Practica de MAT-99 Por Mario Errol Chavez Gordillo

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES

FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES

Pre-Facultativo

4

√

x34

√

x3 4

√

x3 4√

x3 · · ·∞

5

√

x45

√

x4 5

√

x4 5√

x4 · · ·∞× log5

1

252+

1

254+

1

256+ · · · · · ·

1

254+

1

256+

1

258+ · · · · · ·

1

2

ξ τ τ o

∫

s

Coordinador: Dr. Mario ξττo∫s Chavez Gordillo PhD.

Practica Preparatoria para el 1er y 2do examen

Introduccion a la Matematica, MAT-99 2015 - 2do semestre

Contenido

1. Logica Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Teorıa de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. Sistemas Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174. Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225. Ecuaciones de Primer y Segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417. Exponenciales y Logaritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468. Induccion Matematica y Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

AB

S+

-S

Wu

Wss

0(s )

( )

Wu

0(s )s

s

s+

-

+

-

W ( )

s

s+

-

u

g

g

0

1

UMSA-FCPN II-2015 Dr. Mario ξττo∫s Chavez Gordillo PhD 2

Calendario Academico

PARCIAL CAPITULOS FECHA PUNTOS

Inicio de Clases Lunes 17 de Agosto del 2015Primer Parcial 1, 2, 3 y 4 Sabado 10 de Octubre del 2015 35 puntosSegundo Parcial 5, 6 y 7 Sabado 5 de Diciembre del 2015 35 puntosExamen del Docente 8 Martes 15 de Diciembre del 2015 20 puntosExamen del Auxiliar 8 Jueves 10 de Diciembre del 2015 10 puntosRecuperatorio Sabado 12 de Diciembre del 2015Culminacion del curso Martes 15 de Diciembre del 2015

Capıtulo I. Logica Proposicional

Traduciendo del lenguaje natural al simbolico

1. Representar, en el lenguaje de la logica proposicional, la frase: “Si la sequıa persiste no solo sesecaran los pastos sino que aumentaran los incendios forestales”

2. Representar la afirmacion: Se sabe que si continua la incertidumbre habra un aumento en las tasasde interes y se sabe tambien que la devaluacion sera acelerada.

3. Con base en las mismas proposiciones del ejemplo anterior, ¿cual debe ser el enunciado si la repre-sentacion adecuada es p → (q ∧ r)?

4. Considere los enunciados: A: Juan regresa temprano, y va a misa o se queda en casa. B: Juanregresa temprano y va a misa, o se queda en casa. Determine cual de las representaciones (p∧q)∨r,y p ∧ (q ∨ r), se corresponde con A y cual con B. Es un hecho que los enunciados A y B no tienenel mismo significado. Posteriormente veremos que esto se corresponde con la no equivalencia de lasformulas que los representan.

5. Representar el razonamiento siguiente, en el lenguaje de la logica proposicional: Si es verdad quesi llueve entonces los estudiantes se acuestan, entonces no estudian. Si los estudiantes apruebanel examen entonces, o estudian o el examen es trivial. Pero si el examen es trivial entonces losestudiantes son flojos. Y es un hecho que los estudiantes aprueban el examen y no son flojos. Enconsecuencia, llueve y los estudiantes no se acuestan.

6. Expresar en terminos de logica simbolica la siguiente expresion: Lenguaje natural: “la cantidaddemandada depende de la renta disponible de los consumidores” y “la cantidad ofertada dependede los costes de produccion”.

7. Traducir la siguiente frase: “Si Carlos es paciente y Pedro no comete errores, entonces el experimentosera un exito”

8. Traducir la siguiente frase: “Hoy el clima es frıo y si llueve, habra humedad”

9. Traducir la siguiente frase: “Hoy no habra concierto, pero si el director acepta la oferta o los musicosdeciden rebajar su tarifa, entonces manana habra concierto y no devolveran las entradas”

10. Traducir al lenguaje simbolico la siguiente proposicion compuesta: “Hoy es domingo y tengo queestudiar estadıstica, o no aprobare el curso”.

11. Traducir al lenguaje simbolico la siguiente proposicion compuesta: “Si no pago la luz, entonces mecortaran la corriente electrica. Y si pago la luz, entonces me quedare sin dinero y pido prestado.Entonces, no podre pagar la deuda si y solo si soy desorganizado”.

email [email protected] 2 βo∫ιυατ


12. Simbolizar: Si acepto el mundo que me ofrecen y soy feliz ası, entonces empiezo a cavar mi propiasepultura o bien, si no soy feliz ası, y no veo tampoco la posibilidad de cambiar ese mundo, emprendoasimismo mi autoenterramiento.

13. Traducir la siguiente frase: “Hoy no habra concierto, pero si el director acepta la oferta o los musicosdeciden rebajar su tarifa, entonces manana habra concierto y no devolveran las entradas”

14. Traducir la siguiente frase: “Si Evo declara a favor de Fidel y los testigos no se presentan a declarar,entonces Fidel sera senteciado y los testigos seran procesados. Si Evo no declara a favor de Fidelo los testigos se hacen presentes para declarar, entonces de igual forma, Fidel sera sentenciado. Enconclusion: Fidel, de todas maneras, sera sentenciado o los magistrados seran procesados.”

Tablas de verdad

1. Compruebe que la siguiente proposicion es una tautologıa ∼ (p∨ ∼ q) →∼ p.

2. De la falsedad de la proposicion (p →∼ q) ∨ (∼ r → s) determinar el valor de verdad de laproposicion (r∨ ∼ q) ↔ [(p ∨ r) ∧ s].

Equivalencia logica. Las leyes de la logica

1) ∼∼ p ⇔ p Doble negacion2) (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) Leyes asociativas(p ⊕ q) ⊕ r ⇔ p ⊕ (q ⊕ r)

3) p ∧ q ⇔ q ∧ pp ∨ q ⇔ q ∨ p Leyes conmutativasp ⊕ q ⇔ q ⊕ p

3) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Leyes distributivasp ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

4) ∼ (p ∧ q) ⇔ ∼ p∨ ∼ q Leyes de Morgan∼ (p ∨ q) ⇔ ∼ p∧ ∼ q

5) p ∧ p ⇔ p Leyes Idepotentesp ∨ p ⇔ p

6) p ∧ V ⇔ p Leyes del Neutrop ∨ F ⇔ p

7) p∧ ∼ p ⇔ F Leyes Inversasp∨ ∼ p ⇔ V

8) p ∧ F ⇔ F Leyes de dominacionp ∨ V ⇔ V

9) p ∨ (p ∧ q) ⇔ p Leyes de Absorcionp ∧ (p ∨ q) ⇔ p

10) (p → q) ⇔ (∼ q →∼ p) Contrareciproco11) (p → q) ⇔ ∼ p ∨ q Implicacion

1. Escriba los pasos y las razones para establecer la equivalencia logica:

(p ∨ q)∧ ∼ (∼ p ∧ q) ⇔ p


∼ [∼ [(p ∨ q) ∧ r]∨ ∼ q] ⇔ (q ∧ r)




[(p ∨ q) ∧ (p∨ ∼ q)] ∨ q ⇔ p ∨ q


∼ (p ∨ q) ∨ [(∼ p ∧ q)∨ ∼ q] ⇔∼ (q ∧ p)


(p → q) ∧ [∼ q ∧ (r∨ ∼ q)] ⇔∼ (q ∨ p)


[(p ∧ q) ∨ (p∧ ∼ q)] ∨ (∼ p∧ ∼ q) ⇐⇒ p∨ ∼ q

7. Usando las leyes de la logica simplifique la siguiente formula proposicional:

∼ p ∧[(r ∧ s) ∨ (r∧ ∼ s)

]∧ (p ∨ q)

La respuesta es ∼ p ∧ r ∧ q.

8. Escriba los pasos y las razones para establecer las siguientes equivalencias logicas(f) p ∨ [p ∧ (p ∨ q)] ⇔ p(g) p ∨ q ∨ (∼ p∧ ∼ q ∧ r) ⇔ p ∨ q ∨ r(h) [(∼ p∨ ∼ q) → (p ∧ q ∧ r)] ⇔ p ∧ q(i) p ∧ [(∼ q → (r ∧ r))∨ ∼ [q ∨ ((r ∧ s) ∨ (r∧ ∼ s))]] ⇔ p

9. Si la siguiente proposicion es verdadera

{(p → q ∨ r) −→ [∼ (∼ q∧ ∼ r →∼ p) → q] −→ [∼ (t → s) ∧ u]}

halle el valor de verdad de s.

10. Si sabe que q → p es falso, determinar (sin hacer la tabla de verdad) el valor de verdad de lasiguiente proposicion:

(p∧ ∼ q)∧ ∼[(p ∨ m) → ((q ↔ m) ∧ s)

].

11. Si sabe que q → p es falso, determinar (sin hacer la tabla de verdad) el valor de verdad de lasiguiente proposicion:

∼{

(p∧ ∼ q) −→[(p ∨ m) → ((q ↔ m) ∧ s)

]}

.

12. ¿De cuantas maneras se puede asignar valores de verdad a las proposiciones p, q, r, s, t de maneraque la proposicion ∼ {(∼ p → q) → [t → (r →∼ s)]} sea verdadera?.

Implicacion logica. Las reglas de inferencia



1)pp ∨ q

adicion 2)p ∧ qp

simplificacion

3)pp → qq

modus pones 4)p → q∼ q∼ p

modus tollens

5)p ∨ q∼ pq

silogismo disyuntivo 6)p → qq → rp → r

silogismo hipotetico

7)p → qp → rp → (q ∧ r)

8)p → rq → r(p ∨ q) → r

1. Elabore, utilizando las reglas de validez e inferencia necesarias, una demostracion para probar quede las premisas dadas es posible obtener la conclusion establecida.

1) s2) (s ∧ p) → r3) t →∼ r4) p

∼ t

2. Considere el razonamiento deductivo: Todos los miercoles la universidad presenta un grupode cuenteros, o un grupo musical. Ademas, no se hace una presentacion de la misma clase de gruposen dos miercoles seguidos. Hoy es miercoles, y el pasado miercoles se presento un grupo musical.Por lo tanto, la universidad presenta hoy un grupo de cuenteros. ¿Minimamente cuantos pasos

son necesarios para demostrar la validez de este razonamiento?

3. Considere el razonamiento deductivo: Si es verdad que si llueve entonces los estudiantesse acuestan, entonces no estudian. Si los estudiantes aprueban el examen entonces, o estudian o elexamen es trivial. Pero si el examen es trivial entonces los estudiantes son flojos. Y es un hecho quelos estudiantes aprueban el examen y no son flojos. En consecuencia, llueve y los estudiantes no seacuestan. Demostrar la validez de este argumento.

4. ¿Cual de las siguientes reglas de inferencia NOse utiliza para demostrar la validez del siguienteargumento?

1) p → (q ∨ t)2) q → (s ∨ t)3) t → u4) ∼ (u ∨ s)

Premisas

∼ q Conclusion

(a) Ley de De Morgan

(b) Modus Tollens

(c) Silogismo Hipotetico

(d) Conjuncion

(e) Simplificacion

5. Analizar la validez o o del siguiente razonamiento deductivo



Razonamiento.-Para que el candidato llegue a la presidencia, es necesario que gane laselecciones en el departamento. El ganara las elecciones en el departamento unicamente sidefiende los derechos civiles. El no defendera los derechos civiles. Por tanto, el candidatono llegara a la presidencia.


Razonamiento.-Si el precio del azucar aumenta entonces su demanda disminuye. Juanes contratado en la zafra o se queda sin trabajo. Si la demanda del azucar disminuyeentonces juan no sera contratado en la zafra. Juan trabaja en la zafra, por lo tanto elprecio del azucar disminuye.


Razonamiento.-El Paıs progresa si se implementan acertadas polıticas de estado. Si EvoMorales aprueba leyes en favor de Bolivia entonces permanecera en el gobierno. Que Evoapruebe leyes en favor de Bolivia es equivalente a aplicar acertadas polıticas de estado.Evo Morales no permanece en el gobierno, por tanto el Paıs no progresa.

8. Simbolizar el siguiente razonamiento y verificar su validez:

Razonamiento.-Si la vıctima tenıa dinero en sus bolsillos, entonces el robo no fue elmotivo del crimen. Pero el motivo del crimen fue, o bien el robo o bien la venganza.la vıctima tenıa dinero en sus bolsillos. Luego el motivo del crimen debe haber sido lavenganza.

9. Determina si los siguientes razonamientos son validos o no:

Razonamiento.-Si hay desempleo o injusticia social entonces hay descontento entre lagente. Si hay descontento entre la gente, entonces hay protestas callejeras. No hay protes-tas callejeras; por tanto, hay justicia social.

10. Un economista ha declarado: “Para que la gente sea feliz es necesario que haya inflacion.” Cuandose le pregunto al economista el por que de su afirmacion, contesto que se fundaba en tres hechos:

Razonamiento.-(a) O los precios permaneces estables o habra inflacion.(b) Es imposible que los precios permanezcan estables y al mismo tiempo permitir que los

salarios suban.(c) Pero, o permitimos los salarios crecer, o la gente no estara feliz.

Suponiendo verdaderos estos tres hechos, ¿esta usted de acuerdo con la declaracion del economista?

11. Un economista ha declarado: “Para que la gente sea feliz es necesario que haya inflacion.” Cuandose le pregunto al economista el por que de su afirmacion, contesto que se fundaba en tres hechos:

Razonamiento.-(a) O los precios permaneces estables o habra inflacion.(b) Es imposible que haya inflacion y al mismo tiempo permitir que los salarios suban.(c) Pero, o permitimos los salarios crecer, o la gente no estara feliz.

Suponiendo verdaderos estos tres hechos, ¿esta usted de acuerdo con la declaracion del economista?


Razonamiento.-Si digo siempre la verdad, los demas confıan en mı. Y si los demasconfıan en mı, me siento seguro e independiente. Cuando me siento seguro e independi-ente, soy capaz de afrontar cualquier problema. Como yo digo siempre la verdad, se deduceque soy capaz de afrontar cualquier problema.




Razonamiento.-Si fueras un mandarın de la China, vivirıas con lujo y no tendrıas quetrabajar. Y si vivieses de esa manera, te distraerıas haciendo viajes alrededor del mundo oalimentando a los faisanes de tu majestuoso palacio. Como no es el caso que te distraigascon tales cosas, deduzco que no eres un mandarın de la China.

14. Simbolice adecuadamente el razonamiento siguiente, indicando las proposiciones simples que lointegran. Pruebe su validez, construyendo una demostracion que lleve a la conclusion establecida.

Teorema.-Si los acuerdos se cumplen, entonces, se logra la paz. Si se logra la paz, el nivelde vida se incrementa. Los enfrentamientos terminan y los acuerdos se cumplen. Si losproblemas sociales se agravan, el nivel de vida no se incrementa. Si los problemas socialesno se agravan, entonces, la justicia social se alcanza. Conclusion: Los enfrentamientosterminan y la justicia social se alcanza.

15. Simbolice adecuadamente el razonamiento siguiente, indicando las proposiciones simples que lointegran. Pruebe su validez, construyendo una demostracion que lleve a la conclusion establecida.

Teorema.-No es cierto que: la represa este en peligro o las autoridades no han alertadoa la poblacion. Si las autoridades han alertado a la poblacion, entonces los habitanteshan abandonado la rivera del rıo. Si los alcaldes no han coordinado los alojamientos deemergencia, entonces, los habitantes no han abandonado la rivera del rıo. Si la represano esta en peligro, entonces, el invierno no arrecia o hay manejo tecnico oportuno. Sihay vıctimas en la poblacion, entonces, las autoridades no han alertado a la poblacion. Elinvierno arrecia. Luego: Hay manejo tecnico oportuno y no hay vıctimas en la poblacion.

16. Analizar el siguiente razonamiento deductivo

Razonamiento.-Si la inversion privada permanece constante entonces aumenta el gastopublico o se produce paro. Si no aumenta el gasto publico pueden reducirse los impuestos.La inversion privada permanece constante y no se reducen los impuestos. Luego los gastospublicos aumentan o se produce paro.


Razonamiento.-Si las inversiones se mantienen constantes entonces el gobierno aumen-tara sus gastos o habra desempleo. Si el gobierno no aumenta sus gastos, los impuestosdeben ser disminuidos. Las inversiones se mantienen constantes y ademas los impuestosno son disminuidos . Por lo tanto, el gobierno debe aumentar sus gastos o habra desem-pleo.


Razonamiento.-Si los precios son bajos, entonces, los salarios son bajos. Los precios sonbajos o no hay control de precios. Si no hay control de precios, entonces hay inflacion. Nohay inflacion; por tanto, los salarios son bajos.

19. Fue Adres o Maria quien copio el examen, pero Andres no estaba en el aula cuando se dio el examen.Si Andres no estaba en el aula, no pudo haber dado el examen. si Andres no dio el examen, no pudohaber copiado el examen. Por lo tanto Maria fue quien copio el examen

20. Si no puedo rechazar la idea de que pienso, entonces pienso. Pero si pienso, existo. No puedo rechazarla idea de que pienso. Por lo tanto, existo.

21. Demostrar la validez de la siguiente deduccion: “O Juan y Jose tienen la misma edad o Juan esmayor que Jose. Si Juan y Jose tienen la misma edad entonces Pedro y Juan no tienen la mismaedad. Si Juan es mayor que Jose entonces Juan es mayor que Maria . Por lo tanto o Pedro y Juanno tienen la misma edad o Juan es mayor que Maria.”



22. Demostrar la validez del siguiente argumento: “No pongo la calefaccion electrica solo si tengo gas.No consumo lena a menos que el petroleo sea caro o no ponga calefaccion electrica. El petroleo noes caro. Consumo lena a menos que tengo frio. Por lo tanto solo si tengo frio tengo gas.” Ayuda:Recuerde que: “si p entonces q”, es equivalente a “no p a menos que q”.

Problemas de Razonamiento

1. Hugo miente siempre en martes, jueves y sabados y el resto de los dıas de la semana dice siempre laverdad. Si un dıa en particular mantenemos la siguiente conversacion: Pregunta: ¿Que dıa es hoy?Respuesta: Sabado. Pregunta: ¿Que dıa sera ma˜nana? Respuesta: Miercoles. ¿De que dıa de lasemana se trata?

2. Cada tercer dıa Luis dice la verdad y los demas dıas miente. Hoy Luis ha dicho exactamente 4 delos siguientes enunciados. ¿Cual es el enunciado que no dijo hoy? (a) Tengo la misma cantidad deamigas que de amigos. (b) Soy amigo de una cantidad prima de personas. (c) Mi nombre es Luis.(d) Siempre digo la verdad. (e) Soy amigo de tres personas mas altas que yo.

3. Un acertijo consiste en adivinar la forma y el color que tiene un objeto a partir de las 5 afirmacionessiguientes: Si es azul, entonces es redondo. Si es cuadrado, entonces es rojo. Es azul o amarillo. Sies amarillo, entonces es cuadrado. Es cuadrado o redondo. ¿Com´o es el objeto?

4. Un examen esta formado por 10 preguntas que deben responderse como falso o verdadero. Laclave (es decir, la lista de respuestas correctas) del examen esta disenada de tal manera que si unestudiante responde al azar 5 falsos y 5 verdaderos seguro obtiene al menos 4 respuestas correctas.¿Cuantas claves diferentes cumplen con esta afirmacion?

5. En los cuadritos de la figura se escriben cuatro enteros positivos diferentes entre sı, que ademas sonimpares y menores a 20. ¿Cual de las siguientes condiciones es posible?

(a) La suma de los cuatro numeros es 12. (b) La suma de los cuatro numeros es 66. (c) La sumade los cuatro numeros es 19. (d) Cada uno de los productos de dos numeros en diagonal es 21. (e)Cada una de las sumas de dos numeros en diagonal es 32.

Capıtulo II. Conjuntos

1. Escribe simbolicamente las afirmaciones siguientes: a) v pertenece al conjunto M. b) El conjunto Tcontiene como subconjunto al conjunto H. c) Entre los elementos del conjunto G no esta el numero2. d) El conjunto Z no es un subconjunto del conjunto A. e) El conjunto X no contiene al conjuntoK. f) El conjunto H es un subconjunto propio del conjunto K

2. Completa las proposiciones siguientes con los sımbolos ∈ o /∈: 2 {1, 3, 5, 7}, 5 {2, 4, 5, 6}, 3 {x ∈N/2 < x < 6}, 2 {4, 5, 6, 7}, 8 {x ∈ N/8 < x < 10}, 0 ∅, America {x : x es el nombre de un paıs},12/8 N .

3. Definir por extension cada uno de los siguientes conjuntos: a) A = {x ∈ Z : x2 = 4}. c)B = {x ∈ Z/x − 2 = 5}. e) T = {x : x es unacifra del numero 2324}. b) C = {x ∈ Z :x es positivo y negativo}. d) R = {x ∈ Zx2 = 9}. f) Q = {x : x es unaletra de la palabra calcular}g) M = {x : x esuna letra dela palabra CORRECTO}.

4. Sea T = {x ∈ Z/4x = 12}. ¿Es T = 3? ¿Por que?



5. De entre los siguientes conjuntos, senala los que son el conjunto vacıo: A = {x ∈ R : x2 +x+1 = 0},B = {x ∈ R : x < 4 o x > 6}, C = {x ∈ R : x2 + x − 1 = 0} D = {x ∈ R : x + 5 = 5},E = {x ∈ R : x < 4 y x > 6}, F = {x ∈ R : x > 4 y x no esmayor que 6}

6. ¿Cuales de los siguientes conjuntos son vacıos, unitarios, finitos o infinitos?a) A = {x : x es dıa de la semana}. b) B = {vocales de la palabra vals}. c) C = {1, 3, 5, 7, 9, .....}.

d) D = {x : x es un habitante de la luna}. e) E = {x ∈ N : x < 15}. f) F = {x ∈ N : 5 < x < 5}. g)G = {x ∈ N : x > 15}. h) H = {x ∈ N : 3x = 6}. i) I = {x : x es presidente del Mar Mediterraneo}.j) J = {x : x es el numero de pelos de todos los eslovacos que viven actualmente}.

7. Sea M = {r, s, t}. Dıgase cuales de las afirmaciones siguientes son correcta. Si alguna es incorrecta,decir el por que: a) a ∈ M , b) r ⊂ M , c) {r} ∈ M , d) {r} ⊂ M

8. Si E = {1, 0}, razona cuales de las afirmaciones siguientes son correctas y cuales no: a) {0} ∈ E ,b) ∅ ∈ E, c) {0} ⊂ E, d) 0 ∈ E y e) 0 ⊂ E.

9. Consideremos el conjunto A = {r, s, m, e}. Razona la veracidad de las siguientes afirmaciones: a)c ∈ A, b) {r, c, m} ⊂ A, c) {m} ⊂ A, d) {e, m, r} ⊂ A. e) {s, e} ∈ A. f) {s, e} ⊂ A

10. En el conjunto de las figuras geometricas del plano se consideran los conjuntos:C = {x : x es un cuadrilatero}, M = {x : x es un rombo}, R = {x : x es unrectangulo}, Q =

{x : x es un cuadrado}. Decir que conjuntos son subconjuntos propios de los otros.

11. Justifica razonadamente que el conjunto A = {2, 3, 4, 5} no es un subconjunto del C = {x ∈ N :x es par}.

12. Sean los conjuntos: V = {d}, W = {c, d}, X = {a, b, c}, Y = {a, b} y Z = {a, b, d}. Establecela veracidad de las siguientes afirmaciones, justificando en cada caso tu respuesta: a) Y ⊂ X , b)W + V , c) W 6= Z, d) Z ⊃ V , e) V * Y , f) Z + X, g) V ⊂ X, h) Y * Z, i) X = W y j) W ⊂ Y .

13. a)¿Es el conjunto A = {1, 3, 5, 7} un subconjunto del conjunto B = {x ∈ Z : x = 2n, n ∈ Z}? ¿Ydel C = {x ∈ N : x = 2n + 1, n ∈ N}? ¿Por que? b) ¿Y D = {2, 4, 6, 7, 8} es subconjunto de algunode los conjuntos A o B del apartado anterior? ¿Por que?

14. Escribe todos los posibles subconjuntos del conjunto y clasifıcalos segun sean propios o impropios:a) M = {r, s, t}, b) B = {a, b}, c) C = {a}, d) ∅.

15. Teniendo en cuenta los siguientes diagramas de Venn, expresa por extension y por comprension losconjuntos A y B y comparalos segun la relacion de inclusion:

1

4

5

891012 14

5

8

5 15

AAA

BBB

a)a) b)c)

16. Sean los conjuntos A = {r, s, t, u, v, w}, B = {u, v, w, x, y, z}, C = {s, u, y, z}, D = {u, v}, E ={s, u} y F = {s}. Determina en cada caso, con las informaciones dadas y con ayuda de un diagramade Venn, cual de los conjuntos dados es X: a) X ⊂ A y X ⊂ B; b) X * D y X ⊂ C; c) X * A yX * C y d) X ⊂ B y X * C.

17. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}, D = {3, 4, 5}, E = {3, 5} yF = {s}. Determina en cada caso, con las informaciones dadas y con ayuda de un diagrama de



Venn, cual de los conjuntos dados es X: a) X y B son disjuntos; b) X ⊂ D y X * C; c) X ⊂ A yX * C y d) X ⊂ C y X * A.

18. Sean A, B y C conjuntos tales que A ⊂ B y B ⊂ C. Suponiendo que a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C y d /∈ A,e /∈ B y f /∈ C, ¿cuales de las siguientes informaciones son ciertas? a) a ∈ C , b) b ∈ A, c) c /∈ A,d) d ∈ B, e) e /∈ A, f) f /∈ A.

19. Consideremos los conjuntos A = {x ∈ N/2 ≤ x ≤ 9}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {3, 5, 7}, D = {2, 4}y E = {1, 3}. Indica en cada caso cual de estos conjuntos puede ser el conjunto X: a) X ⊂ A yX ⊂ B; b) X * B y X * E; c) X * C y X ⊂ D y d) X * A y X ⊂ E.

20. Define por extension cada uno de los siguientes conjuntos:a) {x : x es un numero entero que verifica 3 < x < 4}b) {x : x es entero positivo multiplo de 3}c) {x ∈ R : (3x + 1)(x + 2) = 0}.d) {x : x es un numero entero que es solucion de la ecuacion (3x − 1)(x + 2) = 0}.e) {x : 2x es entero positivo}.

21. Describe por extension cada uno de los siguientes conjuntosa) {n : x ∈ N, n2 = 9}.b) {x : x ∈ N : x2 = 9}.c) {n : x ∈ Z, 3 < n < 7}.d) {x : x ∈ R, x < 1 y x = 1}e) {x : x ∈ Q : x2 = 3}.

22. Establecer todas las posibles relaciones entre los conjuntos representados en el siguiente diagramade Venn

A

B

D

C

23. Se consideran los conjuntos A = {2, 3, 4}, B = {x ∈ N : x2 − 4 es positivo}, C = {x ∈ N :x2 − 6x + 8 = 0} Y D = {x ∈ N : x es par}. Establece todas las posibles relaciones de inclusionentre dichos conjuntos.

24. Sean A y B subconjuntos de un conjunto U . a) De un subconjunto H de U , se sabe que A ⊂ H ,B ⊂ H y H ⊂ A ∪ B. ¿Que se puede decir del conjunto H? b) De un subconjunto K de U se sabeque K ⊂ A, K ⊂ B y A ∩ B ⊂ K. ¿Que se puede decir del conjunto K?

Operaciones con conjuntos

1. Consideremos U = {a, b, c, d, e} como conjunto universal y los subconjuntos A = {a, b, d}, B ={b, d, e} y C = {a, b, e}. Halla: A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C, B ∪ B, A ∩ B, (A ∩ B) ∪ C, A ∩ A, B ∩ C,(A ∩ B) ∩ C, (A ∩ B) ∩ C, A − B, Ac, C − A, B − C, B − A, B ∩ Ac, A − A, Ac, Bc, A ∩ Cc, U c,A ∪ Ac, A ∩ Ac, ∅c, Ac ∪ Cc, A ∪ Bc, Ac ∩ Bc, B − Cc, A ∪ Bc, Bc − Ac.

2. Idem al anterior, para U = {a, b, c, d, e, f, g} como conjunto universal y A = {a, b, c, d, e}, B ={a, c, e, g} y C = {b, e, f, g}.

3. Representa en el diagrama de Venn dado al margen los siguientes conjuntos: A∪B, A∪C, B ∪C,B∪B, A∩B, A∩A, B ∩C, (A∩B)∩C, A∩ (B ∩C), A−B, (Ac)c, C −A, B−C, B −A, B ∩Ac,



A − A, Ac, Bc, (A ∩ C)c, U c, A ∪ Ac, A ∩ Ac, ∅c, Ac ∪ Cc, (A ∪ B)c, Ac ∩ Bc, (B − C)c, A ∪ Bc,Bc − Ac.

AB

C

U

4. Escibe la expresion que corresponde al conjunto marcado en gris en el diagrama de la derecha.

5. Consideremos como conjunto universal al conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. a) Escribe dossubconjuntos A y B de U tales que cumplan A 6= ∅, B 6= ∅, A ∩ B = ∅ y A ∪ B = U . b) Escribetres subconjuntos propios A, B y C de U , cuya union sea el universal, que sean disjuntos dos a dos.c) Escribe cuatro subconjuntos propios A, B, C y D de U , cuya union sea el universal, que seandisjuntos dos a dos.

6. Representa, en cada uno de los diagramas de Venn dados, los siguientes conjuntos: A ∪ B, B ∪ B,A ∩B, A ∩A, B −A, A −B, (Ac)c, B ∩Ac, (A ∪B)c, Ac ∩Bc, (A ∩B)c, Ac ∪ Bc, A − A, Ac, Bc,U c, A ∪ Ac, A ∩ Ac, A ∪ Bc, Bc − Ac, A ∪ (B ∩ A), B ∩ (A ∪ B).

B

UA

B

U

AB

U

AB

U

7. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} es el conjunto universal y A = {1, 4, 7, 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5},C = {2, 4, 6, 8}, define por extension los siguientes conjuntos: a) A ∪ B, b) A − B, c) Ac, d) U c, e)B ∩ U , f) Bc ∩ (C − A), g) (A ∩ B)c ∪ C, h) B ∩ C, i) A ∪ ∅, j) A ∩ (B ∪ C), k) (A ∩ B) ∪ C, l)(A ∩ B) − C.

8. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 12} el conjunto universal. Consideremos los subconjuntos, A = {1, 3, 5, 7, 9, 11},B = {2, 3, 5, 7, 11}, D = {2, 4, 8} y C = {2, 3, 6, 12}. Determina los conjuntos: a) A ∪ B, b) A ∩ C,c) (A ∪ B) ∩ Cc, d) A − B, e) C − D, f) (B − D) ∪ (D − B).

9. a) ¿Conoces algun conjunto que sea subconjunto de su complementario? b) ¿Existe algun conjuntoque sea disjunto consigomismo?

10. Sean A = {x ∈ R/ − 2 < x ≤ 10} y B = {x ∈ R : x > 1} Expresa dichos conjuntos medianteintervalos y calcula la union, la interseccion y la diferencia de uno con el otro. Calcula, ademas, loscomplementario y comprueba que se cumplen las leyes de De Morgan.

11. Se consideran los conjuntos A = (–7, 3), B = [–2, 5), C = (–4, 9] y D = [–1, 8]. Expresa cadaintervalo por comprension y calcula A∪B, Ac∩B, (B∪C)∩D, (B–A)∪ (C–D), (A–B)c y (B–A)c.



12. Sean U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d}, B = {b, d, e} y C = {a, e}. Hallar (Ac ∩ C)c \ Bc

(a) {a, e}. (b) {a, b}. (c) {a, c}. (d) {d, e}. (e) {b, d} .

13. Dados los conjuntos U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}; A = {a, c, e, g, k}, B = {a, b, d, g, h, j}; C ={a, b, c, e, h, i, k}. Encontrar: C − (A ∩ B c), [(A c ∪ B c) ∪ C c]c, (A − B) c − C c y [A ∪ (B ∩ C)]c.

14. Dado el conjunto referencial V = {a, b, c, d, 2, {2}, 3, {3}, 7} sean A, B y C los subconjuntos de Vdefinidos por: A = {a, b, 2, {3}}, B = {a, b, 2, 3} y C = {2, 3, 7}. Hallar: A∪B, A∩B, B \C, A△C,(A ∩ B) − (A △ C), (A ∩ B)c

15. Sean A, B y C los conjuntos del ejercicio anterior. Hallar todos los subconjuntos de B∪C que seandisjuntos con A.

16. Sean A = {1, ∅, a, 7} y B = {{1}, a, b, 4}, C = {3, 6, b, a}. ¿Cuales de las siguientes afirmacionesson verdaderas? i) ∅ ∈ A ∪ B. ii) ∅ ∈ A ∩ B. iii) ∅ ⊂ A. iv) ∅ ⊂ C. v) 7 ∈ (A ∪ C) ∩ (A △ B)

17. Sean A = {2, 3, 5, 7, 9}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, C = {7, 8, 9, 0} y D = {4, 5, 6}. Graficar. Realizar cadauna de las operaciones y expresarlas por extension. 1) (A ∪ B)c 2) C ∪ Dc 3) B \ C. 4) B \ D. 5)A ∩ B ∩ C ∩ D. 6) A ∪ B ∪ C. 7) A ∩ C. 8) B \ C. 9) Ac ∪ B.

18. Sean U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d} y B = {b, d, e}. Hallar (a) A∪B, (b) B ∩A, (c) Bc, (d) B \A,(e) Ac ∩ B, (f) A ∪ Bc, (g) Ac ∩ Bc, (h) Bc \ Ac, (i) (A ∩ Bc), (j) (A ∪ Bc).

19. Sea el conjunto universal U = {a, b, c, d, e, f, g} y sean A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e, g} y C ={b, e, f, g}. Hallar: (1) A∪C. (2) B ∩A. (3) C \B. (4) Bc. (5) Ac \B. (6) Bc ∪C. (7) (A \C)c. (8)Cc ∩ A. (9) (A \ Bc)c. (10) (A ∩ Ac)c.

Leyes de la Teorıa de conjuntos

1. Probar que: A ⊂ B si y solo si B c ⊂ A c.

2. Probar que A − (B ∩ C) = (A − B) ∩ (A − C)

3. Probar que (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A)

4. Probar que (A ∪ B) ∩ (Ac ∩ B)c = A

5. Probar que [[(A ∪ B) ∩ C]c ∪ Bc]c = B ∩ C

6. Probar que [(A ∪ B) ∩ (A ∪ Bc)] ∪ B = A ∪ B

7. Probar que (A ∪ B)c ∪ [(Ac ∩ B) ∪ Bc] = (B ∩ A)c

8. Si A ⊂ B y (A ∪ B) ∩ C = ∅, simplificar[A \ (B ∩ C)

]c ∪[(A ∪ C) \ (A ∩ B)c

]c.

9. Si A = {∅}, B = P(A), C = B \ A y D = P(C), hallar B ∩ D.

10. Sea A = {a, b, {a, c}, ∅}, calcule los siguientes conjuntos: (a) {{a, c}} \ A. (b) A \ {{a, c}}.11. (a) Demuestre que si A ⊂ C entonces A∪(B∩C) = (A∪B)∩C. (b) ¿Sera cierto el resultado anterior

si se suprime la hipotesis A ⊂ C? (c) Demuestre que A ⊂ C si y solo si A∪ (B ∩C) = (A∪B)∩C.

12. Muestre que si A 6= ∅ entonces (A ∪ A) \ A 6= A ∪ (A \ A).

13. Pruebe que (a) A\B = (A∪B)\B. (b) A\(B\C) = (A\B)∪(A∩C). (c) (A\C)\(B\C) = (A\B)\C.(d) (A\C)∪(B\C) = (A∪B)\C. (e) (A\C)∩(B\C) = (A∩B)\C. (f) (A\B)\(A\C) = A∩(C\B).

(h) Si A, B ⊂ X, entonces (X \ A) \ (X \ B) = B \ A.

14. Muestre por medio de ejemplos que las siguientes proposiciones son falsas. (a) A \ B = B \ A. (b)A ⊂ (B ∪ C) implica A ⊂ B o A ⊂ C. (c) B ∩ C ⊂ A implica B ⊂ A o C ⊂ A.



15. Sea X un conjunto que contiene a A∪B. (a) Demuestre que si A∪B = X entonces X \A ⊂ B. (b)Demuestre que si A ∩ B = ∅ entonces A ⊂ X \ B. (c) Utilizando los incisos anteriores demuestreque A = X \ B si y solo si A ∪ B = X y A ∩ B = ∅

16. Pruebe que el sistema de ecuaciones A ∪ X = A ∪ B, A ∩ X = ∅ tiene a lo mas una solucion paraX.

17. Pruebe que A △ B = ∅ si y solo si A = B.

Tecnicas de Conteo y Diagrams de Venn

1. Sea los conjuntos A y B, tales que A∆B tiene 10 elementos y (Ac∩Bc)c tiene 25 elementos. ¿Cuantoselementos tiene A ∩ B?.

2. Sean A y B dos conjuntos tales que |A ∩ B| = 24, |A −B| = 10 y |B −A| = 6. Hallar 5|A| − 4|B|.3. Determinar la cardinalidad de los conjuntos A, B, C ⊂ U , si |U | = 30, |(A∪B∪C)c| = 5, |A∪B| =

23, |A − C| = 12, |A ∩ C| = 4, |B ∩ C| = 8, |A ∩ B ∩ C| = 3, |A ∩ B| = 11.

4. Sean A y B dos subconjuntos del universal U que tiene N elementos. Si |A∩B| =2

5N , |B| =

1

2N ,

|(Ac ∩ Bc)c| =3

20N , calcular |A|, |(A − B) ∪ (B − A)|.

5. En un instituto de investigacion trabajan 67 personas. De estas 47 conocen el Ingles, 35 el Alemany 23 ambos idiomas. ¿Cuantas personas en el instituto no conocen el Ingles ni el Aleman?

6. De un grupo de 84 personas 57 estudian Ingles, 23 estudian Aleman, 36 estudian Frances, 4 estudianlos tres idiomas y 11 solo estudian Aleman y todos estudian por lo menos un idioma. Determinarcuantos de ellos estudian solo uno de los idiomas o estudian los tres idiomas.

7. Una entrevista de 2006 estudiantes de una preparatoria revelo que 1500 de ellos participaron en laOlimpiada de Matematicas y 1200 de ellos en la Olimpiada de Quımica. ¿Cuantos de los jovenesentrevistados participaron en ambas competencias si sabemos que exactamente 6 de ellos no par-ticiparon en ninguna?

8. Al interrogar a 250 estudiantes del Pre Facultativo de la UMSA sobre su preferencia respecto de laMatematica, la Literatura o la Informatica, se encontro que 125 prefieren Matematica, 180 prefierenLiteratura, 65 prefieren Informatica, 100 Matematica e Literatura, 25 Informatica y Matematica,40 Literatura y Informatica y 20 prefieren las tres areas. Determinar cuantos de estos estudiantesdel Pre-Facultativo tienen:

a) Ninguna de estas preferencias.b) Preferencia solo por la Matematica.c) Preferencia solo por la Literatura.d) Preferencia solo por la Informatica.e) Exactamente dos de estas preferencias.f) Cuanto mas una de estas preferencias.

9. Se realizo una encuesta con 550 personas. Se encontro que 130 veıan television, 215 escuchaban radioy 345 leıan el periodico para enterarse de las noticias. Mas aun 100 leıan el periodico y escuchabanla radio, 35 veıan television y escuchaban radio y 65 veıan la television y leıan el periodico. Si 20personas se enteraban de las noticias por los tres medios, ¿Cuantas personas no utilizaban ningunode los tres medios?.

10. En una encuesta a 200 estudiantes, se hallo que: 68 se comportaban bien; 138 son inteligentes;160 son habladores; 120 son inteligentes pero habladores; 20 no son inteligentes pero se comportanbien; 13 se comportan bien y no son habladores; y 15 se comportan bien y son habladores pero no



son inteligentes. ¿Cuantos de los 200 estudiantes no se comportan bien, son habladores y no soninteligentes?

11. Susana estudia Sociologıa o Matematica o ambas materias todas las tardes durante el mes deNoviembre de este ano. Si estudia 18 dıas Sociologıa y 20 dıas Matematica. Cuantas mananasestudia las dos materias?

12. Una companıa de 350 empleados, de los cuales 160 obtuvieron una aumento de salario, 100 fueronpromovidos y 60 obtuvieron un aumento de salario y fueron promovidos.

a) ¿Cuantos empleados obtuvieron un aumento pero no fueron promovidos?b) ¿Cuantos no obtuvieron ni aumento de salario ni fueron promovidos?.

13. Con respecto a los empleados de una empresa se tiene la siguiente informacion: 317 son hombres,316 son casados, 25 mujeres son casadas sin profesion, 72 son hombres casados sin profesion, 83 sonhombres profesionales solteros, 15 son mujeres profesionales solteras, 125 son hombres profesionalescasados y 49 son mujeres solteras sin profesion. Cuantos de los empleados son:

a) ¿Hombres solteros sin profesion?b) ¿Mujeres profesionales casadas?c) ¿Profesionales?

14. Supongamos que tomamos una muestra al azar de 100 estudiantes y obtenemos los siguientesresultados:

15 mujeres reciben ayuda economica y trabajan45 mujeres reciben ayuda economica20 mujeres trabajan55 de los estudiantes son mujeres25 estudiantes reciben ayuda economica y trabajan66 estudiantes reciben ayuda economica40 estudiantes trabajan

Encuentre:a) El numero de estudiantes que son hombres.b) Cuantos estudiantes hombres reciben ayuda economica pero no trabajan.c) Cuantos estudiantes mujeres reciben ayuda economica pero no trabajan.d) Cuantos estudiantes hombres trabajan pero no reciben ayuda economica.e) Cuantos estudiantes mujeres trabajan pero no reciben ayuda economica.

15. Un grupo de jovenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte(bicicleta, motocicleta y automovil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes: I) Motocicletasolamente: 5 II) Motocicleta: 38 III) No gustan del automovil: 9 IV) Motocicleta y bicicleta, perono automovil:3 V) Motocicleta y automovil pero no bicicleta: 20 VI) No gustan de la bicicleta: 72VII) Ninguna de las tres cosas: 1 VIII)No gustan de la motocicleta: 61 1. ¿Cual fue el numero depersonas entrevistadas? 2. ¿A cuantos le gustaba la bicicleta solamente? 3. ¿A cuantos le gustaba elautomovil solamente? 4. ¿A cuantos le gustaban las tres cosas? 5. ¿A cuantos le gustaba la bicicletay el automovil pero no la motocicleta?

16. Una encuesta sobre 500 personas revelo los siguientes datos acerca del consumo de dos productosA y B : 138 personas consumıan A pero no B. 206 personas consumıan A y B. 44 personas noconsumıan ni A ni B. a. ¿Cuantas personas consumıan A? Rta: 344 personas. b. ¿Cuantas personasconsumıan B? Rta: 318 personas. c. ¿Cuantas personas consumıan B pero no A? Rta: 112 personas.d. ¿Cuantas personas consumıan por lo menos uno de los dos productos? Rta: 456 personas.



17. Una encuesta sobre 500 personas revelo los siguientes datos acerca del consumo de dos productos Ay B : 410 personas consumıan por lo menos uno de los dos productos. 294 personas consumıan A.78 personas consumıan A pero no B. a. ¿Que porcentaje de personas consumıa B? Rta. El 66,4 %b. ¿Que porcentaje de personas consumıa solo B? Rta. El 23,2 % c. c) ¿Que porcentaje de personasconsumıa los dos productos? Rta. El 43,2 % d. d) ¿Que porcentaje de personas no consumıa ningunode los dos productos? Rta. El 18 %

18. Una encuesta sobre 500 personas revelo los siguientes datos acerca del consumo de dos productos Ay B : 310 personas consumıan por lo menos uno de los dos productos. 270 personas consumıan A.205 personas consumıan B pero no A. Demostrar que los resultados de la encuesta no son atendibles.Rta: Cuando se trata de volcar los datos se ve que donde dice que debe haber 270, solo cabrıansolamente 105.

19. Una encuesta sobre 200 personas revelo los siguientes datos acerca del consumo de tres productosA , B y C : 5 personas consumıan solo A 25 personas consumıan solo B. 10 personas consumıan soloC 15 personas consumıan A y B, pero no C. 80 personas consumıan B y C, pero no A. 8 personasconsumıan C y A, pero no B. 17 personas no consumıan ninguno de los tres productos. a. ¿Cuantaspersonas consumıan A? Rta. 68 personas. b. ¿Cuantas personas consumıan B? Rta. 160 personas.c. ¿Cuantas personas consumıan C? Rta. 138 personas. d. ¿Cuantas personas consumıan A, B y C?Rta. 40 personas. e. ¿Cuantas personas consumıan por lo menos uno de los tres productos? Rta.183personas. f. ¿Cuantas personas consumıan A o B? Rta. 173 personas. g. ¿Cuantas personas noconsumıan C ? Rta. 62 personas. h. ¿Cuantas personas no consumıan ni C ni A? Rta. 42 personas.

20. Una encuesta sobre 200 personas revelo los siguientes datos acerca del consumo de tres productosA , B y C : 30 personas consumıan A. 85 personas consumıan B. 103 personas consumıan C. 10personas consumıan A y C, pero no B. 13 personas consumıan A y C. 18 personas consumıan B yC. 5 personas consumıan A y B, pero no C a. ¿Cuantas personas no consumıan ninguno de los tresproductos? Rta. 18 personas. b. ¿Cuantas personas consumıan los tres productos? Rta. 3 personas.c. ¿Cuantas personas consumıan A pero no B ni C? Rta. 12 personas. d. ¿Cuantas personas noconsumıan A? Rta. 170 personas. e. ¿Cuantas personas consumıan por lo menos uno de los tresproductos? Rta. 181 personas.

21. Sobre un grupo de 45 alumnos se sabe que: 16 alumnos leen novelas. 18 alumnos leen ciencia ficcion.17 alumnos leen cuentos. 3 alumnos leen novelas, ciencia ficcion y cuentos. 1 alumno lee solo cuentosy ciencia ficcion. 8 alumnos leen solo cuentos. 4 alumnos leen solo novelas y ciencia ficcion. ¿Cuantosalumnos leen solo ciencia ficcion? Rta. 10 alumnos. ¿Cuantos alumnos no leen ni novelas, ni cuentosni ciencia ficcion? Rta. 10 alumnos.

22. Una encuesta sobre 500 ninos internados en un hogar revelo los siguientes datos: 308 eran menoresde diez anos. 5 eran huerfanos de padre y madre. 22 eran huerfanos de padre 174 no eran menoresde 10 anos, ni eran huerfanos de madre o padre. 3 eran menores de diez anos, huerfanos de madrey padre. 9 eran menores de diez anos, huerfanos solo de padre. 13 eran huerfanos solo de madre. a.¿Cuantos ninos eran huerfanos de madre? Rta. 18 ninos. b. ¿Cuantos ninos menores de diez anoseran huerfanos de madre? Rta. 8 ninos.

23. Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres productos A, B y C revelo los siguientesdatos: 126 personas consumıan C. 124 personas no consumıan A. 36 personas no consumıan ni Ani B. 170 personas consumıan por lo menos uno de los tres productos. 60 personas consumıanA y C. 40 personas consumıan los tres productos. 56 personas no consumıan B. a) ¿Cuantaspersonas consumıan solamente B? Rta. 28 personas. b) ¿Cuantas personas consumıan A y B? Rta.56 personas. c) ¿Cuantas personas consumıan solamente A? Rta. Ninguna persona.



24. En una fabrica de 3.000 empleados, hay: 1.880 varones. 1.600 personas casadas. 380 tecnicos (varoneso mujeres) 150 tecnicos casados 120 tecnicos varones casados. 1.260 varones casados. 260 tecnicosvarones. a. ¿Cuantas mujeres no casadas trabajan en la fabrica? Rta. 780 mujeres. b. ¿Cuantasmujeres tecnicas trabajan en la fabrica? Rta. 120 mujeres. c. ¿Cuantas mujeres tecnicas casadastrabajan en la fabrica? Rta. 30 mujeres. d. ¿Cuantas mujeres trabajan en la fabrica? Rta. 1.120mujeres.

25. Una encuesta sobre un grupo de personas acerca del consumo de tres productos A, B y C revelo lossiguientes datos: 59 % usan A. 73 % usan B. 85 % usan C. 41 % usan A y B. 33 % usan A y C. 47 %usan B y C. 15 % usan los tres productos. ¿Son atendibles los datos de la encuesta? ¿Por que? Rta.No son atendibles porque el total de la gente encuestada serıa del 111 % y no del 100 %.

26. ¿Cual es el tamano del mayor subconjunto S, del conjunto {1, 2, 3, ..., 50} con la propiedad de queno existe un par de elementos de S cuya suma sea divisible entre 7?

27. Se pregunto a 11 profesores del instituto acerca de sus preferencia por dos marcas de cafe instantaneoA y B y se obtuvieron los siguientes resultados: 7 prefirieron solo una de dichas marcas; el numerode personas que prefirieron ambas marcas fue igual al numero de personas que no prefirio ningunode las dos; 3 personas manifestaron que no prefieren la A pero sı la B. Se desea saber: a) ¿Cuantaspersonas prefirieron la marca A? b) ¿Cuantas personas prefirieron solo la B? c) ¿Cuantas personasmanifestaron que les eran indistintas ambas marcas?

28. Se le pregunto a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de refrescos,Vinea y Kofola y se obtuvieron los siguientes resultados: todos admitieron que les gusta alguno delos dos refrescos, 3 estudiantes manifestaron que les gusta Vinea pero no Kofola, 6 dijeron que noles gusta Kofola. Se desea saber: a) ¿cuantos de los encuestados les prefirieron Kofola? b) ¿ cuantosde los encuestados prefirieron Vinea? c) ¿Cuantos de los encuestados prefirieron Vinea o Kofola?

29. Se hizo una encuesta entre mil personas de Bratislava para determinar el medio de comunicacionempleado para para conocer las noticias del dıa. 400 respondieron que se enteran de forma regularde los sucesos del dıa a traves de la television, 300 lo hacen a traves de la radio. De las cantidadesanteriormente mencionadas, 275 corresponde al numero de personas que utilizan ambos medios paraestar al dıa en los acontecimientos del mundo. a) ¿Cuantas de las personas encuestadas se enterande las noticias solo a traves de la television? b) ¿Cuantas de las personas entrevistadas lo hacenunicamente a traves de la radio? c) ¿Cuantas de las personas investigadas no hacen uso de ningunode los dos medios?

30. A una prueba de ingreso a la Universidad se presentaron 100 alumnos, de los cuales 65 aprobaron elexamen de Matematicas, 25 el de Matematicas y Fısica y 15 aprobaron solo el de Fısica. ¿Cuantosno aprobaron ninguno de los examenes mencionados?

31. De un total de 60 alumnos del primer curso del I. B. Todoestudiado: 15 estudian solamente ruso, 11estudian ruso e ingles, 12 estudian solo aleman; 8 estudian ruso y aleman; 10 estudian solo ingles; 5estudian ingles y aleman; y 3 los tres idiomas. Determina: a) ¿Cuantos no estudian ningun idioma?b) ¿Cuantos estudian aleman? c) ¿Cuantos estudian solo aleman e ingles? d) ¿Cuantos estudianruso?

32. Se pregunto a unas cuantas madres de alumnos de nuestro instituto sobre si leen o no alguna delas revistas “La Marqueza”, “Solo Para Mujeres” y “Buena Comida” y se obtuvieron los siguientesresultados: 48 leen “La Marqueza“, 40 leen “Solo Para Mujeres”, 34 leen “Buena Comida”, 25 leen“La Marqueza” y “Solo Para Mujeres”, 14 leen “Solo Para Mujeres” y “Buena Comida”, 23 leen“La Marqueza” y “Buena Comida” y 3 madres leen las tres revistas. Se pide ilustrar el problema



con un diagrama de Venn, el numero de madres entrevistadas, y ¿cuantas de ellas leen solo una delas tres revistas?

33. En una encuesta realizada a 150 personas, sobre sus preferencias de tres productos A, B y C, seobtuvieron los siguientes resultados: 82 personas consumen el producto A, 54 el producto B, 50consumen unicamente el producto A, 30 solo el producto B, el numero de personas que consuensolo B y C es la mitad del numero de personas que consumen solo A y C, el numero de personas queconsumen solo A y B es el tripe del numero de las que consumen los tres productos y hay tantaspersonas que no consumen los productos mencionados como las que consumen solo C. Determinaa) el numero de personas que consumen solo dos de los productos, b) el numero de personas queno consumen ninguno de los tres productos, c) el numero de personas que consumen al menos unode los tres productos.

34. Un club consta de 78 personas, de las cuales 50 juegan al futbol, 32 al baloncesto y 23 al voleybol.Seis figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. ¿Cuantas personas practicansolo un deporte? ¿cuantas practican solo dos deportes? ¿Cuantas practican al menos dos deportes?¿Cuantas practican a lo sumo dos deportes?

35. En un Congreso Internacional de Medicina, se debatio el problema de la eutanasia y se planteo unamocion. Los resultados fueron los siguientes: 115 europeos votaron a favor de la mocion, 75 car-diologos votaron en contra, 60 europeos votaron en contra, 80 cardiologos votaron a favor. Si elnumero de cardiologos europeos excede en 30 al numero de americanos de otras especialidades y nohubo abstenciones. ¿Cuantos medicos participaron en el congreso?

36. Se hizo una encuesta a 160 alumnos de un internado sobre las preferencias de cuatro carreras profe-sionales: Secretariado Internacional (S), Enfermerıa (E), Computacion (C ) y Biologıa, obteniendoselos siguientes datos: ninguno de los que prefieren (C) simpatizan con (B), 22 solo con (S), 20 solocon (E), 20 solo con (C), 20 con (S) y (B) pero no con (E), 6 solo con (C) y (E), 4 con (S) y (C), 24con (B) y (E), 28 solo con (B). ¿Cuantos prefieren solo (S) y (E), si a todos les gusta por lo menosuna de esas tres carreras?

37. Se llevo a cabo una investigacion con 1000 personas, para determinar que medio utilizan paraconocer las noticias del dıa. Se encontro que 400 personas escuchan las noticias en forma regularpor TV, 300 personas escuchan las noticias por la Radio y 275 se enteran de las noticias por ambosmedios. a.-¿Cuantas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la TV? b.-¿Cuantas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por Radio? c.-¿Cuantas de laspersonas investigadas no escuchan ni ven las noticias?

38. Se realizo una encuesta a 11 personas, sobre sus preferencias por dos tipos de productos A yB. Obteniendose lo siguientes resultados: El numero de personas que prefirieron uno solo de losproductos fueron 7. El numero de personas que prefirieron ambos productos fue igual al numerode personas que no prefirio ninguno de los dos productos. El numero de personas que no prefierenel producto A y prefirieron el producto B fueron 3. Se desea saber: a) ¿Cuantas personas prefierenel producto A? b) ¿Cuantas personas prefieren el producto B solamente? c) ¿Cuantas personasprefieren ambos productos?

39. Se le pregunto a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de refrescos Pepsiy Coca Cola. Obteniendose lo siguientes resultados: El numero de estudiantes que prefirieron Pepsipero no Coca Cola fue de 3. El numero de estudiantes que no prefirieron Pepsi fueron 6. Se deseasaber: a) ¿Cuantos de los encuestados prefirieron Pepsi? b) ¿ Cuantos de los encuestados prefirieronCoca Cola? c) ¿ Cuantos de los encuestados prefirieron Pepsi o Coca Cola?



40. Determina el numero de alumnos de una clase, si se sabe que cada uno participa en al menos una delas tres seminarios de ampliacion de las asignaturas Matematicas, Fısica o Quımica. 48 participanen el de Matematicas, 45 en el de Fısica, 49 en el de Quımica, 28 en el de Matematicas y Fısica, 26en el de Matematicas y Quımica, 28 en el de Fısica y Quımica y 18 en los tres seminarios. ¿Cuantosalumnos participan en los seminarios de Fısica y Matematicas, pero no en el de Quımica? ¿Cuantosparticipan solo en el de Quımica?

41. La empresa Kia ha decidido aumentar su produccion de coches, por lo que saca a concurso 22 plazasde trabajo para titulados en ingenierıa. Los aspirantes han de ser ingenieros mecanicos, ingenierosen electricidad o ingenieros quımicos. Los ingenieros en mecanica han de ser 11, los ingenieros enelectricidad han de ser 12 y en quımica han de ser 10. Algunos puestos han de ser ocupados poringenieros con doble titulacion, en concreto, 5 han de ser ingenieros mecanicos y en electricidad, 4han de serlo en mecanica y quımica, y 4 en electricidad y quımica. Algunas de las plazas ofrecidasdeben ser ocupadas por ingenieros con triple titulacion. ¿Cuantos ingenieros han de poseer tripletitulacion? ¿Cuantos puestos hay para ingenieros que tengan unicamente la especialidad en electri-cidad? ¿Cuantas plazas se ofrecen para ingenieros especializados en electricidad y quımica pero noen mecanica?

42. Una farmacia rebajo el precio de una locion y el de una crema. La contabilidad al final de undıa indico que 66 personas habıan comprado crema; 21 compraron locion y 21 ambos productos. a)¿Cuantas personas aprovecharon la oferta? b) ¿Cuantas compraron solamente la locion? c) ¿Cuantascompraron solamente la crema?

43. Una encuesta realizada a un grupo de empleados revelo que 277 tenıan casa propia; 233 poseıanautomovil; 405 televisor; 165 automovil y televisor; 120 automovil y casa; 190, casa y televisor y 105tenıan casa, automovil y televisor. a. ¿Cuantas personas fueron encuestadas? b. ¿Cuantas personastienen solamente casa propia? c. ¿Cuantas personas tienen solamente casa y televisor?

44. En un curso compuesto por 22 alumnos; 12 estudian Aleman ; 11 estudian ingles y 11 frances, 6estudian aleman e ingles; 7 estudian Ingles y Frances ; 5 estudian aleman y frances y 2 estudian lostres idiomas. ¿Cuantos alumnos estudian solo ingles?

45. En una encuesta sobre preferencias de los canales de T.V., 7, 9 y 13 se obtuvo la siguiente infor-macion: 55 Encuestados ven el canal 7, 15 Solo ven el canal 7 y el canal 9, 33 Ven el canal 7 y elcanal 13, 3 Solo ven el canal 13, 25 Ven los tres canales, 46 Ven el canal 9, 6 No ven T.V, 2 Soloven el canal 13 y el canal 9. Averigua: a) La cantidad de personas encuestadas. b) La cantidad depersonas que ven solo el Canal 9.

46. En un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las siguientes respuestas,30 personas tomaban te con leche, 40 personas tomaban cafe con leche, 80 personas tomaban leche,130 personas tomaban te o leche y 150 tomaban cafe o leche. a) ¿Cuantas personas tomaban te puro?b) ¿Cuantas personas tomaban leche pura? c) ¿Cuantas personas tomaban cafe puro? d) ¿Cuantaspersonas no tomaba ninguna de estas tres cosas al desayuno?

47. Un hotel recibe 60 visitantes, de los cuales 37 permanecen como mınimo 1 semana, 43 gastan comomınimo 30.000 euros diarios, 32 estan completamente satisfechos del servicio; 30 permanecieroncomo mınimo una semana y gastaron como mınimo 30.000 euros diarios, 26 permanecieron comomınimo una semana y quedaron completamente satisfechos, 27 gastaron como mınimo 30.000 eu-ros diarios y quedaron completamente satisfechos y 24 permanecieron como mınimo una semana,gastaron como mınimo 30,000 euros diarios y quedaron completamente satisfechos. a) ¿Cuantosvisitantes permanecieron como mınimo una semana, gastaron como mınimo 30.000 euros diarios



pero no quedaron completamente satisfechos? b) ¿Cuantos visitantes quedaron completamente sat-isfechos , pero permanecieron menos de una semana y gastaron menos de 30.000 euros diarios? c)¿Cuantos visitantes permanecieron menos de una semana y gastaron menos de 30.000 euros diariosy no quedaron completamente satisfechos.?

48. Se encuesta a 100 personas obteniendose la siguiente informacion: -Todo encuestado que es propi-etario de automovil tambien lo es de una casa. - 54 encuestados son hombres. - 30 de los encuestadosque son hombres no son propietarios de un automovil. - 30 de los encuestados que son mujeres sonpropietarios de una casa. - 5 de los encuestados que son mujeres son solamente propietarios deuna casa. - 15 encuestados que son propietarios de una casa no lo son de un automovil. a) Hacerun diagrama adecuado a la situacion e indicar la cardinalidad correspondiente a cada region. b)¿Cuantos encuestados que son hombres son solamente propietarios de casa? c) ¿Cuantas mujeresno son propietarios de casa?

49. Una tienda de artıculos electronicos vende en un dıa 44 equipos de musica, todos los que tienenlector de CD (C.D.) tienen lector de cassetes (T.C.). Algunos tienen control remoto (C.R) y otrosninguna de las tecnologıas nombradas. Si se vendieron: 16 equipos con (C.R) pero sin (C.D), 12equipos con (TC) pero sin (CD) ni (CR), 24 equipos sin (C.R), 9 equipos con (C.R) y (T.C), 16equipos con (T.C) pero sin (C.R): a) ¿Cuantos equipos que tenıan alguna de estas tecnologıas sevendieron? b) ¿Cuantos equipos se vendieron con (CD) y (CR)? c) ¿Cuantos equipos con (CR) perosin (TC) se vendieron?

Capıtulo III. Sistemas Numericos

Operaciones fundamentales con los numeros

1. Hallar el valor de: A = 4(12 − 10)(−2 − 3)(−5)(13)(−6)(100) − (120 − 120).

2. Hallar el valor de: A = [5 + (4 × 3) − (6 × 6)] × [3 × (5 + 6)] + 10

3. Hallar el valor de: A = −16 + 14 + (−25) + 45 + 12 + (−19)

4. Hallar el valor de: A = −1

4+

3

5− (−5) +

1

2+

1

4+

(

−2

9

)



7. Hallar el valor de: A =−(−3) × (−3 × 3 + 3) − (3 − 3 × 3 − 3)

−(−2) × (−2 × 2 + 2) − (2 − 2 × 2 − 2) + 1

8. Hallar el valor de:

A =[(−1) × (−1)][−1 × 1 + 1 × (−1)]

2 × (−2) × 2− −{−2[−2(−2)]}

2 − (−1) × 1 − (−1)

9. Hallar el valor de: A =[(−2) × (−2)][−2 × 2 + 2 × (−2)]

2 × (−4) × 2− −{−3[−4(−5)]}

25 − (−2) × 2 − (−1)

10. Hallar el valor de:

A =[−(−2) × (−2) × (−1)][(−1) × (−1) − (−1) × (−1)]

(−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (−2)− −{−3[−3(−3)]}

1 − (−1) × 1 − (−1)

(a) 10. (b) 9. (c) 6. (d) −9 .



11. Simplificar

E =

(

6 −41

2

)

÷ 0,03(

3 1

20− 2,65

)

· 4 +2

5

−

(

0,3 − 3

20

)

·11

2(

1,88 +2 3

25

)

· 1

80

÷2 1

20

(a) 20. (b) 40. (c) 10 . (d) 4. (e)5

2

12. Calcular el valor numerico

N =

1

9+

1

221

9− 1

22

−1

9− 1

221

9+

1

228

[

(2 + 11) ÷ (2 − 11) + (2 − 11) ÷ (2 + 11)] [

9 ÷ 22 + 22 ÷ 9 − 3]

13. Calcular el valor numerico de

E =

1,222 · · ·4 − 1

3

+√

0,555 · · · × 5

(

2,666 · · · − 1,6)(

0,8080 · · · − 0,444 · · · + 1

11

)√

13 +4

9

Respuesta E =9

8.

14. ¿A que numero es igual el producto:

1

2− 1

31

3− 1

4

1

4− 1

51

5− 1

6

1

6− 1

71

7− 1

8

· · · · · ·

1

48− 1

491

49− 1

50

?

La respuesta es 25.

15. Use la igualdad1

k(k + 1)=

1

k+

1

k + 1para hallar el valor numerico de la suma

S =1

2+

1

6+

1

12+

1

20+

1

30+ · · ·+ 1

9900+

1

10100

La respuesta es100

101.

16. Si a + b + c = 0 determinar el valor de

A = ab−1 + ac−1 + ba−1 + bc−1 + ca−1 + cb−1.

La respuesta es −3.



17. Simplificar

E =

(n − 2) veces︷︸︸︷(− x − x − x − · · · · · · − x

)+

n/3 veces︷︸︸︷(3x + 3x + 3x + · · · · · · + 3x

)

18. Si√

2 es un numero irracional. ¿Que podrıa decirse respecto al numero√

6 + 4√

2 −√

2?

19. Realiza las siguientes operaciones de la forma mas economica posible:

a)15 − (17 − 6) + 2(15 − 13) b)28 − (−8 − 4) : (33 − 29)

c)(28 − (−8 − 4)) : (33 − 29) d)32 − 12 + 20 − 50 − 20 + 75 − (−8)3

e)(28 − 3) − 5(3 − 9) − (6 + 2) : 4 · 5 f) − 15 − (12 − 20) + (−10 + 14)

g) − [(−8) + (−7)] − [(−5) + (+3)] h)(−6)[(+9) − (+2)] − (−3)(−4)

i)(7 − 5 − 1)3(4 + 5)2 j)(1 − 2(−3 + 2)) : 3 − (−1 + 2 · 4 + 3) − 2 + 1

k)7 − 2 · 62 : 4 − 32 l)(7 − 2)62 : (4 − 3)2

m)7 − (2 · 6)2 : 4 − 32 n)7(−2) · 62 : 4(−3)2

n)7(−2 · 6)2 : (4(−3)2)

20. Si x representa un entero distinto de cero cualquiera, ¿cuales de las siguientes expresiones sonnegativas? a) −x, b) −(−x), c) (−x)2, d) −(x2), e) x3, f) (−x)3, g) |x|, h) −|x|.

21. Realiza las siguientes operaciones:

a) 1 +1

2, b) 1 +

1

1 +1

2

, c) 1 +1

1 +1

1 +1

2

, d) 1 +1

1 +1

1 +1

1 +1

2

,

22. ¿Eres capaz de descubrir un patron en esta serie? ¿Podrıas, sin necesidad de hacer los calculos,escribir los tres numeros siguientes?

23. Usando calculo mental, decide si 20× 1

2× 2× 1

2: es menor que 22, esta comprendido entre 22 y 50,

es mayor que 40.24. Encuentra dos fracciones positivas cuya suma sea 2 y cuyo producto sea 7/16.

Problemas de Aplicacion

1. Resuelve los problemas que se enuncian a continuacion utilizando metodos aritmeticos.

(a) Pedro tiene 10 caramelos mas que Marıa. Marıa tiene 3 menos que Juan. ¿Quien tiene mas,Pedro o Juan? ¿Cuantos mas?

(b) Juan y Marıa son hermanos. Juan compra 4 lapices a 5 bolivianos cada uno y Marıa 5 cuadernosa 10 bolivianos cada uno. Pagan con 200 bolivianos. ¿Cuanto les devuelven?

(c) En el cumpleanos de Laura se iban a repartir 108 globos entre 12 ninos. ¿Cuantos tocaban acada uno?. Si explotaron la tercera parte, averigua, los globos que recibio cada nino.



(d) Si 1/3 de la cosecha de aceituna se estropea por causa de una tormenta y 1/10 de lo quequedo se perdio por causa de una plaga, ¿que fraccion de la cosecha pudo ser utilizada?

2. En la prensa diaria busca algunas situaciones en que aparezcan fracciones y razones. Para cada unade ellas, identifica el tipo de situacion problematica presentada, entre las descritas en la seccion 1.

3. En las siguientes situaciones identifica los distintos de usos de las fracciones que se ponen en juego.Expresa estos enunciados y la solucion utilizando algun tipo de representacion grafica.

a) En una clase hay dos tercios de chicas. ¿Si hay catorce chicas en la clase? ¿Cual es el numerototal de alumnos?

b) Si Jorge pedalea a una razon de 8 km por hora, al cabo de 45 minutos ¿A que distancia esta desu casa?

c) Un terreno mide 200 metros cuadrados. ¿Cuanto mide las 5/8 partes del terreno?d) La tasa esperada de crecimiento anual del ındice de precios es del 3/100. Si he comprado un

piso de 120.000 euros y lo vendo dentro de un ano por 122.000 euros, ¿he ganado o he perdido?4. Una persona gasta cada mes la quinta parte de su salario mensual en alimentacion y la sexta parte

en alquiler del piso. Despues de realizados estos pagos le quedan 570 euros. ¿Cual es su salariomensual?

5. Un coche circula a 80 km/h durante 18 minutos. ¿Por que numero es necesario multiplicar lavelocidad para encontrar la distancia que recorre expresada en km? ¿Cuanto tiempo necesitara pararecorrer 64 km a esa misma velocidad?

6. Se considera el numero A = 45501/56.a) Encontrar los dos enteros consecutivos que encuadran a A (o sea, el mayor entero menor que

A y el menor entero mayor que A)b) Calcular en forma de fraccion la diferencia entre A y cada uno de los enteros anteriores.c) Llamemos B al entero mas proximo a A. Encontrar tres numeros racionales comprendidos entre

A y B.7. Demostrar que es posible pavimentar un rectangulo con baldosas cuadradas si y solo si la razon

entre las longitudes de la base y la altura es un numero racional.8. En una familia el padre obtiene 3/5 de los ingresos y el resto lo obtiene la madre. Mientras que esta

paga 2/10 de sus ingresos en concepto de impuestos directos en su declaracion de la renta, el padrepaga 2/11 de sus ingresos. La familia paga ademas 1/20 de sus ingresos en impuestos autonomicosy estiman que aproximadamente 3/50 de sus ingresos se pagan en impuestos indirectos (tabaco,gasolina, artıculos de lujo, etc.). ¿Que proporcion total de ingresos paga en impuestos esta familia?

9. Una de cada 10.000 personas aproximadamente contrae tuberculosis a lo largo de su vida. Laspruebas para detectar la tuberculosis dan positivas en el 99/100 de las personas enfermas y tambienen el 2/100 de las personas sanas (falsos positivos)

¿Cual es la probabilidad de contraer tuberculosis?En una poblacion de 40.000 de personas, ¿Cuantas contraeran tuberculosis?¿Cuantos falsos positivos hay?¿Cuantos falsos negativos? (personas enfermas en las que el test es negativo)¿Que proporcion de aquellos en los que el test da positivo esta realmente enferma?



Operaciones y propiedades de los numeros reales.

1. Cuales de las siguientes afirmaciones es verdadera y cuales son falsas. Si es falsa, de un ejemplo quemuestre que es falsa.

(1) R ⊂ Q ⊂ Z ⊂ N (8) ab = 0 ⇔ a = 0, o b = 0

(2) a = b ⇒ ac = bc (9)a

b· c

d=

ac

bd, b 6= 0, d 6= 0

(3) a < b y c > 0 ⇒ ac > bc (10)ac

bc=

a

b, b 6= 0, c 6= 0

(4) a < b y c < 0 ⇒ ac < bc (11)√

a + b =√

a +√

b

(5) ac = bd ⇒ a = b y c = d (12)a

b+

c

d=

a + c

b + d, b 6= 0, d 6= 0

(6)a

c=

b

d⇒ a = b y c = d (13) (a + b)2 = a2 + b2

(7) a0 = 0 (14)(a

b

)−1

=a

b, a 6= 0, b 6= 0

2. Muestre que, para m, n, p, q numeros naturales (en N) y si m < n y p < q, entonces m+ p < n+ q.

3. Muestre que, si m, n son numeros naturales y m < n, entonces m2 < m · n < n2.

4. Muestre que, si m, n son numeros naturales y si m 6= n, entonces m2 + n2 > 2m · n.

5. Muestre que, si a es un numero entero (en Z), entonces a · 0 = 0 · a = 0.

6. Muestre que, si a, b, c son numeros enteros, entonces a · (b − c) = a · b − a · c.7. si a, b, c, d son numeros enteros. Entonces a − b = c − d si y solamente si a + d = b + c.

8. Muestre que, para b entero positivo y a cualquier entero, entonces a − b < a + b.

9. Muestre que, el cuadrado de un numero entero impar es un entero impar.

10. Muestre que, la suma de tres enteros impares es un entero par.

11. Muestre que, el producto de dos enteros impares es un entero impar.

12. Muestre que a2 es entero par si y solamente si, a es entero par.

13. En los numeros reales, muestre que si x 6= 0 e y 6= 0, entonces x · y 6= 0.

14. En los numeros reales, muestre que para todo x > 0, se tiene√

x <√

x + 1.

15. Muestre que para todo m 6= 0 entero, se tiene m2 > 0.

16. Muestre que√

2 no es un numero racional (es decir no esta en Q).

17. Muestre que√

3 no es un numero racional.

18. Es cierto que, ¿el cuadrado de todo numero real es mayor que la base?

19. En los enteros, es cierto que, ¿el cubo de un numero impar es par?

20. En los enteros, es cierto que ¿el cuadrado de un numero par es impar?

21. ¿Los numeros complejos son ordenados?. Justifique.



Capıtulo IV. Expresiones Algebraicas

Potencias y exponentes

1. Simplificar utilizando ley de exponentes A = 32 × 34 × 33

2. Simplificar utilizando ley de exponentes A = [25 × 254 × (253)]7

3. Simplificar A = 2−3 × 2−2 × 1

24

4. Simplificar A =4−2 × 34 × 45

32 × 43

5. Simplificar A =5−1 × 5−2 × 5−3 × 5−4 × 5−6

5 × 52 × 53 × 54 × 55 × 56

6. Simplificar A =22 × 33 × 23 × 32

34 × 25 × 36 × 27

7. Simplificar A =122

133× 144

155× 12−6

13−7× 14−8

15−9

8. Simplificar A =46 × 315 × 44

52 × 48 × 53· 310 × 57 × 43

320 × 43 × 55


1010× 30−7

40−9× 10−5

20−1× 20−1

30−1× 20−3

40−9× 10−5

30−1× 40−1

10−1

10. Calcular el valor de

[(1

2

)−2

+ 2

(1

3

)−2

+

(1

3

)−3]1/2

11. Simplificar la expresion cuando Z es igual a:

Z =

[

1 −(

2

3

)−2

−(

−3

2

)−1]−1

÷[(

− 2)−1 −

(− 3)−1]−1

12. Simplificar A =7−2 × 8−3 × 9−5

9−2 × 88 × 7−3· 8−3 × 97 × 7−9

8−5 × 7−10 × 95

13. Simplificar

A =

(xp

xq

)p+q

÷(

xp+q

xp−q

)p2

q, B =

2 · 23n − 4 · 4n

(2 · 2n

)3 − 8 · 22n+1

14. Operar y Simplificar

(a)x−mx5m+3x4m+2

x4m+1x5+4m(b)

2n+2 + 2n+4 + 2n+6

2n−2 + 2n−4 + 2n−6(c)

(2−4a−1b2

4−1a−2b−1

)2

15. ¿Cual es la suma de los dıgitos del numero? 52004 · 22000. La respuesta es 13.

Radicales

1. Calcular las sumas

(a) 5√

2 − 3√

50 + 7√

288 (b) 2√

150 − 4√

54 + 6√

48 (c) 3 4√

9 − 2 6√

27

2. Calcular las sumas



(a) 2

√

2

3+ 4

√

3

8− 5

√

1

24(b) 6

√

8a3

3− 2

√24ab2 + a

√54a

(c) 4

√x

y+

34

√

x−2y2− 5 6

√

x3

y3

3. Calcular la suma A =1

23√

24 − 2

33√

54 − 1

43√

128

4. Calcular la suma A =2

33√

135 +1

23

√

1

32+

7

43

√

1

4− 20

3

√

1

2005. Multiplicar

(a)√

48x5√

3x3 (b)(

3√

18x2)(

3√

2x)

(c)

(2

x

√a2x

)(

3

2

√

1

a3

)

6. Multiplicar

(a)(

3√

2 + 2 3√

4)(

3√

2 − 2 3√

4)

(b)

√(

6 + 3√

3)√(

6 − 3√

3)

(c)(√

2 +√

3 +√

5)(√

2 +√

3 −√

5)

7. Dividir

(a)

√2

3√

3(b)

3√

3

4 3√

2(c)

3√

5m2n5√

m3n2(d)

4

53√

4ab

1

10

√2a2

(e)3√

7a2b5

3√

2a1b8

Suma y Resta de Polinomios .

1. Simplificar: 2(5[x − 2(x − 1) + 6] + 1)2. Realizar las operaciones y simplificar: x(x + 4) − (x + 2)(x − 1)3. Simplificar la expresion 2{3x − 2[4(x − 2) + 1]} + x4. Substraiga la expresion algebraica:

((3

5

)

x2y +

(7

3

)

xy2 − 11x + 12y

)

−((

8

3

)

xy2 +

(7

5

)

x2y + 8x − 11xy

)

5. Simplificar: 5[a(a + b) − 3b(b − a) − 3ab(1 − a)]

6. En cada uno de los polinomios siguientes identificar los terminos semejantes.

c) xy2 + x2y2 − 3x2y + 7x2y

d) 3(x + y) − 5(x + y) + 2(x − y)

e) 76p4qr2s3 + 76p2q2rs4 − 33p4qr2s3 + 21p2q2rs4

7. Escribir 3 terminos semejantes de grado 2.

8. Realizar las siguientes operaciones algebraicas.c) (+8x2y2) + (11x2y2) + 30(x2y2)d) 6y2 − x2 + 10xy + 8x2

e) 5a3b2 − 5c2d4 − 4a3b2 + 6b2a3 − 3c2d4

f) 10p3q2r2s4 − 10s2r4q3p2 + 8s4r2q2p3 − 8p2q3r4s2



9. Reducir los siguientes terminos semejantes

B = 3xy + 2x2y − 6x2y2 − (6x2y2 − 5x2y + 3xy)

10. Simplificar la siguiente operacion algebraica.

10p3q2 − 2r2s4 − 10s2r4 + q3p2 + 8s4r2 − 2q2p3 − 8p2q3 + r4s2

11. En cada uno de los siguientes ejercicios calcular la suma de las expresiones algebraicas:

(a) 8x + y + z + u, −3x − 4y − 2z + 3u, 4x + 5y + 3z − 4u, −9x − y + z + 2u.

(b) a2 − ab + 2bc + 3c2, 2ab + b2 − 3bc − 4c2, ab − 4bc + c2 − a2 , a2 + 2c2 + 5bc − 2ab.

(c) m3 − n3 + 6m2n, −4m2n + 5mn2 + n3, m3 − n3 + 6m2n , −2m3 − 2m2n + n3.

12. En cada uno de los siguientes ejercicios hallar la diferencia obtenida al restar la segunda expresionde la primera.

(a) x3 − 4x2 + 2x − 5, −x3 + 2x2 − 3x − 3.

(b) 5a4 + 9a3b − 40ab3 + 6b4, 7a3b + 5ab3 − 8a2b2 + b4.

(c)3

5x4 +

3

4x3y − 5

7xy3 +

2

3y4, x4 +

5

8x2y2 − 1

3xy3 +

5

6y4.

13. Sean los terminos semejantes

F1 = (p + r)x5yn+5, F2 = (m + n)xm−2y9, F3 = 2mnxryp+3,

Halle F1 + F2 + F3.

14. A la suma de Ax2 − 2xy + y2 con 5x2 + Bxy − 4y2 se le resta 6x2 + xy − 2cy2 se obtiene

5(x2 + y2). Halle el valor de A + B + C .

Multiplicacion de Polinomios .

1. En cada uno de los siguientes ejercicios hallar el producto indicado

(a)

(

−1

3x4y2

)(

−5

7a3x4y3

)

.

(b)(

5a2xy2)(

− 3x3 + 5x2y − 7xy2 − 4y3)

.

(c)(

a + 2b)(

a2 − 2ab + 4b2)

.

(d)(

a2 − a + 1)(

a4 − a2 + 1)(

a2 + a + 1)

.

(d)

(2

5m2 +

1

3mn − 1

2n2

)(3

2m2 + 2n2 − mn

)

.

2. Realizar las operaciones y simplificar:a) (2a2 + 3ab + c) + (2c − 5a2 − ab).b) (5x4 − 2a2 + 4xy) − (2x4 + 5a2 − xy) + 3x4 + 2a2 + xy).c) (4x + x4 − 5x3 + 2)(2x − 3 + x2).d) (4x4 − 5x3 + x2 − 2x + 2)(x2 − 2x + 2).e) (4ab3 − 3a2bc + 12a3b2c4) : (−2ab2c3).f ) (x4 + xy3 + x3y + 2x2y2 + 4) : (xy + x2 + y2).

3. Dados dos polinomios Q1(x) = x5 + 2x3 + 4x2, y Q2(x) = x3 − 2x2, encuentre los siguientespolinomios: P1 = Q1 + Q2, P2 = Q1 − Q2, P3 = Q1 ∗ Q2.



4. Dados dos polinomios Q1(x) = 2x5 − x4 − 3x3, Q2(x) = x2 + x encuentre los siguientes polinomios:P3 = Q1 ∗ Q2, P3 = Q1

Q2

5. Multiplicar los polinomios (5x2y + 3xy2)(3x3 − 2x2y + xy2 − 4y3)

6. SimplificarA = 12(x2 − x− 7)− (x + 1)(x− 2)(x + 3)(x− 4) + (x + 2)(x− 3)(x + 4)(x− 5).Sugerencia: Realice el cambio de variables y = x2 − x. Respuesta: A = 12.

7. Simplificar

(x − 2)(x + 3)(x − 4)(x + 5) − (x + 4)2(x − 3)2 + 2(x2 + x + 13)

Division de Polinomios por el Metodo Tradicional.

1. Si en la division de2x4 + 7x3 + 16x2 + mx + n

2x2 + x + 4el resto es 12x + 3, calcular m + n. Respuesta

99

2.

2. Si en la division de x4 − rx3 + sx2 − x + 3 entre x2 − 5x + 6 es exacta, hallar los valores de r y s.

Respuesta r =19

4y s =

21

4.

3. Si al efectuar la division de x4 + x3 − 5x2 + sx + t entre x2 − 2x + 2 se obtiene el resto igual a 4.Calcular el valor de

√

t + 3√

s. Respuesta√

t + 3√

s = 2.

4. Determine el valor de 3

√

α +√

α − β si la division de x4−3x3y+x2y2+αxy3+βy4 entre x2−xy+y2

tiene resto igual a 7xy3 + 8y4.

5. Hallar el valor de m sabiendo que x5 − 5mx + 4 es divisible por (x − c)2. Respuesta m = 1.

6. Hallar el valor de k, para que el resto sea igual a cero:

6x36 + 17x27 + kx18 + 17x9 + 8

3x9 + 1

7. Hallar m para que x3−7x+5 sea factor de P (x) = x5−2x4−4x3 +19x2−31x+m+12.

8. Calcular m + n si el residuo de dividir:2x4 + 5x3 + 11x2 + 2mx + 5n

2x2 − 3x + 7es igual al residuo de

dividir3x4 + 13x3 − 3x2 + mx + 4n − 1

2x2 − 2x + 1.

Teorema del Resto

1. Sabiendo que p(x) = 2x3 − 3x2 + 5x − 4, calcula el resto de las siguientes divisiones:

p(x) : (x − 1), p(x) : (x − 3),p(x)

x + 2,

p(x)

x + 3



2. Determine el cociente y el resto.a) 2x4 − x3 − 18x2 − 7 divido por (a) x − 3, (b) x + 3.b) 3x4 − 7x − 20 divido por (a) 2 − x, (b) x + 2.c) x5 − 2x4 + 2x3 − 5x2 + 2x + 5 divido por (a) x − 1, (b) 2x + 1.

3. Halle k de manera que se satisfaga la condicion indicada.a) x3 + kx2 + 3x − 12 divido por x − 2, tenga resto igual a 4.b) 2x3 − 5x2 + kx + 3 divido por x + 1, sea division exacta.

4. Calcula el valor de a para que el resto de la division2x3 − 5x + 4a

x − 3sea 18.

5. Calcula el valor de a para que el resto de la divisionp(x)

x + 2sea −3 siendo p(x) = 2x2 + 3ax − 5

6. ¿Cual es el residuo de la siguiente division? (3x5 − 2x4 + 3x3 − 2x2 − x − 1) ÷ (x − 2).

7. Hallar los valores de m y n para que el polinomio x3+mx2 +nx−6, sea divisible por x2−5x+6.

8. Hallar el valor de m para que la division de x4 + 2x3 + 3x2 + mx− 7 entre x + 2 tenga resto 3.

9. Calcular el valor de n en el polinomio P (x) = x4− 2x2 +nx− 3 sabiendo que al dividirlo entrex + 1 el resto obtenido es el triple del que resulta al dividirlo entre x − 1. Respuesta: 2.

10. Calcular el valor de m si el resto de dividir x3 −mx2 + 7x− 1 entre x− 2 es el triple del resto

de dividir x2 − (m + 2)x − 1 entre x + 2.

11. Hallar el residuo de la division de Q(x) = x3 − 3x2 − 2x− a entre x− 4 sabiendo que a es el

termino independiente del cociente de la divisionx2 − 4x + 1

x − 3.

12. Hallar el residuo de la division del polinomio

(

x4−10x2+16)1000

+(

x4−12x2+24)2n

entre x2 − 8. Respuesta: 82n. Sugerencia use el cambio de variable y = x2.

13. Si x−a es un factor del polinomio ax3 +a2x2 +a3x−3b4. Hallar el valor dea

b+

b

a+2015. Respuesta:

2017. Sugerencia si x − a es un factor de un polinomio P (x), entonces P (a) = 0.

14. Se sabe que la siguiente division es exacta

A(x − 3)100 + 3Bx(x − 2)55 + 2(x − 4)2 + Ax

x2 − 5x + 6

Calcular el valor de E = A − 9B. Respuesta: −26

3. Sugerencia si un polinomio P (x) es divisible

entre (x − a)(x − b), entonces P (x) es divisible entre x − a y es divisible entre x − b.

15. Hallar el resto de(

x4 − 3x + 6)102

+(

x4 − 3x + 4)53

− 2x4 + 6x − 14

x4 − 3x + 5

Respuesta: −4.



16. Calcular r y s di la division dexr(x − a)3r − 256(3a− x)2s

x − 2aes exacta. Respuesta: r = 8, s = 16.

17. Determinar el valor de la expresion E = 2p + 5q si en la divisionpx8 + qx6 − 3x5 − 1

x3 + 1el resto

es igual a 8x2 − 5. Respuesta: E = −10.

Division sintetica o metodo de Ruffini

1. Utilizar Ruffini para descomponer los polinomios en producto de binomios de grado 1.

(a) p(x) = 5x2 − 3x − 2 (b) q(x) = x3 + 2x2 − 5x − 6 (c) h(x) = x4 − 10x2 + 9

(d) p(x) = x4 + 7x3 + 12x2 (e) q(x) = x5 − 2x4 − 8x3 (f) h(x) = 2x8 − 6x6 − 4x5

2. Efectuar8x20 + 5x8 − 4x4 + 3

2x4 + 1. Respuesta: Q(x) = 4x16 − 2x12 + x8 + 2x4 − 3, Q(x) = 6.

3. Hallar el valor de k, si la division dea2x3 + a2cx + k − b2x

ax + btiene resto igual a 3abc. Respuesta:

4abc.

4. Determinar el valor de m y n para que la divisionx4 − nx3 + mx2 − 2x − 8

(x + 1)(x− 2)sea exacta. Re-

spuesta: m = 3, n = 2.

Grado de Polinomios .

1. Calcular el valor de E = a − 3b en el monomio P (x, y) =x1+ax2−b

x1−bx2−asabiendo que el grado

absoluto del monomio P (x, y) es 10 y el grado relativo de la variable y es 4. La respuesta es 2.

2. Determinar el grado relativo de P (x, y) = axa+8 + abxayb − byb+16 con respecto a y, sabiendoque es homogeneo. La respuesta es 24. Sugerencia: un polinomio es homogeneo cuando los gradosde cada uno de sus terminos son iguales.

3. Determinar el grado de la expresion E = 6[P (x)

]4+ 5[Q(x)

]6 − 8[P (x)

][Q(x)

]si el

polinomio P (x) es de cuarto grado y Q(x) es de tercer grado.

4. ¿Cuantos terminos tiene el polinomio

P (a, b, c) =3

√

axy

bxcy+

3

√

a2xy

bx+1cy+1+

3

√

a3xy

bx+2cy+2+ · · ·

si es homogeneo y de grado 20 respecto de a?.

5. Se tiene los polinomios P (x, y) = 5xm+11yn−3 − 3xm+7yn+2 + 7xm+2yn+1 y

Q(x, y) = 5x2m+6yn+2 − 3x2m+2yn+7 + 5x2myn+10

Determinar el grado absoluto de Q(x, y), si se sabe que el grado absoluto del polinomio P (x, y) es16 y el menor exponente de y en el polinomio Q(x, y) es 4. La respuesta es 22.



6. Se tiene los polinomios

P (x, y) = 5xm+11yn−3 + 7xm+7yn+2 + 7xm+2yn+1 + 5xm+1yn

Q(x, y) = 2x2m+6yn+2 + 12x2m+2yn+7 + 8x2m+4yn+10 + 6x2m+4yn+6 − 8

5x2m+2yn+7

Determinar el grado absoluto de Q(x, y), sabiendo que el grado absoluto del polinomio P (x, y)es 16 y el menor exponente de y en el polinomio Q(x, y) es 8. La respuesta es 22.

7. Se tiene los polinomios P (x, y) = 5xa+11yb−3 + 6xa+7yb+2 + 8xb+2ya+1 y

F (x, y) = 3x2a+6yb+2 + 4x2a+2yb+7 + 7x3ayb+10

Se sabe que el grado absoluto del polinomio P (x, y) es 16 y el menor exponente de y en el polinomioF (x, y) es 4. Calcule el grado absoluto del polinomio F (x, y).

8. Hallar x si la siguiente expresion es de segundo grado M(a) = x√

ax√

a2 x√

a3 · · · · · · x√

ax. Respuestax = 3.

9. Efectuar

E =

24 Factores︷︸︸︷

(−√x)(− 3

√x)(−√

x)(− 3√

x) · · · · · · (−√x)(− 3

√x)

Respuesta E = x10.

Las fracciones algebraicas

1. Simplifica las siguientes expresiones:

(1)x + 1

x2 − 1(2)

x2 − 4

x2 − 4x + 4(3)

x2 − 1

x − 1(4)

x2 − 4x + 3

x3 − 6x2 + 11x − 6

(5)x2 − x

x3 − x2(6)

x2 − 3x + 2

x2 − x − 2(7)

(3xy)3 − 6x2y4

24(x3y)2(8)

x4 + x3 + x2

3x23x + 3

2. Simplificar:

(a)36xy4z2

−15x4y3z(b)

75a7m5

100a3m12n3(c)

ax4 − a2x3 − 6a3x2

9a4x − a2x3(d)

2x2 − 9x − 5

10 + 3x − x2

3. Simplificar:

(4x2 + 4xy − 3y2)

(x2 − 2xy − 3y2)· (2x2 − xy − 3y2)

(4x2 − 9y2),

2x + 1

x2 − 4+

x

x + 2− 3x − 1

x2 − 4x + 4

4. Opera las siguientes fracciones algebraicas (sumar o restar), haciendo mcm:

(a)8

x2 + 2x− 4x

2x + 4(b)

1

x2− x + 1

x2 + x(c)

1

2x − 1− x + 1

(2x − 1)2

5. Ahora, no hay que aplicar el mcm, puesto que solo vamos a multiplicar y dividir. Descompon lospolinomios en producto de factores, y simplifica:



(a)2x

x − 1· x2 − 4

2(b)

3x + 3

3x· x2 − 3

x2 − 9(c)

3x

2x − 2:

2x

x − 1(d)

x2 − x

x − 3:

4x − 4

x2 − 9

6. Ahora complicamos un poco mas las cosas. Combinamos sumas y restas con multiplicaciones ydivisiones de fracciones algebraicas.

(a)

(1

x+

2

x2

)

· 3x2

x + 2, (b)

(

x +x

1 − x

)

:

(

x − x

1 − x

)

, (c)

(

x +1

y

)

÷(

x − 1

y

)

7. Simplificar las expresiones.

(a)t − 5

25 − t2. (b)

x2 − 9x + 18

3x2 − 5x − 12.

(c)(a + b)2 − 4ab

(a − b)2. (d)

(x − y)2 − z2

(x + z)2 − y2.

(e)a2 − b2 + a − b

a2 + 2ab + b2 − 1. (f)

(x + y)2 − 4(x + y)a + 3a2

x2 + 2xy + y2 − z2.

(g)x2

x + 1− 1

x + 1. (h)

y2 − 2

y2 − y − 2+

y + 1

y − 2.

(i)3

y2 − 9− 2

y2 + 6x + 9. (j)

2x

4x3 − 4x2 + x− x

2x3 − x2+

1

x3.

(k)xy3 − 4x2y2

y − x:

16x2y2 − y4

4x2 − 3xy − y2. (l)

1

x + y− 1

x − y2y

x2 − y2

.

(m)z2 − 49

z2 − 5z − 14:

z + 7

2z2 − 13z − 7. (n)

x

1 − 1

1 +x

y

.

(o)

6

x2 + 3x − 10− 1

x − 21

x − 2+ 1

. (p) 2 − 2

1 − 2

2 − 2

x2

.

8. Realizar la operacion y simplificar su respuesta



(1)

2x − 2y

3zx − y

6z3

(2)

a

b+

b

aa

b− b

a

(3) 1 +1

1 +

1

1 +1

x

(4)

2

x + 2− 4

x2 − 4

x − 8

x − 2

(5)

a2 − 2ab + b2

a2 − 2aba2 − b2

a2 − ab − 2b2

(6)

Productos Notables

① Axioma de Distributividad a(x + y) = ax + ay② Diferencia de cuadrados. (x + y)(x− y) = x2 − y2

③ Binomio al cuadrado (x + y)2 = x2 + 2xy + y2.④ Binomio al cuadrado (x − y)2 = x2 − 2xy + y2.⑤ Producto de binomios (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab⑥ Producto de binomios (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd⑦ Diferencia de cubos (x − y)(x2 + xy + y2) = x3 − y3

⑧ Suma de cubos (x + y)(x2 − xy + y2) = x3 + y3

⑨ Cubo de suma (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

⑩ Cubo de diferencia (x − y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3

❶ Cuadrado de trinomio (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz)

1. Resolver empleando productos notables: (b + 4)2

2. Resolver empleando productos notables: (5 − c)2

3. Representar el area de un cuadrado cuyo lado es: (x+7) m.

a)x2 + 49, b)x + 49, c)x2, d)x2 + 14x + 49, e)x2 + 7.

4. Resolver empleando productos notables: (a + b)(a − b). Subraye el inciso correcto.

a)a2 − b2, b)ab, c)a2 + b2 − a − b, d)1, e)a − b.

5. Hallar: (2c + 1)(2c − 1). Subraye el inciso correcto

a)4c − 1, b)4c2 − 1, c)4c2 + 2c − 1, d)2c2 + 1, e)4c2 + 2.

6. Hallar: (1 − 2a)(2a + 1)7. Resolver empleando productos notables: (x2 + a2)(x2 − a2)

a)x2a2, b)x4 + a4, c)x2 + a4, d)x4 − a4, e)x4 − x2 + a2x2

8. Resolver empleando productos notables: (x + y + 3)2

9. Resolver empleando productos notables: (2x + 3y − 2)2

10. Resolver empleando productos notables: (a + b)(a2 − ab + b2)

a)a3 + ab + a3, b)a3 + b3, c)a3 + ab2 + a2b + b3, d)a3 − b3e)N.A.



11. Realice las operaciones que se indican.

(a) 2xy(3x2y − 4xy2 + 5y3). (b) (3a + 5b)(3a − 5b).(c) (x − 5y)(x + 3y). (d) (5x + 3y)(2x− 7y).(e) (2x + 1)3. (f) (x − 2y2)2(x + 2y2)2(x2 + 4y4)2.(g) (y + 2)(y − 2)(y2 + 4)(y4 + 16). (h) (x − 2)3(x + 2)3.(i) (3x + 4y)2 (j) (x2 − 9)(x2 + 9)(k) (4 − 3x2y)(4 + 3x2y) (l) (2xa+4 − 8ya−1)3

12. Simplificar: (x − 2)(x − 1)(x + 2)(x + 1)(x4 + 5x2 + 4)13. Simplificar:

(√a2 + b2 − a

) (√a2 + b2 + a

)

14. Si ab + ac + bc = 5 y a2 + b2 + c2 = 3 calcular a + b + c =?

15. Si x + y = 12 y x2 + y2 = 60 calcular x3 + y3 =?.

16. Si ab(a + b) = 1 y a3b3(a3 + b3) =5

2calcular F = a2b2(a2 + b2).

17. Sia + b

ab=

4

a + bel valor de F =

√a2 + 3b2

5a − 2b+

a

bes: Respuesta.- F = 2.

18. Si m + n = 1 el valor de F = 6(m2 + n2) − 4(m3 + n3) es: Respuesta.- F = 2.

19. Si√

x + b +√

x − b = b; x ≥ b > 0, el valor de F =√

x + b −√

x − b es: F = 2 .

20. Si

√m

n+

√n

m= 7, el valor de F = 8

√m

n− 8

√n

mes: F = 1 .

21. Si1

a+

1

b=

4

a + bdonde ab 6= 0, el valor de F =

n

√

(a + b)n+1

an+1 + bn+1es: F = 2 .

22. Si mn(m + n) = 1, m2n2(m2 + n2) = 2 el valor de F = m3n3(m3 + n3) es:5

2.

23. Si 8m2

n− n2

m= 6(2m − n) el valor de F = 4

(m

n+

n

m

)

es: F = 10 .

24. Si x3 + y3 = 10, xy = 6 el valor de F = (x + y)3 − 18(x + y) + 20 es: F = 30 .

25. Si a + b = 4, ab = 3, hallar el valor dea3 + b3

a2 + b2. Respuesta:

14

5.

26. Si a2 + b2 = 1, ab = 3, hallar el valor de a4 + b4. Respuesta: −17.

27. Si x4 + x−4 = 34, halle el valor de F = x + x−1. Respuesta.- F = 2.

28. Hallar el valor de F = x6 + x−6 sabiendo que x2 + x−2 = 4. Respuesta.- F = 52.

29. Sabiendo queb

a+

b2

a2= −1

4el valor de F =

a + 3b

b+

8b2

a2es: F = 3 .

30. Sabiendo que m > n, ademas 3

√m

n+ 3

√n

m= 3, el valor de F =

√m

n−√

n

mes: F = 4

31. La simplificacion de E =(a + b)4 + a4 + b4

[

(a − b)2 + (a + b)2 + 2ab]2 es: E =

1

2.

32. Si a + b + c = 3 con a 6= 0, b 6= 1, c 6= 2, el valor de F =a3 + (b − 1)3 + (c − 2)3

a(b − 1)(c − 2)es: F = 3.



33. Si se cumple x2 − 3x + 1 = 0 el valor de F =x7 − x5 + x3

x5es F = 6.

34. Si(a

b

)n

+ 4

(b

a

)n

= 725 con a, b reales positivo, halle el valor de F = 3

√an + 2bn

√anbn

. Respuesta.-

F = 3.

35. Conociendo m + n = mn + 2 = 3 calcular el valor numerico de F = m5 + n5. Respuesta.- F = 123.

36. Sabiendo que m+n = mn = 5 calcular el valor numerico de F =m2 + n2 + 5

m3 + n3 + 10. Respuesta.- F =

1

3.

37. Si1

m+

1

n=

1

m + nhallar el valor de F =

(m + n)6 − 6(m6 + n6)

(mn)3. Respuesta.- F = −11.

38. Si m + n + p = 0 calcular el valor numerico de F =m2

np+

n2

mp+

p2

mn. Respuesta.- F = 3.

39. Si a2 + b2 = 62ab halle el valor numerico de F =

(a + b√

ab

)1

3. Respuesta.- F = 2.

40. Simplificar E =

√√√√

(

x3 + 2x2 + 2x + 1)(

x3 − 2x2 + 2x − 1)

x2 − 1+ x2

. Sol: E = x2 + 1.

41. Simplificar(

a2b + abba + b2a + ab − ba)2

−(

a2b + abba + b2a − ab + ba)2

Respuesta.- 4a3b − 4b3a.

42. Si x + y = a, xy = b y ademasx3 + y3

5xy(x + y)=

1

5, la relacion entre a y b es: Respuesta.- a = 2

√b.

43. Sabiendo que a(a

b− 3)

= b

(b

a− 3

)

, al efectuar (a− b + c)3 − (a− b− c)3 se obtiene: Respuesta.-

2c3.

44. Demostrar que la expresion

H =(√

a +√

b +√

c)(√

a +√

b −√c)(√

a −√

b +√

c)(

−√a +

√b +

√c)

es igual a la expresion

H = 4ab −(c − a − b

)2.

45. Simplificar

(a + b + c)(a − b + c)(a + b − c)(−a + b + c) +(a2 + b2 − c2

)2

46. Simplificar

(a + b − c)(a + b) + (a − b + c)(a + c) + (b + c − a)(b + c) − 2a2 + 2b2 + 2c2



47. Calcular el valor de

16

√(

a + 1)(

a4 + 1)(

a8 + 1)(

a2(a − 1) + a − 1)

+ 1

Respuesta: a.

48. Simplificar la siguiente expresion

K =

(− 4x + 3y + 4z

)(2x − 6y + 4z

)(2x + 3y − 8z

)

(− 4x + 3y + 4z

)3+(2x − 6y + 4z

)3+(2x + 3y − 8z

)3

Respuesta:1

3.

Cocientes Notables

① Para n natural par o impar, se tiene

xn − yn

x − y= xn−1 + xn−2y + xn−3y2 + · · · · · · + x2yn−3 + xyn−2 + yn−1

el numero de terminos en el desarrollo de este cociente es n, y el termino en la posicion k es

tk = xn−kyk−1

② Para n natural par, se tiene

xn − yn

x + y= xn−1 − xn−2y + xn−3y2 − · · · · · · − x2yn−3 + xyn−2 − yn−1


tk = (−1)k+1xn−kyk−1

③ Para n natural impar, se tiene

xn + yn

x + y= xn−1 − xn−2y + xn−3y2 − · · · · · · + x2yn−3 − xyn−2 + yn−1


tk = (−1)k+1xn−kyk−1

④ Para n cualquier natural la fraccionxn + yn

x − yno es un cociente notable.



Observe que

xm ± yn

xa ± yb=

(

xa)m

a ±(

yb)n

b

xa ± yb

Luegoxm ± yn

xa ± ybes un cociente notable si y solo si

m

a=

n

b, en tal caso el numero de sus terminos en su

desarrollo es N =m

a=

n

b.

1. En el cociente notable:x12 − y20

x3 − y5cuantos terminos centrales tiene. Respuesta.- 2

2. Calcular el termino 47 contando del extremo final del desarrollox111 − a111

x − a. Respuesta.- x46y64.

3. Cual es el lugar que ocupa un termino en el siguiente cociente notable, contando a partir del primertermino, sabiendo que la diferencia del grado absoluto de este termino con el grado absoluto del

termino que ocupa la misma posicion contando a partir del extremo final es 9.x350 − y140

x5 − y2.

4. Dado el cociente notablex21 − y21

xn − ymdeterminar el valor de m y n sabiendo que el cuarto termino

es a la vez el termino central. Respuesta.- n = m = 3

5. En el cociente generado porxa − yb

x3 − y7existe un termino central que es igual a xcy231, hallar el

valor de a + b + c. Respuesta.- 769

6. En el cociente notablex12 − y18

x2 − yn. Determinar el valor de n, el numero de terminos y encontrar el

cociente de sus terminos centrales. Respuesta.- 3; 6; x2/y3.

7. Dado el cociente notablex6n+3 + a6n−22

x(n−6)/2 + a(n−8)/2. (a) Calcular el valor de n. (b) Calcular el numero

de terminos. (b) Calcular el termino 19. Respuesta.- 12; 25; x18a36.

8. Para el cociente notablex3n+9 + y3n

x3 + y2. Calcular el valor numerico del termino central para x = 1;

y = 2. Respuesta.- 256

9. Calcular el termino numerico 5 del cociente notablex50 − y30

x5 − y3. Respuesta.- x25y12.

10. Si el quinto termino del desarrollo del siguiente cociente notablex14 − y35

x2 − y5es x9−ay12+b. Hallar

a + b. Respuesta.- 13.



11. En el cociente notablexm − yn

x3 − y5se conoce que el numero de terminos es ocho. Hallar el quinto

termino. Respuesta.- x9y20.

12. Para el cociente notablex15m − y15n

xmy3 − yn+3se sabe que el octavo termino es x4y42. Hallar el ultimo

termino. Respuesta.- y87.

13. Siendo A el decimosexto termino del cociente notable dea100 − 1

a5 − 1, proporcione el termino central

deA11 + b44

A + b4. Respuesta.- −a100b20.

14. Hallar el tercer termino del cociente notablex50 − yn

x2 − y3. Respuesta.- x44y6.

15. Calcular E =t1 × t8t10 × t5

dex105 + y147

x5 + y7. Respuesta.- x30y−42.

16. Hallar el cociente notablexα − yβ

x3 − y4si

t6 × t9t7

= x12y28. Calcule α + β. Respuesta.- 84.

17. En el cociente notableym − z30

y2 − zn. Si el cuarto termino es de grado relativo respecto a z igual a 9,

calcular la relacion entre los terminos centrales. Respuesta.- y2/z3.

18. Dado el cociente notablex21 − y21

xn − ym. Hallar el valor de E en la siguiente ecuacion

E =

√√√√√

m

√√√√

n

√

m

√

n

√

m√

n..................

si m es igual al numero de terminos. Respuesta.-√

21

19. Para que valores de α y β la siguiente expresion es un cociente notable:5α+β − zα3+β3

5αβ + zMdonde

M = α4 − α3β + α2β2 − αβ3 + β4, si se cumple que α + β =5

2. Respuesta.- α =

1

2, β = 2.

20. Hallar el coeficiente de x24 en el cociente dex45 − 243

x3 − 3√

3. Respuesta.- 9

21. En el siguiente Cociente Notable el grado absoluto del termino de lugar k + 2 contando a partir delprimer termino, excede en 12 unidades al grado absoluto del termino de lugar k contando a partir

del extremo final. Halle k.x125 − y75

x5 − y3



22. Si en el cociente notablex3n−3 − y3n−3

x2p2−1 − y2p2−1

el segundo termino es x210y15. Calcular E =

√

4p2n

5.

Respuesta.- 4

23. Calcular el valor numerico de lugar 37 del cociente notable

(5x + 9

)43 −(5x)43

10x + 9para x = −1.

24. Si el quinto termino del cociente notable que da origen la division:1

2

[(x + 5

)m −(x + 1

)m

x + 3

]

tiene valor numerico 3456 para x = 1. Calcular el valor de m.

Binomio de Newton

(a + b)n =n∑

i=0

(ni

)

an−ibi,

(ni

)

=n!

i!(n − i)!

El k-esimo termino es dado por Tk =

(nk

)

an−k+1bk−1

1. Indicar el valor de p en (x5 + yp)30, si el termino 16 contiene a x75y60. Respuesta p = 4.

2. Hallar el termino independiente de x en el desarrollo de

(√x +

1

3x2

)10

. Respuesta t3 = 5.

3. Hallar el quinto termino de

(

4√

x − 1√x

)8

. Respuesta t5 =70

x.

4. El exponente de un binomio excede en 3 al de otro. Determinar estos exponentes sabiendo que lasuma de los coeficientes de ambos binomios es 144. Respuesta.- los exponentes son a = 7 y b = 4.

5. Cuantos terminos debe poseer el binomio de la forma

(x

y8+

y2

4√

xn−4

)n

, si en el desarrollo existe

un numero independiente de x e y. Respuesta.- 6 terminos.

6. Del siguiente binomio, hallar el coeficiente del termino independiente:

(a2

2b3+

4b2

a4

)6

. Respuesta.-

No existe termino independiente.

7. Los coeficientes de los terminos quinto, sexto y septimo del desarrollo del binomio (1 + x)n formanuna progresion Aritmetica. Hallar n. Respuesta.- n = 7, n = 14.

8. Determinar el lugar que ocupa el termino a7 en el desarrollo del binomio

(3

4

3√

a2 +2

3

√a

)12

.

Respuesta.- 7mo lugar.



9. Hallar para que valores de x, la diferencia entre los terminos cuarto y sexto en el desarrollo del

binomio

(√2x

16√

8+

16√

32√2x

)m

es igual a 56, sabiendo que el exponente del binomio m es menor

que el coeficiente binomico del tercer termino del desarrollo en 20 unidades. Respuesta.- x = 1.

10. Hallar el lugar que ocupa el termino del desarrollo del binomio

(

3

√a√b

+

√b

13√

a

)21

, que

contiene a y b elevados a la misma potencia. Respuesta.- 10mo lugar.

11. Si(a + b)4 − (a − b)4

(a2 + b2)2 − (a2 − b2)2= 4, halle el valor de F =

7a + 3b

a + 4b. Respuesta.- F = 2.

12. Simplificar la expresion

(a + 1

a2/3 − a1/3 + 1− a − 1

a − a1/2

)10

y determinar el termino del desarrollo

que no contiene a a. Respuesta.- 210.

13. Hallar el termino decimo tercero del desarrollo

(

9x − 1√3x

)m

, sabiendo que el coeficiente del

tercer termino del desarrollo es 105. Respuesta t13 =455

x3.

14. En el desarrollo de

(

x2 − a

x

)m

, los coeficientes de los terminos cuarto y decimotercero son iguales.

Hallar el termino que no contiene x. Respuesta 3003a10.

15. ¿Para que valores de n, los coeficientes de los terminos segundo, tercero y cuarto del desarrollo delbinomio (1 + x)n forman una progresion Aritmetica. Respuesta.- n = 7.

16. Hallar x en la expresion

(

3√

2 +13√

3

)x

sabiendo que en el desarrollo del binomio la relacion entre

el septimo termino contando desde el principio y el septimo termino contando desde el final vale1

6.

Respuesta x = 9.

17. Determinar para que valor de x, el cuarto termino del desarrollo del binomio:

(√2x−1 +

13√

2x

)m

es 20 veces mayor que el exponente del binomio, sabiendo que el coeficiente binomico del cuartotermino es 5 veces mayor que el del segundo termino. Respuesta x = 4.

18. Los terminos de lugares septimo y noveno en el desarrollo del binomio:

(√13

2x + y2

)n

tienen

coeficientes iguales. Halle el valor de n. Respuesta.- n = 20.

19. En el desarrollo del binomio: (xa+yb)c se tienen los terminos: dx12y10, dx15y8 que estan incluidosen el desarrollo. Calcular el valor de: a + b + c + d. Respuesta.- 140.

20. El decimo termino del binomio

(x

y+

y

x

)n

es 20y6

x6, determinar n. Respuesta n = 12.



21. En la expresion

(5√

a4

x√

ax−1+ a

x+1√

ax−1

)5

determinar x para que el cuarto termino del desarrollo

del binomio valga 56a5,5. Respuesta x = 2 o x = −5.

22. En la expresion

(

2x√

2−1 +4

4−x√

4

)6

determinar x para que el tercer termino del desarrollo del

binomio valga 240. Respuesta x = 2.

23. Suponga que se quiere expandir la expresion (x + y + z)17. ¿Cual es el coeficiente del termino

x2y5z10?. Respuesta: 408408.

24. En el desarrollo del binomio

(3√

x2

y5− y7

x

)n

, existen dos terminos consecutivos, el primero inde-

pendiente de x y el segundo independiente de y. Calcular n. Respuesta: 60.

25. Hallar el grado absoluto del 16o termino del desarrollo de

(

2x3 + 3y2)24

. Respuesta: 57.

Factorizacion

1. Factorizar

(1) (5x − 2y)x2 − (5x − 2y)6xy (2) 3x3 − 6x + 9

(3) 8b2m2 + 32b2m + 6bm2 (4) y6 − y4

(5) 5y(3x + 7) − 2m(3x + 7) (6) xm+nym − x2nym+n − xny2m

(7) xm+nym − x2nym+n − xny2m (8) −44axn + 286a2xn+1 − 66a3xn+2

(9) 26a4 − 39a3x + 13a3 (10) 4x3 + 4x2 − 9x − 9

(11) a3 − a2b − ab2 + b3 (12) y4 + 4

(13) max + mby + mbx + may (14) 36am − 45an + 4m − 5n

(15) 3ax − ay − 3bx + by (16) ax − 6x − 6a + 36 + bx − 6b

(17) x3n − xny2m + x2nym − y3m (18) (xm+n)2 − (xman)2 − (xnam)2 + (am+n)2

2. Factorizar

(1) 9x2 + 12xy + 4y2 (2) 81z6 − 90z3w2 + 25w4

(3) x2 + 3x − 4 (4) 6x2 + 11x − 10

(5) 4x2 − 4xy − 3y2 (6) x2 + 18x + 81

(7) 9x2 − 48xy + 64y2 (8) a2b2 − 20ab + 100

3. Factorizar



(1) x2 − 81 (2)9x2

a2− y2

b2(3) 16A2 − 25B2 (4) 4(x + 3y)2 − 9(2x − y)2

(5) 8x3 + 27y3 (6)p3

64− q3

125(7) (x − a)3 + b3 (8) (2x − 5)2 − (3x − 5)2

(9)9

z4− 25x4 (10) 8x3 − 27y3 (11) 64(m + n)3 − 125 (12) (x + y)3 − (x − y)3

4. Factorizar x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

5. Factorizar x3n − xny2m + x2nym − y3m.

6. Factorizar 9(x − y)2 + 12(x − y)(x + y) + 4(x + y)2

7. Factorizar 144a2b8 · 25a10 − 49c4 · 25a10 − 144a2b8 + 49c4

8. Factorizar 16x2 · 64a6b6 − 225(3m − n)2 · 64a6b6 + 16x2 − 225(3m − n)2

9. Factorizar 13x2y2 · 3a − 52y4 · 3a − 13x2y2 · 9a2 + 52y4 · 9a2

10. Factorizar 5x4y + 3x3y − 9y2 − 15xy2

11. Factorizar a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1

12. Factorizar 9(x − y)2 + 12(x − y)(x + y) + 4(x + y)2

13. Factorizar las siguientes sumas y/o restas:

i) (x − 5)(x − 7)(x + 6)(x + 4) − 504 ii) x4 + 324y4

14. Factorizar: 2y2 + 7y + 3, 16t2 + 8t + 1, x3 + 5x2 + 6x, 2x3 − 16, 8x2 + 6x − 2715. Factorizar (x + 8)4(x + 2)3 − (x + 8)3(x + 2)4

16. Factorizar: a4 − 8a2b2 − 9b4

17. Factorizar: x−2 + 8x−1 − 2018. Factorizar; 16x2y2 − 81a2b2c2, x2y2 − 36y4, 4(x + 3y)2 − 9(2x − y)2.19. Factorizar: 8x3 − 27y3, 64(m + n)3 − 125, (x + y)3 − (x − y)3.20. Factorizar: 3ax − ay − 3bx + by, x2 − 4y2 + x + 2y, x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

21. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas

(a) 14a2b − 35ab − 63ab2. (b) 2(x − y)r2 + 2(x − y)rh.(c) a2(s + 2t)2 + a(−s − 2t). (d) (x + y)2 − 49z2.(e) 100a4 − (3a + 2b)2. (f) (a − 2b)2 − 2(a − 2b)c − 15c2.(g) 6(x + y)2 − 5(x + y) − 6. (h) 8x2 + 22x(y + 2z) + 5(y + 2z)2.(i) p4 + q4 − pq3 − p3q.

22. Al factorizar x2 + 5x − 66, hallar la suma de los factores. Solucion 2x + 5.

23. Factorizar 1 + xy − a(1 + xy) + a(x + y) − (x + y). Solucion (1 − a)(1 − x)(1 − y).

24. Factorizar 81a4b8 − 292a2b4x8 + 256x16. Solucion (9a2b4 − 16x8 − 2ab2x4)(9a2b4 − 16x8 + 2ab2x4).

25. Factorizar x8 + x4 − 2. Solucion (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 2).

26. Factorizar a6x2 − x2 + a6x − x. Solucion x(x + 1)(a − 1)(a + 1)(a2 − a + 1)(a2 + a + 1).

27. Factorizar a2(b − c) + b2(c + a) − c2(a + b). Solucion (b − c)(a + b)(a + c).

28. Factorizar xn+2 + xn + x3 + x − x2 − 1. Solucion (x2 + 1)(xn + x − 1).



29. Factorizar x4 + 2x3 + x2 − 1 y luego hallar la suma de los coeficientes de sus factores. Solucion(x2 + x + 1)(x2 + x − 1) y la suma es 4.

30. Factorizar x2(x − 1) + y(x + y + 1)(x − y − 1) − (y + 1)2(x − 1)

31. Factorizar (3x − 4)4 + 4(9x2 − 24x + 16) + 16

32. Factorizar a25 + a20 + 1. Sugerencia

(x2 + ax + 1)(x3 + bx2 + cx + 1) = x5 + (a + b)x4 + (1 + ab + c)x3 + (1 + b + ac)x2 + (a + c)x + 1

33. Factorizar x5 + x + 1.

34. Factorizar x2 − 5xy − 3y2 + 3x + 5y − 2. Sugerencia

(ax + by + c)(x + dy + e) = ce + (c + ae)x + ax2 + (cd + be)y + (b + ad)xy + bdy2

35. Factorizar(a2x2 + 1

)(a2x2 + 2

)(a2x2 − 3

)(a2x2 − 4

)− 36. Sugerencia: Realice los cambios

de variables consecutivos y = a2x2, z = y2 − 2y.

36. Factorizar (x − 1)(x + 2)(x − 3)(x − 6) + 7x2 − 28x + 1 Sugerencia: Realice el

cambio de variable y = x2 − 4x.

Racionalizacion

1. Racionalicemos el denominador en la siguiente expresionh√

x + h −√x

,3√

x − 3√

y

x − y

2. Racionalizar el denominador

(a)3√

5 +√

2(b)

x +√

x2 − 1

x −√

x2 − 1(c)

a√

b − b√

a

a√

b + b√

a(d)

√3√

2 +√

3 −√

5

3. Se sabe que√

2006 es un numero irracional y suponiendo que a, b ya − 3

√2006

3 − b√

2006son numeros

racionales. ¿a que es igual el producto ab?. La respuesta es 9.

Simplificacion de expresiones Algebraicas

1. Usando las propiedades de exponentes, simplificar.

(a)

[30

4−2

]−2

. (b)a−1 + b−1

(a + b)−2. (c)

[(cd)−2n

c−2nd−2n

]5n

. (d)3pq+q

3pq+p· 32q

32p. (e)

1

1 + ax−y+

1

1 + ay−x.

(f)

(

a +1

b

)p(

a − 1

b

)q

(

b +1

a

)p(

b − 1

a

)q .. (g)1 + (a + x)−1

1 − (a + x)−1

[

1 − 1 − (a2 + x2)

2ax

]

. (h)

[

1 −(a

b

)−2]

a2

(√a −

√b)2

+ 2√

ab.

2. Simplificar:

(a)1 − x

2 + x− 1 + x

2 − x− 3x

x2 − 4(b)

x2 − 4xy + 4y2

x2 + 2xy

x2

x2 − 4y2



3. Simplificarx

2x2 + 3xy + y2− x − y

y2 − 4x2+

y

2x2 + xy − y2

4. Simplificarx2 + 4ax + 4a2

3ax − 6a2

2ax − 4a2

ax + a

6a + 6x

x2 + 3ax + 2a2

5. Simplificar1

(a − b)(b − c)+

1

(b − a)(c − b)− 1

(a − c)(b − c).

6. Simplificara

(a − b)(a − c)+

b

(b − c)(b − a)+

c

(c − a)(c − b)

7. Demuestre quebc

(a − c)(a − b)+

ac

(b − c)(b − a)+

ab

(c − a)(c − b)= 1

8. Simplificar la expresion.

1

a(a − b)(a − c)+

1

b(b − a)(b − c)+

1

c(c − a)(c − b).

9. Simplificar

a + b

(c − a)(c − b)+

b + c

(a − b)(a − c)+

c + a

(b − a)(b − c)

Solucion 0.

10. Simplificar

a3

(a − b)(a − c)+

b3

(b − a)(b − c)+

c3

(c − a)(c − b)

Solucion a + b + c.

11. Simplificar:

(a)6x2 − x − 2

3x − 2

2x + 1

(b)

x2y + xy2

x − y

x + y(c)

x + 3

x + 4− x + 1

x + 2x − 1

x + 2− x − 3

x + 4

(d)1

1 +1

1 − 1

x

12. Simplificar

a − b +a2 + b2

a + b

a + b − a2 − 2b2

a − b

·b +

b2

aa − b

· 1

1 +2a − b

b

13. Determine el valor de x si

x =p2qr

(p − q)(p − r)+

pq2r

(q − r)(q − p)+

pqr2

(r − p)(r − q).



14. Sea a + b + c = 0, hallar el valor de

a2

bc+

b2

ca+

c2

ab.

15. Simplificarx3 − x2 − x − 1

3x3 − 3x16. Operar u simplificar al maximo

E =

x

x − y− x

x + yy

x − y+

x

x + y

, F =

(

x +1

y

)n(

x − 1

y

)n

(

y +1

x

)n(

y − 1

x

)n , G =x−2 − 2(xy)−1 + y−2

(y

x

)−2

+ xy−1 − 2x0

17. Seaa3

b3+

b3

a3= 2, hallar el valor de

E =

(

a2 + b2)2

+(

a2 − b2)2

(

a2 + b2)2

−(

a2 − b2)2

18. En la siguiente expresion hallar el valor de E: Si a 6= x y n un numero impar

E =

1

a − x+

x

(a − x)2+

x2

(a − x)3+ · · · + xn

(a − x)n+1

1

a − x− x

(a − x)2+

x2

(a − x)3− · · · − xn

(a − x)n+1

19. El valor de la expresion

(2 + 3)(22 + 32)(24 + 34) · · · (21024 + 31024)(22048 + 32048) + 24096

32048

20. Los numeros reales a 6= 0 y b 6= 0 cumplen que ab = a − b. ¿Cual de los siguientes valores es un

valor posible paraa

b+

b

a− ab? A) −2 B) −1/2 C) 1/3 D) 1/2 E) 2

21. Simplificar A =

[3x−1/3

x2/3 − 2x−1/3− x1/3

x4/3 − x1/3

]−1

−(

1 − 2x

3x − 2

)−1

.


a1/4 + a1/8 + 1+

1

a1/4 − a1/8 + 1− 2a1/4 − 2

a1/2 − a1/4 + 1.

23. Simplificar la expresion.(m + x)1/2 + (m − x)1/2

(m + x)1/2 − (m − x)1/2, si x =

2mn

n2 + 1, m > 0, 0 < n < 1.



24. Simplificar la expresion.

a1/2 − a − a−2

a1/2 − a−1/2+

1 − a−2

a1/2 − a−1/2+

2

a3/2.

25. Simplificar A =

[

1 −(a

b

)−2]

a2

(√a −

√b)2

+ 2√

aby B =

(

x

√y

x− y

√x

y

)2

26. Simplificar la expresion

x +√

x2 − 4x

x −√

x2 − 4x− x −

√x2 − 4x

x +√

x2 − 4x

27. Simplificar A =n + 2 +

√n2 − 4

n + 2 −√

n2 − 4+

n + 2 −√

n2 − 4

n + 2 +√

n2 − 4

28. Simplificar A =

(√a + 1

)2

− a −√ax√

a −√x

(√a + 1

)3

− a√

a + 2

−3

Simplificacion de expresiones Algebraicas “Exponentes”

1. Calcule el valor de la expresion E =

(12n + 18n

6n + 4n

)1

n . Respuesta E = 3.

2. Si 3

√243n − 81n

9n − 3n= 81. Calcular el valor de n. Respuesta n = 4.

3. Calcular el valor de las expresiones

A =n

√

20n+1

4n+2 + 22n+2, B = a

√√√√

9a+ 1

4 ·√

3a−2

√13 ·

√3a

, C =n

√

2n2+2n

n+2√

22n2+n3

Respuesta: A = 5.

4. Simplificar

K =

[3−2−2√

b 3−2−2·3−2−1]3−2−2

+2−2·3−2−1

Respuesta: K = b.



5. Si x = 7√

7 reducir

P =a+2

√√√√[

a

√

27a√

729

]ax+1x√

ax−x2

6. Reducir

3−1

√

x · 4−1√

x · 5−1√x

3√

x · 3√

x · 3√

x · · · · · · 3√

x︸︷︷︸

30 factores

5−1

÷

[4√

x3 ·√

x3]−1

√√√

x−1

7. Si x = 7√

7 reducir

P =

√√√√√√√

x

√√√√√√

1+x

√√√√√(

289)17√289

·x

√√√√ 1+x

√

(

289)17√289

8. Al simplificar la expresion E =

3

√√√√√√√√

16

3

√√√√√

16

3

√16...

se obtiene E = 2.

9. Calcular el valor de E para x = 16, donde E =

√

x3

√

x2√

x3 3√

x4

[

x√

x 3√

x 3√

x]2

−1

9

. Respuesta

E = 2.



10. En la siguiente expresion simplificar A:

A =

4

√

x34

√

x3 4√

x3 4√

x3 · · ·∞

5

√

x45

√

x4 5√

x4 5√

x4 · · ·∞

11. En la siguiente expresion simplificar B:

B = log5

1

252+

1

254+

1

256+ · · · · · ·

1

254+

1

256+

1

258+ · · · · · ·

1

2

12. Si√

x√

x= 3 calcular

√x√

x

√(

x√

x)3

2.

13. Si xy =√

2 , yx =

√2

2Hallar E:

E =

[

xyx+1+ xy1−x

yx1+y + yx1−y

]2√

2

14. Reducir

A =

2745

√√√√(

345+1√

729346

)3−4−5−6

34−5−6

Respuesta: A = 9.



15. Reducir

H =

√5

√5

√5√

√5

√5√

5√

5

√5

√5+√

5

Respuesta: H = 5.

16. Si x = 6√

6, reducir

A =[

xx√

xxxx+x]6x−xx

Respuesta: A = 6.

17. Reducir

J =

[ √243√

33√

3+1

]

3√3

√√√√√

3√

3+13√

3+22

35

Respuesta: J = 3.

18. Simplificar

L =

n−2

√

4n−2 + 1

42−n + 1+

n−3

√

5n−3 + 1

53−n + 1

[(2

3

)14

]294−2−1

Respuesta: L = 4.

19. Reducir:

K =

(3−2

√2√

3 + 2√

2) (

3 − 2√

2)3+2

√2

(5 − 2

√6)5+2

√6(

5−2√

6√

5 + 2√

6)

Respuesta: K = 1.



20. Reducir:

B =

(1+a1+a

)2√

a

{

aa

[

a(

aa)aa]a}aa

Respuesta: B = a.

21. Si y = 13√

13 y x =13√

y√

13. Hallar el valor de

E =[

x13]x

13√13

+ x13x13√13

+

[

xx13√13

]13

22. Si ab =1

2y ba = 2. Hallar el valor de J =

[

ab1−a+ b a1−b

ab1+a + b a1+b

]2

Respuesta: J = 8.

23. Si ab = ba. Simplificar:

A =2ab−a

√(

a−b)−a−b(

b−a)−b−a

Respuesta: A = b.

24. Six

x + y=

y

y + z=

z

x + z= 4. Simplificar:

G =x+y√

2x−y · y+z√

2y−z

x+z√

2x−z

Respuesta: G = 221.

25. Si a + b + c = abc. Simplificar:

J = x

(a√

xb+c + b√

xa+c +c√

xa+b

xab + xbc + xac

)

Respuesta: J = 1.



Capıtulo V. Ecuaciones de Primer y Segundo Grado

Ecuaciones de Primer Grado o Ecuaciones Lineales

1. Completa esta tabla:

Igualdad ¿Es una Primer Segundo Incognitasecuacion? miembro miembro

2 + 5x = 3 − 4x(5 − 4)2 = 52 + 42 − 2 · 5 · 4

5t + 5 = 3t + 22x2 + 2x − 3

2. Distingue entre ecuaciones e identidades e indica el grado de las primeras:

Igualdad ¿Es ecuacion? ¿Es identidad? Grado2 + 3x = 3x + 22 + 3x = 5 + 3x(x + 2x)2 = 3x2

1 + 3x = −1x2 + 1 = 1 + x · x

3. Utiliza las identidades notables para desarrollar o factorizar las expresiones siguientes:

(a + 2b)2 = (2m + 3n) · (2m − 3n) =(2x − y)2 = p2 + 9q2 − 6pq =

4. Resuelve las siguientes ecuaciones sin parentesis ni denominadores:i) 18 + 2x − 8 = x − 25ii) 8x − 6 = x + 8 + 6xiii) 5x + 4 = 20 + 2x

5. Resuelve las ecuaciones (1) y (2) quitando primero los parentesis:

2(x + 3) − 6(5 + x) = 3x + 4 (1)

4 · (x − 2) + 1 = 5 · (x + 1) − 3 · x (2)

6. Utiliza la formula e = vt (donde e, es el espacio; v, la velocidad, y t, el tiempo) para calcular:a) El espacio recorrido en 3 horas por un ciclista que lleva una velocidad constante de 35Km

h.

b) El espacio recorrido en 15 minutos por un atleta que corre a una velocidad constante de 200Kmh

.c) El espacio recorrido en una hora y media por un caracol que se desplaza a una velocidad

constante de 3mh.

7. Resuelve las siguientes ecuaciones sin parentesis ni denominadores:i) 18 + 2x − 8 = x − 25ii) 8x − 6 = x + 8 + 6xiii) 4x − 12 + x = 4x − 1iv) 3x = −27v) 5x + 4 = 20 + 2x



8. Resuelve las siguientes ecuaciones con parentesis:a) 2(x + 3) − 6(5 + x) = 3x + 4b) 5(2 − x) + 3(x + 6) = 10 − 4(6 + 2x)c) 4 · (x − 2) + 1 = 5 · (x + 1) − 3 · xd) 3 · (x − 3) = 5 · (x − 1) − 6xe) 3 · (5 · x + 9) − 3 · (x − 7) = 11 · (x − 2) + 7

9. Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores:i) 10x − 95−10x

2= 10x−55

2

ii) 2x+34

− 1436

= 9x−58

− 2x

iii) 3x−712

= 2x−36

− x−18

iv) 5x+72

− 2x+43

= x−54

− 1

v) 5x−23

− x − 3x−12

= 3x+192

− x+16

+ 5

10. Resuelve las ecuaciones (3) y (4) quitando primero los denominadores:

2x + 3

4− 143

6=

9x − 5

8− 2x (3)

5x + 7

2− 2x + 4

3=

x − 5

4− 1 (4)

11. Resolver −{1 − [2 − (3 − x)]} = −{4 − [5 − (6 − x)]}.12. Resolver 99(−36x + 90) = 81(81x + 1110)

13. Resolver la siguiente ecuacion de primer grado(5x − 2)(7x + 3)

7x(5x − 1)= 1

14. Resolver la siguiente ecuacion1 + 2x

1 + 3x− 1 − 2x

1 − 3x+

3x − 14

1 − 9x2= 0

15. Hallar x de la ecuacionx − a − b

c+

x − b − c

a+

x − c − a

b= 3

16. Resolver las siguientes ecuacion lineal.a) x − 6 − (3x + 1) = 4x − 2(x − 8).b) 2x − (5x − 6) − 3x(1 + 2x) = 1 − 6x(x − 1).c)

ax − b

a + b+

bx + a

a − b=

a2 + b2

a2 − b2.

d)x − 1

n − 1+

2n2(1 − x)

n4 − 1=

2x − 1

1 − n4− 1 − x

1 + n.

e)3ab + 1

ax =

3ab

a + 1+

(2a + 1)x

a(a + 1)2+

a2

(a + 1)3.

f )3abc

a + b+

a2b2

(a + b)3+

(2a + b)b2x

a(a + b)2= 3cx +

bx

a.

17. Resolverx − ab

a + b+

x − ac

a + c+

x − bc

b + c= a + b + c

Respuesta.- x = ab + ac + bc.




1. Un numero mas el doble del siguiente es 26 ¿Cual es ese numero?2. Halla tres numeros pares consecutivos cuya suma sea 24.3. Javier tiene 30 anos menos que su padre y este tiene cuatro veces los anos de Javier. Averigua la

edad de cada uno.4. Los 2

3mas los 2

9de un numero valen 80 ¿Cual es ese numero?

5. Halla las dimensiones de un rectangulo sabiendo que su perımetro es 272 m y que el largo es 53

delancho.

6. Si a un numero le sumamos 18 nos da 97. ¿De que numero se trata? (Solucion=79)7. Ayer salı de paseo y gaste 275 ptas. LLegue a mi casa con 350 ptas. ¿Con cuanto salı de paseo?

(Solucion=625)8. A una fiesta solo han asistido la tercera parte de los invitados. En total asistieron 19 personas.

Averigua el numero de invitados. (Solucion=57)9. Entre las edades de un padre y su hijo suman 41 anos. Calcula la edad del hijo sabiendo que el

padre tiene 34 anos (Solucion=7)10. Unos zapatos y un paraguas valen 3.000 ptas. Calcula el precio de cada artıculo sabiendo que los

zapatos valen el triple que el paraguas. (Solucion=2.250 y 750)11. Fui con mi madre al cine y compramos dos entradas, una de infantil y otra de adulto. La de adulto

costo el doble que la de infantil y en total pagaron 675 ptas. Averigua el precio de cada entrada.(Solucion=225 y 450)

12. De un saco de naranjas sacamos 8 y aun quedaron la tercera parte. ¿Cuantas naranjas habıa en elsaco? (Solucion=12)

13. Un numero mas el doble del siguiente es 26 ¿Cual es ese numero?14. Halla tres numeros pares consecutivos cuya suma sea 24.15. Javier tiene 30 anos menos que su padre y este tiene cuatro veces los anos de Javier. Averigua la

edad de cada uno.16. En un corral hay conejos y gallinas; en total hay 61 cabezas y 196 patas. ¿Cuantos conejos y gallinas

hay?17. Un agricultor vende 1

3de su cosecha de vino; despues embotella 4

7de lo restante. Le queda 120 hl

¿Cuantos hectolitros de vino habıa cosechado?18. ¿Cuanto costo un libro, si un quinto, mas un sexto, mas un septimo de su precio, menos 2 pesetas,

suman la mitad de su precio?19. Los 2

3mas los 2

9de un numero valen 80 ¿Cual es ese numero?

20. Jaime y su hermana van un sabado al cine y otro al circo; en total se gastan 2,050 pesetas ¿Cuantocuesta cada entrada si la entrada del cine vale 75 pesetas menos que la del circo?

21. En una fiesta de fin de curso hay doble numero de mujeres que de hombres y triple numero de ninosque de hombres y mujeres juntos. Halla el numero de hombres, mujeres y ninos que hay en la fiestasi el total es de 156 personas.

22. Halla las dimensiones de un rectangulo sabiendo que su perımetro es 272 m y que el largo es 53

delancho.

23. Halla un numero de dos cifras, tal que:1) La cifra de las unidades es triple de la de las decenas.2) Si se intercambian las dos cifras, el numero aumenta en 54.

24. Encuentre las dimensiones de un terreno rectangular con un perımetro de 540 metros, si sabemosque el largo mide 30 metros mas que el ancho. Respuesta.- largo = 150 metros, ancho = 120metros .



25. Una lancha recorre 6km en 40 minutos en favor de la corriente; el viaje de regreso le toma 1 hora.Calcular la rapidez de la lancha en km/h. Respuesta.- Su rapidez es 7,5 km/h

26. Sara y Jeff han acordado reunir sus ahorros cuando tengan ahorrado la misma cantidad de dinero.Sara puede ahorrar $40 en una semana, pero primero debe darle $65 a su madre. Cuatro semanasdespues Jeff comenzo a ahorrar $25 por semana. ¿Cuando podran ellos reunir sus ahorros? ¿Cuantodincero habran ahorrado cada uno de ellos?

27. Sally gana $15 por hora. Ella ha decidido ahorrar automaticamente un decimo del dinero que lequeda despues de que ha sido substraıdo semanalmente $10 para Salud. Ella desea ahorrar al menos$50 cada semana. ¿Cuantas horas debe ella trabajar cada semana?

28. S = 2πrh es la formula para el area S de la superficie curvada de un cilindro que tiene radio r yaltura h. Usted tiene una hoja de papel rectangular para envolver, que tiene una longitud l y unancho w. ¿Cual es el radio del cilindro, con altura l y que tenga la mayor area, que la hoja de papelpueda envolver?

29. Un automovil cuesta $22000, cuando nuevo pierde un numero fijo de dolares en el valor cada ano.Despues de cuatro anos, el carro cuesta $12000. ¿Cuanto sera su valor despues de site anos?

30. El tiempo que toma un barco para viajar una distancia rio abajo (con la corriente) puede sercalculado dividiendo la distancia por la suma de la velocidad del baroco y la velocidad de lacorriente. Escriba una ecuacion que calcule el tiempo t que toma un barco que se mueva a unavelocidad r con una corriente c para viajar una distancia d. Resuleva su ecuacion para r.

31. La diferencia entre la longitud de una rampa y la longitud de la distancia horizontal que esta cubrees 4 pies. El cuadrado de la distancia vertical que esta cubre es 56 pies. ¿Cual es la longitud de larampa?

32. Dave puede limpiar la fachada de un barco en 3 horas. Annette puede limpiar la misma fachada en2 horas. Si hay muchos barcos para limpiar, y Annette le da a Dave una ventaja de 3 horas, ¿cuantotiempo despues de que Dave comenzara, ellos habran limpiado el mismo numero de fachadas?¿Cuantas habran limpiado cada uno?

33. Se vendio cierta cantidad de pinas por la manana y sobraron dos cajas de 50 pinas cada una por latarde. Al empezar la venta se tenıa 520 pinas. ¿Cuantas pinas se vendio?

34. La suma de la tercera y cuarta parte de un numero equivale al duplo del numero disminuido en 17.Hallar el numero.

35. Un comerciante tenıa cierta cantidad de dinero. El primer ano gasto 100 bs, aumento el resto conun tercio de este, al ano siguiente volvio a gastar 100 bs y aumento la suma restante en un terciode ella. EL tercer ano gasto de nuevo otros 100 bs. Despues de que hubo agregado su tercera parte,el capital es el doble del inicial. ¿Cual fue su capital inicial?.

36. La empresa Terra Sur SA compro un terreno en la zona sur de la ciudad de La Paz a razon deBs 5000 la hectarea, una vez saneado los papeles la empresa se da cuenta que el terreno tiene 8hectareas menos, pero ya no existe lugar a reclamos, sin embargo vende el terreno a Bs 6000 lahectarea (contenida exactamente) y gana ası el 12 % de su inversion. ¿Cuantas hectareas media elterreno?

37. El jueves, Pedro compro 6 DVDs para una computadora. Dos dıas despues el precio de los DVDsse redujeron en 1.2bs por unidad. Claudia compro 10 DVDs en la oferta y pago 4 bs mas que Pedropor los DVDs. ¿Cual es el precio original?. Resp. 4bs

38. En un festival los 2/3 son adultos y de ellos los 3/5 son hombres. Hay 20 ninos y ninas mas quemujeres. ¿Cuantos hombres, mujeres y ninos hay en el festival?



39. Un jugador perdio la mitad de su dinero, volvio a jugar y perdio 1/2 de lo que le quedaba, repitio lomismo por 3ra vez y 4ta vez, despues de lo cual le quedaron 6 Bs. ¿Cuanto dinero tenıa al comenzarel juego?.

Ecuaciones de Segundo Grado o Ecuaciones Cuadraticas

1. Resolver:

(1)√

2x + 3 −√

2x − 3 = 1 (2) (x + 5)2 = 16 (3) 2x

+ 9x+1

= 4

(4) y+12y

+ y+5y2 = 1 (5) (10 − 2x)(5 − x) = 50 (6) 2

x− 15

x−1= 4

(7) x4 − 7x3 − 30x2 = 0 (8) yy+2

+ y+4y−3

= 7(2y−1)y2−y−6

(9)√

x + 2 = x − 4

(10)√

2x + 5 = x − 5 (11)√

2x + 7 = x − 4 (12) 2√

x − 1 =√

2x + 7

(13) 3 =√

x2 − 8x (14) x4 − 2x2 + 1 = 0 (15)√

13 + x − x = 7

(16)√

x + 2 = x − 4 (17)√

2x +√

x − 4 = 2 (18) 6x2 + 13x + 5 = 0

2. Resolver la ecuacion factorizando 3x2 − 2x − 5 = 03. Determinar si la siguiente ecuacion tiene raıces reales. Si tiene raıces reales, encontrarlas, de lo

contrario decir que no tiene raıces reales:√

x − 1 +√

2x + 1 = 14. Resolver: (2x + 1)2 − (3x + 2)2 + 5x2 + 8x + 3 = 05. Resolver: (2x + 1)2 = 2(2x2 + 2x + 5)6. Resolver: 6x4 − 13x2 + 5 = 07. Resolver: x4 − 8x2 + 15 = 0

8. Resolver la ecuacion cuadratica.

(a) x2 − 7x + 12 = 0. (b) 2x2 − 5x + 2 = 0.

(c) 14−x

− 12+x

= 14. (d) 2x

x+b− x

b−x= b2

4(x2−b2).

(e) x2+1n2x−2n − 1

2−nx = xn . (f) 1 − 2b

x−a = a2−b2

a2+x2−2ax.

(g) 12n+nx − 1

2x−x2 = 2(n+3)x3−4x . (h)

√2x − 3 +

√4x + 1 = 4.

(i)√

x + 1 + 2√

2x − 3 = −3. (j) (2x + 1)3/2 − 13x2 = 1.

(k)√

1 + x√

x2 + 24 = x + 1. (l) 3+x3x

=

√

19

+ 1x

√49

+ 2x2 .

(m)√

x−5x+2 +

√x−43+x = 7

x+2

√2+xx+3.

Problemas de Planteamiento.

1. Halle p tal que px2 − x + 5 − 3p = 0, que tenga una raız igual a 2.2. Halle p tal que (2p + 1)x2 + px + p = 4(px + 2), la suma de sus raıces sea igual a su producto.3. Halle p tal que 4x2 − 8x + 2p − 1 = 0, tenga una de las raıces sea igual al triple de la otra.4. Halle p tal que x2 = 5x − 3p + 3, tenga la diferencia entre sus raıces igual a 11.5. Halle p tal que (p2 − 3)x2 − 3(p − 1)x − 5p = 0, tenga una raız igual a −2.6. Hallar a y b tal que x2 + (2a + 3b − 1)x + a − b − 3 = 0, sabiendo que ambas raıces valen cero.



7. Las raıces de la ecuacion

(k + 6)x2 − (k + 8)x + 3 = 0

poseen la propiedad: r21 + r2

2 = 1316

. Hallar el valor de k

8. Hallar p y q tal que la ecuacion x2 + (−2p − q + 1)x + (−3p + q + 2) = 0 tenga raıces iguales a 1.

9. La expresion x2 + 9 se escribe en la forma a(x + 1)2 + b(x + 1) + c. ¿Cual es el valor de a − b + c?.Solucion 13.

10. Sea m un numero real, tal que las raıces x1 y x2 de la ecuacion

x2 + (m − 2)x + m2 − 3m + 3 = 0

son reales. Hallar todos los valores de m para los cuales x21 + x2

2 = 6. Solucion m = −1 +√

5.

11. Calcular el valor de A =

√

6 +√

6 +√

6 + · · ·. Respuesta: 3.

12. Las raıces de la ecuacion a(b− c)x2 + b(c− a)x+ c(a− b) = 0 son 1 y r. Hallar r. Solucionc(a − b)

a(b − c).

13. Suponga que 1 + (x2 + x)(x2 + 5x + 6) = 1812 ¿Cual es el valor de x(x + 3)?. Solucion 180.

14. Sabiendo que la siguiente ecuacion es de grado dos hallar el valor de n y luego resolver la ecuacion.

3

√

xn−2 7√

x3n

4√

xn+1−

43(

84/3)−n

(

4(4−1)n)2 x +

n√

47 = 0

Solucion n = 7, x = 2.

15. Si x1, x2, x3 y x4 son las soluciones de x4−7x2+12 = 0, hallar el valor de E =x1x2x3x4

4. Respuesta:

E = 3.

16. ¿Para que valores de p la ecuacion p(x2 + 3x − 9) = x − x2 tiene raıces iguales pero de signos

contrarios?. Respuesta: p =1

3.

17. ¿Para que valores de k la ecuacion x2−15−k(2x−8) = 0 tiene raıces iguales?. Respuesta: k = 3, 5.


1. El cociente de dividir 84 entre cierto numero, excede en 5 a este numero. Hallar el numero.

2. La ganancia semanal P en mikes de bolivianos de una tienda de video depende del precio de larenta de las cintas t. La ecuacion de ganancia es

P = 0.2t2 + 1.5t − 1.2

¿A que precio por cinta su ganancia semanal sera de 1.6 miles de bolivianos?

3. Suponga que la altura h en metros de los fuegos artificiales disparados en lınea recta ascendentedesde la tierra esta dada por h = 24,5t − 4,9t2 donde t esta en segundos. ¿Cuando los fuegosartificiales estaran a 50 metros de la tierra?



4. Suponga que los ingresos semanales para una companıa estan dados por r = −3p2 + 60p donde pes el precio de su servicio. Cuanto es el precio de su servicio ai el ingreso es $400.

5. Un arco parabolico tiene una forma descrita por la ecuacion y = −x2 +10x−11 (unidades en pies).A que altura (arriba del eje x) es el arco 4 pies de ancho?

6. El costo total de una companıa es 11q+144, donde q es el numero de miles de unidades producidas.El ingreso total es q(71 − 4q). Encontrar los dos valores de q para los cuales la companıa tieneexactamente el costo igual al ingreso.

7. Usted ha estado en un tren X horas viajando X millas por hora. Son las 6 p.m y usted esta a 3249millas desde la estacion del tren. ¿Cuantas horas ha estado viajando y que tan rapido viajo?

8. Las millas que una persona puede ver al horizonte desde un punto por encima de la superficie de laTierra es 0,85 de la raız cuadrada de la distancia en pies de la persona por encima de la superficie.Arturo esta a 65 pies mas arriba y ve 4.25 millas mas alla que Luis. A cuantos pies estan Arturo yLuis por encima de la superficie.

Capıtulo VI. Sistemas de Ecuaciones

Sistemas Lineales

1. Resolver los sistemas de ecuaciones lineales.

(a)

{4x + 2y = 10

25x − 3y = −2

(b)

{2x − 5y = 104x + 3y = 7

(c)

{2y − x = 12x + y = 8

(d)

{2x

3+ y

5= 6

x6− y

2= −4

(e)

{2x−1

3+ y+2

4= 4

x+32

− x−y3

= 3(f)

{ax − by = a2 + b2

2abx − ay = 2b2 + 3ab − a2

(g)

2x − y + 2z = −8x + 2y − 3z = 93x − y − 4z = 3

(h)

x = y − 2z2y = x + 3z + 1z = 2y − 2x − 3

(i)

x3

+ y2− z = 7

x4− 3y

2+ z

2= −6

x6− y

4− z

3= 1

2. ¿Tiene solucion el sistema?

2x − y + z = 1x + 2y − 3z = −2

3x − 4y + 5z = 1

3. ¿Tiene solucion el sistema?

x + y + 2z = 33x − y + z = 1

2x + 3y − 4z = 8


1. Un padre tiene 24 anos mas que su hijo. Determinar sus edades actuales sabiendo que dentro de 8anos, la edad del padre es el doble que la del hijo.

2. La edad actual de Jose es el doble de la de Fernando. Hace 5 anos Jose era 3 veces mayor queFernando. Hallar sus edades actuales.



3. Una bolsa contiene Bs 215 en monedas de 5 y 25, sabiendo que hay 19 monedas mas de 5 que de25. Hallar el numero de monedas de cada clase.

4. Las entradas de un teatro valen Bs 50 para los adultos y Bs 20 para los ninos. Sabiendo que asistieron280 personas y que la recaudacion fue de Bs 8000. Hallar el numero de ninos que asistieron a lafuncion.

5. Hallar un numero de dos cifras sabiendo que la suma de estas es igual a 17

del numero y que la cifrade las decenas excede en 3 a las correspondiente de las unidades.

6. Hallar un numero de dos cifras sabiendo que la suma de estas es igual a 10 y que, si se invierten, elnumero que resulta es una unidad menor que el numero original.

7. Dos fabricas de una misma companıa tiene telares que ocupan en total de 700 personas. La fabricaA utiliza 10 obreros en cada uno de los telares, mientras que la fabrica B utiliza 20 por cada telar.Se desea cerrar la mitad de los telares de A y duplicar el numero de telares en B. Para ello esnecesario emplear 550 personas mas. ¿Cuantos telares tiene cada una de las dos fabricas?.

8. En un testamento se dice lo siguiente: ”Tengo 10 herederos hombres y 20 herederos mujeres. Quieroque mi fortuna, que es de Bs 1000000, se reparta en la siguiente forma: Todos los hombres recibiranigual cantidad de dinero como tambien las mujeres. Las cantidades que les toque a cada hombre ya cada mujer deben ser tales que si se intercambian los papeles de hombres y mujeres al repartirla herencia se agotarıa exactamente toda la fortuna”. Usted es la persona encargada de hacer lavoluntad de la persona del testamento. ¿Como repartirıa la herencia?

9. Hallar las dimensiones de un rectangulo sabiendo que su perımetro es igual a 110 cm y que sulongitud es 5 cm mas pequena que el doble de su altura.

10. El perımetro de un triangulo rectangulo es igual a 40 cm. Sabiendo que uno de los catetos mide 15cm. Hallar la longitud de los otros dos lados.

11. Un granjero puede trabajar un cierto terreno a una velocidad tres veces mayor que la de su hijo.Trabajando juntos invierten 6 horas en realizar la labor. Hallar el tiempo que tardarıan en realizarlotrabajando por separado.

12. En la mitad del combate, el furioso hijo de Prit’ha tomo un cierto numero de flechas para matara Carna; empleo la mitad contra su defensa; el cuadruplo de la raız cuadrada contra los caballos;seis flechas traspasaron el cochero Salya, otras tres desgarraron el parasol de Carna y rompieron suestandarte y su arco, y una le atraveso la cabeza. ¿Cuantas flechas tenıa el hijo de Prit’ha?

13. A ambas orillas de un rio crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La altura de una es de 30metros, y de la otra de 20 metros. La distancia entre sus troncos, 50 metros. En la copa de cadapalmera hay un pajaro. De subito los dos pajaros descubren un pez que aparece en la superficie delagua, entre las dos palmeras. Los pajaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿A quedistancia del tronco de la palmera mayor aparecio el pez?

14. En una lucha amorosa se rompio un collar de perlas; un sexto de las perlas cayo al suelo, un quintosobre el lecho, la zagala salvo un tercio, un decimo guardo consigo el mancebo y seis perlas quedaronenhebrados. Dime, ¿Cuantas perlas tenıa el collar?

15. Seis libras de te y cinco libras de cafe cuestan $9.85. Siete libras de te y 8 de cafe cuestan $13.55.Encontrar el precio por libra de cada uno.

16. Jose tiene 75 bs para comprar 160 tornillos. Un tipo de tornillo cuesta 0.50 bs y el otro 0.40 bs.¿Cuantos tornillos de cada tipo puede comprar?

17. Un grupo A y un grupo B pueden armar una maquina, si el grupo A trabaja 6 horas y el grupo Btrabaja 12 horas; o pueden hacer el trabajo si el grupo A trabaja 9 horas y el grupo B trabaja 8horas. ¿Que tiempo debera trabajar cada grupo si solamente uno hace el trabajo?



18. Carlos tiene doble dinero que Pedro, si Carlos pierde 10 Bs y Pedro pierde 5 Bs, Carlos tendra 20Bs mas que Pedro. ¿Cuanto tiene cada uno?.

19. Un auto viaja a una cierta velocidad durante 5 h y, a continuacion a otra velocidad durante 3h, sehan recorrido 250 Km, pero si se hubiera viajado 2 h mas a cada una de las velocidades se habrıanrecorrido 370 Km. Hallar ambas velocidades.

20. Un tren ha recorrido 200 Km en cierto tiempo. Para recorrer esa distancia en 1 hora menos, lavelocidad deberıa haber sido 10 Km/h mas. Hallar la velocidad del tren en Km/h.

21. Dos turistas se dirigen simultaneamente a San Buenaventura que se halla a 30 Km de ellos. El1ro de ellos hace por hora 1 km mas debido a lo cual llega a la ciudad una hora antes. Hallar lasvelocidades de los turistas en Km/h.

22. Una escalera de 10 m de longitud se apoya en una pared. La parte inferior se encuentra a 6 m dela pared, la parte inferior de la escalera se separa luego 3 metros adicionales. ¿Que distancia haciaabajo se mueve la parte superior?.

23. Un padre tiene 24 anos mas que su hijo. Determinar sus edades actuales sabiendo que dentro de 8anos, la edad del padre es el doble que la de su hijo.

24. La edad de Marcelo hace 6 anos era la raız cuadrada de la edad que tendra dentro de 6 anos. Hallarsu edad actual.

25. Se compran 5 lapices, 2 cuadernos y 2 gomas de borrar y se cancela por ello bs 45. Si cada cuadernocuesta el triple de cada goma mas bs 2 y cada lapiz cuesta el doble de cada goma mas bs 1. ¿Cuantocuesta cada material?

26. La edad de Jose es el doble de la de Mario. Hace 5 anos Jose era 3 veces mayor que Mario. Hallarsus edades actuales. Respuesta: 20, 10

27. Una bolsa contiene Bs. 215 en monedas de 5 y 25, sabiendo que hay 19 monedas mas de 5 que de25. Hallar en numero de monedas de cada clase. Respuesta: 23, 4.

28. Las entradas de un teatro valen Bs. 50 para los adultos y Bs. 20 para los ninos. Sabiendo queasistieron 280 personas y que la recaudacion fue de Bs. 8000. Hallar en numero de ninos y adultosque asistieron a dicha reunion. Respuesta: 200, 80.

29. En una jaula donde hay conejos y palomas pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cuantosanimales hay de cada clase?. Respuesta: 12, 23.

30. Un obrero hace un cierto numero de piezas identicas en un tiempo determinado. Si hubiera hecho 10piezas mas cada dıa, habrıa terminado el trabajo completo 9

2dıas antes de lo previsto, y si hubiera

hecho 5 piezas menos cada dıa habrıa tardado 3 dıas mas de lo previsto. ¿Cuantas piezas hizo y encuanto tiempo?

31. La suma de tres numeros es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar elproducto de dichos numeros. Resp. 225522

32. Hallar dos numeros sabiendo que su suma es 36 y que al dividir el mayor por el menor el cocientees 2 y el resto 3. Resp 25, 11.

33. Hallar las dimensiones de un rectangulo sabiendo que su perımetro es igual a 110cm y que sulongitud es 5cm mas pequena que el doble de su altura. Resp. 8, 17

34. En una jaula donde hay conejos y palomas pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cuantosanimales hay de cada clase?. Resp. 12, 23.

35. La cabeza de un lagarto mide 9cm. La cola mide tanto la cabeza mas la mitad del cuerpo, y elcuerpo mide la suma de las longitudes de la cabeza y la cola. ¿Cuanto mide el lagarto?. Resp. 72



36. A ambas orillas de un rıo crecen dos palmeras, una frente a la otra. La altura de una de ellas es de30 codos, y de la otra, de 20. La distancia entres sus troncos es de 50 codos. En la copa de cadapalmera hay un pajaro. De subito los dos pajaros descubren un pez que aparece en la superficiedel agua, entre las dos palmeras. Los pajaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿Aque distancia del tronco de la palmera mayor aparecio el pez?. Resp. 20 codos.

37. Un campesino piensa utilizar 180 pies de malla para encerrar un terreno rectangular, aprovechandoparte de la orilla recta de un rıo como cerca de uno de los lados del rectangulo. Halle el areadel terreno, si la longitud del lado paralelo al rıo es el doble de la longitud de uno de los ladosadyacentes. Resp. 4050

38. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos, lamentabase elcaballo de su pesada carga, a lo que el mulo le dijo: ¿De que te quejas? Si yo te tomara un saco, micarga serıa el doble de la tuya. En cambio si te doy un saco tu carga se igualarıa a la mıa. ¿Cuantossacos llevaba cada uno?. Resp. 7, 5.

39. Una escalera de 13m de longitud, esta apoyada contra una pared. La base de la escalera se encuentraa 5 m del muro. ¿Cuanto habrıa que desplazar la base de la escalera para que la punta superior dela misma se desplace hacia abajo la misma distancia? Resp. 7m

40. Dos ciclistas parten al mismo tiempo de dos puntos A y B distantes 320 km; uno de A en direccionde B y otro con direccion a A. El primero recorrio 8 km mas por hora que el segundo y el numerode horas que demoraron en encontrarse esta representado por la mitad del numero de kms que elsegundo recorrio en una hora. ¿Cual es la distancia recorrida por el primer ciclista?

41. Claudia y Mario caminaban juntos por el prado cargados de mochilas repletas de libros. En ciertomomento Claudia se queja a Mario de su pesada mochila, a lo que Mario responde: ¿De que tequejas? si yo te tomara un libro, mi carga seria el doble de la tuya. En cambio si te doy uno de mislibros tu carga se igualarıa a la mıa. ¿Cuantos libros llevaba cada uno?

42. En una primera visita al mercado usted compro dos libras de te y cinco libras de cafe pagando untotal de 50 bolivianos. Dıas despues el una segunda visita usted compro tres libras de te y 7 decafe pagando esta ves 71 bolivianos. Usted no recuerda cuanto pago por cada libra de cada uno delos productos. Plantee un sistema de ecuaciones para encontrar el precio de cada libra de te y elprecio de cada libra de cafe.

43. Entre todas las familias de un pueblo suman 252 hijos. Las hay de dos tipos, las que tienen 6 hijosy las que tienen 2 hijos. Si el numero de las que tienen 6 hijos dobla a las otras, calcular en numerode hay de cada tipo de familia.

44. En Abril tengo el doble de dinero que en Enero, si en abril pierdo 10 bolivianos y en enero pierdo5, en Abril tendre 20 bolivianos mas que en enero ¿Cuanto tenıa en abril y cuanto en enero?

45. Un ganadero le da de comer a sus vacas una mezcla de dos tipos de alimentos, A y B. Un kilo deA proporciona a una vaca el 10 % de las proteınas y el 15 % de las vitaminas que necesita a diario.Un kilo de B proporcionan el 12 % de proteınas y el 8 % de vitaminas. Calcular los kilos que hayque dar a cada animal para conseguir el 100 % necesario diario de proteınas y vitaminas.

Problemas Selectos de Ecuaciones y Sistemas Lineales

1. Determinar la edad de las personas cuyo numero de anos en 1998 es igual a la suma de los valoresde las cifras del ano de su nacimiento. Solucion 18.



2. Un estudiante de matematicas recibe la siguiente oferta: por cada problema bien resuelto recibira 8euros y por cada problema mal resuelto pagara 5 euros. Despues de resolver 26 problemas, tienetanto dinero como al principio. ¿Cuantos problemas resolvio correctamente?. Solucion 10, 16.

3. En un campamento escolar acude un grupo de ninos. Sabemos que los que vienen de Oruro son lamitad de los que vienen de La Paz, que, entre La Paz y Cochabamba, vienen un total de ocho ninosy que los que vienen de Cochabamba son el doble de los que vienen de Santa Cruz. ¿Cuantos ninoshay en el campamento?. Solucion 12.

4. Mauricio, el bisabuelo de Jose, no es ciertamente centenario, pero es de edad muy avanzada. Lo queos puedo decir es que el ano anterior su edad era multiplo de 8, y que el ano proximo es multiplode 7. ¿Cual es la edad de Mauricio?. Solucion 97.

5. La musarana es un pequeno mamıfero semejante a un raton, pero con el hocico mas largo y punti-agudo. Comen tanto 17 osos como 170 monos; 100000 musaranas tanto como 50 monos; 4 elefantescomen lo mismo que 10 osos. ¿Cuantas musaranas son necesarias para acabar con la comida de 12elefantes?. Solucion 600000.

6. Gabriela debe escribir un trabajo de n paginas en la computadora. El lunes escribe la mitad deltrabajo. El martes la tercera parte de lo que le falta, el miercoles la cuarta parte del resto yel jueves la quinta parte de lo que queda. El viernes decide terminar el trabajo y observa que lequedan menos de 15 paginas para finalizarlo. Si todos los dıas escribio un numero entero de paginas,¿cuantas paginas tenıa el trabajo?

7. Soy un numero de dos dıgitos. La suma de mis dıgitos es 8. Si mis dıgitos se invierten, el numeroası formado es yo menos 18. ¿Quien soy?

8. Un trabajador gana $220 por las primeras 40 horas que trabaja a la semana. Si trabaja mas, porlas horas extra gana un quinto mas. La ultima semana cobro $319. ¿Cuantas horas extra trabajo?

9. Un grupo de amigos cena en un restaurante. A la hora de pagar cada uno aporta 15 Bs, perocomprueban que faltan 35 Bs. Entonces cada uno aporta 5 Bs adicionales, con lo cual les alcanzapara pagar la cuenta y les sobra exactamente el 10 % del costo de la cena (que le dejan como propinaal mesonero). ¿Cuantos amigos eran? ¿Cual era el monto de la factura?

10. Adolfo tiene una gran cantidad de bloques cubicos identicos. Con ellos arma un cubo grande, quetiene n bloques por lado, y le sobran 57 bloques. Luego trata de armar un cubo con n + 1 bloquespor lado, pero comprueba que para eso le faltan 34 bloques. ¿Cuantos bloques tiene Adolfo?

11. Juan tiene un saco lleno de naranjas. A Pedro le regala la mitad de las naranjas mas media naranja,a Luis le regala la tercera parte de las que le quedan mas un tercio de naranja y a Armando lacuarta parte de lo que le queda mas un cuarto de naranja. Al final, a Juan le quedaron 8 naranjas.¿Cuantas naranjas tenıa al principio? ¿Cuantas dio a cada amigo?

12. Ayer y hoy han estado jugando en el parque un grupo de ninas y ninos. Ayer la relacion de ninas aninos era de 2:3. Hoy, el numero de ninos es el cuadrado del numero de ninas y ademas hay 6 ninosy 7 ninas menos que ayer. Contando a los ninos y a las ninas, ¿cuantos estuvieron jugando ayer?

13. Una banda musical esta marchando en formacion. Al inicio, la banda forma un cuadrado con igualnumero de columnas que de filas, pero luego cambian a la forma de un rectangulo con cinco columnasmas que el numero de filas. ¿Cuantos musicos tiene la banda?

14. Las familias Sanchez y Rodriguez se encuentran en la calle. En seguida se produce un efusivointercambio de besos y abrazos. Cada miembro de cada familia saluda a todos los miembros de laotra. Cuando dos miembros se saludan, se dan un abrazo. Ademas, cada mujer de cada familia ledio un beso en la mejilla a cada miembro de la otra familia (de forma que cuando se saludan dos



mujeres ademas del abrazo, se dan dos besos). Alguien cuenta 49 abrazos y 56 besos. ¿Cuantasmujeres hay en total en ambas familias?

15. Cuando a un barril le falta el 30 % para llenarse contiene 30 litros mas que cuando esta lleno hastael 30 %. ¿Cuantos litros le caben al barril?

16. Juanito tiene un cupon del 20 % de descuento sobre el total a pagar de su compra en la librerıa dela Facultad. Decidio ir a comprar un libro. Al llegar a la tienda se encontro con que el libro tenıaun 30 % de descuento. ¿Cual es el descuento total que obtendra Juanito si utiliza el cupon?

17. Un comandante dispone su tropa formando un cuadrado y ve que le quedan 36 hombres por aco-modar. Decide poner una fila y una columna mas de hombres en dos lados consecutivos del cuadradoy se da cuenta que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado. ¿Cuantos hombres hay en latropa?

18. Alicia y Basilio tienen un numero secreto cada quien. Ambos numeros son las raıces de la mismaecuacion cuadratica. Si se sabe que la suma y el producto de los recıprocos de esos numeros son,respectivamente, 2 y 1/3 ¿cual es la ecuacion cuadratica? Justifica tu respuesta. (Nota: se denominarecıproco de un numero a su inverso multiplicativo, es decir, multiplicando el numero y su recıprocoda como resultado la unidad.)

19. De un grupo de ninos y ninas se retiran 15 ninas quedando dos ninos por cada nina. Despues seretiran 45 ninos y quedan entonces cinco ninas por cada nino. ¿De cuanto era el numero de ninasy ninos al comienzo?.

20. Un obrero hace un cierto numero de piezas identicas en un tiempo determinado. Si hubiera hecho 10piezas mas cada dıa, habrıa terminado el trabajo completo 9

2dıas antes de lo previsto, y si hubiera

hecho 5 piezas menos cada dıa habrıa tardado 3 dıas mas de lo previsto. ¿Cuantas piezas hizo y encuanto tiempo?

(y − 9

2

)(

x

y+ 10

)

= x

(y + 3)

(x

y− 5

)

= x

21. A la gran romerıa que se celebra cada ano en San Patricio, todos los participantes del puebloasisten en grandes coches de caballos. El pasado ano, cuando todos partieron a la romerıa, cadacoche llevaba exactamente el mismo numero de personas. A mitad del camino se rompieron diezcoches, de modo que cada uno de los coches debio llevar una persona mas. Cuando volvıan a casadescubrieron que se habıan descompuesto quince coches mas, de manera que durante el viaje deregreso habıa en cada coche tres personas mas que al partir por la manana. ¿Cuantas personasasistieron a la gran romerıa de San Patricio? ¿Cuantos coches llevaban?

22. Un nino tiene tantas hermanas como hermanos, pero cada hermana tiene la mitad de hermanas quede hermanos. ¿Cuantos hermanos y hermanas hay en la familia?

23. En un bolsa de 200 caramelos hay 110 de fruta y el resto de leche. ¿Cuantos caramelos de fruta hayque agregar para que los caramelos de fruta sean el 70 % del total de la bolsa?

24. Para determinar el volumen de agua en un estanque puede procederse de la siguiente manera.Agregamos 10 litros de agua que contienen 6300 gramos de colorante. Cuando el colorante esta biendisuelto en el volumen total, recuperamos 10 litros de agua y observamos que esta tiene ahora 1.75gramos de colorante. ¿Cual es el volumen del agua en el estanque?



25. Drini, segun la receta de su medico, debe tomar todo el contenido de un frasco de pıldoras en 4dıas de la siguiente manera: el primer dıa, la mitad del total; el segundo dıa un tercio de lo quequeda; el tercer dıa, un cuarto de lo que queda y el cuarto dıa 6 pıldoras. ¿Cuantas pıldoras habıaoriginalmente en el frasco?

26. Los boletos para entrar a la Disco Nexa cuestan $8 para las muchachas y $10 para los muchachos.Si el precio de los boletos fuera al reves, la suma de lo que pagaron todos los que entraron a ladisco serıa $6 menos de lo que en realidad fue. Si asistieron 30 muchachas, ¿cuantos muchachosasistieron?

27. La abuela le dijo a sus nietos: Si horneo 2 panquecitos para cada uno de ustedes me sobrara masapara 3 panquecitos mas. Si quisiera hornear 3 panquecitos para cada uno de ustedes me harıa faltamasa para hornear 2 panquecitos. ¿Cuantos nietos tiene la abuela?

28. Una entrevista de 2006 estudiantes de una preparatoria revelo que 1500 de ellos participaron en laOlimpiada de Matematicas y 1200 de ellos en la Olimpiada de Quımica. ¿Cuantos de los jovenesentrevistados participaron en ambas competencias si sabemos que exactamente 6 de ellos no par-ticiparon en ninguna?

29. Francisco, Arturo y Gabriela fueron a cenar y pagaron la cuenta entre los tres. Francisco pago el60 % del total, Arturo pago el 40 % de lo que restaba y Gabriela pago $30. ¿Cual era el valor totalde la cuenta?

30. La edad promedio de los miembros de la familia Quintos es de 18 anos. Si sabemos que el papa tiene38 anos y que el promedio de las edades de los miembros de la familia sin contarlo a el es de 14anos, ¿Cuantos miembros tiene la familia Quintos?

Sistemas de Ecuaciones

1. Resolver los sistema de ecuaciones.

(a)

{2x − y = 6

y2 = x(b)

{x + y = 2

x2 + y2 = 4

(c)

{2x + y = 4

y2 + 4x = 0(d)

{3x − y − 8 = 0

x2 + y2 − 4x − 6y + 8 = 0

(e)

{x + y = 5

x2 + y2 = 9(f)

{xy

+ yx

= 2512

x2 − y2 = 7

2. Resolver el sistema de ecuaciones

(x

a

)m

·(y

b

)n

= c(x

b

)n

·(y

a

)m

= d

3. ¿Cuantas Soluciones distintas tiene el siguiente sistema de ecuaciones?{

(x + y)√

x = 3√

y

2(x − y)√

y =√

x



Capıtulo VII. Exponenciales y Logaritmos

1. Calcula las siguientes potencias y escrıbelas en forma de logaritmo, tal y como se indica en elejemplo:

53 = 125 ⇔ log5 125 = 3

a) 72

b) 35

c)(

19

)2

d)(

23

)2

e) 106

f ) 27

g) 5–3

h)(

53

)− 2

i) 6 –2

2. Calcula las siguientes potencias y escrıbelas en forma de logaritmo, tal y como se indica en elejemplo:

32 = 9 ⇔ log3 9 = 2

a) 25

b) 321

5

c) 3 –4

d) 34

e) 811

4

f ) 2 –5

g) 52

h) 1251

3

i) 5 –3

3. Calcula el exponente de las siguientes igualdades y escrıbelo, posteriormente, en forma de logaritmo,tal y como muestra el ejemplo:

125x = 5 ⇒ x = 13

⇒ log 125 5 = 13

a) 10 a = 1000b) 10 b = 1c) 10 c = 0,001

d) 1000 d = 10e) 16 e = 1

16

f ) 16 f = 4

g) 16 g = 256h) 16 h = 1

4

i) 16 i = 1256

4. Calcula el exponente de las siguientes igualdades y escrıbelo, posteriormente, en forma de logaritmo,tal y como muestra el ejemplo:

5x = 15

⇒ x = –1 ⇒ log 515

= –1

a) 10 a = 0,1b) 9 b = 1c) 64 c = 4

d) 10 d = 10e) 17 e = 1f ) 32 f = 2

g) 27 g = 9h) 4 h = 1

16

i) 7 i = 1256

5. Calcula la base de los siguientes logaritmos:

log a36 = 2log a64 = 3

log a0,01 = –2log a0,001 = 3

log a12345 = 1log a8 = 3

6. Calcula la base de los siguientes logaritmos:

log a3 = 1log a1 = 0

log a0,25 = –2log a2 = 2

log a121 = –1log a8 = –3

7. Calcula:



log 3 81log 3 9log 3 (1/3)

log 2 1log 41 41log 0,01

log 5

√5

log 2 32log 100

8. Calcula:

log 4 1024log 16 256log 7 343

log 64 8log 625 5log 27 3

log 9 243log 64 256log 625216

9. Calcula el valor aproximado de los siguientes logaritmos, sabiendo que el log 2 3 ∼= 1,60:

log 2 6log 2 24

log 2 (2/3)log 2 (3/4)

log 2 15 – log 2 5log 2 (1/9)

log 2 0,5log 2 0,25

10. Calcula el valor aproximado de los siguientes logaritmos, sabiendo que el log 2 ∼= 0,301:

log 8log 40

log 25log 200

log 0,04log 1,25

log 0,008log 0,0016

11. Calcula las siguientes expresiones sin hacer uso de la calculadora:

log 4

(3√

45)2

log 15 52 + log 15 32

log 24

√

23√

22

log 35√

33√

75 6√

225

log 1

6

4√

63√

36 5√

216

log 2

(3

√14· 5

√116

) 2

3

12. Si log a H = 2 y log a 32 · N = 5, ¿cuanto vale a?13. Si log 5 N = t, expresa en funcion de t los siguientes logaritmos:

log 5 125 · N log 5N25

log 5 55 log 54√

N

14. Si log 7 N = p, expresa en funcion de p los siguientes logaritmos:

log 7 49 · N log 7N49

log 7 75 · N log 7N343

log 7 2401 · N

15. Si log 6 N = q, expresa en funcion de q los siguientes logaritmos:

log 6 36 · N log 6N6

log 6 64 · N log 6N36

log 6 216 · N

16. Si al numero N lo multiplicamos por 81, ¿que alteracion experimenta su logaritmo en el sistema debase 3? ¿Y en el de base 9?

17. Si al numero N lo dividimos por 256, ¿que alteracion experimenta su logaritmo en el sistema debase 16? ¿Y en el sistema de base 2? ¿Y en el sistema de base 4?

18. Si log a N = 2,2577 y el log a 125 · N = 5,2577, halla razonadamente el valor de la base a de loslogaritmos.

19. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de logaritmo, sabiendo que a =log 3, b = log 5 y c = log 7:



a) a + b + cb) 2a + 3b

c) a+b2

d) c−b3

e) a + c−b3

20. Reduce las siguientes expresiones logarıtmicas a un solo logaritmo:5 log 2 – 3 log 2

log x4 – log x3

log 3 + log 4 – log 2(log 27 + log 64) – (log 8 – log 9)

21. Toma logaritmos decimales en las siguientes expresiones, para obtener la expresion logarıtmicacorrespondiente:

A = a3·b4·cd2

C = x2 t3 z5 t7B =

√a3 · 3

√b2

·

c4

D = xyzt

E = 4 π r3

3

F =4

√

x3√

x2

22. Toma logaritmos decimales en las siguientes expresiones, para obtener la expresion logarıtmicacorrespondiente:

A = a·3√

b4·c4

d2 ·4√

e2

B = x –2 y2

3 t3 z1

5

C =√

a−3 · 3√

b2· 1c−4

D = 4

√

x 3

√

x2 3√

x

F = x23 y

12 z

5√

t6

23. Escribe la forma algebraica de A , B, C, D y E en las siguientes expresiones:log A = 3

7log a + 2 log b – 5 log c – 4 log d

log B = 12log a + 3 log b – 2 log c + 2

log C = 2 (log a + 3 log b) – 12(2 log c + log d)

log D = 2 log 5 + 3 log 7 – 4 log 11log E = 1

6log 2 – 1

4log 7 – 1

8log 5

24. Escribe la forma algebraica de A , B, C, D y E en las siguientes expresiones:log A = 3 log x – 5 log y

log B =5 log x + 3 log y

2log C = 2 log x – 3 log y + 5 log zlog D = 2 log 5 + 3 log 7 – 4 log 11log E = 1

6log 2 – 1

4log 7 – 1

8log 5

25. Completa esta tabla:

a b log a b log b a log a b2 log b a2

11 12125 3

212

–23 – 40,1 3

2

1000 32√

7 14

3√

36√

6

26. Si (a − b)−1 + (b − c)−1 − (a − c)−1 = 0. Hallar el valor de A =log(a − b) + log(b − c)

log(a − c). Respuesta:

A = 2.



27. Hallar el valor de

A = log2 x log4x 8 logx 4 log2x 8 log4 2x log2 4x

Respuesta: A = 9.

28. El pH de un lıquido es el logaritmo de la inversa de la concentracion de iones H+ que hay en el.Por ejemplo, si la concentracion de H+ es 10 –7, entonces su pH es:

log 110−7 = log 10 7 = 7.

Calcula el pH de los lıquidos que tienen las siguientes concentraciones de H +:

5 · 10 –5 3,8 · 10 –8 9,32 · 10 –7

29. Demuestre la siguiente identidad

x = a(

alog b blog c clog d dlog x)

30. Si a2 + b2 = c2, verificar la siguiente identidad

b + clog a + c − blog a = 2b+clog ac − blog a

31. Si se cumple que

x(y + z − x)

log x=

y(z + x − y)

log y=

z(x + y − z)

log z

verificar las siguientes identidades

yzzy = zxxz = xyyx

Ecuaciones Exponenciales

1. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:



(1) 816x

= 46 (2) 3x−12x = 12 (3) (2/7)5 = 3,5x+1

(4)5√

37+x = 9 (5)2x−3√

2x−3 =√

18 (6) 3(2x+3) = 132 · 3x−3

(7)3√

57−x = 25 (8) ln ex+27 = 10x (9) 2,25e7x−4 = 0,2e2x+5

(10) 2x+3 = 3x−3 (11)3√

4x+2 =√

2x+5 (12)√

2x(

4√

2)3−x

= ( 3√

2)x+2

(13) 273x−4

= 3√

3 (14) 8x−1 = 2 · 4x−1 (15)(

35−x)(

52x−4)

= 1511−3x

2. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

(1) 22x−2 + 2x−1 = 20 (2) 22x − 3 · 2x+1 + 8 = 0

(3) 5x+1 = 10 + 3 · 52−x (4) 3x+3 + 3x+2 + 3x = 111

(5) 32x+1 − 9x−1 = 234 (6) 9x+1 − 2 · 3x+3 + 81 = 0

(7) 32√

x−1 + 2 · 3√

x = 9 (8) 4x − 3x−1/2 = 3x+1/2 − 22x−1

(9) 3x+1 + 18 · 3−x = 29 (10) 4x+1/2 − 32x = 4x−1/2 − 32x−1

3. Resolver la ecuacion

(

43−x)2−x

= 1. Sol.- x = 2, x = 3.

4. Resolver la ecuacion

(

105−x)6−x

= 100. Sol.- x = 4

5. Resolver la ecuacion 2x+1 + 4x = 80. Sol.- x = 3.

6. Resolver la ecuacion 3x + 3x−1 + 3x−2 + 3x−3 + 3x−4 = 363. Sol.- x =ln 243

ln 3.

7. Sea a > 0, x > 0, ademas (7x)loga 7 − (5x)loga 5 = 0. Determinar el valor de x. Respuesta.-1

35.

8. Resolver la siguiente ecuacion exponencial 23x · 3x − 23x−1 · 3x+1 = −288.

9. Resolver la siguiente ecuacion exponencial 52x − 7x − 35 · 52x + 35 · 7x = 0.

10. Resolver la siguiente ecuacion exponencialx√

53 +x√

56 = 30.

11. Resolver la siguiente ecuacion exponencial 5log x − 3logx−1 = 3log x+1 − 5logx−1.

12. Resolver la siguiente ecuacion exponencial 9log√x 3 = 27x..

13. Resolver la siguiente ecuacion exponencial

(9

4

)x(8

27

)x−1

=2

3

Solucion.- x = 2.



14. Despejar x de la siguiente ecuacion

2log7(x2−7x+21) = 3log7 4

Respuesta: x = 3, 4.

15. Resolver la siguiente ecuacion exponencial

1 +3

2+

4

9+

8

27+ · · · +

2x

3x=

19

9

16. ¿Cuantas soluciones reales tiene la siguiente ecuacion? 3x2−x−y + 3y2−y−z + 3z2−z−x = 1.Solucion.- tiene 1.

Ecuaciones Logaritmicas

1. En la expresion u = a · rn−1 despejar r y n.

2. En la formula S = a(1−rn)1−r

, despejar n.3. Hallar el valor de x.

(a) logb x = logb 2 + 3 logb 2 − logb 4 (b) x = 10,1001

2log 9−log 2

(c) logb x = 12logb 3 + logb 4 − 1

2logb 2 (d) x = 100

1

2−log 4

√

4

4. Resolver las siguientes ecuaciones

(a) log3(x + 1) + log3(x + 3) = 1 (b) log4 log3 log2 x = 0

(c) loga y + loga(y + 5) + loga 0, 02 = 0 (d) log(35−x3)log(5−x)

(e) ln 12 − ln(x − 1) = ln(x − 2) (f) ln x − ln(x − 2) = ln 2

(g) logx

√5 − logx(5x) − 2, 25 = logx

√5 (h) log16 x + log4 x + log2 x = 7

(i) log4(x + 12) · logx 2 = 1 (j) logx(5x2) · log2

5 x = 1

(k) 3x+1 − 5x+2 = 3x+4 − 5x+3 (l) 4x−2 − 17 · 2x−4 + 1 = 0

5. Resolver

(a) 3x+1 = 81 (b) 5x+1 = 32x (c) ex − e−x = 2 (d)

(3

7

)3x−7

=

(7

3

)7x−3

6. Resolver 52 · 54 · 46 · · · · · 52x = 0, 04−28.

7. Resolver la siguiente ecuacion log5 120 + (x − 3) − 2 log5(1 − 5x−3) = − log5(0, 02 − 5x−4).

8. Resolver la siguiente ecuacion logarıtmica x + log(1 + 2x) = x log 5 + log 6.

9. Resolver la siguiente ecuacion logarıtmica

log4

(2 log3

(1 + log2

(1 + 3 log2 x

)))=

1

2.



10. Resolver la siguiente ecuacion logarıtmica

logm

(1 + logn

(1 + logp

(1 + logq x

)))= 0.

11. Resolver la siguiente ecuacion:√

2 log24 x − 5 log4 x + 6 +

√

2 log24 x − 5 log4 x + 11 = 5.

Sugerencia Realizar el cambio de variables t = 2 log24 x − 5 log4 x + 6.

12. Resolver la ecuacion logarıtmica 2 log(log x) = log(7 − 2 log x) − log 5.

13. Resuelva la ecuacion:

log2

(10x)

+ log4

(100x

)+ log8

(1000x

)− 2 log64

(x)

= 9

Respuesta:16

25.

14. Despejar x de la siguiente ecuacion log x√b(√

b) + log x√a(√

a) =b

3Respuesta:

b

3.

Sistemas de Ecuaciones Exponenciales y Logaritmicas

1. Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones

{

5x2y = 20

2x + y = 4

Respuesta: x = 1, y = 2.


logy x + logx y = 2

xy + yx = 8

3. Determine los valores de x y y que satisfacen simultaneamente las ecuaciones{

xy = 1010

ylog x = 1025.

Respuesta.- x = y = 105.


loga x + loga y = 2

logb x − logb y = 4


x−y√

x + y =1

2√

3

(x + y)2y−x = 48




{

logm x + logy m = 2

ylogm x + ylogm y = 2m


x2 + xy + y2 = a2

log x√a(√

a) + log y√b(√

b) =a√3

Respuesta: x = y =a√3.

Problemas de Aplicacion de Exponenciales y Logaritmos

1. El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento exponencial que puede ser modeladocon la siguiente ecuacion A(t) = A0e

kt. Si inicialmente habıan 1000 mosquitos y despues de undıa la poblacion de estos aumenta a 1800, ¿cuantos mosquito habran en la colonia despues de 3dıas?¿Cuanto tiempo tendrıa que pasar para que la colonia tenga 10000 mosquitos?

2. Un pollo que tiene una temperatura de 40oF es movido a un horno cuya temperatura es de 350oF .Despues de 4 horas la temperatura del pollo alcanza 170oF . Si el pollo esta listo para comer cuandosu temperatura llegue a 185oF . ¿Cuanto tiempo tomara cocinarlo?

3. El crecimiento de una colonia de abejas esta determinado por la siguiente ecuacion P (t) = 2301+56,5e−0,37t .

¿Cuantas abejas habıan inicialmente?¿Cuanto tiempo le tomara a las abejas tener una poblacionigual a 180?¿Cual sera la poblacion de las abejas cuando haya transcurrido mucho tiempo?

4. Una funcion exponencial W tal que W (t) = W0ekt, para k > 0, describe el primer mes de crecimiento

de cultivos como de maız, algodon y soya. La funcion W es el peso total en miligramos, W0 es elpeso del dıa del brote o emergencia y t es el tiempo en dıas.

① Si, para un tipo de soya k = 0,2 y W0 = 68, calcule el peso final al mes de haber brotado(t = 30). Rta. 27433,16 mg

② A menudo es difıcil medir el peso W0, de la planta cuando acaba de emerger del suelo. Si parauna planta de algodon, k = 0,21 y W (10) = 575 mg. Calcule W0. Rta. 70,41 mg

5. En 1980 la poblacion estimada de la India era de 651 millones y ha estado creciendo a una tasade alrededor del 2 % anual. La poblacion N(t), t anos mas tarde, puede aproximarse medianteN(t) = 651e0.02t. Suponiendo que esta tasa alta de crecimiento continua, calcule la poblacion de laIndia en el ano 2000 y 2010.

6. La poblacion N(t) de la India en millones t anos despues de 1980 puede aproximarse por N(t) =651e0.02t. Cuando sera de mil millones?. Rta. en 21 anos.

7. Interes compuesto Si se invierten P dolares a una tasa de interes anual r y el interes se capitalizan veces al ano, el valor final de la inversion despues de t anos bajo interes compuesto n veces al anodenotado por In(t) es:

In(t) = P(

1 +r

n

)nt

. (5)



① Suponga que se invirtio 1000 dolares a una tasa de interes compuesto del 9 % mensual.☞ Calcular el monto final del capital inicial despues de 5 anos, despues de 10 anos, despues

de 15 anos. Rta. 1565,68 dolares; 2451,36 dolares; 3838,04 dolares.② Grafique el crecimiento de la inversion.

8. El crecimiento de una colonia de abejas esta determinado por la siguiente ecuacion logıstica:

P (t) =230

1 + 56.6e−0.37t.

¿Cuantas abejas habıan inicialmente?. ¿Cuanto tiempo le tomara a las abejas tener una poblacionigual a 180?. ¿Cual sera la poblacion de las abejas cuando haya transcurrido mucho tiempo?.

9. El crecimiento de los arboles se representa con frecuencia mediante una ecuacion logıstica. Supongaque la altura h en pies, de un arbol de edad de t anos, es:

h(t) =120

1 + 200e−0,2t.

¿A que edad su altura es de 100 pies?. ¿Que altura alcanzo si su edad es de 40 anos?Solucion. ¿A que edad su altura es de 100 pies?.

h(t) =120

1 + 200e−0,2t= 100

h(t) =120

1 + 200e−0,2t= 100

100(1 + 200e−0,2t

)= 120

20000e−0,2t = 20

−0,2t = −6, 9077, t = 34, 54

¿Que altura alcanzo si su edad es de 40 anos?

h(40) =120

1 + 200e−0,2(40)=

120

1 + 200e−8

10. La poblacion rural de una provincia espanola disminuye un 2% cada ano. Si la poblacion actualde la provincia es de 100000 habitantes, y suponiendo que la disminucion se sigue realizando en lamisma proporcion, ¿en cuantos anos su poblacion quedara reducida a 60000 habitantes? (Nota: laformula de crecimiento o disminucion continuos de una poblacion es: P(t) = P0 · (1 ±c)t, siendoP0 la poblacion inicial y c el tanto por ciento con el que crece o disminuye la poblacion)

11. La poblacion de un estado crece en un ano un 2,5%. ¿Cuanto tiempo se necesitara para duplicarsesuponiendo que sigue creciendo con el mismo ritmo?

12. El 1 de enero de 1900 la poblacion de una ciudad era de 75000 habitantes y el 1 de enero de 1950habıa alcanzado 180000 habitantes. ¿Cual fue su tanto por ciento de crecimiento anual, si este sehizo de manera continua?

13. La constante de desintegracion del polonio 218 (Po218) es λ = 4 · 10 –3 s –1. ¿Cuanto tiemponecesitara una muestra de ese elemento para que se reduzca a la mitad de sus atomos? (Nota: laformula de la desintegracion continua de los atomos es: N = N0 · e –λ·t, siendo N0 el numero inicialde atomos)

14. La constante de desintegracion del torio C es λ = 2 · 10 –4 s –1. ¿Cuantos atomos quedaran sindesintegrarse, al cabo de 15 minutos de una muestra que inicialmente tenıa un millon de atomos?



Capıtulo VIII. Induccion Matematica y Divisibilidad

Induccion Matematica

1. Realice la deduccion inductiva para la formula de la suma de los n primeros numeros naturalesimpares:

1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2n − 1)

2. Realice la deduccion inductiva para la formula de la suma de los n primeros numeros naturales dela forma:

12 + 22 + 32 + 42 + · · ·+ n2

3. Realice la deduccion inductiva para la formula de la suma de los n primeros numeros naturales dela forma:

13 + 23 + 33 + 43 + · · ·+ n3

4. Conjeture una formula para la siguiente suma y demuestrela por induccion:

1

2+

1

6+

1

12+

1

20+ · · ·+ 1

n(n + 1)


1

3+

1

15+

1

35+

1

63+ · · ·+ 1

(2n − 1)(2n + 1)


8

27+

4

9+

2

3+ 1 +

3

2+ · · ·+

(3

2

)n−4

7. Demostrar por induccion las siguientes formulas:

a) Para todo n ∈ N, 12 + 22 + 32 + 42 + · · ·+ n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

b) Para todo n ∈ N, 12 + 32 + 52 + 72 + · · ·+ (2n − 1)2 =n(2n − 1)(2n + 1)

3

c) Para todo n ∈ N, 14 + 24 + 34 + 44 + · · ·+ n4 =n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1)

30

d) Para todo n ∈ N, 15 + 25 + 35 + 45 + · · ·+ n5 =n2(n + 1)2(2n2 + 2n − 1)

128. Demostrar por induccion las siguientes formulas:

a) Para todo n ∈ N, 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n · (n + 1) =n(n + 1)(n + 2)

3

b) Para todo n ∈ N, 1 · 2 + 3 · 4 + 5 · 6 + · · ·+ (2n − 1) · (2n) =n(n + 1)(4n − 1)

3

c) Para todo n ∈ N, 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4+3 · 4 · 5 + · · ·+ n · (n + 1) · (n + 2) =n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

49. Demuestre que para todo m ∈ N

1

1 · 5 +1

5 · 9 +1

9 · 13+ · · ·+ 1

(4m − 3) · (4m + 1)=

m

4m + 1



10. Demuestre que para todo n ∈ N,

12

1 · 3 +22

3 · 5 +32

5 · 7 + · · ·+ n2

(2n − 1) · (2n + 1)=

n(n + 1)

2(2n + 1)

11. Demuestre que para todo n ∈ N,

(n + 1)(n + 2)(n + 3) · · · · · · (n + n) = 2n · (2n − 1)!

(2(n − 1))!

12. Demuestre que para r ∈ R, r 6= 0, r 6= 1, la siguiente igualdad se verifica, para todo n ∈ N:

1 + r + r2 + r3 + r4 + · · ·+ rn =rn+1 − 1

r − 1.

13. Demuestre que para todos los numeros a, r ∈ Z, a 6= 0, r 6= 1, la siguiente igualdad se verifica, paratodo n ∈ N:

a + ar + ar2 + ar3 + · · ·+ arn =a(1 − rn+1)

1 − r.

14. Demostrar por induccion las siguientes afirmaciones:

a) Para todo natural n > 10, se tiene n − 2 <n2 − n

12b) Para todo natural n ≥ 2, se tiene n2 > n + 1c) Para todo natural n ≥ 4, se tiene n! > n2

d) Para todo natural n ≥ 4, se tiene n2 > 3ne) Para todo natural n ≥ 2, se tiene 2n+1 < 3n

f) Para todo natural n ≥ 7, se tiene 2n > n2 + 4n + 5

g) Para todo natural n ≥ 2, se tiene1√1

+1√2

+1√3

+1√4

+ · · · + 1√n

>√

n

h) Para todo natural n ≥ 2, el ultimo dıgito del numero 22n+ 1 es 7

15. Demostrar que para todo numero natural n, se cumple (2n)! < 22n(n!)2.

16. Demostrar que para todo numero natural n, se cumple

(

1 +1

3

)n

≥ 1 +n

3.

17. Demostrar la desigualdad de Bernoulli. Si a > −1, para todo numero natural n, se cumple (1+a)n ≥1 + na. ¿Por que es esto trivial si a > 0?.

18. Sea a un dıgito entre 1 y 9. Denotaremos porn veces︷︸︸︷aa...a

al numero cuya expresion decimal esta formada por n dıgitos a. (a) Por induccion matematicademuestre que para todo natural n > 1 se tiene que

aa...a ≥ a × 10n−1 > an

(b) Demuestre que la identidadn veces︷︸︸︷aa...a = an

no se satisface para ningun entero n.



Divisibilidad

1. Determinar si el producto de 3 numeros impares consecutivos es siempre divisible por 6.

2. Determinar si la suma de 3 numeros impares consecutivos es siempre divisible por 6.

3. Probar que la suma de los cubos de tres numeros enteros consecutivos es divisible por 9.

4. Demostrar por induccion las siguientes propiedades:a) Para todo n ∈ N, 22n − 1 es multiplo de 3b) Para todo n ∈ N, 23n−1 + 5n es multiplo de 3c) Para todo n ∈ N, n5 − n es multiplo de 30d) Para todo n ∈ N, np − n es multiplo de p para todo numero primo p.e) Para todo n ∈ N, 32n + 4n+1 es multiplo de 5.

5. Demostrar por induccion las siguientes propiedades:a) Para todo n ∈ N, n3 + 2n es divisible por 3b) Para todo n ∈ N, 2n + (−1)n+1 es divisible por 3c) Para todo n ∈ N, 10n + 3 · 4n+1 + 5 es divisible por 9d) Para todo n ∈ N, 52n + (−1)n+1 es divisible por 13e) Para todo n ∈ N, 72n + 16n − 1 es divisible por 64f) Para todo n ∈ N, 10n − 1 es divisible por 9g) Para todo n ∈ N, 3 · 52n+1 + 23n+1 es divisible por 17h) Para todo n ∈ N, 92n + 42n es divisible por 13i) Para todo n ∈ N, 52n − 1 es divisible por 6j) Para todo n ∈ N, 23n − 1 es divisible por 7k) Para todo n ∈ N, 7n − 1 es divisible por 6

6. Demuestre que para todo n ∈ N, x2n − y2n es divisible por x − y.

7. Demuestre que para todo n ∈ N, x2n+1 + y2n+1 es divisible por x + y.

8. Demostrar que para todo n natural 32n+2 + 26n+1 es divisible por 11.

Referencias

[A] Allendoerfer Oakley. “Fundamentos de Matematicas Univeristarias”. Edit. Mc Graw Hill.

[AV] Antonov & Vogotkki. “Problemas de Aritmetica, Algebra, Geometrıa y Trigonometrıa”. Edit. paraninfo.

[BC] O. Bobarin F. J. Cazas.V. “Algebra”. Carrera de Matematica - U.M.S.A..

[MEChG] Mario Errol Chavez Gordillo. “Matematicas para el Pre-Univeristario”. Primera Edicion.

[MEChG] Mario Errol Chavez Gordillo. “Fundamentos de Matematica” para la Carrera de Psicologica . Primera Edicion.

[P] Paulino Choque Puna. “Algebra Pre-Universitaria”. Carrera de Matematica - U.M.S.A..

[Z] L. Fernando Zanga Nunez. “Matematicas Pre.Univeristarias”. Tercera Edicion.

E-mail address, Mario ξττo∫s Chavez Gordillo: [email protected]


Practica de MAT-99 Por Mario Errol Chavez Gordillo

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