On considère un émetteur produisant un signal HF...

Modulations angulaires (E+C).docx sur 10

Corrigé de l’exercice 1

l’expression de sa fréquence instantanée fi fi = 106 + 2500.sin(1000t)

la fréquence Fo de la porteuse Fo = 1 MHz

la fréquence f du signal modulant f = 500 Hz

l’excursion en fréquence ΔF ΔF = 2500 Hz

l’indice de modulation m m = 5

son encombrement spectral B (règle de Carson)B = 6 kHz

sa puissance sur une antenne R = 50 Ω P = 1 W


1) Fo = 10 MHz F = 50 kHz

2) m = 5

3)

10 MHz10 kHz

1

2

Amplitude

Fréquence

0

B = 160 kHz

4) La tension de sortie du VCO est amplifiée de 40 dB soit 500 V, la puissance d’émission est donc de 2500 W.


1) IM = 200 mA 2) 5 < m < 1500 3)

f (MHz)90 90,09089,91

0,036

0,0260,026

4) B = 180 kHz



1) a. fsmin = 10*1762*16/32 = 88,1 MHz fsMAX = 10*2158*16/32 = 107,9 MHz

b. Pour 1766 fs = 88,3 MHz soit 200 kHz de plus que pour 1762 donc la largeur de bande B d'un canal FM est de 200 kHz.

2) La dérive de fréquence en sortie est donc de 2.10-6

.107,9.106 = 215,8 Hz, inférieure au 2000

Hz tolérés.

3)

a.

p1

K

)p(

)p(V d

tfftu.K2

tf c0c

s

donc

dt

d

2

1)t(f s

donc p

2

ppF s

et pF

p

2ps

+-

++E(p)

S(p)

Va(p)

U(p)V(p) F(p)K0

KD

1+p

2p

b. On se place dans le cas où E(p) = 0.

pU.K pF 0 U(p) = V(p) + Va(p) pp1

Kp

p1

KpV s

dd

pFp

2ps

donc :

pFp

2

p1

KpV d

pF

p

2

p1

KpVpU d

a

et

pF

p

2

p1

KpVKpF d

a0 donc pVKp

2

p1

K.K1pF a0

d0

d0

0d0

0d0

a K.K2p1.p

p1.pK

p

2

p1

K.K1

1K

p

2

p1

K.K1

pV

pFpT

1pK.K2

1p

K.K2

p1.p

K2

1

K.K2p1.p

p1.pKpT

d0

2

d0

dd0

0

expression de la forme :

2

00

0

ppm21

p1pTpT

d

0K2

1T

d0

0

K.K2

d0 K.K2

1

2

1m


c. m = 0,70 f0 = 49 Hz T0 = 4547 V-1

log(f)49 69

20dB/déc

-20dB/déc

G

120 dB

En haute fréquence, ce sont les termes en p2 qui dominent, donc 62

00 10..TpT

et G = 120 dB

d. On a une modulation linéaire du VCO à partir de f = 69 Hz.

e. En régime linéaire 62

00 10..TpT donc VaMAX = f /106 = 75 mV



dt

d

2

1tf E

E

donc p.

2

ppF EE

et p.

2

ppF RR

fR(t) = K0 u(t) donc pU.KpF 0R

vD(t) = KD[E(t) - R(t)] donc VD(p) = KD[E(p) - R(p)]

p1

1

pV

pU

D

1) a. p

2

pF

ppH

E

EE

p1

K

pp

pUpH D

RE

D

0

R

R

RR0 K

p

2

pU

pF

pF

p

pU

ppH

b.

D0

D

D0

D

0D

DE

E K.K2p1p

K2

p1p

K.K21

p1p

K2

pH.pH1

pH.pH

pF

pU pT

2

00

0

D0

2

D0

0

D0

D

ppm21

T

1pK.K2

1p

K.K2

K/1

K.K2p1p

K2 pT

avec 00 K/1 T

D0

0

K.K2

D0 K.K2

1

2

1m

2) a. Le filtre passe-bas étant du premier ordre, son atténuation est de 20dB/déc. Pour obtenir une atténuation de 20 dB à 200 kHz il faut choisir une fréquence de coupure à -3 dB f3, 10 fois plus faible

(une décade) soit 20 kHz. s96,7f2

1

3

b..f0 = 10 kHz m = 1 T0 = 200 µV/Hz

c. Puisque m = 1, 2

0

02

00

0

p1

T

pp21

TpT

2

0

0

j1

TjT

donc 2

0

02

0

0

f

f1

T

1

TjT

et pour la fréquence de coupure à -1dB, f1 :

1

f

f1

1log20G

2

0

1

soit 20/1

2

0

1 10f

f1

donc kHz49,3110ff 20/1

01


c.

log(f)

G(dB)

-40dB/déc-74dB

log(f)

-180°

(°)

0°

10 kHz

-80dB

3) a p

f

p1

TpU

2

0

0

b. f10.2f.Tp

f

p1

TplimpU.plimtulim 4

02

0

0

0p0pt

c. ppp1

KpU RE

D

donc en régime permanent (p0) on aura :

REDKu soit 2/u et

kHz85,710.2

2/

10.2

uf

44Max



1)

rR

Cp.r.R1.rR

Cp.r1.R

rCp.r1.R

Cp.r1.R

1Cpr/1.R

Cpr/1.R

1pY.R

pY.R

pZR

R)p(T

K = R/(R+r) 1 = r.C 2 = R.r.C/(R+r) < 1 2) En basse fréquence le condensateur n’agit pas tandis qu’en haute fréquence elle court -circuite

totalement, les hautes fréquences sont donc moins atténuées que les basses fréquences. 20log(T)

f

2

1

2

1arg(T)

f2

1

2

10

/2

20log RR+r

3)

p1p

p.Bp1AK.E.

p1

B

p

AK.E.

p

E

p1

p1.KpV

2

2

22

1s

En identifiant on obtient : A = 1 et B = 1 - 2 =

p1p

1K.E.pV

2

s donc tu.e.191K.E.tu.e1K.E.tv 22 /t/t

2

s

20K.E

K.E

t

vs(t)

4) La fréquence f2 = 63,7 kHz à partir de laquelle le gain est nul étant très supérieure à la fréquence maximale du signal sonore (15 kHz), le dénominateur a une influence négligeable dans la bande de fréquence du signal d’entrée.

5) Pour f > f1, T(p) K.1.p, le signal est donc dérivé par le circuit. Un modulateur de fréquence produit un signal tel que la dérivée de sa phase instantanée soit

proportionnelle au signal modulant d/dt = k.sm(t) Si l’on intercale le circuit de préaccentuation entre le signal modulant et le modulateur, on aura donc

d/dt = k.dsm/dt soit (t) = k.sm(t) (à une constante près) ce qui est la définition d’un signal modulé en phase. 6) Un filtre passe-bas à base de circuit RC suffit pour désaccentuer les hautes fréquences à la réception.


EXERCICES SUPPLEMENTAIRES CORRIGES

SIGNAL FM A BANDE ETROITE

On considère le signal FM suivant : v(t) = Vcos (t + m.sint) avec pour la fréquence de la porteuse F = /(2) = 100 kHz.

1) Un signal FM est dit à bande étroite lorsque son indice de modulation m est petit devant 1.

a. Pour un indice de modulation m = 0,25 et une excursion de fréquence F = 5 kHz, calculer

la valeur de la fréquence f du signal basse fréquence. b. A l'aide de développements limités au premier ordre, montrer que v(t) peut être représentée

par une somme de trois composantes sinusoïdales. Représenter son spectre d’amplitude.

On rappelle qu'au premier ordre et pour << 1: cos = 1, sin = .

c. En déduire l'encombrement spectral, B, d'un signal FM à bande étroite.

2) Pour tenir compte d'une augmentation de l'indice de modulation, on utilise alors des développements limités au second ordre.

On rappelle qu'au second ordre et pour << 1 : cos = 1 - 2/2, sin = .

a. Montrer alors que v(t) peut être représenté par une somme de 5 composantes

sinusoïdales.

b. Représenter son spectre d'amplitude lorsque m = 0,7 et V = 1 V.

c. En utilisant la décomposition spectrale de v(t), calculer la puissance moyenne, P, que

dissiperait le signal v(t) aux bornes d'une résistance R.

d. Rappeler l'expression exacte de la puissance moyenne P0 que dissipe un signal FM

d'amplitude V aux bornes d'une résistance R.

e. En déduire la valeur du rapport P/P0 pour m = 0,7.

Corrigé 1) a) f = 20 kHz

b) v(t) = V.cos(t + m.sint)

v(t) = V.cost.cos(m.sint) - V.sint.sin(m.sint)

v(t) V.cost - mV.sint.sint

t)cos(2

mVt)cos(

2

mVtcos.V v(t)

f (kHz)100 12080

V

m.V/2

c) B = 2.f = 40 kHz

2) a) v(t) = V.cost.cos(m.sint) - V.sint.sin(m.sint)

tsin.tsin.mVtsin2

m1tcos.V v(t) 2

2

t)cos(2

mVt)cos(

2

mVt2cos1

4

m1tcos.V v(t)

2


t)cos(t)cos(

2

mt)2cos(t)2cos(

8

m

4

m1tcos.V v(t)

22

b)

f (kHz)100 12080 14060

0,878

0,35

0,062

c)

32

m31

R2

V

8

m2

2

m2

4

m1

R2

VP

422

22222

d) R2

VP

2

0

e) 02,132

m31

P

P 4

0

MODULATEUR D’ARMSTRONG

Rappels mathématiques :

si << 1, (1 + )n 1 + n cos(a+b) = cosa.cosb – sina.sinb

2

cos2x - 1 x sin2 xtan1

xcos

1 2 u1

'u')utan(Arc

2

1

X K

-/2

vp

vm v1

v2

v3

vs

1) La tension à la sortie de l'intégrateur ayant pour expression

v K v dtm1 0

celle à la sortie du multiplieur, v3 = K.v1.vp, exprimer v1(t), v2(t), v3(t) et vs(t).

2) Montrer, en posant tan = K.K 0

( )

.sint

Utm

que vs peut se mettre sous la forme : v (t) = U

cos (t)s

p

cos ( )t t

3) Mettre vs sous la forme : vs(t) = Us(t).cos[t + (t)] Montrer que ce signal est modulé à la fois en amplitude et en fréquence.

La porteuse (pulsation : ) est appliquée à un

déphaseur (- /2) et à un multiplieur dont l'autre

entrée reçoit la BF (pulsation : ) directement pour une modulation de phase, après intégration pour une modulation de fréquence.

vp(t) = Upsint vm(t) = Umcost


4) Que devient cette expression dans le cas où K.K0.Um / << 1 ?

Montrer qu'elle peut s'écrire : vs(t) = Up(1 - mA.cos2t).cos(t + m.sint) Que peut-on conclure quant au rapport de mA /m ? Quelle est l'excursion de fréquence ?

5) Exprimer la pulsation instantanée i dans les deux cas précédents (questions 3 : i et 4 :ia) en

fonction de m.

En faisant un développement limité au premier ordre de i, montrer que la distorsion due à

l'harmonique 3 est inférieure à 1%, si m < 0,2.

6) On désire transmettre un signal BF de fréquences comprises entre 30 Hz et 15 kHz. Quelle excursion de fréquence pourra-t-on avoir si m < 0,2 ?

7) Pour augmenter l’excursion de fréquence, on réalise le montage suivant :

1

X K

-/2

vm v1

v2

v3

vs

f x 200

f x 60

Osc100kHz

Osc18,3MHz

X Kv5

v6

v4

v7

Quelle est la fréquence centrale et l’excursion de fréquence du signal v5 ? Quelles sont les fréquences présentes dans le signal v6 et que vaut l'excursion de fréquence ?

8) Dessiner le gabarit du filtre passe-bas qui élimine la fréquence la plus élevée de v6.

9) Quelle est la fréquence de la porteuse vs et que vaut l'excursion de fréquence ? Proposer un ou plusieurs montages multiplieurs de fréquence.

Corrigé

1) tsinUK

)t(v m0

1

tcosU)2/tsin(U)t(v pp2

tsintsinUUK.K

)t(v pm0

3

tsintsinUUK.K

tcosU)t(v pm0

ps

2) tsin).t(sin)t(cos.tcos)t(cos

Utsin).t(tantcosU)t(v

p

ps

)t(tcos)t(cos

U)t(v

p

s

3) )t(tcostsinUK.K

1U)t(v

2

m0

ps

Ce signal est à la fois modulé en amplitude et en fréquence.

4) Si K.K0.Um / << 1, tan(t) << 1 et l’on peut confondre tan(t) et (t), donc tsinU.K.K

)t( m0

De même le terme sous la racine est de la forme 1+, avec << 1. Or (1+)1/2

1+/2, donc :

tsinmtcos)t(utsinUK.K

tcostsinUK.K

2

11U)t(v pm

0

2

m0

ps

Or sin2t = (1-cos2t)/2, donc l’amplitude du signal peut se mettre sous la forme :


t2cosU

2

K.K1Ut2cos1U

2

K.K1UtsinU

K.K

2

11U)t(u

2

m0

p

2

m0

p

2

m0

pp

Le taux de modulation d’amplitude a donc pour expression

2

m0

A U2

K.Km

et l’indice de

modulation de fréquence : m0 U

K.Km

et puisque m << 1, mA/m << 1.

La modulation de fréquence est donc prépondérante.

L’excursion en fréquence s’écrit : m0 U

2

K.Kf.mF

. On constate qu’elle est bien indépendante

de la fréquence du signal modulant, cependant, m étant très inférieur à 1, l’excursion sera très limitée. 5) Avec l’approximation de la question 4 on obtient :

tcos..mtsin.mtdt

d)t(ia

Sans approximation (question 3) on aura :

tsin.marctantdt

dtsin

U.K.Karctant

dt

d)t(t

dt

d)t( m0

i

tcos..m

tsin.m1

1)t(

2i

Or m << 1 et 1/(1+) 1-, donc :

tcos..m.

2

t2cos1m1tcos..m.tsin.m1)t( 22

i

t3cos4

.mtcos..m.

4

m1tcos.t2cos

2

.mtcos.m.

2

m1)t(

3232

i

On remarque la présence de l’harmonique 3 du signal modulant. La distorsion due à l’harmonique 3 est donc :

2,0m10.4m104m1

4m

U

Ud 222

2

2

1

33

.

6) mMax = 0,2, or mMax = F/fmin donc F = mMax.fmin = 0,2 .30 = 6 Hz. Cela confirme bien que l’excursion en fréquence est très faible. 7) La fréquence centrale de v5 vaut donc 20 MHz et son excursion de fréquence 1200 Hz, les deux étant multipliées par 200. Les deux fréquences présentes dans v6 sont 38,33 MHz et 1,67 MHz. L’excursion en fréquence est la même que celle de v5. 8)

1,67 MHz 38,33 MHz

9) La porteuse a pour fréquence 60.1,67 = 100 MHz et F = 60.1200 = 72 kHz. Pour réaliser des multiplications de fréquences, on utilise des amplificateurs en classe C accordés sur des harmoniques ou des PLL.

On considère un émetteur produisant un signal HF...

Documents

Transcript of On considère un émetteur produisant un signal HF...