Cours 3: Complétude de la logique du premierordre.

Olivier Bournez Ecole Polytechniquebournez@lix.polytechnique.fr INF412

1

Retour sur l’épisode précédent

On a introduit le calcul des prédicats :

§ Syntaxe :

‚ Etant fixée une signature Σ “ pC,F ,Rq, où C, F , R sontrespectivement des symboles de constantes, fonctions etrelations.

‚ On définit la notion de terme, terme clos, formule atomique,formule, formule close sur cette signature.

§ Sémantique :

‚ Etant donnée une structure (réalisation) M de signature Σ dedomaine M,

‚ et pour une valuation v , on définit l’interprétation d’unterme, d’une formule atomique et d’une formule pour cettevaluation.

2

Exemples de signatures

Σ “ pt0, 1u, ts,`u, tImpair ,Premier ,“,ăuq avec les symbolesde constante 0 et 1, les symboles de fonctions s d’arité 1 et `d’arité 2, les symboles de relations Impairs et Premier d’arité1 et “ et ă d’arité 2.

L2 “ ptc , du, tf , g , hu, tRuq avec c , d deux symboles deconstante, f un symbole de fonction d’arité 1, g et h deuxsymboles de fonctions d’arité 2, R un symbole de relationd’arité 2.

3

Exemples de termes

(Convention : x , y , z , . . . désignent des variables, c-à-d deséléments de V).

`px , sp`p1, 1qqq est un terme sur la signature Σ précédentequi n’est pas clos. `p`psp1q,`p1, 1qq, spsp0qqq est un termeclos sur cette même signature.

hpc , xq, hpy , zq, gpd , hpy , zqq et f pgpd , hpy , zqqq sont destermes sur la signature L2.

4

Exemples de formules

@xppPremierpxq ^ x ą 1` 1q ñ Impairpxqq est une formulesur la signature Σ précédente.

Dxpspxq “ 1` 0_ @y x ` y ą spxqq aussi.

Exemples de formules sur la signature L2 :

§ @x@y@zppRpx , yq ^ Rpy , zq ñ Rpx , zqq§ @xDypgpx , yq “ c ^ gpy , xq “ cq§ @x f pxq “ c§ @xDy f pxq “ c

5

Formules closes/non-closes

Les variables libres d’un terme sont les variables quiapparaissent dans ce terme.

L’ensemble `ptq des variables libres d’une formule F sedéfinit inductivement par :

pBq `pRpt1, ¨ ¨ ¨ , tnqq “ `pt1q Y ¨ ¨ ¨ Y `ptnq ;pI q `p G q “ `pG q ;pI q `pG_Hq “ lpG^Hq “ `pG ñ Hq “ `pG ô Hq “ `pG qY`pHq ;pI q `p@xF q “ `pDxF q “ `pF qztxu.

Une formule F est dite close si elle ne possède pas devariables libres.

Exemple :§ La formule @x@zpRpx , zq ñ DypRpy , zq _ y “ zqq est close.

6

Exemples de modèles sur ces signatures

On peut obtenir une réalisation de la signature Σ précédenteen prenant comme ensemble de base les entiers, 0 interprétépar l’entier 0, 1 par l’entier 1, s par la fonction qui à l’entier xassocie x ` 1, ` par la fonction addition, Impair par les entiersimpairs, Premier par les entiers premiers, “ par l’égalité, et ăpar la relation tpx , yq|x ă yu.

§ On peut la noter pN,“,ă, Impair ,Premier , s,`, 0, 1q.

On peut obtenir une réalisation de la signature L2 enconsidérant l’ensemble de base R des réels, en interprétant Rcomme la relation d’ordre ď sur les réels, la fonction f commela fonction qui à x associe x ` 1, les fonctions g et h commel’addition et la multiplication, les constantes c et d comme 0et 1.

§ On peut la noter pR,ď, s,`,ˆ, 0, 1q.

7

Termes :

§ Soit N la structure pN,ď, s,`,ˆ, 0, 1q de signatureL2 “ ptc , du, tf , g , hu, tRuq.

‚ l’interprétation du terme hpd , xq pour une valuation telle quevpxq “ 2 est 2.

‚ l’interprétation du terme f pgpd , hpy , zqqq pour une valuationtelle que vpyq “ 2, vpzq “ 3 est 8.

Formules :

§ Sur cette même structure :‚ @x@y@zppRpx , yq ^ Rpy , zq ñ Rpx , zqq s’interprête en vrai.‚ @xDypgpx , yq “ c ^ gpy , xq “ cq s’interprête en faux.‚ @x f pxq “ c s’interprête en vrai.‚ @xDy f pxq “ c s’interprête en vrai.

§ Sur la structure pR,ď, s,`,ˆ, 0, 1q de même signature ?

8

Pour une formule close F , la satisfaction de F dans lastructure M ne dépend pas de la valuation v .

On dit alors que M est un modèle de F , lorsque F estsatisfaite sur M.

§ On le note M |ù F .

9

Théories

Une théorie T est un ensemble de formules closes sur unesignature donnée. Les formules d’une théorie sont appelées desaxiomes de cette théorie.

Une structure M est un modèle de la théorie T si M est unmodèle de chacune des formules de la théorie.

Une théorie est dite consistante si elle possède un modèle.

On va supposer dans ces transparents que l’on ne considèreque des signatures dénombrables.

10

Graphe

Un graphe orienté peut se voir comme un modèle de la théoriesans axiome sur la signature pH,H, tRuq.

Un graphe non-orienté peut se voir comme un modèle de lathéorie sur la même signature avec l’unique axiome

@x@y pRpx , yq ô Rpy , xqq. (1)

11

Pour la signature pH,H, t“,Ruq, la formule

Dx@yp px “ yq ñ Rpx , yqqest satisfaite sur le premier et pas sur le second.

(Remarque : Sur cette signature comme sur la signatureΣ “ pH,H, tRuq, il n’y a aucun terme).

12

On considère la signature pta, b, cu,H, tRuq

est un modèle de Rpa, bq ^ Rpb, cq ^ Rpa, cq.

Attention :

aussi.

13

Groupe

Un groupe est un modèle égalitaire 1 de la théorie constituéedes deux formules :

@x@y@z x ˚ py ˚ zq “ px ˚ yq ˚ z (2)De@x px ˚ e “ e ˚ x “ x ^ Dypx ˚ y “ y ˚ x “ eqq (3)

sur la signature Σ “ pH, t˚u, t“uq, où ˚ et “ sont d’arité 2.

1. On impose à l’interprétation de “ de correspondre à l’égalité.14

CorpsUn corps commutatif est un modèle égalitaire de la théorieconstituée des formules

@x@y@z px ` py ` zq “ px ` yq ` zq (4)@x@ypx ` y “ y ` xq (5)

@xpx ` 0 “ xq (6)@xDypx ` y “ 0q (7)

@x@y@z x ˚ py ` zq “ x ˚ y ` x ˚ z (8)@x@y@z ppx ˚ yq ˚ zq “ px ˚ py ˚ zqq (9)

@x@y px ˚ y “ y ˚ xq (10)@x px ˚ 1 “ xq (11)

@xDypx “ 0_ x ˚ y “ 1q (12) 1 “ 0 (13)

sur une signature avec deux symboles de constantes 0 et 1,deux symboles de fonctions ` et ˚ d’arité 2, et le symbole derelation “ d’arité 2.

15

Corps de caractéristique p :

§ On ajoute à la théorie précédente la formule Fp définie par1` ¨ ¨ ¨ ` 1 “ 0, où 1 est répété p fois.

Corps de caractéristique 0 :

§ On ajoute à la théorie précédente l’union des formules F2, ¨ ¨ ¨ , Fp pour p un nombre premier.

Corps algébriquement clos :

§ Pour chaque entier n ą 0, on considère la formule Gn

@x0@x1 ¨ ¨ ¨ @xn´1Dxpx0`x1˚x`x2˚x2`¨ ¨ ¨`xn´1˚xn´1`xnq “ 0

où xk est x ˚ ¨ ¨ ¨ ˚ x avec x répété k fois.

§ on ajoute à la théorie précédente l’union des formules Gn pourn ą 0.

16

Exercice : corps réel clos

Un corps réel clos est un corps totalement ordonné F tel quetout élément positif soit un carré et que tout polynôme dedegré impair à coefficients dans F ait au moins une racine dansF.

§ R est un corps réel clos.

Cela correspond à une théorie du calcul des prédicats.

voir sujet PC de demain.

17

Deux formules F et G sont équivalentes si pour toutestructure, et pour toute valuation v les formules F et Gprennent la même valeur de vérité.

§ On note F ” G dans ce cas.

Proposition. Si F une formule alors :

@xF ” Dx F DxF ” @x F@x@yF ” @y@xFDxDyF ” DyDxF

18

Si F et G sont des formules et la variable x n’est pas libre dans Galors :

@xG ” DxG ” G

p@xF _ G q ” @xpF _ G qp@xF ^ G q ” @xpF ^ G qpDxF _ G q ” DxpF _ G qpDxF ^ G q ” DxpF ^ G qpG ^ @xF q ” @xpG ^ F qpG _ @xF q ” @xpG _ F qpG ^ DxF q ” DxpG ^ F qpG _ DxF q ” DxpG _ F qp@xF ñ G q ” DxpF ñ G qpDxF ñ G q ” @xpF ñ G qpG ñ @xF q ” @xpG ñ F qpG ñ DxF q ” DxpG ñ F q

19

Conséquences : formes normalesToute formule F est équivalente à une formule prénexe G .

§ i.e. de la formeQ1x1Q2x2 ¨ ¨ ¨QnxnF

1

où chacun des Qi est soit un quantificateur @, soit unquantificateur D, et F 1 est une formule qui ne contient aucunquantificateur.

Toute formule F est équivalente à une formule prénexe où Gest en forme normale conjonctive.

§ i.e. F 1 est une conjonction de disjonctions de formulesatomiques ou leurs négations.

Toute formule F est équivalente à une formule prénexe où Gest en forme normale disjonctive.

§ i.e. F 1 est une disjonction de conjonctions de formulesatomiques ou leurs négations.

20

Un système de déduction

Il nous faut définir une notion de démonstration

§ c’est-à-dire T $ F .

Les systèmes de déduction (Hilbert-Fregge, déductionnaturelle, résolution, tableaux) du calcul propositionnel segénéralisent au calcul des prédicats.

21

Règle de généralisationPar rapport au calcul propositionnel, on n’utilise plusseulement la règle de modus ponens, mais aussi une règle degénéralisation :

§ si F est une formule et x une variable, la règle degénéralisation déduit @xF de F .

F@xF

Règle troublante ?

§ non, c’est ce que l’on fait dans le raisonnement courantrégulièrement :

‚ si on arrive à prouver F pxq sans hypothèse particulière sur x ,alors on saura que @xF pxq.

22

Axiomes logiques

Les axiomes logiques du calcul des prédicats sont :

1. toutes les instances des tautologies du calcul propositionnel ;

2. les axiomes des quantificateurs, c’est-à-dire

2.1 les formules de la forme pDxF ô @x F q, où F est uneformule quelconque et x une variable quelconque ;

2.2 les formules de la forme p@xpF ñ Gq ñ pF ñ @xGqq où F etG sont des formules quelconques et x une variable qui n’a pasd’occurrence libre dans F ;

2.3 les formules de la forme p@xF ñ F pt{xqq où F est uneformule, t un terme et aucune occurrence libre de x dans F nese trouve dans le champ d’un quantificateur liant une variablede t, où F pt{xq désigne la substitution de x par t.

23

Preuve par modus ponens et généralisation

Soit T une théorie et F une formule.

Une preuve de F à partir de T est une suite finieF1,F2, ¨ ¨ ¨ ,Fn de formules telle que

§ Fn est égale à F ,§ et pour tout i ,

‚ ou bien Fi est dans T ,‚ ou bien Fi est un axiome logique,‚ ou bien Fi s’obtient par modus ponens à partir de deux

formules Fj ,Fk avec j ă i et k ă i ,‚ ou bien Fi s’obtient à partir d’un formule Fj avec j ă i par

généralisation.

Et on note T $ F dans ce cas.

24

ExempleVoici une preuve de @v0@v1F ñ @v1@v0F (à partir de T “ H).

F1 : @v0@v1F ñ @v1F (axiome des quantificateurs 2.3) ;

F2 : @v1F ñ F (axiome des quantificateur 2.3) ;

F3 : p@v0@v1F ñ @v1F q ñ pp@v1F ñ F q ñ p@v0@v1F ñ F qq (instance d’unetautologie) ;

F4 : pp@v1F ñ F q ñ p@v0@v1F ñ F qq(modus ponens à partir de F1 et F3) ;

F5 : p@v0@v1F ñ F q(modus ponens à partir de F2 et F3) ;

F6 : @v0p@v0@v1F ñ F q(par généralisation) ;

F7 : @v0p@v0@v1F ñ F q ñ p@v0@v1F ñ @v0F q(axiome des quantificateurs 2.2) ;

F8 : p@v0@v1F ñ @v0F q(modus ponens à partir de F6 et F7) ;

F9 : @v1p@v0@v1F ñ @v0F q(par généralisation) ;

F10 : p@v1p@v0@v1F ñ @v0F qq ñ p@v0@v1F ñ @v1@v0F q(axiome des quantificateurs 2.2) ;

F11 : p@v0@v1F ñ @v1@v0F q(modus ponens à partir de F9 et F10) ;

25

Théorème de complétude

Ce système de déduction est valide et complet.

§ Rappel : T $ F pour “F se prouve à partir de T ” dans cesystème.

§ Notons : T |ù F pour “tout modèle de T est un modèle de F .”

C’est-à-dire :

Théorème de Validité : Soit T une théorie. Soit F une formuleclose.Si T $ F alors T |ù F .

Théorème de Complétude. Soit T une théorie. Soit F uneformule close.Si T |ù F alors T $ F .

26

Déduction naturelleLa notion de démonstration précédente est pénible à utiliser enpratique.

Une alternative : la déduction naturelle.

Principe :

§ On manipule des couples (appelés séquents) Γ $ A, où Γ estun ensemble fini de formules (propositionnelles) et A est uneformule (propositionnelle).‚ Motivation sous-jacente : Γ $ A exprime le fait que sous les

hypothèses Γ, on a A.

§ On utilise les règles de déduction du transparent suivant‚ i.e. : on définit inductivement l’ensemble des séquents

dérivables par les règles du transparent suivant.‚ Ici, on considère que les formules incluent aussi K, interprété

par faux, et J interprété par vrai.

On dit que F est prouvable à partir de T , noté T $ F siT $ F est un séquent dérivable. F est dite prouvable si elleest prouvable à partir de T “ H.

27

Γ $ Aaxiome pour chaque A P Γ

Γ $ J J-introΓ $ KΓ $ A

K-élimΓ $ A Γ $ B

Γ $ A^ B^-intro

Γ $ A^ B

Γ $ A^-élim

Γ $ A^ B

Γ $ B^-élim

Γ $ A

Γ $ A_ B_-intro

Γ $ A

Γ $ @x A@-intro x non libre dans Γ

Γ $ @x A

Γ $ pt{xqA @-élim

Γ $ B

Γ $ A_ B_-intro

Γ $ A_ B Γ,A $ C Γ,B $ C

Γ $ C_-élim

Γ,A $ B

Γ $ Añ Bñ-intro

Γ $ Añ B Γ $ A

Γ $ Bñ-élim

Γ,A $ KΓ $ A -intro

Γ $ A Γ $ AΓ $ K -élim

Γ $ A_ A tiers exclu

Γ $ pt{xqAΓ $ Dx A

D-introΓ $ Dx A Γ,A $ B

Γ $ BD-élim x non libre dans Γ,B

28

Exemple

Dx A $ A _ Atiers exclu Dx A, A $ A

axiome

Dx A, A $ Dx Aaxiome

Dx A, A $ Aaxiome

Dx A, A $ Dx AD-intro

Dx A, A $ K -élim

Dx A, A $ AK-élim

Dx A $ A_-élim

Dx A $ @x A@-intro

$ Dx Añ @x Añ-intro

29

Théorème de complétude

Ce système de déduction est valide et complet.

§ Rappel : T $ F pour “F se prouve à partir de T ” dans cesystème.

§ Notons : T |ù F pour “tout modèle de T est un modèle de F .”

C’est-à-dire :

Théorème de Validité : Soit T une théorie. Soit F une formuleclose.Si T $ F alors T |ù F .

Théorème de Complétude. Soit T une théorie. Soit F uneformule close.Si T |ù F alors T $ F .

30

Enoncé

On peut construire un (des) système(s) de preuve valide(s) etcomplet(s) :

§ Notons : T $ F pour “F se prouve à partir de T ” dans cesystème.

§ Notons : T |ù F pour “tout modèle de T est un modèle de F .”

C’est-à-dire :

Théorème de Validité : Soit T une théorie. Soit F une formuleclose.Si T $ F alors T |ù F .

Théorème de Complétude. Soit T une théorie. Soit F uneformule close.Si T |ù F alors T $ F .

31

Autre façon de comprendre ce qu’on obtient :

prouvabilité et conséquence sémantique sont les mêmesnotions.

T $ F si et seulement si T |ù F .

32

Une remarque sur les systèmes de preuve

Une théorie T est dite cohérente s’il n’existe pas de formuleF telle que T $ F et T $ F .

Si T n’est pas cohérente, alors T prouve toute formule.

Autrement dit : s’il y a une formule F telle que T $ F etT $ F alors pour toute formule G , on a T $ G et T $ G

§ (pour les preuves à la Hilbert, concaténer une preuve de F , unepreuve de F , ajouter la tautologie pF ñ p F ñ G qq et unmodus ponens).

33

Autres formulations équivalentes du théorème de complétude

3 formulations équivalentes du théorème de Complétude.

1. Pour toute formule F , T |ù F implique T $ F .

2. Pour toute formule F , F n’est pas prouvable à partir de Timplique que T Y t F u possède un modèle.

3. Si T est cohérente, alors T possède un modèle.Démonstration

Equivalences :§ Entre 1. et 2. trivial (contraposé).§ 2. implique 3. : facile (considérer une formule F comme

p ^ p toujours fausse).§ 3. implique 2. :

‚ soit F non prouvable dans T .‚ T Y t Fu est cohérente en utilisant l’observation du

transparent précédent.‚ T Y t Fu possède donc un modèle M.

34

Effet de bord 2

Théorème de Löwenheim-Skolem.

§ Si T une théorie sur une signature dénombrable possède unmodèle, alors elle possède un modèle dont l’ensemble de baseest dénombrable.

2. De la preuve du théorème de complétude.35

Effet de bord 3

Théorème de Compacité.

§ Soit T une théorie.

§ T possède un modèle si et seulement si toute partie finie de Tpossède un modèle.

3. De la nature de ce que l’on appelle une preuve :du fait qu’une preuve fait intervenir un nombre fini de formules.

36

Corps réels clos

Application du théorème de Löwenheim-Skolem :

§ il existe des corps réels clos dénombrables.

‚ (exemple : les réels algébriques QX R).

37

Corps

Application du théorème de compacité :

§ Soit F une formule qui est satisfaite dans tous les corps decaractéristique 0 (sur la signature correspondante).

§ Alors il existe un entier P tel que F est satisfaite dans tous lescorps de caractéristique p ě P.

38

Démonstration :

§ F doit être une conséquence de T Y t F2, ¨ ¨ ¨ , Fp, ¨ ¨ ¨ u.§ F doit être une conséquence d’une partie finie de

T Y t F2, ¨ ¨ ¨ , FPu pour un certain P.

§ Elle doit donc être vraie pour tout p ě P.

39

Aujourd’hui : le monde est beau . . .

On peut construire un (des) système(s) de preuve valide(s) etcomplet(s) :

§ Notons : T $ F pour “F se prouve à partir de T ” dans cesystème.

§ Notons : T |ù F pour “tout modèle de T est un modèle de F .”

C’est-à-dire :

Théorème de Validité : Soit T une théorie. Soit F une formuleclose.Si T $ F alors T |ù F .

Théorème de Complétude. Soit T une théorie. Soit F uneformule close.Si T |ù F alors T $ F .

40

Le prochain épisode : . . .mais très subtil

Théorème d’incomplétude :

§ Il y a cependant des formules closes qui sont vraies sur N maisqui ne sont pas prouvables.

41

Exprimez vous.

Page du cours. Commentaires, avissur les cours et les PCs.

Page du cours:moodle.polytechnique.fr/course/view.php?id=9656.

Commentaires, avis sur les cours et les PCs.www.enseignement.polytechnique.fr/informatique/INF412/AVIS.

42

ANNEXES

SubstitutionsDébut d’une parenthèse : que signifie exactement F pt{xq ?

§ F p4{xq pour F “ @xPpxq :‚ @x Pp4q‚ @x Ppxq ?

Règle 1 : ne substituer que les variables libres.

Mais cela ne suffit pas :

§ F px{yq pour F “ @x Ppx ` yq ?‚ si on écrit @x Ppx ` xq, l’occurence libre de x a été capturée.

Règle 2 : éviter les captures de variables

§ F px{yq pour F “ @x Ppx ` yq est @w Ppw ` xq.§ besoin de renommer.... équivalence alphabétique.

Plus formellement : étape 1.Renommage de variables

Etape 1 : définir ce qu’est le renommage d’une variable liée,appelé α-conversion.

§ on définit pour cela l’échange de deux variables sur F .

§ Notation : pxyqF :

‚ partout où l’on a écrit x lié ou non-lié, on met y et vice-versa.‚ Dx F est identifié avec Dy pxyqF si y R `pF q.‚ @x F est identifié avec @y pxyqF si y R `pF q.

Plus formellement : étape 2.Substitutions

Etape 2 : définir F pt{xq inductivement.

§ sur les termes : trivial.

§ sur les formules qui ne sont pas de la forme DyG ou @yG :inductif.

§ pDy G qpt{xq est Dy G pt{xq si x ‰ y et y R `ptq.§ p@y G qpt{xq est @y G pt{xq si x ‰ y et y R `ptq.§ sinon, renommer y

‚ remplacer pDy Gq par pDz pzyqGq ou p@y Gq par p@z pzyqGqoù z est une variable fraiche (qui n’apparaît nul par ailleurs).

‚ et réappliquer ces règles.

Fin de cette parenthèse.

Théorème de validité

Théorème de Validité : Soit T une théorie. Soit F une formule.Si T $ F , alors tout modèle de T est un modèle de la clôtureuniverselle de F .

Rappel : la clôture universelle de F est la formule@x1@x2 ¨ ¨ ¨ @xnF px1, ¨ ¨ ¨ , xnq, où x1, ¨ ¨ ¨ , xn sont les variableslibres de F .

Théorème de complétude : comment le prouver ?Théorème de Complétude. Soit T une théorie cohérente. AlorsT possède un modèle.

On se donne une signature Σ, une théorie T cohérente.

On veut construire un modèle M de T .

Comment faire ?

§ Pas grand-chose à se mettre sous la dent. . .

§ Idée 1 : considérer les termes clos sur la signature Σ commeensemble de base.

§ Idée 2 : arriver à obtenir que pour toute formule close F ,

M est un modèle de F ssi T $ F

Idée 1

Son ensemble de base (le domaine) est l’ensemble M destermes clos sur la signature Σ de la théorie.

Interprétations ?

1. si c est une constante, l’interprétation cM de c est laconstante c elle-même.

2. si f est un symbole de fonction d’arité n, son interprétationf M est la fonction qui aux termes clos t1, ¨ ¨ ¨ , tn associe leterme clos f pt1, ¨ ¨ ¨ , tnq.

3. si R est un symbole de relation d’arité n, son interprétationRM est le sous-ensemble de Mn constitué des pt1, ¨ ¨ ¨ , tnq telsque T $ Rpt1, ¨ ¨ ¨ , tnq.

Trop naïf sans hypothèses sur T

Cela ne suffit pas.

Illustration d’un premier problème : un seul axiomePpcq _ Qpcq.

§ Les formules Ppcq, Ppcq,Qpcq, Qpcq sontnon-démontrables.

§ Il faut forcer à avoir Ppcq ou Ppcq.§ Remarque : si l’on fixe le choix Ppcq, alors Qpcq sera

prouvable, et donc on aura fixé Qpcq.

Illustration du second problème : deux axiomes Ppcq etDxPpxq.

§ Idée : construire un “témoin” de l’existence d’un objet vérifiantP.

Comment y arriver ?On dit qu’une théorie T est complète si pour toute formuleclose F on a T $ F ou T $ F .

On dit qu’une théorie T admet des témoins de Henkin sipour toute formule F pxq avec une variable libre x , il existe unsymbole de constante c dans la signature tel quepDxF pxq ñ F pcqq soit une formule de la théorie T .

Proposition. Si T est cohérente, complète, et avec des témoinsde Henkin, alors on a la propriété

M est un modèle de F ssi T $ F ,

§ et donc T possède un modèle.

Démonstration de la proposition : par induction (pas trèsdifficile).

Complétion d’une théorie

Proposition. Toute théorie cohérente T sur une signature Σpossède une extension T 1 sur une signature Σ1 (avec Σ1 quicontient Σ) qui est cohérente, complète et avec des témoinsde Henkin.

La signature Σ1 est obtenue en ajoutant un nombredénombrable de nouvelles constantes à la signature Σ.

La signature Σ1 obtenue reste dénombrable et on peuténumérer les formules closes pFnqnPN de Σ1.

La théorie T 1 est obtenue comme l’union d’une suite croissantede théories Tn, définie par récurrence, en partant de T0 “ T .

§ Supposons Tn cohérente construite.

‚ Pour construire Tn`1 on considère la formule Fn`1 dansl’énumération des formules closes de Σ1.

‚ Si Tn Y Fn`1 est cohérente, alors on pose Gn “ Fn`1, sinon onpose Gn “ Fn`1.

‚ Dans les deux cas Tn Y tGnu est cohérente.

La théorie Tn`1 est définie par :

1. Tn`1 “ Tn Y tGnu si Gn n’est pas de la forme DxH.

2. Tn`1 “ Tn Y tGn,Hpc{xqu sinon

‚ où c est un nouveau symbole de constante qui n’apparaît dansaucune formule de Tn Y tGnu ;

‚ il y a toujours un tel symbole, car il y a un nombre fini desymboles de constantes dans Tn Y tGnu.

on montre que par construction la théorie Tn`1 est cohérente.

La théorieT 1 “

ď

nPNTn

est cohérente,

§ puisque tout sous-ensemble fini de celle-ci est contenu dansl’une des théories Tn, et donc est cohérent.

La théorie T 1 est aussi complète :

§ si F est une formule close de Σ1, elle apparaît à un momentdans l’énumération des formules Fn, et par construction, soitFn P Tn soit Fn P Tn.

Enfin la théorie T 1 a des témoins de Henkin :

§ si Hpxq est une formule avec la variable libre x , alors la formuleDxH apparaît comme une formule dans l’énumération desformules Fn.

§ Il y a alors deux cas, soit Fn P Tn`1 ou il y a une constante ctelle que Hpc{xq P Tn`1.

§ Dans les deux cas, on obtient facilementTn`1 $ DxHpxq ñ Hpc{xq,

§ ce qui prouve que pDxHpxq ñ Hpc{xqq est dans T 1‚ (sinon, puisque T 1 est complète, sa négation y serait, et T 1 ne

serait pas cohérente).

Et donc on a prouvé le théorème de complétude.

Retour