©Selfstu 

Relation

Let us  cpressuregas rises

Given:  

P = cons

α = Area

ΔT= rise

dx = The

dv = α d

Cp & Cv respecti

Q be the

Althougthem to

Step 1: T

Let Q1 b

Q1 = 1. C

Step II : force  P 

Let Q2 =

Q2 = P x

 

udy.in               

n between C

consider 1 kge. Some heas. 

stant pressur

a of cross sec

 in temperat

e distance AB

x = The incre

= Molar spevely. 

e heat suppli

h both the c be occurring

The volume i

be the heat r

Cv.dT     Joul

The volume x α  

= energy requ

x (α x dx ) = P

Re

          IEMS ‐ 

p and Cv: To

g mole of a t is supplied

 

re applied on

ction of the p

ture of the g

B through wh

ease in volum

ecific heat ca

ied. 

hanges take g in steps fir

is assumed t

equired for t

es                  

of the gas th

uired to do t

P x dv  Joules

elation B

High School T

o prove Cp‐C

perfect gasd to the gas 

n the piston

piston 

as 

hich the pisto

me of the gas

pacities of th

place simultst the tempe

to be constan

that 

 (1)  

hen increase

the mechanic

s                (2) 

Between 

Tutorial Clas

Cv = R 

s enclosed  inexternally th

on is pushed

s. 

he gas at con

taneously buerature chan

nt and the te

es  by pushing

cal work in p

 

Cp and 

s Notes Gene

n a  cylinder he temperat

d up 

nstant pressu

ut for convennges and the

emperature r

g the piston 

pushing the p

Cv

eral Physics  

fitted with ure as well a

ure and cons

nience of calcn volume ch

rises by dT a

up by a dista

piston up. 

a piston at as the volum

stant volume

culation we anges. 

nd  

ance dx agai

 

Page 1 

constant me of the 

e 

assume 

nst a 

  Relation Between Cp and Cv    

©Selfstudy.in                         IEMS ‐ High School Tutorial Class Notes General Physics   Page 2  

Since Q1 and Q2 are the part of the total heat supplied to the gas Q hence  

Q = Q1 + Q2                           (3) 

But if we look at the change as a whole we find that Q heat rises the temperature of  

1 kg mole of the gas by dT at constant pressure. 

Q = 1. Cp.dT                            (4) 

Putting equation (1), (2) and (4) in (3) 

CpdT = CvdT + Pdv  

Cp – Cv = P.dv/dT                         (5) 

For perfect gas the equation is        PV = nRT  

For 1 kg Mole n = 1                           PV = RT 

Differentiating with P constant           P dv/dT = R                      (6) 

Putting equation (6) in (5) we get 

Cp – Cv = R                       (7) 

If M be  the molecular   weight of  the gas and cp & cv are  the ordinary  specific heat of  the gas at constant pressure and constant volume respectively then  

Mcp – Mcv = R 

cp – cv =R/M = γ  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

©Selfstu 

Transfor

(i) Press

(ii) Volum

(iii) Tem

If one of

Isothermthe chan

For Isoth

Generala gas is r

Adiabator no hebetweenthe  systsudden 

Relation

Let us cosupplied

 

 

Althougthem to

Step 1: Lamount 

udy.in               

rmation of H

ure 

me 

mperature 

f these chang

mal Transfornge is known

hermal chan

ly slow chanrelated by PV

tic Process: Weat  is allowen the systemtem  is  thermchanges are 

n between p

onsider 1 kg d to the gas t

h both the c be occurring

Let the volumof heat abso

Re

          IEMS ‐ 

Heat: The sta

ges the state

rmation: Whn as Isotherm

ge ΔT = 0 

nges are treaV= constant 

When the staed  to enter m and the sumally  insulattreated as a

ressure, volu

mole of a pethe temperat

 

hanges take g in steps. 

me remain coorbed by the

elation B

High School T

ate of a gas c

e of the gas c

hen the statemal change.

ated as Isothwhen tempe

ate of a gas iinto  the sysurrounding  isted  from  theadiabatic. 

ume and tem

erfect gas enture as well 

place simult

onstant and e gas for this 

Let ΔQ = Am

P = Pressure

α  = Area of

dT = Rise in 

dx  = AB = T

dv = α dx =T

Cp & Cv = Mconstant vo

Between 

Tutorial Clas

can be repres

changes. 

e of a gas is c

ermal. In isoerature is co

is changed sotem  from  ths zero the che  surroundin

mperature o

nclosed in a cas volume o

taneously bu

the temperachange 

mount of hea

e applied on 

f cross sectio

temperatur

The distance 

The increase

Molar specificolume respec

Cp and 

s Notes Gene

sented by th

hanged keep

othermal pronstant (Boyle

o that no hehe surroundihange  is knong  the  chan

of a gas in ad

cylinder fittef the gas inc

ut for conven

ature rises by

at supplied to

the piston.

on of the pist

e of the gas

through whi

 in volume o

c heat capacctively. 

Cv

eral Physics  

hree variable

ping its temp

ocess the prees law). 

at is alloweding  i.e. exchown as Adiabge  is  adiaba

diabatic trans

d with a pistreases. 

nience of calc

y dT only and

o the gas 

ton 

ich the pisto

of the gas 

cities of the g

s  

perature con

essure and vo

d to leave thange of heabatic processatic  ΔQ=0. G

sformation: 

ton. If some 

culation we 

d let Q1 be t

n is pushed 

gas at consta

 

Page 3 

nstant 

olume of 

e system at energy s. Thus  if Generally 

heat is 

assume 

the 

up 

ant pressure and 

  Relation Between Cp and Cv    

©Selfstudy.in                         IEMS ‐ High School Tutorial Class Notes General Physics   Page 4  

Q1 = 1.Cv.dT   Joules                         (1)  

Step II: Temperature remains constant at T + dT and the volume of the gas increases by dv  

Let Q2 = Amount of heat energy absorbed by gas in doing the mechanical work, in pushing the piston up by a distance dx against a force (Pxα) 

 

Since both the parts of heat absorbed are obtained from the supplied heat  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) ( ) (2) Joules PdvdxαPdxαPQ2 →=××=×=∴

ConstantCC

re Whe0V

dVP

dP

0V

dVCC

PdP

PVCby sidesboth Dividing

0PdVC VdpC

0PdVCv-CpVdP PdVC

: (3)in (4)equation Putting

(4)Cv-CpVdP PdV

dTVdP PdVdT

RdT VdP PdV : atingDifferentiRT PV

) 1 n here ( nRT PV gasperfect aFor (3)0PdVdTC

0 ΔQation transformadiabaticFor PdVdTCΔQ

QQΔQheat supplied from absorbedheat theof partsboth Since

v

p

v

p

p

pv

v

v

v

21

===+

=+

=+

=++

→+

=+

=

=+=

==→=+

=+=

+=

γγ

(9)constantPT

constantP

RTP

(7) and )equation(5 From(8)constantTV

constantV

RT(6) & )(5equation From

)7(P

RTV

(6) V

RTP

RT PV that know We(5)constant

constant antilog Taking

constant log

constantloglog

0VdV

PdP

:sidesboth gIntegratin

1

1-

constante

ee

→=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→=

=

→=

→=

=→=

==

=

=+

=+

−

∫ ∫ ∫

γγ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

V

PVePV

PV

VP