Simetría rotacional y traslacional en

el problema de dos cuerpos

P. H. Rivera*

Facultad de Ciencias Físicas

Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú

Ciudad Universitaria, 26 de agosto del 2015

*priverar@unmsm.edu.pe

1

Analizando la evolución temporal de un estado particular |α(0)〉,

|α(t)〉 = exp

−i

ℏHt

|α(0)〉 . (1)

Tenemos otro estado que ha sido trasladado T (a)|α(0)〉 y sobre el cual

observamos su evolución temporal

exp

−i

ℏHt

T (a)|α(0)〉 = T (a) exp

−i

ℏHt

|α(0)〉 = T (a)|α(t)〉 , (2)

aquí hemos considerado que el hamiltoniano conmuta con el operador de trasla-

ción. Y si se llevan a cabo experimentos en un laboratorio movible sin ventanas

no somo capaces a partir de dichos experimentos determinar si el laboratorio

ha sido movido. Porque la diferencia entre la Ec.(1) y la Ec.(2) es la traslación

producida T (a) en la segunda.

Aquí hemos considerado que la invariancia traslacional permite que el mo-

mento lineal del sistema se conserve. Si argumentamos al revés, si el momento

2

lineal es conservado entonces el sistema es invariante traslacionalmente debido

a que el momento lineal es el generador de las traslaciones. Aquí cabe preguntar

¿Qué destruye esta simetría traslacional? De la física clásica conocemos que el

momento lineal de un sistema no se conserva si actúa una fuerza externa sobre

el sistema (segunda ley de Newton).

Para verificar esto coloquemos una tercera carga q sobre el sistema electrón-

protón y que interactúe con el protón en r1 y con el electrón en r2.

El hamiltoniano de los tres cuerpos está dado por

H =p2

1

2m1

+p2

2

2m2

+p2

3

2m3

−e2

4πǫ0|r1 − r2|+

qe

4πǫ0|r1 − r3|−

qe

4πǫ0|r2 − r3|(3)

Si trasladamos el protón, r1 → r1 + a, y el electrón, r2 → r2 + a, el

hamiltoniano, Ec.(3), no queda invariante. Por tanto, el momento lineal total

del sistema no se conserva.

Sin embargo, si acrecentamos nuestra definición de nuestro sistema a tres

3

cuerpos, el sistema de tres cuerpos es invarante ante las traslaciones r1 →

r1 + a, r2 → r2 + a y r3 → r3 + a, luego el momento lineal del sistema de

tres cuerpos se conserva.

Esta invariancia traslacional no es un accidente sino está basado en las

leyes del electromagnetismo y no simplemente en las leyes de la electrostática

coulombiana.

De hecho, todas las interacciones fundamentales como la fuerte, la débil, la

electromagnética y la gravitacional parecen respetar la simetría traslacional, de

esta forma extendemos nuestra definición de un sistema que incluye todos los

cuerpos y todos los campos de interacciones son invariantes traslacionalmente

y por tanto, el momento lineal es constante para todo este sistema con todas

las interacciones posibles.

Cualquier experimento que se realize en ese sistema proporcionará los mis-

mos resultados que cuando los experimentos son realizados en el momento en

que el sistema es trasladado un distancia. Esto implica que el espacio es ho-

4

mogéneo. Sin esta homogeneidad espacial es imposible afirmar que el proceso

radiativo del hidrógeno en la Tierra es equivalente al proceso radiativo en un

medio interestelar muy muy lejano.

1. Coordendas relativas y coordenadas de

centro de masa

El hamiltoniano de un sistema de dos cuerpos se suele definir en función

de las coordenadas relativas y de las coordenadas de centro de masa y no en

función de las coordendas de los cuerpos individuales.

Las definiciones de los operadores de posición relativo y centro de masa son

r = r1 − r2 (4)

R =m1r1 + m2r2

m1 + m2

. (5)

5

Usando las relaciones de conmutación de los operadores de posición r1 y

r2 se demuestra que los conmutadores de las componentes del operador de

posición relativo y las componentes del operador de momento de centro de

masa resulta

[xi, Pj] = 0 . (6)

De la misma forma tenemos que

[Xi, Pj] = iℏδij . (7)

Definimos el operador de momento relativo de la forma

p =m2p1 − m1p2

m1 + m2

(8)

y que satisface las relaciones de conmutación con r,

[xi, pj] = iℏδij (9)

6

y también con R,

[Xi, pj] = 0 (10)

La nueva base para nuestro autoestados de posición del sistema de dos

cuerpos está dado ahora por |r,R〉 y no por los autoestados |r1, r2〉.

En las nuevas coordenadas el hamiltoniano se transforma a la forma

H =P

2M+

p

2µ+ V (|r|) (11)

donde la masa total M es

M = m1 + m2 (12)

y la masa reducida µ del sistema es

µ =m1m2

m1 + m2

. (13)

7

Observando la Ec.(11), podemos reescribirlo como

H = Hcm + Hrel (14)

donde

Hcm =P

2M, (15)

es el operador de energía cinética del centro de masa y

Hrel =p

2µ+ V (|r|) (16)

es el operador de energía relativa del sistema de dos cuerpos.

Consideramos que ambos operadores conmutan, osea [Hcm, Hrel] = 0, luego

existe un conjunto de autokets que son simultáneos a ambos operadores dados

por |Ecm, Erel〉 de modo que se cumple lo siguiente

H|Ecm, Erel〉 = (Hcm + Hrel)|Ecm, Erel〉 = (Ecm + Erel)|Ecm, Erel〉 (17)

8

por tanto, la energía del sistema es E = Ecm + Erel.

Por la Ec.(15), los autoestados del operador P son también autotestados

del operador Hcm, y estos autoestados relacionados con los autoestados del

operador de posición de centro de masa R, se expresan como

〈R|P 〉 =1

(2πℏ)3/2exp

i

ℏP · R

. (18)

Cuando se resuelve el problema de dos cuerpos es común analizar el mismo

en el marco inercial del centro de masa donde P = 0 y la energía total del

sistema es E = Erel, puesto que la energía cinética en el centro de masa de

anula. Luego solo concentramos nuestra atención en el hamiltoniano

H =p

2µ+ V (|r|) . (19)

Este hamiltoniano representa el movimiento de una quasi-partícula de masa

reducida µ moviéndose en un potencial central definido por V (r).

9

Luego, hemos transformado el problema de dos cuerpos a un problema de

una quasi-partícula.

10