Stato tensionale litostatico -...

Stato tensionale litostatico

Per stato tensionale litostatico (o geostatico)si intende quello un sottosuolo indefinito a piano limite orizzontale (semispazio)

soggetto al solo peso proprio (forza di massa Wz = peso unità di volume γ).

Ipotesi: geometria e peso eventualmente variabili con z, ma indipendenti da x,y.

Sottosuolo omogeneo

Condizioni di simmetria indefinita (piana e radiale)

⇓ lo stato tensionale non varia in direzione orizzontale [σij ≠ f(x,y), σij = f(z)] ogni verticale è asse di simmetria e quindi direzione principale per σ e ε (τxz=τzy=γxz=γzy=0) ogni orizzontale è direzione principale

x

y

z

γiγ

Sottosuolo stratificato

Tensioni nel sottosuolo

1

0

0 ( ) (0) z

zz zz dz

z∂σ γ σ σ γ∂

− = ⇒ = + ∫

( )v z zσ γ=1 1

1 1( ) ( )

n n

v i i n iz h z hσ γ γ− −

= + −∑ ∑

III equazione indefinita di equilibrio:

[σz (0) è la tensione verticale imposta sul piano limite (condizione al contorno)]

Stato tensionale litostatico: tensioni totali verticali

Sottosuolo omogeneo (γ = costante)

Sottosuolo stratificato (γ = costante a tratti)

γ

γ

1

γ1

1γnγn

1

Ponendo σz=σv e assumendo per semplicità il piano limite scarico [σv(0)=0]:

γ1

z z

σv σv


2

wzγ

Se è presente una falda in quiete da profondità z = zw (pelo libero):

Tensioni litostatiche efficaci verticali

In ipotesi di sottosuolo omogeneo, per definizione di tensione efficace:

p. c.

p. l. f. wz

( )zvσ( )zu( )zvσ′

vv u σ′σ ,,

z

[ ]' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( )v v w sat w w w w wz z u z z z z z z z z zσ σ γ γ γ γ γ= − = + − − − ≡ + −

● per z < zw ⇒ le tensioni verticali efficaci (σ’v) coincidono con quelle totali (σv=γz) ● per z > zw ⇒ u(z) = tensioni idrostatiche, σv (z) = tensioni totali calcolate con γ = γsat

1

γ1

Il peso dell’unità di volume immerso in acqua rappresenta quindi l’incremento di tensione efficace verticale per unità di profondità


3

( )1 0 (1 ) 1h h h v h v h vEνε σ ν σ σ σ ν νσ σ σν

= − + = ⇒ − = ⇒ = −

uzz vv −σ=σ )()('

NB: le equazioni di equilibrio sono insufficienti per ottenere le tensioni orizzontali!

Inconvenienti: difficoltà di misura di ν, ambiguità tensioni totali/efficaci

Tensioni litostatiche efficaci orizzontali

Razionale (ipotesi di mezzo elastico)

dalle relazioni di Navier + condizioni di simmetria indefinita (εh = εx= εy=0):

Empirico (dall’evidenza sperimentale)

si esprime la tensione orizzontale efficace σ‘h(z) in funzione di σ‘v(z) mediante un parametro empirico,il coefficiente di spinta a riposo k0 (misurabile in sito o in laboratorio, o esprimibile mediante correlazioni)

Procedura:

( )zvσ( )zu

hvhv u σ′σ′σσ ,,,,

( )h zσ

Approcci possibili:

z

( )v zσ ′( )h zσ ′

∑∑−−

−γ+γ=σ1

1

1

1)()(

n

in

n

iiv hzhz

)(')(' ,0 zkz vih σ=σ

uzz hh +σ=σ )(')(


4

0 00

( ) ( ) = ( )z

v v v vz q z q dz zσ σ γ σ σ= + = + + ∆∫

Caso generale (III equazione indefinita di equilibrio + condizione εx = εy = 0)

Stato tensionale indotto da carico superficiale indefinito

Schema: semispazio sottoposto a sovraccarico uniforme (σz(0) = q)

x

yz

q

γ

( )

( ) ( ) 1

v

h

z q z

z q z

σ γνσ γν

= +

= +−

Caso di sottosuolo omogeneo (peso unità di volume γ = costante)

In termini di incrementi di stato tensionale efficace, si sostituisce γ’ a γ e k0 a 1νν−

[ ]0 00

( ) ( ) = ( )1 1

z

h v h hz q z q dz zν νσ σ γ σ σν ν

= + = + + ∆ − −

∫

( )zvσ( )zhσ

( )zhσ


5

[ ]21 1 1 1 2( ) 2 2

1 1v v

z z x y v h v vedE E E E E

σ σν ν νε σ ν σ σ σ ν σ σ ν σν ν

∆ ∆− − = ∆ − ∆ + ∆ = ∆ − ∆ = ∆ − ∆ = = − −

Incrementi di deformazione prodotti dal sovraccarico (solo εz sono ≠ 0)

avendo posto

NB: nel mezzo elastico ideale Eed > E , risultando: ν→ 0 ⇒ Eed → E ν→ 0.5 ⇒ Eed →∞

Deformazioni indotte da carico superficiale indefinito

= modulo di compressione edometrica

(altrimenti detto Mv = modulo di compressione unidimensionale)

q

γ

zε( )zvσ

( )zhσ

( )zhσ

x

yz

2

11 2edE E ν

ν ν−

=− −


6

2

2 3

2

3

5

2

5

3 (1 2 )2

(1 2 )2

3232

r

z

rz

F r z RR R R z

F z RR R R z

F zR

F rzR

θ

νσπ

νσπ

σπ

τπ

−= − − + +

− = − − +

= =

Stato tensionale indotto da sovraccarico concentrato

Schema: semispazio caricato da forza concentrata F, assenza di peso (γ = 0)

⇒ coordinate cartesiane

sistema (r,z,θ)⇓

σr , σθ = f(r,z,ν)σz , τrz = f(r,z)

2 2

5 3 2 3

2 2

5 3 2 3

3

5

2

5

2

5

5 3 2

3 1 2 1 (2 )2 3 ( ) ( )

3 1 2 1 (2 )2 3 ( ) ( )

3232323 1 2 (2 )2 3 ( )

x

y

z

xz

yz

xy

F x z R z x zR R R z R R z R

F y z R z y zR R R z R R z R

F zR

F xzR

F yzR

F xyz R z xyR R R z

νσπ

νσπ

σπ

τπ

τπ

ντπ

− + = − − + + + + − + = − − + + + +

=

=

=

− += −

+

sistema (x,y,z)⇓

σx , σy , τxy = f(x,y,z,ν) σz , τxz , τyz = f(x,y,z)

zσ

xσ

yσ

r

R

θF

x

y

z

Soluzione di Boussinesq⇓

problema assialsimmetrico⇓

coordinate cilindricheθσ

rσ

zσ

rzτ

z

2 2

2 2 2 2 2

arctan( / )

r x y

R r z x y zy xθ

= +

= + = + +

=

y


7

2

4

2

3

4

2

4

2

2( )

2

2

x

y x z

z

xz

p x zR

p zR

p zR

p xzR

σπ

νσ ν σ σπ

σπ

τπ

=

= + = = =

Semispazio soggetto a sovraccarico lineare

Problema a simmetria piana (εy=0) ⇒ coordinate cartesiane

sovraccarico lineare p = [F/L]

p

22 zxR +=

P0

,Eγν= , , ( , )z p z Fd pdy Pσ σ

+∞

−∞

= ∫

La soluzione è ottenuta per sovrapposizione ed integrazioni

della soluzione per carico concentrato:

Anche in questo caso risulta:

σy = f (p,x,z,ν) σx , σz , τxz = f (p,x,z)

dy

cioè le tensioni nel piano dipendono solo da sovraccarico e coordinate del punto


8

0

25

50

75

100

0 0.5 1 1.5 2

tens

ione

[kN

]

x [m]

σxσyσzτxz

p = 100 kN/mz = 0.1 m

0

25

50

75

100

0 0.5 1 1.5 2

tens

ione

[kN

]

x [m]

σxσyσzτxz

p = 100 kN/mz = 1 m

Profili orizzontali di tensioni indotte da carico lineare

Caso ν = 0.25

In prossimità della superficie, tutte le componenti:

• diventano infinitamente elevate in prossimità del punto d’applicazione del carico

• tendono ad annullarsi rapidamente con la distanza

All’aumentare della profondità:

• le componenti lungo x (σx e τxz) si annullano in asse,poi aumentano e diminuiscono con la distanza

• le componenti σz e σy sono massime in asse,poi diminuiscono con la distanza


9

Profili orizzontali di tensioni indotte da carico lineare

Caso ν = 0.25

A distanza dal carico, tutte le componenti:

si annullano in superficie

aumentano e poi diminuiscono con la profondità

In asse al carico:

le componenti lungo x (σx e τxz) si annullano

le componenti σz e σy sono infinite in superficie,poi diminuiscono con la profondità

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 20 40 60 80 100

z [m

]tensione [kN]

σxσyσzτxz

p = 100 kN/mx = 0 m

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 20 40 60 80 100

z [m

]

tensione [kN]

σxσyσzτxz

p = 100 kN/mx = 1 m


10

1

0

, , ( , )z q z pd p rd Pθ

θ

σ σ θ= ⋅∫Anche in questo caso risulta:

Semispazio soggetto a sovraccarico nastriforme

La soluzione è ottenuta per sovrapposizione ed integrazioni della soluzione per carico lineare:

σy = f(P, ν) σx , σz , τxz = f(P)

1θθ0θ

[ ]

[ ]

sin cos( 2 )

2( )

sin cos( 2 )

sin sin( 2 )

x

y x z

z

xz

q

q

q

q

σ α α α δπ

σ ν σ σ α νπ

σ α α α δπ

τ α α δπ

= − + = + = ⋅ = + + = +

carico nastriforme q = [F/L2]

q

Pν=γ,E

0α δ

r

cioè le tensioni nel piano dipendono solo da sovraccarico e coordinate del punto

P

q p r dθ= ⋅ ⋅


11

[ ]

[ ]

3

2

1

sin

2( )

sin

0

x

y x z

z

xz

q

q

q

σ α α σπ

σ ν σ σ α ν σπ

σ α α σπ

τ

= − = = + = ⋅ =

= + = =

Distribuzione delle tensioni in asse

• gli incrementi di tensione sono esprimibili in forma adimensionale: σ/q = f(z/B)

• si estinguono ad una distanza proporzionale a B (p.es. risulta σz < 0.2q per z ≈ 4B)

• la componente σx si estingue più rapidamente della σz

2arctan2Bz

α =

Per x = 0 risulta α+2δ = 0:

e poiché è anche

0

1

2

3

4

5

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

σ/q

z/B

σx

σz

σy


ν = 0.25


12


1.La distribuzione di σz su piani orizzontali si appiattisce all’aumentare della profondità

2.Le aree dei diagrammi sono costanti

zdx qBσ+∞

−∞

=∫

•Considerazioni sull’equilibrio alla traslazione verticale


13

Distribuzioni con la profondità degli incrementi di tensione verticaleal variare della distanza dall’asse

All’aumentare della distanza:• l’incremento in superficie ‘salta’ da q a 0.5q a 0• gli incrementi in profondità tendono ad uniformarsi

e poi anche a crescere al di fuori della fondazione

Semispazio soggetto a sovraccarico nastriformeTensioni nel sottosuolo

14

Isolinee (isobare) di incrementi di tensioni principali massime (σ1) e minime (σ3)

• Entrambe le tensioni principali nel piano diminuiscono con la distanza• Le tensioni minime (σ3) si attenuano più velocemente di quelle massime (σ1)


15


16

Direzioni di tensioni tangenziali massime (max) e principali (1, 3)

max 31,

• Si osserva una rotazione continua di 90° delle direzioni principali e delle max

• Dall’asse della fondazione verso la superficie, 1 da verticale diventa orizzontale


Isobare di tensioni tangenziali massime 1 3max 2

σ στ −= e tensioni verticali σz

• Le tensioni tangenziali massime aumentano e poi diminuiscono con la distanza• Ciò dipende dalla variazione combinata delle tensioni principali massime (τ ∝ σ1 - σ3)


17

B/2B/2

q

q = 100 kPa

B = 2 m

Modello Elastico

E = 15 MPaν = 0.33

Codice Plaxis V.8

Semispazio soggetto a sovraccarico nastriforme: analisi FEMTensioni nel sottosuolo

18

∆σz

∆σx

σz0+∆σz

σh0+∆σh

Isocontorni FEM di tensione verticale e orizzontaleTensioni nel sottosuolo

19

∆p p0+∆p

∆q q0+∆q

Isocontorni FEM di tensione media p e deviatorica qTensioni nel sottosuolo

20

2

0 0

( , , ) R

q Fd q rd dr rπ

σ σ θ θ= ⋅ ⋅∫ ∫

( )

( )

3

2 2 32 2

3

32 2

2(1 )(1 2 )2

1

0

h x y

v z

xz zy yz

q z zR z R z

zqR z

νσ σ σ ν

σ σ

τ τ τ

+ = = = + − + + +

= = − +

= = =

Problema a simmetria radiale ⇒ coordinate polareLa soluzione è ottenuta per sovrapposizione ed integrazioni della soluzione per carico concentrato:

• In asse (r=0), gli incrementi di tensione valgono:

Anche in questo caso risulta:σh = f(P, ν) , σv = f(P)

Semispazio soggetto a sovraccarico circolare

Pz

R

drrdq ⋅θ⋅

θrd dr

θd

r


21

Semispazio soggetto a sovraccarico circolare

Isobare degli incrementi di tensione verticale σv :

v

qσ

a parità di larghezza (R = B/2),gli incrementi di tensione si attenuano più rapidamente

rispetto alla fondazione nastriforme


22

2 23 3 1 2

1 1arctan2zq BL BLz

zR R R Rσ

π

= + +

2 21

2 22

2 2 23

R B z

R L z

R B L z

= + = +

= + +

Soluzione di Steinbrenner (1934):

dove:

Semispazio soggetto a sovraccarico rettangolare - I

Tensioni verticali lungo uno spigolo di un’area rettangolare di carico


23

(ABCD) (AQPD) (QBCP)zP zP zPσ σ σ= +

(ABCD) (AQPT) (QBRP) (PRCS) (TPSD)zP zP zP zP zPσ σ σ σ σ= + + +

Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, lungo una verticale di bordo (sovrapposizione di 2 aree rettangolari è possibile ottenere le

tensioni verticali in un generico punto:

• lungo una verticale interna (sovrapposizione di 4 aree rettangolari)

Semispazio soggetto a sovraccarico rettangolare - II

(ABCD) (AQPT) (BQPS) (DRPT) (CRPS)zP zP zP zP zPσ σ σ σ σ= − − +

• lungo una verticale esterna (sovrapposizione di 4 aree rettangolari)


24

=γ−∂∂σ

+∂∂τ

=γ+∂∂τ

+∂∂σ

0icoszx

0isenzxzxz

xzx

2

sen 0 sen sen cos

cos 0 cos cos

xzxz

zz

i z i h i iz

i z i h iz

∂τ γ τ γ γ∂∂σ γ σ γ γ∂

+ ⋅ = ⇒ = − ⋅ ⋅ ≡ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⇒ = ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅

Schema: piano limite scarico e inclinato di un angolo i sull’orizzontale

Considerando che nè σx nè τxz dipendono da x e che z = h cos i:

(ottenibili anche direttamente dall’equilibrio del prisma di terreno)

I e III equazioni indefinite dell’equilibrio:

Stato tensionale in un pendio indefinito

z

xi

i

11cos

Ai

=

hh cosz h i= ⋅h⋅γ

zx Aτ ⋅

z Aσ ⋅

ihγ ⋅

h seniγ ⋅ ⋅

cosh iγ ⋅ ⋅

zσxσzxτ


25

Esprimendo il legame tra componenti orizzontali e verticali in termini di tensioni efficaci,

il rapporto viene sostituito dal coefficiente di spinta a riposo k0

2... cos cos1 1x z i h iν νσ γ γ

ν ν= = ⋅ ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅ ⋅

− −

1νν−

2 20' ' cos ' ' cos ' sen cosz x xzh i k h i h i iσ γ σ γ τ γ= = = − ⋅ ⋅

Per ricavare la tensione normale σx (parallela al piano limite), occorre al solito imporre la condizione di simmetria indefinita (εx = 0) e introdurre il legame costitutivo (mezzo elastico ideale):

Ponendo il p.l.f. in corrispondenza del p.c. si ha infine:

Stato tensionale in un pendio indefinitoTensioni nel sottosuolo

26

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