Po cetn praktikum 2petrk/pisemka_jaro2018_2.pdf · Po cetn praktikum 2 2. z apo ctov a p semka ......
1
Poˇ cetn´ ı praktikum 2 2. z´ apoˇ ctov´ a p´ ısemka - jaro 2018 1 1. Vypoˇ c´ ıtejte ploˇ sn´ y integr´ al 2. druhu: RR S (0, 0, |z |) · d ~ S , kde S je rovinn´ a plocha s norm´ alov´ ym vektorem ~ν , dan´ a pˇ redpisem: x = √ 3 2 r cos φ, y = r sin φ, z = 1 2 r cos φ, r ∈h0, √ 3i, φ ∈h0, 2πi, ve smˇ eru sloˇ zky ν z > 0. O jakou plochu se jedn´ a? (2,5 bodu) V´ ysledek: 3, jedn´ a se o kruh v rovinˇ e x 0 ,y 0 , sv´ ıraj´ ıc´ ı s rovinou x, y ´ uhel π/6, se spoleˇ cnou osou y ≡ y 0 . 2. Vypoˇ c´ ıtejte tok Φ F vektorov´ eho pole ~ F (x, y, z )= ( x 3 ,y 3 , 0 ) uzavˇ renou plochou, tvoˇ r´ ıc´ ı cel´ y povrch tˇ elesa: V = (x, y, z ) x 2 + y 2 ≤ 1,x ≥ 0,y ≤ 0,z ∈h0,xi . (2,5 bodu) V´ ysledek: 3 5 3. Pomoc´ ı Stokesovy vˇ ety urˇ cete pr´ aci s´ ıly ~ F =(-xz, -yz, 3) p˚ usob´ ıc´ ı po pl´ aˇ sti v´ alce o polomˇ eru R, jehoˇ z osa proch´ az´ ı bodem (0, R, 0) a spl´ yv´ a s vektorem (0, 0,z ). S´ ıla p˚ usob´ ı po uzavˇ ren´ e trajektorii z poˇ c´ ateˇ cn´ ıho bodu (0, 0, 0) ve smˇ eru bod˚ u(R, R, 0), (R, R, H ), (0, 0,H ) a zpˇ et do bodu (0, 0, 0). (2,5 bodu) V´ ysledek: R 2 H 4. Napiˇ ste Taylor˚ uv polynom 2. stupnˇ e funkce f (x, y)= r y 2 x 2 - 3 v bodˇ e (1, 2). (2,5 bodu) V´ ysledek: 1 - 4(x - 1) + 2(y - 2) - 2(x - 1) 2 + 4(x - 1)(y - 2) - 3 2 (y - 2) 2 1 Ve v´ ysledc´ ıch pˇ r´ ıklad˚ u s geometrick´ ymi nebo fyzik´ aln´ ımi veliˇ cinami nemus´ ı b´ yt uvedeny pˇ r´ ısluˇ sn´ e jednotky.
Transcript of Po cetn praktikum 2petrk/pisemka_jaro2018_2.pdf · Po cetn praktikum 2 2. z apo ctov a p semka ......
Pocetnı praktikum 2
2. zapoctova pısemka - jaro 20181
1. Vypocıtejte plosny integral 2. druhu:∫∫S(0, 0, |z|) · d~S, kde S je rovinna plocha s normalovym vektorem ~ν, dana predpisem:
x =
√3
2r cosφ, y = r sinφ, z =
1
2r cosφ, r ∈ 〈0,
√3〉, φ ∈ 〈0, 2π〉,
ve smeru slozky νz > 0. O jakou plochu se jedna ? (2,5 bodu)
Vysledek: 3, jedna se o kruh v rovine x′, y′, svırajıcı s rovinou x, y uhel π/6, se spolecnou osouy ≡ y′.
2. Vypocıtejte tok ΦF vektoroveho pole ~F (x, y, z) =(x3, y3, 0
)uzavrenou plochou, tvorıcı cely
povrch telesa: V ={
(x, y, z)∣∣x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≤ 0, z ∈ 〈0, x〉
}. (2,5 bodu)
Vysledek:3
5
3. Pomocı Stokesovy vety urcete praci sıly ~F = (−xz,−yz, 3) pusobıcı po plasti valce o polomeruR, jehoz osa prochazı bodem (0, R, 0) a splyva s vektorem (0, 0, z). Sıla pusobı po uzavrenetrajektorii z pocatecnıho bodu (0, 0, 0) ve smeru bodu (R,R, 0), (R,R,H), (0, 0, H) a zpet dobodu (0, 0, 0). (2,5 bodu)
Vysledek: R2H
4. Napiste Tayloruv polynom 2. stupne funkce f(x, y) =
√y2
x2− 3 v bode (1, 2). (2,5 bodu)
Vysledek: 1− 4(x− 1) + 2(y − 2)− 2(x− 1)2 + 4(x− 1)(y − 2)− 32(y − 2)2
1Ve vysledcıch prıkladu s geometrickymi nebo fyzikalnımi velicinami nemusı byt uvedeny prıslusne jednotky.
