II- 1. O átomo de Hidrogênio – Solução de Schrödinger · Estrutura Hiper-Fina – spin...
Transcript of II- 1. O átomo de Hidrogênio – Solução de Schrödinger · Estrutura Hiper-Fina – spin...
H/DH/Dδδ H/DH/Dγγ H/DH/Dββ H/DH/Dαα
m rm r.C
rM
R MO.
( )MmMm rrEr
ZeMm
,422 0
2
ψπε
=Ψ−Ψ∆−Ψ∆− hh
z
xy ( ) )()(, rRgrR ψ=Ψ
( )ϕθψ ,)()( mlYrRr =
( )ϕθψψπε
ψµ
,,42 0
2
rEr
Zeer =−∆−
h( )RgEg TR =∆−µ2h
( )ikRARg −= exp)(
estacionárioestacionário
EEtranslacionaltranslacional
Átomo livreÁtomo livre
ψψt
iH∂∂
= h
II- 1. O átomo de Hidrogênio – Solução de Schrödinger
2.a O Momento angular2.a O Momento angular
• Modelo de Sommerfeld
– Hα (ν = 4,57 THz )→ ∆ν = 100 MHz– separação ∝ Z4
• n determina semi-eixo maior de órbita elíptica
– k¬ onde k ≤ n
• degenerescência quebrada pelo efeito de aumento de massa relativístico
+
−+−= )(
43
1 42
22
2
2
, αα Okn
nZ
nZ
RhcE kn
−+==
ρρπεπεZee
rZe
Vre
Vext0
int0 4
14
1a
2.b O Momento angular 2.b O Momento angular –– e a força centrale a força central
[ ] [ ] 0,, 2 == LL HH
0L =r
dtd
Das constantes de movimento:
)(2
)(2
222 rVvvrVvE r ++=+= ⊥µµ
• Constantes de movimento • Sistema de equações diferenciais
HLL
L
L
zz
y
x
,, 2
2
L
L
( )
+=
==
)(1)(
)()()()(
22 rllr
rmrLrErH
z
ψψ
ψψψψ
h
h
L
)(21
21
)(L21
22
cos12222
2 rVppprVvE rr +++=++= ϕθθµµµµ
( )ϕθψ ,)()( mlYrRr =
3.a Solução radial3.a Solução radial
( )ϕθψ ,)()( ,m
lln YrRr =
( )ϕθψψπε
ψµ
,,42 0
2
rEr
Zeer =−∆−
h
( ) ( ) ( ) ikrikre BeAerRrRErR
drd
r −+=∞→⇒−=⇒∞→hµ2
2
2Solução assintótica:
( ) ( )R
rll
RrVEdrdR
rdrd
r 222
2
1)(
21 +=−+
hµ
• E > 0 • E < 0
( )tkrierA
tr ωψ −= 0),(
( ) ( )
ikE
rbruerurR j
jj
r
=−=
=∋= ∑−
hµκ
κ
2
)(
2
2
2
22
2
2 nZ
RnZmc
En ∞−=−= α( )
)1()1(2 1
+−+−
= −
lljjZjb
b cjj
hµακ
3.b Funções radiais do H3.b Funções radiais do H
Degenerescência do níveis de energia
3.c Solução angular3.c Solução angular
( ) 21
0
12 nlgn
l
=+= ∑−
=
• Harmônicos esféricos e autovalores
s p d
s s p s p d
• Inteiros e restritos
⇒
210100210
ml
Yml
1−≤ nl
hmLZ = ( )h1+= llL
lml ≤≤−
ϕ∂∂−= hiLZ
∂∂
+
∂∂
∂∂
−= 2
2
222 111
ϕθθθθθ sensensenL h
3.d Funções angulares do H3.d Funções angulares do H
4. Orbitais
http://webphysics.davidson.edu/Applets/java11_Archive.html
http://www.uky.edu/~holler/html/orbitals__1.html
http://bouman.chem.georgetown.edu/atomorbs/28.iso3dz2.qt
http://www.shef.ac.uk/chemistry/orbitron/AOs/7g/index.html
5. Energia e momento angular5. Energia e momento angular
( ) 21
0
12 nlgn
l
=+= ∑−
=Degenerescência do níveis de energia
6.a Momento magnético do movimento orbital6.a Momento magnético do movimento orbital
•• Momento magnéticoMomento magnético
•• Torque do campo Torque do campo BB
•• Energia potencialEnergia potencial
Brrr
×= µτ Brrr
×= µτ
nIA)r=µ nIA)r=µ
BVrr
⋅−= µ BVrr
⋅−= µ
zBB )r= zBB )r=
lmenevr
rr2ˆ2
1 −=−=µ
revI π2−= 2rA π=
6.b Transições6.b Transições
••TransiçãoTransição∆∆mm=0=0,,±±11
•• magnetonmagneton de Bohrde Bohr
•• Precessão do momento angularPrecessão do momento angular
BEmBmBm
eV BB µµ =∆⇒==
2h
BEmBmBm
eV BB µµ =∆⇒==
2h
BBg
senlBsen
senlBlB
L γµ
ααµ
ατ
ω ====h
BBg
senlBsen
senlBlB
L γµ
ααµ
ατ
ω ====h
eB m
e2
h=µ
eB m
e2
h=µ
E = campo E = campo oemoemB = campo externo B = campo externo ctecte..
EE⊥⊥BB EE||||BB EE⊥⊥BB
∆∆m = +1 m = +1 ∆∆m = 0 m = 0 ∆∆m = m = --11
B = 0B = 0
6c. Efeito Zeeman6c. Efeito Zeeman
X ν
ν
νν0
E⊥
E||
B
II
IIII
IIII
II
obse
rvad
orob
serv
ador
E⊥
absorção emissão
7a. Spin e o momento magnético do e7a. Spin e o momento magnético do e-- –– experimento de experimento de S&GS&G
Ag 5s (1)
????
Bz
Bz
F zz ∂∂
=∂∂
= αµµ cos
7b. Spin e o momento magnético do e7b. Spin e o momento magnético do e-- -- hipótese de hipótese de U&GU&G
( ) 211 =∴+= ssss h
r ( ) 211 =∴+= ssss h
r
21
21 ,−=∴= ssz mms h 2
12
1 ,−=∴= ssz mms h
0023,22
=∴−=
−=
sBs
ss
gsg
sme
gr
rr
µ
µ
0023,22
=∴−=
−=
sBs
ss
gsg
sme
gr
rr
µ
µ
srsr
sµr
sµr
-e
m0
-e
m0
7c. Experimento de 7c. Experimento de EinsteinEinstein--HaasHaas
MsS
M
atom
atomrrrr
rr
γγ µ
µ11
0
===
≠=
∑∑∑
MsS
M
atom
atomrrrr
rr
γγ µ
µ11
0
===
≠=
∑∑∑
0=×==
=+=
BMLdtd
cteLSL sol
rrrr
rrr
τ 0=×==
=+=
BMLdtd
cteLSL sol
rrrr
rrr
τ
( )zsolzzzz
solsol
LzsSzsS
LSLSrrr
rrrr
−=−=⇒=
−=⇒==
ˆˆ
ou0,0
( )zsolzzzz
solsol
LzsSzsS
LSLSrrr
rrrr
−=−=⇒=
−=⇒==
ˆˆ
ou0,0ls
Z
Zs
sSM
γγµ
22
≈==∆∆
lsZ
Zs
sSM
γγµ
22
≈==∆∆
ϕτ fiocil
rot mRN
IL
E === 2
222
2h
ϕτ fiocil
rot mRN
IL
E === 2
222
2h
ii
ϕ
pêndulo de pêndulo de torsãotorsão
7d. Acoplamento spin7d. Acoplamento spin--órbitaórbita
lBr
lBr
sµr
sµr
srsrl
rlr
lBBrr
=int lBBrr
=int
( )EvBBrrrr
×−≅' ( )EvBBrrrr
×−≅'
( ) lrm
Zerv
rZe
Bl
rrrr3
03
0
44 πµ
πµ
=−×= ( ) lrm
Zerv
rZe
Bl
rrrr3
03
0
44 πµ
πµ
=−×=
'' BV sls
rr⋅−= µ '' BV sls
rr⋅−= µ
Calculado assim, ASO é 2x o observado!Calculado assim, ASO é 2x o observado!
( )EvV sls
rrr×⋅= µ' ( )EvV sls
rrr×⋅= µ'
rr
rrV
Eerrr
∂∂
=∇=)(
φrr
rrV
Eerrr
∂∂
=∇=)(
φ ( )rrV
mrrvm
s
Smce
Vls ∂∂
×⋅
−=
)(12
'rr
43421 r
r
µ
( )rrV
mrrvm
s
Smce
Vls ∂∂
×⋅
−=
)(12
'rr
43421 r
r
µ
ouou
Z=1, r3 ~ r03 ⇒ |Bint| ≅ 1 tesla !!!
[[lablab]]
[e[e--]]
7e. Acoplamento spin-órbita
lBr
lBr
sµr
sµr
srsrl
rlr
'Bdtsd
rep
rrr
×=
µ 'B
dtsd
rep
rrr
×=
µ s
dtsd
dtsd
Treprotñ
rrr
×+
=
−
ω sdtsd
dtsd
Treprotñ
rrr
×+
=
−
ω
lsr
Vrmc
gsVV CoulBs
Tlsls
rrrr⋅
∂∂
−=×+= 1
21
' 2
µω lsr
Vrmc
gsVV CoulBs
Tlsls
rrrr⋅
∂∂
−=×+= 1
21
' 2
µω
rV
rmcvr
cva
tCoul
tT ∂∂×
−≅×
=∆Ω
−= +→
1lim 22
1210
2rrr
γγ
δ δω
TsVV ωrr
×+= ' TsVV ωrr
×+= '
ßß
ßßß
ßßvßv
δ
δγδγ
δδ
γγ ×=∆Ω
+=∆
+=+→=
+
⊥
1
||2
2
)()()( cttct
7f. Acoplamento spin7f. Acoplamento spin--órbitaórbita
sljrrr
+= sljrrr
+=
lrlr
srsrjr
[ ]22221 sljsl
rrrrr−−=⋅ [ ]222
21 sljsl
rrrrr−−=⋅
lBr
lBr
sµr
sµr
srsrl
rlr
( ) ( ) ( )[ ]1112, +−+−+= sslljja
V sl ( ) ( ) ( )[ ]1112, +−+−+= sslljja
V sl
( )hr1+= jjj ( )hr1+= jjj
30
4 mrZe
ga BsH πµ
µ= 30
4 mrZe
ga BsH πµ
µ=
2)( 2)(
lsr
Vrmc
gV CoulBs
ls
rr⋅
∂∂
−
=1
21
2
µ lsr
Vrmc
gV CoulBs
ls
rr⋅
∂∂
−
=1
21
2
µ
7f. Acoplamento spin7f. Acoplamento spin--órbitaórbita
( ) ( ) ( )[ ]1112, +−+−+= sslljja
V sl ( ) ( ) ( )[ ]1112, +−+−+= sslljja
V sl
→= 30
4 mrZe
ga Bs πµ
µ →= 30
4 mrZe
ga Bs πµ
µ
))(1( 21
22
++⋅=
lllnZ
Ea nα
∫= dvrm
Zega Bs ψψ
πµ
µ 3*0 1
4 ∫= dvrm
Zega Bs ψψ
πµ
µ 3*0 1
4
8a. Efeito Zeeman Anômalo8a. Efeito Zeeman Anômalo
jj
rv //µ
sljrrr
+= sljrrr
+= sljrrr
vrrµµµ += slj
rrrvrrµµµ +=
lrlr
srsrjrjr
( )sgl sBjrrv +−= µµ ( )sgl sBjrrv +−= µµ
jµr
jµr
sµr
sµr
lµr
lµr
[ ]jsgjljj
js
Bj
jj
rrrr
hrr
rvv
r ⋅+⋅−=⋅
=µµ
µ [ ]jsgjljj
js
Bj
jj
rrrr
hrr
rvv
r ⋅+⋅−=⋅
=µµ
µ
ljsrrr
−= ljsrrr
−= sjlrrr
−= sjlrrr
−=
[ ]22221 sljjl
rrrrr−+=⋅ [ ]222
21 sljjl
rrrrr−+=⋅ [ ]222
21 lsjjs
rrrrr−+=⋅ [ ]222
21 lsjjs
rrrrr−+=⋅
( )2 ( )2
8b. Efeito Zeeman Anormal8b. Efeito Zeeman Anormal
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 111111
121 +−+++++−+++
+= llssjjgsslljj
jj sB
jj
µµ rv
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 111111
121 +−+++++−+++
+= llssjjgsslljj
jj sB
jj
µµ rv
Utilizando o fato que Utilizando o fato que ggss~2~2 , temos:, temos:
( ) ( ) ( ) ( )( )12
11111
++−+++
+=∴+=jj
llssjjgjjg JBJjj µµ r
v ( ) ( ) ( ) ( )( )12
11111
++−+++
+=∴+=jj
llssjjgjjg JBJjj µµ r
v
Denominando, por sua vez, Denominando, por sua vez, ggJJ o fator de o fator de LandéLandé
jgj Bjjj
rrh
rµγµ −== jgj Bjjj
rrh
rµγµ −==
9. Estrutura Hiper9. Estrutura Hiper--Fina Fina –– spin nuclearspin nuclear
BB µµµ1836
12
===p
e
pN m
mme
h BB µµµ1836
12
===p
e
pN m
mme
h
hIZ mI = hIZ mI =( )hr
1+= III ( )hr
1+= IIIjB
rjB
r
IrIr
IgI NINI
r
h
rv µγµ == IgI N
INI
r
h
rv µγµ ==
Iµr
Iµr
jrjr
FrFr
IrIr
IjA
BV lIjI
rr
h
rr
⋅=
⋅−= µ,
IjA
BV lIjI
rr
h
rr
⋅=
⋅−= µ,
[ ]22221 IjFIj
rrrrr−−=⋅ [ ]222
21 IjFIj
rrrrr−−=⋅
jBBrr
=int jBBrr
=int
9b. Estrutura Hiper9b. Estrutura Hiper--Fina Fina –– spin nuclearspin nuclear
( ) ( )
NzII
lnBsj
g
IgB
µµ
ψµµ
79,258,5
210
32
02
,0
±=⇒=
=∴=r
( ) ( )
NzII
lnBsj
g
IgB
µµ
ψµµ
79,258,5
210
32
02
,0
±=⇒=
=∴=r
( ) ( ) ( )[ ] ∴+−+−+−= 1112, IIjjFFA
V jI ( ) ( ) ( )[ ] ∴+−+−+−= 1112, IIjjFFA
V jI)1( +
=jj
BgA jNI µ
)1( +=
jj
BgA jNI µ
•• Além de depender do momento angular total, Além de depender do momento angular total, jj, o valor do campo, , o valor do campo, que é calculado para a posição que é calculado para a posição r=0r=0 , depende da densidade de , depende da densidade de probabilidade de encontrar o elétron nesta região espacialprobabilidade de encontrar o elétron nesta região espacial
•• No caso do átomo de Hidrogênio temos:No caso do átomo de Hidrogênio temos:
=⇒==10
21,0 FIj
=⇒==10
21,0 FIj
−== 23
20,, 21
21
AV F
−== 23
20,, 21
21
AV F
+== 21
21,, 21
21
AV F
+== 21
21,, 21
21
AV F
λF=0←F=1(12S1/2) = 21cm ? 1.43 GHz
10. Correção relativística dos termos de energia10. Correção relativística dos termos de energia
+
−=∇==∆ ∫2
1
224*
23
4
23
4 143
881
lnnZ
Edvcmcm
pE nR
αψψ
h
+
−=∇==∆ ∫2
1
224*
23
4
23
4 143
881
lnnZ
Edvcmcm
pE nR
αψψ
h
L+
−+=+
2
22
2
22
2
22
2
81
211
cmp
cmp
cmp L+
−+=+
2
22
2
22
2
22
2
81
211
cmp
cmp
cmp
REEcm
pVm
pE ∆−=+−
+= L23
42
81
2 REEcm
pVm
pE ∆−=+−
+= L23
42
81
2
VmcpcmcEVmpE +−+=⇒+= 2222
2
2 VmcpcmcEVmpE +−+=⇒+= 2222
2
2
∇−→ hip ∇−→ hip
•• Ao invés de utiliza a relação nãoAo invés de utiliza a relação não--relativística entre energia e relativística entre energia e momento, seguimos introduzindo a expressão relativística:momento, seguimos introduzindo a expressão relativística:
•• Aproximando este termo através da expansão em série:Aproximando este termo através da expansão em série:
•• O valor esperado desta correção de energia é:O valor esperado desta correção de energia é:
11. Desvio 11. Desvio LambLamb ((shiftshift))
•• O problema de um átomo isolado não pode O problema de um átomo isolado não pode ser resolvido sem que este interaja com o ser resolvido sem que este interaja com o campo de radiação eletromagnética.campo de radiação eletromagnética.
•• A interação virtual ocorre mesmo na ausência A interação virtual ocorre mesmo na ausência de fontes.de fontes.
•• Dentro de um intervalo Dentro de um intervalo ∆∆tt < < ¬¬//∆∆E = E = 1/1/ωω, um , um
fóton de energia fóton de energia ¬¬ωω é emitido e novamente é emitido e novamente
reabsorvido sem violar a relação da incerteza.reabsorvido sem violar a relação da incerteza.
rrZe
E pot δπε +−=
14 0
2
rrZe
E pot δπε +−=
14 0
2
0=rδ 0=rδrrr11 ≠
+ δ rrr11 ≠
+ δ
r δrr δr e-e-
Resumo do Resumo do diagrama de termosdiagrama de termos
Efeito nuclearEfeito nuclearCorreção Correção radiativa QEDradiativa QED
Acoplam. l.s + Acoplam. l.s + acréscimo de acréscimo de massamassa
equação de equação de SchrödingerSchrödingersem spinsem spin
Estrutura Estrutura hiperfinahiperfina
LambLamb--shiftshiftEstrutura fina Estrutura fina (Dirac)(Dirac)
Níveis de Níveis de energia de energia de BohrBohr
=
ESCALA DE ENERGIA
X 100
0 1 2 3
40
20
0
raio
Pot
enci
al e
fetiv
o15
50−
V r( )
V l r 1,( )
V r( ) V l r 1,( )+
V l r 2,( )
V r( ) V l r 2,( )+
30 r