Plantilla Mecnica I

2 prueba parcial primer semestre de 2012.

Problema N1 (15 puntos) Una cuerda pasa por dos cilindros fijos, tal como se muestra en la figura. Si el coeficiente de rozamiento entre la cuerda y los cilindros es 3,0= , se pide: a) Calcular el valor mnimo de la magnitud de la

fuerza Fr

que permite obtener el equilibrio del sistema. El peso del bloque es ( )kgW 100=

b) La magnitud de la tensin Tr

en el tramo comprendido entre los dos cilindros, para dicho equilibrio.

Solucin:

Para que la magnitud de Fr

sea mnima, la cuerda debe estar a punto de desplazarse hacia la derecha. Luego:

a) Equilibrio de la cuerda sobre el cilindro superior:

6

51503602 == (3 puntos)

= eTW

4653,0 ===

TWLog

19328,2=TW

( )kgT 594,45= (4 puntos) b) Equilibrio de la cuerda sobre el cilindro inferior:

6

303602 == (3 puntos)

= eFT

2063,0 ===

FTLog

17,1=FT

( )kgF 966,38= (5 puntos)

60

Fr

Wr

60

W T

150=

60

F

T

30=

Problema N2 (25 puntos) Para la estructura cargada como se indica en la figura, se pide calcular las reacciones en los apoyos A y D y determinar y dibujar los diagramas de esfuerzo normal, corte y momento flextor para el tramo BD. La unin B es rgida y C articulada.

Datos: qa, , 22qaM = Solucin: a) Equilibrio del tramo CD:

0= CM 0

34

24

214 = aqaaDy

3qaDy = (2 puntos)

b) Equilibrio de toda la estructura:

0= yF 08

21 =+ qaDA yy

3

11qaAy = (2 puntos)

0= AM 086

388

21 =+ aDaDaqaM yx

3

5qaDx = (2 puntos)

0= xF 0=+ xx DA

3

5qaAx = (2 puntos)

rtula

q

a4 a4

a6

D C

B

A M

2q

yD

D

C xC

a4 yC

xD

rtula

qxD

a4

a6

D

C

B

A

M

a4

yD

yA

xA

c) Diagramas de xxx MVN ,, Para 80 x

0= xF 0=+ xx DN

35qaNx = (3 puntos)

0= yF 0821 =+

axqxDV yx

316

2 qaa

qxVx = (3 puntos)

0= oM 03821 =+ xDx

axqxM yx (3 puntos)

a

qxxqaM x 483

3

= (2 puntos) (3 puntos) (3 puntos)

aqx8

yD o

xM

xN

x xV

xD D

[ ]25132,0 qa

[ ]28qa

3qa

3

2qa

3

11qa

3

5qa

xM

xV

a4 D

C B

a31,2

(+)

(-)

(-)

(-) (-)

(+)

a4 xN

x

x

x

q

Problema N 3 (20 puntos) Determine los vectores de la fuerza y el momento que se deben aplicar en el origen O del sistema de coordenadas, de modo que el sistema espacial de fuerzas dado se encuentre en equilibrio. Datos: Fa,

171 = FF 212 = FF

O

Solucin: a) Ecuaciones de equilibrio:

= 0rrF 021 rrrr =++ FFFo (1) (3 puntos) = 0rrM 02211 rrrrrr =++ FrFrMo (2) (3 puntos) Puntos: Vectores: ( )0,0,0=O ( )zyxo MMMM ,,=r

( )aaA 2,0,= ( )zyxo FFFF ,,=r ( )aaB ,0,2= 1111 17 eFeFF ==r ( )aaC 2,4,0= 2222 21 eFeFF ==r ( )0,3,3 aaD = ( )2,0,11 == aOArr

( )1,0,22 == aOBrr Vectores unitarios:

( ) ( )17

2,3,217

2,3,21

===

aa

DADAe (2 puntos)

( ) ( )21

1,4,221

1,4,22=

==a

aCBCBe (2 puntos)

Luego: 1111 17 eFeFF ==r

( )2,3,21 = FFr (1 punto) 2222 21 eFeFF ==

r ( )1,4,22 = FFr (1 punto)

Reemplazando valores en la ecuacin (1), tenemos: ( ) ( ) ( ) ( )0,0,01,4,22,3,2,, =++ FFFFF zyx Luego:

022 =+ FFFx 0=xF

z

D

C

B

A

y

x aa

aa

a

a

a

a a a

a

aaa

a

a

2Fr

1Fr

043 = FFFy FFy 7= 02 =+ FFFz FFz =

Luego:

( )1,7,0 = FFor (4 puntos) Reemplazando valores en la ecuacin (2), tenemos:

( ) ( )0,0,0142

102

232201

,, =

+

+ Fakji

Fakji

MMM zyx

Luego: 046 =++ aFaFM x aFM x = 10 ( ) ( ) 02224 =+++ aFaFM y aFM y 2= 083 = aFaFM z aFM z 11=

Luego:

( )11,2,10= aFMor (4 puntos)