proracun_tokova_snaga_-_zadaci0
Transcript of proracun_tokova_snaga_-_zadaci0
Analiza elektroenergetskih mreža
15
2. PRORAČUN TOKOVA SNAGA I NAPONSKIH PRILIKA
2.1. Za deo EES prikazan na slici poznato je: r.j11 =U , r.j.75,02 −=P i r.j12 =U . Primenom Gauss-
Seidelovog postupka izračunati 1S , 2Q i 2θ , uzimajući za početnu vrednost o0)0(
2 1=U .
Sl.2.1. Test mreža uz zadatak 2.1.
Rešenje:
∑∑≠=
∗∗∗∗
=
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+=
N
ikk
kikiiii
N
kkikiiii UYUYUUYUjQPS
1
2
1 , (2.1.1)
∑≠=
∗∗∗ +=−=N
ikk
kikiiiiiiii UYUYUUjQPS1
. (2.1.2)
NiUYUjQPUY
UN
ikk
kikiiiiii
i ,,2,1
1L=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−= ∑
≠=
∗∗ . (2.1.3)
1,,2,)(
1
1
)()(
)()1( +=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−= ∑
≠=
ν∗ν
ν+ν
PU
N
ikk
kiki
ii
iii NiUY
UjQP
YU L , (2.1.4)
NNiUYU
jQPY
U PU
N
ikk
kiki
ii
iii ,,2,
)(1
1
)()(
)1(L+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−= ∑
≠=
ν∗ν
+ν . (2.1.5)
S obzirom na to da je u naponski kontrolisanim čvorovima poznat moduo napona, nakon izračunavanja napona u iteraciji 1+ν od rezultata dobijenog prema (2.1.4) zadržava se samo fazni stav dok moduo napona uzima unapred zadatu vrednost:
1,,2,}arg{)1( )1(
+==+ν′+ν
PUU
ii NiUU i L . (2.1.6)
Gauss-ov metod započinje izborom početne vrednosti fazora napona u svim čvorovima (naponi u nultoj iteraciji), a završava se kada apsolutna vrednost razlike napona u svakom od čvorova u dve susedne iteracije bude manja od neke unapred specificirane vrednosti ε .
NiUU ii ,,2,)()1(L=ε≤− ν+ν . (2.1.7)
Da bi se primenila jednačina (2.1.4) potrebno je najpre odrediti reaktivne snage koje se injektiraju u naponski kontrolisanim čvorovima u iteraciji ν :
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== ∑
=
∗ν∗νννN
kkikiii UYUSQ
1
)()()()( )(Im}Im{ . (2.1.8)
Analiza elektroenergetskih mreža
16
Nakon izračunavanja reaktivne snage injektiranja prema (2.1.8) proverava se uslov
max)(
min iii QQQ << ν . Ukoliko ovaj uslov nije ispunjen reaktivna snaga se postavlja na vrednost granice koja je ugrožena a ovaj čvor se posmatra kao PQ čvor. Ukoliko se vrednost fazora napona i-tog čvora izračunata u ν+1-oj iteraciji )1( +ν
iU koristi za
izračunavanje fazora napona čvorova sa indeksom većim od i+1 ( )1(1+
+ν
iU ,..., )1( +νnU ), onda se dolazi do
Gauss-Seidellovog metoda datog sledećim relacijama:
1,,2,)(
1
1
)(1
1
)1()(
)()1( +=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−= ∑∑
+=
ν−
=
+ν∗ν
ν+ν
PU
N
ikkik
i
kkik
i
ii
iii NiUYUY
UjQP
YU L , (2.1.9)
NNiUYUYU
jQPY
U PU
N
ikkik
i
kkik
i
ii
iii ,,2,
)(1
1
)(1
1
)1()(
)1(L+=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−= ∑∑
+=
−
=
+
∗
+ ννν
ν . (2.1.10)
Kao i kod Gauss-ovog metoda i u sluaju Gauss-Seidel-ovog metoda potrebno je korigovanje fazora napona u naponski kontrolisanim čvorovima (2.1.6), kao i određivanje reaktivne snage koja se injektira u naponski kontrolisanim čvorovima (2.1.8). S obzirom na da su u trenutku kada se u proračunu koristi reaktivna snaga )(ν
iQ već izračunati naponi čvorova koji su numerisani brojevima manjim od i u iteraciji 1+ν , umesto jednačine (2.1.8) može se primeniti:
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ∑∑
=
∗ν∗−
=
∗+ν∗ννN
ikkik
i
kkikii UYUYUQ )()(Im )(
1
1
)1()()( . (2.1.11)
Matrica admitanski čvorova mreže prikazane na slici 2.1 sadrži samo imaginarni deo:
r.j.22
22][][ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−== jj čvčv BY
Prema tekstu zadatka čvor 1 je referentno-balansni a čvor 2 naponski kontrolisan.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
∗ν
ν+ν
121)(2
)(22
22
)1(2 )(
1 UYU
jQPY
U .
Reaktivna snaga koja se injektira u naponski kontrolisanom čvoru 2 ( )(2νQ ) određuje se prema
(2.1.8) odnosno (2.1.11):
)})((Im{ )(222121
)(2
)(2
∗ν∗∗νν += UYUYUQ . 2
222)(
21212
222)(
2121)(
2 )(}Re{})(Im{ UBUUBUjBUUjBQ −−=−−= ννν .
Napon referentno-balansnog čvora prema tekstu zadatka je r.j.11 =U a početna vrednost napona r.j.1)0(
2 =U pa se za reaktivnu snagu injektiranja u nultoj iteraciji dobija:
02}Re{2 )0(2
)0(2 =+⋅−= UQ .
Iteracija 1 Napon čvora 2 u prvoj iteraciji iznosi:
r.j.068,1r.j.)375,01(12175,0
21 o556,20)1(
2−
=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−−
−= jj
jU
r.j.)35112,093633,0(r.j.1o556,20)1(
2 jU −==−′
r.j.375,0)0(2
)1(2 =−′ UU
r.j.1273,0293633,02)1(2 =+⋅−=Q ,
Iteracija 2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−
+−−
−= 12
35112,093633,01273,075,0
21)2(
2 jjj
jU ,
r.j.00028,1r.j.)37348,092794,0(o9239,21)2(
2−
=−= jU
Analiza elektroenergetskih mreža
17
r.j.)37337,092768,0(r.j.00028,1o9239,21)2(
2 jU −==−′
r.j.02388,0)1(2
)2(2 =− ′′ UU
r.j.14464,0292768,02)2(2 =+⋅−=Q ,
Iteracija 3
r.j.9999923,0r.j.)3749,0927057,0(o0183,22)3(
2−
=−= jU ,
r.j.)3749,092706,0(r.j.1o0183,22)3(
2 jU −==−′ ,
r.j.00163,0)2(2
)3(2 =− ′′ UU
r.j.14587,0292706,02)3(2 =+⋅−=Q ,
Iteracija 4
r.j.0000003,1r.j.)37499,092703,0(o02387,22)4(
2−
=−= jU ,
r.j.)37499,092703,0(r.j.1o02387,22)4(
2 jU −==−′ ,
r.j.000118,0)3(2
)4(2 =− ′′ UU
U tekstu zadatka nije definisan uslov za izlazak iz iterativne procedura, i ukoliko se usvoji r.j.001,0=ε nakon četvrte iteracije je ispnjen uslov za izlazak iz iterativne procedure. Fazni ugao napona
u čvoru dva je o2 02387,22−=θ :
r.j.1o02387,22
2−
=U , a reaktivna snaga koja se injektira u čvor 2 iznosi: r.j.14594,02)02387,22cos(2 o
2 =+−⋅−=Q
Snaga koja se injektira u referentno balansni čvor određuje se prema jednačini (2.1.1) i iznosi:
∗∗∗ += 212111211 UYUYUS ,
r.j.76407,0r.j.)14594,075,0(o0114,11
1 =+= jS
Rezultati iterativnog proračuna prikazani su u tabeli 2.1. U ovom zadatku razmatrana je jednostavna mreža koja se sastoji od dva čvora, pa se do rešenja moglo doći i bez primene iterativnog postupka. Snaga koja se prenosi vodom i-k (modelovanim zamenskom Π šemom) kod čvora i je:
∗∗ ++−= )())((0 iikiiikkiik UyUUyUUS ,
∗∗−+=ikkiikikiik yUUyyUS *
02 )( , (2.1.12)
)()]()[( )(00
2ikik
jkiikikikikiik jbgeUUbbjggUS ki −−+−+= θ−θ .
i razdvajanjem realnog i imaginarnog dela dobija se: [ ])sin()(cos)( 0
2kiikkiikkiikikiik bgUUggUP θ−θ+θ−θ−+= , (2.1.13)
[ ])cos()sin()( 02
kiikkiikkiikikiik bgUUbbUQ θ−θ−θ−θ−+−= . (2.1.14) Primenom na mrežu prikazanu na slici 2.1. može se pisati: )]sin()cos([ 121212122112
2221 θ−θ+θ−θ−= bgUUgUP , (2.1.15)
))cos()sin(( 1212121221122221 θ−θ−θ−θ−−= bgUUbUQ . (2.1.16)
Kako je 012 =g i 01 =θ , iz prethodnih jednačina se dobija:
1221
212 )sin(
bUUP
−=θ , (2.1.17)
)cos( 21221122221 θ+−= bUUbUQ . (2.1.18)
Zamenom 212 −=b , r.j11 =U , r.j12 =U , r.j.75,0212 −== PP dobija se:
Analiza elektroenergetskih mreža
18
o2 0243,22−=θ r.j.14595,0221 == QQ .
Tabela 2.1. Rezultati proračuna zadatka 2.1.
broj iteracije ν
)(2νU
(r.j.)
)(2νQ
(r.j.)
)1(2+νU
(r.j.) 0 o0
1 0 o556,20
068,1−
1 o556,201
− 0,1273
o9239,2100028,1
−
2 o9239,211
− 0,14464
o0183,229999923,0
−
3 o0183,221
− 0,14587
o02387,220000003,1
−
4 o02387,221
− 0,14594
2.2. Za elektroenergetski sistem prikazan na slici 2.2 odrediti napone čvorova nakon treće iteracije Gauss-Seidel-ovog postupka. Za početne vrednosti uglova 2θ i 3θ uzeti o20− , a za moduo napona U na nultoj iteraciji 200 kV.
Tabela 2.2. Podaci o opterećenjima Čvor Snage (3f) Modul napona kV
MW MVAr (linijski napon) 1 balansni 1201 −GP 601 −GQ 230 2 potrošački -200 -70 3 naponski kontrolisani -250 503 −GQ 230
Sl.2.2. Test mreža uz zadatak 2.2
Rešenje:
S01307,000327,012
jy −= , S02241,0005602,013
jy −= ,
S01518,0003795,023
jy −= ,
S000486,012
jyb
= , S0002835,013
jyb
= , S0004185,023
jyb
= .
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−+−+−−+−+−+−−
=03724,00094,001518,0003795,002241,0005602,0
01518,0003795,00278,0007063,001307,000327,002241,0005602,001307,000327,00351,000887,0
][jjj
jjjjjj
čvY
S obzirom na to da je čvor 2 potrošački a čvor 3 naponski kontrolisan očigledno je da način numeracije čvorova nije u skladu sa načinom numeracije korišćenim u relacijama (2.1.4) i (2.1.5). Prenumerisanjem čvorova mreže (zamena numeracije čvorova 2 i 3) zadatak se svodi na oblik kod je usklađen sa relacijama (2.1.4) i (2.1.5). Međutim, moguće je rešavanje zadatka i sa postojećom numeracijom kao što će se videti, s time da se za čvor 2 koristi relacija (2.1.5) a za čvor 3 relacija (2.1.4). Prema tekstu zadatku 2301 =U a kao inicijalno rešenje uzima se:
kV)4,6894,187(kV200o20)0(
2 jU −==−
,
Analiza elektroenergetskih mreža
19
kV)665,78129,216(kV230o20)0(
3 jU −==−
. Jednačine (2.1.4) i (2.1.5) napisane za čvorove 2 i 3 su:
])(
[1 )(323121*)(
2
22
22
)1(2
ν
ν
+ν −−−
= UYUYU
jQPY
U ,
])(
[1 )1(232131*)(
3
)(33
33
)1(3
+νν
ν+ν −−
−= UYUY
UjQP
YU ,
a za čvor 3 se na svakoj iteraciji primenuje i: ]})()([Im{ *)(
3*33
*)1(2
*32
*1
*31
)(3
)(3
ν+ννν ++= UYUYUYUQ ,
odakle se za vrednosti napona kV200o20)0(
2−
=U i kV230o20)0(
3−
=U dobija: MVAr16,240)0(
3 =Q .
Iteracija 1
kV8,206kV)725,6507,196(o53,18)1(
2−
=−= jU ,
kV23,234kV)95,6576,224(o35,16)1(
3−
=−= jU ,
kV,75546-220,7kV230o35,16)'1(
3 jU ==−
,
kV656,8|| )0(2
)1(2 =−UU , kV37,15|| )0(
3)1(
3 =−′ UU , MVAr7,188)1(
3 =Q .
Iteracija 2
kV4,208kV)155,5812,200(o2,16)2(
2−
=−= jU ,
kV6,231kV)41,5985,223(o86,14)2(
3−
=−= jU ,
kV95-222,3kV230o86,14)'2(
3 jU ==−
,
kV586,8|| )1(2
)2(2 =−UU , kV204,6|| )1(
3)2(
3 =− ′′ UU , MVAr93,165)2(
3 =Q .
Iteracija 3
kV74,209kV)97,5514,202(o47,15)3(
2−
=−= jU ,
kV53,230kV)15,573,223(o35,14)3(
3−
=−= jU ,
kV,0275-222,8kV230o35,14)'3(
3 jU ==−
,
kV973,2|| )2(2
)3(2 =−UU , kV112,2|| )2(
3)3(
3 =− ′′ UU .
U tabeli 2.3. prikazani su rezultati proračuna zaključno sa sedmom iteracijom. Reaktivna snaga koja se injektira u čvor 3, kao i aktivna i reaktivna snaga koje se injektiraju u referentno-balansni čvor iznose: MVAr2,154]}[Im{ *
3*33
*2
*32
*1
*3133 =++= UYUYUYUQ ,
MVA6,175,481][ *3
*13
*2
*121
*1111 jUYUYUYUS −=++= ,
pa je:
MW5,6011 =GP , MVAr4,421 =GQ , MVAr2,2043 =GQ ,
dok se primenom (2.1.12) dobija: MVA4,263,18412 jS += , MVA7,12,17221 jS −−= , MVA442,29713 jS −= , MVA2,1004,27931 jS +−= , MVA3,689,2723 jS −−= , MVA544,2932 jS += .
Analiza elektroenergetskih mreža
20
Tabela 2.3. Rezultati zadatka 2.2.
ν )(
2νU
(kV)
)(3νU
(kV)
)(3νQ
(MVAr)
)1(3+νU
(kV) ||max )()1( ν+ν − ii UU
(kV)
0 o20
200−
o20
230−
240,16 o35,16
2,234−
1 o53,18
8,206−
o35,16
230−
188,7 o86,14
59,231− 15,37
2 o2,16
4,208−
o86,14
230−
165,9 o35,14
53,230− 8,585
3 o47,15
7,209−
o35,14
230−
158,3 o17,14
18,230− 2,973
4 o19,15
2,210−
o17,14
230−
155,6 o11,14
06,230− 1,159
5 o09,15
4,210−
o11,14
230−
154,6 o11,14
06,230− 0,415
6 o05,15
5,210−
o11,14
230−
154,3 o11,14
02,230− 0,145
7 o04,15
5,210−
o11,14
230−
0,053
2.3. U tabelama 2.4 i 2.5 prikazani su podaci o elektroenergetskom sistemu neophodni za izračunavanje tokova snaga i naponskih prilika. Izračunati fazore napona na kraju druge iteracije Gauss-Seidelovog postupka sa faktorom ubrzanja 1,6.
Tabela 2.4. Podaci o vodovima
Dalekovodi između sabirnica
Redne admitanse u relativnim jedinicama
Ukupne otočne admitanse u relativnim jedinicama
1 – 2 82 j− 05,0j 1 – 3 41 j− 2 – 3 664,2666,0 j− 2 – 4 41 j− 3 – 4 82 j−
Tabela 2.5. Snage i naponi čvorova Broj sabirnice P (r.j.) Q (r.j.) U (r.j.)
1 – – 1,06 2 -0,5 -0,2 3 -0,4 -0,3 4 -0,3 -0,1
Rešenje: Najpre je kao i u prethodnom zadatku potrebno odrediti matricu admitansi čvorova:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−+−+−−+−+−+−+−−+−
+−+−−
=
1238241082664,14666,3664,2666,04141664,2666,0639,14666,382
04182975,113
][
jjjjjjjjjjj
jjj
čvY .
S obzirom na to da su svi čvorovi u kojima se izračunavaju naponi u toku iterativne procedure Gauss-Seidelovog postupka potrošački čvorovi primenjuje se jednačina (2.1.10):
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−
−= νν
∗ν+ν )(
424)(
323112)(2
22
22
)1(2 )(
1 UYUYUYU
jQPY
U , (2.3.1)
Analiza elektroenergetskih mreža
21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−
−= ν+ν
∗ν+ν )(
434)1(
223113)(3
33
33
)1(3 )(
1 UYUYUYU
jQPY
U , (2.3.2)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−= +ν+ν
∗ν+ν )1(
334)1(
224)(4
44
44
)1(4 )(
1 UYUYU
jQPY
U . (2.3.3)
Da bi se izvršilo ubrzavanje iterativnog postupka uvodi se faktor ubrzanja i posle svake iteracije vrši se korekcija proračunatih napona u potrošačkim čvorovima:
NNiUUUU PUiiii ,,2,)(~ )()1()()1(L+=−α+= ν+νν+ν
. (2.3.4)
Iteracija 1
⎜⎝⎛ −⋅+−−⋅+−−
+−−
= 1)664,2666,0(06,1)82(1
2,05,0639,14666,3
1)1(2 jjj
jU
r.j.)02933,00135,1(1)41( jj −=⎟⎠⎞⋅+−− ,
r.j.03229,0|| )0(2
)1(2 =−UU
⎜⎝⎛ ⋅+−−⋅+−−
+−−
= )664,2666,0(06,1)41(1
3.04,0664,14666,3
1)1(3 jjj
jU
r.j.)02619,099314,0(1)82()02933,00135,1( jjj −=⎟⎠⎞⋅+−−−⋅ ,
r.j.02707,0|| )0(3
)1(3 =−UU
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−−−+−−
+−⋅
⋅−
=
)02619,099314,0)(82()02933,00135,1)(41(1
1,03,0123
1)1(4
jjjjjj
U
r.j.)0488,09862,0()1(4 jU −= ,
r.j.05702,0|| )0(4
)1(4 =−UU
r.j.05702,0max )0()1( =− iiiUU
r.j.)04694,00216,1()(~ )0(2
)1(2
)0(2
)1(2 jUUUU −=−α+= ,
r.j.)0419,098903,0()(~ )0(3
)1(3
)0(3
)1(3 jUUUU −=−α+= ,
r.j.)07809,09779,0()(~ )0(4
)1(4
)0(4
)1(4 jUUUU −=−α+= ,
Iteracija 2
r.j.)05668,00046,1()2(2 jU −= , r.j.0195,0|| )1(
2)2(
2 =−UU r.j.)07286,097836,0()2(
3 jU −= r.j.03274,0|| )1(3
)2(3 =−UU
r.j.)08827,09714,0()2(4 jU −= r.j.01207,0|| )1(
4)2(
4 =−UU
r.j.03274,0max )1()2( =− iiiUU
r.j.)06253,099447,0(~ )2(2 jU −=
r.j.)09143,097196,0(~ )2(3 jU −=
r.j.)09437,096752,0(~ )2(4 jU −=
Nakon trinaeste iteracije maksimalna razlika napona čvorova između dve susedne iteracije postaje manja od 0,001 r.j.
Analiza elektroenergetskih mreža
22
2.4. Za elektroenergetski sistem prikazan na slici odrediti promenljive stanja posle druge iteracije proračuna tokova snaga Gaus-Seidelovom metodom. Zadatak rešiti u relativnim jedinicama sa baznom snagom 100 MVA.
Z12gr=(22,202+ 74,006) j Ω
1
3
2
Z13gr= 69,143 j Ω Z23
gr=(25,133+ 89,763) j Ω
Z jL=(968+ 484) Ω
Sl. 2.3. Test mreža
Tabela 2.6. Podaci o čvorovima sistema čvor U (kV) θ (rad) GP (MW) PP (MW) GQ (MVAr) PQ (MVAr)
1 220 - 350 100 - 30 2 231 0 - 250 - 100 3 - - 0 150 0 50
Rešenje: Uzimajući nominalni napon sistema za bazni napon, bazna impedansa sistema iznosi:
b
bb S
UZ
2
= , (2.4.1)
Ω== 4841002202
bZ .
Impedanse grana datog sistema u relativnim jedinicama su:
.j.r)1529,004587,0(12 jZ gr += .j.r14286,013 jZ gr = .j.r)18546,005193,0(23 jZ gr += .j.r)12( jZ L +=
Na osnovu tabele 2.6. jasno je da je čvor 2 balansno referentni, čvor 1 je naponski kontrolisan a čvor 3 potoršački. Napon čvora 2 iznosi 1,05 r.j, a napon čvora 1 i početna vrednost napona čvora 3 su 1.r.j. Matrica admitansi čvorova je:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−+−−+−
+−−=
2,128,154,1754,1112,368,1
768,1138,1][
jjjjjj
jjj
čvY .
Reaktivna snaga injektiranja u čvoru 1 izračunava se na sledeći način: ]})()()([Im{ *)0(
3*13
*2
*12
*)0(1
*11
)0(1
)0(1 UYUYUYUQ ++= ,
r.j.3,0}1)7(05,1)68,1(1)138,1(Im{)0(1 −=⋅−+⋅−−+⋅+= jjjQ .
Iteracija 1
])(
[1 )0(313212*)0(
1
)0(11
11
)1(1 UYUY
U
jQPY
U −−−
= ,
]1705,1)68,1(1
3,05,2[138,1
1)1(1 ⋅−+−−
+−
= jjjj
U ,
r.j.0455,1r.j.)1955,00271,1(o776,10)1(
1 =+= jU
Analiza elektroenergetskih mreža
23
r.j.)18697,098236,0(r.j.1o776,10)'1(
1 jU +==
])(
[1232
)'1(131*)0(
3
33
33
)1(3 UYUY
UjQP
YU −−
−= ,
r.j.)03502,094783,0()1(3 jU −=
Iteracija 2
]})()()([Im{ *)1(3
*13
*2
*12
*)1(1
*11
)'1(1
)1(1 UYUYUYUQ ++= ′ ,
r.j01424,0)1(1 −=Q ,
])(
[1 )1(313212*)'1(
1
)1(11
11
)2(1 UYUY
U
jQPY
U −−−
= ,
r.j.999,0r.j.)17916,098276,0(o3319,10)2(
1 =+= jU
r.j.)17935,098378,0(r.j.1o3319,10)'2(
1 jU +==
])(
[1232
)'2(131*)1(
3
33
33
)2(3 UYUY
UjQP
YU −−
−= ,
r.j.9414,0r.j.)0433,094044,0(o636,2)2(
3−
=−= jU
2.5. Za elektroenergetski sistem iz zadatka 2.2 izvršiti proračun tokova snaga i naponskih prilika primenom Newton-Raphson-ovog postupka. Za početne vrednosti uglova 2θ i 3θ uzeti o0 , a za moduo napona 2U na nultoj iteraciji 200 kV.
Rešenje:
[ ]∑≠=
θ−θ+θ−θ+=N
ikk
kiikkiikkiiiii BGUUGUP1
2 )sin()cos(),( Uθrr
, (2.5.1)
[ ]∑≠=
θ−θ−θ−θ+−=N
ikk
kiikkiikkiiiii BGUUBUQ1
2 )cos()sin(),( Uθrr
. (2.5.2)
TNNN
T UUPU
][][ 12 KKrrr
+θθ== UθX . (2.5.3)
0Xfrrr
=)( , T
NNN QQPPPU
])()()()([)( 12 XXXXXfr
Krr
Krrr
ΔΔΔΔ= + , (2.5.4)
gde )()( XXrr
isp
ii PPP −=Δ , )()( XXrr
ispii QQQ −=Δ .
Osnovna jednačina Newton-Raphsonovog metoda je:
)()]([ )(1)()()1( ν−νν+ν = XfXJXXrrrrr
- , (2.5.5)
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−= νν
νν
ν)()(
)()(
)( )]([
UQ
θQ
UP
θP
XJ rr
. (2.5.6)
Iterativni postupak se prekida kada se ispuni ε≤ν |}{|max )(ii
f , gde je ε unapred zadata tačnost
kojom je određena željena tačnost rešenja.
∑≠=
θθθθ=θ∂∂ N
ijj
ijijjii
i GBUUP
1jiji ])-(sin-)-(cos[ , (2.5.7)
Analiza elektroenergetskih mreža
24
])-(cos-)-(sin[ jiji θθθθ=θ∂∂
ijijjij
i BGUUP , (2.5.8)
∑≠=
θθ+θθ+=∂∂ N
ijj
ijijjiiii
i BGUGUUP
1jiji ])-(sin)-(cos[2 , (2.5.9)
])-(sin)-(cos[ jiji θθ+θθ=∂∂
ijijij
i BGUUP , (2.5.10)
∑≠=
θθ+θθ=θ∂
∂ N
ijj
ijijjii
i BGUUQ
1jiji ])-(sin)-(cos[ , (2.5.11)
])-(sin)-(cos[ jiji θθ+θθ−=θ∂∂
ijijjij
i BGUUQ , (2.5.12)
∑≠=
θθ−θθ+−=∂∂ N
ijj
ijijjiiii
i BGUBUUQ
1jiji ])-(cos)-(sin[2 , (2.5.13)
])-(cos)-(sin[ jiji θθ−θθ=∂∂
ijijij
i BGUUQ . (2.5.14)
Najpre će biti izvršena prenumeracija čvorova tako što čvorovi 2 i 3 zamene brojeve. Matrica admitansi čvorova već je određena u zadatku 2.2 a sa novom numeracijom čvorova ima se:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−+−+−−+−+−+−−
=0278,0007063,001518,0003795,001307,000327,001518,0003795,003724,00094,002241,0005602,0
01307,000327,002241,0005602,00351,000887,0][
jjjjjj
jjj
čvY .
Za slučaj sistema prikazanog na slici 2.2, a sa novouvedenom numeracijom čvorova vektor promenljivih stanja je TU ][ 332 θθ=X
ra sistem jednačina (2.5.4) je:
,)]sin()cos([
)sincos(
3223322332
22122112222221
θ−θ+θ−θ−−θ+θ−−=
BGUUBGUUGUPf
,)]sin()cos([
)sincos(
2332233223
33133113332332
θ−θ+θ−θ−−θ+θ−−=
BGUUBGUUGUPf
.)]cos()sin([
)cossin(
2332233223
33133113332333
θ−θ−θ−θ−−θ−θ−+=
BGUUBGUUBUQf
Snage injektiranja za novouvedenu numeraciji su MW2502 −=P , MW2003 −=P , MVAr703 −=Q , a napon referentno-balansnog i generatorskog čvora su kV2301 =U i kV2302 =U .
Kako je prema tekstu zadatka polazni vektor promenljivih stanja T]20000[)0( =Xr
izračunava se:
MVA603,117622,157186,276
)0(
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=fr
MVA186,276|}{|max )0( =iif .
U tekstu zadatka nije specificirana željena tačnost proračuna i koristiće se vrednost MVA001,0=ε .
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−=
622,49,324573,1742007,16,1299292,698
8729,0292,69873,1883][ )0(J ,
Analiza elektroenergetskih mreža
25
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⋅−= −−
16,203791,500171,0918,0356,0
031,0364,0633,010][ 31)0(J .
Iteracija 1
)0(1)0()0()1( ][ FJXXrrr
−−= ,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=887,215
263214,023683,0
)1(Xr
.
MVA651,32
63067,4416,12
)1(
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=f
r.
ε>= MVA651,32|}{|max )1(ii
f .
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−=
8286,5819,533261,20857696,002,1333527,748
78045,047,75828,1841][ )1(J ,
Iteracija 2
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⋅+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
= −
651,3263067,4
416,12
825,165505,72719,10042,0958,0394,0
053,0425,071,010
887,215263214,023683,0
3)2(Xr
,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=675,210
2623,02454,0
)2(Xr
, MVA843128,0016644,0
2022,0)2(
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=fr
,
ε>= MVA843,0|}{|max )2(ii
f
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−=
5285,547,513292,1965388,003,1303353,732
8137,057,73848,1816][ )2(J .
Iteracija 3
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⋅+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
= −
843128,0016644,0
2022,0
214,175585,7554,11037,0979,0399,0
064,0432,0718,010
675,2102623,02454,0
3)3(Xr
,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=524,210
262366,024561,0
)3(Xr
, MVA1065,0
118,0088,0
3)3( −⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=fr
.
)]sin()(cos[)]sin()cos([
31331331
2122122111211
θ−+θ−++θ−+θ−+=
BGUUBGUUGUP
,
)]cos()sin([))cos()sin((
31331331
2122122111211
θ−−θ−++θ−−θ−+−=
BGUUBGUUBUQ
,
)]cos()sin([
))cos()sin((
3223321332
2122122122222
θ−θ−θ−θ++θ−θ+−=
BGUUBGUUBUQ
,
MW348,4811 =P , MVAr662,171 −=Q , MVAr091,1542 =Q .
Analiza elektroenergetskih mreža
26
Tabela 2.7. Naponi čvorova i injektirane snage Broj čvora U [kV] ][oθ oinjektiranP
[MW] oinjektiranQ
[MVAr] 1 230 0 481,348 -17,662 2 210,524 -15,032 -200 -70 3 230 -14,072 -250 154,091
Sl. 2.5. Rezultati proračuna tokova snaga i naponskih prilika
2.6. Za sistem sa slike 2.6 odrediti napone kod potrošača i raspodelu snage po vodovima ako napon referentno-balansnog čvora ima vrednost 230 kV.Zadatak rešiti Newton-Raphson-ovim postupkom.
Sl. 2.6. Test mreža
Rešenje: Zadatak će biti rešen u relativnim jedinicama. Za baznu snagu uzima se 100 MVA, bazni napon 220 kV odakle sledi da je bazna otpornost Ω484 . Kao kriterijum za izlazak iz iterativne procedure
koristiće se j.r10 5−=ε .
j..r)592,7898,1(6015
484150)4,01,0(
484484
1212
jjjlz
y −=+
=+
==
j..r)592,7898,1(48413
13j
lzy −==
j..r)388,11847,2(484
2323
jlz
y +−==
r.j.19602,02
150150484107,22
6131213012010
jjllyyyy =+
⋅⋅⋅=+
=+= −
r.j.16335,02
100150104847,22
6231223012020
jjllyyyy =+
⋅⋅⋅=+
=+= −
Analiza elektroenergetskih mreža
27
r.j.16335,02
231323013030
jllyyyy =+
=+=
r.j.817,18745,4388,11847,2592,7898,1388,11847,2817,18745,4592,7898,1
592,7898,1592,7898,1988,14796,3][
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−+−+−−+−+−+−−
=jjjjjjjjj
čvY
Za slučaj sistema prikazanog na slici 2.6 vektor promenljivih stanja je TUU ][ 3232 θθ=Xr
a sistem jednačina (2.5.4) je:
,)]sin()cos([
)sincos(
3223322332
22122112222221
θ−θ+θ−θ−−θ+θ−−=
BGUUBGUUGUPf
,)]sin()cos([
)sincos(
2332233223
33133113332332
θ−θ+θ−θ−−θ+θ−−=
BGUUBGUUGUPf
,)]cos()sin([
)cossin(
3223322332
22122112222223
θ−θ−θ−θ−−θ−θ−+=
BGUUBGUUBUQf
.)]cos()sin([
)cossin(
2332233223
33133113332334
θ−θ−θ−θ−−θ−θ−+=
BGUUBGUUBUQf
Prema slici 2.6 snage injektiranja su r.j12 −=P , r.j4,02 −=Q , j.r2,13 −=P , r.j5,03 −=Q , a napon referentno-balansnog čvora r.j0455,11 =U . Usvajajući polazni vektor promenljivih stanja T]1100[)0( =X
r izračunava se:
j..r
008448,010845,0
1137,19137,0
)0(
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=fr
r.j.1137,1|}{|max )0( =iif
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=
3086,183882,1183137,484706,23882,113086,1884706,283137,46588,48471,23255,193882,11
8471,26588,43882,113255,19
][ )0(J ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−−
−=−
08365,005198,002091,001299,005198,008365,001299,002091,001935,001161,00744,00438,001161,001935,00438,00744,0
][ 1)0(J .
Iteracija 1
)0(1)0()0()1( ][ FJXXrrr
−−= ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−−
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
008448,010845,0
1137,191373,0
08365,005198,002091,001299,005198,008365,001299,002091,001935,001161,00744,00438,001161,001935,00438,00744,0
1100
)1(Xr
,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=
9712,09759,012436,011901,0
)1(Xr
.
Analiza elektroenergetskih mreža
28
j..r
058887,0052511,0050983,0036238,0
)1(
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=fr
ε>= r.j.058887,0|}{|max )1(ii
f
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=
82053,1704507,1162455,575617,212884,110081,1864066,248319,542523,382415,21892,187792,10
71902,264336,38081,102696,18
][ )1(J ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−−
−=−
08697,005393,003216,002204,005406,008597,002267,003102,001032,00034,008099,004832,000394,001113,004818,008042,0
][ 1)1(J .
Iteracija 2
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−−
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=
058887,0052511,0050983,0036238,0
08697,005393,003216,002204,005406,008597,002267,003102,001032,00034,008099,004832,000394,001113,004818,008042,0
9712,09759,012436,011901,0
)2(Xr
,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=
96079,096595,012945,012356,0
)2(Xr
, r.j.10
762,0666,0773,0439,0
3)2( −⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=fr
r.j.000733,0|}{|max )2( =iif
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=
5596,179254,1057949,57045,20165,1176297,1757998,242705,531086,379983,28695,175534,10
68527,254875,35845,109569,17
][ )2(J ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−−
−=−
08889,005535,003335,002294,00055,008775,002365,003206,000982,000285,008233,0049,000346,001075,004884,00817,0
][ 1)2(J .
Iteracija 3
3)3( 10
762,0666,0773,0439,0
08889,005535,003335,002294,00055,008775,002365,003206,000982,000285,008233,0049,000346,001075,004884,00817,0
96079,096595,012945,012356,0
−⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−−
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=Xr
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=
960647,096582,0129526,0123623,0
)3(Xr
, r.j.10
1394,01197,01646,0069,0
6)3( −⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=fr
MW7,228r.j.287,21 ==P , MVAr08,73r.j.7308,01 ==Q .
Analiza elektroenergetskih mreža
29
Tabela 2.8. Naponi čvorova i injektirane snage Broj čvora U [kV] ][oθ oinjektiranP
[MW] oinjektiranQ
[MVAr] 1 230 0 228,7 73,08 2 212,476 -7,0831 -100 -40 3 211,332 -7,4213 -120 -50
Sl. 2.7. Raspodela snaga po vodovima za zadatak 2.6.
2.7. Izvršiti proračun tokova snaga i naponskih prilika za elektroenergetski sistem razmatran u zadatku 2.6 primenom raspregnutog postupka.
Rešenje: Matrica admitansi čvorova dobijena je u prethodnom zadatku:
r.j.817,18745,4388,11847,2592,7898,1388,11847,2817,18745,4592,7898,1
592,7898,1592,7898,1988,14796,3][
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−+−+−−+−+−+−−
=jjjjjjjjj
čvY
Smatrajući da su svi elementi submatrica UP
∂∂ i
θQ∂∂ u Jacobijevoj matrici jednaki nuli, Jacobijan
)]([ XJr
dobija oblik:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
−=
UQ
θP
XJ0
0)]([r
. (2.7.1)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ΔΔ
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ν
ν
−
ν
ν
ν
ν
+ν
+ν
)(
)(
1
)(
)(
)(
)(
)1(
)1(
QP
UQ0
0θP
Uθ
Uθ
r
r
r
r
r
r
, (2.7.2)
)(
1)()()1( ν
−νν+ν Δ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+= PθPθθ
rrr , (2.7.3)
)(
1)()()1( ν
−νν+ν Δ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+= QUQUU
rrr . (2.7.4)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡θθ
=3
2θr
, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
3
2
UU
Ur
, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
=Δ3
2
PP
Pr
, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
=Δ3
2
Qr
.
Analiza elektroenergetskih mreža
30
Kod izračunavanja Pr
Δ i Qr
Δ primenjuju se relacije (2.5.1) i (2.5.2). Usvajaju se polazne vrednosti
T]00[)0( =θr
, T]11[)0( =Ur
i izračunava r.j.1137,19137,0)0(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=ΔPr
i r.j008448,010845,0)0(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=ΔQ
r.
r.j.1137,1|}|,|{|max )0()0( =ΔΔ iiiQP
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
3255,193882,113882,113255,19)0(
θP , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
3086,183882,113882,113086,18)1(
UQ .
Iteracija 1
)0(
1)0()0()1( P
θPθθ
rrrΔ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+=
−
, )0(
1)0()0()1( Q
UQUU
rrrΔ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+=
−
,
r.j.131,0
1244,0)1(⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=θr
, r.j.0068,10101,1)1(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=U
r
r.j.01456,003762,0)1(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=ΔPr
, r.j.34852,029339,0)1(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=ΔQr
.
ε>=ΔΔ r.j.34852,0|}|,|{|max )1()1(iii
QP .
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
224,195623,116,113068,19)1(
θP , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
794,18446,11237,5902,18)1(
UQ .
Iteracija 2
r.j.134,0
1282,0)2(⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=θr
, r.j.96223,096476,0)2(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=U
r
r.j.03065,003378,0)2(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=ΔP
r , r.j.
02246,002531,0)2(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=ΔQr
kV48,212o083,7
2−
=U , kV34,211o421,7
2−
=U .
Tabela 2.9. Rezultati proračuna naponskih prilika raspregnutim metodom Iteracija
ν )(
2νU )(
3νU |}|,|{|max )()( νν ΔΔ iii
QP
0 o01
o01 1,1137
1 o13,7
0101,1−
o5,7
0067,1−
0,3485
2 o347,7
9674,0−
o677,7
9622,0−
0,03378
3 o092,7
9639,0−
o429,7
9587,0−
0,01285
4 o072,7
9658,0−
o412,7
9606,0−
0,00167
5 o083,7
9659,0−
o421,7
9607,0−
0,0006
6 o083,7
9658,0−
o421,7
9606,0−
0,000086
kV48,212o083,7
2−
=U , kV34,211o421,7
2−
=U .
Analiza elektroenergetskih mreža
31
2.8. Izvršiti proračun tokova snaga i naponskih prilika za elektroenergetski sistem razmatran u zadatku 2.6 primenom brzog raspregnutog metoda.
Rešenje:
Kod prethodno razmatranog raspregnutog postupka pretpostavke: 1)-cos( ≈ki θθ , 0)-sin( ≈ki θθ i |||)sin(| ikkiik BG <<θ−θ su korišćene samo da bi se pokazalo da vandijagonalne submatrice Jakobijeve
matrice teže nuli. Kada se ove pretpostavke primene i kod izračunavanja θP∂∂ i
UQ∂∂ , dobija se:
∑≠=
−≈=θ∂∂ N
ijj
iiiijjii
i BUBUUP
1
2 , (2.8.1)
ijjij
i BUUθP
−=∂∂ (2.8.2)
iii
N
ijj
ijjiiii
i BUBUBUUQ
−≈−−=∂∂ ∑
≠=1
2 (2.8.3)
ijij
i BUUQ
−=∂∂ (2.8.4)
U relacijama (2.8.1) i (2.8.3) ovedeno je i ji UU ≈ , ∑≠=
−≈N
ijj
iiij BB1
da bi se relacije mogle napisati u
matričnom obliku:
]][][[ U'B'U'θP
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂ , (2.8.5)
]][[ B"U"UQ
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂ , (2.8.6)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
NU
UU
L
OM
L
00
0000
][ 3
2
U' , ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= +−
+−
N
NN
NN
U
UU
PQ
PQ
L
MOM
L
00
0000
][ 2
1
U" ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
NNNN
N
N
BBB
BBBBBB
L
MOMM
L
L
32
33332
22322
][B' ,
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+−+−
+−+−+−+−+−
+−+−+−+−+−
NNNNNNNN
NNNNNNNNNNN
NNNNNNNNNNN
BBB
BBBBBB
PQPQ
PQPQPQPQPQ
PQPQPQPQPQ
,2,1,
,22,21,2
,12,11,1
][
L
MOMM
L
L
B"
r.j.817,18745,4388,11847,2592,7898,1388,11847,2817,18745,4592,7898,1
592,7898,1592,7898,1988,14796,3][
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−+−+−−+−+−+−−
=jjjjjjjjj
čvY
r.j.817,18388,11
388,11817,18][][ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−== B"B'
Kod izračunavanja Pr
Δ i Qr
Δ primenjuju se relacije (2.5.1) i (2.5.2). Usvajaju se polazne vrednosti
T]00[)0( =θr
, T]11[)0( =Ur
i izračunava r.j.1137,19137,0)0(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=ΔPr
i r.j008448,010845,0)0(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=ΔQ
r.
r.j.1137,1|}|,|{|max )0()0( =ΔΔ iiiQP
Analiza elektroenergetskih mreža
32
r.j.1001
][][ )0()0(⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== U"U'
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
817,18388,11388,11817,18
1001
817,18388,11388,11817,18
1001)0(
θP .
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
817,18388,11388,11817,18
817,18388,11388,11817,18
1001)0(
UQ .
Iteracija 1
)0(
1)0()0()1( P
θPθθ
rrrΔ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+=
−
, )0(
1)0()0()1( Q
UQUU
rrrΔ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+=
−
,
r.j.1398,01331,0)1(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=θr
, r.j.0062,10095,1)1(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=U
r ,
r.j.05414,002869,0)1(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=ΔP
r, r.j.
3723,03141,0)1(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=ΔQr
r.j.0062,1000095,1
][][ )1()1(⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== U"U'
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
0516,195681,115681,111771,19)0(
θP , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
9339,18459,114967,119962,18)1(
UQ ,
Iteracija 2
r.j1338,01281,0)2(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=θr
, r.j95939,096465,0)2(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=U
r,
r.j.03105,003498,0)2(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=ΔP
r, r.j.
00284,0006146,0)2(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=ΔQr
.
Tabela 2.10. Rezultati proračuna kompletno raspregnutog postupka Iteracija
ν )(
2νU )(
3νU |}|,|{|max )()( νν ΔΔ iii
QP
0 o01
o01 1,1137
1 o629,7
0095,1−
o01,8
0062,1−
0,37234
2 o338,7
9646,0−
o669,7
9594,0−
0,03498
3 o06,7
964,0−
o397,7
9588,0−
0,01385
4 o07,7
9659,0−
o413,7
9607,0−
0,00161
5 o08,7
9659,0−
o422,7
9607,0−
0,000592
6 o083,7
9658,0−
o422,7
9606,0−
0,0000793
kV48,212o083,7
2−
=U , kV34,211o422,7
2−
=U .
Analiza elektroenergetskih mreža
33
2.9. Proračunati tokove aktivnih snaga po granama elektroenergetskog sistema iz zadatka 2.6 primenom linearnog (DC) modela.
Rešenje: Linearni model, koji se često naziva i DC model koristi se za približan proračun tokova aktivnih snaga, posebno pri planiranju i analizi sigurnosti prenosnih mreža. Pretpostavke koje se koriste za formiranje ovog modela su: 1)-cos( =ji θθ , jiji θθθθ -)-sin( = , 0=ijG i nomji UUU == . Relacija za injektiranu aktivnu snagu (2.5.1) nakon uvođenja navedenih pretpostavki dobija oblik:
∑≠=
−=N
ijj
jiijni θθBUP1
2 )( , (2.9.1)
∑∑∑∑=
≠=
≠=
≠=
−=−−≈−=N
jjijn
N
ijj
jijniiin
N
ijj
jijn
N
ijj
ijini θBUθBUθBUθBUBθUP1
2
1
22
1
2
1
2 . (2.9.2)
Pošto je 01 =θ prethodna jednačina napisana za sve čvorove osim balansno referentnom dovodi do sistema jednačina koji je u matričnom zapisu:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
NNNNN
N
N
nom
N θ
θθ
BBB
BBBBBB
U
P
PP
M
L
MOMM
L
L
M3
2
32
33332
22322
23
2
, (2.9.3.)
θBPrr
][2 ′−= nomU , (2.9.4) θBP
rr][ ′−= , (2.9.5)
PBθrr
1][ −′−= , (2.9.6)
Prvi pristup Zamenarujući aktivne otpornosti i otočne elemente matrica admitansi je:
r.j.167,201,12067,81,12167,20067,8
067,8067,8134,16][
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−= jčvY
r.j.167,201,121,12167,20
][ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=B'
r.j.2,1
1
3
2⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
PP
Pr
MW2202
1 =−= ∑=
N
iiPP .
rad1395,01333,0
2,11
167,201,121,12167,20 1
3
2⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡θθ −
,
o2 6355,7−=θ , o
3 9906,7−=θ . )( ki
gikik θθbP −−= . (2.9.7)
MW5,107r.j.075,1)( 122112 ==θ−θ−= gbP , MW5,112r.j.125,1)( g
133113 ==θ−θ−= bP , MW5,7r.j.075,0)( g
233223 ==θ−θ−= bP .
Analiza elektroenergetskih mreža
34
Drugi pristup
r.j.98,18745,4388,11847,2592,7898,1388,11847,298,18745,4592,7898,1
592,7898,1592,7898,1184,15796,3][
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−+−+−−+−+−+−−
=jjjjjjjjj
Y čv
r.j.98,18388,11
388,1198,18][ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=B'
rad1482,01416,0
2,11
98,18388,11388,1198,18 1
3
2⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡θθ −
,
o2 1127,8−=θ , o
3 49,8−=θ . MW5,107r.j.075,1)( 122112 ==θ−θ−= gbP , MW5,112r.j.125,1)( 133113 ==θ−θ−= gbP , MW5,7r.j.075,0)( 233223 ==θ−θ−= gbP .
2.10. Za EES prikazan na slici, primenom kompletno raspregnutog (DC) modela za proračun tokova snaga proračunati tokove aktivnih snaga po granama:
12
3
SG1 SG2=(200+jQG2) MVA
SP1=(100+ 50j ) MVA
S12
Z13=(14,89+ 119,4j ) Ω Z23= 150j Ω
Z12=(19,17+ 191,7j ) Ω
SP3=(400+ 200j ) MVAZ30= 100j Ω
S13 S23
~ ~G2
U2=400 kVU1=400 kV
G1
Sl. 2.8 Test sistem
Rešenje:
MW2002 =P , MW4003 −=P .
MW2002
1 =−= ∑=
N
iiPP .
Prvi pristup
S01504,000667,000837,0
00667,001188,000522,000837,000522,001359,0
][⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=B ,
S01504,000667,0
00667,001188,0][ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=′B .
PBθrr
12 ][1 −′−=nU
,
rad15915,00159,0
400200
01504,000667,000667,001188,0
4001
1
23
2⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡θθ −
.
MW273,13)( 212
1212 −=θ−θ−= ng UbP ,
MW273,213)( 312
1313 =θ−θ−= ng UbP ,
Analiza elektroenergetskih mreža
35
MW727,186)( 322
2323 =θ−θ−= ng UbP .
Drugi pristup
S01492,000667,000825,0
00667,001183,000516,000825,000516,001341,0
][⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=B ,
S01492,000667,0
00667,001183,0][ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=′B .
rad16094,0
01496,0400
20001492,000667,0
00667,001183,0400
11
23
2⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡θθ −
.
MW366,12)( 212
1212 −=−−= θθng UbP ,
MW366,212)( 312
1313 =−−= θθng UbP ,
MW634,187)( 322
2323 =−−= θθng UbP .