II- 1. O átomo de Hidrogênio – Solução de Schrödinger · Estrutura Hiper-Fina – spin...

30
H/D H/D δ H/D H/D γ H/D H/D β H/D H/D m r m r .C r M R M O. ( M m M m r r E r Ze M m , 4 2 2 0 2 y pe = Ψ - Ψ - Ψ - h h z x y ( ) ( ) ( , r R g r R y = Ψ ( j q y , ) ( ) ( m l Y r R r = ( j q y y pe y m , , 4 2 0 2 r E r Ze e r = - - h ( R g E g T R = - m 2 h ( ikR A R g - = exp ) ( estacionário estacionário E translacional translacional Átomo livre Átomo livre y y t i H = h II- 1. O átomo de Hidrogênio – Solução de Schrödinger

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H/DH/Dδδ H/DH/Dγγ H/DH/Dββ H/DH/Dαα

m rm r.C

rM

R MO.

( )MmMm rrEr

ZeMm

,422 0

2

ψπε

=Ψ−Ψ∆−Ψ∆− hh

z

xy ( ) )()(, rRgrR ψ=Ψ

( )ϕθψ ,)()( mlYrRr =

( )ϕθψψπε

ψµ

,,42 0

2

rEr

Zeer =−∆−

h( )RgEg TR =∆−µ2h

( )ikRARg −= exp)(

estacionárioestacionário

EEtranslacionaltranslacional

Átomo livreÁtomo livre

ψψt

iH∂∂

= h

II- 1. O átomo de Hidrogênio – Solução de Schrödinger

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2.a O Momento angular2.a O Momento angular

• Modelo de Sommerfeld

– Hα (ν = 4,57 THz )→ ∆ν = 100 MHz– separação ∝ Z4

• n determina semi-eixo maior de órbita elíptica

– k¬ onde k ≤ n

• degenerescência quebrada pelo efeito de aumento de massa relativístico

+

−+−= )(

43

1 42

22

2

2

, αα Okn

nZ

nZ

RhcE kn

−+==

ρρπεπεZee

rZe

Vre

Vext0

int0 4

14

1a

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2.b O Momento angular 2.b O Momento angular –– e a força centrale a força central

[ ] [ ] 0,, 2 == LL HH

0L =r

dtd

Das constantes de movimento:

)(2

)(2

222 rVvvrVvE r ++=+= ⊥µµ

• Constantes de movimento • Sistema de equações diferenciais

HLL

L

L

zz

y

x

,, 2

2

L

L

( )

+=

==

)(1)(

)()()()(

22 rllr

rmrLrErH

z

ψψ

ψψψψ

h

h

L

)(21

21

)(L21

22

cos12222

2 rVppprVvE rr +++=++= ϕθθµµµµ

( )ϕθψ ,)()( mlYrRr =

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3.a Solução radial3.a Solução radial

( )ϕθψ ,)()( ,m

lln YrRr =

( )ϕθψψπε

ψµ

,,42 0

2

rEr

Zeer =−∆−

h

( ) ( ) ( ) ikrikre BeAerRrRErR

drd

r −+=∞→⇒−=⇒∞→hµ2

2

2Solução assintótica:

( ) ( )R

rll

RrVEdrdR

rdrd

r 222

2

1)(

21 +=−+

• E > 0 • E < 0

( )tkrierA

tr ωψ −= 0),(

( ) ( )

ikE

rbruerurR j

jj

r

=−=

=∋= ∑−

hµκ

κ

2

)(

2

2

2

22

2

2 nZ

RnZmc

En ∞−=−= α( )

)1()1(2 1

+−+−

= −

lljjZjb

b cjj

hµακ

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3.b Funções radiais do H3.b Funções radiais do H

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Degenerescência do níveis de energia

3.c Solução angular3.c Solução angular

( ) 21

0

12 nlgn

l

=+= ∑−

=

• Harmônicos esféricos e autovalores

s p d

s s p s p d

• Inteiros e restritos

210100210

ml

Yml

1−≤ nl

hmLZ = ( )h1+= llL

lml ≤≤−

ϕ∂∂−= hiLZ

∂∂

+

∂∂

∂∂

−= 2

2

222 111

ϕθθθθθ sensensenL h

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3.d Funções angulares do H3.d Funções angulares do H

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4. Orbitais

http://webphysics.davidson.edu/Applets/java11_Archive.html

http://www.uky.edu/~holler/html/orbitals__1.html

http://bouman.chem.georgetown.edu/atomorbs/28.iso3dz2.qt

http://www.shef.ac.uk/chemistry/orbitron/AOs/7g/index.html

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5. Energia e momento angular5. Energia e momento angular

( ) 21

0

12 nlgn

l

=+= ∑−

=Degenerescência do níveis de energia

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6.a Momento magnético do movimento orbital6.a Momento magnético do movimento orbital

•• Momento magnéticoMomento magnético

•• Torque do campo Torque do campo BB

•• Energia potencialEnergia potencial

Brrr

×= µτ Brrr

×= µτ

nIA)r=µ nIA)r=µ

BVrr

⋅−= µ BVrr

⋅−= µ

zBB )r= zBB )r=

lmenevr

rr2ˆ2

1 −=−=µ

revI π2−= 2rA π=

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6.b Transições6.b Transições

••TransiçãoTransição∆∆mm=0=0,,±±11

•• magnetonmagneton de Bohrde Bohr

•• Precessão do momento angularPrecessão do momento angular

BEmBmBm

eV BB µµ =∆⇒==

2h

BEmBmBm

eV BB µµ =∆⇒==

2h

BBg

senlBsen

senlBlB

L γµ

ααµ

ατ

ω ====h

BBg

senlBsen

senlBlB

L γµ

ααµ

ατ

ω ====h

eB m

e2

h=µ

eB m

e2

h=µ

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E = campo E = campo oemoemB = campo externo B = campo externo ctecte..

EE⊥⊥BB EE||||BB EE⊥⊥BB

∆∆m = +1 m = +1 ∆∆m = 0 m = 0 ∆∆m = m = --11

B = 0B = 0

6c. Efeito Zeeman6c. Efeito Zeeman

X ν

ν

νν0

E⊥

E||

B

II

IIII

IIII

II

obse

rvad

orob

serv

ador

E⊥

absorção emissão

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7a. Spin e o momento magnético do e7a. Spin e o momento magnético do e-- –– experimento de experimento de S&GS&G

Ag 5s (1)

????

Bz

Bz

F zz ∂∂

=∂∂

= αµµ cos

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7b. Spin e o momento magnético do e7b. Spin e o momento magnético do e-- -- hipótese de hipótese de U&GU&G

( ) 211 =∴+= ssss h

r ( ) 211 =∴+= ssss h

r

21

21 ,−=∴= ssz mms h 2

12

1 ,−=∴= ssz mms h

0023,22

=∴−=

−=

sBs

ss

gsg

sme

gr

rr

µ

µ

0023,22

=∴−=

−=

sBs

ss

gsg

sme

gr

rr

µ

µ

srsr

sµr

sµr

-e

m0

-e

m0

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7c. Experimento de 7c. Experimento de EinsteinEinstein--HaasHaas

MsS

M

atom

atomrrrr

rr

γγ µ

µ11

0

===

≠=

∑∑∑

MsS

M

atom

atomrrrr

rr

γγ µ

µ11

0

===

≠=

∑∑∑

0=×==

=+=

BMLdtd

cteLSL sol

rrrr

rrr

τ 0=×==

=+=

BMLdtd

cteLSL sol

rrrr

rrr

τ

( )zsolzzzz

solsol

LzsSzsS

LSLSrrr

rrrr

−=−=⇒=

−=⇒==

ˆˆ

ou0,0

( )zsolzzzz

solsol

LzsSzsS

LSLSrrr

rrrr

−=−=⇒=

−=⇒==

ˆˆ

ou0,0ls

Z

Zs

sSM

γγµ

22

≈==∆∆

lsZ

Zs

sSM

γγµ

22

≈==∆∆

ϕτ fiocil

rot mRN

IL

E === 2

222

2h

ϕτ fiocil

rot mRN

IL

E === 2

222

2h

ii

ϕ

pêndulo de pêndulo de torsãotorsão

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7d. Acoplamento spin7d. Acoplamento spin--órbitaórbita

lBr

lBr

sµr

sµr

srsrl

rlr

lBBrr

=int lBBrr

=int

( )EvBBrrrr

×−≅' ( )EvBBrrrr

×−≅'

( ) lrm

Zerv

rZe

Bl

rrrr3

03

0

44 πµ

πµ

=−×= ( ) lrm

Zerv

rZe

Bl

rrrr3

03

0

44 πµ

πµ

=−×=

'' BV sls

rr⋅−= µ '' BV sls

rr⋅−= µ

Calculado assim, ASO é 2x o observado!Calculado assim, ASO é 2x o observado!

( )EvV sls

rrr×⋅= µ' ( )EvV sls

rrr×⋅= µ'

rr

rrV

Eerrr

∂∂

=∇=)(

φrr

rrV

Eerrr

∂∂

=∇=)(

φ ( )rrV

mrrvm

s

Smce

Vls ∂∂

×⋅

−=

)(12

'rr

43421 r

r

µ

( )rrV

mrrvm

s

Smce

Vls ∂∂

×⋅

−=

)(12

'rr

43421 r

r

µ

ouou

Z=1, r3 ~ r03 ⇒ |Bint| ≅ 1 tesla !!!

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[[lablab]]

[e[e--]]

7e. Acoplamento spin-órbita

lBr

lBr

sµr

sµr

srsrl

rlr

'Bdtsd

rep

rrr

×=

µ 'B

dtsd

rep

rrr

×=

µ s

dtsd

dtsd

Treprotñ

rrr

×+

=

ω sdtsd

dtsd

Treprotñ

rrr

×+

=

ω

lsr

Vrmc

gsVV CoulBs

Tlsls

rrrr⋅

∂∂

−=×+= 1

21

' 2

µω lsr

Vrmc

gsVV CoulBs

Tlsls

rrrr⋅

∂∂

−=×+= 1

21

' 2

µω

rV

rmcvr

cva

tCoul

tT ∂∂×

−≅×

=∆Ω

−= +→

1lim 22

1210

2rrr

γγ

δ δω

TsVV ωrr

×+= ' TsVV ωrr

×+= '

ßß

ßßß

ßßvßv

δ

δγδγ

δδ

γγ ×=∆Ω

+=∆

+=+→=

+

1

||2

2

)()()( cttct

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7f. Acoplamento spin7f. Acoplamento spin--órbitaórbita

sljrrr

+= sljrrr

+=

lrlr

srsrjr

[ ]22221 sljsl

rrrrr−−=⋅ [ ]222

21 sljsl

rrrrr−−=⋅

lBr

lBr

sµr

sµr

srsrl

rlr

( ) ( ) ( )[ ]1112, +−+−+= sslljja

V sl ( ) ( ) ( )[ ]1112, +−+−+= sslljja

V sl

( )hr1+= jjj ( )hr1+= jjj

30

4 mrZe

ga BsH πµ

µ= 30

4 mrZe

ga BsH πµ

µ=

2)( 2)(

lsr

Vrmc

gV CoulBs

ls

rr⋅

∂∂

=1

21

2

µ lsr

Vrmc

gV CoulBs

ls

rr⋅

∂∂

=1

21

2

µ

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7f. Acoplamento spin7f. Acoplamento spin--órbitaórbita

( ) ( ) ( )[ ]1112, +−+−+= sslljja

V sl ( ) ( ) ( )[ ]1112, +−+−+= sslljja

V sl

→= 30

4 mrZe

ga Bs πµ

µ →= 30

4 mrZe

ga Bs πµ

µ

))(1( 21

22

++⋅=

lllnZ

Ea nα

∫= dvrm

Zega Bs ψψ

πµ

µ 3*0 1

4 ∫= dvrm

Zega Bs ψψ

πµ

µ 3*0 1

4

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8a. Efeito Zeeman Anômalo8a. Efeito Zeeman Anômalo

jj

rv //µ

sljrrr

+= sljrrr

+= sljrrr

vrrµµµ += slj

rrrvrrµµµ +=

lrlr

srsrjrjr

( )sgl sBjrrv +−= µµ ( )sgl sBjrrv +−= µµ

jµr

jµr

sµr

sµr

lµr

lµr

[ ]jsgjljj

js

Bj

jj

rrrr

hrr

rvv

r ⋅+⋅−=⋅

=µµ

µ [ ]jsgjljj

js

Bj

jj

rrrr

hrr

rvv

r ⋅+⋅−=⋅

=µµ

µ

ljsrrr

−= ljsrrr

−= sjlrrr

−= sjlrrr

−=

[ ]22221 sljjl

rrrrr−+=⋅ [ ]222

21 sljjl

rrrrr−+=⋅ [ ]222

21 lsjjs

rrrrr−+=⋅ [ ]222

21 lsjjs

rrrrr−+=⋅

( )2 ( )2

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8b. Efeito Zeeman Anormal8b. Efeito Zeeman Anormal

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 111111

121 +−+++++−+++

+= llssjjgsslljj

jj sB

jj

µµ rv

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 111111

121 +−+++++−+++

+= llssjjgsslljj

jj sB

jj

µµ rv

Utilizando o fato que Utilizando o fato que ggss~2~2 , temos:, temos:

( ) ( ) ( ) ( )( )12

11111

++−+++

+=∴+=jj

llssjjgjjg JBJjj µµ r

v ( ) ( ) ( ) ( )( )12

11111

++−+++

+=∴+=jj

llssjjgjjg JBJjj µµ r

v

Denominando, por sua vez, Denominando, por sua vez, ggJJ o fator de o fator de LandéLandé

jgj Bjjj

rrh

rµγµ −== jgj Bjjj

rrh

rµγµ −==

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9. Estrutura Hiper9. Estrutura Hiper--Fina Fina –– spin nuclearspin nuclear

BB µµµ1836

12

===p

e

pN m

mme

h BB µµµ1836

12

===p

e

pN m

mme

h

hIZ mI = hIZ mI =( )hr

1+= III ( )hr

1+= IIIjB

rjB

r

IrIr

IgI NINI

r

h

rv µγµ == IgI N

INI

r

h

rv µγµ ==

Iµr

Iµr

jrjr

FrFr

IrIr

IjA

BV lIjI

rr

h

rr

⋅=

⋅−= µ,

IjA

BV lIjI

rr

h

rr

⋅=

⋅−= µ,

[ ]22221 IjFIj

rrrrr−−=⋅ [ ]222

21 IjFIj

rrrrr−−=⋅

jBBrr

=int jBBrr

=int

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9b. Estrutura Hiper9b. Estrutura Hiper--Fina Fina –– spin nuclearspin nuclear

( ) ( )

NzII

lnBsj

g

IgB

µµ

ψµµ

79,258,5

210

32

02

,0

±=⇒=

=∴=r

( ) ( )

NzII

lnBsj

g

IgB

µµ

ψµµ

79,258,5

210

32

02

,0

±=⇒=

=∴=r

( ) ( ) ( )[ ] ∴+−+−+−= 1112, IIjjFFA

V jI ( ) ( ) ( )[ ] ∴+−+−+−= 1112, IIjjFFA

V jI)1( +

=jj

BgA jNI µ

)1( +=

jj

BgA jNI µ

•• Além de depender do momento angular total, Além de depender do momento angular total, jj, o valor do campo, , o valor do campo, que é calculado para a posição que é calculado para a posição r=0r=0 , depende da densidade de , depende da densidade de probabilidade de encontrar o elétron nesta região espacialprobabilidade de encontrar o elétron nesta região espacial

•• No caso do átomo de Hidrogênio temos:No caso do átomo de Hidrogênio temos:

=⇒==10

21,0 FIj

=⇒==10

21,0 FIj

−== 23

20,, 21

21

AV F

−== 23

20,, 21

21

AV F

+== 21

21,, 21

21

AV F

+== 21

21,, 21

21

AV F

λF=0←F=1(12S1/2) = 21cm ? 1.43 GHz

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10. Correção relativística dos termos de energia10. Correção relativística dos termos de energia

+

−=∇==∆ ∫2

1

224*

23

4

23

4 143

881

lnnZ

Edvcmcm

pE nR

αψψ

h

+

−=∇==∆ ∫2

1

224*

23

4

23

4 143

881

lnnZ

Edvcmcm

pE nR

αψψ

h

L+

−+=+

2

22

2

22

2

22

2

81

211

cmp

cmp

cmp L+

−+=+

2

22

2

22

2

22

2

81

211

cmp

cmp

cmp

REEcm

pVm

pE ∆−=+−

+= L23

42

81

2 REEcm

pVm

pE ∆−=+−

+= L23

42

81

2

VmcpcmcEVmpE +−+=⇒+= 2222

2

2 VmcpcmcEVmpE +−+=⇒+= 2222

2

2

∇−→ hip ∇−→ hip

•• Ao invés de utiliza a relação nãoAo invés de utiliza a relação não--relativística entre energia e relativística entre energia e momento, seguimos introduzindo a expressão relativística:momento, seguimos introduzindo a expressão relativística:

•• Aproximando este termo através da expansão em série:Aproximando este termo através da expansão em série:

•• O valor esperado desta correção de energia é:O valor esperado desta correção de energia é:

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11. Desvio 11. Desvio LambLamb ((shiftshift))

•• O problema de um átomo isolado não pode O problema de um átomo isolado não pode ser resolvido sem que este interaja com o ser resolvido sem que este interaja com o campo de radiação eletromagnética.campo de radiação eletromagnética.

•• A interação virtual ocorre mesmo na ausência A interação virtual ocorre mesmo na ausência de fontes.de fontes.

•• Dentro de um intervalo Dentro de um intervalo ∆∆tt < < ¬¬//∆∆E = E = 1/1/ωω, um , um

fóton de energia fóton de energia ¬¬ωω é emitido e novamente é emitido e novamente

reabsorvido sem violar a relação da incerteza.reabsorvido sem violar a relação da incerteza.

rrZe

E pot δπε +−=

14 0

2

rrZe

E pot δπε +−=

14 0

2

0=rδ 0=rδrrr11 ≠

+ δ rrr11 ≠

+ δ

r δrr δr e-e-

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Resumo do Resumo do diagrama de termosdiagrama de termos

Efeito nuclearEfeito nuclearCorreção Correção radiativa QEDradiativa QED

Acoplam. l.s + Acoplam. l.s + acréscimo de acréscimo de massamassa

equação de equação de SchrödingerSchrödingersem spinsem spin

Estrutura Estrutura hiperfinahiperfina

LambLamb--shiftshiftEstrutura fina Estrutura fina (Dirac)(Dirac)

Níveis de Níveis de energia de energia de BohrBohr

=

ESCALA DE ENERGIA

X 100

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0 1 2 3

40

20

0

raio

Pot

enci

al e

fetiv

o15

50−

V r( )

V l r 1,( )

V r( ) V l r 1,( )+

V l r 2,( )

V r( ) V l r 2,( )+

30 r