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OS PRISMAS

1) Conceito :

Dados dois planos paralelos αααα e ββββ , um polígono convexo qualquer contido em ββββ e uma reta r concorrente com αααα e ββββ , chamamos de PRISMA o conjunto de todos os segmentos de reta paralelos a r , com uma extremidade pertencente ao polígono e outra pertencente a αααα . Exemplo : Na figura abaixo , o polígono considerado , pertencente a ββββ é um pentágono . Observe como será a figura resultante : Parece uma caixa , é um prisma pentagonal .

SÍNTESE DE CONTEÚDO – MATEMÁTICA SEGUNDA SÉRIE - ENSINO MÉDIO ASSUNTO : OS PRISMAS NOME : ..............................................NÚMERO : ...... TURMA :.......

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Outros exemplos de prismas :

2) Elementos dos prismas :

Tomemos como exemplo o prisma abaixo para definirmos os elemen- tos principais dos prismas em geral :

a) As bases são os dois polígonos congruentes contidos nos planos

paralelos que geraram o prisma : ABCDEF e A’B’C’D’E’F’ (he- xágonos) .

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b) As arestas são todos os segmentos que limitam o prisma . Então , temos arestas da base (AB , BC , CD , DE , EF , FA e A’B’ , B’C’ , C’D’ , D’E’ , E’F’ , F’A’ ) e as arestas laterais ( AA’ , BB’ , CC’ , DD’ , EE’ e FF’ ) .

c) Os vértices são todos os pontos onde as arestas se cruzam , ou seja A , B , C , D , E , F , A’, B’, C’ , D’, E’ e F’ .

d) A altura é a distância entre as bases .

e) As faces laterais são os paralelogramos que têm como lados opostos duas arestas das bases e duas arestas laterais . No nosso caso : ABB’A’ , BCC’B’ , CDD’C’ , DEE’D’ , EFF’E’ e FAA’F’. 3) Classificação dos Prismas :

→→→→ Se as arestas laterais de um prisma são perpendiculares aos pla- nos das bases , então esse prisma é RETO . Se as arestas laterais não são perpendiculares aos planos das bases , então o prisma é INCLINADO ou OBLÍQUO . Exemplos :

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→→→→ Um prisma é REGULAR quando é reto e tem base regular ( O que significa ter base regular ? ) : Exemplos :

4) Prismas Notáveis : O paralelepípedo e o Cubo

a) O prisma cujas faces são paralelogramos é chamado de Paralele- pípedo . Exemplos :

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b) Se num paralelepípedo todas as faces são quadradas , então esse pa-

ralelepípedo é um Cubo .

5) Cálculo da diagonal do paralelepípedo :

Observe que na figura temos um paralelepípedo cujo comprimento ,largura e altura medem, respectivamente a , b e c , a diagonal do paralelepípedo mede D e digamos que a diagonal da base inferior mede x . Então , temos pelo teorema de pitágoras : D2 = x2 + c2 , mas também x2 = a2 + b2 . Então , temos

D2 = a2 + b2 + c2 e , finalmente : 222 c b a ++=D

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Para o cubo teremos a = b = c :

E como o cubo é um paralelepípedo , temos : AG = 222 aaa ++ = 23a = 3a

Exemplos :

a) Calcule a diagonal do paralelepípedo mostrado na figura a seguir , Considerando que as medidas são dadas em metros :

Resolução : Como a = 4 m , b = 3 m e c = 2 m , temos :

29 4 9 16 (2) (3) (4) 222 =++=++=D m

b) Calcule a aresta de um cubo e a diagonal de uma de suas faces , sabendo que sua diagonal mede 75 cm .

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Resolução : Consideremos que a medida da aresta do cubo é a , a diagonal da face inferior é d1 e a dia- gonal do cubo é d = 75 cm . Então temos :

a) 75 3 =a . Então cm 325 3

375

3

75 ===a .

b) Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ABD :

22221 2a aad =+= Então 2a 1 ==d cm 625 2 . 325 =

6) Áreas relacionadas aos prismas :

a) Área da base : É a área do polígono que representa a base . Exemplos : 1) Se um prisma tem base triangular com as arestas da base medin-

do 2 cm , 5 cm e 6 cm , calcule a área da base do prisma . 5 2

6

A base é irregular , mas como as arestas são conhecidas , podemos usar a fórmula de Heron , vista no último trabalho : Seja A b a área da base . Como o semi-

perímetro da base é p = cm2

13

2

652 =++ ,

Temos : ( Ab)2 = )6

2

13)(5

2

13)(2

2

13(

2

13 −−−

e Ab = 2cm 4

393

8

2) Se um prisma regular tem base hexagonal com arestas da base medindo 2 cm , então calcule a área da base desse prisma . 2 cm

b) Área Lateral : Você já deve ter percebido que : ⇒ As faces laterais de um prisma oblíquo são paralelogramos , e ⇒ As faces laterais de um prisma reto são retângulos .

paralelogramo retângulo

Então :

- No prisma reto : Área de uma face = Área de retângulo . - No prisma oblíquo : Área de uma face = Área de paralelogramo

Como a área do hexagono regular é dada em função do lado pela fórmula já conhecida

Ahex = 2

33 2a , temos no caso do prisma :

Ab = 22

cm 36 2

3)2(3 =

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Área lateral de um prisma é a soma das áreas de todas as faces laterais do prisma .

Exemplos :

1) A figura abaixo mostra um prisma hexagonal regular com aresta com aresta da base medindo = 8 cm e altura h = 10 cm . Calcule a área da base e a área lateral do prisma .

2) Calcule a área lateral do paralelepípedo mostrado na figura a seguir , sabendo que o comprimento é o quíntuplo da altura , a largura é o dobro da altura e a diagonal mede 302 cm . P x

2x

Q 5x

→ A base é mostrada na fi- gura da direita . Sua área é

Ab = 22

3962

3)8(3cm=

→ Como o prisma é regu – lar , cada uma de suas faces laterais é um retângulo xh e tem área = 8.10 = 80 cm2. Logo , como são 6 faces la- terais , AL = 6. 80 =480cm2. .

a)Cálculo das dimensões do paralelo- gramo :Como a diagonal foi dada , te -

mos: 222 )()2()5(302 xxx ++=

Elevando ambos os lados ao quadrado , temos 120 = 30x2 de onde x = 2 cm .As dimensões do paralelogramo são 10 cm , 4cm e 2 cm . b) Cálculo da área lateral do paralele- pípedo : A área lateral compreende : 2 retângulos 10x2 e 2 retângulos 4x2 . Então : AL= 2.10.2 + 2.4.2 = 40 + 16 = = 56 cm2 .

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c) Área total do prisma :

É a soma das áreas das bases com a área lateral . Então , temos :

Exemplo : Calcule a área total do prisma reto abaixo .

1) Se o prisma é regular com aresta da base a e altura h , podemos ter : AL = n . ah e AT = n.ah + 2. Ab , onde n é o número de arestas da base .

AT = AL + 2. Ab

1) Como a base é um triângulo retângulo isósceles ,

temos : 2)23( = a2 + a2 ⇒ a 2 = 9 e a = 3 cm .

2) A b = cm 2

9

2

3.3 = .

3) AL = 2. ( 3 . 6) + ( 23 . 6) = 36 + 18 2 cm2.

4) AT = AL + 2. Ab = (36 + 18 2 ) + 2.2

9 =

= 45 + 18 2 = 9( 5 + 2 2 ) cm2 .

EM ALGUNS CASOS ESPECIAIS É POSSÍVEL CRIAR FÓRMULAS

GERAIS ! VEJA !

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2) Num paralelepípedo retângulo , em geral , temos as dimensões in-

dicadas na figura abaixo . Então vale a fórmula : c b

a

3) No cubo , temos 6 faces quadradas e congruentes com arestas

de medida a . Vale então a fórmula :

a

a

a

AT = 2.(ab + ac + bc)

A T = 6 a 2

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7) VOLUME DOS PRISMAS : A secção transversal de um prisma é a intersecção não vazia , des- se prisma com qualquer plano , paralelo às suas bases . Veja figura :

Num prisma , todas as secções transversais têm mesma área já que todas as secções transversais são paralelas às bases e as arestas laterais são paralelas entre sí . Isso significa que , se você empilhar várias por- ções congruentes do plano , terá um sólido de volume equivalente às áreas de todas as porções juntas , no caso do prisma , a área de um po- lígono várias vezes . Em outras palavras , podemos fatiar um prisma em prismas congruentes de altura unitária :

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Como todas as fatias têm altura unitária , e todas elas têm a mesma área que é Ab , podemos enunciar o seguinte : * A altura do prisma é a soma das alturas unitárias dos prismas menores (fatias) .

Em linguagem matemática teremos :

Exemplos :

1) Calcule a área total e o volume do paralelepípedo retângulo da figura a seguir : ( medidas dadas em cm )

A B D C 13

E F 5

H 3 G 2) Na figura seguinte , a base do prisma regular está inscrito na circunferência de perímetro igual 6π cm . Se a altura do prisma é igual a 8 cm , calcule seu volume .

O VOLUME DE UM PRISMA É O PRODUTO DA ÁREA DE SUA BASE POR SUA ALTURA*

Resolução : a) O triângulo EGH é retângulo em H . Então : (5)2 = (3)2 + (EH)2 , de onde sai que EH = 4 cm b) O triângulo AEG é retângulo em E . Então : (13)2 = (5)2 + (AE)2 , de onde sai que AE = 12 cm c) AT = 2.( 3.4 + 3.12 + 4.12) = 192 cm2 d) V = Ab . h = 3.4.12 = 144 cm3

VPRISMA = Ab . h

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Resolução : Sabemos que o perímetro de uma circunferência de raio r é igual a 2ππππr que ,

neste caso , é igual a 6π . Então : 2π = 6π , de onde = 3 cm

Como a base é um hexágono regular , temos : A b = 22

cm 2

327

2

3)3(3 =

Logo V = Ab . h = 3cm 3108 8 . 2

327 =

3) Se a diagonal de um cubo mede 6 dm , calcule sua área total e seu volume . Resolução : 6 dm a a

a

→→→→ Como , nos paralelepípedos de dimensões a , b e c , a base pode ter área ab , bc ou ac com alturas c , a ou b , respectiva – mente , podemos registrar :

→→→→ Então , para os cubos de aresta a , teremos

Sabemos que a diagonal de um cubo com aresta a é

3a . Então temos 6 3 =a ⇒ a = 32 dm e teremos ainda :

a) AT = 6 . 22 dm 72 )32( =

b) V = Ab . h = a .a . a = a3 = 324 )32( 3 = dm3

AQUI TAMBÉM É POSSÍVEL CRIAR FÓRMULAS PARA OS PARALELEPÍPEDOS

Vparal = abc

Vcubo = a3

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