jiMTNORCalcul lmentaire de la courbure en un point birgulierOn considre la fonction angulaire associe qui est langle entre Or etT , =

i.T

do, en paramtriques :T:

cos sin

=

drd:dnd:

=

drdt d:dtdndtd:dt

et:

sin cos

En polaires, on a : = + \Thorme : Avec les notations prcdentes, on a : =dd:1 =d:dDmonstration :T:

cos sin

quon drive par rapport :. Do dTd:= :

sin dd:cos dd:

.Ce qui donne immdiatement : =dd: .Sup&SpTSIRsumdeCoursMathmatiquesChristophe CaignaertLyce Colbert 59200 Tourcoinghttp://c.caignaert.free.frAnne scolaire 2002 2003Nouveauts 2002 2003PEU de changements dans la prsentation cette anne. Ona bien sr relu, complt le contenu et corrig quelquesbogues : quon se rassure, il en reste ! Un grand merci auxlecteurs attentifs.Les ajouts sont principalement des gures et des consid-rations lmentaires.Ce document est disponible sur mon site personnel :http://c.caignaert.free.frCesitecontientgalementuncourscompletdeSpTSI,tant en pdf quen html.Il a t crit sous pdfTeX, une version spcique de LaTeXqui produit directement des chiers au format pdf.: Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.frSommaireI Algbre 71 Groupes 71-1 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71-2 Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . 71-3 Morphisme de groupe . . . . . . . . . 72 Formule du Binme 72-1 Coefcients binomiaux. . . . . . . . . 72-2 Formule du Binme et autres . . . . . 73 Nombres Complexes 83-1 Nombres Complexes . . . . . . . . . . 83-2 Racines dun nombre complexe . . . . 84 Polynmes 84-1 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84-2 Division Euclidienne . . . . . . . . . . 95 Fractions Rationnelles 95-1 Dcomposition en lments simples . 95-2 Conseils pratiques . . . . . . . . . . . . 106 Espaces Vectoriels 106-1 Structure despace vectoriel . . . . . . 106-2 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . 106-3 Somme de sous-espaces vectoriels . . 106-4 Norme sur un espace vectoriel . . . . 106-5 Esp. vect. de dim. nie : base . . . . . . 116-6 Espaces vectoriels usuels. . . . . . . . 117 Applications Linaires 117-1 Applications linaires . . . . . . . . . . 117-2 Image et noyau . . . . . . . . . . . . . 127-3 Projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . 127-4 Thorme du rang . . . . . . . . . . . 127-5 Systme linaire. . . . . . . . . . . . . 138 Matrices 138-1 Gnralits. . . . . . . . . . . . . . . . 138-2 Gnralits sur les matrices carres. . 148-3 Matrice dune application linaire . . . 148-4 Matrice de Passage . . . . . . . . . . . 148-5 Changements de base . . . . . . . . . . 159 Dterminants 159-1 Ordre 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 159-2 Matrice triangulaire . . . . . . . . . . . 159-3 Ordre quelconque. . . . . . . . . . . . 159-4 Dterminant dun produit . . . . . . . 159-5 Dt. dune mat. triangulaire par blocs 1610Rduction des Endomorphismes 1610-1 Valeurs propres et vecteurs propres . . 1610-2 Polynme caractristique . . . . . . . . 1610-3 Diagonalisibilit. . . . . . . . . . . . . 1610-4 Diagonalisibilit et diagonalisation. . 1610-5 Triangularisation . . . . . . . . . . . . 1710-6 Puissances dune matrice . . . . . . . . 1711Espaces Prhilbertiens Rels et Euclidiens 1711-1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . 1711-2 Esp. vect. prhilbertiens et euclidiens . 1811-3 Ingalits. . . . . . . . . . . . . . . . . 1811-4 Endomorphismes symtriques . . . . 1811-5 Matrice symtrique relle . . . . . . . 1811-6 Procd de Schmidt. . . . . . . . . . . 1911-7 Projection sur un s-e-v de dim. nie . 1912Groupe Linaire et Groupe Orthogonal 1912-1 Groupe linaire . . . . . . . . . . . . . 1912-2 Groupe orthogonal . . . . . . . . . . . 1913Structure dAlgbre 2013-1 Algbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013-2 Sous-algbre . . . . . . . . . . . . . . . 2013-3 Algbres usuelles . . . . . . . . . . . . 20II Analyse 2114Suites 2114-1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114-2 Sous-suites. . . . . . . . . . . . . . . . 2114-3 Suites vectorielles . . . . . . . . . . . . 2114-4 Suites relles ou complexes . . . . . . 2114-5 Suites relles. . . . . . . . . . . . . . . 2114-6 Suites rcurrentes . . . . . . . . . . . . 2214-7 Suites rcurrentes linaires . . . . . . . 2215Fonctions R R 2315-1 Ensemble de dnition. . . . . . . . . 2315-2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . 2315-3 Limite et continuit . . . . . . . . . . . 2315-4 Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . 2315-5 Equivalents . . . . . . . . . . . . . . . 2416Drivabilit 2416-1 Somme et produit . . . . . . . . . . . . 2416-2 Drive dune fonction compose . . . 2416-3 Drive et prolongement par continuit 2416-4 Th. de Rolle, T.A.F., Formules de Taylor 2516-5 Dveloppements limits . . . . . . . . 2516-6 Oprations sur les d|n . . . . . . . . . . 2516-7 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . 2617Trigonomtrie 2717-1 Proprits lmentaires . . . . . . . . . 2717-2 Symtries . . . . . . . . . . . . . . . . . 2917-3 Arc double. . . . . . . . . . . . . . . . 2917-4 Sommes darcs . . . . . . . . . . . . . . 3017-5 Transformation de produits en sommes 3017-6 Transformation de sommes en produits 3017-7 Formule de Moivre . . . . . . . . . . . 3017-8 Fonctions rciproques . . . . . . . . . 30Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr 17-9 Pour le calcul intgral . . . . . . . . . . 3018Recherche de primitives 3118-1 Fraction rationnelle en r . . . . . . . . 3118-2 Fractions rationnelles diverses . . . . . 3118-3 Polynmeexponentielle. . . . . . . 3218-4 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . 3219Intgrale de Riemann 3219-1 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . 3219-2 Ingalits. . . . . . . . . . . . . . . . . 3219-3 Thorme des 3 conditions . . . . . . . 3419-4 Intgrale dpendant dune borne . . . 3419-5 Continuit et drivation sous

. . . . . 3419-6 Int. par parties et chang. de variable . 3419-7 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . 3520Intgrale gnralise 3520-1 Convergence. . . . . . . . . . . . . . . 3520-2 Fonctions positives . . . . . . . . . . . 3520-3 Thorme des 3 conditions . . . . . . . 3620-4 Int. par parties et chang. de variable . 3620-5 Un procd de convergence . . . . . . 3620-6 Continuit et drivation sous

. . . . . 3720-7 Ensemble de dnition. . . . . . . . . 3721Intgrales doubles et triples 3721-1 Description hirarchique du domaine 3721-2 Calcul dAires et de Volumes . . . . . 3821-3 Inclusion des domaines . . . . . . . . . 3921-4 Changement de variables . . . . . . . 3922Sries numriques (relles ou complexes) 4122-1 Convergence et Convergence Absolue 4122-2 Sries gomtriques . . . . . . . . . . . 4122-3 Sries positives . . . . . . . . . . . . . 4122-4 Critre spcial des sries alternes . . 4222-5 Comparaison srie-intgrale. . . . . . 4222-6 Suite et srie des diffrences . . . . . . 4322-7 Calcul exact de sommes de sries . . . 4322-8 Calcul approch de sommes de sries 4323Sries Entires 4423-1 Rayon de convergence . . . . . . . . . 4423-2 Convergence. . . . . . . . . . . . . . . 4423-3 Somme de deux sries entires . . . . 4523-4 Dveloppement en srie entire. . . . 4523-5 Sries entires usuelles . . . . . . . . . 4523-6 Sr. ent. solution dune quation diff.. 4524Sries de Fourier 4624-1 Coefcients de Fourier . . . . . . . . . 4624-2 Cas o 1 est 2-priodique . . . . . . . 4724-3 Convergence. . . . . . . . . . . . . . . 4724-4 Produit scalaire et formule de Parseval 4825

=

. . . 4825-1 Srie entire . . . . . . . . . . . . . . . 4825-2 Srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . 4825-3 Autres cas . . . . . . . . . . . . . . . . 4826Fonctions RpR 4926-1 Limite et continuit . . . . . . . . . . . 4926-2 Classe (1et (2. . . . . . . . . . . . . . 4926-3 Extrmums dune fonction R2R. . 5027Fonctions (ou suites) valeur dans Rnou Cn5027-1 Limite et continuit . . . . . . . . . . . 5027-2 Fonction RnRp, classe (1. . . . . . 5127-3 Fonction RnRn, classe (1. . . . . . 5128Equations et systmes diffrentiels 5128-1 Gnralits. . . . . . . . . . . . . . . . 5128-2 Non Linaire du premier ordre . . . . 5228-3 Linaire du premier ordre . . . . . . . 5228-4 Lin. du sec. ordre coeff. constants . . 5228-5 Linaire du second ordre. . . . . . . . 5228-6 Systme Linaire du premier ordre . . 5328-7 systme autonome . . . . . . . . . . . 53III Gomtrie 5429Barycentre 5429-1 Barycentre de j points pondrs . . . 5429-2 Associativit du barycentre . . . . . . 5430Isomtries 5430-1 Symtries orthogonales . . . . . . . . . 5430-2 Recherche dune symtrie orthogonale 5430-3 Isomtries Vectorielles . . . . . . . . . 5530-4 Isomtries Afnes. . . . . . . . . . . . 5531Droites et Plans afnes 5631-1 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . 5631-2 Plans de lespace afne. . . . . . . . . 5731-3 Droites de lespace afne. . . . . . . . 5731-4 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5831-5 Aires et Volumes lmentaires . . . . . 5831-6 Distances. . . . . . . . . . . . . . . . . 5832Courbes Planes 5832-1 Courbes dquation n = 1(r) . . . . . 5832-2 Courbes planes en paramtriques . . . 6032-3 Courbes planes en polaires . . . . . . . 6132-4 Courbes usuelles en polaires . . . . . . 6433Courbure et Rayon de Courbure 6433-1 Rayon de courbure dune courbe plane 6433-2 Recherche de la courbure . . . . . . . . 6434Surfaces : Gnralits 6634-1 Surfaces, plan tangent . . . . . . . . . 6634-2 Tangente une courbe de lespace . . 6735Cercles et Sphres 6835-1 Cercles dans le plan et sphres . . . . 68i Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr35-2 Cocyclicit . . . . . . . . . . . . . . . . 6835-3 Cercles dans lespace.. . . . . . . . . . 6836Coniques 6836-1 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6936-2 Paraboles. . . . . . . . . . . . . . . . . 6936-3 Hyperboles . . . . . . . . . . . . . . . . 7036-4 Identication dune conique. . . . . . 7037Quadriques 7137-1 Equations rduites . . . . . . . . . . . 7137-2 Intersection avec un plan . . . . . . . . 7337-3 Identication dune quadrique . . . . 7338Surfaces de rvolution, cylindres et cnes 7338-1 Surfaces de rvolution . . . . . . . . . 7338-2 Cylindres . . . . . . . . . . . . . . . . . 7438-3 Cnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7638-4 Cylindres et cnes de rvolution . . . 77IV Maple 7939Bases 7939-1 Manipulations de base . . . . . . . . . 7939-2 Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . 7939-3 Sommes et produits . . . . . . . . . . . 8039-4 Fonctions dvaluation. . . . . . . . . 8039-5 Transformation gnrale dexpressions 8039-6 Simplication dexpressions. . . . . . 8139-7 Structures de donnes . . . . . . . . . 8140Mathmatiques usuelles 8140-1 Fonctions mathmatiques usuelles . . 8140-2 Limites et dveloppements limits . . 8140-3 Drives . . . . . . . . . . . . . . . . . 8240-4 Primitives et intgrales . . . . . . . . . 8240-5 Solve... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8241Algbre linaire 8241-1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 8241-2 Procd de Schmidt. . . . . . . . . . . 8341-3 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 8341-4 Elments propres . . . . . . . . . . . . 8342Graphiques 8342-1 Courbes du plan . . . . . . . . . . . . . 8342-2 Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 8442-3 Courbes de lespace. . . . . . . . . . . 8442-4 Trac simultan . . . . . . . . . . . . . 8443Structures de contrle et procdures 8443-1 Structure alternative . . . . . . . . . . 8443-2 Structure rptitive . . . . . . . . . . . 8543-3 Procdures . . . . . . . . . . . . . . . . 8544Exemples de Programmes 8544-1 Un programme trs simple . . . . . . . 8544-2 Structure alternative . . . . . . . . . . 8644-3 Structure itrative pour . . . . . . . 8644-4 Structure itrative tant que . . . . . 8644-5 Rcurrence sur plusieurs rangs . . . . 8744-6 Un exemple en algbre linaire . . . . 87Index 89Figures1 Projection orthogonale . . . . . . . . . 192 Fns exponentielles et logarithme . . . 263 Fns cosinus et sinus hyperboliques . . 264 Fonction tangente hyperbolique . . . . 275 Cercle trigonomtrique. . . . . . . . . 276 Fonctions trigonomtriques . . . . . . 297 Fns trigonomtriques rciproques . . . 318 Intgrale double. . . . . . . . . . . . . 389 Intgrale triple . . . . . . . . . . . . . . 3810 Intgrale double en polaires . . . . . . 3911 Intgrale triple en cylindriques . . . . 4012 Intgrale triple en sphriques . . . . . 4113 Critre spcial des sries alternes . . 4214 Comparaison srie-intgrale. . . . . . 4315 Convergence dune srie entire . . . . 4416 Fonction convexe . . . . . . . . . . . . 6017 Etude locale dune courbe paramtre 6118 Exemple de ngatif en polaires . . . 6219 Tangente en polaires . . . . . . . . . . 6320 Asymptote en polaires . . . . . . . . . 6321 Repre de Frenet et centre de courbure 6522 Plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . 6723 Ellipse : foyers et directrices . . . . . . 6924 Hyperbole : foyers et directrices. . . . 7025 Quadriques . . . . . . . . . . . . . . . 7226 Surface de rvolution: axe et directrice 7427 Cylindre : direction et directrice. . . . 7528 Contour apparent dans une direction . 7629 Cne : sommet et directrice . . . . . . 7630 Contour apparent depuis un point . . 77Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr jTableaux1 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . 282 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . 333 Sries Entires usuelles. . . . . . . . . 466 Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.frPremire partieAlgbre1 Groupes1-1 GroupeDnition : tant une loi de composition interne, cest dire : o./ G. o / G(G.) est un groupe

o./.c G. (o /) c = o (/ c)c G. o G. o c = c o = oo G. o

G. o o

= o

o = cIl sagit de lassociativit, de lexistence dun lment neutre, et de lexistence dun symtrique pour tout l-ment.Si, de plus la loi est commutative, le groupe est dit ablien ou commutatif.Remarquons quun groupe est non vide... puisquil contient llment neutre.1-2 Sous-groupeThorme : H G est un sous-groupe de (G.)

H est non video./ H. o /

HEn pratique, il est bien plus facile de montrer quon a un sous-groupe dun groupe connu plutt quungroupe.1-3 Morphisme de groupeDnition : 1: (1.) (G.) est un morphisme de groupe o./ 1. 1(o /) = 1(o) 1(/)2 Formule du Binme2-1 Coefcients binomiauxDnition : Ckn = Cnkn=n!/!(n /)!=

n/

Ckn = Ck1n1 + Ckn1C0n = Cnn= 1 C1n = Cn1n= n C2n = Cn2n=n(n 1)2On notera bien que la notation Ckn est de plus en plus remplace par la notation:

n/

. Remarquons linversionde n et /.2-2 Formule du Binme et autresThorme : o./ K, n N, (o + /)n=nk=0Ckn ok/nkThorme : o./ K, n N, on/n= (o /)

nk=1onk/k1

Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr Thorme :nk=1/ =n(n + 1)23 Nombres Complexes3-1 Nombres Complexes. = r + in = ci. = r in = ci = [.[ = [ .[ = [.[ = r2+ n2. + .

= . + .

. .

= . .

1.

=1.[.[2= . .3-2 Racines dun nombre complexea) Racines carresThorme : .2= o + i/ avec . = r + in

r2n2= or2+ n2= o2+ /2signe(rn) = signe(/)b) Racines n` emesde lunitThorme : .n= 1 . = c2iknavec / 0.1.2. . . . .n 1c) Racines n` emesdun nombre complexeThorme : .n= ci . =n ci+2iknavec / 0.1.2. . . . .n 1Les racines n` emesdun complexe sobtiennent en effectuant le produit de lune dentre elles par les racinesn` emesde lunit.4 Polynmes4-1 RacinesSoit le polynme : 1(r) =nk=0okrk= onrn+ on1rn1+ + o1r + o0Thorme : Sur C, 1(r) = on (r r1) (r r2)(r rn)Thorme : Sur R, 1(r) = on (r r1) (r r2)(r rp)

r2+ 1r + 1

r2+ mr + m

avec j + 2: = n et toutes les expressions du second degr irrductibles, cest dire < 0.Quand on a tous les facteurs dun polynme, pour retrouver celui-ci, il ne faut pas oublier le coefcientdominant on.Dnition : Unpolynmeestditscindsietseulementsiilestfactorisableenproduitdexpressionsdupremier degr.Sur C un polynme est donc toujours scind. Sur R, il faut et il suft quil nait pas de racines complexes nonrelles.Thorme : 1(r) est divisible par (r ) 1() = 0 est racine de 1Thorme : 1(r) est divisible par (r )k 1() = 1

() == 1(k1)() = 0 est racine dordre / au moins de 18 Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.frThorme : Un polynme de degr n qui a au moins n + 1 racines distinctes ou confondues est nul.Thorme : Si P est scind, r1 + r2 + + rn = on1on, r1r2 . . . rn = (1)no0onPour le degr 2, r2or + 1= 0 est tel que : o = r1 + r2, et 1= r1 r2o est la somme des racines et 1leur produit.4-2 Division EuclidienneThorme : Soit A et B deux polynmes, 1 = 0.alors il existe un unique couple (Q.1) tel que

= 1 Q + 1degre(1) < degre(1)En pratique, quand on crit la division de par 1, on prendra soin de bien crire les polynmes par puissancesdcroissantes.1[Q Le reste de la division euclidienne de Q par 1est nulToutes les racines de 1sont racines de Q avec au moins le mme ordre de multiplicit.On pensera cette dernire quivalence quand le degr de 1est petit ...5 Fractions Rationnelles5-1 Dcomposition en lments simplesThorme : =1Q une fraction rationelle irrductible avec Q(r) = o (r r1)p1(r r2)p2 (r rn)pnAlors :1(r)Q(r)= 1(r) +nk=1

pkl=1k,l(r rk)l

avec 1(r) le quotient de la division euclidienne de 1par Q.En pratique, sur les rels et les complexes,un terme en (r r1) dans Q(r) donne un terme en(r r1),un terme en (r r1)2dans Q(r) donne un terme en(r r1) +1(r r1)2(premire espce).Sur les rels,un terme en

r2+ 1r + 1

avec ( < 0) donne :un terme en(r r1) +(r r1)ou directement enCr + 1(r2+ 1r + 1) (seconde espce), avec C et 1 rels.Exemple : On va donner un exemple de dcomposition directe en lments simples sur R.Soit :2A + 1(A + 1)2(A2+ A + 1)=A + 1 +1(A + 1)2 +CA + 1A2+ A + 1car A2+A+1 na pas de racines relles,ses racines sont , et ,.Pour 1, on multiple par (A + 1)2, on simplie et on fait A = 1. Cela donne : 1 = 1.Pour C et 1, quon peut trouver en mme temps, car la fraction rationelle du dpart est relle, on multiplie parA2+ A + 1, on simplie et on fait A = ,. Comme C et 1 sont rels, on a les deux.C, + 1 =2, + 1(, + 1)2=2, + 1(,2)2=2, + 1,= 2 + ,2= 2 1 , = 1 ,, do: C = 1 et 1 = 1.Pour , on fait A = 0 ou bien on multiplie par A et on fait A = +. Ce qui donne : +C = 0 et donc : = 1.Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr o5-2 Conseils pratiquesPour dcomposer une fraction rationelle en lments simples, il faut :Factoriser Q(r).Ecrire la forme gnrale de la dcomposition, en noubliant pas la partie entire, quon calcule en faisantla division euclidienneUtiliser la parit-imparit qui rduit souvent beaucoup ltudeTerme de degr dominant :multiplier par (r r1)p1, simplier puis poser r = r1racine simple de premire espce : faire le prcdent ou bien: =1(r1)Q

(r1)Rsidu linni : multiplier par r et calculer la limite quand r Enn, prendre une valeur ...6 Espaces Vectoriels6-1 Structure despace vectorielDnition : (1. + ..) est un espace vectoriel sur K

(1.+) est un groupe commutatif

n. 1.j K

.(n + ) = .n + .( + j).n = .n + j.n.(j.n) = j.n1.n = nDnition : On appelle vecteurs les lments de 1 et scalaires les lments de K.Un espace vectoriel1possde une structure de groupe additif, llment neutre pour laddition est levecteur nul, not 0E ou simplement 0. On prendra soin de ne pas le confondre avec le scalaire 0 ...6-2 Sous-espace vectorielThorme : 1 1 est un sous-espace vectoriel de 1

1est non viden. 1. .j K. (.n + j.) 1Cest dire 1est non vide et stable par combinaison linaire.Ce thorme sert souvent pour montrer que1est un espace vectoriel en montrant quil est un sous-espace vectoriel dun espace connu et identi...6-3 Somme de sous-espaces vectorielsDnition : 1 = 1

+ 1

tout vecteur r de 1 est somme dun vecteur r

de 1

et dun vecteur r

de 1

On a la mme dnition pour la somme de plus de deux sous-espaces vectoriels.Dnition : 1 = 1

+ 1

est directe 1

1

= 0 les composantes r

et r

de r sont uniques.La somme directe des deux sous-espaces est alors note 1

1

.Dnition : On dit que les sous-espaces sont supplmentaires 1 = 1

1

6-4 Norme sur un espace vectorielDnition :

1 R+n |n|est une norme

n. 1. |n + ||n| +||(ingalit triangulaire)n 1. K. |.n| = [[ |n|(positive homognit)n 1. |n| = 0 n = 0 (sparation)1o Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr6-5 Espaces vectoriels de dimension nie : baseDnition : (r1. r2. . . . . rn) est gnratrice de E

r 1. 1. 2. . . . . n K.r = 1 r1 + 2 r2 + + n rnDnition : (r1. r2. . . . . rn) est libre de E (1 r1 + 2 r2 + + n rn = 0 1 = 2 = . . . = n = 0)Dnition : Une base est une famille libre et gnratrice.Dnition : Un espace vectoriel est dit de dimension nie il possde une base comptant un nombre nide vecteurs. Sa dimension est alors le nombre de vecteurs de cette base.Thorme : Toutes les bases de E ont le mme nombre de vecteurs qui est, par dnition, la dimension de E.Thorme : Si E est de dimension n:(r1. r2. . . . . rn) est une base (r1. r2. . . . . rn) libre (r1. r2. . . . . rn) gnratriceDnition : Le rang dune famille de vecteurs est la dimension de lespace vectoriel engendr par ces vec-teurs.Thorme : 1 = 1

1

1

.1

deux sous-espaces vectoriels de 1dim(1) = dim(1

) + dim(1

)1

1

= 0Remarquons quon peut remplacer la condition 1

1

= 0 par 1 = 1

+ 1

6-6 Espaces vectoriels usuelsR[A] et C[A] sont des espaces vectoriels sur R et C, de dimension innie.Rn [A] et Cn [A] sont des espaces vectoriels sur R et C, de dimension n + 1.Rnet Cnsont des espaces vectoriels sur R et C, de dimension n. /(.1) avec non vide et 1 un espace vectoriel sur K est un espace vectoriel sur K. (k(.R) avec non vide et / N + est un espace vectoriel sur R. 1cct(r1. r2. . . . . rn) est le plus petit sous-espace vectoriel de lespace dans lequel se trouvent les vecteursr1. r2. . . . . rn.On lappelle lespace vectoriel engendr par r1. r2. . . . . rn.Il est de dimension n si et seulement si ces vecteurs forment une famille libre. L(1.1) et L(1) les ensembles dapplications linaires de 1 dans 1ou de 1 dans 1. n,p (K)et n (K)lesensemblesdematricesnlignes, jcolonnesoucarresn n,dedimensionsrespectives nj et n2.7 Applications Linaires7-1 Applications linairesDnition : 1: 1 1, avec E et F deux espaces vectoriels sur Kest linaire, ou est un morphisme, ou encoreun homomorphisme

n. 1.j K1(.n + j.) = .1(n) + j.1()1: 1 1, linaire est un endomorphisme1: 1 1, linaire bijective est un isomorphisme1: 1 1, linaire bijective est un automorphisme1: 1 K, linaire est une forme linaire. K est ici considr comme un espace vectoriel sur lui-mme.Thorme : L(1.1) et L(1) sont des espaces vectoriels sur K.Si 1 et 1sont de dimension nies n et j, la dimension de L(1.1) est n j et celle de L(1) est n2Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr 117-2 Image et noyauDnition : Le noyau de 1, linaire, est : ker(1) = n 1. 1(n) = 0.Dnition : Limage de 1, linaire, est : Im(1) = 1. n 1. = 1(n).Thorme :Limage dun s.e.v de 1Limage de 1

par 1: 1 1, linaire, est un sous-espace vectoriel de F.Thorme : Limage rciproque dun s.e.v de 1par 1: 1 1, linaire, est un sous-espace vectoriel de E.Thorme : Le noyau de 1: 1 1, linaire, est un sous-espace vectoriel de E.Thorme : 1: 1 1, linaire, est injective ker(1) = 0En dimension nie, des bases tant choisies,onrecherchelenoyauenrsolvantunsystmelinairesanssecondmembre, ladimensiondunoyauestladimensiondelespacededpartmoinslerangdusystme, cestaussilenombredinconnues auxiliaires. On obtient une base du noyau en distribuant tour tour un 1 et des 0 surles inconnues auxiliaires.on recherche limage en crivant que les images des vecteurs de la base forment une famille gn-ratrice de limage, puis en otant les vecteurs inutiles de cette famille.7-3 ProjecteurDnition : j : 1 1 est un projecteur j j = jThorme : j : 1 1 est un projecteur 1 = Im(j) 1c:(j),mais ceci nest pas une quivalence.1=11 12permetdednirjlaprojectionsur11,paralllement12etclaprojectionsur12,paralllement 11.On a alors j + c = 1d.7-4 Thorme du rangDnition : 1: 1 1, linaire, avec E de dimension nie,le rang de f est rg (1) = dim(1(1)) = dim(1:(1)).Thorme : 1: 1 1, linaire, avec E de dimension nie dim(1) = dim(ker(1)) + rg (1)Thorme : dim(L(1.1)) = dim(1) dim(1) et dim(L(1)) = dim(1)2Thorme : Si dim(1) = dim(1) alors

1 bijective ker(1) = 0 Im(1) = 1 1 injective 1 surjective 1 transforme une base de 1 en une base de 1 1 transforme toute base de 1 en une base de 11: Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr7-5 Systme linairePour rsoudre un systme linaire de n quations j inconnues :On rend le systme trapzodal en appliquant la mthode du pivot de GaussSil y a des paramtres, on ne discute que lorsquon y est oblig pour appliquer le pivot de Gauss, aubesoin en changeant lordre des lignes ou des colonnes.On connait ce moment le rang du systme : cest le nombre dquations linaires indpendantes. Sile systme est sans second membre, lensemble des solutions est un espace vectoriel de dimensionle nombre dinconnues moins le rang.On voit ce moment si le systme est incompatible.Sil est compatible, le rang du systme est le nombre dquations restantesSi on a, ce moment, autant dquations que dinconnues : le systme a une solution uniqueSi on a, ce moment, moins dquations que dinconnues, on garde autant dinconnues prin-cipales que le rang. Les autres deviennent des inconnues auxiliaires, qui se traitent comme desparamtres.8 Matrices8-1 Gnralitsa) Matrices symtriques et antisymtriquesDnition : Une matrice carr ` est symtrique t`= ` oji = oijDnition : Une matrice carr ` est anti-symtrique t`= ` oji = oijThorme : Le sous-espace vectoriel des matrices symtriques et le sous-espace vectoriel des matrices antisy-mtriques sont supplmentaires.De plus : `S =` +t`2et `A =` t`2b) Produit de matricesSi est une matrice n-lignes et :-colonnes, 1 une matrice :-lignes et j-colonnes,alors : C = 1 est une matrice n-lignes et j-colonnes vriant : cij =mk=1oik /kj.Ce qui se schmatise :

oi1 oim

... /1j............... /mj...

=

... cij

...

c) Produit de matrices dnies par blocsSi deux matrices sont dnies par blocs, on peut parfois effectuer leur produit en travaillant par blocs. Cest dire :

() (1)(C) (1)

(

) (1

)(C

) (1

)

=

() (

) + (1) (C

) () (1

) + (1) (1

)(C) (

) + (1) (C

) (C) (1

) + (1) (1

)

Les dimensions des matrices doivent tre compatibles, savoir :Le nombre de colonnes de et C doit tre le nombre de lignes de

et 1

.Le nombre de colonnes de 1 et 1 doit tre le nombre de lignes de C

et 1

.Dautre part, rappelons que le produit de matrices nest pas commutatif, lordre dans lequel on crit cesproduits est donc fondamental...Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr 1d) Transpose dun produitThorme : On a :t(1) =t1 t8-2 Gnralits sur les matrices carresa) Inverse dune matriceThorme : Si on a ` une matrice carre telle que : ` `

= 1n, ou telle que : `

`= 1n,alors ` est inversible et `1= `

.Thorme : Une matrice carre est inversible si et seulement si son dterminant est non nul.Engnral, oninverseunematricecarreeninversantlesystmelinairecorrespondantavecunsecondmembre arbitraire : Y= `A A = `1YCependant, parfois, quand la question est plus thorique, on peut utiliser le thorme suivant :Thorme : `, une matrice inversible, son dterminant et ijle dterminant obtenu en enlevant lai` emeligne et la ,` emecolonne, alors :`1=1 transpose de

... (1)i+jij

...

b) Inverse dun produitThorme : On a : (1)1= 1118-3 Matrice dune application linaireDnition : 1: 1 1, linaire, avec E et F de dimensions niesn etj, munis de bases BE=(c1. . . . . cn)et BF=(c

1. . . . . c

p), on appelle matrice de f dans ces bases BE,BFla matricej lignes etn colonnes dontllment oi,j, i` emeligne et ,` emecolonne est tel que 1(cj) =pi=1oi,j c

i.On a en colonnes, les coordonnes des images des vecteurs de la base de 1 crits dans la base de 1.

o1,1. . . o1,j. . . o1,n.........oi,1. . . oi,j. . . oi,n.........op,1. . . op,j. . . op,n

c

1...c

i...c

p1(c1) . . . 1(cj) . . . 1(cn)8-4 Matrice de PassageDnition : On appelle matrice de passage ou PB1B2 la matrice constitue en colonnes des coordonnes desvecteurs de la nouvelle base B2 crits dans lancienne B1. On lappelle aussi matrice de changement de base.Cest donc une matrice inversible.Toute matrice carre inversible peut toujours sinterprtercomme matrice dun endomorphisme dans une certaine base,ou comme matrice de changement de base.Passer dune interprtation une autre permet parfois de faire avancer le problme.1i Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr8-5 Changements de baseThorme : Si on appelle A et A

les vecteurs colonnes, coordonnes dun vecteur dans lancienne et la nou-velle base, et P la matrice de passage, on a A = 1A

ou bien A

= 11A.Thorme : Si on appelle ` et `

les matrices dun endomorphisme dans lancienne et la nouvelle base, et Pla matrice de passage, on a `

= 11`1ou bien `= 1`

11.Dnition : M et M sont semblables 1inversible telle que`

=11`1 ce sont les matrices dunmme endomorphisme dans deux bases diffrentes.9 Dterminants9-1 Ordre 2 et 3

o c/ d

= od /c

. . .. . .. . .

peut se dvelopper par la rgle de Sarrus ` + ` + ` La rgle de Sarrus nest absolument pas gnralisable des ordres suprieurs !9-2 Matrice triangulaireThorme : Le dterminant dune matrice triangulaire est le produit de ses lments diagonaux.9-3 Ordre quelconqueLa rgle des signes est :

+ + + + ++............+ +

On dveloppe suivant une ligne ou une colonne en tenant compte de la rgle de signes, on a ainsi une sommede termes du type : (1)i+joij ij, o oij est le coefcient de la matrice et ij est le dterminant dordre n 1obtenu en enlevant la ligne i et la colonne , correspondante.Thorme : =ni=1(1)i+joij ij =nj=1(1)i+joij ij9-4 Dterminant dun produit, dune matrice inversibleThorme : Pour A dordre n, A inversible det() = 0 :o() = nThorme : det(1) = det() det(1), et si est inversible, det

1

=1det()Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr 1j9-5 Dterminant dune matrice triangulaire par blocsThorme : p (K), C q (K), C p,q (K), O est la matrice nulle de q,p (K) et j + c = n. Alors,

1O C

= det () det (C)Cette proprit ne se gnralise pas au dterminant dune matrice dnie par blocs et non triangulairepar blocs.10 Rduction des Endomorphismes10-1 Valeurs propres et vecteurs propresDnition : 1: 1 1 linaire,un couple (.n) (n = 0) est un couple valeur propre, vecteur propre de E 1(n) = .nDnition : Pour une valeur propre de E, on appelle sous-espace propre associ ,E = n 1(n) = .n = ker(1 1dE)Cest clairement un sous-espace vectoriel de 1.Le noyau est donc aussi le sous-espace propre associ la valeur propre 0.Thorme : Les sous-espaces propres sont toujours en somme directe. Une famille de vecteurs propres asso-cis des valeurs propres distinctes est libre.10-2 Polynme caractristiqueDnition : 1 un endomorphisme de E de dimension n, A sa matrice dans une base quelconque,le polynme caractristique de 1 est : 1f() = 1A() = det(1n).Thorme : Le polynme caractristique de1est indpendant de la base choisie. Les racines du polynmecaractristique de 1 sont les valeurs propres de 1.Sur C, le polynme caractristique est toujours scind. Il y a donc toujoursn valeurs propres distinctes ouconfondues.Sur R, a nest pas toujours le cas... Le polynme caractristique peut avoir des racines complexes non relles.Thorme : une valeur propre de 1, alors : 1dim(1)ordre de multiplicit de comme racine de 1f10-3 DiagonalisibilitDnition : Un endomorphisme est diagonalisable il existe une base de vecteurs propresThorme : (ou 1...) diagonalisable

1A() est scinddim(1) = ordre de multiplicit de dans 1AEn particulier, lorsque 1A() est scind racines simples, A (ou 1...) est diagonalisable. (condition sufsantenon ncssaire)10-4 Diagonalisibilit et diagonalisationQuand une matrice est diagonalisable, une erreur courante est de dire que, dans une certaine base, estdiagonale, ce qui est bien sr grossirement faux et mme stupide.On a simplement une matrice de passage 1et une matrice diagonale 1 telles que =1111ou bien1 = 111.16 Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.frLa confusion provient de ce que et 1 sont les matrices dun mme endomorphisme dans deux bases diff-rentes...Il est par contre exact de dire que si un endomorphisme 1est diagonalisable, et sil est de matrice dans labase B, il existe une base B

dans laquelle sa matrice est 1, diagonale.1tant la matrice de passage de B vers B

, on a alors : = 1111et 1 = 111.10-5 TriangularisationThorme : Si le polynme caractristique est scind, il existe une base o la matrice est triangulaire.En particulier, sur C, toute matrice est triangularisable.10-6 Puissances dune matriceOn fera attention, par convention: 10= 1n, la matrice identit.Si est diagonalisable, et 1 diagonale semblable A, alors = 1111et k= 11k11.Si = 1 + C, avec 1C = C1, ce quil faut imprativement vrier, alors : p=pk=0(kp1kCpkCeci est surtout utilis lorsque 12ou 13est nulle, car alors la somme se rduit aux premiers termes.Si 2= +1 alors n= n+n1 et on peut chercher des relations de rcurrence entre les coefcientsen crivant n+1de deux faons : n+1= n.11 Espaces Prhilbertiens Rels et Euclidiens11-1 Produit scalaireDnition : Soit 1 un espace vectoriel sur R,une forme bilinaire symtrique sur 1 est une application de 1 1 Rlinaire par rapport chacune des variables (lautre tant xe) etsymtrique (on peut inverser lordre des variables).Dnition : Une forme quadratique sur Rnest une application de RnR qui se met sous la forme dunpolynme homogne de degr 2 des coordonnes du vecteur de Rn.Thorme : Si est une forme bilinaire symtrique sur 1, alors : c:

1 Rn c (n) = (n.n)est une formequadratique, appele forme quadratique associe .Par ailleurs, si c est une forme quadratique sur 1, alors : 1 1 R dnie par :(n.) =c (n + ) c (n) c ()2est une forme bilinaire symtrique. Cest la forme polaire de c.Dnition : E un espace vectoriel rel.Un produit scalaire est une application de 1 1 R bilinaire, symtrique, dnie-positive.En pratique, on montre : n. 1. 'n.` = '.n`. La forme est symtriquen1. n2. 1. j R

'.n1 + j.n2. ` = 'n1. ` + j'n2. `. La forme est donc bilinaire symtrique n. 1. 'n.n`0. La forme est positive 'n.n` = 0 n = 0. La forme est dnie-positiveRsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr 1Cest souvent le dernier point qui pose problme.Quand le produit scalaire est dni par une intgrale, cest ce moment quon utilise le thorme des 3conditions.Thorme : E tant muni dune base (c1. . . . . cn),On note : l:

r1r2...rn

et \:

n1n2...nn

les vecteurs colonnes des coordonnes de n et dans la base,On note , la matrice symtrique o oi,j = 'ci.cj`, alors :'n.` =tl\ est ainsi la matrice de la forme bilinaire symetrique, encore appele matrice du produit scalaire dans labase (c1. . . . . cn).Si, de plus, la base est orthonormale, alors on a :'n.` =tl\=ni=1riniDnition : La norme euclidienne est : |n| = 'n.n` =

ni=1r2iExemple : Sur les matrices carres, le produit scalaire usuel est : '.1` = trace(t1) =ni=1ni=1oi,j /i,j11-2 Espaces vectoriels prhilbertiens et euclidiensDnition : E un espace vectoriel rel est dit prhilbertien rel quand il est muni dun produit scalaire. Si, deplus, il est de dimension nie, il est dit euclidien.11-3 IngalitsThorme : On a lingalit de Schwarz : n. 1,['n.`[|n| ||.Thorme : On a lingalit triangulaire : n. 1,|n + ||n| +||.11-4 Endomorphismes symtriquesDnition : Un endomorphisme 1 est dit symtrique n. 1. '1(n).` = '.1(n)`Thorme : 1 est symtrique sa matrice dans une base orthonormale est symtrique.11-5 Matrice symtrique relleThorme : Une matrice symtrique relle est diagonalisable dans une base orthonormale, cest dire avecau besoin une matrice de passage orthogonale, telle que : 11=t1.Les sous-espaces propres ainsi que les vecteurs propres associs des valeurs propres distinctes sont orthogo-naux 2 2.18 Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr11-6 Procd de SchmidtThorme : Tout espace vectoriel euclidien possde une base orthonormale.Le procd de Schmidt permet de construire effectivement une base orthonormale partir dune base quel-conque.On part dune base quelconque (c1. c2. . . . . cn)On pose 1 =c1|c1|Cest le premier vecteur de la base orthonormale.On pose 2 = c2 + .1On cherche tel que '2. 1` = 0, ce qui donne : = 'c2. 1`On pose 2 =2|2|Cest le deuxime vecteur de la base orthonormale.On pose 3 = c3 + .1 + j.2On cherche et j tel que

'3. 1` = 0'3. 2` = 0, do:

= 'c3. 1`j = 'c3. 2`On pose 3 =3|3|Cest le troisime vecteur de la base orthonormale.On continue ainsi en noubliant pas que chaque tape sallonge...11-7 Projection orthogonale sur un sous espace de dimension nieThorme : 1 un espace vectoriel prhilbertien,1un sous espace vectoriel de dimension nie muni dunebase orthonormale (c1. c2. . . . . cn). Alorsj : n j (n) = 'n. c1` .c1 + +'n. cn` .cndnit un projecteur. Et comme (n j (n)) 1, on dit que j est la projection orthogonale sur 1.Ce quon peut voir sur la gure 1, ci-dessous.Fup(u)up(u)

2

Eee21 1Figure 1 Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension nie12 Groupe Linaire et Groupe Orthogonal12-1 Groupe linaireThorme : E un Kespace vectoriel. Lensemble des isomorphismes de E, muni de la loi de composition desapplications est un groupe, appel groupe linaire de E et not GL(1).Notation : Si 1 = Rnou 1 = Cn, le groupe linaire de E se note GLn La loi est alors le produit des matrices.12-2 Groupe orthogonalDnition : Un endomorhisme 1 de E un espace vectoriel rel, est dit orthogonal1 conserve le produit scalairen. 1. '1(n).1()` = 'n.`Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr 1oThorme : 1 est orthogonal 1 conserve la norme n 1. |1(n)| = |n|Dnition : Une matrice M est orthogonale M est la matrice dun endomorphisme orthogonal dans unebase orthonormale.Thorme : M est orthogonale les vecteurs colonnes de M sont norms et orthogonaux 2 2les vecteurs lignes de M sont norms et orthogonaux 2 2 `1=t` `t`= 1t``= 1Thorme : Lensemble des endomorphismes orthogonaux de 1, muni de la loi de composition des appli-cations est un groupe not O(1), sous groupe de G1(1).Notation : Si 1 = Rn, le groupe orthogonal de E se note O(n) La loi est alors le produit des matrices.13 Structure dAlgbre13-1 AlgbreUne algbre est un ensemble muni de trois lois.Les deux premires lui confrent la structure despace vectoriel. La troisime loi est une loi de compositioninterne appele produit. Cette loi est associative, possde un lment neutre, et est distributive par rapport laddition.Enn, les deux produits sont compatibles .13-2 Sous-algbreOn montre le plus souvent quon a une sous-algbre dune algbre connue plutt que de montrer quon a unealgbre directement.Thorme : 1 1 est une sous-algbre de 1

1 1n. 1. .j K. (.n + j.) 1n. 1. n 1Cest dire, 1contient lidentit, est stable par combinaison linaire et par produit.13-3 Algbres usuellesR[A] et C[A] sont des algbres sur R et C. (k(.R) avec non vide et / N + est une algbre sur R. L(1) lensemble des applications linaires de 1 dans 1.La loi de composition interne, cest dire le produit , tant ici la composition des applications. n (K) lensembles des matrices carres n n:o Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.frDeuxime partieAnalyse14 Suites14-1 SuitesDnition : (nn)nN converge vers | 0. j N. nj. [nn |[Thorme : La limite |, quand elle existe, est unique.Cette dnition est valable pour une suite relle ou complexe.Dans le cas dune suite vectorielle, il suft de remplacer [nn |[ par |nn ||.Thorme : Lensemble des suites muni de la somme de deux suites et de la multiplication par un scalaire aune structure despace vectoriel sur K. Il en est de mme de lensemble des suites convergentes.14-2 Sous-suitesDnition :(n)nN est une sous-suite de (nn)nN : N N strictement croissante telle que (n) = n(n)

Thorme : (nn)nN converge vers | toute sous-suite de (nn)nN converge vers |Si deux sous-suites ont des limites diffrentes ou si une sous-suite diverge, la suite diverge.Thorme : Une suite convergente est borne.Thorme : Quand n +.nn |n | K

nn + n | + |

nn n | |

nn |14-3 Suites vectoriellesThorme : On a nn = (n1n. n2n. . . . . npn) et | = (|1. |2. . . . . |p), alors nn |

n1n |1n2n |2...npn |p14-4 Suites relles ou complexesDnition : Deux suites sont quivalentes nn = n nn avec nn 1.En pratique, si partir dun certain rang n = 0, cela revient nnn 1.Thorme : La suite (nn) converge La srie(nn+1 nn) converge14-5 Suites rellesThorme : Toute suite croissante majore converge.Thorme : Toute suite dcroissante minore converge.Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr :1Thorme : (suites adjacentes)(nn) (n) `(nn n) 0

(nn) et (n) convergent vers la mme limite14-6 Suites dnies par une relation de rcurrenceOn a n0 1f, et n N. nn+1 = 1(nn) et si nn 1f. nn+1 1fIl y a principalement deux mthodes distinctes. La premire est la plus pratique, souvent on y est un peu guidpar lnonc. La seconde est plus fastidieuse...a) Premier procdIl est bas sur lingalit des accroissements nis.Si, sur un intervalle 1 stable par 1, | un point xe, et [1

(r)[ /< 1, on montre que [nn+1 |[ / [nn |[ etdonc par rcurrence immdiate, que [nn |[/n[n0 |[ ce qui assure la convergence.b) Second procdOn tudie les variations de 1, on rsout 1(r) = r : ce sont les limites ventuelles de (nn), les points xesde 1.On traite part les suites o n0 (ou n1 . . .) est xeOn cherche des intervalles 1 en se servant des points xes de 1 (et en les excluant) tels que 1 continue et monotone sur 1 1(1) 1 n0 ou n1 ou nk 1On a alors deux cas selon que 1 est croissante ou dcroissante sur 1Si 1 est croissante sur 1Alors (nn) est monotone (croissante ou dcroissante) etconverge vers le premier point xe sur son chemin sil y en a un,diverge sinon.Si 1 est dcroissante sur 1Alors (n2n) et (n2n+1) sont monotones (croissante et dcroissante respectivement) et convergent versle premier point xe de 1 1 sur leur chemin sil y en a un, divergent sinon. (il suft de le faire pourune des deux seulement).Il suft alors de regarder si ce point xe est xe de 1 ou non.14-7 Suites rcurrentes linairesIl sagit, comme dans toute quation linaire , dajouter une solution particulire du problme avec secondmembre la solution gnrale du problme sans second membre.a) Suite rcurente linaire simple onn+1 + /nn = 0 La solution est gomtrique nn =

/o

n onn+1 + /nn = c Chercher une solution particulire sous forme de suite constanteb) Suite rcurrente linaire double onn+2 + /nn+1 + cnn = 0 On calcule les solutions de lquation caractristique o:2+ /: + c = 02 racines distinctes :1 et :2 : nn = :n1 + :n21 racine double : : nn = :n+ n:nsur R, 2 racines complexes : = : ci: nn = :n(cos n + sin n) onn+2 + /nn+1 + cnn = d Chercher une solution particulireconstante ou, en cas dchec, nou, en cas de nouvel chec, n2:: Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr15 Fonctions R R15-1 Ensemble de dnitionLensemble de dnition de 1 est lensemble des valeurs de r telles quon puisse effectivement calculer 1(r).Pour cela, on regarde les dnominateurs, racines, quotients, logarithmes, tangentes...Le problme est plus complexe pour une fonction dnie par une intgrale

b(x)a(x)1(t) dt ou

ba1(r.t) dt.De plus, si lintgrale est gnralise, il faut mme chercher les r tels que lintgrale converge...15-2 MonotonieDnition : 1 est croissante sur 1 un intervalle (o < / 1(o)1(/))1 est strictement croissante sur 1 un intervalle (o < / 1(o) < 1(/))Thorme : 1 est drivable sur 1, un intervalle,1 est croissante sur 1 1

(r)0 sur 1Thorme : 1 drivable sur 1, un intervalle,1

(r)0 sur 1 et 1

ne sannule quen des points isols, 1 est strictement croissante sur 1.Cette dernire implication nest pas une quivalence...Thorme : Une fonction croissante, majore sur [o./[, admet une limite nie en /.Thorme : 1 continue, strictement monotone sur 1 un intervalle est une bijection de 1 sur 1(1).De plus, 11est alors continue sur 1(1).15-3 Limite et continuitDnition : limxa1(r) = | 0. 0. [r o[ [1(r) |[Si, de plus, | = 1(o), on dit que f est continue en o.Si ceci est vrai pour tout point o dun intervalle 1, on dit que 1 est continue sur 1.Thorme : Une somme, un produit, une combinaison linaire, une compose, un quotient (quand ils sontdnis...) de fonctions continues en un point ou sur un intervalle sont continues en ce point ou sur cet inter-valle.Thorme : 1 (1) limage dun intervalle 1 par 1 continue sur 1 est un intervalle.Thorme : Limage dun segment [o./] par 1 continue sur [o./] est un segment [c.d].Une application continue sur un segment est borne et atteint ses bornes.15-4 Limites usuellesLes limites usuelles permettent de rsoudre de nombreuses formes indtermines.On se reportera aussi, bien sr, aux dveloppements limits usuels ...a) Limites en 0limx0sin rr= 1 limx01 cos rr2=12limx0ex1r= 1 limx0r ln r = 0b) Limites en +limx+ln rr= 0 limx+exr= + limx+rex= 0Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr :c) Croissances comparesLes limites suivantes sont connues sous le nom de thorme des croissances compares.On a ici et strictement positifs.limx0rlnr = 0 limx+lnrr= 0 limx+exr= + limx+rex= 015-5 EquivalentsDnition : On dit que : 1(t) tao(t) 1(t) = o(t)(1 + (t)) avec limta(t) = 0Les quivalents ne sajoutent pas.Quand on veut trouver un quivalent, le mieux est de mettre de force lquivalent pressenti en facteur etde montrer que lautre facteur tend vers 1.On revient ainsi, sans risque, la dnition.16 DrivabilitDnition : 1 est drivable en o 1(r) 1(o)r oa une limite nie quand r tend vers o.Cest cette limite quon note 1

(o).Thorme : 1 drivable en o 1 est continue en o. La rciproque est fausse!16-1 Sommes et produits de fonctions drivablesThorme : 1 et o drivables en un point ou sur un intervalle

(1 + o)

= 1

+ o

(1 o)

= 1

o + 1 o

1o

=1

o 1 o

o2En se plaant pour cette dernire proprit en un point o o est non nulle.Thorme : Si 1 et o sont n fois drivables (1 o)(n)=nk=0(kn 1(k)o(nk)Ceci sutilise surtout avec une des deux fonctions qui est un polynme, une exponentielle ou une fonctiontrigonomtrique.16-2 Drive dune fonction composeThorme : (o 1)

= (o

1) 1

cest dire : (o (1 (r)))

= o

(1 (r)) 1

(r)Thorme : En un point o 1

est non nulle:

11

=11

11 cest dire

11

(n) =11

(r) avec les notationshabituelles n = 1(r).16-3 Drive et prolongement par continuitPour tudier la drivabilit dune fonction en un point o elle a t prolonge par continuit, on peutou calculer la limite de1(r) 1(o)r oqui permet dobtenir la drivabilit mais ne prouve pas la classe (1ou bien calculer la limite de 1

(r)quand cette limite existe et est nie, 1 est de classe (1,quand cette limite est innie, 1 nest pas drivable au point,mais sil ny a pas de limite, on ne prouve rien...:i Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr16-4 Thorme de Rolle et des Accroissements Finis, Formules de TaylorThorme : (Rolle)1 continue sur [o./], drivable sur ]o./[ . 1(o) = 1(/) c ]o./[, tel que : 1

(c) = 0Thorme : (Egalit des accroissements nis)1 continue sur [o./], drivable sur ]o./[ . c ]o./[, tel que 1

(c) =1(/) 1(o)/ oThorme : (Ingalit des accroissements nis)1 continue sur [o./], drivable sur ]o./[, de drive borne,

1(/) 1(o)/ o

supc]a,b[

1

(c)

On ncrira ici que les formules de Taylor en 0 ou sur lintervalle [0.r].On peut se placer en un point o ou sur [o./], en adaptant les notations.Thorme : (Taylor-Young) Si 1 est n-fois drivable au voisinage de 0,1(r) = 1(0) + r1

(0) +r22! 1

(0) + +rnn! 1(n)(0) + o(rn) avec limx0o(rn)rn= 0Thorme : (Taylor avec reste intgral) Si 1 est de classe (n+1sur lintervalle1(r) = 1(0) + r1

(0) +r22! 1

(0) + +rnn! 1(n)(0) +

x0(r t)nn!1(n+1)(t) dtThorme : (Ingalit de Taylor-Lagrange) Si 1 est de classe (n+1sur lintervalle

1(r)

1(0) + r1

(0) +r22! 1

(0) + +rnn! 1(n)(0)

[r[n+1(n + 1)!supt[0,x]

1(n+1)(t)

16-5 Dveloppements limitsOn ncrira ici que des dveloppements limits en 0. on peut se placer en un point o en adaptant les notations.Dnition : On dit que 1 admet un dveloppement limit lordre n en 0il existe o0. o1. . . . . on tels que 1(r) = o0 + o1r + + onrn+ o(rn)1 admet un d|0 en 0 1 est continue en 01 admet un d|1 en 0 1 est drivable en 0. (mais on ne peut pas gnraliser un d|n...)Thorme : 1 est de classe (nen 0 1 admet un d|n en 0, qui est le dveloppement de Taylor!16-6 Oprations sur les dlnOn agira toujours avec des dveloppements au mme ordre.Somme : ajouter simplement les parties rgulires.Produit : faire le produit des parties rgulires et tronquer lordre n.Quotient : se ramener /1(r)1 + n(r), avec limx0n(r) = 0, et utiliser11 + n= 1 n + + (1)nnn+ o(nn)Compose : pour o 1, vrier que 1(0) = 0, faire la compose des parties rgulires et tronquer lordren.On obtient un d|n+1 de la primitive de 1 en intgrant terme terme le d|n de 1. Attention aux constantesdintgration... On ne peut pas faire la mme chose pour la drive !Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr :j16-7 Fonctions usuellesa) Exponentielle et LogarithmeLa fonction exponentielle : r exp(r) est dnie sur R ou sur C.Elle vrie la proprit fondamentale : exp(o + /) = exp(o) exp(/).La fonction logarithme est la rciproque de la prcdente et nest dnie que sur R+.Elle vrie la proprit fondamentale : ln(o /) = ln(o) + ln(/).Ces deux fonctions sont traces sur la gure 2, ci-dessous.-2-101234567-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7exp(x)log(x)Figure 2 Fonctions exponentielles et logarithmeb) Fonction trigonomtriques hyperboliquesRappelons la relation fondamentale de la trigonomtrie hyperbolique : ch2o sh2o = 1Les deux fonctions r ch(r) et r sh(r) sont traces sur la gure 3, ci-dessous.Attention, le repre nest pas orthonormal.-4-20246-2 -1 0 1 2cosh(x)sinh(x)Figure 3 Fonctions cosinus et sinus hyperboliques:6 Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.frLa fonction r th(r) est reprsente sur la gure 4, ci-dessous.Figure 4 Fonction tangente hyperboliquec) Autres fonctions usuellesVoir le tableau 1, page suivante, des drives et des dveloppements limits usuels.On ajoutera la drive n` emede sin r qui est sin(r + n2) et celle de cos r qui est cos(r + n2).On a indiqu lensemble de dnition de 1

quand il diffrait de celui de 1.Pour les deux dernires qui dpendent dun paramtre o, on a indiqu les rsultat valables pour o quelconque.17 Trigonomtrie17-1 Proprits lmentairesRappelons la relation fondamentale de la trigonomtrie : cos2o + sin2o = 1.La gure 5, ci-dessous, reprsente le cercle trigonomtrique.asin(a)tan(a)cos(a) 11Figure 5 Cercle trigonomtriqueRsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr :Tableau 1 FONCTIONS USUELLES1 Df1

d|nsin r R cos r = sin

r +2

nk=0(1)kr2k+1(2/ + 1)! + o

r2n+2

cos r R sin r = cos

r +2

nk=0(1)kr2k(2/)! + o

r2n+1

tan r

2.2

+ /, / Z1cos2r= 1 + tan2r r +r33+ o(r4)arcsin r [1.1]11 r2(]1.1[) r +r36+ o(r4)arccos r [1.1] 11 r2(]1.1[)2 r r36+ o(r4)arctan r R11 + r2nk=0(1)kr2k+1(2/ + 1) + o

r2n+2

cxR cxnk=0rk/!+ o (rn)ln r ]0. +[1rln(1 + r) ]1. +[11 + rnk=1(1)k+1rk/+ o (rn)11 + rR ` 1nk=0(1)krk+ o (rn)ln(1 r) ]. + 1[ 11 rnk=1rk/+ o (rn)11 rR ` 1nk=0rk+ o (rn)ch r R sh rnk=0r2k(2/)! + o

r2n+1

sh r R ch rnk=0r2k+1(2/ + 1)! + o

r2n+2

th r R1ch2r= 1 th2r r + o(r2)ra]0. +[ ou R ou Ro ra1(o = 0)(1 + r)a]1. +[ ou R ou R ` 1 o(1 + r)a11 +nk=1o(o 1) . . . (o / + 1)/!rk+ o (rn):8 Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.frLes valeurs des lignes trigonomtriques connaitre sont :0 6 4 3 2sin 0 1/22232 1cos 13222 1/2 0tan 033 13 +Les fonctions trigonomtriques lmentaires sont sur la gure 6, ci-dessous.cosinus(x)sinus(x)tan(x)Figure 6 Fonctions trigonomtriques lmentaires17-2 Symtriessin (r) =sin r cos (r) =cos r tan (r) =tan rsin (r + ) =sin r cos (r + ) =cos r tan (r + ) =tan rsin

2 r

=cos r cos

2 r

=sin r tan

2 r

=1tan rsin

r +2

=cos r cos

r +2

=sin r tan

r +2

=1tan rsin (r + n) =(1)nsin r cos (r + n) =(1)ncos r tan (r + n) =tan r17-3 Arc doublecos 2o =

cos2o sin2o2 cos2o 11 2 sin2osin 2o =2 sin o cos o tan 2o =2 tan o1 tan2ocos2o = 1 + cos 2o2sin2o = 1 cos 2o2tan2o = 1 cos 2o1 + cos 2oRsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr :o17-4 Sommes darcssin (o + /) =sin o cos / + sin / cos o cos (o + /) =cos o cos / sin o sin /sin (o /) =sin o cos / sin / cos o cos (o /) =cos o cos / + sin o sin /tan (o + /) =tan o + tan /1 tan o tan /tan (o /) =tan o tan /1 + tan o tan /Notons le cas particulier : 1 + tan o1 tan o= tan

o +4

.17-5 Transformation de produits en sommescos o cos / =cos(o + /) + cos(o /)2sin o sin / =cos(o /) cos(o + /)2sin o cos / =sin(o + /) + sin(o /)217-6 Transformation de sommes en produitssin j + sin c =2 sin j + c2cos j c2cos j + cos c =2 cos j + c2cos j c2sin j sin c =2 sin j c2cos j + c2cos j cos c =2 sin j + c2sin j c2tan j + tan c =sin (j + c)cos j cos c17-7 Formule de Moivre(cos o + i sin o)n= cia

n= cina= cos no + i sin no17-8 Fonctions rciproquesarcsin : [1.1]

2.2

arccos : [1.1] [0.] arctan : R

2.2

arccos r + arcsin r =2arctan r + arctan1r=

2, si r02, si r < 0sin (arccos r) = cos (arcsin r) = 1 r2sin (arctan r) =r1 + r2cos (arctan r) =11 + r2On a illustr les fonctions trigonomtriques rciproques dans la gure 7, page suivante.Il faut se mer des touches des calculatrices qui notent par exemple tan1 lapplication rciproquede lapplication tan , cest dire lapplication arctan ...Cela provient de ce que lapplication rciproque est lapplication inverse pour la compose desapplications ...17-9 Pour le calcul intgralSi t = tan 2. alors : tan =2t1 t2. sin =2t1 + t2. cos =1 t21 + t2. d =2 dt1 + t2o Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.frArccosinus ArcsinusArctangente1 11 11111Figure 7 Fonctions trigonomtriques rciproques18 Recherche de primitives18-1 Fraction rationnelle en xOn dcompose la fraction rationnelle en lments simples :les termes en1r o, sintgrent en ln [r o[les termes en1(r o)p, sintgrent en11 j 1(r o)p1les termes enor + /r2+ jr + c, avec < 0, sintgrent en crivant :or + /r2+ jr + c=a2 (2r + j)r2+ jr + c+

/ a2j

r2+ jr + cen ln

r2+ jr + c

pour le terme :a2 (2r + j)r2+ jr + c , et ensuite,en arctan pour le nouveau terme constant :

/ a2j

r2+ jr + c.18-2 Fractions rationnelles diversesDans tous les cas, on indique un changement de variable pour n = . . . obtenir une fraction rationnelle en n.Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr 1a) Fraction rationnelle en cx. ch r. sh rPoser n = cx.b) Fraction rationnelle en r et or + /Poser n = or + /.c) Fraction rationnelle en sin r et cos rRgle de Bioche : on regarde si 1(r) dr est invariant quand on change r en r, poser alors : n = cos r, r en r, poser alors : n = sin r, r en + r, poser alors : n = tan r,en cas dchec, poser n = tan r2. Voir ce propos le paragraphe 17-9.18-3 PolynmeexponentielleOn peut :Intgrer par parties en diminuant le degr du polynme ou,chercher une primitive de la mme forme avec un polynme du mme degr.18-4 Primitives usuellesVoir le tableau 2, page ci-contre, des primitives usuelles.Notons quune primitive na de sens que sur un intervalle. Si on change dintervalle, il y a au moinsla constante qui change, mais pas seulement. En effet ln(r) peut devoir tre chang en ln(r) ... Cestpourquoi, dans un premier temps, on crira toujours un logarithme avec une valeur absolue.19 Intgrale de Riemann (ou intgrale simple)19-1 PrimitiveThorme : (Darboux) Une fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle. Deuxprimitives diffrent dune constante.Dnition :

ba1(t) dt = 1(/) 1(o), avec 1une primitive de 1.Dans un repre orthonormal, lintgrale

ba1(t) dt est aussi laire algbrique dlimite par la courbe etlaxe Ot de la variable entre t = o et t = /.Thorme : (Chasles)

ba1(t) dt =

ca1(t) dt +

bc1(t) dt, avec 1 continue sur la runion des intervalles.Thorme : (Linarit)

ba1(t) + jo(t) dt =

ba1(t) dt + j

bao(t) dt19-2 IngalitsThorme :t [o./] . 1(t)o(t)o < /

ba1(t) dt

bao(t) dtThorme : (Valeur absolue ou module) o < /

ba1(t) dt

ba[1(t)[ dt: Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.frTableau 2 PRIMITIVES USUELLESPrimitives simplesFonction Primitive Remarquesrara+1o + 1 + C Sauf pour o = 1, sur R, ou R, ou R+ selon le cas1rln [r[ + C Sur un intervalle de R1r + oln [r + o[ + C Sur un intervalle priv de o1r2+ o21o arctanro + C Sur un intervalle de R11 r2arcsin r + C Sur un intervalle de ]1.1[. Ou bien arccos r + C

cxcx+ C Sur un intervalle de Rcos r sin r + C Sur un intervalle de Rsin r cos r + C Sur un intervalle de R1cos2rtan r + C Sur un intervalle de

2.2

+ /, / Ztan r ln [cos r[ + C Sur un intervalle de

2.2

+ /, / Zch r sh r + C Sur un intervalle de Rsh r ch r + C Sur un intervalle de RUtilisation de fonctions composesFonction Primitive Remarquesn

nn 1n+1 nn+1Sur un intervalle o n est de classe (1, n = 1n

nln [n[ Sur un intervalle o n est de classe (1, n(r) = 0n

nn11n1nn1Sur un intervalle o n est de classe (1, n(r) = 0, n = 1n

o2+ n21oarctan noSur un intervalle o n est de classe (1Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr Thorme : (Moyenne) o < /

ba1(t) dt

(/ o) supt[a,b][1(t)[Thorme : (Cauchy-Schwarz, cas rel) o < /

ba1(t)o(t) dt

2

ba12(t) dt

bao2(t) dtThorme : (Cauchy-Schwarz, cas complexe) o < /

ba1(t)o(t) dt

2

ba

12(t)

dt

ba

o2(t)

dt19-3 Thorme des 3 conditionsThorme :t [o./] . 1(t)0f continue sur[o./]

ba1(t) dt = 0

t [o./] . 1(t) = 0On utilise souvent ce thorme quand on a un produit scalaire dni par une intgrale, pour montrer lecaractre dni-positif de la forme quadratique.19-4 Intgrale dpendant dune borne 1 continue sur [o./], 1(r) =

xa1(t) dt est de classe (1sur [o./], et 1

(r) = 1(r) 1 continue sur [o./], n et de classe (1sur [.], avec

n([.]) [o./] ([.]) [o./]1(r) =

v(x)u(x)1(t) dt est de classe (1sur [.] . 1

(r) = 1 ((r))

(r) 1(n(r)) n

(r)On ne confondra pas ce thorme avec les suivants...19-5 Continuit et drivation sous

. . . pour une intgrale simpleThorme : (Continuit) 1:1 [o./] R(r.t) 1(r.t)

avec 1 continue sur 1 [o./]1dnie par 1(r) =

ba1(r.t) dt est continue sur IThorme : (Classe (1) Si, de plus, 1 admet une drive partielle1r (r.t), continue sur 1 [o./],1est de classe (1sur I, et, 1

(r) =

ba1r(r.t) dt19-6 Intgration par parties et changement de variable pour une intgrale simpleIntgration par parties : n et de classe (1sur [o./],

ban(t)

(t) dt =

n(t)(t)

ba

ban

(t)(t) dtChangement de variable : 1 continue sur [o./], de classe (1sur [.], avec ([.]) [o./],

1 ((t))

(t) dt =

()()1 (n) dni Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr19-7 Calcul approch dintgrales et sommes de RiemannOn va faire un calcul approch de la valeur dune intgrale de 1 sur [o./] en divisant lintervalle [o./] en n partiesgales. Les bornes de ces parties sont donc o + // onpour / 0.1. . . . .n. Sur chacun de ces intervalles delargeur/ on,o + (/ 1) / on.o + // on

, on approxime la fonction par la valeur une de ses deux bornes.Ce qui donne :Thorme : f continue sur [o./]limn/ onn1k=01

o + // on

=limn/ onnk=11

o + // on

=

ba1 (t) dtSi de plus 1est monotone, une gure montre facilement que lune des deux sommes est un majorant, lautreun minorant de lintgrale.Enn, quand [o./] = [0.1], on obtient des sommes particulires appeles sommes de Riemann:Thorme : f continue sur [0.1]limn1nnk=11

/n

=limn1nn1k=01

/n

=

101 (t) dt20 Intgrale gnralise (ou intgrale impropre)20-1 ConvergenceDnition : 1 est localement intgrable sur 1 1 est continue par morceaux sur IDnition : 1: [o./[ R, continue sur [o./[ admet une intgrale gnralise en /

xa1(t) dt a une limite nie quand r /On a la mme dnition sur [o. +[, ]o./], ou ]./]. On crira lensemble des thormes pour [o./[Le lecteur adaptera les noncs aux autres intervalles.Cependant le thorme dit du faux-problme nest pas applicable linni.Thorme : (convergence absolue)

ba[1(t)[ dt converge

ba1(t) dt converge et

ba1(t) dt

ba[1(t)[ dtThorme : Si 1estdesigneconstantsur[o./[, alors :

ba1(t)dt.

ba1(t)dt et

ba[1(t)[ dt sontdemme nature.La convergence de lintgrale quivaut sa convergence absolue.Thorme : (fauxproblme)1continuesur[o./[,admettantunelimitenieen/,cestdirequelleestprolongeable par continuit (en un point ni / !), alors

ba1(t) dt converge20-2 Fonctions positivesThorme : (Riemann)

101r dr converge < 1

+11r dr converge 1Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr jThorme : (Comparaison) t [o./[ . 01(t)o(t)

bao(t) dt converge

ba1(t) dt converge

ba1(t) dt diverge

bao(t) dt divergeThorme : (Equivalence)1(t) bo(t)1(t) de signe constant

ba1(t) dt et

bao(t) dt sont de mme nature20-3 Thorme des 3 conditionsLe thorme des 3 conditions est encore applicable pour les intgrales gnralise.Thorme :t [o./[ . 1(t)0f continue sur[o./[

ba1(t) dt convergente et :

ba1(t) dt = 0

t [o./[ . 1(t) = 0On utilise souvent ce thorme quand on a un produit scalaire dni par une intgrale, pour montrer lecaractre dni-positif de la forme quadratique.20-4 Intgration par parties et changement de variable pour une intgrale gnralisea) Intgration par partiesn et de classe (1sur[o./[limtbn(t)(t) existe et est nie

ban(t)

(t) dt et

ban

(t)(t) dt sont de mme natureet si elles convergent :

ban(t)

(t) dt =

n(t)(t)

ba

ban

(t)(t) dtb) Changement de variable1 continue sur 1 monotone de classe (1sur[.[([.[) 1

1 ((t))

(t) dt et

()()1 (n) dn sont de mme natureet si elles convergent :

1 ((t))

(t) dt =

()()1 (n) dn20-5 Un procd de convergenceSi on a < 1 tel que limt0t1(t) = 0, alors [1(t)[ = o

1t

,et donc

101(t) dt converge absolument donc converge.Si on a 1 tel que limt+t1(t) = 0, alors [1(t)[ = o

1t

,et donc

+11(t) dt converge absolument donc converge.Ceci nest pas un thorme, il faut chaque fois refaire la dmonstration...6 Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr20-6 Continuit et drivation sous

. . . pour une intgrale gnraliseThorme : (Continuit) 1:1 [o./[ R(r.t) 1(r.t)

avec 1 continue sur 1 [o./[,si telle quer 1. t [o./[ . [1(r.t)[(t)

ba(t) dt converge

1 dnie par 1(r) =

ba1(r.t) dt est continue sur 1Thorme : (Classe (1) Si, de plus, 1 admet une drive partielle1r (r.t), continue sur 1 [o./[, etsi telle quer 1. t [o./[ .

1r(r.t)

(t)

ba(t) dt converge

1 est de classe (1sur 1, et, 1

(r) =

ba1r(r.t) dtIl est important que , et , ne dpendent pas de r.Ce sont des fonctions relles positives dont les intgrales convergent.20-7 Ensemble de dnitionLensemble de dnition dune fonction 1de la variable r est lensemble des valeurs de r pour lesquelles onpeut effectivement calculer 1(r).Ainsi, si on a : 1: r

ba1 (r.t) dt ou, 1: r

+a1 (r.t) dt ou encore, 1: r

xa1 (t) dtLensemble de dnition de 1est lensemble des valeurs de r telles que :lintgrale est simple, ou bien,lintgrale est gnralise et convergente.21 Intgrales doubles et triples21-1 Description hirarchique du domaine et intgraleOn ne peut calculer une intgrale multiple que si on a une description hirarchique du domaine :Pour une intgrale double (gure 8, page suivante) : (r.n)

r [o./]n [n(r).(r)]Pour une intgrale triple (gure 9, page suivante) : (r.n..)

r [o./]n [n(r).(r)]. [(r.n).(r.n)]On peut avoir les variables dans un autre ordre, limportant est que les bornes de chacune ne soientdnies quen fonction des prcdentes.On dnit alors les intgrales doubles et triples comme des intgrales simples embotes :

1(r.n) drdn =

ba

v(x)u(x)1(r.n) dn

dr

1(r.n..) drdn d. =

ba

v(x)u(x)

(x,y)(x,y)1(r.n..) d.

dn

drRsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr Oa x bu(x)v(x)Figure 8 Intgrale doublezOabxu(x) v(x) y(x,y)(x,y)Figure 9 Intgrale triple21-2 Calcul dAires et de VolumesOn travaille ici dans un repre orthonormal.Dans le plan, laire gomtrique du domane est : / =

drdn,Dans lespace, le volume gomtrique du domane est : 1 =

drdn d..8 Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr21-3 Inclusion des domainesThorme : Si 1 est continue et positive sur , avec, de plus, 1 , alors

D1(r.n) drdn

1(r.n) drdnOn a la mme chose pour une intgrale triple.21-4 Changement de variablesa) Intgrale double

r = r(n.)n = n(n.)bijective (ou presque...) (r.n) 1 (n.) , et 1(r.n) = o(n.)

D1(r.n) drdn =

o(n.)

1(r.n)1(n.)

dndOn notera la valeur absolue du jacobien et la pseudo-simplication.b) Intgrale triple

r = r(n..n)n = n(n..n). = .(n..n)bijective (ou presque...) (r.n..) 1 (n. ,n) , et 1(r.n..) = o(n..n)

D1(r.n..) drdn d. =

o(n..n)

1(r.n..)1(n..n)

dnd dnOn notera la valeur absolue du jacobien et la pseudo-simplication.c) Intgrale double en Polaires

r = cos n = sin (r.n) 1 (.) , et 1(r.n) = o(.)La gure 10, ci-dessous, indique le mode de calcul.OMxyFigure 10

D1(r.n) drdn =

o(.) d dRsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr od) Intgrale triple en Cylindriques

r = cos n = sin . = .(r.n..) 1 (...) , et 1(r.n..) = o(...)La gure 11, ci-dessous, indique le mode de calcul.yMzzMOxFigure 11

D1(r.n..) drdn d. =

o(...) d d d.e) Intgrale triple en Sphriques

r = cos cos n = sin cos . = . sin (r.n..) 1 (..) , et 1(r.n..) = o(..)La gure 12, page suivante, indique le mode de calcul.Il sagit de la convention des mathmaticiens : les physiciens utilisent un autre angle.En mathmatiques, en gnral,

2.2

.Les physiciens utilisent langle entre O. et O`qui appartient donc [0.]. Dans la formule, au niveaude la valeur absolue du jacobien, ils changent ainsi sin et cos .En plus, parfois, ils changent le nom des angles...On fait un changement de variablepour simplier le domaine, ce qui est nouveau,ou pour simplier le calcul des primitives embotes.io Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fryOMMzxFigure 12

D1(r.n..) drdn d. =

o(..)2cos d d d22 Sries numriques (relles ou complexes)22-1 Convergence et Convergence AbsolueDnition :nn converge la suite des sommes partielles (sn) avec sn =nk=0nk converge.Thorme :[nn[ converge nn converge.(rgle nnn)Si on a 1 tel que limnnnn= 0, alors [nn[ =o

1n

et doncnn converge absolument et doncconverge.Ceci nest pas un thorme et est donc rargumenter chaque fois...22-2 Sries gomtriquesThorme : La srie de terme gnral rnconverge [r[ < 1.De plus, la somme est :n=0rn=11 rDnition : Une suite gomtrique est une suite vriant : n N. nn+1 = o nn.o est la raison de la suite.La somme dune srie gomtrique convergente est donc : le premier terme 1 la raison .Ceci prolonge et gnralise la somme des termes dune suite gomtrique qui est : le premier terme le premier terme manquant 1 la raison Quand la srie converge, il ny pas de termes manquants...22-3 Sries positivesThorme : (Riemann) nn+1n

nn converge 1

Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr i1Thorme : (Comparaison)0nnnn converge

nn converge.Corollaire :0nnnnn diverge

n diverge.Thorme : (Equivalence)0nnnn+n

nn etn sont de mme nature.Thorme : (dAlembert)nn terme strictement positifs,telle que limnnn+1nn= |

| < 1.nnconverge|1.nndiverge grossirement| = 1. on ne sait rienOn tombe trs souvent sur le cas douteux ! On utilise souvent le thorme de dAlembert dans le cadredes sries entires, ou lorsquon a, dans lexpression de nn, des factorielles, des termes de nature gom-trique (on) ou des exponentielles.22-4 Critre spcial des sries alternesDnition :nn est une srie alterne (1)nnn est de signe constant.Thorme :nn une srie alterne([nn[) `limnnn = 0

nn converge.De plus, [1n[[nn+1[, o 1n =+k=n+1nk,enn,+k=0nk est du signe de n0,1n est du digne de nn+1Voir la gure 13, ci-dessous.-- - :2n+1:2n+2: :2n[n2n+1[[:2n[Figure 13 Convergence dune srie rpondant au critre special22-5 Comparaison dune srie et dune intgraleThorme : 1une fonction positive et dcroissante dnie sur R+.

+01(t) dt et1(n) sont de mmenature.i: Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.frEt si elles convergent :

+n+11(t) dt +k=n+11(/)

+n1(t) dtLa gure 14, ci-dessous, donne les ingalits de base !Il ne faut pas hsiter la refaire pour retouver ces ingalits.n1 n n+1 xyf(n)y=f(x)Figure 14 Comparaison srie-intgrale22-6 Suite et srie des diffrencesThorme : La suite (nn) converge La srie(nn+1 nn) convergeCela sert parfois montrer la convergence de quelques ... suites, en montrant la convergence ou la conver-gence absolue de la srie des diffrences.22-7 Calcul exact de sommes de sriesOn dispose principalement de trois techniquesUtilisation de sries entires par leur valeur en un point.Utilisation de sries de Fourier par leur valeur en un point ou la formule de Parseval.Calcul effectif de la limite de la suite des sommes partielles o les termes sen vont en dominos.Le cas le plus simple tantnk=0(nk+1 nk) = nn+1 n022-8 Calcul approch de sommes de sriesDans le cas dune srie alterne rpondant au critre spcial, on applique ce critre.Dans les autres cas, on sintresse la srie des modules.Si elle converge par application du critre de dAlembert, majorer le reste par une srie gomtriqueRsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr iSinon, majorer le reste en utilisant une intgrale ou ...23 Sries EntiresDnition : Une srie entire est une srie de la formeon.nouonrn, selon que lon travaille sur C ousur R23-1 Rayon de convergencePour rechercher le rayon de convergence 1,utiliser le thorme de dAlembert, 1 est, sil existe, le rel positif tel que

on+11n+1on1n

,

ou

o2(n+1)12(n+1)o2n12n

. ou. . .

a pour limite 1 quand n +si

on+11n+1on1n

a toujours une limite nulle quand n +, alors : 1 = +sionrnest semi-convergente 1 = [r[en cas dchec des mthodes prcdentes, on utilise lun des lments suivants : 1 = supnN: R+, la suite (on:n) est borne} 1 = supnN: R+, la suite (on:n) tend vers 0}23-2 ConvergenceThorme :

[.[ < 1 on.nconverge absolument[.[1 on.ndiverge grossirement[.[ = 1. on ne sait rien a prioriLa gure 15, ci-dessous, illustre ce thorme.ConvergenceAbsolueDivergenceGrossireConvergenceouDivergencei1 RFigure 15 Convergence dune srie entireThorme : Quand la variable est relle, la srie entire se drive et sintgre terme terme sur ]1.1[ aumoins. Elle sintgre mme terme terme au moins sur sur lintervalle de convergenceii Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.frThorme : La srie entire, sa srie drive et ses sries primitives ont le mme rayon de convergence.Thorme : La somme dune srie entire est de classe ( sur ]1.1[, et continue sur son ensemble de d-nition.23-3 Somme de deux sries entiresThorme :on.nde rayon 11/n.nde rayon 12

(on + /n) .nest de rayon

inf(11.12) pour 11 = 12111 pour 11 = 1223-4 Dveloppement dune fonction en srie entireDnition : Une fonction 1 est dveloppable en srie entire en 0 il existe une srie entire et un intervalle1 tels que r 1. 1(r) =+n=0onrnThorme :Si 1 est dveloppable en srie entire en 0 alors la srie entire est la srie de Taylor et : on =1(n)(0)n!En gnral 1 est lintersection de lensemble de dnition de 1et de lensemble de convergence de+n=0onrn,mais cela nest pas une obligation...Pour dvelopper une fonction en srie entire, on peut :utiliser les sries entires usuelles. Assez souvent, parfois en drivant, on fait apparaitre une fractionrationnelle quon dcompose en lments simples sur C pour ensuite utiliser des sries gomtriques...sur indication de lnonc, utiliser une quation diffrentielle.ou calculer la srie de Taylor.Dans tous les cas, il faudra avec soin justier la convergence de la srie entire et son galit avec la fonction.Cela peut tre dlicat dans le cas de la srie de Taylor... quon nutilisera qu la demande de lnonc.23-5 Sries entires usuellesVoir le tableau 3, page suivante, des sries entires usuelles.La srie gomtrique et lexponentielle sont aussi valables pour une variable complexe.23-6 Srie entire solution dune quation diffrentielleOn considre au dpart une srie entire de rayon de convergence 10 solution de lquation diffren-tielle. On pose donc n =+n=0onrn.Tout ce quon crit est valable pour r ]1.1[. Il faut dire quon se place sur ]1.1[...On calcule n

et au besoin n

, on reporte dans lquation.On clate tout en sommes de sries entires.On regroupe ce qui se regroupe naturellement, les temes en rn, ceux en rn1...Ensuite, on rindexe pour trouver une srie entire unique et nulle.Alors, chaque coefcient est nul, par unicit du dveloppement en srie entire quand il existe. On aen gnral une relation de rcurrence entre les coefcients. Cette relation permet normalement de calcu-ler les coefcients mais aussi assez souvent de trouver directement le rayon de convergence, ce qui estindispensable.Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr ijTableau 3 DVELOPPEMENTS USUELS EN SRIE ENTIREf DfDSE 1 1cxRn=0rnn!+ Rcos r Rn=0(1)nr2n(2n)!+ Rsin r Rn=0(1)nr2n+1(2n + 1)!+ Rch r Rn=0r2n(2n)!+ Rsh r Rn=0r2n+1(2n + 1)!+ R11 + rR ` 1n=0(1)nrn1 ]1.1[ln(1 + r) ]1. +[n=1(1)n+1rnn1 ]1.1]11 rR ` 1n=0rn1 ]1.1[ln(1 r) ].1[ n=1rnn1 [1.1[arctan r Rn=0(1)nr2n+1(2n + 1)1 [1.1](1 + r)a]1. +[ 1 +n=1o(o 1) . . . (o n + 1)n!rn1 ou +(o N)24 Sries de Fourier24-1 Srie de Fourier et coefcients de Fourier de fDnition : 1: R K, T-priodique, continue par morceaux sur R, on appelle srie de Fourier de 1, la srie :o(1)(t) = o0 ++n=1(on cos nt + /n sin nt) . avec : =2TOn a o0 =1T

T/2T/21(t) dt. et pour n1.

on =2T

T/2T/21(t) cos nt dt =2T

+T1(t) cos nt dt/n =2T

T/2T/21(t) sin nt dt =2T

+T1(t) sin nt dti6 Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fro0 est la valeur moyenne de 1.Dans le cas o 1est paire ou impaire, on peut travailler sur une demi-priode bien choisie. Cest direque, le plus souvent, les intgrales sont calcules entre 0 etT2.Dautre part, souvent, on ne dispose dune formule explicite pour 1(t) que sur un certain intervalle. Onveillera avec soin ne pas utiliser cette formule en dehors de cet intervalle !Si cela est plus facile, on peut calculer :c0 = o0 =1T

+T1(t) dt. cn =1T

+T1 (t) cintdt =on i/n2pour n NSi la fonction est relle, les on et /n sont rels et on les obtient par un seul calcul ...24-2 Cas o f est 2-priodiqueDans le cas o 1 est 2-priodique, o(1)(t) = o0 ++n=1(on cos nt + /n sin nt)o0 =12

1(t) dt. et pour n1.

on =1

1(t) cos nt dt =1

+21(t) cos nt dt/n =1

1(t) sin nt dt =1

+21(t) sin nt dtSi, de plus, 1 est paire : o0 =1

01(t) dt, et pour n1.

on =2

01(t) cos nt dt/n = 0ou si 1 est impaire : on = 0, et pour n1. /n =2

01(t) sin nt dtDans les sries de Fourier, assez souvent, on na de formule pour 1 que dans un certain intervalle, on veilleradonc, comme on la dj dit, nutiliser cette formule que sur cet intervalle...24-3 ConvergenceThorme : (Dirichlet, cas gnral) 1 de classe (1par morceaux sur R, T-priodiquela srie de Fourier de 1 converge en tous points, et sa somme est : o(1)(t) =1(t + 0) + 1(t 0)2o 1(t + 0) et 1(t 0) sont les limites droite et gauche de 1 en t.En tous points o 1 est continue, on a donc bien: o(1)(t) = 1(t).Il ny a quaux points o 1 est discontinue quil risque dy avoir un problme. On fera donc un graphe dela fonction sur un peu plus dune priode pour reprer les points de discontinuit et vrier le caractre(1par morceaux sur R.Thorme : (Dirichlet, cas continu) 1 continue et de classe (1par morceaux sur R, T-priodiquela srie de Fourier de 1 converge en tous points, et : o(1)(t) = 1(t).De plus, les sries[on[ et[/n[ convergent.Thorme : Sur un intervalle [.] o 1 est continue.

1(t) dt peut se calculer en intgrant terme termela srie de Fourier de 1.Thorme : (Unicit du dveloppement en srie de Fourier)Si 1 est continue sur R et scrit comme la somme dune srie trigonomtrique, on a :1(t) = o0 ++n=1(on cos nt + /n sin nt)Alors, cette srie est la srie de Fourier de 1.Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr i24-4 Produit scalaire et formule de ParsevalThorme : (T(R), lensemble des applications continues, T-priodiques, R R est un espace vectoriel rel.De plus '1.o` =1T

T/2T/21(t)o(t) dt est un produit scalaire de (T(R).La famille (cos nt)nN . (sin nt)nNest orthogonale pour ce produit scalaire.Si les applications sont simplement continues par morceaux , '1.o` =1T

T/2T/21(t)o(t) dt est uneforme bilinaire symtrique positive.Thorme : (Formule de Parseval) 1: R K, T-priodique, continue par morceaux sur R, alors :1T

T/2T/2

12(t)

dt =1T

+T

12(t)

dt =

o20

+ 12+n=1

o2n

+

/2n

Si la fonction est relle :1T

T/2T/212(t) dt =1T

+T12(t) dt = o20 + 12+n=1

o2n + /2n

Si, de plus, 1 est 2-priodique :12

12(t) dt =12

+212(t) dt = o20 + 12+n=1

o2n + /2n

25

=

. . .Problme : Il sagit de montrer que :

ba

+n=01n(t)

dt =+n=0

ba1n(t) dt

.Cest dire que lintgrale dune srie est la srie des intgrales.Leproblmenestjamaisvident. Il yadiffrentessolutionsselonlesintgrales. Touteslesjusticationsdoivent se faire avec soin.25-1 Srie entirePour une srie entire, on peut intgrer terme terme sur tout intervalle inclus dans louvert de convergence.Il suft donc de rappeler quon a une srie entire et que [o./] ]1.1[25-2 Srie de FourierPour une srie de Fourier correspondant une fonction continue sur R et de classe (1par morceaux, on peutgalement intgrer terme terme la srie. Il suft de rappeler ces conditions.25-3 Autres casQue lintgrale soit une intgrale simple ou une intgrale gnralise le traitement sera le mme. Lide est desortir la somme partielle de la srie par linarit, il reste ensuite montrer que lintgrale du reste tend bienvers 0.i8 Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fra) Utilisation du critre spcial des sries alternesSi t x,+n=01n(t) converge par application du critre spcial des sries alternes,on a alors :

+k=n+11k(t)

[1n+1(t)[Il suft alors de montrer que

ba[1n+1(t)[ dt 0 quand n +En effet, on crit :

ba

+n=01n(t)

dt =nk=0

ba1k(t) dt

. .. .somme partielle+

ba

+k=n+11k(t)

dt. .. .intgrale du resteet on majore ce dernier terme en valeur absolue. Enn, on passe la limite sur le terme de droite...b) Srie gomtriqueSi t x, la srie est gomtrique,+k=n+11k(t) est aussi une srie gomtrique qui se calcule facilement. Oncalcule alors, ou on majore :

ba

+k=n+11k(t)

dtc) Autres casDans les autres cas, lnonc doit vous guider.Le principe gnral est de majorer

+k=n+11k(t)

on(t)avec

baon(t) dt 0 quand n + et dappliquer le principe prcdent.Souvent, on vient de faire une telle majoration dans les questions prcdentes...Si lintgrale est une intgrale gnralise, il ne faut pas oublier de montrer la convergence de toutes lesintgrales utilises.26 Fonctions RjR26-1 Limite et continuitLes fonctions composantes comme, par exemple, (r.n..) n sont continues.Les sommes, produit par un scalaire, produit, quotient (en un point o le dnominateur ne sannule pas)de fonctions continues sont continues.Les composes de fonctions continues sont continues.Ceci permet de montrer la plupart des continuits usuelles.Thorme : Une fonction de plusieurs variables, valeurs relles, continue sur un ferm-born est borne etatteint ses bornes.26-2 Classe (1et (2Dnition : 1 est de classe (1sur | un ouvert de Rp 1 admet j drives partielles continues sur |Quand ces drives partielles sont aussi de classe (1, on dit que 1 est de classe (2sur |Dnition : Quand 1 est de classe (1sur | un ouvert de R3, la diffrentielle de 1 en (r0.n0..0), est lapplica-tion linaire :( dr. dn. d.) 1r(r0.n0..0) dr +1n(r0.n0..0) dn +1.(r0.n0..0) d.Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr ioOn adapte au besoin cette dnition en dimension j...Thorme : Si 1 est de classe (1sur | un ouvert de Rp, elle admet un dveloppement limit lordre 1 en toutpoint de | et on a :1(r.n..) = 1(r0.n0..0) + (r r0)1r(r0.n0..0) + (n n0)1n(r0.n0..0) + (. .0)1.(r0.n0..0) +|n| (n)o n = (r r0.n n0.. .0) et limu(0,0,0)(n) = 0.Thorme : (Schwarz) 1 de classe (2sur | 21rn=21nrThorme : (Fonctions composes)r.n.. : R R. (1sur I1: R3R. (1sur r(1) n(1) .(1)1(t) = 1(r(t).n(t)..(t))

1 est (1sur I, et 1

(t) =1r r

(t) +1nn

(t) +1..

(t)Si r.n.. dpendent de 2 ou 3... variables, on a le mme rsultat en remplaant toutes les drives par desdrives partielles.26-3 Extrmums dune fonction R2R(r.n) . = 1(r.n). une fonction de classe (2sur | un ouvert de R2.Pour chercher ses extrmums :On cherche les points critiques, cest dire les points qui vrient :

1r(r.n) = 01n(r.n) = 0Les extrmums sont chercher parmi ces points critiques.En chaque point critique (r0.n0), on calcule :

: =21r2(r0.n0): =21rn(r0.n0)t =21n2(r0.n0)Si :2:t < 0 (r0.n0) est un extrmum (minimum pour :0, maximum pour : < 0)Si :2:t0 (r0.n0) est un colSi :2:t = 0 on ne peut pas conclure, il faut tudier la main le signe de 1(r.n) 1(r0.n0)27 Fonctions (ou suites) valeur dans Rnou Cn27-1 Limite et continuitOn peut toujours considrer que ce sont n fonctions (ou suites) coordonnes ou composantes valeurdans R ou C, ou mme dans le deuxime cas, 2n fonctions (ou suites) coordonnes ou composantes valeur dans R. Les notions de limite, de continuit, de drivabilit (...) se ramnent aux proprits quivalentessur chacune des composantes.jo Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr27-2 Fonction RnRp, classe (1Dnition : La matrice jacobienne de 1 est, avec ici n = 3 et j = 2 :

11r111r211r312r112r212r3

= JfCest la matrice dans la base canonique de la diffrentielle de 1 au point considr.Thorme :1 RnRpde classe (1o RpRqde classe (1

o 1 de classe (1et : Jgf= Jg Jf27-3 Fonction RnRn, classe (1Dnition : La matrice jacobienne de 1 en un point est alors carre dordre n.Le jacobien de 1 en ce point est le dterminant de la matrice jacobienne.Thorme : En un point o le jacobien de 1est non nul, 1dnit localement une bijection et le jacobien de11est linverse du jacobien de 1.Les ne se pseudo-simplient pas!Ainsi.n nrne vaut pas en gnral.ret1yxnest pasrn28 Equations et systmes diffrentielsNotons dabord quon rsout une quation ou un systme diffrentiels sur un intervalle.28-1 Gnralitsa) Recollement de solutionsPour recoller en c les solutions sur deux intervalles, 1 sur ]o.c[ et o sur ]c./[ il faut chercher galer :les limites (nies) de 1 et o en cles limites (nies) de 1

et o

en cet ventuellement les limites (nies) de 1

et o

en c pour une quation diffrentielle du second ordre.b) Equation diffrentielle linaireUne quation diffrentielle linairedu premier ordre est de la forme o (t) n

+ / (t) n = o(t)du second ordre est de la forme o (t) n

+ / (t) n

+ c (t) n = o(t)o(t) est appel le second membre.Les quation homognes associes sont respectivement : o (t) n

+ / (t) n = 0 o (t) n

+ / (t) n

+ c (t) n = 0Pour une quation diffrentielle linaire, la solution gnrale est toujours la somme de la solution gnrale delquation sans second membre, appele aussi quation homogne associe, et dune solution particulire delquation avec second membre.Do limportance de connatre une telle solution particulire.On ne tient compte des conditions initiales que lorsquon a obtenu la solution gnrale de lquation (oudu systme) avec second membre.Sur un intervalle convenable, la solution gnrale de lquation sans second membre est un espace vectorielde dimension 1 pour une quation diffrentielle linaire du premier ordre et 2 pour une quation diffrentiellelinaire du second ordre.Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr j1c) Courbe intgraleSi n(r) est solution dune certaine quation diffrentielle, la courbe n = n(r) est dite courbe intgrale de cettequation diffrentielle.28-2 Equation Diffrentielle Non Linaire du premier ordreOn ne dispose daucun thorme sur les quations diffrentielles non linaires ...En gnral, elle est variables sparables, 1(t) dt = o(n) dn

1(t) dt =

o(n) dn + 1Cest le seul cas que lon doit savoir traiter.Sinon, il faut se laisser guider par lnonc !28-3 Equation Diffrentielle Linaire du premier ordreSans second membre o(t)n

+ /(t)n=0 n(t) =1c

b(t)a(t) dtsur un intervalle1oo et/ sontcontinues et o o ne sannule pas. 1 tant un rel arbitraire.Avec second membre o(t)n

+ /(t)n=c(t) sur un intervalle1oo. / etc sont continues et oo nesannule pas.Il ne nous manque quune solution particulire : toute solution particulire est bonne prendre !On peut, faute de mieux, chercher une solution particulire par la variation de la constante :.(t) = 1(t)n(t) o n(t) = c

b(t)a(t) dtOn reste en calcul formel le plus longtemps possible : les termes en n(t) disparaissent.La variation de la constante nest pas un procd miraculeux ! Elle peut donner des calculs longs et dif-ciles. On la rserve donc au cas o on na pas dautre procd pour obtenir une telle solution particulire.28-4 Equation Diffrentielle Linaire du second ordre coefcients constantsSans second membre on

+ /n

+ cn = 0 on rsout lquation caractristique o:2+ /: + c = 0Si on a :Deux racines distinctes, la solution est : n(t) = cr1t+ jcr2tUne racine double : n(t) = (t + j)crtDeux racines complexes : : = i et dans le cas o on cherche les solutions sur R:n(t) = (cos t + jsin t)ct= (/ cos (t t0))ctAvec second membre on

+ /n

+ cn = 1(t) ckt, o 1est un polynme.On cherche une solution particulire de la forme : Q(t) cktsi / nest pas racine de lquation caractristique t Q(t) cktsi / racine simple de lquation caractristique t2Q(t) cktsi / racine double de lquation caractristique.avec Q(t) un polynme arbitraire de mme degr que 1.28-5 Equation Diffrentielle Linaire du second ordreSans second membre o(t)n

+ /(t)n

+ c(t)n = 0 sur un intervalle 1 o o./ et c sont continues et o one sannule