Problemas del capítulo 3

1.- Buscar los valores nulos de la totalidad del campo cuando d = λ/4

(a) β = 0

(b) β= +

(c) β= -

Solución:

(a) β= 0

El campo normalizado viene dado por

Los nulos se obtienen estableciendo el campo total igual a cero

= 0

Por lo tanto

Y

= No existe

La nulidad sólo se produce en θ = 90° y se debe al patrón de los elementos individuales, el

factor de la matriz no aporta ninguna nulos adicionales porque no hay suficiente

separación entre los elementos para introducir una diferencia de fase de 180° entre los

elementos, para cualquier ángulo de observación.

(b) β= +

El campo normalizado viene dado por

Los nulos se encuentran desde

= 0

Por lo tanto

Y

= 0 = = 0°

= = No existe

Los nulos de la matriz se producen en θ = 90° y 0°. La hipótesis nula a 0° se introduce por

la disposición de los elementos (factor de matriz). Esto también se puede demostrar

mediante el razonamiento físico. Como se muestra en la figura 2 (a). El elemento en el eje

Z negativo tiene un retraso de fase inicial de 90° en relación con el otro elemento. Como la

ola de ese elemento viaja hacia el eje z positivo (θ = 0° dirección). Se somete a una fase de

retraso adicional de 90° cuando se llega al otro elemento en el eje Z positivo. Por lo tanto

hay un total de 180° la diferencia de fase entre las ondas de los dos elementos.

Figura 2 Fase de acumulación de dos matriz de elemento para la formación nula hacia θ =

0° y 180°.

Hacia el eje Z positivo (θ = 0°). Las olas de los dos elementos están en fase cuando viajan

en sentido negativo en el eje Z (θ= 180°), como se muestra en la figura 2 (b).

(c) β= -

El campo normalizado viene dado por

Y los nulos por

= 0

Por lo tanto

Y

= 0 = = No existe

= = 180°

Los nulos se producen en 90° y 180°. El elemento en el eje z positivo tiene un desfase de

90° en relación con el otro. Y la diferencia de fase es de 180°. Cuando los viajes se limita

hacia el eje Z negativo. No hay diferencia de fase cuando las ondas viajan hacia el eje z

positivo.

2.- Considerar una serie de dos dipolos idénticos infinitesimal orientados como se muestra

en las figuras 6.1 (a) y (b). La separación d, β fase de excitación diferencia entre los

elementos, buscar los ángulos de observación donde los nulos de la matriz se producen.

La excitación de la magnitud de los elementos es la misma.

Solución:

El campo normalizado total de la matriz está dada por (6-3) como:

Buscar los valores nulos, el campo es igual a cero;

Por lo tanto;

Y

=

=

n = 0, 1, 2,….

La hipótesis nula a los θ= 90° se atribuye al patrón de los elementos individuales de la

matriz, mientras que los restantes se deben a la formación de la matriz. Sin diferencia de

fase entre los elementos (β = 0). La separación “d” debe ser igual o superior a media una

longitud de onda (d ≥ λ/2) a fin de que al menos un valor nulo, debido a la formación de la

matriz, que se produzca.

3.- Dado un costado lineal, matriz uniforme de 10 elementos isotrópicos, (N = 10) con una

separación de λ/4 (d = λ/4) entre los elementos, encontrar la direccionalidad de la matriz.

Solución:

Utilizando la siguiente ecuación.

4.- Dado un arreglo lineal uniforme, end-fire de 10 elementos (N=10) con una separación

de entre los elementos, encontrar la directividad del factor de arreglo.

Solución

Usando la ecuación

Tenemos

Este valor para la directividad es aproximado.

5.-Dado un arreglo lineal uniforme, end-fire (con mejora de directividad) Hansen-

Woodard, de 10 elementos (N=10) con una separación de entre los

elementos, encontrar la directividad del factor de arreglo.

Solución

Usando la ecuación

El valor de la directividad es 1.805 veces mayor que lo del ejemplo 6.4

(ordinario end-fire) y 3.578 veces mayor que lo encontrado en el ejemplo 6.3 (broadside).

6.-Diseñar un arreglo lineal uniforme de barrido cuyo máximo del factor de arreglo es 30° desde el eje del arreglo (θ=30). El ancho de haz de media potencia deseado es de 2°, mientras que el espacio entre los elementos es de . Determinar la alimentación de los

elementos (amplitud y fase), longitud del arreglo (en longitudes de onda), número de elementos, y la directividad (en dB).

Solución

Ya que el diseño deseado es un arreglo lineal uniforme de barrido, la amplitud de alimentación es uniforme. Sin embargo, la fase progresiva entre los elementos es, usando la siguiente ecuación:

La longitud del arreglo se obtiene mediante un procedimiento iterativo como el siguiente

O su solución gráfica como el da la siguiente figura

Utilizando la gráfica anterior para un ángulo de lectura de 30° y 2° de ancho de haz de media potencia, la longitud aproximada más el espaciado (L+d) del arreglo es 50λ. Para la longitud de 50λ más una dimensión de espacio de la figura 6.11 y 30° el ángulo de lectura. La ecuación anterior conduce a un ancho de haz de media potencia, de 2.03°, que es muy cercano al valor deseado de 2°. Por lo tanto, la longitud del arreglo para una separación de

es 49.75λ.

Ya que la longitud del arreglo es 49.75λ y el espacio entre los elementos es el

número total de elementos es

La directividad del arreglo se obtiene usando la intensidad de radiación y el programa de computadora DIRECTIVITY al final del capítulo 2, y esta es igual a 100.72 o 20.03 dB.

7.- Dos dipolos de media longitud de onda (λ/2) son posicionados a lo largo del eje x y

están separados por una distancia d como se muestra en la figura. Las longitudes de los

dipolos son paralelos al eje z. Encuentra el campo total del arreglo, asuma una excitación

de amplitud uniforme y una diferencia de fase de β progresiva.

Solución:

El patrón de campo de una señal simple colocada en el origen está dada por:

De acurdo a lo visto podemos describir al factor de arreglo como:

El campo total del arreglo está dado, usando las reglas de multiplicación de patrón, por:

8.- Para un arreglo binomial de 10 elementos con un espaciamiento de λ/2 entre cada

elemento, cuyo patrón de amplitud está explicado en la figura. Determine la potencia

media del ancho de haz (en grados) y la directividad máxima (en dB). Compare la

respuesta con otro dato disponible.

Solución:

Usando la ecuación del ancho de haz de potencia media es igual a:

El valor obtenido usando el factor de arreglo, cuyo patrón está mostrado en la figura, es

de 20.5°, el cuál se puede compara con el valor aproximado.

Usando la ecuación, el valor de la directividad es igual para N=10

Mientras que el valor obtenido usando la otra ecuación tenemos:

El valor obtenido usando el factor de arreglo y el programa de computo DIRECTIVITY es

D0=5.392=7.32 dB. Es recomendable comparar los valores con algunos otros.

9.- Diseñar un arreglo de 10 elementos broad-side Dolph-Tschebyscheff con un espaciado

d entre cada elemento y con un mejora menor radio del lóbulo de 26 dB. Encuentra los

coeficientes de excitación y la forma del factor de arreglo.

Solución:

1.- El factor de arreglo está dado por:

2.-Cuando se expande, el factor de arreglo puede escribirse como:

Remplaza cos (u), cos (3u), cos (5u), cos (7u) y cos (9u) por sus series de expansión.

3.-

Z0= cosh [1/9cosh^-1(20)]=1.0851

4.- Sustituir:

En el factor de arreglo encontrado en el paso 2

5.- Igualando el factor de arreglo del paso 2, después de la sustitución del paso 4 a T9

(z).Dicha función polinomial se muestra en la figura por lo tanto:

Al simplificar los términos similares permite la determinación de las an’s esto es:

Dentro de la forma normalizada, los coeficientes an puede ser escrito como:

La primera serie (izquierda) se normaliza con respecto a la amplitud de los elementos del

borde mientras que los otros (derecha) están normalizados con respecto a la amplitud del

elemento central.

6.- Usando los coeficientes normalizados de la primera serie (izquierda), el factor de

arreglo puede ser escrito como:

Cuando u= *(πd/λ) cosθ+.

10.- Calcular el ancho de haz de potencia media y la directividad para el arreglo Dolph-

Tschebyscheff del ejemplo 6.9 para un espaciado de λ/2 para cada elemento.

R0 = 26 dB => R0 = 20 (radio voltaje)

Usando la figura el factor del haz de ampliación es igual a:

F=1.079

De acuerdo a la figura el ancho de haz de un arreglo uniforme broad-side con L+d=5λ es

Igual a:

Θh=10.17°

Por lo tanto el ancho de haz del arreglo Dolph-Tschebyscheff es igual a:

12.- El (FA) está dado por

1.

Reemplace por su expansión en serie encontrada en la

ecuación (1).

Desarrollando

Factorizando

3.

A continuación se determina , por igualación a , es decir:

4. Sustituir

En el arreglo, encontrado en el paso 2

(esto se debe a que son 8 elementos del arreglo)

Los términos similares permiten la determinación de es decir: