Χρνου
Ως τρα, τα σματα που μελετσαμε ταν ολα συνεχος χρνου. Σε αυτ το κεφλαιο, ξεκινμε τη μελτη
μας σχετικ με την επεξεργασα σημτων διακριτο χρνου αναπτσσοντας πρτα τις ιδες του σματος διακριτο
χρνου και του συστματος διακριτο χρνου. Θα επικεντρωθομε σε προβλματα που σχετζονται με την αναπα-
ρσταση σημτων, πρξεις με σματα, ιδιτητες σημτων, ιδιτητες συστημτων και ταξινμηση αυτν, ακριβς
ανλογα με σα χουμε δη συζητσει για το συνεχ χρνο.
Τα σματα διακριτο χρνου ουσιαστικ βρσκονται να βμα πριν τα ψηφιακ σματα. Πολλς φορς η
σχετικ βιβλιογραφα τιτλοφορεται Ψηφιακ Επεξεργασα Σματος, αντ Επεξεργασα Σματος Διακριτο Χρνου.
Σγουρα χετε ακοσει για τα πλεονεκτματα των ψηφιακν συστημτων. Αυτ μπορον να συνοψισθον στα
παρακτω:
1. Τα ψηφιακ συστματα χουν μεγαλτερη σταθερτητα, εν εναι πιο ευλικτα (τα χαρακτηριστικ τους
μπορον εκολα να αλλξουν).
2. Μεγαλτερη ποικιλα συστημτων μπορον να πραγματοποιηθον στον ‘‘ψηφιακ’’ χρο.
3. Τα ψηφιακ σματα μπορον να αποθηκευτον εκολα σε να αποθηκευτικ μσο χωρς αλλοωση της
ποιτητς τους.
4. Για την επεξεργασα ψηφιακν σημτων χουν αναπτυχθε πιο εξελιγμνοι αλγριθμοι.
5. Τα ψηφιακ συστματα μπορον να κατασκευαστον με χρση ολοκληρωμνων κυκλωμτων, παρχοντας
χαμηλ κατανλωση ισχος.
Ελπζοντας να σας πεσαμε για τη χρησιμτητ τους, ας προχωρσουμε. ,
11.1 Σματα Διακριτο Χρνου
Ενα σμα διακριτο χρνου εναι μια διατεταγμνη ακολουθα πραγματικν μιγαδικν τιμν. Ετσι, να σμα
διακριτο χρνου εναι μια συνρτηση της ακραιας μεταβλητς n, που συμβολζεται ως x[n]. Το σμα διακριτο
χρνου δεν ορζεται για μη ακραιες τιμς του n. Ετσι, να πραγματικ σμα x[n] αναπαρσταται γραφικ οπως
στο Σχημα 11.1. Τα σματα διακριτο χρνου συχν προρχονται απ δειγματοληψα ενς σματος συνεχος
χρνου, πως η φων. Για παρδειγμα, να σμα συνεχος χρνου xa(t) δειγματοληπτεται με ρυθμ fs = 1 Ts
Hz, και παργει να δειγματοληπτημνο σμα x[n], που σχετζεται με το xa(t) ως
x[n] = xa(nTs), n ∈ Z (11.1)
Ομως, υπρχουν και σματα που δεν προλθαν κατ αυτν τον τρπο. Κποια σματα υφστανται εξ αρχς
στο διακριτ χρνο, πως για παρδειγμα οι ημερσιες τιμς των μετοχν, τα ετσια στατιστικ πληθυσμν, το
πλθος των δρομολογων ενς λεωφορεου αν ημρα, κλπ. Σε κθε περπτωση, θα καθιστομε σαφς πτε να
σμα πρερχεται απ δειγματοληψα ενς σματος συνεχος χρνου και πτε υπρχει εξ αρχς στο διακριτ χρνο
- θα εναι εμφανς απ τα συμφραζμενα.
Εν γνει, να σμα διακριτο χρνου μπορει να ειναι μιγαδικ, και μλιστα υπρχουν πολλς σημαντικς
εφαρμογς, πως οι ψηφιακς επικοινωνες, που τα μιγαδικ σματα ρχονται στο προσκνιο πολ εκολα. Ενα
μιγαδικ σμα μπορει να εκφραστε ετε ως θροισμα του πραγματικο και του φανταστικο του μρους
z[n] = a[n] + jb[n] = <{z[n]}+ j={z[n]} (11.2)
502 Μια εισαγωγ στα Σματα και Συστματα
... ...
ετε σε πολικ μορφ, με ρους πλτους και φσης ως
z[n] = |z[n]|ej∠z[n] = |z[n]|ej∠{z[n]} (11.3)
που j = √ −1. Το πλτος δνεται απ την κφραση
|z[n]| = √ <2{z[n]}+ =2{z[n]} (11.4)
εν η φση απ τη σχση
∠z[n] = tan−1 ={z[n]} <{z[n]}
(11.5)
η οποα εκφρζεται στο διστημα [−π, π].
Αν η z[n] εναι μιγαδικ ακολουθα, η συζυγς της εναι η z∗[n], και μπορει να υπολογιστε απλ αλλζοντας
το πρσημο του φανταστικο μρους της z[n]:
z∗[n] = <{z[n]} − j={z[n]} = |z[n]|e−j∠{z[n]} (11.6)
Ασφαλς, εμς θα μας απασχολσουν κυρως πραγματικ σματα στο πεδο του διακριτο χρνου, αλλ πως και
στο συνεχ χρνο, θα χρησιμοποισουμε αρκετ το μιγαδικ χρο προς διευκλυνσ μας που απαιτεται! ,
11.1.1 Περιοδικ Σματα
Ενα σμα διακριτο χρνου μπορει να εναι ειτε περιοδικ ετε απεριοδικ. Ενα σμα θεωρεται περιοδικ αν,
για κποιο θετικ ακραιο N , ισχει οτι
x[n] = x[n+N ] (11.7)
για κθε n. Η περιοδος, που συμβολζεται ως N , ειναι ο μικρτερος θετικς ακραιος που ικανοποιε τη Σχ-
ση (11.7). Αν η σχση αυτ δεν ικανοποιεται για καννα ακραιο N , το σμα λγεται απεριοδικ.
Αν x1[n] εναι να περιοδικ σημα με περοδο N1 και x2[n] να περιοδικ σμα με περοδο N2, ττε το θροισμα
x[n] = x1[n] + x2[n] (11.8)
θα εναι πντα περιοδικ και η περιοδς του θα εναι η
N = N1N2
Μ.Κ.Δ{N1, N2} (11.9)
που Μ.Κ.Δ{N1, N2} εναι ο Μγιστος Κοινς Διαιρτης των N1, N2, αν αυτς υπρχει. Εναλλακτικ, μπορετε
να χρησιμοποισετε τη σχση
Κεφλαιο 11. Σματα και Συστματα Διακριτο Χρνου 503
Ομοια ισχει και για το γινμενο, δηλ. το σημα
x[n] = x1[n]x2[n] (11.11)
θα εναι περιοδικ με (πιθαν) περοδο N που δνεται απ τη Σχση (11.9), αν και η πραγματικ (μικρτερη)
περιοδος μπορε να εναι μικρτερη.
Δεδομνης μιας πεπερασμνης διρκειας ακολουθας x[n], να περιοδικ σμα μπορει πντα να δημιουργηθε
‘‘αντιγρφοντας ’’ το x[n] ως
y[n] =
x[n− kN ] (11.12)
που N νας θετικς ακραιος. Σε αυτν την περιπτωση, το y[n] εναι περιοδικ με περιοδο N .
11.1.1.1 Ημτονα Διακριτο Χρνου
Θα ασχοληθομε ιδιατερα με περιοδικ σματα, οπτε εναι καλ να αναφρουμε τι υπρχει μια ‘‘ιδιαιτερτη-
τα’’ στα περιοδικ σματα διακριτο χρνου, που τα ξεχωρζει απ αυτ που χουμε δει στο συνεχ χρνο. Μια
καλ αφορμ για να καταδεξουμε αυτς τις ‘‘ιδιαιτερτητες ’’ αποτελον τα γνωστ μας ημτονα. Θυμστε τι στο
συνεχ χρνο, να ημτονο συχντητας ω0 = 2πf0/fs εναι πντα περιοδικ με περοδο T0 = 2π/ω0 = 1/f0. Στο
διακριτ χρνο μως, να ημτονο cos(ω0n) εναι περιοδικ μνον αν η περοδς του, N , εναι θετικς ακραιος
αριθμς. Ας κνουμε πιο ξεκθαρα τα πργματα...
Αν να ημτονο διακριτο χρνου cos(ω0n) εναι περιοδικ με περοδο N , ττε ικανοποιε τη σχση
cos(ω0n) = cos(ω0(n+N)) = cos(ω0n+ ω0N) (11.13)
Αυτ η σχση ισχει μνον αν το ω0N εναι ακραιο πολλαπλσιο του 2π. Δηλαδ
ω0N = 2πm, m ακραιος αριθμς (11.14)
αλλις ω0
2π = m
N (11.15)
Επειδ και το m και το N εναι θετικο ακραιοι, η παραπνω σχση σημανει τι το ημτονο που συζητμε εναι
περιοδικ μνον αν ο αριθμς ω0
2π (11.16)
εναι ρητς (δηλ. γρφεται ως πηλκο δυο ακεραων). Σε αυτν την περπτωση, μπορομε να βρομε την περοδο
απ τη σχση
N = m 2π
ω0 , m ∈ Z (11.17)
αλλ πρπει να διαλξουμε το μικρτερο δυνατ θετικ m που θα κνει τον αριθμ
m 2π
ω0 (11.18)
ω0 = 4π
13 (11.19)
ττε ο μικρτερος δυνατς θετικς ακραιος m που κνει τον αριθμ
m 2π
ω0 = m
2 (11.20)
ακραιο εναι προφανς m = 2. Για m = 2, η περοδος εναι N = 13 δεγματα.
Η δια ακριβς συζτηση γνεται για οποιοδποτε πιθανς περιοδικ σμα, πως για παρδειγμα το ejω0n που
εδαμε νωρτερα, αφο αποτελεται απ να θροισμα πιθανς περιοδικν σημτων συχντητας ω0, τα cos(ω0n) + j sin(ω0n).
504 Μια εισαγωγ στα Σματα και Συστματα
Παρδειγμα 11.1:
(α) x[n] = ej(πn/6+π/3)
(β) x[n] = ej3πn/4
(γ) x[n] = ej √
() x[n] = ejπn/2 + e−jπn/2
Λση:
ω0 k =
(β) Εναι
ω0 k =
(γ) Εναι
(δ) Εναι
) πn
(11.24)
Για το sin(πn/4), N0 = 2π π 4
= 8k k=1−−→ N0 = 8. Ομως η συνρτηση y[n] = 1
πn δεν εναι περιοδικ, ρα το
γινμενο δεν εναι περιοδικ.
x[n] = e−jπn/10 + e−jn/3 , N1 = 2π π 10
k = 20k k=1−−→ N1 = 20 αλλ N2 =
2π
Δεν υπρχει N2 ∈ Z, ρα το θροισμα δεν εναι περιοδικ.
() Εναι
2
) , N0 =

Πολ δημοφιλες στην ανλυση σημτων διακριτο χρνου εναι οι περφημες μιγαικς εκθετικς συναρτσεις
διακριτο χρνου. Το μιγαδικ εκθετικ σμα xd[n] = ejω0n χει επσης μια ιδιαιτερτητα σε σχση με το
αντστοιχο του συνεχος χρνου, xa(t) = ejω0t. Αυτ η ιδιαιτερτητα εναι τι το xd[n] εναι πντα περιοδικ στο
χρο της συχντητας με περοδο 2π, γιατ
ej(ω0+2π)n = ejω0nej2πn = ejω0n (11.27)
αφο
ej2πn = 1,∀n ∈ Z (11.28)
Αυτ σημανει τι για να καταλβουμε - αργτερα - πς συμπεριφρεται μια μιγαδικ εκθετικ συνρτηση αυτς της
μορφς στο χρο της συχντητας, αρκε να την παρατηρσουμε σε διστημα μιας περιδου 2π, αφο εκτς αυτς
Κεφλαιο 11. Σματα και Συστματα Διακριτο Χρνου 505
επαναλαμβνεται. Συνθως προτιμομε το διστημα (−π, π]. Φυσικ εξακολουθον να ισχουν οι σχσεις του
Euler και για τα μιγαδικ εκθετικ σματα διακριτο χρνου. 1 Αυτ η περιοδικτητα στο χρο της συχντητας μας
λει πρακτικ τι οι συχντητες ω0 και ω0 + 2πk εναι ουσιαστικ διες - χι φυσικ ως τιμς αλλ ως συχντητες
ταλντωσης του σματος διακριτο χρνου. Αυτ ρχεται σε αντθεση με σα γνωρζετε απ τη διασθησ σας
και το συνεχ χρνο, τι δηλαδ σο αυξνουμε τη συχντητα, τσο πιο γργορα ταλαντνεται να σμα. Για
παρδειγμα, το σμα συνεχος χρνου
x(t) = A cos(2πf0t) (11.32)
ταλαντνεται λο και πιο γργορα αν αυξνουμε τη συχντητα f0. Για να ημτονο διακριτο χρνου
x[n] = A cos(ω0n) (11.33)
σο αυξνουμε τη συχντητα ω0 απ το ω0 = 0 ως το ω0 = π, ττε πργματι οι ταλαντσεις του γνονται λο
και πιο γργορες. Ομως, ταν αυξσουμε το ω0 απ ω0 = π ως ω0 = 2π, ττε οι ταλαντσεις του γνονται λο
και πιο αργς! Το διο μοτβο επαναλαμβνεται και μετ το ω0 = 2π, ξεκινντας απ γργορες ταλαντσες γρω
απ το 2π, φτνοντας σε πιο αργς γρω απ το 3π, και ξαν σε πιο γργορες γρω απ το ω0 = 4π. Αντστοιχα, στο διστημα (−π, π], οι γργορες ταλαντσεις γνονται γρω απ τις συχντητες ω0 = ±π, εν
οι πιο αργς (προφανς) γρω απ τη συχντητα ω0 = 0. Για να οπτικ παρδειγμα, δετε το Σχμα 11.2.
Εν γνει λοιπν, οι συχντητες γρω απ περιοχς κοντ στη συχντητα ω0 = 2πk, για k ∈ Z, αναφρονται
ως χαμηλς συχντητες, εν οι αντστοιχες γρω απ περιοχς της μορφς ω0 = π + 2πk, για k ∈ Z, λγονται
υψηλς συχντητες.
11.1.2 Συμμετρικς Ακολουθες
Ενα σμα διακριτο χρνου συχν χει μερικς μορφς συμμετρας που μπορομε να εκμεταλλευτομε. Δυο
ειδν συμμετρες μας εναι ενδιαφρουσες.
Ενα πραγματικ σμα λγεται τι εναι ρτιο αν, για κθε n, ισχει τι
x[n] = x[−n] (11.34)
εν να σμα λγεται τι εναι περιττ αν, για κθε n, ισχει τι
x[n] = −x[−n] (11.35)
Κθε σμα x[n] μπορει να γραφε ως το θροισμα του ρτιου μρους του, xe[n], και του περιττο μρους του,
xo[n], ως
με
και
2 (x[n]− x[−n]) (11.38)
Για μιγαδικ σματα, οι συμμετρες εναι ελαφρ διαφορετικς. Ενα μιγαδικ σημα λγεται τι εναι συζυγς
συμμετρικ ( αλλις ερμητιαν) αν, για κθε n, ισχει τι
x[n] = x∗[−n] (11.39)
και λγεται συζυγς αντισυμμετρικ αν, για κθε n, ισχει
x[n] = −x∗[−n] (11.40)
1 Ντροπ, αλλ τις υπενθυμζουμε :)
cos(θn) = ejθn + e−jθn
... ...
... ...
......
......
n
n
n
n
A
A
A
A
Σχμα 11.2: Το σμα A cos(ω0n) για διφορες τιμς του ω0: σο το ω0 αυξνεται απ το μηδν προς το π (σχματα
(α) → (δ) ), τσο γρηγορτερα ταλαντνεται το σμα. Οσο το ω0 αυξνεται απ το π προς το 2π (σχματα (δ)
→ (α) ), τσο πιο αργς γνονται οι ταλαντσεις του.
Κεφλαιο 11. Σματα και Συστματα Διακριτο Χρνου 507
11.2 Μετασχηματισμο Σημτων
Συχν, θλουμε να τροποποισουμε τα σματα μσω του δεκτη τους, n. Δηλ. θλουμε να κνουμε να
μετασχηματισμ της μορφς
y[n] = x[f [n]] (11.41)
με f [n] μια συνρτηση του n. Οι πιο συχνο μετασχηματισμο περιλαμβνουν την ολσθηση, την αντιστροφ, και
την κλιμκωση 2 . Ας τις δομε αναλυτικ.
11.2.1 Χρονικ ολσθηση
f [n] = n− n0 (11.42)
με n0 ∈ Z. Αν y[n] = x[n − n0] με n0 > 0, το σμα x[n] μετατοπζεται προς τα δεξι κατ n0 δεγματα (η
πρξη αναφρεται ως καθυστρηση), εν μετατοπζεται προς τα αριστερ κατ n0 δειγματα, αν το n0 < 0 (η πρξη
αναφρεται ως προγηση-προπρευση).
(11.43)
Περιγρψτε το σμα που προκπτει απ την καθυστρηση του σματος κατ n0 = 2 δεγματα.
Λση:
Το δεδομνο σμα καθς και το καθυστερημνο κατ n0 = 2 δεγματα φανονται στο Σχμα 11.3. Το σμα
(α) (β)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 91
na 2na
[ ]x n [ 2]x n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 91n n
Σχμα 11.3: (α) Σμα x[n], (β) Καθυστρηση στο χρνο κατ n0 = 2 δεγματα.
x[n− 2] ορζεται ως
x[n− 2] =
0, αλλο
0, αλλο
f [n] = −n (11.45)
και απλ ειναι η ανκλαση του σηματος ως προς τον κατακρυφο ξονα.
2 Τις οποες γνωρζετε δη απ το συνεχ χρνο.
508 Μια εισαγωγ στα Σματα και Συστματα
Παρδειγμα 11.3:
(11.46)
Περιγρψτε το σμα που προκπτει απ την ανκλασ του ως προς τον κατακρυφο ξονα.
Λση:
Τα σματα x[n], x[−n] φανονται στο Σχμα 11.4. Το σμα x[−n] ορζεται ως
(α) (β)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 91
na na
Σχμα 11.4: (α) Σμα x[n], (β) Σμα x[−n].
x[−n] =
0, αλλο
0, αλλο
f [n] = Mn f [n] = n/N (11.48)
που M,N εναι θετικο ακραιοι. Στην πρτη περιπτωση, το σμα x[Mn] σχηματζεται παρνοντας κθε M -
οστο δεγμα απ τη x[n] (αυτ η πρξη λγεται υποδειγματοληψα - downsampling). Με f [n] = n/N , το σμα
y[n] = x[f [n]] ορζεται ως
y[n] =
0, αλλις
Παρδειγμα 11.4:
(11.50)
Περιγρψτε το σμα που προκπτει απ την κλιμκωσ του κατ M = 2 και M = 1/4.
Λση:
Τα σματα x[n], x[2n], και x[n/4] φανονται στο Σχμα 11.5. Το σμα x[2n] ορζεται ως
George Kafentzis
(α)
(β)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 91
na
2na
/4na
n0
Σχμα 11.5: (α) Σμα x[n], (β) Σμα x[2n], (γ) Σμα x[n/4].
x[2n] =
x[n/4] =
0, αλλο

Σημειστε τι οι παραπνω πρξεις εξαρτνται απ τη σειρ που θα τις εφαρμσετε. Για παρδειγμα, για
το μετασχηματισμ x[Mn − n0], πρπει πρτα να μετατοπσετε το σμα x[n] κατ n0 δεξι - και να λβετε το
x[n− n0] - και στη συνχεια να κλιμακσετε το σμα x[n− n0] κατ M - και να λβετε το x[Mn− n0].
11.3 Μερικ Χρσιμα Μοντλα Σημτων
Αν και τα περισστερα σματα που συναντμε στην πρξη στην καθημεριντητ μας μοιζουν πολπλοκες
συναρτσεις του χρνου, υπρχουν τρα απλ αλλ πολ σημαντικ σματα διακριτο χρνου που χρησιμοποιο-
νται πολ συχν στην περιγραφ και αναπαρσταση πιο περπλοκων σημτων.
Αυτ τα σματα εναι η διακριτ συνρτηση Δλτα, η διακριτ βηματικ συνρτηση, και η εκθετικ συνρτηση.
11.3.1 Η Συνρτηση Δλτα Διακριτο Χρνου
Η διακριτ συνρτηση Δλτα, που συμβολζεται με δ[n], ορζεται ως
δ[n] =
510 Μια εισαγωγ στα Σματα και Συστματα
και παιζει τον διο ρολο στην επεξεργασα σματος διακριτο χρνου με τη συνρτηση Δλτα δ(t) που γνωρζετε
στο συνεχ χρνο, με τη διαφορ τι εδ εναι σημαντικ πιο απλ στη χρση και στον ορισμ της 3 . Η συνρτηση
αυτ φανεται στο Σχμα 11.6.
... ...
11.3.2 Η Βηματικ Συνρτηση Διακριτο Χρνου
Η διακριτ βηματικ συνρτηση, που συμβολζεται με u[n], ορζεται ως
u[n] =
u[n] =
n∑ k=−∞
δ[n− k] (11.58)
... ...
δ[n] = u[n]− u[n− 1] (11.59)
3 Θυμηθετε τι η συνρτηση Δλτα συνεχος χρνου, δ(t), εναι κατανομ - αλλις γενικευμνη συνρτηση - και ορζεται απ
τις εξς ιδιτητες:
−∞ δ(t)dt = 1 (11.55)
Κεφλαιο 11. Σματα και Συστματα Διακριτο Χρνου 511
Παρατηρστε τι οι παραπνω σχσεις εναι ανλογες με αυτς που συναντσαμε για τη βηματικ συνρτηση και
συνρτηση Δλτα συνεχος χρνου.
11.3.3 Η Εκθετικ Συνρτηση
x[n] = an (11.60)
που a νας πραγματικς μιγαδικς αριθμς. Γενικτερα, μας ενδιαφρουν εκθετικ του τπου
x[n] = Aan (11.61)
με A, a μιγαδικ (εν γνει). Ττε, αναλοντας τα A, a σε πολικ μορφ, θα χουμε
A = |A|ejφA (11.62)
χουμε
x[n] = Aan = |A|ejφA |a|nejφan = |A||a|nej(φA+φa) (11.64)
Στο Σχμα 11.8 φανονται δυο πραγματικ εκθετικ σματα για 0 < a < 1 και a > 1, αντστοιχα. Επσης,
0 0
(α) (β)
[ ], 0 1nAa u n a [ ], 1nAa u n a
Σχμα 11.8: Εκθετικ σματα διακριτο χρνου για (α) 0 < a < 1 και (β) a > 1.
ιδιατερου ενδιαφροντος εναι τα μιγαδικ εκθετικ σματα της μορφς
ejω0n = cos(nω0) + j sin(nω0) (11.65)
με ω0 πραγματικ αριθμ εκφρασμνο σε radians-ακτνια, ο οποος δεν εναι λλος απ τη συχντητα του σματος.
Σχηματικ, το πραγματικ και το φανταστικ μρος φανονται στο Σχμα 11.9. Οπως θα δομε σντομα, οι
0 0
(α) (β)
A A
Σχμα 11.9: (α) Πραγματικ και (β) φανταστικ μρος μιγαδικο εκθετικο σματος διακριτο χρνου ejω0n.
μιγαδικς εκθετικς συναρτσεις εναι πολ χρσιμες στην ανλυση Fourier των σημτων διακριτο χρνου –
σο χρσιμα ταν τα αντστοιχα συνεχ μιγαδικ εκθετικ στην ανλυση σημτων συνεχος χρνου ,. Αν
συνδυσουμε τη Σχση (11.65) και τη Σχση (11.64) για πραγματικ a, θα χουμε
x[n] = Aanejω0n = |A|anej(ω0n+φA) = |A|an cos(ω0n+ φA) + j|A|an sin(ω0n+ φA) (11.66)
512 Μια εισαγωγ στα Σματα και Συστματα
Αυτ η ακολουθα ταλαντνεται με αυξανμενο πλτος αν |a| > 1, με φθνον πλτος αν |a| < 1. Για |a| = 1, το σμα αποτελεται απ απλ ημτονα και συνημτονα σταθερο πλτους.
Ακριβς ανλογα λοιπν με το συνεχ χρνο, ορζουμε την ποστητα ω0 ως τη συχντητα του σματος, και
την ποστητα φA ως φση του σματος.
11.4 Ανλυση Σματος
Η συνρτηση Δλτα διακριτο χρνου δ[n] μπορει να χρησιμοποιηθε για να αναλσει να σμα σε να θροισμα
συναρτσεων Δλτα με κατλληλα βαρη και μετατοπσεις ως
x[n] = · · ·+ x[−1]δ[n+ 1] + x[0]δ[n] + x[1]δ[n− 1] + x[2]δ[n− 2] + · · · = ∞∑
k=−∞
x[k]δ[n− k] (11.67)
που κθε ρος του αθροσματος, x[k]δ[n−k], εναι μια συνρτηση Δλτα που χει πλτος x[k] τη χρονικ στιγμ
n = k και ειναι μηδν λες τις λλες χρονικς στιγμς.
Παρδειγμα 11.5:
Λση:
Θα πομε τι
x[n] = δ[n] + 2δ[n− 1] + 3δ[n− 2] (11.69)
Μπορομε να προχωρσουμε περαιτρω αν χρησιμοποισουμε τη σχση
δ[n] = u[n]− u[n− 1] (11.70)
χουμε
x[n] = u[n]− u[n− 1] + 2(u[n− 1]− u[n− 2]) + 3(u[n− 2]− u[n− 3]) (11.71)
που δνει

Βλπετε τι παρλο που το σμα εναι να θροισμα βηματικν (δηλ. πειρων σε διρκεια) συναρτσεων, εναι
τελικ πεπερασμνης διρκειας.
11.5 Ενργεια και Ισχς Σματος Διακριτο Χρνου
Ακολουθντας παρμοιο σκεπτικ πως στο συνεχ χρνο, η ενργεια ενς σματος διακριτο χρνου εναι
Ex =
+∞∑ n=−∞
|x[n]|2 (11.73)
Για να χει νημα αυτ η μετρικ θα πρπει, πως φαντζεστε, να δνει πεπερασμνο αποτλεσμα (να μην απειρ-
ζεται δηλαδ). Μια αναγκαα συνθκη για να ισχει αυτ εναι τι το πλτος του σματος πρπει να φθνει στο
μηδν σο n → ±∞. Φυσικ, οποιοδποτε σμα πεπερασμνης διρκειας εναι σμα ενργειας (ικανοποιεται η
Κεφλαιο 11. Σματα και Συστματα Διακριτο Χρνου 513
παραπνω συνθκη). Ενα σμα που η ενργει του εναι πεπερασμνη (0 < E < +∞) λγεται σμα ενργειας.
Σε περιπτσεις που το πλτος του σματος δε φθνει στο μηδν ταν n→ ±∞, χρειαζμαστε μια εναλλακτικ
μετρικ, καθς η ενργεια θα απειρζεται. Αυτ δεν εναι λλη απ την ισχ του σματος, που ορζεται ως
Px = lim N→∞
|x[n]|2 (11.74)
Αν η Px εναι πεπερασμνη (και μη μηδενικ), ττε το σμα λγεται σμα ισχος. Οπως και στο συνεχ χρνο,
να σμα διακριτο χρνου μπορε να εναι ετε σμα ενργειας ετε σμα ισχος, αλλ χι και τα δυο ταυτχρονα.
Επσης, μπορε να μην εναι οτε ενργειας οτε ισχος (πως π.χ. το x[n] = 2nu[n] το x[n] = n).
Σματα Ενργειας και Ισχος
– Το πλτος και η διρκεια του σματος εναι πεπερασμνα.
– Αν το πλτος εναι πεπερασμνο αλλ χι και η διρκεια, ττε αναγκαα συνθκη εναι η x[n]→ 0 ταν |n| → ∞. Η συνθκη αυτ μως δεν εναι και ικαν.
α
– Εμφανζει περιοδικτητα με περοδο N0 και απολτως φραγμνο πλτος, δηλ.
|x[n]| < Mx, ∀n και Mx ∈ < (11.76)
– Δεν εμφανζει περιοδικτητα, αλλ η διρκεια του σματος εναι πειρη με το πλτος του να
εναι απολτως φραγμνο.
x[n] =
(11.75)
φθνει στο μηδν ταν |n| → ∞, η ενργει του εναι πειρη, καθς αποτελε μια αρμονικ σειρ, η οποα γνωρζουμε τι
αποκλνει!
Αν δεν ισχει τποτε απ τα παραπνω, το σμα δεν εναι οτε ενργειας οτε ισχος.
Στον υπολογισμ ττοιων αθροισμτων μας - αλλ και γενικτερα - εναι πολ χρσιμες οι σχσεις του Πνα-
κα 1.5 του Κεφαλαου 1. Ας δομε να παρδειγμα υπολογισμο.
Παρδειγμα 11.6:
E =
+∞∑ n=−∞
Με αλλαγ μεταβλητς, k ← (−n), χουμε
A =
A = 1
E =

Υπολογστε την ισχ του x[n],
P = lim N→+∞
N→+∞
11.6 Συστματα Διακριτο Χρνου
Οπως εδαμε και στο συνεχ χρνο, να συστημα διακριτο χρνου εναι, θεωρητικ, νας μαθηματικς τε-
λεστης μια αντιστοχιση που μετασχηματζει να σμα (την εσοδο) σε να λλο σμα (την ξοδο), μσω ενς
καθορισμνου συνλου απ πρξεις. Η σημειογραφεα T{·} χρησιμοποιεται για να αναπαραστσει εν γνει -
να σστημα. Οι ιδιτητες εισδου-εξδου ενς συστματος μπορον να καθοριστον με πολλος διαφορετικος
τρπους. Η σχση εισδου-εξδου μπορε, για παρδειγμα, να εκφραστει ως
y[n] = x2[n] (11.91)

Κεφλαιο 11. Σματα και Συστματα Διακριτο Χρνου 515
Εναι επσης δυνατν να περιγραφει να σστημα με αλγοριθμικος ρους, που αποτελεται απ εντολς πρξεις
που εφαρμζονται σε ενα σμα εισδου, πως οι
y1[n] = 1
y[n] = y1[n] + y2[n] + y3[n] (11.96)
Θα μποροσε εδ κποιος να αναρωτηθε αν τα συστματα διακριτο χρνου ορζονται κατ ευθεαν στο
διακριτ χρνο μπορον να προλθουν απ κποιου εδους ‘‘δειγματοληψα’’ συστημτων συνεχος χρνου - τα
τελευταα περιγρφονται, πως γνωρζετε δη, απ διαφορικς εξισσεις με σταθερος συντελεστς. Αυτ εναι
μια πολ ενδιαφρουσα και χρσιμη διαισθητικ ερτηση, αξζει λοιπν μιας σντομης απντησης.
11.6.1 Σχση Συστημτων Συνεχος και Διακριτο Χρνου
Εναι προφανς τι κποια φυσικ συστματα ορζονται απ ευθεας στο διακριτ χρνο. Ενα πολ δημοφιλς
παρδειγμα εναι ο τραπεζικς λογαριασμς σας: στω τι κθε μνα n καταθτετε x[n] χρματα σε αυτν. Αν
η τρπεζα σας δνει μηνιαως 1% τκο στις τρχουσες καταθσεις σας, ττε στο τλος κθε μνα θα χετε y[n] χρματα στο λογαριασμ σας. Το σστημα αυτ περιγρφεται απ τη σχση
y[n] = (
1 + 1
) y[n− 1] + x[n] (11.97)
Ενα λλο παρδειγμα εναι η περφημη ακολουθα Fib