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Campi elettromagnetici II

9060F Esercitazione

© Politecnico di Torino Pagina 1 di 1 Data ultima revisione 25/05/01 Autore: Daniele Trinchero

Politecnico di Torino CeTeM

ESERCITAZIONE 1 Equazioni di Maxwell ed operaori differenziali Riferimento: lezioni 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Testi Esercizio 1 In un sistema di coordinate cilindriche:

( )z,,rPP ϕ= ẑvˆvr̂vv zr ⋅+ϕ⋅+⋅= ϕ

dzddrrdV ⋅ϕ⋅⋅= verificare, utilizzando la definizione intrinseca di divergenza, che:

( )z

vvr1vr

rr1v zr ∂

∂+

ϕ∂∂

⋅+⋅∂∂⋅=⋅∇ ϕ

Esercizio 2 In un sistema di coordinate cilindriche:

( )z,,rPP ϕ= ẑvˆvr̂vv zr ⋅+ϕ⋅+⋅= ϕ

dzddrrdV ⋅ϕ⋅⋅= verificare, utilizzando la definizione intrinseca di gradiente, che:

ẑzfˆf

r1r̂

rff

∂∂+ϕ

ϕ∂∂⋅+

∂∂=∇

Esercizio 3 Il Laplaciano di una funzione, f2∇ , è definito come la divergenza del gradiente di f :

( )ff2 ∇⋅∇=∇ Determinare l’espessione di f2∇ in coordinate cartesiane. Esercizio 4 Determinare, utilizzando le espressioni cartesiane o le definizioni intrinseche, il valore di r∇ , r⋅∇ ,

r×∇ , essendo ẑzŷyx̂xr ++= il vettore di posizione di un generico punto e r la lunghezza di r . Esercizio 5 Dimostrare che all’interno di un conduttore omogeneo di conducibilità σ e permettività ε , la densità di carica diminuisce esponenzialmente nel tempo, secondo la legge:

( ) ( ) ( ) τ−⋅εσ

−⋅ρ=⋅ρ=

tte0,z,y,xe0,z,y,xt,z,y,xp

Valutare il valore della costante di tempo τ per il vetro, l’acqua dolce e l’argento.


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Esercizio 6 Verificare, in coordinate cartesiane, la validità delle seguenti identità:

( ) fggfgf ∇⋅+∇⋅=⋅∇ ( ) fvvfvf ∇⋅+∇⋅=⋅∇ ( ) baabba ×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇

Esercizio 7 Alle armature del condensatore piano di figura è applicata una differenza di potenziale statica V . Si supponga che il campo elettrico all’interno del condensatore possa considerarsi costante e quindi

pari a dV .

Determinare: a) La densità di carica elettrica superficiale sulle armature; b) La carica totale Q sull’armatura positiva;

c) La capacità del condensatore .VQC =

Esercizio 8 Al condensatore piano di figura è applicata un adifferenza di potenziale (statico) V . Assumendo uniforme il campo all’interno del condensatore e trascurando il campo esterno, calcolare il valore dell’energia elettrica immagazzinata nel condensatore. Verificare, inoltre, che

tale energia può porsi sotto forma 2e VC21W ⋅= , essendo

dSC ⋅ε= la capacità del condensatore.

Esercizio 9 Dato il campo elettrico descritto dal vettore ( ) ( ) ŷztsint,r ⋅β−ω⋅ε=ε trovare, nel vuoto, o nello spazio libero, i vettori D ( )t,r , H ( )t,r , B ( )t,r .


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ESERCITAZIONE 2 Polarizzazione Riferimento: lezione 10 Testi Esercizio 1

Calcolare il fasore corrispondente al campo: ( ) ( ) ẑ6

tcos2ŷ4

tsin3x̂tcos2t,r

π−ω−

π+ω+ω=ε

Esercizio 2 Calcolare il campo elettrico associato al fasore: ( ) ẑŷ5x̂j36E −++= . Esercizio 3 Disegnare a periodi di 8

T l’andamento nel tempo del seguente campo:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ω−−ω+=ε

+=tsinx̂3ŷtcosŷ3x̂t,r

x̂j1E

Esercizio 4 Studiare la polarizzazione dei seguenti campi:

( )x̂j1E += ( ) ( ) ( ) ( )tsinx̂3ŷtcosŷ3x̂H ω−−ω+=

( )ŷj3x̂2E ++= Nel caso di polarizzazione ellittica, decomporre il campo nella somma di due polarizzazioni circolari ruotanti in senso opposto, indicandone anche l’espressione temporale. Esercizio 5 Al variare del parametro M determinare la polarizzazione del campo descritto dal fasore

( ) ( )[ ]ŷejMjex̂eMeEE zjkzjkzjkzjk0 2121 −−−− ⋅−+⋅+⋅= Esercizio 6 Studiare la polarizzazione del campo descritto dal fasore x̂j4ẑ4ŷjx̂E +++= . Nel caso di polarizzazione ellittica, determinare i diametri principali e decomporre il campo nella somma di due polarizzazioni circolari ruotanti in senso opposto. Esercizio 7 Studiare la polarizzazione del campo:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]ẑtsin2ŷtsintcos3x̂tsintcos2MtE ω−ω+ω+ω−ω= . Nel caso di polarizzazione ellittica, decomporre il campo in una somma di due polarizzazioni circolari ruotanti in senso opposto.


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Esercizio 8 Scoporre il fasore: x̂E = in due polarizzazioni ruotanti in senso opposto. Soluzioni Esercizio 1 Si ricordi che, dato il campo ( )t,rE , il fasore ''' EjEE += ad esso associato si ottiene applicando

( ) { } ( ) ( )[ ]tsenEtcosEeEt,rE '''tj ω⋅−ω⋅=⋅ℜ= ω . Applicando le seguenti proprietà:

( ) β⋅α+β⋅α=β+α sencoscossensen ( ) β⋅α−β⋅α=β+α sensencoscoscos

all’espressione temporale del campo ( )t,rE , si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

π⋅ω+

π⋅ω−

π⋅ω+

π⋅ω+ω= ẑ

6sentsen

6costcos2ŷ

4sentcos

4costsen3x̂tcos2t,rE

( ) ( )tsenẑŷ223tcosẑ3ŷ

223x̂2 ω⋅

−⋅+ω⋅

+⋅+=

per cui:

( )

−⋅−

+⋅+=+= ẑŷ

223jẑ3ŷ

223x̂2EjErE '''

ed infine:

( ) ẑ3ŷ223x̂2rE' +⋅+=

( ) ẑŷ223rE '' +⋅−=

E’ possibile inoltre seguire un metodo alternativo, ricordando che, dato un campo nel dominio del tempo, il corrispondente fasore si ottiene operando la seguenti sostituzioni:

( )( )

( )( ) ϕ

ϕ

−→ϕ+ω→ϕ+ω

−→ω→ω

j

j

jetsenetcosjtsen

1tcos


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ESERCITAZIONE 3 Onde piane Riferimento: lezioni 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13 Testi Esercizio 1 In un’onda piana nel vuoto il campo elettrico all’istante 0t = ha l’andamento di figura:

Determinare: a) Il valore massimo della densità di energia elettromagnetica e della densità di potenza, b) L’energia elettromagnetica associata all’onda per unità di superficie

Dati: mkV1eM = , m20z =∆ .

Esercizio 2 Un’onda piana nel vuoto è descritta dal campo elettrico: ( ) ( ) mVx̂ztcos50t,z ⋅β+⋅ω⋅=ε . Calcolare la potenza media che attraversa un’area circolare di raggio m5.2r = . Esercizio 3 Scrivere l’espressione del campo elettrico E di un’onda piana polarizzata linearmente nel piano xy, inclinata di un angolo o30=α con l’asse x, che si propaga lungo l’asse z, con:

( )( ) ( ) mV50,0Et,zEmax == . Esercizio 4 Scrivere l’espressione del fasore E di un’onda piana con polarizzazione circolare antioraria che si propaga lungo l’asse z, con:

mmV5E =

ŷ//E in 0t = , 0z = .


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Esercizio 5 Individuere il tipo di onda piana corrispondente alle seguenti costanti di propagazione:

ẑ2ŷx̂7k ++= ( ) ( )ẑj1ŷj1x̂2k −+++=

( ) ẑŷjx̂j3k +−+= ( ) ( )ẑj12x̂j1k −++−=

Esercizio 6 Calcolare α in modo tale che i fasori seguent siano associati ad onde piane, ed individuere il tipo di onda piana ottenuta.

( ) ( ) ( ) rẑx̂j2eẑŷj2x̂3rE ⋅α+−⋅−+= ( ) ( )( ) ( ) rẑx̂jeẑj1ŷj2x̂3rE ⋅α+−⋅−−+=

Esercizio 7 Calcolare l’impedenza intrinseca, la costante di propagazione e la velocità d’onda per un mezzo conduttore nel quale m

MS58=σ e 1r =µ ad una frequenza MHz100f = .

Esercizio 8 Calcolare k alle frequenze: Hz100f1 = , KHz10f2 = e GHz10f3 = in acqua di mare

( mS5=σ , 80r =µ ).

Esercizio 9 Calcolare per quali valori di frequenza la terra può essere considerata un dielettrico perfetto, sapendo che m

S105 3−⋅=σ , 1r =µ ed 8r =ε . Dire se a tali frequenze si può assumere 0=α .


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ESERCITAZIONE 4 Onde piane Riferimento: lezioni 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13 Testi Esercizio 1 Dato il fasore del camp elettrico: x̂eEE zjk0 0

−⋅= , calcolare il fasore del campo magnetico. Esercizio 2

Data l’onda piana individuata dal fasore di campo elettrico: ( ) yjk0eẑj21x̂z,y,xE −⋅

−= trovare il

fasore del campo magnetico ( )z,y,xH ed il campo elettrico istantaneo ( )t,z,y,xε per T43t = ,

essendo T il periodo temporale. Esercizio 3

Data l’onda piana omogenea con: ( )mVẑŷjx̂30E +−= che si propaga in modo che la sua fase

decresca lungo ẑ+ , calcolare ( )PE , ( )PH e Σd

dP nel punto ( )m6,2,3P −= . Dati: GHz1f = , 0=σ , 2r =ε . Esercizio 4 Data un’onda piana con il fasore 0E del campo elettrico nell’origine che vale ẑjŷj2x̂3E0 −+= determinare l’espressione di ( )rE , sapendo che 4r =ε , GHz10f = . Esercizio 5 Noto il fasore di un’onda piana omogenea nell’origine( 0r = ):

( ) ( ) ẑj21ŷj1

21x̂j

210E

−+−+

−=

calcolare ( )rE , sapendo che MHz50f = , 4.0tg =δ , 5r =ε . Esercizio 6 Nel punto ( )1,1,2P −= il campo elettrico associato ad un’onda piana assume il seguente valore:

( ) ( )

π−ω⋅−

π+ω⋅−ω=ε ẑ

4tcos22ŷ

4tcos2x̂tcost .

Scomporre il fasore associato a tale campo in 2 polarizzazioni circolari ruotanti in verso opposto e calcolare il fasore del campo magnetico nel punto ( )10,10,0P = sapendo che MHz100f = .


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Esercizio 7 Calcolare la costante di propagazione, la profondità di penetrazione e la velocità d’onda per una frequenza MHz6.1f1 = nell’alluminio, per il quale m

S2.38=σ , 1r =µ .

Esercizio 8 Un’onda piana omogenea si propaga in un mezzo con perdite. Calcolare la distanza (normalizzata rispetto a 0λ ) alla quale l’ampiezza del campo elettrico si è ridotta di 20 dB. Dati: 2.0tg =δ ,

5r =ε .


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ESERCITAZIONE 5 Riflessione di onde piane su superfici di discontinuità, incidenza normale ed obliqua. Riferimento: lezioni 7,8,12,13,14,15. Testi Esercizio 1 Calcolare le ampiezze dei campi elettrici e magnetici riflessi sull’interfaccia di figura, essendo

mV105.1E 3i0

−⋅= nella regione 1, per la quale 5.81r =ε , 11r =µ , 01 =σ . L argione 2 è costituita

dal vuoto. L’incidenza è normale.

Esercizio 2 In corrispondenza dell’interfaccia tra la regione 1 e 2, il campo incidentenella regione 1 (incidenza normale) vale: m

V0.1Ei0 = . Noto mA1041.1H 3r0

−⋅−= , trovare 2rµ , sapendo che la regione 1 è

costituita dal vuoto, mentre nella regione 2 5.182r =ε , 02 =σ . Esercizio 3 Un acmpo elettrico che ha ampiezza m

V0.1Ei0 = nello spazio libero, incide normalmente su acqua

di mare, per la quale 80r =ε , 1r =µ , mS5.2=σ .

Alla frequenza MHz30f = , a quale profondità l’ampiezza del campo vale mmV0.1E t0 = ?


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Esercizio 4 Un campo elletrico che si sposta nel vuoto, di ampiezza m

V100Ei0 = , colpisce un foglio d’argento

dello spessore m5s µ= . Assumendo per l’argento mMS7.261=σ , alla frequenza MHz200f = ,

trovare le ampiezze del campo elettrico a destra e a sinistra delle due interfacce. Esercizio 5 Mostrare come varia la densità di potenza riflessa per incidenza normale su un plasma, sapendo che

per tale materiale ω

ω−=ε

2p

r 1 nella banda [ ]MHz7,MHz2f ∈ , supponendo che il plasma in esame sia caratterizzato MHz4fp = . Esercizio 6 Data l’onda piana che incide obliquamente sull’interfaccia di figura, sapendo che per l’onda incidente 2i m

W1S = e zy EE = , calcolare le componenti di campo incidente lungo x, y e z in

modulo. Calcolare inoltre le componenti di campo riflesso e mostrare che la polarizzazione del campo riflesso è lineare. Dati: o30=θ , 11r =ε , 11r =µ , 12r =ε , 32r =µ .


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Esercizio 7 Si consideri un’onda piana omogennea incidente sull’interfaccia dielettrica di figura. Il campo eletrico nell’origine vale: ( ) ( ) ( )[ ]ẑx̂3jẑŷ2x̂3E0E 0 −+−+⋅= . Calcolare il campo elttrico riflesso nel punto ( )cm10,0,1P −= . Dati: GHz20f = , 11r =ε , 62r =ε .

Esercizio 8 Un’onda piana incide sulla struttura di figura con campo incidente che vale ( ) ( )bzaxjk0inc 0eE0E +⋅−⋅= , dove ŷEE 00 ⋅= . Calcolare il campo magnetico totale riflesso all’interfaccia.

Dati: GHz10f = , 11r =ε , 82r =ε , 23a = .


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Esercizio 9 Un’onda piana omogenea incide sulla struttura di figura con ( ) ( )bzaxjk0inc 0eH0H +⋅−⋅= , calclolare il campo elettrico longitudinale zE in ( )−== 0z,0x e ( )+== 0z,0x . Dati: GHz10f = , 11r =ε , 72r =ε , 2

1a = .


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ESERCITAZIONE 6 Riflessione e trasmissione di onde piane incidenti su mezzi stratificati. Riferimento: lezioni 7,8,12,13,14,15. Testi Esercizio 1 Alla frequenza MHz30f = un’onda pian omogenea polarizzata ellitticamente incide dell’aria su un dielettrico piano caratterizzato da 4r =ε , 1r =µ , formando con la supericie di discontinuità un angolo o45i =θ . Le componemti trasversali del campo incidente sono:

( )zcosxsenjk0

ix

ii0eEjE ϑ+ϑ⋅−⋅= ( )zcosxsenjk

0iy

ii0eE5.2E ϑ+ϑ⋅−⋅⋅=

dove mmV10E0 = e 0k è la costante di propagazione nel vuoto.

Determinare: • Le componenti ixE ,

ixH ,

iyH ,

izH ;

• Il rapport di potenza tra la potenza incidente e quella trsmessa che attraversa 2 superfici piane di area 2m1 parallele al piano xy e centrate in ( )4,7,5P1 −= e ( )4,5,4P2 −= .


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Esercizio 2 Sullo strato dielettrico di figura, con costante dielettrica relativa rε , incide un’onda piana polarizzata circolarmente in snso orario per un osservatore che vede l’onda arrivare. Il valore efficace del campo elettrico incidente vale 0E , l’angolo di incidenza iϑ e lo spessore del dielettrico

i2

r

0

sen4d

ϑ−ε

λ= , essendo 0λ la lunghezza d’onda nel vuoto.

Scrivere il fasore dell’onda piana trasmessa nella regione dz > .

Esercizio 3 Si consideri un’onda piana omogenea polarizzata circolarmente che incide sulla struttura stratificata di figura. Progettare lo strato dielettrico (calcolare 2rε e d ) in modo tale che il campo elettrico riflesso sia polarizzato linearmente lungo ẑ . Dati: GHz25f = , 11r =ε , 42r =ε ,

o45i =ϑ .


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Esercizio 4 Si considera un’onda piana omogenea che incide sulla struttura stratificata di figura. Calcolare: • Il campo elettrico riflesso in −= 0z ; • I campi ellettrico e magnetico trasmessi nella regione 3, in += dz .

La regione 2 presenta perdite ( 2.0tg =δ ) ed è spessa 10

d 0λ

= , essendo 0λ la lunghezza d’onda del

vuoto. Dati: GHz25f = , 11r =ε , 5.22r =ε , 43r =ε ,

o60i =ϑ .

Esercizio 5 Calcolare il campo elettrico riflesso dalla struttura di figura, costituita da uno strato dielettrico depositato su un metallo non perfettamente conduttore, con resistenza superficiale sR . Il campo incidente è un’onda piana omogenea.

Dati: 4r =ε , o45i =ϑ , 2

d 0λ

= , Ω= 10R s .


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ESERCITAZIONE 7 Riepilogo su • Equazioni di Maxwell • Vettori complessi e polarizzazione • Onde piane • Mezzi stratificati Riferimento: lezioni 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15. Testi Esercizio 1 Calcolare la resistenza dell’isolamento per un cavo coassiale di lunghezza l , conduttore cilindrico interno di raggio a e conduttore cilindrico esterno di raggio b , conduttività del dielettrico di riempimento σ .

Esercizio 2 Calcolare il modulo della densità di corrente elettrica eJ introdotta all’interfaccia dielettrica A della struttura di figura. Dati: GHz25f = , 11r =ε , 122r =ε , 05.0tg =δ ,

o45i =ϑ , ( ) ŷH0,0H 0inc = , mA02.0H0 = .


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Esercizio 3 (accertamento 09/05/1996 – esercizio 1) Scrivere l’espressione del fasore E di un’onda piana con polarizzazione circolare oraria che si

propaga nel vuoto lungo l’asse z con E parallelo ad y in 2Tt = , 0z = . Calcolare il campo

magnetico istantaneo associato a tale campo elettrico. Esercizio 4 (accertamento 09/05/1996 – esercizio 2) Un’onda piana omogenea nel vuoto ha campo magnetico nel punto O descritto dal fasore

( ) ( )( )ẑ2ŷj31x̂jHOH 0 +−+= ed ha fase decrescente lungo y+ . Determinare: • La direzione di propagazione n e la polarizzazione di ( )OH ; • Il valore del campo elettrico istantaneo nel punto

41ẑŷ2x̂6P 0

−+λ= all’istante T43t = .

Esercizio 5 (accertamento 09/05/1996 – esercizio 3) Un’onda piana omogenea ha campo elettrico nell’origine descritto dal fasore ( )ẑ4ŷjx̂4E +−= . Studiarne la polarizzazione nell’origine. Nel caso di polarizzazione ellittica, scomporla in 2 polarizzazioni circolari ruotanti in verso opposto. Sapendo che tale onda si propaga in un mezzo con piccole perdite con fase decrescente lungo x ( 3r =ε , 1.0tg =δ ) ricavare l’espressione dei campi elettrico e magnetico nel punto ( )3,2,2P , alla frequenza GHz1f = . Esercizio 6 (accertamento 09/05/1996 – esercizio 4) Sia data un’onda che incide sulla struttura di figura. Sapendo che il campo riflesso nella sezione di discontinuità vale ( )( )ẑaŷx̂beEE bzaxjk0rrifl 0 ++= −− calcolare il modulo del campo magnetico totale nell’origine, a sinistra e a destra della discontinuità. Dati: 11r =ε , 2.22r =ε , 5.0a = , m

V10E 30r−= .


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Soluzioni Esercizio 1

πσ=

abln

l21R

Esercizio 2 Il campo trasmesso in += 0z vale: m

V397.4E' = .

La densità di corrente eccitata sull’interfaccia vale: 2'

mA76.1EJ =σ= .

Esercizio 3

[ ] jkz0 eŷx̂jEE −+−= Esercizio 4

La polarizzazione è ellittica, la direzione di propagazione è data da: 41

ẑŷ2x̂6n̂ −+= ;

Inoltre ( )41

ẑ20ŷx̂3ZT43,P 0

++=ε .

Esercizio 5

2ẑŷj2x̂ê0

++=

2ẑŷj2x̂êa

+−=

si ha: aa00 êEêEE += , dove:

+=

−=

228E

228E

a

0


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ESERCITAZIONE 8 Ripasso sulle linee di trasmissione e sulle matrici scattering Riferimento: lezioni 16,17,18,31. Testi Esercizio 1 Calcolare la tensione massima e minima nel tratto BC. Dati: W1Pinc = , Ω=∞ 50Z , ( )Ω+= j100100ZL , λ= 4BC .

Esercizio 2 Nel circuit di figura il tratto di linea ha piccole perdite con attenuazione nominale per unità di lunghezza dBα . Calcolare il rapporto tra la potenza dissipata sul carico e quella massima che si potrebbe avere sul medesimo con un sistema di adattamento.

Dati: ( )Ω+= j40100Zg , Ω= 150ZL , Ω=∞ 50Z , λ= 5.37AB , m1=λ , mdB1.0dB =α .


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Esercizio 3 Dato il circuito di figura progettare l’adattatore ad L in modo da avere il massimo trasferimento di potenza sul carico. Si utilizzino tratti di linea di impedenza caratteristica ∞Z e si realizzi lo stub di tipo induttivo, in circuito aperto. Dati: ( )Ω+= j2550Zg , ( )Ω−= 80j60ZL , Ω=∞ 100Z .

Esercizio 4 Data la rete in figura, determinare gV in modo che sul carico si abbia una potenza W3P = .

Dati: Ω= 30Zg , Ω= 120ZL , Ω=∞ 80Z , λ= 5.8AB , m5.0=λ , mdB2.0dB =α .

Esercizio 5 Calcolare la matrice scattering per la struttura di figura con impedenza di riferimento ∞= ZZri a tutte le porte. Dati: Ω=∞ 50Z , Ω=∞ 75Z 1 , 4AB

λ= , λ= 43BC , 8BD

λ= .


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ESERCITAZIONE 9 Propagazione guidata in linea d’onda rettangolare Riferimento: lezioni 18,19,20,21,22,23. Testi Esercizio 1 Data una guida d’onda di sezione rettagolare, determinare le frequenze di taglio dei primi modi di propagazione nei 2 seguenti casi: 1) 2

ab > ;

2) 2ab < .

Esercizio 2 Si voglia utilizzare una guida d’onda rettangolare nella banda [ ]GHz9,6 ; determinare le dimensioni massime e minime per avere propagazione del solo modo fondamentale. Scelte come dimensioni quele intermedie fra le massime e le minime, determinare l’attenuazione del primo modo superiore sottotaglio alla frequenza di GHz8 . Esercizio 3 Data una guida rettangolare WR90 (dimensioni 0.4”×0.9”, banda di frequenza 8.2÷12.4GHz), si calcolino per il modo fondamentale alla frequenza di GHz5.9 le seguenti grandezze caratteristiche:

cf , cλ , tZ , gλ , nell’ipotesi che il dielettrico interno alla guida sia: • aria ( 1r =ε , 1r =µ ) • poliestere ( 5.2r =ε , 1r =µ ) Esercizio 4 Determinare le 4 frequenze di taglio inferiori riferite all frequenza di taglio del modo fondamentale nei 3 seguenti casi: • 1a

b = ;

• 5.0ab = ;


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• 31

ab = .

Se cm3a = , trovare i modi che si propagano alla frequenza di MHz9000 nei 3 casi. Esercizio 5 Una guida d’onda rettangolare è alta cm2 e larga cm4 . Nel caso in cui il dielettrico che la riempie sia aria, assumendo modo di funzionamento TE, determinare: • il modo fondamentale; • la lunghezza d’onda guidata, la velocità di fase, la velocità di gruppo del modo fondamentale

ad una frequenza superiore del 20% della frequenza di taglio del modo fondamentale. Esercizio 6 Una guida d’onda rettangolare di dimensioni cm5a = e cm5.2b = è riempita di aria. Ad una frequenza di eccitazione GHz4f = trovare una costante di propagazione dei modi 10, 01, 20, 11, 02, 55. Esercizio 7 Si consideri una guida rettangolare di dimensioni cm2a = e cm1b = , riempita di aria. Trovare il modo con la frequenza di taglio inferiore e determinare per questo fv , β , gλ , tZ . Scrivere le espressioni dei fasori dele 6 componenti del campo. Esercizio 8 Data una guida d’onda rettangolare avente 2

ab < , valutare, per il modo fondamentale, in funzione

della frequenza, le seguenti grandezze: β , α , fv , gv , gλ , tZ ; valutare inoltre per i modi 20TE ,

01TE , 11TE , 11TM la costante di propagazione longitudinale e l’impedenza caratteristica. Isegnare in funzione della frequenza le grandezze precedentemente calcolate. Esercizio 9 Data una guida d’onda rettangolare con ba > , trovare il legame tra la massima potenza trasportata dalla guida ed il campo massimo in condizioni di adattamento. Si assuma funzionamento monomodale. Esercizio 10 In una guida WR90 il campo di scarica vale m

MV3E b = . Trovare la massima potenza

trasportabile nella banda di utilizzo della guida. Esercizio 11 Data una guida rettangolare con a4.0b = , scegliere a in modo che: • la guida sia monomodale da GHz5.2f1 = a GHz4f2 = ; • sia minima la variazione della velocità di gruppo nella banda [ ]21 f,f .


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Esercizio 12 Progettare una guida rettangolare che • abbia massima banda di monomodalità • sia monomodale nella banda [ ]21 f,f in modo che

1. il primo modo superiore abbia almeno attenuazione cmdB10dB =α su tutta la banda;

2. la guida possa trasmettere una potenza kW100P = in condizioni di adattamento, sapendo che il campo di scarica nel dielettrico è m

MV2E b = .

Dati: GHz7f1 = , GHz12f2 = . Esercizio 13 Dimostrare, valutando esplicitamente l’integrale, che per 2 modi TE distinti, in guida rettangolare, si ha:

0dSẑheS

* =⋅×∫∫ dimostrare inoltre che la precedente affermazione è valida anche per un modo TE ed un modo TM.

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