804; la tensione mas-

sima risulta:

τmax = α ⋅ = 4,804 × = 1,46 N/mm24,20 × 106

2403

Mt

b3

ba

04,20 × 106 × 10002800

M t(AN ) = M t ⋅sl

=

04,20 × 106 × 18002800

M t (BN ) = M t ⋅ rl

=

β ⋅M t (AN ) ⋅ r

G ⋅ b4= β ⋅

M t (BN ) ⋅sG ⋅ b4

Il carico totale sul balcone vale:

Q = 7,00 × 1,20 × 4,50 = 37,80 kN

e produce il momento torcente sull’intera trave:

Mt,tot = = = 22,68 kN m

che viene equilibrato dai momenti di incastro Mt che si hanno alle estremità della trave stessa, uguali e con valore:

Mt = = = 11,34 kN m

Il diagramma di distribuzione del momento torcente sulla trave è riportato in figura, dal quale risulta che le sezioni più solleci-tate sono quelle di estremità.

In base al rapporto = = 1,60, dalla tabella 1 si ricava α = 4,27; si ha quindi:

τmax = α ⋅ = 4,27 × ≈ 1,93 N/mm211,34 × 106

400 × 2502

Mt

b ⋅ a2

4025

ba

22,682

Mt,tot

2

37,80 × 1,202

Q ⋅ l2


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Su una trave, incastrata agli estremi, con luce l = 4,50 m e sezione rettangolare di 25 × 40 cm2 [fig. a], è impostato per tuttala sua lunghezza un balcone con lo sbalzo di 1,20 m, sul quale grava il carico ripartito uniforme q = 7,00 kN/m.Calcolare la tensione massima nella trave.

7

25

Mt

120

q4

0

a)

b)

450

0 0

11,34

11,34

a

b

Sezione a

Essendo = = 4, dalla tabella 1 si ricava α = 3,55 e quindi:

τmax = α ⋅ = 3,55 × ≈ 3,16 N/mm212 × 106

600 × 1502

Mt

b ⋅ a2

6015

ba

Sezione b

Per = = 2,25 si ha α = 3 + 1,8 ⋅ =

= 3 + 1,8 × = 3,80 e quindi:

τmax = 3,80 × ≈ 2,53 N/mm2

Sezione cDalla tabella 1 per = 1 si ha α = 4,804 e quindi:

τmax = 4,804 × ≈ 2,14 N/mm2

Sezione d

τmax = = ≈ 1,58 N/mm2

Analizzando i risultati ottenuti si osserva che, diminuendo il

rapporto , si riducono anche le tensioni, che assumono un

valore minimo per la sezione quadrata, oppure per la sezionerettangolare con dimensioni poco diverse fra loro. La sezioneottimale ai fini statici sarebbe quella circolare, ma in generenon viene utilizzata nell’edilizia per le difficoltà di inserimentocon altre strutture.

ba

16 × 12 × 106

π ⋅ 338,5133

16 ⋅ Mt

π ⋅ D3

12 × 106

3003

ba

12 × 106

450 × 2002

12,25

ab

4520

ba


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Considerando le sezioni di uguale area riportate in figura, sollecitate dal momento torcente Mt = 12 kN m, calcolare la ten-sione tangenziale massima che si verifica in ognuna di esse e metterle a confronto (misure in cm).

8

Calcolare la tensione massima che si ha nella sezione di un profilato HE 240 B soggetta a un momento torcente Mt = 6 kN m.9

30

30

33,8513

d)c)

15

60

45

20

b)a)

y

G

240

10

17

24

0

17

20

6 x

Dalla tabella relativa ai profilati HE si ricavano le caratteristi-che geometriche del profilato riportate in figura. Si calcola orail denominatore della [10] considerando i tre rettangoli checompongono la sezione:

i = 3Σ

i = 1(ai ⋅ s3

i) = 2 × 240 × 173 ++ (240 − 2 × 17) × 103 = 2564,24 × 103 mm4

Lo spessore maggiore è quello delle due ali con smax = 17 mm,per cui la tensione tangenziale massima risulta:

τmax = = ≈ 119,33 N/mm23 × 6 × 106 × 172564,24 × 103

3 ⋅ Mt ⋅ smaxi = 3Σ

i = 1(ai ⋅ s3

i)

Sezione circolare piena1 Una mensola è realizzata con un tondo in acciaio del

diametro D = 80 mm e all’estremità libera agisce unacoppia con forze P = 15 kN e braccio b = 0,50 m.Calcolare la tensione massima dovuta al momento tor-cente.

[τ ≈ 74,60 N/mm2]

2 La sezione circolare con diametro D = 80 mm di unalbero lungo 1,40 m è soggetta al momento torcenteMt = 10 kN m.Calcolare la tensione massima nella sezione e l’angolototale di torsione.

[τ ≈ 99,47 N/mm2; ϕ = 0,041 radianti]

3 Determinare il diametro di un elemento con sezione cir-colare, incastrato agli estremi, sollecitato nella sezionedi mezzeria da un momento torcente Mt = 15 kNm, conl’ipotesi che la tensione massima non risulti superiore a100 N/mm2.

[D ≈ 92 mm]

Sezione circolare cava4 Un elemento tubolare con diametri esterno De = 110 mm

e interno Di = 80 mm e lungo 1,60 m, perfettamente inca-strato alle estremità, è soggetto al momento torcenteMt = 15 kN m, applicato nella sezione di mezzeria.Calcolare la tensione massima e l’angolo totale di torsione(assumere G = 85 × 103 N/mm2).

[τ ≈ 93,28 N/mm2; ϕ = 0,0273 radianti]

5 Su un albero di trasmissione, realizzato in sezione cir-colare cava con diametro esterno De = 80 mm e spes-sore di parete s = 12 mm, è montata una puleggia conraggio r = 300 mm sottoposta a uno sforzo perimetraledi 20 kN.Calcolare la tensione tangenziale massima nell’albero.

[τ ≈ 90,84 N/mm2]

Sezioni non circolari6 Una mensola è soggetta all’estremità libera al momento

torcente Mt = 4,50 kNm.Confrontare le tensioni che si hanno adottando due se-zioni equivalenti, una rettangolare di 19 × 35 cm2 e l’al-tra circolare con diametro D = 29,10 cm.

[sezione rettangolare τ ≈ 1,416 N/mm2;sezione circolare τ ≈ 0,93 N/mm2; la tensione nella

sezione circolare è circa 1,5 volte inferiore]

7 Confrontare le tensioni che si verificano in due travi consezioni equivalenti, una di 25 × 25 cm2 e l’altra di20 × 31,25 cm2, entrambe sollecitate dal momento tor-cente Mt = 6 kN m.

[sezione quadrata τ ≈ 1,845 N/mm2; sezione rettangolare τ ≈ 1,993 N/mm2;

nella sezione rettangolare la tensioneè superiore di circa 1,08%]

8 Calcolare la tensione massima che si verifica nella se-zione del profilato IPE 300 soggetta al momento tor-cente Mt = 2,5 kN m.

[τ ≈ 171,76 N/mm2]

ESERCIZI108 Sollecitazione semplici Torsione semplice

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y

xG2

78

,6

30

0

10

,71

0,7

7,1

150

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