cours - mathématiques - Résumé - maths sup & spe

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jiMTNORCalcul lmentaire de la courbure en un point birgulierOn considre la fonction angulaire associe qui est langle entre Or etT , =

i.T

do, en paramtriques :T:

cos sin

=

drd:dnd:

=

drdt d:dtdndtd:dt

et:

sin cos

En polaires, on a : = + \Thorme : Avec les notations prcdentes, on a : =dd:1 =d:dDmonstration :T:

cos sin

quon drive par rapport :. Do dTd:= :

sin dd:cos dd:

.Ce qui donne immdiatement : =dd: .Sup&SpTSIRsumdeCoursMathmatiquesChristophe CaignaertLyce Colbert 59200 Tourcoinghttp://c.caignaert.free.frAnne scolaire 2002 2003Nouveauts 2002 2003PEU de changements dans la prsentation cette anne. Ona bien sr relu, complt le contenu et corrig quelquesbogues : quon se rassure, il en reste ! Un grand merci auxlecteurs attentifs.Les ajouts sont principalement des gures et des consid-rations lmentaires.Ce document est disponible sur mon site personnel :http://c.caignaert.free.frCesitecontientgalementuncourscompletdeSpTSI,tant en pdf quen html.Il a t crit sous pdfTeX, une version spcique de LaTeXqui produit directement des chiers au format pdf.: Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.frSommaireI Algbre 71 Groupes 71-1 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71-2 Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . 71-3 Morphisme de groupe . . . . . . . . . 72 Formule du Binme 72-1 Coefcients binomiaux. . . . . . . . . 72-2 Formule du Binme et autres . . . . . 73 Nombres Complexes 83-1 Nombres Complexes . . . . . . . . . . 83-2 Racines dun nombre complexe . . . . 84 Polynmes 84-1 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84-2 Division Euclidienne . . . . . . . . . . 95 Fractions Rationnelles 95-1 Dcomposition en lments simples . 95-2 Conseils pratiques . . . . . . . . . . . . 106 Espaces Vectoriels 106-1 Structure despace vectoriel . . . . . . 106-2 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . 106-3 Somme de sous-espaces vectoriels . . 106-4 Norme sur un espace vectoriel . . . . 106-5 Esp. vect. de dim. nie : base . . . . . . 116-6 Espaces vectoriels usuels. . . . . . . . 117 Applications Linaires 117-1 Applications linaires . . . . . . . . . . 117-2 Image et noyau . . . . . . . . . . . . . 127-3 Projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . 127-4 Thorme du rang . . . . . . . . . . . 127-5 Systme linaire. . . . . . . . . . . . . 138 Matrices 138-1 Gnralits. . . . . . . . . . . . . . . . 138-2 Gnralits sur les matrices carres. . 148-3 Matrice dune application linaire . . . 148-4 Matrice de Passage . . . . . . . . . . . 148-5 Changements de base . . . . . . . . . . 159 Dterminants 159-1 Ordre 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 159-2 Matrice triangulaire . . . . . . . . . . . 159-3 Ordre quelconque. . . . . . . . . . . . 159-4 Dterminant dun produit . . . . . . . 159-5 Dt. dune mat. triangulaire par blocs 1610Rduction des Endomorphismes 1610-1 Valeurs propres et vecteurs propres . . 1610-2 Polynme caractristique . . . . . . . . 1610-3 Diagonalisibilit. . . . . . . . . . . . . 1610-4 Diagonalisibilit et diagonalisation. . 1610-5 Triangularisation . . . . . . . . . . . . 1710-6 Puissances dune matrice . . . . . . . . 1711Espaces Prhilbertiens Rels et Euclidiens 1711-1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . 1711-2 Esp. vect. prhilbertiens et euclidiens . 1811-3 Ingalits. . . . . . . . . . . . . . . . . 1811-4 Endomorphismes symtriques . . . . 1811-5 Matrice symtrique relle . . . . . . . 1811-6 Procd de Schmidt. . . . . . . . . . . 1911-7 Projection sur un s-e-v de dim. nie . 1912Groupe Linaire et Groupe Orthogonal 1912-1 Groupe linaire . . . . . . . . . . . . . 1912-2 Groupe orthogonal . . . . . . . . . . . 1913Structure dAlgbre 2013-1 Algbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013-2 Sous-algbre . . . . . . . . . . . . . . . 2013-3 Algbres usuelles . . . . . . . . . . . . 20II Analyse 2114Suites 2114-1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114-2 Sous-suites. . . . . . . . . . . . . . . . 2114-3 Suites vectorielles . . . . . . . . . . . . 2114-4 Suites relles ou complexes . . . . . . 2114-5 Suites relles. . . . . . . . . . . . . . . 2114-6 Suites rcurrentes . . . . . . . . . . . . 2214-7 Suites rcurrentes linaires . . . . . . . 2215Fonctions R R 2315-1 Ensemble de dnition. . . . . . . . . 2315-2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . 2315-3 Limite et continuit . . . . . . . . . . . 2315-4 Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . 2315-5 Equivalents . . . . . . . . . . . . . . . 2416Drivabilit 2416-1 Somme et produit . . . . . . . . . . . . 2416-2 Drive dune fonction compose . . . 2416-3 Drive et prolongement par continuit 2416-4 Th. de Rolle, T.A.F., Formules de Taylor 2516-5 Dveloppements limits . . . . . . . . 2516-6 Oprations sur les d|n . . . . . . . . . . 2516-7 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . 2617Trigonomtrie 2717-1 Proprits lmentaires . . . . . . . . . 2717-2 Symtries . . . . . . . . . . . . . . . . . 2917-3 Arc double. . . . . . . . . . . . . . . . 2917-4 Sommes darcs . . . . . . . . . . . . . . 3017-5 Transformation de produits en sommes 3017-6 Transformation de sommes en produits 3017-7 Formule de Moivre . . . . . . . . . . . 3017-8 Fonctions rciproques . . . . . . . . . 30Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr 17-9 Pour le calcul intgral . . . . . . . . . . 3018Recherche de primitives 3118-1 Fraction rationnelle en r . . . . . . . . 3118-2 Fractions rationnelles diverses . . . . . 3118-3 Polynmeexponentielle. . . . . . . 3218-4 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . 3219Intgrale de Riemann 3219-1 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . 3219-2 Ingalits. . . . . . . . . . . . . . . . . 3219-3 Thorme des 3 conditions . . . . . . . 3419-4 Intgrale dpendant dune borne . . . 3419-5 Continuit et drivation sous

. . . . . 3419-6 Int. par parties et chang. de variable . 3419-7 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . 3520Intgrale gnralise 3520-1 Convergence. . . . . . . . . . . . . . . 3520-2 Fonctions positives . . . . . . . . . . . 3520-3 Thorme des 3 conditions . . . . . . . 3620-4 Int. par parties et chang. de variable . 3620-5 Un procd de convergence . . . . . . 3620-6 Continuit et drivation sous

. . . . . 3720-7 Ensemble de dnition. . . . . . . . . 3721Intgrales doubles et triples 3721-1 Description hirarchique du domaine 3721-2 Calcul dAires et de Volumes . . . . . 3821-3 Inclusion des domaines . . . . . . . . . 3921-4 Changement de variables . . . . . . . 3922Sries numriques (relles ou complexes) 4122-1 Convergence et Convergence Absolue 4122-2 Sries gomtriques . . . . . . . . . . . 4122-3 Sries positives . . . . . . . . . . . . . 4122-4 Critre spcial des sries alternes . . 4222-5 Comparaison srie-intgrale. . . . . . 4222-6 Suite et srie des diffrences . . . . . . 4322-7 Calcul exact de sommes de sries . . . 4322-8 Calcul approch de sommes de sries 4323Sries Entires 4423-1 Rayon de convergence . . . . . . . . . 4423-2 Convergence. . . . . . . . . . . . . . . 4423-3 Somme de deux sries entires . . . . 4523-4 Dveloppement en srie entire. . . . 4523-5 Sries entires usuelles . . . . . . . . . 4523-6 Sr. ent. solution dune quation diff.. 4524Sries de Fourier 4624-1 Coefcients de Fourier . . . . . . . . . 4624-2 Cas o 1 est 2-priodique . . . . . . . 4724-3 Convergence. . . . . . . . . . . . . . . 4724-4 Produit scalaire et formule de Parseval 4825

=

. . . 4825-1 Srie entire . . . . . . . . . . . . . . . 4825-2 Srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . 4825-3 Autres cas . . . . . . . . . . . . . . . . 4826Fonctions RpR 4926-1 Limite et continuit . . . . . . . . . . . 4926-2 Classe (1et (2. . . . . . . . . . . . . . 4926-3 Extrmums dune fonction R2R. . 5027Fonctions (ou suites) valeur dans Rnou Cn5027-1 Limite et continuit . . . . . . . . . . . 5027-2 Fonction RnRp, classe (1. . . . . . 5127-3 Fonction RnRn, classe (1. . . . . . 5128Equations et systmes diffrentiels 5128-1 Gnralits. . . . . . . . . . . . . . . . 5128-2 Non Linaire du premier ordre . . . . 5228-3 Linaire du premier ordre . . . . . . . 5228-4 Lin. du sec. ordre coeff. constants . . 5228-5 Linaire du second ordre. . . . . . . . 5228-6 Systme Linaire du premier ordre . . 5328-7 systme autonome . . . . . . . . . . . 53III Gomtrie 5429Barycentre 5429-1 Barycentre de j points pondrs . . . 5429-2 Associativit du barycentre . . . . . . 5430Isomtries 5430-1 Symtries orthogonales . . . . . . . . . 5430-2 Recherche dune symtrie orthogonale 5430-3 Isomtries Vectorielles . . . . . . . . . 5530-4 Isomtries Afnes. . . . . . . . . . . . 5531Droites et Plans afnes 5631-1 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . 5631-2 Plans de lespace afne. . . . . . . . . 5731-3 Droites de lespace afne. . . . . . . . 5731-4 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5831-5 Aires et Volumes lmentaires . . . . . 5831-6 Distances. . . . . . . . . . . . . . . . . 5832Courbes Planes 5832-1 Courbes dquation n = 1(r) . . . . . 5832-2 Courbes planes en paramtriques . . . 6032-3 Courbes planes en polaires . . . . . . . 6132-4 Courbes usuelles en polaires . . . . . . 6433Courbure et Rayon de Courbure 6433-1 Rayon de courbure dune courbe plane 6433-2 Recherche de la courbure . . . . . . . . 6434Surfaces : Gnralits 6634-1 Surfaces, plan tangent . . . . . . . . . 6634-2 Tangente une courbe de lespace . . 6735Cercles et Sphres 6835-1 Cercles dans le plan et sphres . . . . 68i Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. c Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr35-2 Cocyclicit . . . . . . . . . . . . . . . . 6835-3 Cercles dans lespace.. . . . . . . . . . 6836Coniques 6836-1 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6936-2 Paraboles. . . . . . . . . . . . . . . . . 6936-3 Hyperboles . . . . . . . . . . . . . . . . 7036-4 Identication dune conique. . . . . . 7037Quadriques 7137-1 Equations rduites . . . . . . . . . . . 7137-2 Interse