POSICIONES RELATIVAS

i. Posiciones Relativas de dos planos ii. Posiciones relativas de tres planos iii. Posiciones relativas de dos rectas iv. Posiciones relativas de una recta y un plano

Posiciones relativas de dos planos.

Sean los planos:

=+++≡π=+++≡π

0DzCyBxA0DzCyBxA

22222

11111 , sus posiciones relativas pueden ser:

- Secantes. - Paralelos. - Coincidentes

• Secantes. Tienen infinitos puntos comunes formando una recta.

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

≠≠

Basta con que se cumpla una desigualdad.

• Paralelos. No tienen puntos comunes.

2

1

2

1

2

1

2

1

DD

CC

BB

AA

≠==

• Coincidentes. Todos sus puntos son comunes.

2

1

2

1

2

1

2

1

DD

CC

BB

AA

===

Posiciones relativas de tres planos. Las posiciones relativas de tres planos pueden ser:

- Concurrentes en un punto. - Formando un prisma triangular de arista paralelas. - Dos paralelos y uno secante. - Formando un haz de planos de arista común. - Paralelos. - Coincidentes.

Sean los planos:

=+++≡π=+++≡π=+++≡π

0DzCyBxA0DzCyBxA

0DzCyBxA

33333

22222

11111

su posición relativa se estudia mediante los

rangos de las matrices que definen el sistema:

=++=++=++

3333

2222

1111

DzCyBxADzCyBxADzCyBxA

Nota: Puesto que D1, D2 y D3 son números, para simplificar la explicación, no se tiene en cuenta el cambio de signo al pasar de un miembro a otro.

=

=

3333

2222

1111

333

222

111

DCBADCBADCBA

A* CBACBACBA

A

• Concurrentes en un punto.

rg A = rg A* = 3. El punto de corte de los tres planos es la solución del sistema.

• Formando un prisma triangular de aristas paralelas. rg A = 2 ≠ rg A* = 3

y además, no existe paralelismo entre dos de los tres planos.

• Dos paralelos y uno secante. rg A = 2 ≠ rg A* = 3

y además, existe paralelismo entre dos de los tres planos.

2

1

2

1

2

1

2

1

DD

CC

BB

AA

≠==

• Haz de planos de arista común. rg A = rg A* = 2.

La ecuación de la recta se determina resolviendo el sistema compatible indeterminado que forman dos cualquiera de las tres ecuaciones.

λ−=+λ−=+

≡→

=++=++

≡ λ=

2222

1111z

2222

1111

CDyBxACDyBxA

rDzCyBxADzCyBxA

r

• Planos paralelos. rg A = 1 ≠ rg A* = 2

• Planos coincidentes, el mimo plano. rg A = rg A* = 1.

Posiciones relativas de dos rectas en el espacio. Dos rectas en el espacio pueden ocupar cuatro posiciones distintas

- Se cruzan pero no se cortan. - Secantes. - Paralelas. - Coincidentes.

Se puede estudiar de dos formas distintas.

1ª. Conocidos el vector de dirección y un punto de la recta. Apropiada cuando las rectas estén expresadas en forma vectorial, ecuaciones paramétricas o en continua.

Sean:

( )( )

( )( )

==−

=−

=−

≡

==−

=−

=−

≡

321

321

3

3

2

2

1

1

321

321

3

3

2

2

1

1

v, v,vdb ,b ,bB

:v

bxv

bxv

bxs

u ,u ,uda ,a ,aA

:u

axu

axu

axr

r

r

La posición relativa es función del rango de la matriz formada por los vectores de dirección y el vector formado entre los dos puntos ( )AB ,d ,d sr

rr.

−−−=

332211

321

321

abababvvvuuu

A

• Se cruzan pero no se cortan. No son coplanarias y no tienen ningún punto común.

rg A = 3

• Secantes. Son coplanarias y tienen un punto común. rg A = 2 y sr dkd

rr⋅≠

El punto de corte se calcula mediante un sistema formado por las ecuaciones paramétricas de ambas rectas.

µ+=µ+=µ+=

λ+=λ+=λ+=

33

22

11

33

22

11

vbxvbyvbx

:s uaxuayuax

:r

Si P(xo, yo, zo) es el punto común, sus coordenadas deben de cumplir la ecuaciones de de las dos rectas.

µ+=µ+=µ+=

λ+=λ+=λ+=

33o

22o

11o

33o

22o

11o

vbxvbyvbx

:s uaxuayuax

:r

igualando y ordenando se obtiene un sistema compatible determinado de tres ecuaciones con dos incógnitas (λ, µ).

−=µ−λ−=µ−λ−=µ−λ

µ+=λ+µ+=λ+µ+=λ+

3333

2222

1111

3333

2222

1111

abvuabvuabvu

vbuavbuavbua

Para resolverlo se seleccionan dos ecuaciones linealmente independientes. Conocido λ ó µ se sustituye en las paramétricas correspondiente y se calculan las coordenadas de P.

• Paralelas. Son coplanarias y no tienen puntos comunes. rg A = 2 y sr dkd

rr⋅=

• Coincidentes. Todos los puntos son comunes. Son la misma recta.

rg A = 1

2ª. Expresadas las restas como intersección entre planos ò como ecuaciones reducidas.

=++=++

≡

=++=++

≡4444

3333

2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

s DzCyBxADzCyBxA

r

La discusión del sistema que forman las ecuaciones de los cuatro planos se relaciona con la posición relativa de las rectas, mediante los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.

=++=++=++=++

4444

3333

2222

1111

DzCyBxADzCyBxADzCyBxADzCyBxA

4A* rg

DCBADCBADCBADCBA

A* 3A rg

CBACBACBACBA

A

444444

3333

2222

1111

34444

333

222

111

≤

=≤

=

××

• Se cruzan pero no se cortan. No son coplanarias y no tienen ningún punto común.

rg A = 3 ≠ rg A* = 4

• Secantes. Son coplanarias y tienen un punto común. rg A = 3 = rg A*

El punto de corte se obtiene como solución del sistema. Para resolver el sistema se escogen tres ecuaciones linealmente independientes y se resuelve por Cramer o cualquier otro método.

• Paralelas. Son coplanarias y no tienen puntos comunes. rg A = 2 ≠ rg A* = 3

• Coincidentes. Todos los puntos son comunes. Son la misma recta. rg A = 2 = rg A*

Posiciones relativas de una recta y un plano. Una recta y un plano pueden ocupar tres posiciones relativas:

- Secantes. - Parelelos - La recta esta contenida en el plano

Su posición relativa puede estudiarse de dos formas distintas.

1ª Por vectores. Apropiada cuando la recta está expresada en forma vectorial, paramétricas o continua. Sean:

( )( ) ( )C B, ,An : 0DCzByAx: ;

u ,u ,uda ,a ,aA

: uaxuayuax

:r321r

321

33

22

11

==+++π==

λ+=λ+=λ+=

vr

• Secantes. La recta corta al plano, tienen un punto común.

El vector normal del plano ( nr ) no es perpendicular al vector de dirección de la recta ( rd

r), y por

tanto su producto escalar es distinto de cero.

0dn r ≠r

or

( ) ( ) 0uCuBuA 0u ,u ,uC B, ,A 321321 ≠⋅+⋅+⋅≠o

El punto de corte (Po) se halla formando un sistema entre las paramétricas de la recta y la general del plano, teniendo en cuenta que en el punto de corte (xo, yo, zo) se cumplen ambas ecuaciones, y por tanto sustituyendo las paramétricas de la recta en el plano, se puede despejar el valor del parámetro en el punto de corte (λo). Conocido el valor del parámetro, en las ecuaciones paramétricas de la recta se obtienen las coordenadas del punto de corte.

( ) ( ) ( ) 0DuaCuaBuaA

0DCzByAxuaxuayuax

332211

ooo

33o

22o

11o

=+λ++λ++λ+

=+++

λ+=λ+=λ+=

321

321o uCuBuA

DaCaBaA⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

−=λ

λ+=λ+=λ+=

o33o

o22o

o11o

o

uaxuayuax

:P

• Paralelos. No tienen puntos comunes.

El vector de dirección de la recta ( rdr

), es perpendicular al vector normal del plano ( nr ), pero el

punto de la recta no cumple la ecuación del plano.

0dn r =r

or

( ) ( ) 0uCuBuA 0u ,u ,uC B, ,A 321321 =⋅+⋅+⋅=o

π∉A

0DaCaBaA 321 ≠+⋅+⋅+⋅

• La recta esta contenida en el plano. Todos los puntos de la recta pertenecen al plano. El vector de dirección de la recta ( rd

r), es perpendicular al vector normal del plano ( n

r ), y el punto de la recta cumple la ecuación del plano.

0dn r =

ro

r

( ) ( ) 0uCuBuA 0u ,u ,uC B, ,A 321321 =⋅+⋅+⋅=o π∈A

0DaCaBaA 321 =+⋅+⋅+⋅ 2ª Por sistema. Apropiada cuando la recta está expresada como intersección de planos o en ecuaciones reducidas.

Sean:

=+++=+++

0DZCyBxA0DZCyBxA

:r2222

1111 una recta y 0DZCyBxA: 3333 =+++π un plano.

La recta y el plano forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Los rangos de la matrices de coeficientes y ampliada se relacionan con la posición relativa.

=++=++=++

3333

2222

1111

DZCyBxADZCyBxADZCyBxA

Nota: Puesto que D1, D2 y D3 son números, para simplificar la explicación, no se tiene en cuenta el cambio de signo al pasar de un miembro a otro.

=

=

3333

2222

1111

333

222

111

DCBADCBADCBA

A* CBACBACBA

A

• Secantes. La recta corta al plano, tienen un punto común.

rg A = rg A* = 3 El punto de corte se halla resolviendo el sistema, que es compatible determinado. Método de Cramer.

• Paralelos. No tienen puntos comunes. rg A = 2 ≠ rg A* = 3

• La recta esta contenida en el plano. Todos los puntos de la recta pertenecen al plano.

rg A = rg A* = 3